Contoh 3:

Diberikan fungsi f(z)=3z+i dan g(z)=z2+z+1-i

a. Tentukan (f+g)(z)

b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefenisi dan tuliskan fungsinya

Penyelesaian:

a. Df=C dan Dg=C. Fungsi f+g terdefenisi pada Df Dg = C, sehingga (f+g)(z)=f(z)+g(z)=z2+4z+1

b. Rf=C dan Dg=C. Karena RfDg=C, maka fungsi g o f terdefenisi dan aturannya adalah

(g o f)(z) = g(f(z)) =g(3z+i)

= (3z+i)2+(3z+i)+1-i

=9z2+6iz+i2+3z+i+1-i

=9z2+(3+6i)z

Kaitan fungsi kompleks dengan fungsi dua variabel real dapat dijelaskan seperti berikut.

Bilangan kompleks z dapat ditulis dalam bentuk z=x+iy dengan x,yR dan bentuk z=r cis ,

r=|z| dan =Arg(z). Jika w=u+iv adalah nilai fungsi f di z=x+iy diperoleh:

f(x+iy)=u+iv dengan u=u(x,y) dan v(x,y)

jika w=u+iv adalah nilai fungsi f di z=r cis diperoleh:

f(r cis )=u+iv dengan u=u(r,) dan v=v(r,)

Dengan demikian fungsi kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk

W=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) dan w=f(z)=u(r,)+iv(r,)

Contoh 4:

Diketahui f(z)=z2+z+3. Nyatakan fungsi f dalam bentuk:

F(z)=u(x,y)+iv(x,y) dan f(z)=u(r,)+iv(r,)

Penyelesaian:

Karena f(z)=z2+z+3, dipeloh

f(z)=f(x+iy) =(x+iy)2+(x+iy)+3

=(x2+2ixy+i2y2)+x+iy+3

=(x2-y2+x+3)+iy(2x+1)

dan

f(z)=f(r cis ) =(rcis)2+rcis+3

=(r(cos+isin))2+ r(cos+isin)+3

=r2(cos2+2icossin-sin2)+rcos+irsin+3

=(r2cos2-r2sin2+rcos+3)+i(2r2cossin+rsin)

Dalam kalkulus telah dipelajari bagaimana menggambar grafik fungsi real y=f(x) yang

grafiknya berupa suatu lengkungan yang berada pada bidang datar. Demikian pula grafik fungsi dua

peubah real z = f(x,y) berupa suatu permukaan yang berada pada ruang.

Penyajian secara geometri dari fungsi kompleks w=f(z), zDr berada pada ruang berdimensi

4. Karena itu menggambarkan fungsi kompleks diperlukan dua bidang yang pertama untuk variabel z

yang dinamakan bidang-Z dan yang kedua bidang-W tempat menyajikan nilai fungsi f. Nyatakan x+iy

untuk Z dan u+iv untuk W. Pada bidang –Z tetapkan sumbu real OX dan sumbu imajiner OY,

sedangkan pada bidang –W tetapkan sumbu real OU dan sumbu imajiner OV. Situasi tersebut

diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Contoh 5:

Misalkan fungsi w=f(z) = z utuk setiap zC dengan z=x+iy, diperoleh w=f(z)=x-iy. Oleh karena itu,

Untuk z1=2+3i, diperoleh w1=2-3i

Untuk z2=1-2i, diperoleh w2=1+2i

Untuk z3=4i, diperoleh w3=-4i dan seterusnya

Grafik diperlihatkan seperti berikut ini: