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i
Universidad Nacional
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Escuela de Matemática
Análisis didáctico, como fundamentación teórica, en la
elaboración de materiales didácticos coherentes con el
Programa de Estudios de Matemática de Costa Rica: el caso
de la función lineal y de la función cuadrática
Trabajo Final de Graduación sometido a consideración del Tribunal Examinador como
requisito parcial para optar por el grado de Licenciatura en la Enseñanza de la
Matemática
Estudiantes:
Hazel Fernández Álvarez
José Luis Morales Reyes
Steven Quesada Segura
Campus Omar Dengo
Heredia, Costa Rica
16/ 08/ 2018
ii
Este trabajo final de graduación ha sido aceptado y aprobado por el Tribunal
Examinador de la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, como requisito
parcial para optar al grado de Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática.
M. Sc. Randall Hidalgo Mora
Representante del Decanato
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
_______________________
Dr. Miguel Picado Alfaro
Representante de la Dirección
Escuela de Matemática
_______________________
M. Sc. Marianela Alpízar Vargas
Tutora
_______________________
M. Sc. Ana Lucía Alfaro Arce
Asesora
_______________________
M. Sc. José Romilio Loría Fernández
Asesor
_______________________
Bach. Hazel Fernández Álvarez
Estudiante
_______________________
Bach. José Luis Morales Reyes
Estudiante
_______________________
Bach. Steven Quesada Segura
Estudiante
_______________________
iii
Agradecimientos y dedicatoria
Deseo agradecer a M. Sc. Marianela Alpízar Vargas, M. Sc. Ana Lucía Alfaro Arce
y M. Sc. José Romilio Loría Fernández por su gran apoyo, por su tiempo compartido y
motivación para la culminación de nuestros estudios profesionales y para la elaboración de
este trabajo de graduación. A mis compañeros de tesis que nos apoyamos mutuamente en
nuestra formación profesional. Y sobre todo a mi bella Mariángel por ser un pilar
fundamental en todo lo que soy. Todo este trabajo ha sido posible gracias a ellos.
Hazel Fernández
Agradezco a mis compañeros de tesis por los momentos compartidos, por brindarme
su amistad y apoyo durante toda la carrera. Asimismo, le doy un agradecimiento muy
especial a la profesora Marianela Alpízar por aceptar ser nuestra tutora, a pesar de sus
múltiples compromisos académicos y personales, y por siempre impulsarnos para finalizar
la licenciatura; sin duda, esta investigación es parte de su profesionalismo, esfuerzo y
tiempo brindado. De igual manera, agradezco a nuestros asesores, Ana Lucía Alfaro y
Romilio Loría, por los aportes dados durante el desarrollo de la investigación, de manera
particular al profesor Romilio, quien a pesar de estar realizando sus estudios doctorales, no
dudaba en colaborarnos desde España.
José Luis Morales
Agradezco primeramente a Dios por brindarnos la bendición de poder culminar con
mucho éxito la etapa de licenciatura, adicionalmente a mis amigos por todos los años que
compartimos en la universidad y en la elaboración de este documento. Luego, con un cariño
muy especial, a nuestra tutora de tesis por atendernos y apoyarnos en todos los momentos.
A los lectores Ana Lucía y Romilio Loría por el tiempo dedicado hacia nuestras personas.
Steven Quesada
iv
Tabla de contenidos
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
1.1. Antecedentes .............................................................................................................. 2
1.2. Justificación y planteamiento del problema ............................................................... 9
1.3. Objetivos .................................................................................................................. 15
1.3.1. Objetivo general .................................................................................................... 15
1.3.2. Objetivos específicos ............................................................................................ 15
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. El currículo preuniversitario de Matemática en Costa Rica ..................................... 18
2.1.1 Pasos para abordar una lección de Matemática ................................................. 24
2.1.2 Propósitos de la enseñanza en el área de Relaciones y Álgebra ....................... 25
2.1.3 Habilidades generales en el área de Relaciones y Álgebra .............................. 26
2.2. Estrategias metodológicas para la enseñanza de la Matemática .............................. 27
2.2.1 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función lineal ................... 30
2.2.2 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función cuadrática ........... 33
2.3. Dificultades y errores en el aprendizaje de la Matemática ....................................... 36
2.3.1 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función lineal....................... 41
2.3.2 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función cuadrática ............... 42
2.4. Material didáctico ..................................................................................................... 44
2.5. Análisis didáctico ..................................................................................................... 46
2.5.1 Análisis de Contenido ....................................................................................... 46
2.5.2 Análisis Cognitivo ............................................................................................. 51
2.5.3 Análisis de Instrucción ...................................................................................... 53
CAPÍTULO II
MARCO METODOLÓGICO
3.1. Tipo de Investigación ............................................................................................... 58
3.2. Etapas o fases de la investigación ............................................................................ 59
3.2.1. Etapa I: Indagación bibliográfica ...................................................................... 59
3.2.2. Etapa II: Elaboración del Material Didáctico .................................................... 60
3.2.2.1. Delimitación del contenido matemático a estudiar ........................................ 60
3.2.2.2. Utilidades y aplicaciones del contenido matemático a estudiar .................... 61
3.2.2.3. Aprendizajes, dificultades y errores............................................................... 61 3.2.2.4. Diseño, análisis y selección de las actividades que conformarán la propuesta
didáctica de investigación ............................................................................................. 62
3.2.3. Etapa III: Valoración del Material Didáctico .................................................. 63
3.2.3. Etapa IV: Consideraciones finales del Material Didáctico .............................. 64
3.3. Instrumentos de recolección de información ............................................................ 64
3.3.1. Cuestionario ...................................................................................................... 64
3.3.2. Entrevista semiestructurada ............................................................................... 67
3.3.3. Rúbrica para la valoración del material didáctico .......................................... 67
3.4. Análisis de la información ........................................................................................ 69
3.4.1. Contenido matemático ....................................................................................... 69
v
3.4.2. Errores y dificultades que presentan los estudiantes de décimo año al trabajar
los temas de función lineal y función cuadrática ................................................. 69
3.4.3. Estrategias metodológicas para la enseñanza y aprendizaje de las funciones
lineal y cuadrática ................................................................................................ 70
3.4.4. Pertinencia del Material Didáctico para la enseñanza de la función lineal y la
función cuadrática ................................................................................................ 70
3.5. Descripciones referentes al análisis de la información ............................................ 71
3.5.1. Análisis de Contenido ....................................................................................... 71
3.5.2. Cuestionarios ..................................................................................................... 72
3.5.3. Entrevista semiestructurada ............................................................................... 73
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS CONCEPTUAL
4.1. Función lineal ........................................................................................................... 74
4.1.1. Libros de textos de educación secundaria ......................................................... 74
4.1.2. Libros de textos universitarios .......................................................................... 77
4.1.3. Programa de Estudio de Matemática del MEP de Costa Rica .......................... 78
4.1.4. Investigaciones previas...................................................................................... 79
4.2. Función cuadrática ................................................................................................... 80
4.2.1. Libros de textos de educación secundaria ......................................................... 80
4.2.2. Libros de textos universitarios .......................................................................... 82
4.2.3. Programas de Estudios de Matemática del MEP de Costa Rica ....................... 83
4.2.4. Investigaciones previas...................................................................................... 83
CAPÍTULO V
ANÁLISIS DE CONTENIDO
5.1. Descripción de los organizadores ............................................................................. 84
5.2. Estructura conceptual de la función lineal ............................................................... 86
5.2.1. Campo conceptual ............................................................................................. 86
5.2.2. Campo procedimental ....................................................................................... 87
5.3. Sistemas de representación de la función lineal ....................................................... 88
5.4. Análisis Fenomenológico de la función lineal ......................................................... 89
5.4.1. Historia de la función lineal .............................................................................. 89
5.4.2. Aplicaciones de la función lineal ...................................................................... 91
5.5. Estructura conceptual de la función cuadrática ........................................................ 95
5.5.1. Campo conceptual ............................................................................................. 95
5.5.2. Campo procedimental de la función cuadrática ................................................ 96
5.6. Sistemas de representación de la función cuadrática ............................................... 97
5.7. Análisis Fenomenológico de la Función Cuadrática ................................................ 98
5.7.1. Historia de la Función Cuadrática .................................................................... 98
5.7.2. Aplicaciones de la función cuadrática ............................................................ 100
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS COGNITIVO
6.1. Expectativas de aprendizaje de la Función Lineal y Función Cuadrática .............. 103
6.2. Conocimientos y Procesos matemáticos................................................................. 104
vi
6.3. Errores y dificultades asociadas con el aprendizaje de la función lineal y
cuadrática…. .................................................................................................................. 107
6.3.1. Función Lineal ................................................................................................ 109
6.3.1.1. Errores cometidos por los estudiantes. ........................................................ 109
6.3.1.2. Errores detectados por los profesores .......................................................... 119
6.3.1.3. Dificultades detectadas por los profesores. .................................................. 120
6.3.2. Función Cuadrática .............................................................................................. 123
6.3.2.1. Errores cometidos por los estudiantes. ........................................................ 123
6.4.2.2. Errores detectados por los profesores .......................................................... 129
6.4.2.3. Dificultades detectadas por los profesores ................................................... 131
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN
7.1. Selección de las tareas ............................................................................................ 134
7.2. Variables involucradas en el análisis de las tareas ................................................. 135
7.3. Análisis de las tareas que fueron seleccionadas en relación con la función lineal . 137
7.4. Secuenciación de las tareas de función lineal en etapas de aprendizaje................ 165
7.4.1 Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad ..... 168
7.4.2 Descripción de las etapas de clase ................................................................... 169
7.5. Análisis de las tareas que fueron seleccionadas en relación con la función
cuadrática......................................................................................................... 173
7.6. Secuenciación de las tareas de función cuadrática en etapas de aprendizaje ........ 196
7.6.1. Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad ..... 197
7.6.2. Descripción de las etapas de clase ................................................................... 198
CAPÍTULO VIII
VALORACIONES DEL MATERIAL DIDÁCTICO
8.1. Recomendaciones obtenidas a raíz de la valoración de los docentes ..................... 203
8.2. Aplicación de tareas seleccionadas del Material Didáctico ................................... 205
CAPÍTULO IX
CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES
9.1. Conclusiones........................................................................................................... 207
9.2. Limitaciones de la investigación ............................................................................ 215
9.3. Recomendaciones ................................................................................................... 215
9.3.1. Para las Escuelas de Matemática de las universidades costarricenses ............ 216
9.3.2. Para los docentes en ejercicio y en formación ................................................ 216
9.3.3. Para futuras investigaciones ............................................................................ 217
Referencias bibliográficas ........................................................................................... 218
Anexos…... .................................................................................................................... 229
vii
Índice de tablas
Tabla 1. Bloque conceptual de la función lineal .................................................................. 86
Tabla 2. Bloque procedimental de la función lineal ............................................................. 87
Tabla 3. Sistemas de representación de la función lineal ..................................................... 88
Tabla 4. Bloque conceptual de la función cuadrática. .......................................................... 95
Tabla 5. Bloque procedimental de la función cuadrática ..................................................... 96
Tabla 6. Sistemas de representación de la función cuadrática ............................................. 97
Tabla 7. Habilidades específicas de la función lineal y cuadrática para décimo año ......... 103
Tabla 8. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las habilidades
de la función lineal y los procesos matemáticos propuestos por el MEP. .......................... 105
Tabla 9. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las habilidades
de la función cuadrática y los procesos matemáticos propuestos por el MEP ................... 106
Tabla 10. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la
resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función lineal. .......................... 117
Tabla 11. Sumatoria de los puntajes asignados por los profesores encuestados en relación
con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad. ................................. 121
Tabla 12. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función lineal según
los docentes encuestados. ................................................................................................... 122
Tabla 13. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la
resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática. .................. 128
Tabla 14. Enriquecimiento de la categorización de errores y acciones realizadas en la
resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática. .................. 130
Tabla 15. Sumatoria de los puntajes obtenidos por los 30 profesores entrevistados en
relación con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad. .................... 132
Tabla 16. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función cuadrática
según los docentes encuestados. ......................................................................................... 133
Tabla 17. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Compras de
maletas por Internet”. ......................................................................................................... 141
Tabla 18. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Frecuencia
cardiaca máxima”. .............................................................................................................. 144
Tabla 19. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Uso de Uber”.
............................................................................................................................................ 146
Tabla 20. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Televisión
satelital Claro”. ................................................................................................................... 148
Tabla 21. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “En el
gimnasio”. ........................................................................................................................... 150
Tabla 22. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Venta de
granizados”. ........................................................................................................................ 151
Tabla 23. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Contrato de
fontanero” ........................................................................................................................... 153
viii
Tabla 24. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia
de Kahoot” .......................................................................................................................... 159
Tabla 25. Fichas de la representación algebraica. .............................................................. 160
Tabla 26. Fichas de la representación gráfica.................................................................... 161
Tabla 27. Variables de la tarea “Jugando con un tablero” .................................................. 164
Tabla 28. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación con
la Función Lineal. ............................................................................................................... 166
Tabla 29. Organización de las tareas por momento de clase. ............................................. 168
Tabla 30. Planificación de la etapa 1 de la función lineal .................................................. 169
Tabla 31. Planificación de la segunda etapa de la función lineal. ...................................... 170
Tabla 32. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de la función lineal. ...... 171
Tabla 33. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de la función lineal. ........ 172
Tabla 34. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Explorando
con Geogebra” .................................................................................................................... 176
Tabla 35. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia
con Plickers” ....................................................................................................................... 181
Tabla 36. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Distancia de
frenado” .............................................................................................................................. 185
Tabla 37. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Colocando
cerámica” ............................................................................................................................ 186
Tabla 38. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Atletismo
Moderno” ............................................................................................................................ 189
Tabla 39. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Haciendo
malabarismo” ...................................................................................................................... 190
Tabla 40. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Movimiento
de un balón de fútbol” ........................................................................................................ 192
Tabla 41. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Maniobra de
una avioneta” ...................................................................................................................... 195
Tabla 42. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación con
la Función Cuadrática ......................................................................................................... 196
Tabla 43. Organización de las tareas por momento de clase .............................................. 197
Tabla 44. Planificación de la etapa 1 de clase de la función cuadrática ............................. 198
Tabla 45. Planificación de la segunda parte de la primera etapa de clase de la función
cuadrática ............................................................................................................................ 199
Tabla 46. Planificación de la segunda etapa de clase de la segunda etapa de la función
cuadrática ............................................................................................................................ 200
Tabla 47. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de clase de la segunda etapa
de la función cuadrática ...................................................................................................... 201
Tabla 48. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de clase de la segunda etapa
de la función cuadrática ...................................................................................................... 202
Tabla 49. Perfil de los docentes evaluadores del Material Didáctico. ................................ 203
1
CAPÍTULO I
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se expone la intencionalidad y justificación de esta investigación, la
cual nace bajo la necesidad de contar con un material para la enseñanza y aprendizaje de la
función lineal y cuadrática, para décimo año de la educación secundaria de Costa Rica,
acorde al actual Programa de Estudios de Matemática, aprobado en la reforma del 2012.
Para iniciar, se debe tener claro que la mejora del proceso de enseñanza y
aprendizaje de la Matemática está relacionada directamente con las decisiones sobre las
tareas, estrategias y modos de interacción que se dan en el aula (Sarmiento y Manzanilla,
2011).
Al respecto Llinares (1998) y Saiz (2007) afirman que, el docente será el encargado
de favorecer el proceso de enseñanza y aprendizaje a través de sus acciones, con propuestas
diferentes que conduzcan a los educandos a la comprensión real de los conocimientos; que
promueva una Matemática con sentido y donde los contenidos del currículo aparezcan
como recursos para resolver problemas. Esta perspectiva constituye un desafío para los
alumnos, debido a que se da lugar a las conjeturas, la discusión de ideas, la confrontación
entre los compañeros.
En relación con lo citado por estos autores, se puede notar que se promueve un
cambio en la metodología de enseñanza de la Matemática, en la que se debe empezar a
mostrar la utilidad de la misma y no solo su parte abstracta, que al final se encuentra lejos
de la realidad estudiantil.
Una manera de empezar a hacer estos cambios, fue ya propuesta por Guzmán
(2001), el cual plantea una serie de estrategias, como la Historia de la Matemática,
Modelación Matemática de la realidad y la heurística o "problem solving", las cuales son
metodologías que permiten mejorar la enseñanza de la Matemática, y a su vez están
inmersas en el Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública
2
(MEP) en Costa Rica, mismo que también delimita el trabajo que debe realizar un docente
de Matemática en la educación pública desde educación primaria hasta educación
secundaria en cuanto a metodologías, conocimientos y habilidades.
De esta manera, es primordial que los docentes cuenten con estrategias y materiales
didácticos acordes con lo planteado en el Programa de Estudios de Matemática. En este
sentido, esta investigación se centra en el diseño de un Material Didáctico1 que tome en
cuenta la metodología propuesta por el MEP en el programa vigente, para desarrollar en los
estudiantes las habilidades propuestas para los temas de función lineal y de función
cuadrática; en el diseño de dicho material se utilizará el Análisis Didáctico como
fundamentación teórica, y como parte de él se realizará un análisis de tareas preexistentes en
libros de texto u otros documentos, y se adecuarán para efectos de esta investigación; donde
adecuar implica seleccionar tareas que se ajustan a los criterios que la investigación maneja,
incluyendo la posibilidad de modificarlas, y si es necesario, diseñar tareas nuevas (Marín,
2013).
En esta primera parte del documento se presenta una aproximación al problema que
se estudia, la justificación del estudio, la descripción del problema, y los objetivos que
proveen orientación a la investigación.
1.1. Antecedentes
Se presentan, en esta sección, resultados de investigaciones relacionadas con
problemas encontrados en la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, primero en
forma global y luego en el caso particular de las funciones; así mismo, se resumen una serie
de indagaciones relacionadas con diversas estrategias metodológicas utilizadas para la
enseñanza de las funciones lineal y cuadrática.
La Matemática representa una de las disciplinas que le permite al estudiante
desarrollar su inteligencia, le enseña a pensar y favorece el desarrollo de las capacidades y
1De aquí en adelante se entenderá por Material Didáctico, al material propuesto para esta
investigación.
3
procesos cognitivos, por lo que su enseñanza posibilita el desarrollo integral del mismo
como persona inmersa en una sociedad (Soriano, 1993). De esta manera, se busca que el
estudiante desarrolle su pensamiento lógico, habilidades, capacidades para resolver
problemas reales y tomar decisiones.
Sin embargo, para la adquisición de las diversas habilidades que se pueden lograr a
través de la Matemática es necesario un proceso adecuado de enseñanza, el cual se ve
afectado por varias situaciones, entre las que se pueden mencionar: aspectos cognitivos,
didácticos, motivacionales, entre otros. Al respecto Guzmán (2001) indica que, una gran
parte de los fracasos matemáticos de muchos de los estudiantes tienen su origen en un
posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en
este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introducción de los
contenidos matemáticos por parte de sus docentes. Este mismo autor considera que, una de
las tendencias generales más difundidas hoy en día, consiste en que se debe hacer hincapié
en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la Matemática, en lugar de la
mera transferencia de contenidos.
De acuerdo con lo anterior, y específicamente en el tema de funciones, López y Sosa
(2008) exponen que una de las problemáticas que presenta el aprendizaje de las funciones
corresponde a una serie de dificultades propias del mismo concepto y de la forma en que es
enseñado.
Bajo esta misma línea, al especificar sobre los problemas encontrados en la forma en
que es enseñado el concepto de función, se puede mencionar que la enseñanza de las
funciones Matemática a través de enfoques tradicionales “es desarrollada en forma
abstracta, formal y Matemáticamente perfecta”, pero sin un verdadero significado para la
mayoría de los estudiantes, porque están alejados de las aplicaciones y propenden, por lo
general, un aprendizaje memorístico, carente de significado (López, Petris y Pelozo, 2005).
4
Así, se desprende que, es necesaria una innovación en los procesos de enseñanza de
las funciones, con el fin de buscar resultados distintos a los ya encontrados con las
metodologías tradicionales.
Detallando sobre las dificultades mencionadas por los autores anteriores, se pueden
citar las investigaciones realizadas por López y Sosa (2008), Sarmiento y Manzanilla
(2011) y Córdoba, Díaz, Haye y Montenegro (2013) los cuales destacan la falta de
capacidad para: definir de manera correcta el concepto de función, interpretar el lenguaje
matemático, diferenciar entre variable e incógnita, enunciar fenómenos o situaciones que
involucren una relación funcional entre variables, utilizar diferentes representaciones de
funciones y analizar e interpretar el comportamiento de la gráfica de una función.
Por su parte Leinhardt (1990), citado por Guzmán (2006), señala que una de las
tareas de mayor dificultad, para los estudiantes de secundaria, es la traducción entre las
representaciones gráfica y algebraica.
Aunando en el caso particular de la función lineal, Córdoba et al. (2013) señalan que
los estudiantes presentan algunas dificultades al establecer la relación existente entre el
parámetro pendiente respecto a la inclinación de la recta, la relación que existe entre la
representación algebraica y el esbozo de la gráfica, y la representación de las intersecciones
con los ejes de coordenadas mediante el criterio de la función. Un aspecto que puede influir
en la potencialidad de algunas de estas dificultades es la falta de dominio de conocimientos
previos, al respecto Guzmán (2006) menciona que los estudiantes no saben interpretar la
ubicación de los puntos en los ejes coordenados, el cual corresponde a un conocimiento
básico en el estudio del tópico de funciones.
Por otro lado, en cuanto a la función cuadrática, los estudiantes también presentan
algunas dificultades, por ejemplo en el establecimiento del coeficiente numérico del
término cuadrático mediante la información visual contenida en la gráfica y la relación
existe entre el coeficiente del término lineal con la posición del eje de la parábola (Córdoba
et al., 2013).
5
De lo mencionado anteriormente, se deduce que el estudio de las funciones es un
tema que usualmente presenta algunas dificultades, por ende es necesario contar con
estrategias para su enseñanza, ya que este tema es uno de los más relevantes dentro de la
Matemática, debido a que esta área del saber permite entender, cuantificar y modelizar
fenómenos y analizarlos de nuevo a la luz de los resultados (Ugalde, 2014; Roumieu,
2014).
En el Programa de Estudios de Matemática del MEP, el área de Relaciones y
Álgebra es abarcada en todos los años de secundaria debido a su gran variedad de
aplicaciones, donde permite visualizar las Matemática más cercanas a la realidad.
Lo anterior hace necesaria una indagación sobre qué estrategias se pueden utilizar
para la enseñanza de estos temas. En los últimos años, a nivel internacional, se han hecho
estudios relacionados con los procesos de enseñanza y aprendizaje de las funciones lineal y
cuadrática utilizando diversas metodologías, entre ellas: experimentación, resolución de
problemas, modelación Matemática, tecnología.
Respecto a las investigaciones que utilizan la experimentación, Bentacur (2013) en
su tesis de maestría busca acercar a los estudiantes de octavo grado a la comprensión del
concepto de función por medio de situaciones experimentales, que favorezcan la aplicación
de los diferentes sistemas representacionales, la modelación del cambio y la variación de
diferentes fenómenos. Para lograr tal objetivo fue necesario definir claramente el concepto
de función al cual se quería llegar, este concordaba con una visión dinámica y variacional,
en donde el cambio y la correspondencia entre dos variables eran fundamentales para
caracterizar una relación funcional. Al finalizar la experiencia de aula se resaltó el valor
didáctico que tiene la experimentación dentro del proceso de aprendizaje de las Matemática
en general y de la comprensión del concepto de función en particular; además, ésta no sólo
favoreció aspectos motivacionales en los estudiantes sino que permitió “concretizar”
conceptos que podrían parecer mucho más abstractos en la pizarra.
Altam, Comparatore y Kurzrook (2006) desarrollan, de forma similar que Bentacur
(2013), una serie de actividades basadas en una situación concreta, donde la intención es
6
que los estudiantes por medio de la experimentación logren descubrir las condiciones
necesarias para utilizar un modelo lineal, mediante la selección de las variables y la
relaciones de las mismas dentro del problema que dio origen a la situación.
En cuanto a la metodología de resolución de problemas, Ruesga y Sigarreta (2004),
proponen en su investigación el uso de la heurística como estrategia general, se le pide al
estudiante como primer paso identificar el problema y buscar las relaciones existentes entre
los datos del problema planteado, para crear un modelo que describa la situación dada y
posteriormente analizar las propiedades del modelo establecido para darle solución al
problema; este tipo de manejo de los problemas como se verá más adelante, es similar al
modelo de clase propuesto en el Programa de Estudios del MEP.
Ahora, la metodología de la modelización (estrategia relacionada con la resolución
de problemas), es trabajada por Arguello (2008) a través de la simulación de un problema
de una carrera de automóviles utilizando un modelo lineal, basándose en las velocidades de
dichos automóviles, además utilizó la calculadora graficadora, con el fin de mostrar la
aplicación de la función lineal en un contexto cotidiano. En este sentido Alfonzo (2012)
señala que el uso adecuado de recursos tecnológicos, como por ejemplo los graficadores
didácticos, permite al estudiante la adquisición del concepto de función de forma
provechosa, al mismo tiempo que se estimula la creatividad en el estudiantado, ya que sirve
como guía para el trabajo independiente.
Por su parte, Cabra y Gómez (2006) proponen una secuencia de actividades en las
que se trabaja el concepto de función lineal, para estudiantes de noveno año de la educación
colombiana, con la que pretenden introducir diferentes contextos donde se relacionan
magnitudes en forma proporcional, favorece y propicia la manipulación de las diferentes
representaciones de las funciones, particularmente la utilización de expresiones algebraicas
para describir gráficas, tablas y problemas funcionales; a través del proceso de
modelización se busca establecer la importancia de la pendiente como una razón de cambio
y el criterio de dicha función.
7
Uno de los resultados más importantes que obtuvieron Cabra y Gómez (2006) tras la
aplicación de la secuencia didáctica, es que la mayoría de los estudiantes lograron conocer,
identificar y construir la expresión algebraica de una función lineal.
En relación con el uso de la tecnología como estrategia didáctica, Ortega y Puig
(2015) consideran que “el incremento en el uso de las nuevas tecnologías está cambiando
todo aquello que nos rodea y, en consecuencia, la forma en la que se concibe la enseñanza y
el aprendizaje” (p.451), por lo que han realizado un modelo de enseñanza para trabajar la
función cuadrática que combina el uso de datos reales con tabletas a través de la
modelización Matemática, dicha investigación fue realizada con estudiantes de décimo año,
y el fenómeno estudiado corresponde a la relación entre el tiempo y la altura del primer
salto de una pelota cuando se deja caer desde una cierta altura; durante este proceso los
estudiantes lograron comprender porque la altura no puede ser negativa cuando se trabaja
por encima del nivel del suelo.
Es importante destacar el hecho de que el uso de la tecnología no tiene por qué ser
una estrategia metodológica individual, es decir, la misma puede utilizarse de forma
complementaria a otras estrategias con el fin de llegar a los objetivos propuestos, como se
puede notar en las investigaciones anteriormente citadas. Un ejemplo claro es el trabajo de
Coppié y Velázquez (2013), quienes realizaron actividades didácticas considerando la
resolución de problemas y el uso de recursos tecnológicos, pues consideran que el uso de
las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC´S) reorganizan el contexto
educativo y ayuda a construir conocimientos matemáticos en el aula.
Por su parte, Opazo, Grajeda y Farfán (2014) consideran que el uso de las nuevas
tecnologías en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, constituye un factor que
ayudará a mejorar estos procesos, ya que posee elementos técnicos que le permiten al
estudiantado visualizar las funciones de cualquier tipo de manera dinámica y rápida,
específicamente por medio del uso de GeoGebra. En su investigación con estudiantes
universitarios de México, observaron que al trabajar de una manera autodidacta con ayuda
8
de las hojas dinámicas, los estudiantes lograron reconocer cómo afecta la variación de los
parámetros de la expresión algebraica de la función cuadrática en su representación gráfica.
Martínez, Mora y Rodríguez (2012) apoyan el uso de la tecnología para la
enseñanza de la función lineal y cuadrática, al igual que Opazo et al. (2014) consideran que
el uso de software educativo es un valioso complemento en la preparación y desarrollo de
las clases de Matemática. Martínez, et al. (2012) diseñaron una aplicación con estudiantes
universitarios de primer ingreso, la cual permite representar en el plano cartesiano las
coordenadas de los puntos para así determinar la ecuación de la recta o de la parábola que
contiene dichos puntos, de modo que los estudiantes lograron desarrollar la habilidad de
graficar funciones lineales y cuadráticas de forma independiente, ya que el usuario es el
encargado de construir la gráfica a partir de sus conocimientos, lo que propició la
interiorización del aprendizaje.
Siguiendo con esta misma idea, Martínez (2013) en su tesis de maestría, plantea que
cuando los profesores universitarios abordan el tema de función en los primeros semestres
de algunas carreras, detectan vacíos cognitivos sobre su definición, por lo que propone la
utilización del software “GeoGebra” para la enseñanza de los conceptos de función,
función lineal y función cuadrática con estudiantes de primer semestre de ingeniería de la
Universidad de la Salle en Bogotá. Dicha propuesta se materializó mediante el diseño de
módulos didácticos que siguen la secuencia didáctica de pedagogía conceptual, la cual es
un modelo pedagógico de carácter formativo, educativo, que asume como propósitos
formar para la vida y el trabajo a partir del desarrollo de las competencias afectivas,
cognitivas y expresivas del ser humano. Los módulos son enriquecidos con diferentes
aplicaciones o applets que se ejecutan en el entorno planteado y con instrumentos de
evaluación.
En el ámbito nacional, una investigación relacionada directamente con las
estrategias metodológicas propuestas por el MEP en el programa de estudios vigente es la
realizada por Zumbado (2013). Su trabajo se dirigió a estudiantes de décimo año, y se
enfoca en el uso de la resolución de problemas para desarrollar el análisis gráfico y
9
algebraico de la función cuadrática, promoviendo el trabajo del estudiantado a través de sus
habilidades y conocimientos previos para que entre en contacto con nuevos conocimientos
y fortalezca o amplíe habilidades mediante su experiencia con los objetos de aprendizaje,
en este caso la función cuadrática. En dicha propuesta se utilizan los cuatro pasos que se
proponen en el Programa de Estudios de Matemática en Costa Rica: entendimiento del
problema, diseño, control, revisión y comprobación.
1.2. Justificación y planteamiento del problema
En este capítulo se exponen todos aquellos argumentos por los cuales se ha
seleccionado dicha temática, es por esto que se iniciará con la Matemática en general, luego
con las funciones, aplicaciones e historia; para llegar al papel que juega dicha temática en la
educación costarricense.
La Matemática describe muchas de las situaciones presentes en nuestro mundo,
especialmente aquellas actividades que los seres humanos realizamos de forma cotidiana, a
veces de una forma casi imperceptible y otras de manera más práctica en el lenguaje
interno, oral o escrito, por lo que existe una gran infraestructura tecnológica basada en
modelos matemáticos (Arch, 2008; Muñetón, 2008).
Una de las áreas de la Matemática, que es un claro ejemplo de lo mencionado
anteriormente son las funciones, las cuales tiene aplicabilidad en diferentes ciencias a
través de la Matemática aplicada, por ejemplo en la mecánica, en la economía, en la
administración, en la ingeniería, entre otras. Además, intervienen en el desarrollo de áreas
propias de la Matemática como el Cálculo Diferencial, Análisis, Álgebra Lineal,
Ecuaciones Diferenciales, entre otras.
Históricamente el concepto de función surge por los diferentes intereses que posee la
humanidad de entender y tratar de describir la naturaleza en la que vive. El concepto de
función sufre muchas modificaciones a lo largo de la historia, como se entiende dicho
concepto actualmente se consolidó en el año 1837, con el matemático Gustav Dirichlet
(Ugalde, 2014). Se hace notar que el concepto de función se ha consolidado a través de
10
muchos años de esfuerzos realizados por varios matemáticos, por lo que es esperable que su
aprendizaje presente dificultades. En Costa Rica se encuentran evidencias de esta
problemática, las estadísticas obtenidas por el Departamento de Control de Calidad del
MEP muestran que los estudiantes de educación secundaria tienen serias dificultades
cognitivas en el estudio de las funciones (Vílchez y Ulate, 2006).
Lo anterior se complementa con el hecho de que, en las pruebas nacionales de
bachillerato se evidencia que los objetivos donde se involucran los temas relacionados con
la función lineal y cuadrática se clasifican en un nivel intermedio, es decir que la
proporción de las respuestas correctas se encuentran entre el 40% y 60% (MEP, 2015).
Ramírez y Pizarro (2014), profundizan más sobre las dificultades mostradas por los
estudiantes costarricenses en el aprendizaje de los tópicos de función lineal y cuadrática, al
señalar que en la prueba de bachillerato, estos tienen problemas al evaluar un punto en una
recta dada, determinar el valor de una variable, discernir la monotonía de la función lineal a
partir de la pendiente, evaluar la intersección de una recta con el eje x . Citan además que,
apenas un estudiante o menos de cada diez logran responder acertadamente estos ítems.
La falta de dominio de estos procesos se vuelve un asunto alarmante debido a que
las funciones corresponden al contenido fundamental utilizado en el diseño de la prueba de
bachillerato, pues incluye más del 60% de los ítems; en consecuencia el bajo dominio de
este tópico puede ser considerado como el principal causante de que Matemática sea la
asignatura con mayor fracaso escolar (Ramírez y Pizarro, 2014).
Más allá de las dificultades que puedan presentarse en un tópico, es preocupante que
Matemática sea la materia con mayor fracaso escolar (MEP, 2012), este hecho se confirma
con los resultados obtenidos en varias pruebas que miden los conocimientos matemáticos
adquiridos por parte de los estudiantes al concluir la secundaria, entre ellas están las
pruebas nacionales de bachillerato y las pruebas de diagnóstico realizadas por algunas
universidades estatales a sus estudiantes de primer ingreso.
11
Así, por ejemplo, en la Universidad de Costa Rica (UCR), en el informe de la
prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes universitarios de primer ingreso del 2012, se
evidencia que 80% de los estudiantes de colegios públicos que realizaron el diagnóstico
obtuvieron notas que oscilan entre 0 y 49, en una escala de 0 a 100 (Ruiz, 2015), una
situación similar se presenta en la Universidad Nacional de Costa Rica (UNA) con su
prueba diagnóstica, pues más de 95% de los estudiantes obtuvieron notas inferiores a 51; lo
que refleja un gran vacío de conocimiento matemático (Zamora, 2012).
Los resultados obtenidos en estas pruebas diagnósticas, manifiestan que los
estudiantes que ingresan a la universidad en carreras con planes de estudio en donde se
incluyen cursos de Matemática, tienen deficiencias, en cuanto a conocimiento matemático
se refiere, a pesar de que en dichas evaluaciones se trabajen contenidos de la educación
secundaria.
Tomando en cuenta la situación anterior, el hecho de que según el MEP (2012)
históricamente la enseñanza de la Matemática ha sido problemática prácticamente en todo
Iberoamérica, y que en períodos relativamente cortos algunos países pasaron de una
situación similar a una completamente distinta, donde los estudiantes lograron apropiarse
de los conocimientos y desarrollaron destrezas Matemática, es que en el 2012 se reformula
el currículo de Matemática y como consecuencia se cambia el Programa de Estudio de
Matemática desde primaria hasta secundaria.
Dicho programa tiene como principal enfoque metodológico la resolución de
problemas con énfasis en los contextos reales, proponen aproximar la Matemática escolar a
la realidad del estudiante y su visión es transformar la actividad Matemática que se realiza
en el aula (Alfaro, Alpízar, Morales, Ramírez y Salas, 2013). El mismo se basa en cinco
ejes disciplinares: resolución de problemas, la contextualización activa, el uso de la
tecnología, actitudes y creencias positivas en torno a la Matemática, y el uso de la historia
de la Matemática.
12
Debido a estas directrices metodológicas por parte del MEP, se hace necesario un
cambio en la forma de desarrollar las clases de Matemática dentro de los salones de
primaria y secundaria. Estas clases se han caracterizado, en general, por el uso de
estrategias metodológicas de corte magistral o tradicional, donde la clase inicia con el
docente explicando los contenidos a enseñar, luego resuelve algunos ejercicios y por último
propone una lista de ejemplos similares para que sean resueltos por los estudiantes
(Espinoza, Espinoza, González, Ramírez y Zumbado, 2008).
Gamboa (2007) considera que este tipo de clases favorece el trabajo con ejercicios
rutinarios, cuya solución se encuentra de forma mecánica, y priorizan los procedimientos
sin dar oportunidad para que el alumno reflexione sobre su aprendizaje.
Al respecto Espinoza (2011) agrega que las actividades de planeamiento e invención
de actividades de clase son prácticamente nulas; lo que indica que, los docentes habían
entrado en un estado de confort con el que dejaban de lado las actividades que implican el
desarrollo de pensamientos y destrezas Matemática, posiblemente porque les ha resultado
difícil aplicarlas o crearlas, o simplemente porque ellos mismos no poseen las competencias
necesarias para hacerlo (Leung y Silver, 1997, citados por Espinoza, 2013).
Debido a que muchas de las estrategias metodológicas propuestas en el Programa de
Estudios de Matemática son prácticamente nuevas en nuestro país, hay escasez de material
acorde con lo propuesto en el mismo, y siendo aún más explícitos Ruiz (2014) señala que
“en el mercado local existen algunas colecciones que afirman estar en acuerdo con el nuevo
currículo; sin embargo, eso no es cierto” (p.10); es decir, se desarrollan los contenidos
matemáticos, pero en la mayoría de los casos con un marco metodológico distinto al
planteado en el Programa de Estudios del MEP.
Cabe resaltar que el MEP (2012) afirma que “a pesar de que los conocimientos
matemáticos son la base de su programa se adopta un enfoque basado no solamente en
contenidos matemáticos, sino que lo que se pretende es el desarrollo de mayores
13
capacidades del ciudadano para enfrentarse a los retos del mundo del que forma parte”
(p.14).
Así, relacionando todos los aspectos estudiados anteriormente sobre las dificultades
que se presentan en el tópico de funciones, las tendencias actuales en Educación
Matemática y el Programa de Estudios que se encuentran en vigor en Costa Rica, sugieren
y resaltan la necesidad de contar con un material didáctico acorde con las estrategias
metodológicas actuales. Además, se debe tomar en cuenta que estos cambios en nuestro
país son directrices de la máxima autoridad de educación pública, por lo cual se hace
necesario que dentro de los salones de clases hayan escenarios de aprendizaje en los cuales
se utilicen estrategias como: modelización, resolución de problemas, uso de la historia
como recurso didáctico, aprovechamiento de los recursos tecnológicos, motivación
continua hacia el estudiantado, entre otras.
En consecuencia uno de los productos de esta investigación será la propuesta de un
Material Didáctico, dirigido a estudiantes de décimo año, que contenga tareas Matemática
para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática acordes a las
orientaciones oficiales del MEP.
Se ha seleccionado décimo año pues según el MEP (2012), en este nivel del ciclo
diversificado es donde “se formalizará el concepto de función que ha sido trabajado desde
la enseñanza primaria como relación entre variables, y se ampliarán las habilidades
desarrolladas con dichas funciones (p.45)”, adicionalmente se considera que las funciones,
en este caso la función lineal y la cuadrática, son aplicables en varios aspectos de la
cotidianeidad de los seres humanos y en diferentes ciencias como la economía, la
administración, la ingeniería, entre otras; de modo que brinda una razón más para su
enseñanza.
Por tanto, en esta investigación, se propone el siguiente problema: ¿Qué
conocimientos debe tener un docente para construir un material didáctico dirigido a la
enseñanza de las funciones lineal y cuadrática en décimo año, coherente con las
14
indicaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de
Educación Pública de Costa Rica?
Entenderemos por conocimientos, a los conocimientos del contenido matemático
por enseñar y el conocimiento didáctico de dicho contenido.
Es preciso destacar que esta propuesta, para la enseñanza y aprendizaje de la
función lineal y de la función cuadrática, se enmarcará en la metodología del Análisis
Didáctico establecido por el Grupo Pensamiento Numérico de la Universidad de Granada, y
se basará específicamente entorno a cuatro de los subanálisis que lo estructuran y articulan:
análisis conceptual, análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de instrucción.
Al respecto, Gómez (2005) menciona que el Análisis Didáctico fue introducido por
Luis Rico en 1992, y es un procedimiento con el que es posible explorar, profundizar y
trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático escolar, para
efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje. A
su vez menciona que este es la conceptualización de las actividades que el profesor de
Matemática debería realizar para diseñar materiales didácticos.
Así mismo, desde una perspectiva curricular, el Análisis Didáctico es un
procedimiento utilizado para fundamentar, configurar y evaluar el diseño y desarrollo de
materiales didácticos de Matemática (González y Gallardo, 2013), por lo que brindará parte
del sustento teórico que facilitará las pautas a tomar en cuenta en la realización de la
propuesta didáctica.
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1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo general
Elaborar un material didáctico para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática,
para décimo año, considerando las indicaciones metodológicas del Programa de Estudios de
Matemática del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica.
1.3.2. Objetivos específicos
1.3.2.1. Desarrollar un análisis de contenido matemático de la función lineal y de la
función cuadrática.
1.3.2.2. Describir las dificultades y errores que presentan los estudiantes en el
aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática.
1.3.2.3. Especificar métodos y técnicas que favorezcan el proceso de enseñanza y
aprendizaje de las funciones lineal y cuadrática.
1.3.2.4. Diseñar tareas matemáticas para la enseñanza de la función lineal y de la función
cuadrática, para décimo año, acordes a las orientaciones metodológicas del
Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública de
Costa Rica.
1.3.2.5. Valorar la pertinencia del material didáctico en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática mediante el criterio de
docentes de Matemática, de educación secundaria, en servicio.
16
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
En este capítulo se agrupan y resumen los distintos fundamentos y orientaciones
sobre los cuales se sostiene esta investigación: los fundamentos teóricos y metodológicos
descritos en el actual Programa de Estudios de Matemática de Costa Rica, algunos
resultados obtenidos en investigaciones sobre dificultades en el aprendizaje de la función
lineal y función cuadrática, algunas estrategias para la enseñanza de estas temáticas, y
finalmente se desarrollarán algunos conceptos relacionados con el Análisis Didáctico,
principalmente lo concerniente al análisis de contenido, análisis cognitivo y análisis de
instrucción.
Algunos investigadores han buscado en la historia de la Matemática lo relativo a la
construcción del concepto de función con la finalidad de lograr ideas que permitan superar
las dificultades que se presentan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de este tema. El
concepto pasó por diferentes etapas históricas, en las que se fueron definiendo elementos
matemáticos tales como: cantidad, variable y constante, que se integraron en la definición
de función que hoy en día se conoce (Guevara, 2011).
Aunando en lo anterior, Sastre, Rey y Boubée (2008), exponen que a lo largo de la
historia, surgen varios matemáticos con acercamientos a la definición conceptual de
función, algunos de ellos son:
a. Gregory (1638 - 1675) define función como una cantidad que se obtiene de otras
cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier
otra operación imaginable.
b. Leibniz (1646 - 1716) utilizó la palabra función para referirse a cualquier cantidad
que varía de un punto a otro de una curva, tal como la longitud de la tangente, de la
normal, de la subtangente y de la ordenada. Junto con Newton, contribuyeron
decisivamente al desarrollo del concepto de función, introduciendo el desarrollo de
función en una serie de potencias.
17
c. Euler (1707 – 1783) define función como una cantidad variable compuesta de
cualquier manera a partir de esa cantidad variable y de números o cantidades
constantes, clasificándolas en algebraicas y trascendentes, en univariadas y
multivariadas y en implícitas y explícitas. Al tratar de ampliar el concepto de
función distingue dos clases: las continuas y las discontinuas.
d. Cantor (1845 - 1918) produce una nueva evolución del concepto de función, como
una correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre
conjuntos numéricos o no numéricos.
e. Caratherdory (1917) define función como una regla de correspondencia desde un
conjunto en los números reales.
f. El grupo Bourbaki de 1939 definió función como una correspondencia entre dos
conjuntos: Sean E y F dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación
entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F , se llama
relación funcional en y , si para todo x en E , existe un único y en F el cual está
en la relación dada con x . Damos el nombre de función a la operación que, de esta
forma, asocia cada elemento x en E , con el elemento y en F que está en relación
con x , se dice que y es el valor de la función en el elemento , y se dice que la
función está definida por la relación dada. Dos relaciones funcionales equivalentes
determinan la misma función.
Sin embargo, alrededor de 3700 años atrás ya se trabaja con objetos matemáticos
que llevaban de forma implícita el concepto de función, y hasta 300 años después se obtuvo
la formación y el desarrollo del concepto como se conoce hoy (Sastre, Rey y Boubée,
2008); en el que, se define una función f de A en B , donde A y B , son conjuntos, tal que
para todo elemento a en A , existe un elemento b en B , con ,a b en f y si ,a b y
,a b son elementos de f , entonces b b (Ugalde, 2014).
Al mismo tiempo, este recorrido histórico deja ver que las bases para la
construcción de este concepto están fundamentadas en las nociones de variable,
A
x
18
dependencia, correspondencia, trasformación, que conllevan un importante componente
intuitivo (Quintero y Cadavid, 2009).
Por tanto para, la enseñanza de este tema, el docente debería considerar el recorrido
histórico, de 300 años aproximadamente, necesario para consolidar el concepto de función.
Sin embargo, en Costa Rica la enseñanza de este concepto en secundaria se organiza en un
periodo aproximado de una semana; tiempo esperado para que el estudiante domine por
completo dicha noción.
Partiendo de las premisas anteriores se pretende desarrollar un Material Didáctico
para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática, acorde a las
directrices curriculares vigentes, las cuales se abordan en los siguientes apartados.
2.1. El currículo preuniversitario de Matemática en Costa Rica
Históricamente, la Matemática en nuestro país es la asignatura que más fracaso
escolar presenta (MEP, 2012), debido a lo anterior y en busca de la superación de esta
situación, se propuso una reforma curricular en educación primaria y educación secundaria,
donde el principal cambio se dirige hacia la metodología de trabajo.
Esta reforma se concreta en el actual Programa de Estudios de Matemática para
primaria y secundaria del MEP, publicado en 2012, y con el cual se pretende que los
estudiantes valoren la aplicación de la Matemática en la vida real. Ruiz (2013) afirma que
este currículo asume como enfoque principal la construcción de capacidades cognitivas
superiores por medio de la resolución de problemas, con especial énfasis en los contextos
reales; por lo que se trata de una estrategia para la mediación pedagógica.
Además, el Programa de Estudios se sustenta en un conjunto de habilidades,
competencias, procesos, ejes disciplinares, actitudes y creencias; en los siguientes párrafos
describiremos como el MEP (2012) define estas nociones.
19
Primeramente clasifica las habilidades en: habilidades específicas y habilidades
generales, las primeras se relacionan con las capacidades que posee un estudiante para
comprender un conocimiento, concepto o procedimiento desarrollables a corto plazo y las
segundas corresponden a la generalización o combinación de las habilidades específicas.
Por otro lado, si los estudiantes desarrollan la capacidad para aplicar conocimientos
y habilidades, para analizar, razonar y comunicarse con eficacia cuando plantean, resuelven
e interpretan problemas relacionados con distintas situaciones en forma continua, se habla
de una competencia.
Adicionalmente, el desarrollo de los procesos de razonamiento y análisis
mencionados anteriormente, sugieren ir más allá de los típicos ejercicios mecánicos que
tienden a utilizarse en las clases de Matemática, la importancia de esto radica en que
autores como Argudín (2005), citado por García y Torres (2014) mencionan que en el
campo de la Educación, las competencias que permiten saber pensar, saber desempeñar,
saber interpretar, saber actuar en diferentes escenarios, aportan en gran medida en el
desarrollo integral del estudiante.
De forma complementaria, se presentan los procesos matemáticos, los cuales, se
entienden como aquellas actividades que realizan las personas en las distintas áreas
Matemática, y se subdividen en cinco categorías básicas (MEP, 2012):
a. Razonar y argumentar. Se trata de actividades mentales que aparecen
transversalmente en todas las áreas del plan de estudios y que desencadenan formas
típicas del pensamiento matemático: deducción, inducción, comparación analítica,
generalización, justificaciones, pruebas, uso de ejemplos y contraejemplos.
b. Plantear y resolver problemas. Se refiere al planteamiento de problemas y el diseño
de estrategias para resolverlos. Aquí se dará un lugar privilegiado a los problemas
en contextos reales.
c. Comunicar. Es la expresión y comunicación oral, visual o escrita de ideas,
resultados y argumentos matemáticos al docente o a los otros estudiantes.
20
d. Conectar. Este proceso transversal pretende el entrenamiento estudiantil en primer
lugar en la obtención de relaciones entre las diferentes áreas Matemática, lo cual se
deriva de las características centrales de los quehaceres matemáticos: el carácter
integrado de los mismos.
e. Representar. Pretende fomentar el reconocimiento, interpretación y manipulación
de representaciones múltiples que poseen las nociones Matemática (gráficas,
numéricas, visuales, simbólicas, tabulares).
Otro elemento del Programa de Estudios corresponden a los ejes disciplinares, con
los cuales se busca responder a las debilidades existentes y posicionar la Educación
Matemática que se desarrolla en el país con estándares internacionales. El MEP (2012),
define cinco ejes disciplinares, los cuales son: la resolución de problemas como estrategia
metodológica principal, la contextualización activa como un componente pedagógico
especial, el uso inteligente y visionario de tecnologías digitales, la potenciación de actitudes
y creencias positivas en torno a la Matemática y el uso de la Historia de la Matemática.
La resolución de problemas tiene dos propósitos centrales en el currículo,
primeramente se enfatizan los medios, es decir las estrategias, heurística y métodos que
requiere la solución de un problema, y en segundo lugar se plantea la acción de aula que
permita generar aprendizajes matemáticos en un contexto específico, promoviendo así la
realización de los procesos matemáticos.
Para el MEP (2012) un problema corresponde a un planteamiento o tarea que
promueve en el estudiante el pensamiento de ideas Matemática mediante la utilización de
conceptos y métodos matemáticos. Gaulin (2001) agrega que un problema involucra
situaciones donde hay que reflexionar, buscar e investigar para lograr darle respuesta a la
situación planteada.
En cuanto a las técnicas generales o métodos para resolver problemas, el MEP
(2012) señala una guía de cuatro pasos. El primer paso consiste en entender el problema, es
decir tener claro lo que trata el problema antes de empezar a resolverlo, en el segundo paso
21
se encuentra el diseño, considerando varias formas para resolver el problema y seleccionar
un método específico para hacerlo, luego en el tercer paso controlar y monitorear el proceso
y decidir cuándo abandonar algún camino que no resulte exitoso, y por último en el cuarto
paso revisar y comprobar el proceso de resolución y evaluar la respuesta obtenida.
Este método guarda una gran similitud con los procedimientos propuestos por
George Pólya para la resolución de problemas: el primer paso consiste en comprender el
problema, es decir, ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?
para posteriormente concebir un plan, el cual debe relacionarse con problemas semejantes,
una vez establecido el plan debe ser ejecutado y comprobar cada uno de los pasos y
verificar que estén correctos (Alfaro, 2006).
En cuanto a la contextualización activa, el MEP (2012) la enmarca dentro de la
modelización, de tal forma que se trabajen problemas en contextos reales que promuevan la
construcción o uso de modelos; puede ser un diagrama con flechas, un manipulable, una
tabla o una gráfica. Para el diseño de los problemas se puede utilizar información
proveniente de la prensa, escuela, comunidad, clase, internet o de los mismos “problemas”
tradicionales que aparecen en muchos libros de texto.
Blomhøj (2004), citado por Mora y Ortiz (2015), afirma que la modelización
Matemática puede ser vista como una práctica de enseñanza y aprendizaje que coloca la
relación entre el mundo real y la Matemática en el centro de la enseñanza, lo que es
relevante para cualquier nivel de enseñanza, ya que motiva el proceso de aprendizaje y
ayuda al estudiante a establecer raíces cognitivas sobre las cuáles construir los conceptos
matemáticos.
Por su parte el MEP (2012) propone una guía de seis pasos para abordar la
modelización: (1) describir o determinar la situación de la realidad que debe ser
modelizada, (2) seleccionar la información que permite obtener una posible representación
Matemática, (3) traducir la información sistematizada en el paso anterior en un modelo
matemático que represente lo que ocurre en la realidad, (4) utilizar los conocimientos
22
matemáticos previos para poder encontrar la solución o soluciones del modelo planteado en
el paso anterior, (5) analizar los resultados y conclusiones considerando los conocimientos
previos que se tienen del problema, y (6) verificar a la luz de los resultados matemáticos la
validez del modelo y el poder predictivo que dicho modelo tiene sobre el problema original.
Blomhøj (2004) también plantea una propuesta para modelizar estructurada en seis
pasos: formulación del problema, sistematización, traducción de esos objetos y relaciones
al lenguaje matemático, uso de métodos matemáticos, interpretación de los resultados y
evaluación de la validez del modelo; muy similar a la propuesta ministerial.
En la propuesta ministerial se señala que estos recursos son instrumentos de
construcción y de experiencias geométricas, de análisis de datos, modelación y simulación,
cálculo algebraico, entre otras. Estas tecnologías pueden ser un poderoso aliado para
potenciar el pensamiento matemático, y es mediante la resolución de problemas en
contextos reales donde pueden aportar sus beneficios de la mejor manera, esto es en
contextos de aprendizajes que fortalezcan las habilidades y capacidades Matemática (MEP,
2012).
Es necesario mencionar que el uso de recursos tecnológicos se ha convertido en una
tendencia en la Educación Matemática, esto debido al constante cambio de la sociedad
actual, lo que provoca que en las aulas no pase desapercibido, de este modo Guzmán (2001)
afirma que la aparición de herramientas como la calculadora y las computadoras están
comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar la Educación Matemática,
desde la primaria hasta la educación universitaria, aprovechándose al máximo tales
instrumentos.
Así mismo en el aprendizaje, la motivación, el interés y las dimensiones afectivas
juegan un papel importante, por lo que el MEP (2012) se posiciona con respecto a las
actitudes y creencias, con una visión integral y humanista sobre la enseñanza y aprendizaje
de la Matemática, pues considera que no se pueden generar actitudes y creencias positivas
hacia estos procesos si el programa de estudios no las incorpora de forma explícita.
23
Chaves, Alpízar y Alfaro (2016) exponen que, las principales actitudes y creencias
que se pretenden desarrollar en los estudiantes con este programa son: perseverancia,
confianza, participación activa y colaborativa, autoestima, respeto, aprecio y disfrute de la
Matemática.
El último eje disciplinar que mencionamos es la Historia de la Matemática. Para el
MEP (2012) este eje permite romper con la concepción de que la Matemática es una
colección de axiomas, teoremas, y pruebas, ya que la historia coloca los objetos
matemáticos en contextos socioculturales y apunta a una visión humanista de la disciplina;
fortalecer esta aproximación, contribuye a una formación en concordancia con los fines de
la educación costarricense.
González (2004) afirma que si el docente conoce y comprende esta historia podrá
identificar las dificultades de los contenidos impartidos, de tal manera que manifieste la
actitud adecuada al momento de seleccionar o diseñar las actividades y recursos que
faciliten la introducción de los nuevos conceptos.
Todo lo descrito anteriormente pretende brindar una visión más amplia y clara de
los fundamentos del Programa de Estudios de Matemática del MEP, destacando los
elementos que se deben tomar en cuenta para elaborar un material didáctico,
particularmente se han descrito los ejes disciplinares señalados en la propuesta ministerial,
con el propósito de establecer un referente teórico que encamine su uso al momento de
diseñar la propuesta metodológica que se propone en esta investigación.
De igual importancia que lo mencionado anteriormente, es conocer la estrategias
metodológicas que sugiere el MEP para desarrollar los tópicos en las clases, por lo que, a
continuación se describe la forma en que se deben abordar las clases y los propósitos del
área de Relaciones y Álgebra, con el objetivo de incluir actividades que versen sobre los
mismos.
24
2.1.1 Pasos para abordar una lección de Matemática
El Programa de Estudio de Matemática del MEP propone una serie de pasos
generales en cuanto al abordaje de una lección de Matemática: al iniciar la clase se debe
proponer un problema, el cual debe consistir en un desafío o actividad para provocar la
indagación; seguidamente se debe brindar un espacio para el trabajo estudiantil
independiente, de tal forma que el estudiante realice un esfuerzo personal por interpretar los
datos que brinda el problema y plantearse sus propias estrategias para resolverlo; una vez
concluido ese espacio el docente debe motivar la creación de grupos de trabajo en la clase
para que los estudiantes comenten los procedimientos que utilizaron y compartan entre
ellos las soluciones que obtuvieron, finalmente se da la clausura o cierre de la clase donde
el docente detalla los puntos más importantes de la actividad, y muestra las diferentes
interpretaciones que puedan surgir en este tipo de análisis, para luego justificar la
escogencia de una interpretación como válida (MEP, 2012).
A manera de ejemplo, se presenta el siguiente problema para el tema de función
lineal, el cual se propone en el Programa de Estudios de Matemática (MEP, 2012, p. 410), y
con base en la propuesta ministerial se expone una posible actividad o desarrollo de clase.
La empresa “Pura Vida S. A.” produce juegos de mesa que promueven la
conservación del medio ambiente. Dado que el costo de producir cada juego fue de
₡1250 y se hizo una inversión inicial de ₡3 500 000, se proyecta que el precio de
venta para cada juego sea de ₡2750.
(1) Determine la expresión algebraica que brinda la utilidad “U” que genera la
empresa en función de la cantidad de artículos producidos.
(2) Grafique dicha relación en un sistema de ejes cartesianos.
(3) Determine cuántos artículos es necesario vender para que la empresa
empiece a generar ganancias.
En primera instancia se pretende que los estudiantes calculen la utilidad, entendida
como la diferencia de los ingresos y los gastos, se recomienda hacer subgrupos de máximo
4 estudiantes.
25
Los estudiantes inician calculando los ingresos por la venta y el costo de fabricación
de solo un juego de mesa tomando en cuenta los 3 500 000 de colones, así sucesivamente
con dos, tres y cuatro juegos, hasta lograr descubrir los modelos lineales los cuales son para
los gastos de donde x representa la cantidad de juegos
fabricados, para los ingresos sería el modelo , para el cálculo de la utilidad
sería la diferencia de los modelos encontrados
Los estudiantes tienen que generar alguna estrategia que se acerque al modelo de la
utilidad, después de encontrar la posible solución deben compartir el trabajo que hicieron
con sus compañeros, pues en este momento surgen diversidad de estrategias que podrían
resolver el problema.
Para la representación gráfica se podría utilizar un software que permita visualizar
la relación que existe entre la cantidad de juegos producidos y la utilidad; así determinarían
visualmente a partir de qué instante se empieza a obtener ganancias. Otra forma en la que
se podría determinar la cantidad de juegos producidos que generan una utilidad,
corresponde a aproximar la solución de la ecuación igualándola a cero, o también
calculando la preimagen de cero, ya dicho conocimiento es previo.
Es sumamente enriquecedor iniciar con la resolución de un problema, pues
intervienen muchos aspectos en la propuesta de la solución de este, además los estudiantes
están utilizando el concepto de función lineal a partir de su conocimiento previo.
2.1.2 Propósitos de la enseñanza en el área de Relaciones y Álgebra
Durante el ciclo diversificado (décimo y undécimo año) “se formalizará el concepto
de función que ha sido trabajado desde la enseñanza primaria como relación entre
variables” (MEP, 2012, p.405).
( ) 1250 3500000E x x
( ) 2750I x x
( ) ( ) ( )U x I x E x
( ) 2750 1250 3500000U x x x
( ) 1500 3500000U x x
26
En este ciclo se espera que el estudiante desarrolle habilidades para interpretar,
representar y resolver problemas, utilizando el lenguaje funcional en sus distintas
representaciones con el fin de explorar y modelar situaciones del contexto, por lo que el
MEP (2012) plantea las siguientes habilidades generales para el área de Relaciones y
Álgebra.
2.1.3 Habilidades generales en el área de Relaciones y Álgebra
Las habilidades generales que deberá tener cada estudiante en Relaciones y Álgebra
al finalizar el ciclo diversificado son (MEP, 2012, p. 405):
Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar
dominio y rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones.
Aplicar el concepto de función en diversas situaciones.
Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y
trascendentes.
Plantear y resolver problemas a partir de una situación dada.
Determinar el modelo matemático que se adapta mejor a una situación dada.
De la misma forma el MEP (2012) señala que, dentro de los tópicos de la función
lineal y la función cuadrática el estudiante de décimo año debe adquirir ciertas habilidades
específicas (véase el anexo 1), de modo que, para esta investigación estas habilidades
permiten enmarcar el contenido matemático del Material Didáctico dentro de las
expectativas de aprendizaje que se plantean en el análisis cognitivo. Es importante
mencionar que tanto las habilidades generales como las específicas determinan la base
competencial que se usa en esta investigación para diseñar el Material Didáctico.
Hasta el momento se ha detallado que el concepto de función llevó muchos años
para desarrollarse y que involucró el esfuerzo de varios matemáticos; lo que nos lleva a
prestar particular interés en la forma en cómo debería enseñarse este concepto. Además se
describieron los fundamentos del currículo de Matemática de Costa Rica, en términos de
los propósitos y las habilidades relacionadas con el área de relaciones y álgebra, así como el
abordaje que se le debe dar a los temas correspondientes a esta área; lo cual es medular para
27
el desarrollo de un Material Didáctico enmarcado en esta temática porque delimita el
contenido matemático que se trabajará en esta investigación.
Del mismo modo se vuelve indispensable tener claridad sobre las estrategias
metodológicas utilizadas para la enseñanza de la Matemática, debido a que estas brindarán
los fundamentos teóricos para el desarrollo de las actividades propuestas en el Material
Didáctico. De esta forma presentamos el siguiente apartado.
2.2. Estrategias metodológicas para la enseñanza de la Matemática
Para el diseño del Material Didáctico se requiere tener un fundamento teórico sobre
las distintas estrategias metodológicas que se utilizan para la enseñanza de la Matemática,
estos fundamentos serán una guía de qué aspectos son los que deben considerarse al
momento de utilizar una estrategia y cuándo estamos en presencia de ella.
Para efectos de esta investigación se asume como estrategia metodológica, la
definición dada por autores como Romero (2009), Lozzada y Ruíz (2011) y Boude (2011)
para quienes, las estrategias metodológicas son aquellas actividades, procesos o
procedimientos secuenciados que han sido planificados por los docentes con el fin de
desarrollar, promover e incentivar el logro del aprendizaje en los estudiantes.
A partir de la definición anterior se puede decir que las estrategias metodológicas
están ligadas con la metodología de enseñanza, ya que son actividades diseñadas por el
docente con el objetivo de que el estudiante logre adquirir y apropiarse de los
conocimientos, además de considerar las necesidades e intereses de estos; es decir, aborda
todo el quehacer educativo.
Cabe mencionar que para efectos de esta investigación tomaremos en cuenta las
estrategias metodológicas relacionadas con: resolución de problemas, modelización,
recursos tecnológicos, historia de la Matemática y experimentación, debido a que son las
propuestas en el Programa de Estudios.
28
Gaulin (2001) señala que la resolución de problemas es una tendencia de la
Educación Matemática, que les permite a los estudiantes trabajar en equipos para descubrir
o resolver los problemas juntos. Por lo que se vuelve imprescindible conocer cómo se debe
organizar una clase utilizando la resolución de problemas.
Al respecto Guzmán (2001) menciona que la forma de presentación de un tema
matemático basado en el espíritu de la resolución de problemas debería proceder más o
menos del siguiente modo: propuesta de la situación problema basada en la historia,
aplicaciones, modelos, juegos, entre otras, manipulación autónoma por los estudiantes,
familiarización con la situación y sus dificultades, elaboración de estrategias posibles,
ensayos diversos por los estudiantes, herramientas elaboradas a lo largo de la historia,
elección de estrategias, ataque y resolución de los problemas, reflexión sobre el proceso,
generalización y posibles transferencias de resultados, métodos o ideas.
Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad,
motivación contra aburrimiento, adquisición de procesos válidos contra rígidas rutinas
inmotivadas que se pierden en el olvido. Como se puede analizar, el método sugerido por el
MEP (2012) no dista por completo del propuesto por Guzmán (2001).
Por otro lado, existe en la actualidad una fuerte corriente en Educación Matemática
que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizaje de la Matemática no se realice
explorando las construcciones Matemática en sí mismas, en las diferentes formas en que
han cristalizado a lo largo de los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del
mundo real que les dieron y les siguen dando su motivación y vitalidad, y a esto es lo que
precisamente se le conoce como modelización (Guzmán 2001).
Para llevar a cabo este tipo de metodología es necesario recalcar que se requiere que
los docentes sean capaces de ayudar a los estudiantes a relacionar diferentes resultados en
un contexto particular. Según, Villa-Ochoa, Bustamante, Berrio, Osorio y Ocampo (2009)
“la modelización tiene fuertes vínculos con el estudio de situaciones y solución de los
problemas del mundo real (p. 1)”.
29
En el campo de la tecnología, Pontes (2005) y Gamboa (2007) destacan que los
software didácticos poseen características interesantes desde el punto de vista educativo,
como: la gran capacidad de almacenamiento, de representar modelos, de realizar
observaciones que son difíciles de visualizar en el papel, la obtención de conclusiones y la
interactividad con el usuario; por lo que esta herramienta representa una estrategia
metodológica para el mejoramiento y construcción del aprendizaje del conocimiento
matemático.
Por su parte, Alfonzo (2012) señala que en el mercado existen diferentes software
libres como Geogebra y Derive, y con licencia como el Calculus y Maple para
computadoras que asisten en la enseñanza de la Matemática, con los cuales se pueden
proponer secuencias didácticas de ejercicios para ser resueltos en el aula. De modo que el
uso de recursos tecnológicos en el aula, le permite al estudiante comprender, visualizar,
manipular e interactuar con el conocimiento matemático presente en los diferentes tópicos
vistos en clase de forma abstracta.
Otra de las estrategias que permite mejorar la enseñanza de la Matemática
corresponde al uso de la Historia; según Chaves y Salazar (2003) al incorporarse en el aula
se generan algunos beneficios educativos como: un cambio de actitud y de creencias hacia
esta disciplina, ayuda a explicar y superar dificultades y errores, incentiva la reflexión y
aumenta el interés y motivación de los estudiantes.
Protti (2003) señala algunos de los usos que se le pueden dar a la Historia de la
Matemática, entre ellos están: utilizarla como un pasaje de la historia a modo de anécdota,
introducir un concepto a través de la presentación de un problema y el análisis de cómo se
resolvió históricamente, y recorrer el desarrollo histórico de un área de la Matemática.
Por último, se encuentra la experimentación, la cual permite el reconocimiento de
variables, el establecimiento de algún tipo de relación entre estas, la interrelación con otras
disciplinas y finalmente una aproximación al concepto de función construido por cada uno
30
de los estudiantes, sin la necesidad de ser impuesto con anterioridad (Villa-Ochoa et al.,
2009).
En palabras de Betancur (2013), el uso de la experimentación, es la realización de
actividades en ambiente de taller, donde el conocimiento se adquiere por descubrimiento y
asimilación propia (no por imposición), despertando curiosidad en torno al tema o
problema planteado. Además menciona que, en los procesos de enseñanza y aprendizaje
tiene un gran valor motivacional, pues los estudiantes disfrutan el proceso mientras logran
las actividades planteadas; como consecuencia aprendizaje con mayor significado.
En este apartado presentamos una serie de estrategias metodológicas que permiten
abordar cualquiera de los tópicos del Programa de Estudios, a continuación
profundizaremos en aquellas que son específicas a los temas referentes a la función lineal y
la función cuadrática.
2.2.1 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función lineal
Para la enseñanza de la función lineal en secundaria varios autores proponen
diversas estrategias metodológicas, entre ellas se mencionan las siguientes:
Machiunas (2005) desarrolla una actividad relacionada con el diseño de juegos, en la
que propone el juego denominado "memotest"; este consiste en localizar pares de fichas
idénticas (véase figura 1). Se propone, por ejemplo para funciones lineales, tomar como
fichas "iguales" las que correspondan a dos representaciones de la misma función, por
ejemplo la representación gráfica y la algebraica. La finalidad de esta decisión didáctica es
reconocer los distintos tipos de representación de una función lineal: algebraica, gráfica y
tabular. Las fichas fueron elaboradas por los estudiantes bajo algunas instrucciones
generales dadas por la docente a cargo.
31
Figura 1. Fichas idénticas
Figura 1. Fichas idénticas propuestas por los estudiantes para el juego “memotest”.
Adaptado de Machiunas (2005).
Por otra parte, el uso de la tecnología juega un papel importante en los procesos de
enseñanza y aprendizaje, la creciente etapa tecnológica nos obliga a que como docentes
estemos al tanto de estos avances, y así se ve reflejado en las estrategias metodológicas
sugeridas por el MEP. A continuación, veremos una serie de usos de la tecnología
relacionados con la enseñanza de la función lineal.
En primera instancia, Alfonzo (2012) indica que los graficadores didácticos
permiten la adquisición del concepto de función de forma provechosa, y a su vez estimula
la creatividad en el estudiantado, ya que sirve como guía para el trabajo independiente.
Además, resultan ser versátiles, de fácil uso, y requieren un conocimiento mínimo sobre el
uso del computador.
Detallando propiamente en qué graficadores podrían utilizarse, López et al. (2005)
proponen el uso del software Advanced Grapher para la enseñanza y aprendizaje de la
función lineal; esta aplicación les permite a los estudiantes trazar diferentes tipos de
gráficas, de una amplia variedad de ecuaciones y tablas, además se puede visualizar como
varía la gráfica al realizar cambios en sus parámetros, de modo que los conceptos
matemáticos pasan de un estado abstracto a una situación que puede ser visualizada.
En su trabajo López, et. al (2005) estudiaron y graficaron diversas expresiones de la
forma y ax b con el software Advanced Grapher, considerando las variantes del
parámetro a con valores enteros, fraccionarios y decimales, mayores, menores o iguales a
cero; mediante esta actividad los estudiantes lograron identificar la pendiente de la recta e
32
intersecciones con los ejes coordenados, así como su ubicación en las gráficas, y finalmente
relacionaron la expresión algebraica de la función lineal y su correspondiente gráfica.
Recordemos que la combinación de los software didácticos con otras estrategias
como la resolución de problemas, constituyen un medio que mejora la enseñanza y
aprendizaje de este tema en particular.
En este sentido, el MEP (2012) propone en el Programa de Estudios una serie de
recomendaciones, entre ellas: comenzar implementando un problema, mencionar que la
función identidad es un caso particular de la función lineal, posteriormente en la etapa de
cierre se propone desarrollar los conceptos de pendiente de una recta, intersección con los
ejes coordenados, dominio, ceros, signo de la función, ámbito, inyectividad, crecimiento o
decrecimiento y establecer las conexiones con el problema y los elementos anteriores. A su
vez recomienda usar software matemáticos para conjeturar acerca de la influencia de los
parámetros en la representación gráfica de y ax b .
En investigaciones recientes relacionadas con metodología para la enseñanza de la
función lineal podemos destacar la investigación realizada por Roldán (2013) quien nos
puntualiza las siguientes cinco estrategias que se deben considerar al momento de abordar
esta temática
1. Más que desarrollar el proceso enseñanza - aprendizaje con definiciones formales
que contienen elementos no familiares para el estudiante es preferible iniciar por
aproximaciones que construyan nociones y elementos conceptuales que tengan el
papel dual de ser familiar al alumno y propendan por un desarrollo matemático
posterior.
2. Plantear tareas de paso de una a otra representación en diferentes sentidos y por
diferentes rutas sin privilegiar un único camino. Esas tareas deben ser planteadas en
contextos ricos de relaciones en las que los elementos de las funciones analizadas
cobren sentido y sean fáciles de comprender por el estudiante y estén lejos de
cualquier tipo de ejercicios rutinarios que no aporten al aprendizaje de la función.
,a b
33
3. Análisis de los efectos de cambio en los elementos de las gráficas de las funciones.
En la función lineal los elementos a considerar son la pendiente y las intersecciones,
y cómo estos de acuerdo al valor modifican la gráfica.
4. Modelación de situaciones del mundo real: al observar la evolución histórica del
concepto de función se observó que en gran medida uno de los motores de ese
desarrollo fue la ciencia y las necesidades originadas por ella.
5. La modelación se convierte en una herramienta poderosa para motivar el
aprendizaje de las funciones lineales, dado que a partir de contextos matemáticos,
análisis de situaciones cotidianas o practicas experimentales surge la necesidad de
relacionar variables, analizar correspondencias de datos, realizar generalizaciones,
predecir comportamientos, relacionar e interpretar representaciones, entre otros
procesos que aportan a la comprensión del concepto de función.
De esta manera, se han recopilado algunas estrategias metodológicas que han
trabajado o/y sugieren diversos investigadores en los últimos años y que a su vez van
acorde con la propuesta ministerial en relación con la enseñanza de la función lineal, estas
metodologías se tomarán en cuenta para la creación del Material Didáctico, ya que brindan
un soporte teórico y empírico a la investigación.
2.2.2 Estrategias metodológicas para la enseñanza de la función cuadrática
En cuanto a la enseñanza de la función cuadrática a nivel de secundaria, varios
autores proponen diversas estrategias metodológicas, las cuales se exponen a continuación:
Aránzazu (2013) expone para la enseñanza del concepto de función cuadrática una
secuencia de etapas, primero se definen todos los aspectos que se van a enseñar, luego se
indagan los conocimientos previos del estudiante, posteriormente se plantean las
situaciones problema teniendo en cuenta el conocimiento previo de los estudiantes y la
introducción del nuevo conocimiento, y por último, se da la presentación del tema con
nuevas situaciones problema para la evaluación del aprendizaje; mediante estas etapas los
34
estudiantes aprenden qué es una función cuadrática y cómo obtener otras representaciones
algebraicas equivalentes a partir de su expresión polinómica.
Altman, Comparatore y Kurzrok (2006) proponen una secuencia de actividades
basadas en la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau, la cual según Chavarría
(2006) es un proceso donde el docente facilita el medio en el cual el estudiante construye su
conocimiento. En la propuesta de los autores, la teoría de Brousseau le permite al estudiante
movilizar los conceptos principales de la función cuadrática, como el eje de simetría, la
existencia de máximo o mínimo, la variación no lineal, y la resolución de ecuaciones; a
partir de lo anterior se inicia el estudio completo de la función cuadrática a través de la
modelización, proponiéndoles a los estudiantes determinar el área máxima y mínima de un
cuadrado al variar la posición de sus vértices, para posteriormente establecer la relación
entre dichas áreas.
Por otra parte, Hupaya (2012) menciona que para trabajar el concepto de función
cuadrática, la hoja de cálculo Excel ofrece posibilidades de cambiar valores en las celdas,
modificar parámetros y visualizar los cambios ocurridos en la representación gráfica de la
función, de modo que permite el estudio de las distintas variaciones de la parábola en
relación con los cambios que experimentan los coeficientes, además señala que las hojas de
cálculo están disponibles en cualquier computadora, lo que permite el fácil acceso a esta
herramienta. En consecuencia, propone una ficha de trabajo en Excel, la cual se enfocó en
reconocer los diversos registros para representar la función cuadrática, ya sea en forma
gráfica, tabular o algebraica, y en hallar la expresión algebraica de la función a partir de su
representación gráfica.
Relacionado con el uso de la tecnología, la propuesta de Vílchez y Ulate (2006)
parte de la creación de una página web llamada “funciones cuadráticas una experiencia de
desarrollo, implementación y evaluación”, dicha página tiene un enfoque pedagógico tanto
constructivista como conductista, y se plantea en ella aspectos teóricos y laboratorios de
descubrimiento en los se utilizan gráficas dinámicas, para que el estudiante construya su
35
propio conocimiento, conjeture y conceptualice visualizando cambios y comportamientos
en las representaciones gráficas.
Investigaciones recientes como la realizada por Campos (2014) mencionan acciones
concretas que deben tomarse en cuenta al momento de diseñar actividades para la
enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática, a continuación se resumen algunas de
ellas
1. Es recomendable el diseño de actividades que incorporen la mayoría de las etapas
del proceso de modelación.
2. Se debe innovar más en la articulación entre libros de texto con otros recursos
didácticos, como es el caso de la tecnología computacional
3. La modelación puede generar un camino opcional para que el docente de
Matemática fortalezca su trabajo en el aula de clase y potencie la promoción del
pensamiento variacional, así como los estilos de aprendizaje autónomo,
colaborativo y significativo, entre otros.
4. Debe existir exploración y manipulación, de lo que está en el entorno estudiantil. En
este caso, las situaciones de movimiento ofrecen una la riqueza conceptual para la
comprensión de la función cuadrática.
En relación con las estrategias metodológicas propuestas por el MEP (2012) para la
enseñanza del tema de función cuadrática, se tiene que: debe precisarse las propiedades de
la función mediante un estudio sistemático de la representación gráfica que incluya el punto
de intersección con los ejes coordenados, los intervalos de crecimiento o decrecimiento, la
concavidad, el intervalo donde la función es positiva o negativa y su conexión con la
solución de desigualdades cuadráticas, el ámbito, los intervalos máximos donde la función
es inyectiva, además se debe analizar la influencia de los parámetros a, b y c en el tipo de
gráfica, mediante la completación de cuadrados y utilizar transformaciones en el plano
como homotecias y traslaciones; los puntos anteriores deben verse en conjunto y no por
separado.
36
Así mismo, se recomienda usar software matemáticos que faciliten la observación de
las características descritas para y para aproximar soluciones de ecuaciones
de segundo grado.
En resumen, algunas estrategias que se deben utilizar al momento de enseñar la
función lineal y cuadrática giran en torno al uso de herramientas tecnológicas, la resolución
de problemas, y sobre todo debe permear en una traducción constante entre las distintas
representaciones de las funciones; además, se debe propiciar el uso de situaciones más
tangibles para los estudiantes, y no tantos ejercicios que requieren de formalismos
excesivos y de una Matemática que se muestra poco útil.
Por otro lado, las estrategias metodológicas expuestas en este apartado, tanto de la
función lineal como de la función cuadrática, permiten ampliar el panorama en cuanto a las
estrategias metodológicas utilizadas para el mejoramiento del conocimiento matemático
vinculado con ellas, además brindan un referente de cómo podrían utilizarse al momento de
diseñar las actividades de esta investigación.
2.3. Dificultades y errores en el aprendizaje de la Matemática
En esta investigación interesa conocer sobre las dificultades y errores que presentan
los estudiantes al momento de enfrentarse a ejercicios y problemas relacionados con la
función lineal y la función cuadrática, debido a que estas brindarán un referente al
momento de diseñar las actividades del Material Didáctico. Se pretende elaborar
actividades que expongan a los estudiantes ante las dificultades y errores halladas en
investigaciones previas y las que se detecten a través de esta investigación, para trabajar en
la superación de ellas; por lo que, es relevante conocer qué se entiende por dificultad y
error en Matemática, y específicamente saber cuáles son las dificultades y errores más
comunes en el caso de las funciones mencionadas.
Al respecto Socas (1997) menciona que en el aprendizaje de la Matemática, los
alumnos, presentan muchas dificultades y éstas son de naturalezas distintas. Algunas de
ellas tienen origen en el macrosistema educativo, pero en general, su procedencia se
2y ax bx c
37
concreta en el microsistema educativo: alumno, materia, profesor e institución escolar. Así
mismo, señala que las dificultades pueden abordarse desde varias perspectivas, entre ellas:
el desarrollo cognitivo de los alumnos, el currículo de Matemática y los métodos de
enseñanza.
Por su parte, González y Gómez (2013) mencionan que el término dificultad en
Matemática corresponde a una circunstancia que impide o entorpece la consecución de los
objetivos de aprendizaje previstos. Adicionalmente, comentan que cuando se manifiesta
visiblemente una dificultad se estará en presencia del error, y que este es observable
directamente en las actuaciones de los escolares, en sus respuestas equivocadas a las
cuestiones y en tareas concretas que les demande el profesor.
Además, estas dificultades se conectan y refuerzan en redes complejas que se
concretan en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en forma
de errores y que el error va a tener procedencias diferentes, pero en todo caso va a ser
considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no
solamente como consecuencia de una falta específica de conocimiento o de un despiste
(Socas, 1997).
De esta manera, entenderemos por dificultad, cualquier situación cognitiva que
enfrente el estudiante, que le impide o afecte en forma negativa sus procesos de resolución
de ejercicios y problemas. Además, se entenderá por error, aquella situación observable
donde el estudiante brinde una respuesta equivocada.
A continuación se presenta una clasificación general dada por Radatz (1980)
mencionado por Abrate, Pochulu y Vargas (2006), de los errores más comunes en
Matemática:
1. Errores derivados del mal uso de los símbolos y términos matemáticos.
2. Errores provenientes de la producción de representaciones icónicas inadecuadas
de situaciones Matemática. Aquí tenemos por ejemplo situaciones en las que los
38
estudiantes en el caso particular de un triángulo rectángulo logran identificar los
catetos e hipotenusa, pero al rotar la figura no lo logran hacer.
3. Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos y
procedimientos para la realización de una tarea Matemática. Estas deficiencias
incluyen la ignorancia de los algoritmos, conocimiento inadecuado de hechos
básicos, procedimientos incorrectos en la aplicación de técnicas y dominio
insuficiente de símbolos y conceptos necesarios.
4. Errores que en general son causados por la incapacidad del pensamiento para ser
flexible, es decir, para adaptarse a situaciones nuevas (asociaciones incorrectas o
rigidez del pensamiento). Dentro de esta clase de errores se tienen:
De asociación: Razonamientos o asociaciones incorrectas entre
elementos singulares. Por ejemplo decir que, 2 2a b a b en
asociación con el hecho de que 2 2a b a b .
De interferencia: Cuando los conceptos u operaciones interfieren
unos con otros. Por ejemplo la multiplicación de dos números
negativos interfiere en la resolución de una resta: 5 3 8 lleva a
5 3 8 .
5. Frecuentemente los estudiantes consideran al registro tabular como una
herramienta intermedia que permite localizar puntos en un plano, a partir de
una representación algebraica, y no como una representación por sí misma.
6. Transferencias de una representación a otra como traducciones, es decir,
pasar de un lenguaje verbal a uno gráfico o a uno algebraico.
7. Interpretación de una gráfica como la acción por la que se da sentido a la
misma o a una parte de ella, y es aquí donde se encuentran un gran número
de equivocaciones en los alumnos.
Los errores anteriores muestran las debilidades que poseen los estudiantes en cuanto
al lenguaje, términos, conceptos y procedimientos matemáticos. Particularmente para el
tema de funciones se observa que los estudiantes no conciben interpretar gráficamente una
función ni transformarla a diferentes representaciones, lo que interfiere directamente en el
proceso de enseñanza y aprendizaje para la función lineal y la función cuadrática, por lo
39
que en el diseño de las actividades del Material Didáctico se considerarán tales errores para
atender las dificultades asociadas a ellos, y favorecer el proceso de enseñanza y aprendizaje
de estos tópicos.
Como se mencionó anteriormente, en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
Matemática interactúan una gran variedad de dificultades que son potencialmente
generadoras de errores, que sin llegar a una categorización exhaustiva, Di BlasiRegner
(2003) mencionado por Abrate et al. (2006) las agrupan en las siguientes categorías:
Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos. Se refiere
propiamente al uso e interpretación adecuada de la simbología Matemática.
Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático. A nivel de la
educación preuniversitaria está justificado el no estudiar las pruebas formales de los
contenidos, pero eso no incluye el abandono sobre el pensamiento lógico. Este tipo de
dificultad está asociado propiamente con la capacidad de razonar y extraer algunas
conclusiones bajos ciertas reglas, es decir, la capacidad para seguir un argumento
lógico; esta incapacidad es una de las causas que genera mayor dificultad en el
aprendizaje de esta ciencia.
Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza. Relacionadas a los aspectos
didácticos que utiliza el docente en el aula, así como el contexto en el que se encuentra el
estudiante y el currículo escolar del mismo. Para Abrate et al. (2006):
“cuatro serían los elementos básicos a considerar como dificultades en el
currículo de Matemática: las habilidades necesarias para desarrollar capacidades
Matemática que definen la competencia de un alumno en esta ciencia, la necesidad
de contenidos anteriores, el nivel de abstracción requerido y la naturaleza lógica de
la Matemática escolar” (p. 33).
Dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los estudiantes. Este aspecto
responde a los conocimientos previos del estudiante, así como el desarrollo de
pensamiento abstracto que ha adquirido en años anteriores y sobre todo la posibilidad
de razonamiento de procesos matemático.
40
Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. Es frecuente que
a muchos estudiantes, incluyendo a algunos de los más capacitados, no les gusta la
Matemática y agregan que algunos de los aspectos que influyen en esta aversión son: la
naturaleza jerárquica del conocimiento matemático, la actitud de los profesores, estilos
de enseñanza, y las actitudes y creencias hacia la Matemática que les son transmitidas.
Muchas de las actitudes negativas están asociadas a la ansiedad y el miedo, es decir la
ansiedad por acabar una tarea, el miedo al fracaso, a la equivocación, entre otras,
suelen generar bloqueos de origen afectivo que repercuten en la actividad Matemática
de los alumnos.
Abrate, et al. (2006) complementan las categorías de las investigaciones anteriores,
añadiendo: Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales, que son aquellos que se
presentan cuando cada paso en la realización de la tarea es correcto, o responde a la lógica
interna del procedimiento esperado, pero el resultado final no es la solución debido a los
errores de cálculo que se presentaron en la ejecución de operaciones básicas, o acarreados
por la transferencia equivocada de símbolos y números involucrados en la situación. En
estas circunstancias si el alumno llevara a cabo un análisis retrospectivo advertiría la
presencia del error.
Como se puede notar, son diversas las dificultades presentes en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de la Matemática, una de ellas es la relacionada con los procesos
de enseñanza, por lo que con esta investigación, se espera contar con un material diverso en
estrategias didácticas que permita disminuir esas dificultades, además, nos concentraremos
en las dificultades asociadas a los objetos matemáticos y a los procesos de pensamiento
matemático.
Concentrándonos propiamente en las dificultades relacionadas con la temática de
funciones, Di BlasiRegner (2003) mencionado por Abrate, et al. (2006) considera que si
bien el concepto de función – en el sentido de dependencia entre variables – aparece en la
formación Matemática de los estudiantes desde muy temprana edad no es un concepto
sencillo.
41
Abrate et al. (2006) señalan que las principales dificultades cuando los estudiantes
trabajan las funciones se evidencian en:
1. La vinculación de diversos conceptos, tales como: dominio, imagen,
variable, dependencia, crecimiento, continuidad; los que generan por sí
mismos cierto grado de dificultad.
2. El manejo de las distintas representaciones de una función, tales como:
descripción verbal, diagramas de Venn, tablas, gráficas, fórmulas.
3. La interpretación de las gráficas.
Las dificultades anteriores están asociadas al concepto general de función, pero para
efectos de esta investigación es aún más relevante conocer las dificultades relacionadas
específicamente con la función lineal y la función cuadrática, por lo que a continuación se
expone un apartado correspondiente a estas.
2.3.1 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función lineal
Al estudiar la función lineal en secundaria, surgen en los estudiantes algunas
dificultades con los contenidos de esta temática.
Córdoba et al. (2013) señalan que al estudiar la función lineal, algunas de las
dificultades se ponen de manifiesto cuando:
1. se relaciona el parámetro pendiente y la inclinación de la recta.
2. el punto de partida en un ejercicio es una gráfica, es decir, sin contar con el
criterio de la función; a partir solo de la gráfica de la función, analizar la
monotonía, comprender la relación del parámetro b con la intersección del
eje y , y determinar el criterio de la recta.
3. se relaciona la representación algebraica y el esbozo de la gráfica, a
diferencia del punto anterior, en este punto los estudiantes conocían el
criterio de la función y a partir del mismo realizaban la representación
gráfica.
42
2.3.2 Dificultades relacionadas con la enseñanza de la función cuadrática
En cuanto al estudio de la función cuadrática, también los estudiantes presentan una
serie de dificultades cuando se enfrentan a los contenidos referentes a este tema.
Córdoba et al. (2013) señalan algunas de esas dificultades:
1. No relacionan el coeficiente del término lineal con la posición del eje de
simetría de la parábola. Este caso se refiere a que cuando los estudiantes
grafican una función cuadrática, sabiendo solo que 0, 0a b y 0c no
tienen claro que 0b da como resultado el eje de simetría sobre el eje y .
2. No aciertan al establecer el coeficiente del término cuadrático mediante la
información visual contenida en la gráfica.
3. Los problemas se revelan con mayor fuerza cuando el registro de partida es
la gráfica. Es decir, teniendo solo una parábola ubicada en el plano
cartesiano tienen dificultad al determinar su criterio.
De forma similar Huang, Li y An (2012) en una investigación relacionada con las
estrategias de enseñanza de la función cuadrática en China, determinaron, las siguientes
dificultades
1. Entendimiento limitado del concepto de función: los estudiantes únicamente
consideran la parte visible de la gráfica de una parábola aunque su dominio sea
infinito. Lo que los lleva a pensar que no existe intersección con el eje de las
ordenadas cuando este no se muestra en la representación gráfica.
2. Organización del currículo: En China se empieza estudiando la función cuadrática y
luego la función lineal y las ecuaciones cuadráticas. A pesar de que
tradicionalmente no se hace así, sino que se consideran las ecuaciones cuadráticas y
la función lineal como conocimientos previos. Lo que podría afectar el
entendimiento de las funciones cuadráticas.
43
Por ejemplo: Se le pide a un estudiante encontrar el punto mínimo de la
función 2( ) 3 9 3f x x x , él la simplifica dividiendo por tres y obtiene
2( ) 3 1f x x x completa cuadrados y halla el punto mínimo de ella, asumiendo
que es el mismo de la función dada originalmente. Esto se debe a que uso la misma
generalización de que cuando se resuelve la ecuación 23 9 3 0x x es
equivalente a resolver 2 3 1 0x x
3. Pocas variaciones de los parámetros: La función cuadrática 2( )f x ax bx c tiene
diferentes variaciones dependiendo de si b y c son o no cero. Huang, Li y An (2012)
mencionan que cuando el número de variaciones y ejemplos son limitados aparecen
errores como los siguientes:
a) Pensar que la función 2( )f x ax bx no tiene intersección con el eje y porque
no aparece c.
b) Si un estudiante estudia las funciones de la forma 2( )f x ax c se dará cuenta
que c regula el movimiento hacia arriba o hacia debajo de la función 2( )f x ax
pero también lo puede llevar a generalizar que hace lo mismo con
2( )f x ax bx c
4. No hay articulación entre las diferentes representaciones para resolver problemas:
En ocasiones un estudiante puede tener conocimientos sobre las funciones
cuadráticas, pero debido a las diferentes representaciones se le impide lograrlo. En
general, una función puede ser representada gráficamente, algebraicamente, con un
diagrama de Venn, en una tabla, por un conjunto de pares ordenados, o en palabras.
De las secciones anteriores, se puede evidenciar que los estudiantes, en general,
presentan dificultades en la articulación entre las distintas formas de representación
funcionales, con mayor tendencia cuando se realiza entre la representación gráfica y la
representación algebraica.
44
2.4. Material didáctico
Como parte de esta investigación se pretende elaborar un Material Didáctico para la
enseñanza de la función lineal y la función cuadrática, por lo que conviene definir qué se
entiende por material didáctico y a qué debe responder el mismo en el campo de enseñanza
y aprendizaje. A continuación se presenta una serie de definiciones para tal noción.
Para Carretero, Coriat y Nieto (1955), leídos en Flores, Lupiáñez, Berenguer, Marín
y Molina (2011), un material didáctico es un material diseñado por el docente con fines
educativos.
Ampliando la definición anterior, Fragoso (2012) señala que los materiales
didácticos son instrumentos que los profesores emplean para que los estudiantes interactúen
con los contenidos de aprendizaje, además que guían, estimulan y favorecen el
pensamiento, la imaginación y la capacidad de abstracción.
Siguiendo con una noción similar, García (2009) lo define como un conjunto
integrado y organizado de elementos básicos que conforman el proceso de enseñanza y
aprendizaje, como: objetivos, contenidos, estrategias, actividades, evaluación, motivación;
que le permiten a los estudiantes apreciar el resultado de su estudio o trabajo.
De esta manera, entenderemos como material didáctico al conjunto de estrategias y
actividades diseñadas por el docente para el desarrollo de las habilidades generales y
específicas presentes en el Programa de Estudios de Matemática del MEP en concordancia
con los conocimientos de la función lineal y la función cuadrática, con el fin de lograr
aprendizaje en los estudiantes.
Además, a continuación, se presentan una serie de criterios o elementos de diseño
propuestos por García (2009) como sugerencia de contenidos de un material didáctico.
El título. Debe ofrecer cierta información acerca de los contenidos que en ella se
van a trabajar
45
Introducción u orientaciones para el estudio. Este apartado debe ser claro, debe
describir todos aquellos detalles que sean necesarios para su comprensión y aplicación,
además se tiene que recalcar la importancia de la unidad como un medio del aprendizaje
del estudiante, es decir se debe realizar una breve descripción de la metodología que se
pretende utilizar en las actividades.
Los objetivos. Son las propuestas o metas que se desean que logren los
estudiantes. Para esta investigación los objetivos didácticos corresponden a las
habilidades específicas que señala el MEP para el desarrollo de los conocimientos de la
función lineal y la función cuadrática en su Programa de Estudios.
Los contenidos. Corresponden a los conocimientos precisos que se ajustan a la
formulación los objetivos, ya que estos son propios del área de estudio.
Actividades de enseñanza y aprendizaje. Son tareas para ejercitar, guiar, repasar,
asimilar nuevas ideas y afianzar los conocimientos.
Actividades de evaluación. Permiten comprobar al estudiante si domina o no los
conocimientos. Mediante actividades de autoevaluación se le da la posibilidad al
estudiante de comprobar el alcance o no las habilidades planteadas en el material
didáctico.
Soluciones de las actividades de evaluación. Son las respuestas comentadas con
el fin de insertar claves que permitan comprobar los aciertos y errores del estudiante.
Después de haber definido los aspectos que debe contener un material didáctico, es
importante recalcar que dicha estructura será la base para la construcción y elaboración del
que resultará de esta investigación. Al mismo tiempo es necesario aclarar que dicho
Material será planificado para su utilización por los docentes de Matemática de secundaria
que desarrollen en sus clases los contenidos de las funciones lineal y cuadrática, debido a
que estos docentes tendrán a su disposición referentes teóricos, problemas contextualizados
y actividades relacionadas con estas temáticas.
También es indispensable que el Material Didáctico que se elaborará se encuentre
teóricamente fundamentando, para ello se recurrirá al Análisis Didáctico propuesto por
Rico (2013), dicha teoría se articula entorno a cinco subanálisis, y de ellos, en el siguiente
46
apartado se resumen los que se realizarán en esta investigación. Sin embargo, se aclara que
en esta investigación no se hará un análisis exhaustivo de los mismas, únicamente se
tomarán en consideración aquellos elementos que fundamenten teóricamente la creación de
un material didáctico en las temáticas que interesan para este estudio.
2.5. Análisis didáctico
El análisis didáctico es un método de investigación propio de la Didáctica de la
Matemática, cuya finalidad radica en fundamentar, dirigir y sistematizar la planificación de
materiales didácticos que organizan y transmiten conocimientos matemáticos, así como la
puesta en práctica y la evaluación de los mismos (Rico y Fernández, 2013).
Para ello, este análisis trabaja de lo complejo a partes más simples, empleando un
sistema cíclico de cinco categorías: análisis conceptual, análisis de contenido, análisis
cognitivo, análisis de instrucción y análisis evaluativo. Contemplando que las primeras dos
categorías son una sola, ya que ambas proponen establecer qué conocimientos se
consideran dentro del currículo (Rico y Fernández, 2013).
Cabe mencionar que, las primeras categorías se centran en el diseño de un material
didáctico, mientras que la última se encarga de la implementación y evaluación de los
resultados obtenidos tras la aplicación del material diseñado previamente (Lupiáñez, 2013).
En el siguiente apartado se detallan cada uno de los organizadores de estos subanálisis.
2.5.1 Análisis de Contenido
Para Gómez (2002) con este análisis “…es posible explorar, profundizar y trabajar
con los diferentes y múltiples significados del conocimiento matemático escolar, para
efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje”
(p.252). Es decir, este análisis se centra en el estudio detallado del concepto matemático
que es objeto de planificación.
47
Además, Gómez (2007) añade que para el desarrollo del análisis de contenido el
profesor hace uso de tres organizadores del currículo: la estructura conceptual, los sistemas
de representación y el análisis fenomenológico, los cuales se definen como:
Estructura conceptual
Lupiáñez (2013) señala que, la estructura conceptual es aquella que “considera las
relaciones de los conceptos y procedimientos implicados en el contenido estudiado,
atendiendo tanto a la estructura Matemática de la que forman parte, como a las que
configuran tales conceptos y procedimientos” (p. 85).
Adicionalmente, tanto en el campo conceptual como en el campo procedimental se
establecen tres niveles de complejidad, los cuales se abordan a continuación.
Primeramente, el campo conceptual tiene que ver con los conceptos que estructuran
el contenido matemático, los cuales según Rico, Marín, Lupiáñez y Gómez (2008) se
clasifican en:
Hechos. Constituyen el nivel básico de complejidad, pues son las unidades
de información que sirven como registros de acontecimientos. Se distinguen cuatro
tipos de hechos: términos, notaciones, convenios y resultados (teoremas).
Conceptos. Determinan el nivel medio de complejidad, ya que corresponde a
la relación entre un grupo de hechos.
Estructuras. Definen el nivel superior de complejidad y corresponden a la
relación entre los conceptos, pues se destaca las conexiones y relaciones mutuas de
una familia de conceptos.
Por otra parte, según Lupiáñez (2009) el campo procedimental engloba todos los
procesos, modos de actuación o ejecución de las tareas Matemática, los cuales se clasifican
según su nivel de complejidad en:
48
Destrezas. Suponen el dominio de los hechos y de los procedimientos
usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas. Se ejecutan
sobre los hechos y se llevan a cabo por ejecución de una secuencia de reglas,
manipulación de símbolos o transformaciones gráficas.
Razonamientos. Suponen un conocimiento de los conceptos y de su
extensión, lo que permite el procesamiento secuenciado de ideas razonadas. Es la
capacidad de expresión y comunicación de los alumnos. Se ejecutan sobre los
conceptos. Se pueden clasificar como deductivos, inductivos, analógicos y
figurativos.
Estrategias. Son aquellos procedimientos que permiten obtener una
conclusión mediante el uso de las relaciones, conceptos y diversidad de sistemas
de representación. Se ejecutan sobre las estructuras.
De modo que, para comprender esta primera parte del análisis de contenido,
Cañadas y Gómez (2012) presentan una serie de preguntas a las que debe responder la
estructura conceptual:
a. ¿Cuáles son los conceptos que caracterizan el tema?
b. ¿Qué procedimientos están implicados en el tema?
c. ¿Cómo se relacionan esos conceptos entre sí?
d. ¿Cómo se relacionan esos procedimientos entre sí?
e. ¿Cómo se relacionan esos conceptos y esos procedimientos?
En el caso particular de la función lineal y la función cuadrática, en esta propuesta,
una parte de la estructura conceptual está formada por los conocimientos matemáticos del
Programa de Estudios de Matemática del MEP. Por lo que, en una tabla que forma parte del
Anexo 1, se toma cada habilidad propuesta por el MEP para las funciones en cuestión y se
desglosan los conocimientos y procedimientos que se deben tener presente para su
desarrollo.
49
Sistemas de representación
Castro y Castro (1997), leídos en González, Castro y Castro (2016), afirman que las
representaciones son las notaciones simbólicas o gráficas mediante las que se expresan los
conceptos, los procedimientos matemáticos, las características y las propiedades más
relevantes.
Del mismo modo, Lupiáñez (2013) señala que los sistemas de representación
“consideran las diferentes maneras en las que se puede representar el contenido y sus
relaciones con otros conceptos y procedimientos” (p. 85).
Adicionalmente, Gómez (2007) clasifica los sistemas de representación de la
siguiente manera:
Representación simbólica. Representaciones que utilizan símbolos del
abecedario y símbolos matemáticos para expresar los distintos tipos de
conocimiento conceptual o procedimental.
Representaciones algebraicas. Aplicaciones de las propiedades algebraicas.
Representación verbal. Expresión de un contenido a partir de convenios de
lectura y lenguaje desde la expresión oral y escrita.
Representación gráfica. Expresa un contenido matemático mediante la
creación de un dibujo, formado por líneas, símbolos y superficies que permite
observar diferentes propiedades de dicho contenido.
Representación tabular. Permite visualizar la relación entre las variables
involucradas.
Para el caso de interés en este estudio, los sistemas de representación, para la
función lineal y función cuadrática, están conformados principalmente por las distintas
50
representaciones de una función, ya sea algebraica, gráfica o tabular; las cuales permiten
expresar, de forma diferente, características de estas funciones.
Análisis fenomenológico
Lupiáñez (2013) señala que el análisis fenomenológico considera los fenómenos, ya
sean contextos, situaciones o problemas que pueden dar sentido al contenido matemático
que se va a enseñar. Es decir, este análisis propone mostrar la vinculación de los conceptos
y las estructuras matemáticas con ciertos fenómenos del mundo natural, cultural, social y
científico, con la finalidad de dotar de sentido el aprendizaje de tales conceptos y
estructuras (Rico et al., 2008).
Por ende, Cañadas y Gómez (2012) presentan una serie de preguntas a las que debe
responder el análisis fenomenológico:
a. ¿Qué fenómenos dan sentido al tema?
b. ¿Qué subestructuras permiten organizar los fenómenos que dan sentido al tema?
c. ¿Para qué se utiliza el tema? ¿A qué problemas da respuesta?
d. ¿Qué características comparten los fenómenos que dan sentido al tema? ¿Qué
subestructuras se relacionan con qué contextos?
e. ¿En qué situaciones está presente el tema?
Para aclarar un poco la terminología anterior, se entenderá el término contexto como
un “marco en el cual conceptos y estructuras atienden unas funciones, responden a unas
necesidades como instrumentos de conocimiento” (Lupiáñez, 2009, p.50). Como fenómeno,
a la definición dada por Gutiérrez, Herrera, Mora, Ramírez, Sandi y Solano (2014), la cual
comprende a todas aquellas situaciones y problemas que dan sentido al contenido tratado y
a su vez, agregan que cada fenómeno se organiza siguiendo un contexto, y estos por su
parte, con una subestructura Matemática del tema. Por último indican que el término
subestructura es una parte o porción de la estructura conceptual, que visto desde el
profesor, tiene un sentido propio. Dan como ejemplo la estructura de los números naturales,
la cual tiene diferentes subestructuras como la de orden, la aditiva, la multiplicativa, y la
factorial.
51
Así mismo, Rico, Flores y Ruiz (2015) mencionan que “la Matemática contrasta su
valor cuando sus nociones y conceptos se piensan con plenitud de sentido” (p. 49), es decir,
cuando estas proporcionan una gran variedad de usos para dar respuestas a problemas en
distintos contextos, ya sea en situaciones individuales o sociales.
Además, señalan que, el sentido de un concepto matemático se centra en su
significado, cuando se logran responder las siguientes preguntas: ¿qué es? ¿en qué
consiste? ¿cómo se usa? ¿cómo se puede expresar? y ¿para qué se puede utilizar? ya que
las mismas corresponden a la estructura formal de los signos y las reglas que lo representan,
a las situaciones o contextos que expresan y a los usos que emplean.
Por su parte, Segovia y Rico (2011), citados por Rico, Flores y Ruiz (2015),
muestran que, en las estructuras conceptuales de un contenido matemático escolar, se
insertan los sistemas de representación con los que se expresan, y también identifican
aquellos usos que delimitan sus sentidos.
En pocas palabras, el análisis fenomenológico se relaciona con los usos que se le
dan a los conocimientos matemáticos en la vida real. Para el caso particular de la función
lineal y de la función cuadrática, se sugiere utilizar problemas de modelización que
examinen la utilidad que le dan a lo “lineal” o lo “cuadrático” en las distintas civilizaciones
y en los contextos de la vida cotidiana (Giacomone y Loría, 2015).
Es así como aprender Matemática, con sentido, consiste en su significado en los
contextos, fenómenos, situaciones y la utilización de dicho concepto, pues este
conocimiento es una parte principal de los contenidos matemáticos; todo esto se puede
llevar a cabo mediante el análisis de contenido, ya que proporciona un método para
reconocer e identificar sus sentidos (Rico, Flores y Ruiz, 2015).
2.5.2 Análisis Cognitivo
Según Rico (2013), el análisis cognitivo se ajusta a una concepción escrutadora o
regresiva, ya que trata de organizar el para qué y hasta dónde aprender determinados
52
conocimientos sobre un tópico. Es decir, este análisis se centra en los estudiantes a los
cuales se dirige el proceso de enseñanza.
Para su realización se establecen tres organizadores vertebradores, el primero se
refiere a las expectativas sobre el aprendizaje de los escolares, a su precisión y riqueza, a su
alcance en el largo, medio y corto plazo, a su vinculación con los fines establecidos en
distintos niveles del sistema educativo. Cada tema requiere, al menos, enunciar sus
prioridades cognitivas, determinar su objeto y su alcance, organizar y relacionar dichas
prioridades.
El término expectativas de aprendizaje se usa para denominar, de manera general,
aquellas capacidades, competencias, conocimientos, saberes, aptitudes, habilidades,
técnicas, destrezas, hábitos, valores y actitudes que, según diferentes instancias del
currículo, se espera que logren, adquieran, desarrollen y utilicen los escolares. En el caso de
la Matemática, las expectativas expresan determinados usos reconocibles y deseados del
conocimiento matemático, que se pueden observar o inferir a partir de actuaciones de los
escolares ante tareas (Rico y Lupiáñez, 2008).
De esta manera, entendemos expectativa de aprendizaje como el logro de las
habilidades que propone el Programa de Estudio del MEP respecto a la función lineal y
cuadrática, los cuales fueron mencionados en las habilidades generales en el área de
Relaciones y Álgebra.
El segundo organizador se centra en las dificultades de aprendizaje, hipotéticas o
empíricas, conjeturadas o conocidas, y sobre los errores documentados o detectados en la
práctica. Es decir, se ocupa de las limitaciones para el aprendizaje que, de diferente modo,
pueden distorsionar, ralentizar o frenar el aprendizaje de los escolares, teniendo en cuenta
que son muchas las variables que pueden afectar el desarrollo cognitivo de los estudiantes
en el contexto del aprendizaje escolar (Lupiáñez, 2013).
53
Es por esto que anteriormente se consideró un apartado para los errores y
dificultades que han manifestado los estudiantes al trabajar con los conocimientos de la
función lineal y la función cuadrática. Según Lupiáñez (2013) las dificultades de
aprendizaje forman parte inherente del propio proceso de aprendizaje y aunque puedan
tener su origen en muchas causas, una de ellas tiene que ver con la propia complejidad del
conocimiento matemático.
El tercero de estos organizadores se enfoca en las demandas cognitivas, en las tareas
mediante las cuales se reta al estudiante a dar respuesta a diversas cuestiones cuyo
propósito está el logro de su aprendizaje y la superación de los errores relativos al tema.
2.5.3 Análisis de Instrucción
El análisis de instrucción se entiende según Gómez (2007) como “el procedimiento
en virtud del cual el profesor puede analizar y seleccionar las tareas disponibles para el
diseño de las actividades de enseñanza y aprendizaje” (p.75), es decir, se centra
propiamente en el profesor, en el proceso que debe seguir para diseñar, seleccionar y
secuenciar las tareas para la enseñanza y aprendizaje de los contenidos matemáticos.
A su vez, este análisis trata aspectos relativos a la gestión de aula, empleo de
materiales y los criterios de evaluación de dicho material, para obtener como resultado un
material didáctico justificado sobre un tema concreto de Matemática (Lupiáñez, 2013).
Lupiáñez (2013) y Gómez (2007), señalan que existe una relación importante entre
este análisis y los dos anteriores, ya que se utiliza la información que se ha obtenido del
análisis de contenido y del análisis cognitivo para la selección de tareas que proponen
alcanzar las expectativas de aprendizaje deseadas.
2.5.3.1. Selección de las tareas
Las tareas constituyen un eje organizador del análisis de instrucción (Lupiáñez,
2013). Por lo que, para esta investigación, el término tarea se entiende como una propuesta
54
que se dirige al estudiante con intención de mejorar el conocimiento de un tema matemático
determinado (Marín, 2013).
Para la selección de tareas, Marín (2013) destaca varios aspectos importantes como
la redacción, la resolución y las demandas cognitivas. Estos criterios establecen o
demandan el desarrollo de competencias, las cuales se puedan activar al realizar una
asignación Matemática, mediante el cumplimiento de las habilidades específicas
establecidas para el caso de la función lineal y cuadrática. Para realizar el análisis de las
competencias de una tarea, Marín (2013) plantea que se debe efectuar la resolución de
dicha actividad simulando ser un estudiante de secundaria, para así generar un listado
hipotético de acciones y determinar cuáles de ellas corresponden con las descripciones de
las competencias Matemática que se buscaban desarrollar.
Asimismo, para el análisis de las tareas se pueden tomar en cuenta las variables de
tarea que se estudian en el marco del Proyecto PISA, las cuales según Rico (2011) son:
contenido matemático, el tipo de situación o contexto y la complejidad cognitiva.
Adicionalmente, Rico (2011) menciona que la variable de contexto es considerada
un aspecto relevante en el proceso de matematización, ya que esta ubica la tarea propuesta
en una situación, y que según el grado de cercanía con el estudiante se pueden distinguir los
siguientes cuatro valores para ella.
1. Contextos personales: Se relaciona con actividades cotidianas que tienen
relevancia personal directa e inmediata para el estudiante. Podrían ser: las
compras, los juegos, el transporte personal, los deportes, los viajes, las propias
finanzas, etc.
2. Contextos ocupacionales, laborales o profesionales: Situaciones en el ambiente
escolar o en un entorno de trabajo a las cuales pudiera enfrentarse el estudiante.
Incluye aquellas tareas que propone el profesor con fines exclusivamente para la
instrucción. Podrían ser: el cálculo de costos y pedido de materiales para la
55
construcción, el diseño/la arquitectura, optimización de recursos, compras y
ventas.
3. Contextos públicos o sociales: Surgen en la interacción diaria del individuo con
el mundo externo. Podrían ser: sistemas electorales, las políticas públicas, la
demografía, la publicidad, los medios de comunicación, las estadísticas
nacionales, la economía, etc.
4. Contextos científicos: corresponde a la aplicación de las Matemática al mundo
natural y temas relacionados con la ciencia y la tecnología. Podrían ser: un
problema eminentemente matemático, la meteorología o el clima, la ecología, la
medicina, las ciencias espaciales, la genética, las mediciones.
Sin embargo, para efectos de esta investigación, se aceptará la diferenciación que
realiza Ruiz (2017) para el contexto científico, este autor plantea que los problemas que se
desarrollan enteramente en el mundo de la Matemática se excluyan de ese contexto. Por lo
que, crea un nuevo contexto denominado: Contexto matemático, el cual se define como
aquel que se centra exclusivamente en conceptos y procedimientos que no salen del seno de
la Matemática.
En cuanto la variable complejidad cognitiva, Rico (2011) menciona que en esta
distinguen tres valores de complejidad: reproducción, conexión y reflexión; a continuación
se presenta una descripción de las mismas.
1. Reproducción: este nivel requiere que el estudiante muestre que domina el
conocimiento aprendido. Son problemas familiares, que se resuelven aplicando
algoritmos o destrezas como: acceder, recordar, reproducir e identificar.
2. Conexión: este nivel requiere que el estudiante muestre capacidad para
establecer relaciones entre distintos dominios matemáticos e integrar
información para resolver problemas no rutinarios. Incluye capacidades como
aplicar, analizar y valorar.
56
3. Reflexión: en este nivel las situaciones son poco estructuradas, requieren que el
estudiante comprenda, reflexione y use su creatividad para reconocer las
Matemática involucradas en el problema. Requiere que el estudiante analice,
interprete y desarrolle sus propios modelos y estrategias.
Cabe destacar que la clasificación de acuerdo a la variable complejidad también es
propuesta por el MEP (2012) en el Programa de Estudios de Matemática.
Por otra parte, el orden de los ejercicios ocupa un papel importante en el diseño de
cualquier material didáctico, ya que “la presentación de las tareas explicitan lo que el
estudiante debe hacer para aprender” (Marín, 2013, p.114). Por lo que Parcerisa (1996),
citado en Marín (2013), propone una secuencia para la presentación de dichas asignaciones
y las clasifica en tareas de motivación, de análisis de conocimientos previos, de desarrollo y
aprendizaje de nuevos conocimientos, de consolidación de los conocimientos adquiridos, de
ampliación de conocimientos mediante las aplicaciones y por último, las actividades de
autoevaluación. Esta clasificación permite analizar la funcionalidad didáctica de la tarea.
En resumen, este apartado muestra que el análisis didáctico es una herramienta que
permite mediante el desarrollo de sus categorías de análisis, la construcción, planificación,
puesta en práctica y la validación de un material didáctico específico de Matemática, en
este caso, esta investigación se centra en la planificación y construcción de un Material
Didáctico para la enseñanza de la función lineal y la función cuadrática.
Se presentó en este capítulo el sustento teórico necesario para la creación del
Material Didáctico, el cual inicia tomando en cuenta los fundamentos teóricos del Programa
de Estudios de Matemática del MEP, donde se realizó una descripción sobre todos los
aspectos que se intentan lograr a través de las habilidades propuestas en el programa, así
como los ejes disciplinares que lo componen, los cuales además fueron complementados
con la visión de otros autores para ampliar los detalles en cada uno de ellos.
57
Además, como es esencial en el diseño del Material tomar en cuenta los procesos
que se deben seguir en clases, entonces se explicitaron cada uno de los pasos propuestos en
el programa. Así mismo, en este capítulo se describieron algunas estrategias metodológicas
para mejorar la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, de forma general, para
posteriormente abordar en el caso que nos interesa, posteriormente se realizó una
categorización de dificultades y errores que poseen los estudiantes al momento de estudiar
Matemática, de nuevo primero con las estrategias de forma general y posteriormente se
detallaron algunas referentes a la función lineal y a la función cuadrática. Por último, se
puntualizó en algunos componentes teóricos del Análisis Didáctico, que se utilizarán en el
desarrollo metodológico de la investigación.
58
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
En este capítulo se presentan los lineamientos y procedimientos que guiaron la
investigación, con el fin de asegurar el logro de los objetivos planteados. Primeramente se
expone el enfoque que tuvo el estudio, luego las etapas de la investigación así como las
técnicas e instrumentos de recolección de datos; por último, se explica cómo se analizó la
información recolectada.
3.1. Tipo de investigación
Esta investigación es de naturaleza cualitativa y se enmarca dentro de una
investigación de diseño, pues según Vilchis (1998), esta metodología permite la concepción
y el desarrollo de proyectos que den solución a los problemas del entorno como el
desarrollo social, cultural y didáctico, determinando así una secuencia adecuada de
acciones y procedimientos específicos para generar una nueva actividad.
Además, la investigación de diseño corresponde a un medio esencial para la
creación de materiales didácticos que favorecen la enseñanza y aprendizaje, en este caso de
la Matemática, debido a que su objetivo es “analizar el aprendizaje en contexto mediante el
diseño y estudio sistemático de formas particulares de aprendizaje, estrategias y
herramientas de enseñanza, de una forma sensible a la naturaleza sistémica del aprendizaje,
la enseñanza y la evaluación” (Molina, M., Castro, E., Molina, J.L y Castro, E., 2011, p.
76).
Se considera dentro de la investigación de diseño los experimentos de enseñanza,
los cuales son una secuencia de actividades de aula, cuidadosamente elaboradas en relación
con un contenido específico, para promover el aprendizaje de los estudiantes (Molina et al.,
2011). Esto corresponde al proceso de planeamiento que realiza el docente para llevar a
cabo sus lecciones tomando en cuenta el currículo escolar.
59
Siguiendo con esta idea, Cobb y Gravemeijer (2008), citados por Molina et al.
(2011) distinguen tres fases dentro de la investigación de diseño: preparación del
experimento, experimentación, y análisis retrospectivo de los datos. La primera fase
corresponde a la definición del problema, habilidades y metodologías de aprendizaje que se
desean alcanzar, así como la descripción hipotética de los resultados esperados del proceso
de aprendizaje; en la segunda fase se pretende aplicar el diseño obtenido en la fase 1, para
obtener y recolectar toda la información del trabajo realizado en el aula; y en la última
etapa, se recopila y organiza toda la información obtenida en la fase 2, para profundizar en
la comprensión de la situación de enseñanza y aprendizaje en su globalidad.
Es importante resaltar que dentro de esta investigación, no se realizaron todas las
fases de una investigación de diseño; únicamente, se abordó la primera fase relativa a la
planificación del experimento; es decir, a la planificación del Material Didáctico, y se
agregó una etapa de valoración de dicho Material, mediante el criterio de algunos docentes
de Matemática (estos debían cumplir determinadas características, las cuales se describen
en el apartado 3.2.3).
3.2.Etapas de la investigación
En esta investigación se siguieron una serie de etapas que organizaron la estructura
y secuencia de la misma, las cuales se citan y detallan a continuación.
3.2.1. Etapa I: Indagación bibliográfica
En esta etapa se desarrolló una indagación bibliografía en documentos como
trabajos finales de graduación, artículos de revista, libros especializados, actas de
congresos, entre otros. Se prestó atención a aquellos trabajos relacionados con el diseño de
materiales didácticos para la enseñanza de la Matemática; especialmente, para la enseñanza
de las funciones. Otras líneas de búsqueda fueron: aplicaciones de las funciones, resolución
de problemas, historia de la Matemática como recurso metodológico, uso de la tecnología,
entre otras. Todo lo anterior con el objetivo de adquirir referentes para el planteamiento de
la investigación y para la elaboración del Material Didáctico.
60
Además, se realizó una discusión sobre investigaciones donde se crean materiales
didácticos y se decidió utilizar la teoría del Análisis Didáctico para sustentar la elaboración
del Material Didáctico que se pretende con este trabajo, pues dicha teoría de acuerdo con
González y Gallardo (2013) trata de una propuesta útil para valorar la validez y pertinencia
de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, al mismo tiempo que facilita
la delimitación, organización y control de las competencias de planificación curricular.
3.2.2. Etapa II: Elaboración del Material Didáctico
Antes de la elaboración propia del documento se realizaron ciertos análisis que
permitieron determinar el contenido de dicho material didáctico. Para ello se llevaron a
cabo algunos de los pasos del Análisis Didáctico, a saber: Análisis Conceptual, Análisis de
Contenido, Análisis Cognitivo y Análisis de Instrucción.
En la fase de Análisis de Contenido se expone todo el contenido matemático
vinculado con la función lineal y la función cuadrática, además de la utilidad y las
aplicaciones de las mismas, lo cual se enmarca dentro del análisis fenomenológico, así
como sus diferentes sistemas de representación. Posteriormente, el Análisis Cognitivo se
enfocó en las expectativas de aprendizaje, los errores y dificultades que posean los
estudiantes en los tópicos de la función lineal y la función cuadrática; y por último en la
etapa del análisis de instrucción se seleccionaron las tareas para el diseño de las actividades
de enseñanza que se incluyen en el Material Didáctico.
3.2.2.1.Delimitación del contenido matemático a estudiar
Esta fase forma parte del análisis de contenido, con ella se pretende establecer la
diversidad de significados escolares de los conceptos y procedimientos de la Matemática
(Rico y Fernández, 2013). Es decir, se desarrolló ampliamente el contenido matemático y
los conceptos pertinentes al tema de investigación, que en este caso corresponden a los
tópicos de función lineal y de función cuadrática.
Para efectuar la delimitación de los contenidos de las funciones en estudio, se
tomaron en cuenta los aspectos propuestos por González y Gallardo (2013). Primero se
61
realizó un análisis de los elementos básicos: conceptos fundamentales, definiciones,
procedimientos, reglas, técnicas, lenguaje y representaciones. Posteriormente, con la
información obtenida se reflexionó y extrajeron algunas conclusiones acerca de los
conocimientos previos y posteriores del estudiante.
Al finalizar esta fase se estableció un listado de términos, conceptos,
procedimientos y sistemas de representación involucrados en los temas de función lineal y
función cuadrática; que dieron la base teórica para la construcción del Material Didáctico.
3.2.2.2.Usos y aplicaciones del contenido matemático a estudiar
En esta etapa se realizó un análisis fenomenológico, el cual se enmarcó dentro del
Análisis de Contenido. Según González y Gallardo (2013) el análisis fenomenológico trata
de determinar la utilidad y aplicaciones del contenido matemático, examinar a qué
situaciones les da sentido y establecer la funcionalidad del conocimiento matemático que
constituye el núcleo del Material Didáctico o que forma parte del problema curricular
planteado.
Para esta investigación se tomaron en cuenta los siguientes criterios del análisis
fenomenológico: los tipos de problemas empleados corresponden a contextos reales
(familiares, cotidianos, etc.) para así obtener un mejor aprendizaje y que logren visualizar la
Matemática presente en la vida cotidiana, se incentivó el uso de aplicaciones relacionadas
con otras disciplinas con el fin de mostrar la estrecha relación que existe entre la
Matemática y las diversas materias curriculares y extra curriculares, lo cual coincide con el
planteamiento del MEP en sus programas de estudio vigentes.
3.2.2.3.Aprendizajes, dificultades y errores
Esta etapa considera elementos del análisis cognitivo, el cual se centra en las
expectativas de aprendizaje que el docente espera de sus estudiantes, así como también
aquellas dificultades y errores que se pueden cometer en la resolución de una determinada
tarea.
62
Según Gómez (2007) “el profesor describe sus hipótesis acerca de cómo los
escolares pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura
Matemática cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza
y aprendizaje” (p.94).
Para determinar las expectativas, errores y dificultades en el aprendizaje de la
función lineal y la función cuadrática se prestó especial atención en los siguientes aspectos:
1. Las habilidades de aprendizaje que se plantean en el actual currículo de
Matemática del MEP.
2. Los conceptos matemáticos y procedimientos presentes en ejercicios y problemas
que involucran temas relacionados con la función lineal y la función cuadrática.
Los ejercicios y problemas se extrajeron de libros de texto de la educación
secundaria y universitaria.
3. Principales errores y dificultades que presentan los estudiantes en el estudio de la
función lineal y la función cuadrática, para ello se tomó en cuenta algunas
investigaciones y los resultados obtenidos de la aplicación de un cuestionario a
una muestra de docentes de Matemática que impartieron o estaban impartiendo
décimo año, así como la información recabada de otro cuestionario aplicado a
estudiantes de décimo año (en el apartado 3.3.1 se detalla cómo se realizó este
aspecto).
3.2.2.4.Diseño, análisis y selección de las actividades que conforman la propuesta
didáctica de investigación
Esta fase forma parte del análisis de instrucción, en el cual según Gómez (2005) el
profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que constituirán las actividades de
enseñanza y aprendizaje.
En esta investigación se desarrolló un Material Didáctico para la enseñanza de la
función lineal y la función cuadrática, los ejercicios y problemas incluidos surgieron a
partir del análisis de los siguientes elementos: las dificultades y errores que presentan los
estudiantes, las habilidades que pretende desarrollar el MEP, los indicadores de evaluación
63
que se presentan en el actual currículo de Matemática del MEP, el estudio de los materiales
de capacitación que ha desarrollado el MEP para los docentes (estos materiales se
encuentran en la página web del Proyecto Reforma Matemática), materiales didácticos
creados por otros autores y algunos libros de texto de décimo año de editoriales como
Santillana, AMP, Publicaciones Porras, Fénix y Clase; a los cuales se les realizó una
adecuación, donde adecuar implicó seleccionar tareas que se ajustaran a los criterios que la
investigación maneja, incluyendo modificaciones y el diseño de tareas nuevas.
3.2.3. Etapa III: Valoración del Material Didáctico
En esta etapa se realizó una valoración del Material Didáctico creado, dicha
valoración fue realizada por dos de los miembros del Proyecto Reforma de la Educación
Matemática en Costa Rica y seis docentes de Matemática de las regiones educativas
Heredia y San José Central. Los docentes se eligieron de acuerdo con el cumplimiento de
los siguientes requisitos:
al menos cinco años de experiencia docente en secundaria.
que hayan impartido décimo año como mínimo en dos ocasiones, y al menos,
en una de ellas utilizando el Programa de Estudios de Matemática que se
encuentra en vigor.
que hayan participado, en los últimos cinco años, en algún proceso de
capacitación referente al Programa de Estudios de Matemática del MEP.
Para la valoración de este Material fue indispensable que los docentes conocieran
con certeza y claridad lo que plantea el Programa de Estudios de Matemática del MEP,
dado que uno de los fines de esta investigación es acoplarse al mismo; era necesario que
tuvieran cierta experiencia impartiendo décimo año debido a que las actividades son
diseñadas para ese nivel y es en este que desde hace varios años se desarrolla el tópico de
funciones.
De igual forma, debían conocer la metodología propuesta en el Programa de
Estudios, por lo que el haber participado en algún proceso de capacitación sobre la
64
metodología propuesta por el MEP los hace acreedores de ciertos conocimientos sobre
estrategias didácticas para las habilidades correspondientes.
Es importante aclarar que, se pidió al menos un año impartiendo décimo año con el
Programa de Estudios vigente; ya que fue en 2015 cuando, en décimo año, se empezó a
desarrollar por completo las habilidades propuestas, antes de esto solo hubo programas de
transición. Esto hace que al 2018 los docentes que tengan mayor práctica desarrollando las
habilidades de décimo año cuenten con un máximo de tres años de experiencia.
Por otro lado, para la revisión del Material se les brindó a los docentes una rúbrica,
elaborada con base en el “Registro de observación para el Análisis Didáctico Curricular de
Textos Escolares de Matemática” propuesta por González y Gallardo (2013) y adaptada al
contexto nacional. La rúbrica fue elaborada hasta tener realizado por completo el Material
Didáctico, debido a que era necesario tener conocimiento a profundidad del trabajo
realizado para adaptarla al contexto nacional.
3.2.4. Etapa IV: Consideraciones finales del Material Didáctico
Con base en las sugerencias y recomendaciones que brindaron los seis docentes de
educación secundaria y los dos integrantes del Proyecto Reforma de la Educación
Matemática, al valorar el Material Didáctico diseñado, se hicieron mejoras en la redacción
de las actividades, en la secuencia de las mismas, y en el contenido matemático involucrado
en las tareas.
3.3. Instrumentos de recolección de información
Para esta investigación los instrumentos de recolección de información que se
consideraron son el cuestionario, la entrevista semiestructurada y la rúbrica para la
valoración del material didáctico.
3.3.1. Cuestionario
Para McMillan y Schumacher (2005) el cuestionario es una técnica ampliamente
utilizada para obtener información, pues incluye las mismas preguntas para todos los
65
sujetos, se puede asegurar el anonimato y proporciona tiempo para que los sujetos piensen
las respuestas.
En esta investigación se desarrollaron dos cuestionarios, el primero con el objetivo
de describir las dificultades y errores que han identificado algunos docentes de Matemática
de la educación secundaria al momento de enseñar los tópicos de función lineal y función
cuadrática (véase anexo 2). Dicho cuestionario se basó principalmente en las habilidades
específicas, de las funciones en cuestión, propuestas en el Programa de Estudios de
Matemática del MEP (éstas se presentan en el anexo 1) y los conocimientos previos que
deben tener los estudiantes para el desarrollo de estos tópicos. Por otro lado, el segundo
cuestionario se aplicó a estudiantes de décimo año con el fin de detectar y conocer otros
errores o dificultades que no mencionaran los docentes en el primer cuestionario.
Los docentes a los cuales se les aplicó el primer cuestionario son profesores de
Matemática de educación secundaria, y tenían como requisito un mínimo de dos años de
experiencia impartiendo décimo año, de los cuales al menos uno era utilizando el actual
currículo de Matemática del MEP, esto debido a que en dicho año escolar se desarrollan los
tópicos en estudio. Además, debían poseer, al menos, el grado académico de Bachillerato
en Enseñanza de la Matemática.
Se eligió una muestra por conveniencia de 30 profesores de Matemática de las
regiones educativas Heredia y San José Central, ya que estas zonas son las que recibieron
una mayor cantidad de capacitaciones relacionadas con el Programa de Estudios de
Matemática del MEP. Además, como no se tenía interés en inferir a la población, se
consideró trabajar con una muestra no probabilística, por lo que se consideró que 30 era un
número adecuado de docentes para aportar información valiosa sobre las dificultades y
errores que ellos han detectado que tienen los estudiantes costarricenses de la educación
secundaria al estudiar la función lineal y la función cuadrática.
Para la aplicación del cuestionario a los docentes se trabajó de la siguiente manera:
66
1) Se eligieron los colegios pertenecientes a las regiones Heredia y San José Central,
completando 15 docentes para cada una de las regiones anteriores para obtener un
total de 30 profesores de Matemática.
2) Se contactó a los directores de los centros educativos seleccionados, para solicitar el
permiso de la aplicación del cuestionario a los docentes de Matemática que laboran
en dichas instituciones.
3) Como no se completaba la cantidad de docentes requeridos, se recurrió a la
selección de los mismos a través de un congreso sindical realizado en San José.
Es importante aclarar que para la validación de este cuestionario se realizaron dos
etapas: la primera por medio de juicio de expertos, utilizando una rúbrica de evaluación
para el mismo, donde se detallaban aspectos como: redacción, conexión con las habilidades
específicas propuestas por el MEP para el estudio de la función lineal y la función
cuadrática, coherencia del ítem con la escala utilizada y por último, algunas observaciones
generales o recomendaciones que los evaluadores desearan brindarle al cuestionario (véase
anexo 3). Los expertos fueron cuatro profesores de Matemática, dos de ellos tenían relación
con educación secundaria y los otros dos con educación superior. La segunda parte de la
validación se realizó mediante una prueba piloto, la cual se aplicó a 10 docentes de
Matemática de educación secundaria que se encontraban fuera de la muestra.
El segundo cuestionario se diseñó considerando algunas de las habilidades
propuestas en el Programa de Estudios de Matemática que se encuentra en vigor, y
consistió en una serie de ejercicios y problemas relacionados con la función lineal y la
función cuadrática (véase anexo 2). Se aplicó dicho cuestionario a 76 estudiantes de décimo
año, de una institución privada en Alajuela, con edades que oscilan entre los 15 y 16 años,
estos fueron seleccionados por conveniencia, dado que los investigadores contaban con
facilidad de contacto con los mismos y disponían de las lecciones de Matemática para la
aplicación de los cuestionarios. La aplicación de este segundo cuestionario se realizó luego
de que los estudiantes abordaron en sus clases ambas temáticas.
67
3.3.2. Entrevista semiestructurada
Para Corbetta (2007), en la entrevista semiestructurada el entrevistador dispone de
un guión, con los temas que debe tratar, sin embargo, este puede decidir libremente sobre el
orden de presentación de los diversos temas y el modo de formular las preguntas, a su vez
puede pedir al entrevistado que le aclare algo que no entiende o que profundice sobre algún
aspecto cuando lo estime necesario. Además, menciona en general el entrevistador no
aborda temas que no estén previstos en el guión, pero tiene libertad para desarrollar temas
que vayan surgiendo en el curso de la entrevista y que considere importantes para
comprender al sujeto entrevistado, aunque no las incluya en el resto de las entrevistas.
El objetivo de aplicar la entrevista semiestructurada en esta investigación fue
conocer de voz de algunos de los involucrados en la elaboración del actual Programa de
Estudios de Matemática, o de algunos encargados de su seguimiento, cómo llevar a cabo en
el aula la propuesta metodológica de dicho programa, específicamente en el caso de la
función lineal y la función cuadrática.
La entrevista se basó en un guión compuesto por nueve preguntas (véase anexo 4), y
se entrevistó a tres profesores que tenían alguna de las relaciones mencionadas
anteriormente con el Programa de Estudios de Matemática. Las preguntas versaron sobre la
manera de impartir las clases con los distintos ejes propuestos en el actual currículo de
Matemática y sobre los conceptos que consideran indispensables en el estudio de la función
lineal y de la función cuadrática.
3.3.3. Rúbrica para la valoración del material didáctico
Las rúbricas son tablas que valoran los niveles de desempeño alcanzados en los
trabajos realizados, mediante el uso de criterios específicos que indican el logro de los
objetivos planteados y las expectativas esperadas (Uribarren y Gatica, 2013).
Para esta investigación se utilizó una rúbrica para la valoración del Material
Didáctico, la cual corresponde a una adaptación del “Registro de observación para el
68
Análisis Didáctico Curricular de Textos Escolares de Matemática” propuesto por González
y Gallardo (2013), en la cual se pidió a los docentes de secundaria, escogidos en la tercera
etapa (apartado 3.3.3), evaluar aspectos didácticos del material propuesto, tales como:
1. Contenidos
Conceptos, definiciones, tipos de representaciones (gráfica, simbólica,
algebraica, dibujos, etc.), lenguaje matemático.
Procedimientos, técnicas y fórmulas.
Los contenidos de disciplinas no Matemática son tratados de manera
efectiva junto a los contenidos matemáticos en relación con el tema central
del material didáctico.
Aplicaciones reales o realistas de los contenidos matemáticos.
Se adaptan los contenidos a la propuesta del MEP, son completos y
adecuados, la secuencia es idónea, etc.
2. Cumplimiento de las habilidades
Las actividades están acordes con el tipo de habilidades específicas que
pretende desarrollar el MEP.
3. Metodología
Usa resolución de problemas, historia de la Matemática, modelización,
tecnología.
4. Evaluación final
Valoración del orden de las actividades.
Las actividades son adecuadas para los contenidos matemáticos del material.
Valoración personal: recomendaciones y sugerencias.
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3.4. Análisis de la información
Para guiar el análisis de esta investigación se estructuraron las siguientes categorías,
teniendo en cuenta los objetivos planteados en la misma.
3.4.1. Contenido matemático
En esta categoría se detalló mediante la realización de un análisis de contenido de
todos los conocimientos matemáticos involucrados en el desarrollo de los contenidos de la
función lineal y la función cuadrática.
Se tomaron en cuenta las habilidades que se pretenden desarrollar en el Programa de
Estudios del MEP (véase anexo 1), así como libros de textos de Matemática tanto a nivel
universitario como de educación secundaria.
3.4.2. Errores y dificultades que presentan los estudiantes de décimo año al
trabajar los temas de función lineal y función cuadrática
Se entendió por dificultad, como se mencionó en el capítulo II, a cualquier situación
cognitiva que enfrente el estudiante, que le impide o afecte en forma negativa sus procesos
de resolución de ejercicios y problemas, y se entendió por error, a aquellas situaciones
observables donde el estudiante brinde una respuesta equivocada.
Para determinar los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes al trabajar
los temas de la función lineal y la función cuadrática se emplearon dos cuestionarios (véase
anexo 2), los cuales estaban dirigidos a los docentes y estudiantes descritos en el apartado
3.3.1. Ambos cuestionarios estaban sustentados teóricamente a partir de las habilidades que
se deben desarrollar según el actual currículo de Matemática (véase anexo 1) y los
conocimientos previos que deben tener los estudiantes para el desarrollo de estos temas.
El cuestionario de los docentes constaba de tres partes, la primera estaba constituida
por preguntas relacionadas con aspectos generales de los participantes como sexo, años de
experiencia, institución donde labora, entre otras; la segunda parte estaba relacionada con
las dificultades que presentan los estudiantes en los tópicos de la función lineal y la función
70
cuadrática, y la tercera parte constaba de dos preguntas abiertas donde los docentes podían
exponer los errores comunes durante la enseñanza de dichas temáticas (véase anexo 2).
Mientras el cuestionario de los estudiantes constaba de preguntas de resolución de
ejercicios y problemas relacionados directamente con la función lineal y la función
cuadrática.
3.4.3. Estrategias metodológicas para la enseñanza y aprendizaje de las
funciones lineal y cuadrática
Con esta categoría se determinaron aquellas actividades, procedimientos o
estrategias, para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática,
con la intención de que las mismas se vieran reflejadas al momento de diseñar las
actividades del Material Didáctico.
Para obtener esta información se realizó una descripción de las respuestas que se
obtuvieron a través de la entrevista semiestructurada aplicada a algunas de las personas
involucradas en la redacción y en los procesos de capacitación del Programa de Estudios de
Matemática que se encuentra en vigor.
3.4.4. Pertinencia del Material Didáctico para la enseñanza de la función lineal
y la función cuadrática
Corresponde a la conveniencia, idoneidad o viabilidad de la aplicación del Material
Didáctico diseñado para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática en centros
educativos, tantos públicos como privados, así como el cumplimiento de las habilidades
que propone el MEP en el Programa de Estudios de Matemática.
Además de los criterios, recomendaciones o sugerencias que brindaron los dos
integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática y los seis docentes de
educación secundaria para el mejoramiento del Material Didáctico diseñado en esta
investigación.
71
3.5. Descripciones referentes al análisis de la información
Para analizar la información obtenida en las categorías mencionadas anteriormente
se procedió de la siguiente forma.
3.5.1. Análisis de Contenido
Como se mencionó en el capítulo II, el Análisis de Contenido está compuesto por
los siguientes organizadores: estructura conceptual, sistemas de representación y análisis
fenomenológico. A continuación se describen las acciones que se llevaron a cabo para la
elaboración de dicho análisis en esta investigación.
1. Se determinaron los conceptos relacionados con la función lineal y la función
cuadrática, para ello se tomó en cuenta libros de texto, tanto de educación
secundaria como universitarios, y las habilidades propuestas en el Programa de
Estudios que se pretenden desarrollar.
2. Se describieron los conocimientos matemáticos que deben poseer los estudiantes de
forma previa para el estudio de los tópicos de la función lineal y la función
cuadrática, para esto se tomaron en cuenta los errores y dificultades que se
detectaron en estos tópicos, así como aquellos procedimientos que son
indispensables en el manejo algebraico de esta temática.
3. Se determinaron los distintos tipos de representación para las funciones lineal y
cuadrática utilizando para ello libros de texto.
4. Se identificaron estrategias, destrezas y razonamientos utilizados en la función
lineal y la función cuadrática, para ello se recurrió a los materiales de capacitación
del MEP, así como a libros de texto y a unidades didácticas relacionadas con estos
tópicos.
5. Se determinaron para qué se utilizan los conocimientos relacionados con la función
lineal y la función cuadrática y qué problemas dan respuesta, para ello se recurrió al
estudio de tesis, artículos, libros de texto y la información adquirida en las
entrevistas.
72
3.5.2. Cuestionarios
En cuanto a la información recolectada en el cuestionario, aplicado a los profesores,
esta fue codificada en una base de datos con base en cinco categorías a saber: nunca (1),
casi nunca (2), algunas veces (3), casi siempre (4) y siempre (5).
Para su descripción, se acumularon las frecuencias de las respuestas para cada ítem
de la escala y se codificaron los puntajes para cada ítem. Así, entre más dificultad tenía un
determinado proceso menor era el puntaje asignado y entre mayor puntaje tenía
representaba menor dificultad; lo que determinó la dificultad en los tópicos de funciones.
El total de puntos que cada encuestado puede tener en esta escala estaba comprendido entre
44 y 220 puntos, debido a que hay un total de 44 ítems.
Los datos anteriores sirvieron para conocer las debilidades y dificultades que han
notado los docentes en el aula al momento de enseñar estos tópicos; y por lo tanto, al
momento de diseñar el Material Didáctico se trabaja en actividades que fortalezcan estos
vacíos.
En cuanto a las observaciones que brindaron los docentes de Matemática sobre las
debilidades que han detectado en sus estudiantes al desarrollar la función lineal y la función
cuadrática, se transcribieron literalmente sin ser alteradas, considerando principalmente la
información relevante para el estudio; ya que estas fueron útiles para describir los posibles
errores que presenten los estudiantes de la educación secundaria en el estudio de dichas
funciones.
Por otro lado, el cuestionario aplicado a los estudiantes se analizó determinando los
distintos errores cometidos en la resolución a lo largo de los diferentes ejercicios, y se
contabilizaron en una tabla con el fin de prestar especial atención aquellos que aparecieron
con mayor frecuencia. Estos sirvieron para ampliar los errores percibidos por los docentes a
los que se les aplicó el primer cuestionario.
73
3.5.3. Entrevista semiestructurada
Como una forma de enriquecer el marco teórico en cuanto cómo y qué estrategias
metodológicas se pueden utilizar para la enseñanza de la función lineal y la función
cuadrática se recurrió a la descripción de la información obtenida en la entrevista
semiestructurada.
Finalmente, para enriquecer más esta investigación se realizó una triangulación de
la información obtenida en los cuestionarios y las concepciones teóricas sobre las
dificultades y errores que presentan los estudiantes al estudiar las funciones lineal y
cuadrática, ya que según Donolo (2009) esta técnica de investigación permite procesar la
información proveniente de diversos procedimientos e interpretarla en el marco de
diferentes teorías, concepciones y conceptualizaciones para que confirmen o den indicios
de la diversidad con que se muestra el fenómeno estudiado.
74
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS CONCEPTUAL
En este apartado se presenta una aproximación al análisis conceptual, para el cual se
han analizado libros de textos de Matemática, tanto universitarios como de educación
secundaria, reportes de investigaciones relacionadas con los tópicos de función lineal y de
función cuadrática, y el Programa de Estudios de Matemática del MEP de Costa Rica.
En el caso de los libros de educación secundaria, se utilizaron los más recientes, y que
afirman estar acorde con el currículo de Matemática que se encuentra en vigor, aunque no se
han hecho estudios que verifiquen la veracidad de esta información. Mientras que, para el
nivel universitario, se utilizaron algunos de los libros de texto sugeridos, en el 2017, en la
bibliografía de los cursos MAT001 Matemática General de la Universidad Nacional de Costa
Rica, MA0001 Precálculo y MA0125 Matemática Elemental de la Universidad de Costa Rica,
que son cursos en los que en dichas universidades se abordan los temas en cuestión.
De las fuentes mencionadas, se recabaron las siguientes definiciones, las cuales se
presentan ordenadas cronológicamente, según la fecha de publicación del libro, y dividas en
dos secciones, función lineal y función cuadrática.
En este apartado se analiza la diversidad de significados, la posibilidad de conexión
entre los términos, y se revisa con detalle los conceptos matemáticos en estudio.
4.1. Función lineal
4.1.1. Libros de textos para educación secundaria
Matemática 8: Ser competentes
“Una función lineal tiene la siguiente ecuación y ax b donde y es la variable
dependiente, x es la variable independiente, a y b son números reales” (Santillana, 2014,
p.106).
75
Matemática 8°: Un enfoque práctico
“Es una expresión de la forma y ax b , que por lo general modela situaciones de la
vida cotidiana, donde “ x ” es la variable independiente y “ y ” es la variable dependiente
(pues va a depender de los valores que tome “ x ”). Puede representarse de varias maneras:
tabular, algebraica o gráficamente” (Cambronero, 2016, p.90).
Matemática 10: Publicaciones Porras
“Una función lineal es una función polinómica de primer grado; cuya representación
en el plano cartesiano es una recta. Esta función se puede escribir de la forma ( )f x mx b
o y mx b donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es
la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y . Si se modifica m
entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b , entonces la recta se
desplazará hacia arriba o hacia abajo” (Publicaciones Porras, 2015, p.120).
Matemática 10: Ser competentes
“Una función :f es una función lineal si es de la forma ( )f x mx b , con
m , b ” (Santillana, 2015, p.88).
Matemática para Bachillerato
“Una función, cuya gráfica es una recta no vertical, le llamaremos función lineal, y su
criterio es de la forma ( )f x mx b , donde m y b son constantes, las que llamaremos
respectivamente, pendiente e intersección con el eje y ” (Jiménez, 2016, p.321).
Matemática 10°: Un enfoque práctico
“Es una función de la forma y mx b , donde “ m ” es la pendiente y 0,b es la
intersección con el eje de las ordenadas” (Cambronero, 2017, p.146)
De las definiciones anteriores se puede observar que, a nivel de octavo año, la función
lineal se define como una dependencia entre variables; además, en la definición del libro Un
76
Enfoque Práctico se adiciona que la función lineal tiene diversas representaciones como la
tabular, algebraica y gráfica.
En general, se puede recabar que en todos los casos coinciden en que una función
lineal es de la forma ( )f x mx b , y son explícitos en indicar que m y b son números
reales; solo en el libro Matemática para Bachillerato, se dice que son constantes, pero no se
indica qué tipo de constantes, así mismo este es el único libro en el que aparece una definición
verbal, al decir que es una función cuya gráfica es una recta no vertical.
Cabe destacar que, en las definiciones citadas, se encuentran algunas confusiones con
aspectos teóricos relacionados con la ecuación de una recta, debido a que en ciertas
definiciones mencionan que la función lineal es aquella de la forma y mx b , cuando dicha
ecuación lo que modela es la representación gráfica de la función, y no la función en sí.
Por otro lado, en las funciones es importante conocer cuál es su dominio, debido a que
el mismo determina el trazo que se debe hacer en su representación gráfica; si se analiza en
cuáles de las definiciones se define un dominio y un codominio, solo en el libro Matemática
10: ser competentes, aparece dicho aspecto, aunque de forma incorrecta, ya que se indica que
es :f , y esto implicaría por ejemplo que una función :g tal que ( ) 2g x x
no es una función lineal. Aquí es importante destacar que uno de los procesos matemáticos
que se pretende desarrollar en el Programa de Estudios es el de comunicar, por lo que se
vuelve necesario el definir con claridad una función.
Además, solo en el libro Matemática 10: Publicaciones Porras, se indica que esta función
también recibe el nombre de función polinómica de primer grado. Asimismo, este es uno de
los libros donde dentro de la definición se utiliza el término de pendiente y se indica cómo
afecta la representación gráfica el cambio de la misma, los otros libros donde se menciona que
m se denomina pendiente son Matemática 10: Un enfoque práctico y Matemática para
Bachillerato.
En la siguiente sección se presenta la recopilación realizada de las definiciones
encontradas en algunos libros de textos universitarios, para el caso de la función lineal.
77
4.1.2. Libros de textos para universitarios
El Cálculo
“Una función lineal se define por ( )f x mx b donde m y b son constantes y 0m .
Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su intersección con la ordenada es b .
Si una función f se define por 1
1 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a
donde 0 1, , ..., na a a
son números reales ( 0na ) y n es un número entero no negativo, entonces recibe el nombre de
función polinomial de grado n .
Una función lineal es una función polinomial de grado 1. Si el grado de una función
polinomial es 2, entonces se le llama función cuadrática” (Leithold, 1998, pp. 15-16).
Matemática Básica con Aplicaciones
“Una función ( )y f x es lineal, si el incremento o la disminución en la variable
dependiente es directamente proporcional a la diferencia en la variable independiente” (Araya,
Murillo y Soto, 2009, p. 126).
Además, en el caso particular de este libro, aparte de la definición verbal anterior, se
menciona también la siguiente definición
“Sea :f D una función, f es una Función Lineal si existen, m , b tal que
( )f x mx b . El valor de m se llama la pendiente” (Araya, Murillo y Soto, 2009, p. 128).
Precálculo: Matemática para el cálculo
“Una función f de la forma ( )f x mx b se denomina función lineal porque su gráfica
es la gráfica de la ecuación y mx b , que representa una recta con pendiente m y punto de
intersección b en y ” (Stewart, Rediln y Watson, 2012, p. 153)
Matemática Elemental
“Una función :f tal que ( )f x mx b , m , b se llama función lineal”
(Arias y Poveda, 2016, p.119).
78
Revista digital Matemática: Funciones Reales de Variable Real
“Sea f una función tal que :f . f se llama función lineal si ( )f x mx b con
m y b constantes reales” (Astorga y Rodríguez, 1984, p.37).
De las definiciones anteriores se puede analizar que, al igual que en los libros de
educación secundaria, coinciden en que definen de forma algebraica la función lineal, como una
función de la forma ( )f x mx b , con la diferencia de que no realizan confusiones con la
ecuación de la recta. Además, se encuentra una definición verbal, distinta a la mencionada en la
sección de libros de educación secundaria, en el libro Matemática Básica con aplicaciones.
Por otro lado, al igual que en los libros de educación secundaria, si se analiza en cuáles
definiciones se define un dominio y un codominio de la función, se tiene que en tres de ellas
aparece dicho aspecto. En dos de ellas indican que es :f y solamente en el libro
Matemática Básica con aplicaciones citan que es :f D .
4.1.3. Programa de Estudio de Matemática del MEP de Costa Rica
Para la realización de este apartado se recurrió a la revisión del actual currículo de
Matemática del MEP, en el que se realizó una búsqueda en los diversos ciclos, así como en el
glosario, y se encontraron las siguientes definiciones:
“En algunos países como España, Francia y Portugal, la función lineal y ax b con 0b
se conoce como función afín. El término lineal se reserva al caso de funciones con criterio de la
forma y ax en concordancia con la terminología utilizada en Matemática para
transformaciones lineales. Toda transformación lineal lleva el cero del dominio en el cero del
ámbito, es decir, la imagen del cero es cero. En este programa utilizaremos el término lineal para
ambos casos. De esa manera, se seguirá la terminología usada tradicionalmente en Costa Rica”
(MEP, 2012, p.344).
Además, en el glosario del actual currículo de Matemática del MEP, se menciona que es
una:
“Función cuyo criterio es de la forma ( )f x ax b ” (MEP, 2012, p.472).
79
Aquí cabe resaltar que no se cita ningún tipo de condición para los parámetros a y b .
Asimismo tampoco se menciona el dominio, codominio, cuál es la representación gráfica, qué
nombre recibe el parámetro a ; aunque también es claro que el Programa de Estudio del
Ministerio de Educación, no es un libro de texto, y por lo tanto no aparecen definiciones
formales.
4.1.4. Investigaciones previas
Las siguientes definiciones fueron encontradas en investigaciones, a nivel de maestría,
relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje de la función lineal.
“Una función lineal tiene la expresión analítica ( )y f x mx b , donde m y b son
números reales y 0m . m es la pendiente o razón de cambio de y con respecto a x y, b es la
intersección de la gráfica con el eje vertical” (Roldán, 2013, p. 57).
Sydsaeter, Hammond y Carvajal (2012) definen una relación lineal entre las variables x e
y que es de la forma: y ax b ( a y b constantes). La gráfica de esta ecuación es una recta. Si
designamos por f a la función que asigna y a x , entonces ( )f x ax b y f se llama función
lineal. El número a se llama la pendiente de la función y de la recta” (Torres, 2013, p. 23).
De estas definiciones se resalta el hecho, en ambos casos, que las definiciones brindadas
utilizan aspectos algebraicos; en el caso particular de Roldan (2013) dentro de la definición cita el
término pendiente y se da una descripción del mismo. Sydsaeter, Hammond y Carvajal (2012)
adicionan dentro de su definición información sobre la representación gráfica de la función en
cuestión.
A manera de conclusión de esta primera sección, se rescata que, las definiciones
encontradas muestran una considerable similitud. En general, utilizan la representación
algebraica, y en muy pocos casos hacen uso de una definición verbal o indican otro nombre para
la función en cuestión. Además, hay definiciones, tanto a nivel universitario como de secundaria,
que no indican el dominio ni el codominio de la función; por otro lado, dato curioso, es que a
80
pesar de que hay fuentes de diversos autores, en todos los casos se representa la pendiente con la
letra m o a , y el término b coincide en todas las definiciones.
En el siguiente apartado se desarrolla el análisis conceptual para la función cuadrática,
presentando de igual forma, primeramente las definiciones encontradas en libros para educación
secundaria, luego libros para universitarios, y finalmente las encontradas en otras investigaciones.
4.2.Función cuadrática
4.2.1. Libros de textos para educación secundaria
Afrontando retos: Matemática 9
“Una función cuadrática f es aquella que está dada por el criterio2( )f x ax bx c , con
0a ” (Chavarría, 2015, p. 127).
Matemática 9: Un enfoque práctico
“Una expresión de la forma 2y ax bx c representa una función cuadrática
2( )f x ax bx c ” (Cambronero, 2016, p. 241).
Matemática 9: Puentes del saber
“Una función cuadrática es una relación entre dos variables que cumple con ciertas
condiciones. La forma algebraica de una función cuadrática es la siguiente (también se conoce
como criterio): 2y ax bx c , donde y es la variable dependiente, x es la independiente y a ,
b y c son números reales con 0a ” (Santillana, 2017, p. 157).
Matemática 10: Publicaciones Porras
“Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida
como 2( )f x ax bx c con , ,a b c ; 0a . La representación gráfica en el plano cartesiano
de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las
ordenadas” (Publicaciones Porras, 2015, p.120).
81
Matemática 10: Ser competentes
“Una función es cuadrática si tiene la forma 2( )f x ax bx c , donde los coeficientes a ,
b y c son números reales y 0a . La gráfica de una función cuadrática es una curva que se
denomina parábola” (Santillana, 2015, p.88).
Matemática para Bachillerato
“Cuando lanzamos hacia arriba una bola la trayectoria que ella describe es una curva
llamada parábola y es modelada por una función, cuyo criterio es de la forma 2( )f x ax bx c
donde a , b y c son números reales que llamaremos constantes, 0a , y la función se
denomina cuadrática” (Jiménez, 2016, p.321)
Matemática 10°: Un enfoque práctico
“La función cuadrática es aquella de la forma 2( )f x ax bx c ” (Cambronero, 2017,
p.157).
De las definiciones anteriores, podemos observar que, a nivel de noveno año, se enfocan
en una relación de dependencia entre dos variables, y de ellos solo en el libro Matemática 9:
Puentes del saber se indica que a , b y c , en ese mismo libro se da además una definición
verbal de función cuadrática, aunque muy escueta dado que solo indica que es una relación entre
dos variables con cierta condiciones.
Por otro lado, existe coincidencia, en todos los casos, al citar que algebraicamente la
función se expresa de la forma 2( )f x ax bx c , con a , b y c , 0a , solamente en los
libros Matemática 9: Un enfoque práctico y Matemática 10: Un enfoque práctico, los autores no
hacen hincapié en la necesidad de indicar que 0a .
Adicional a lo anterior, cabe destacar que para este tópico las definiciones no se
restringieron a la definición algebraica, en la definición del libro Matemática para Bachillerato se
inicia con una conceptualización más intuitiva al indicar que es similar a la trayectoria que sigue
una bola al ser lanzada.
82
Además, a pesar de que varios autores son los mismos de algunos libros analizados en la
sección de función lineal, y en esas definieron un dominio y un codominio, para el caso de la
función cuadrática en ninguno de los libros analizados se indicó este aspecto.
4.2.2. Libros de textos para universitarios
Matemática Básica con Aplicaciones
“Sea :f una función, se dice que f es una función cuadrática si existen constantes
a , b y c con 0a y 2( )f x ax bx c ” (Araya, Murillo y Soto, 2009, p. 145).
Precálculo: Matemática para el cálculo
“Una función cuadrática es una función polinomial de grado dos. Entonces una función
cuadrática es una función de la forma 2( )f x ax bx c , 0a ” (Stewart, Rediln y Watson,
2012, p. 224).
Matemática Elemental
“Sea :f , 2( )f x ax bx c , , ,a b c , 0a , f se llama función
cuadrática” (Arias y Poveda, 2016, p.123).
Revista digital Matemática: Funciones Reales de Variable Real
“Sea :f una función, f recibe el nombre de función polinomial de segundo grado
o función cuadrática si ,x x se cumple que: 2( )f x ax bx c , con a , b y c constantes
reales, 0a ” (Astorga y Rodríguez, 1984, p.37).
Como se puede notar a partir de las definiciones anteriores, a diferencia de los libros para
educación secundaria analizados, solo en el libro Precálculo: Matemática para el cálculo no definen
cuál es el dominio y el codominio de la función, en los otros casos menciona que es :f , aquí
es importante resaltar que el libro Matemática Básica con Aplicaciones, para el caso de la función
lineal la define de la siguiente forma :f D ; ( )f x mx b ; no obstante, para el caso de la
función cuadrática restringe que el dominio deba ser , y esto implicaría por ejemplo que la
función :f tal que 2( ) 2 1f x x x no es una función cuadrática.
83
4.2.3. Programa de Estudios de Matemática del MEP de Costa Rica
En relación con el actual currículo de Matemática del MEP es importante recalcar que en
dicho programa no aparecen definiciones formales sino una serie de orientaciones para el docente
sobre qué temas debe abordar de dicha función; sin embargo, dentro de una de las habilidades se
encuentra lo siguiente:
“Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio 2( )f x ax bx c , 0a ”
4.2.4. Investigaciones previas
Las siguientes definiciones fueron encontradas en investigaciones, a nivel de maestría,
relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática.
“La función cuadrática o polinomial de segundo grado, es una función de en de
la forma 2
xf ax bx c , donde , ,a b c , 0a ” (Hernández, Márquez, Quiñonez,
2008, p. 54).
“Una función f de un conjunto A en un conjunto B con ,A B , es cuadrática si
para cualquier x A , 2( )y f x ax bx c ; , ,a b c , 0a . El gráfico de la función
cuadrática se define como: 2 2, /fG x y y ax bx c , y corresponde a una
parábola.” (Vargas, 2011, p. 17)
A nivel general, de esta segunda sección, se destaca que las definiciones coinciden en su
representación algebraica; no obstante, todas utilizan la representación algebraica polinómica, en
ninguna de las fuentes utilizan las otras representaciones algebraicas de una función cuadrática,
como lo son la forma multiplicativa o mediante la utilización del vértice (ver capítulo Análisis de
Contenido). Además, es importante resaltar que en este sentido en el Programa de Estudios tampoco
se menciona que deba hacerse el estudio de estos otros tipos de representaciones algebraicas.
Por otro lado, en las investigaciones previas, específicamente el caso de Vargas (2011) es el
único que utiliza el gráfico funcional para definir la función cuadrática.
84
CAPÍTULO V
ANÁLISIS DE CONTENIDO
En este apartado se muestra el análisis de contenido tanto de la función lineal como
de la función cuadrática, considerando para ello tres organizadores, a saber: la estructura
conceptual, conformada por el campo conceptual y el campo procedimental, los sistemas de
representación donde se sintetizan las diferentes maneras en las que se puede presentar la
función lineal y cuadrática, y finalmente, la fenomenología, donde se citan diferentes
escenarios donde tienen uso estas funciones. Cabe resaltar que se presentará el análisis de
contenido correspondiente a cada función por separado; primeramente, el de la función
lineal y, posteriormente, el de la función cuadrática.
5.1. Descripción de los organizadores
Con base en la información proporcionada por fuentes como libros de texto de
Matemática para educación secundaria, libros universitarios dirigidos a carreras de
ingeniería, y otros que son utilizados en la carrera Enseñanza de la Matemática de la
Universidad Nacional, se realiza el estudio de los tres organizadores que articulan este
capítulo.
En el caso de la estructura conceptual, se realizó un análisis de los conceptos y
procedimientos involucrados en estas funciones. En el campo o bloque conceptual estos
aparecen clasificados en términos, notaciones, convenios, resultados, conceptos y
estructura; mientras que, para el bloque procedimental aparecen clasificados en destrezas,
razonamientos y estrategias (cada uno de estos términos fueron definidos en el apartado
2.5.1 Análisis de Contenido del marco teórico).
Por otro lado, en relación con los sistemas de representación, en ambas funciones,
los mismos se clasificaron en cinco tipos de representaciones: simbológica, algebraica,
verbal, gráfica y tabular.
85
Finalmente, en el organizador correspondiente al análisis fenomenológico, se
delimitan aquellas situaciones donde tienen uso los conceptos matemáticos involucrados,
aquellas en los que estos muestran su funcionalidad (Lupiáñez, 2013). Con la intención de
delimitar la funcionalidad de los tópicos relacionados con la función lineal y la función
cuadrática se trató de dar respuestas a ¿en qué contextos o situaciones se utilizan estas
funciones? ¿Para qué sirven o se utilizan estos tópicos en las situaciones en las que están
implicadas?
Lo anterior, con el objetivo de determinar diferentes contextos donde se muestre la
utilidad de dicho tópico y, posteriormente, utilizarlos en algunos de los problemas del
Material Didáctico que resultará de esta investigación.
Como parte de la realización del análisis fenomenológico se tomará en cuenta el
desarrollo histórico de las funciones en cuestión, con el fin de examinar la utilidad que le
han dado a la “linealidad” y a lo “cuadrático” en el transcurso de los años. Asimismo, cabe
resaltar que, se complementa este aspecto con el uso o aplicaciones que tienen estas
funciones, según algunos de los involucrados en los procesos de redacción del Programa de
Estudios vigente del MEP, o en los procesos de capacitación del Proyecto Reforma de la
Educación Matemática en Costa Rica, así como otros que se evidencian en libros de texto
para educación secundaria, y libros para universitarios dirigidos a carreras de ingeniería y
de Enseñanza de la Matemática.
86
5.2. Estructura conceptual de la función lineal
5.2.1. Campo conceptual
Tabla 1. Bloque conceptual de la función lineal
Aspectos
analizados Resultados obtenidos
Términos
Puntos, Recta, Par ordenado, Imágenes, Preimágenes, Pendiente, Creciente,
Decreciente, Constante, Criterio, Dominio, Codominio, Ámbito,
Representación gráfica, Intersección, Ecuación lineal, Función.
Notaciones
P( , )x y
( )f x y
m ( )f x mx b
y mx b
( , 0)x
(0, )y
f
:f D A
Convenios La función identidad ( )f x x , es un caso particular de la función lineal.
Las rectas horizontales se denotan por y b y las rectas verticales por x b .
Resultados
Si 0m entonces f es creciente.
Si 0m entonces f es decreciente.
Si 0m entonces f es constante.
Las rectas verticales no son representaciones gráficas de una función.
Dados los puntos 1 1,x y y 2 2,x y , la pendiente se puede determinar
como 2 1
2 1
y ym
x x
.
La representación gráfica de la función lineal interseca el eje x en el punto
, 0b
m
e interseca el eje y en el punto 0, b .
Conceptos Plano cartesiano, Dominio, Codominio, Rango, Monotonía, Intersección con
los ejes, Signo.
Estructuras
Modelos lineales.
Relaciones Binarias y Funciones.
Recta.
Fuente: Elaboración propia.
87
5.2.2. Campo procedimental
Tabla 2. Bloque procedimental de la función lineal
Aspectos
analizados Resultados obtenidos
Destrezas
Ubica puntos en el plano cartesiano.
Traza la representación gráfica a partir de puntos dados.
Traza la representación gráfica a partir del criterio de la función.
Extrae puntos a partir de la representación gráfica.
Calcula imágenes.
Calcula preimágenes.
Calcula la pendiente a partir de dos puntos dados.
Identifica la pendiente en el criterio de la función.
Determina la intersección con el eje x en la representación gráfica y
algebraica.
Determina la intersección con el eje y en la representación gráfica y
algebraica.
Resuelve ecuaciones lineales.
Identifica la monotonía de la función en la representación gráfica.
Razonamientos
Obtiene el valor numérico de la pendiente a partir de la representación gráfica.
Obtiene la ecuación de la recta (dados dos puntos, dada la representación gráfica o dada la pendiente y un par ordenado).
Identifica la monotonía de la función dado su criterio.
Identifica el comportamiento de la gráfica de la función respecto a
los parámetros m y b .
Estrategias
Modela problemas en contextos reales utilizando funciones lineales.
Plantea problemas que involucren funciones lineales.
Extrae conclusiones a partir de un modelo lineal.
Resuelve problemas en contextos reales que involucran la función lineal.
Fuente: Elaboración propia.
88
5.3.Sistemas de representación de la función lineal
Tabla 3. Sistemas de representación de la función lineal
Aspectos
analizados Resultados obtenidos
Representación
simbólica
( )f x y
f
:f D A
Representación
Algebraica Polinómica: ( )f x mx b ; ,m b constantes reales.
Representación
verbal Una función es lineal, si el incremento o la disminución en la variable dependiente es directamente proporcional a la diferencia en la variable independiente.
Representación
gráfica
Traslación
Puntos de intersección
Eje de las abscisas
Eje de las ordenadas
Monotonía
Estrictamente creciente
Estrictamente decreciente
Constante
89
Representación
tabular
Tablas de valores, como instrumento para agrupar valores numéricos de la función y
calcular las imágenes y preimágenes de la misma, donde una de las columnas tiene los
valores de la variable independiente y en otra se colocan los correspondientes de la
variable dependiente.
x 0 5 10 15 20
y 0 50 100 150 200
Fuente: Elaboración propia.
5.4. Análisis fenomenológico de la función lineal
5.4.1. Historia de la función lineal
En la historia de la Matemática se determinaron cuatro escenarios históricos en
torno a la noción de linealidad (Acosta, 2011), de los cuales para esta investigación se
enfatizará en los primeros tres, ya que el último de estos corresponde al origen del álgebra
lineal, lo cual se aleja del foco de atención de esta investigación.
El primer escenario se ubica en la Matemática babilónica y la egipcia, donde se
alcanzó un gran desarrollo en la habilidad para abordar todo tipo de problemas de la vida
cotidiana, por ejemplo, los babilonios desarrollaron un sistema sexagesimal, donde
empleaban dos símbolos, uno para la unidad y otro para el agrupamiento de diez unidades,
dejando así evidencia en tablillas de arcilla (ver figura 1) de sus hallazgos matemáticos en
diversas actividades de su cotidianidad: comercio, agricultura, astronomía, calendarios,
entre otras (Roldán, 2013).
Figura 1. Tablilla Plimpton 3221
Figura 1. La Tablilla Plimpton 322 data según Sánchez y Valdés (2007) de
entre los años 1800 y 1650 A.C. Nombrada así por el número que lleva en la
colección Plimpton de la Universidad de Columbia. La tablilla Plimpton 322 está
parcialmente rota, mide aproximadamente 13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de
grosor. (Roldán, E., 2013).
90
Filloy (1998), citado en Acosta (2011), considera que la aritmética babilónica
funcionaba para hacer cálculos de áreas y volúmenes, donde estaba inmiscuida la
proporción directa.
En tanto, en la cultura egipcia, no solo se resolvían problemas aritméticos, sino que
también se dan soluciones a ecuaciones lineales de la forma x ax c o x ax bx c
donde , y a b c son conocidas y x desconocida. Boyer (1991), citado en Acosta (2011),
señala que en el Papiro de Rhind, se muestra la solución de este tipo de ecuaciones,
empleando un método que se conoce como el método de la falsa posición.
Figura 2. Papiro de Rhind
Figura 2. El Papiro de Rhind o también conocido como Papiro de
Ahmes, data del 1640 A.C, su contenido es puramente matemático con
problemas planteados y resueltos como la multiplicación y división, fracciones
unitarias, áreas de rectángulos, triángulos y círculos (aproximación de π),
resolución de ecuaciones con 1 incógnita y cálculo de volúmenes y cálculos
sobre pirámides. (Illana, 2012).
Se puede notar que la noción de proporción aparece en ambas culturas, por medio
del cálculo del cobro de impuestos, así como en el cálculo de áreas y de volúmenes, pues
como cita Roldán (2013), el manejo de la proporcionalidad se dio debido a que las
91
magnitudes a comparar deben ser de la misma naturaleza, longitudes con longitudes, áreas
con áreas, volúmenes con volúmenes.
En el segundo escenario, la noción de linealidad aparece explícita o implícitamente,
cuando Euclides hace mención de la recta en todos sus postulados. En su conocido libro,
Los Elementos, escrito hacia el año 300 A.C., presenta los conocimientos de la Grecia
clásica, deduciéndolos a partir de cinco postulados.
A base de lo anterior, Fermat introduce el estudio de la ecuación lineal de la forma
y mx partiendo de una recta. Donde la ecuación lineal es de la forma Dx By c , así
Fermat enuncia que todas las ecuaciones de primer grado representan líneas rectas
(Collette, 1998, citado en Roldán, 2013).
Ya para el tercer escenario, Acosta (2011) cita que fue denominado por Hofmann
(2002) como el Periodo Culminante del Barroco, fue una época en donde se presenta un
enlace conceptual entre la noción de proporcionalidad y la noción de linealidad, donde
Fermat y Descartes, dieron pleno sentido a los trabajos de Apolonio sobre lugares
geométricos, determinando la situación de un punto en un plano por su posición respecto al
eje de las abscisas, ya da a la recta que pasa por el origen, la forma bx ay y considera
ax by c como la ecuación de una recta en su forma general.
Las líneas rectas han jugado un papel importante para generar conocimiento
matemático, desde las funciones.
5.4.2. Aplicaciones de la función lineal
Se presenta en este apartado los resultados obtenidos del proceso de indagación
sobre los contextos en los que se utilizan funciones lineales.
a. La transformación de la temperatura entre escalas de grados Celsius, grados
Fahrenheit o grados Kelvin se realiza mediante funciones lineales. De acuerdo con
Griffith (2014), Fahrenheit estableció en su escala el punto de congelación del agua
en 32° y el de ebullición en 212°, estos dos puntos se fijan en 0° y 100° en la escala
92
Celsius, utilizando la fórmula de la pendiente se puede generar la siguiente fórmula
que permite convertir la temperatura en grados Celsius ( CT ) a grados Fahrenheit
( FT )
932
5F CT T
También se tiene una fórmula para convertir de grados Celsius a temperatura
absoluta en kelvins ( )
273,2K CT T
Adicionalmente, Griffith (2014) menciona que “la escala Celsius se usa en la
ciencia y en la mayor parte del mundo. Como las temperaturas Fahrenheit aún son
muy conocidas en Estados Unidos, comúnmente debemos convertir de una escala a
otra…”
b. El tiempo que se utiliza en un parqueo en relación con el monto a pagar y problemas
de consumo y costo. (R. Poveda, comunicación personal, 29 de setiembre, 2016).
c. Tarifas telefónicas que dependen del plan que ofrece una determinada compañía y la
tarifa de un taxi en relación a la cantidad de kilómetros recorridos. (M. Zumbado,
comunicación personal, 28 de diciembre, 2016).
d. En el caso particular de movimientos rectilíneos uniformes, por ejemplo, en el caso
de una bola que sube en un cilindro, un embudo, y se tienen marcadas las distancias,
entonces con un cronómetro se pueden calcular las velocidades, entonces las
velocidades son directamente proporcionales al tiempo que se va midiendo, por lo
que van a salir rectas. Se utilizan también en los problemas de oferta y demanda en
Economía. (E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero, 2017).
e. En el cálculo de la frecuencia cardiaca máxima, dado que desciende ligeramente
con la edad, disminuyendo de manera lineal a partir de la adolescencia (Costill y
Wilmort, 2007).
93
Otras aplicaciones que tiene esta función son mencionadas por Gutiérrez, Herrera,
Mora, Ramírez, Sandi y Solano (2014), quienes citan que las funciones lineales se pueden
utilizar en los siguientes contextos:
a. Para calcular la edad, aproximada en semanas, de un feto tras medir su longitud en
centímetros.
b. Al calcular el precio por hospedaje en un hotel después de cierta cantidad de días de
ocupación.
c. En el cálculo del saldo a pagar por la realización de un contrato de compra y venta
de una casa después de una determinada cantidad de mensualidades pagadas.
d. Al determinar la depreciación de un activo transcurrido una cantidad de tiempo.
e. En el cálculo de la constante de un resorte a partir de la representación gráfica de
una fuerza que actúa para elongar el resorte; utilizando la ley de Hooke.
Los contextos anteriores muestran que la función lineal se pueden utilizar para
modelar situaciones de distinta índole y de distinto nivel de complejidad, por un lado
tenemos contextos usuales como lo son: la determinación del pago de la tarifa de un taxi en
relación con la cantidad de kilómetros recorridos, el pago en un parqueo dependiendo del
tiempo, hasta situaciones como la Ley de Hooke o en la determinación de la frecuencia
cardiaca máxima.
La información trabajada en este apartado se resume en el siguiente esquema, en él
se enlazan la mayor parte de los datos analizados.
94
Figura 3. Contenidos y relaciones que se dan dentro de la estructura de la función lineal.
Fuente: Elaboración propia
95
5.5. Estructura conceptual de la función cuadrática
5.5.1. Campo conceptual
Tabla 4. Bloque conceptual de la función cuadrática.
Aspectos
analizados Resultados obtenidos
Términos
Puntos, Gráfico, Imágenes, Preimágenes, Parábola, Creciente, Decreciente,
Criterio, Dominio, Codominio, Ámbito, Representación Gráfica, Intersección,
Raíces, Ecuación cuadrática, Función, Discriminante, Vértice, Eje de simetría,
Cóncava hacia arriba, Cóncava hacia abajo, Máximo, Mínimo.
Notaciones
:f D A
2( )f x ax bx c , con 0a y a , b , c .
2
( )f x a x h k con 0a y ,h k el vértice de la parábola
1 2( )f x a x x x x , con 0a y 1x , 2x .
Convenios Discriminante: 2 4b ac
Resultados
Eje de simetría: 2
bx
a
Vértice ,2 4
b
a a
Intersección con el eje y 0, c
Intersección con eje x , 02
b
a
Si 0a entonces f es cóncava hacia arriba
Si 0a entonces f es cóncava hacia abajo
Si 0a entonces el ámbito de f es ,4a
, es estrictamente creciente en
,2
b
a
y estrictamente decreciente en ,
2
b
a
Si 0a entonces el ámbito de f es ,4a
, es estrictamente creciente en
,2
b
a
y estrictamente decreciente en ,
2
b
a
Conceptos Plano cartesiano, Dominio, Codominio, Rango, Concavidad, Intersección con los
ejes, Signo, Puntos relativos.
Estructuras
Modelos cuadráticos.
Relaciones Binarias y Funciones.
Parábola.
Fuente: Elaboración propia.
96
5.5.2. Campo procedimental de la función cuadrática
Se organizan, a continuación los procedimientos establecidos para el campo o
bloque procedimental correspondiente a la aplicación de los conceptos relaciones con la
función cuadrática en destrezas, razonamientos y estrategias.
Tabla 5. Bloque procedimental de la función cuadrática
Aspectos
analizados Resultados obtenidos
Destrezas
Determina si existe la intersección con el eje x de forma gráfica y algebraica.
Relaciona el valor del discriminante con la cantidad de intersecciones que tiene la
gráfica con el eje x .
Calcula la intersección con el eje x dada la función en forma algebraica o gráfica.
Calcula la intersección con el eje y dada la función en forma algebraica o gráfica.
Identifica la relación que hay entre c y la intersección con el eje y , en la
representación gráfica.
Identifica la relación del parámetro a con la concavidad en una representación gráfica.
Determina los intervalos de crecimiento o decrecimiento de forma algebraica.
Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la representación gráfica.
Identifica el vértice en el esbozo de la gráfica.
Obtiene el ámbito de la función a partir de la representación gráfica.
Utiliza el vértice para calcular ámbito de la función.
Determina a partir de la representación gráfica los valores de a , b y c utilizando los
pares ordenados de la misma y un sistema de ecuaciones.
Es capaz de resolver ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de
segundo grado.
Razonamien
tos
Identifica la concavidad de la función dado el criterio.
Relaciona la gráfica de la función con inecuaciones cuadráticas para determinar donde es positiva o negativa.
Calcula el vértice a partir del criterio de la función.
Obtiene el máximo o mínimo de la función en la representación gráfica.
Calcula el ámbito de la función cuando el dominio es .
Calcula el ámbito de la función sobre un dominio restringido.
Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función.
Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica.
Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva.
Logra representar gráficamente una función cuadrática a partir de su representación algebraica.
Estrategias
Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es capaz de extraer conclusiones a partir de ella.
Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales.
Es capaz de plantear problemas que involucren funciones cuadráticas.
Fuente: Elaboración propia.
97
5.6. Sistemas de representación de la función cuadrática
Para la función cuadrática se distinguen cinco representaciones como la simbólica,
algebraica, verbal, gráfica y tabular, como se muestra en la siguiente tabla.
Tabla 6. Sistemas de representación de la función cuadrática
Aspectos
analizados Resultados obtenidos
Representación
simbólica
f
:f D A
( )f x y
Representación
Algebraica
2( )f x ax bx c , con 0a y a , b , c .
2
( )f x a x h k con 0a y ,h k el vértice de la parábola
1 2( )f x a x x x x , con 0a y 1x , 2x .
Representación
verbal
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación
donde se relaciona un término cuadrático distinto de cero, un término lineal y un
término independiente.
Representación
gráfica
Traslación
Horizontal
Vertical
Modulación Dilatación
Puntos de intersección con los ejes
Eje de las abscisas Eje de las ordenadas
98
Concavidad
a >0
a<0
Representación
tabular
Tablas de valores, como instrumento para agrupar valores numéricos de la
función y calcular las imágenes y preimágenes de la misma.
x 0 2 4 6 8
y 0 5 17 37 65
Fuente: Elaboración propia.
5.7.Análisis fenomenológico de la función cuadrática
5.7.1. Historia de la función cuadrática
En el siguiente apartado se presentará una breve reseña de la historia de la función
cuadrática, este concepto no se descubrió en una época específica sino ha venido
evolucionando de acuerdo con el aporte de diversas culturas y como consecuencia del
descubrimiento de secciones cónicas, ecuaciones cuadráticas, concepto de funciones y
lenguaje variacional.
La cultura babilónica fueron los que iniciaron los estudios de la función cuadrática por
medio de la representación tabular, dicha representación la utilizaban para resolver
problemas de variación continua y observaciones astronómicas; paralelo a esto resolvían
99
ecuaciones de segundo grado pues estaban muy ligadas al concepto de función, una de los
principales apariciones es la siguiente frase "Hallar un número tal que sumado a su inverso
dé un número dado", los resultados anteriores sucedieron en los 5000 años antes de Cristo
(Meza y Villa, 2008).
La cultura griega se enfocaron en dos aspectos: uno de carácter aritmético con respecto
al aporte de una representación algebraica y el otro geométrico. Con respecto a lo
aritmético, la escuela pitagórica establece razonamientos numéricos para sucesiones y
progresiones, haciendo un empalme con la geometría en relación con los números figurados
(Meza y Villa, 2008).
Otro aporte importante de la cultura griega, de acuerdo con Vargas (2011), es el
descubrimiento de las secciones cónicas y todas sus propiedades, dentro de estas secciones
esta la parábola donde se inician los estudios del vértice, su respectiva representación
algebraica y el análisis de la parábola de una forma analítica.
Los árabes dieron un paso muy importante, ya que lograron evidenciar las
soluciones de una ecuación cuadrática vinculada con la geometría, mientras que los griegos
se enfocaron por medio de Apolonio en la construcción de las cónicas, donde se dio la
primera definición de parábola como un concepto de equiparación; además, trabajaron las
representaciones algebraicas como2x ay e
2y ax .
Galileo Galilei realizó aportes a la construcción epistemológica del concepto de
“función cuadrática” la cual se encuentra vinculada de manera explícita a los procesos de
modelización de los fenómenos de variación, es importante agregar que este concepto surge
en la necesidad de estudiar el movimiento de los objetos aquellos que no sean de forma
lineal, un gran ejemplo de ello es la relación de un movimiento parabólico cuando
intervienen las variables tiempo y altura (Villagra, 2012). Newton se encargó de dar un
paso al concepto de función en tanto es posible hallar una relación para cualquier instante
(variable) y un punto de la parábola (variable), y el estudio analítico de la parábola está
dado por una ecuación de segundo grado.
100
5.7.2. Aplicaciones de la función cuadrática
En esta sección se presenta una serie de aplicaciones o fenómenos en los que tienen
utilidad las funciones cuadráticas, la mayoría de ellas fueron obtenidas de la indagación en
investigaciones previas, aunque se enriqueció con una entrevista realizada para el desarrollo
de esta investigación.
Villarraga (2012) cita las siguientes aplicaciones, categorizándolas dependiendo de
la definición.
Las aplicaciones de la función cuadrática, como caso particular de función
polinómica se pueden evidenciar, por ejemplo, en situaciones de optimización
relacionadas con costo, demanda y áreas.
Particularmente, se usa en problemas con respecto a la industria, en los casos
de ganancias máximas, mínimas y costos (M. Zumbado, comunicación personal, 28
de diciembre, 2016).
Las situaciones que le dan sentido a la función cuadrática como una función
potencial de proporcionalidad directa son las aplicaciones que surgen en problemas
físicos como: la intensidad de la iluminación sobre una superficie, la distancia
recorrida por una esfera en un plano inclinado respecto al tiempo, la relación de la
producción de calor con respecto a la corriente eléctrica, el movimiento de caída
libre de los cuerpos, entre otros.
Entre las situaciones que le dan sentido a la función cuadrática como una
herramienta de representación de curvas parabólicas o lugares geométricos se
encuentran situaciones físicas con antenas parabólicas, espejos cóncavos y convexos
y algunas aplicaciones de la ingeniería como la construcción de puentes.
Para encontrar la talla a medida que transcurren las semanas de gestación de un feto
se utiliza una función cuadrática conocida como regla de Haese.
101
El crecimiento de una planta en forma de círculo, en el que hay una relación
cuadrática entre el radio del círculo que forma y el tiempo que tiene esa planta; al
lanzar una piedra, y analizar la relación tiempo, velocidad y altura; al modelar el
drenaje de una cancha de fútbol sintética que tiene forma de una parábola cóncava
hacia abajo (R. Poveda, comunicación personal, 29 de setiembre, 2016).
El frenado del automóvil, al depreciar ciertas variables, es modelado por una
función cuadrática y en los movimientos parabólicos (E. De Faria, comunicación
personal, 26 de enero, 2017).
Giacomone y Loría (2015) mencionan las siguientes aplicaciones:
El trabajo con reflectores parabólicos, los cuales ponen en evidencia la propiedad
del foco y su relación con la parábola; por ejemplo, en espejos, lentes y antenas
parabólicas.
El estudio de la energía, como por ejemplo, la energía potencial elástica en relación
con la energía cinética de un resorte de constante k, una ejemplificación de la
situación anterior es la fórmula para calcular la energía elástica 21
2cE mv y la
energía potencial con 21
2pE k x
En ciencias sociales como la economía, la función cuadrática modela situaciones
costo – ingreso en problemas de optimización (M. Zumbado, comunicación
personal, 28 de diciembre, 2016).
En relación con las aplicaciones mencionadas en esta sección se puede destacar
que abarcan distintas áreas, dado que tienen relación con aspectos de economía y de
física; además, propiamente como concepto matemático hace uso de aspectos
relacionados directamente con el concepto de parábola, estas aplicaciones nos ayudarán
para evidenciar en el material didáctico unas Matemática contextualizadas.
De forma similar al esquema realizado para la función lineal, se presenta a
continuación, a manera de resumen un esquema con la mayoría de conceptos trabajados
para la función cuadrática.
102
Figura 4. Contenidos y relaciones que se dan dentro de la estructura de la función cuadrática.
Fuente: Elaboración propia
103
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS COGNITIVO
Se presenta en este apartado las expectativas de aprendizaje en torno a la función lineal y
cuadrática, así como un listado de aspectos necesarios para la consecución de cada habilidad
específica; además, se enlistan posibles dificultades y errores que se podrían evidenciar al
abordar temas relacionados con dichas funciones en las aulas de educación secundaria.
En relación con las dificultades y errores, los mismos fueron obtenidos a través de dos
cuestionarios, uno aplicado a docentes y otro a estudiantes; en el caso de los docentes fueron
profesores en ejercicio, de la Direcciones Regionales de San José Central y Heredia, los cuales
han impartido décimo año con el actual currículo de Matemática del MEP, se aplicaron en total
treinta cuestionarios, quince en San José y quince en Heredia; el otro cuestionario fue
administrado a setenta y seis estudiantes de décimo año que habían abordado ambos tópicos en
su colegio.
6.1. Expectativas de aprendizaje de la función lineal y función cuadrática
En esta investigación, para efectos del diseño del Material Didáctico, las expectativas de
aprendizaje sobre la función lineal y la función cuadrática serán las habilidades establecidas en el
Programa de Estudios del MEP. A continuación se presentan dichas habilidades.
Tabla 7. Habilidades específicas de la función lineal y cuadrática para décimo año.
Fuente: MEP (2012) Programa de Estudio en Matemática para la Educación General
Básica y el Ciclo Diversificado.
Conocimiento Habilidades específicas
Función lineal ( )f x mx b
1. Representar gráficamente una función lineal.
2. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas
y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.
3. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados
con ella.
4. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función lineal.
Función cuadrática 2( )f x ax bx c
con , ,a b c y 0a
1. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con
criterio 2( )f x ax bx c , 0a .
2. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función cuadrática.
104
6.2. Conocimientos y procesos matemáticos
A continuación se presenta un listado de los conocimientos matemáticos necesarios para
lograr cada una de las habilidades propuestas en el actual currículo de Matemática, los cuales
fueron obtenidos luego de la resolución, por parte de los investigadores, de algunos ejercicios y
problemas encontrados en diferentes libros de texto utilizados en educación secundaria, de la
revisión de conocimientos previos desarrollados en el Programa de Estudios y de la experiencia
de algunos de los investigadores, ya que los mismos imparten clases en educación secundaria. Se
abreviará, con HL y CL las habilidades y conocimientos, respectivamente, relacionados con la
función lineal, mientras que para la función cuadrática se abreviarán como HC y CC.
A su vez, se realiza una asociación entre dichos conocimientos matemáticos y los
procesos matemáticos que estable el currículo de Matemática vigente, estos procesos se deben
activar en los estudiantes en las clases de Matemática, se citan a continuación: razonar y
argumentar, plantear y resolver problemas, comunicar, conectar, y representar, los cuales se
abreviarán como RA, PR, COM, CON y R, respectivamente (la definición de cada uno de ellos
se abordó en la sección 2.1 de este documento).
Para determinar con qué proceso matemático se relaciona cada conocimiento que se
derivó de las habilidades, se consideraron los criterios establecidos por Lupiáñez (2013), el cual
cita que; primeramente, se tiene que ver la propia definición y caracterización de cada uno de los
procesos matemáticos, ya que cada uno de ellos tiene un énfasis en determinadas actuaciones e
implica unas demandas cognitivas prioritarias, para el caso particular de este criterio se utilizaron
las caracterizaciones de los procesos establecidas en el documento denominado “Evaluación y
Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades superiores”
(Ruiz, 2017); seguidamente, se tiene que ver el diseño curricular global de la asignatura, en este
caso todo lo establecido en el Programa de Estudios; un tercer criterio tiene que ver con la
información que suministra el análisis del contenido matemático, pues en él se ponen en
manifiesto la diversidad de significados de las nociones Matemática involucradas (Ver capítulo
V), y el último criterio, está asociado con las decisiones que el profesor toma al momento de
planificar las actividades de la clase.
105
Función lineal
Tabla 8. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las habilidades
de la función lineal y los procesos matemáticos propuestos por el MEP.
Procesos Matemáticos MEP
HL1. Representar gráficamente una función lineal. RA PR COM CON R
Asp
ecto
s
nec
esar
ios
CL1. Ubica puntos en el plano cartesiano X
CL2.Calcula imágenes a partir del criterio de una función X
CL3.Traza una representación gráfica a partir de puntos dados X
CL4. Traza la representación gráfica a partir del criterio de una
función
X
Procesos Matemáticos MEP
HL2. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las
ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica
o algebraica.
RA PR COM CON R
Asp
ecto
s nec
esar
ios
CL5. Comprende el concepto de pendiente X
CL6. Calcula la pendiente de una recta dados dos pares
ordenados utilizando la fórmula de la pendiente
X
CL7. Extrae pares ordenados de una representación gráfica
para el cálculo de su pendiente
X
CL8. Identifica la pendiente, en el criterio de la función, sin
importar el orden de las variables
X
CL9. Comprende el concepto de monotonía de una función X X
CL10. Identifica la monotonía de la función en la
representación algebraica
X
CL11. Identifica la monotonía en la representación gráfica X
CL12. Relaciona la monotonía de la función, en su forma
gráfica, con el signo de la pendiente
X
CL13. Resuelve ecuaciones lineales X
CL14. Identifica la relación que hay entre “b” y la intersección
con el eje “y”
X
Procesos Matemáticos MEP
HL3. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos
relacionados con ella. RA PR COM CON R
Asp
ecto
s nec
esar
ios CL15. Obtiene a partir de la representación gráfica la ecuación
de la recta
X X
CL16. Obtiene a partir de pares ordenados la ecuación de la
recta
X X
CL17. Calcula el valor de “b” dada la pendiente y un par
ordenado de la función
X
CL18. Realiza operaciones algebraicas y aritméticas para
resolver ecuaciones lineales
X
106
Procesos Matemáticos MEP
HL4. Plantear y resolver problemas en contextos reales
utilizando la función lineal. RA PR COM CON R
Asp
ecto
s nec
esar
ios CL19. Identifica situaciones reales que siguen un modelo lineal X X
CL20. Redacta problemas que involucren funciones lineales X X X X X
CL21. Extrae conclusiones a partir de un problema que se
modela a través de una función lineal X X X
CL22. Representa gráficamente el comportamiento que sigue
un determinado problema X
Fuente: elaboración propia.
Función cuadrática
Tabla 9. Relación entre los conocimientos necesarios para la consecución de las
habilidades de la función cuadrática y los procesos matemáticos propuestos por el MEP.
Procesos Matemáticos MEP
HC1. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática
con criterio 2( )f x ax bx c , 0a .
RA PR COM CON R
Asp
ecto
s nec
esar
ios
CC1. Factoriza polinomios cuadráticos X
CC2. Efectúa multiplicaciones con polinomios X
CC3. Utiliza productos notables para desarrollar expresiones
algebraicas
X
CC4. Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”
X
CC5. Resuelve ecuaciones cuadráticas en el cálculo de las
intersecciones con el eje “x”
X
CC6. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección
con el eje “y”, en la representación gráfica
X
CC7. Identifica la relación del parámetro “a” con la
concavidad en una representación gráfica
X
CC8. Identifica la concavidad de la función dado el criterio X
CC9. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la
función
X
CC10. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación
gráfica de la función
X
CC11. Obtiene el vértice a partir del criterio de la función X
CC12. Obtiene el máximo o mínimo de la función en la
representación gráfica
X
CC13. Identifica el vértice dada la gráfica X
107
CC14.Diferencia entre intervalos de monotonía y los intervalos
donde la función es positiva o negativa
X
CC15. Determina los intervalos de monotonía a partir del
criterio de la función
X
CC16. Determina los intervalos de monotonía a partir de la
representación gráfica de la función
X
CC17. Determina los intervalos donde la función es positiva o
negativa en la representación gráfica
X
CC18. Obtiene el ámbito de la función a partir de la
representación gráfica
X
CC19. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio es X X
CC20. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio no es
X X
CC21. Utiliza el vértice en el cálculo del ámbito de la función X
CC22. Obtiene el mayor intervalo donde la función es
inyectiva
X
CC23. Logra representar gráficamente una función cuadrática
a partir de su representación algebraica
X
CC24. Determina a partir de la representación gráfica los
valores de “a”, “b” y “c”
X X
CC25. Determina a partir de la representación algebraica los
valores de “a”, “b” y “c”
X
Procesos Matemáticos MEP
HC2. Plantear y resolver problemas en contextos reales
utilizando la función cuadrática. RA PR COM CON R
Asp
ecto
s nec
esar
ios
CC26. Identificar situaciones reales que siguen un modelo
cuadrático
X X
CC27. Redactar problemas que involucren funciones
cuadráticas
X X X X X
CC28. Extraer conclusiones a partir de un problema que se
modela a través de una función cuadrática
X X X
CC29. Diferenciar en un problema de máximo- mínimo
cuando se debe obtener la abscisa del vértice y cuando la
ordenada dependiendo de la pregunta que se formule
X X
Fuente: Elaboración propia
6.3. Errores y dificultades asociadas con el aprendizaje de la función lineal y
cuadrática
La importancia de este apartado radica en que la detección de las dificultades y los
errores vinculados a un contenido matemático permite realizar un estudio de los factores
que pueden interferir en el proceso de aprendizaje del estudiante, y así se facilitará la
elección de tareas adecuadas, para enfrentar dichos errores (Arias y González, 2016). En
108
este sentido concuerdan Abrate et al. (2006) quienes mencionan que los contenidos de cada
unidad didáctica se deberían adaptar, ampliar o variar, para tratar la diversidad de errores y
dificultades que pueden presentar los alumnos.
A continuación se presenta una serie de errores y dificultades que fueron detectados
por treinta docentes de Matemática en ejercicio, cuando desarrollaron en sus clases los temas
de función lineal o cuadrática, los mismos fueron recolectados a través de un cuestionario que
consta de dos partes: en la primera se le presentaba a los docentes cada una de las habilidades
propuestas en el Programa de Estudios y una serie de aspectos que se derivaban de los
mismos, para cada uno de ellos los docentes asignaban un valor numérico de uno a cinco,
donde cada número representa la frecuencia con que sus estudiantes desarrollaban dicha
acción, siendo 1: Nunca, 2: Casi nunca, 3: Algunas veces, 4: Casi siempre y 5: Siempre,
mientras que la segunda parte tuvo dos preguntas abiertas mediante las cuales se les
solicitaban, explícitamente, anotar los errores y dificultades que han detectado al momento de
enseñar los tópicos en cuestión (ver anexo 2).
Después de la aplicación del cuestionario para docentes, se realizó una sumatoria de
cada posible dificultad, las cuales fueron propuestas en dicho instrumento, seguidamente
aquellas que obtuviera un porcentaje mayor al 50% en las categorías de nunca o casi nunca, se
consideraron como una dificultad aportada por los docentes de secundaria.
Asimismo, se desarrolló un cuestionario con una serie de ejercicios referentes a la
función lineal y a la función cuadrática, y se aplicó a setenta y seis estudiantes de décimo año
que ya habían abordado dichos tópicos en sus clases. Para determinar los errores que ellos
comenten en estas temáticas, dichos cuestionarios fueron revisados por los investigadores uno
a uno, y se clasificaron y contabilizaron cada uno de los errores encontrados.
Este apartado se dividirá en dos secciones a saber: función lineal y función cuadrática,
para cada una de ellas se mostrarán primero los errores y posteriormente las dificultades. Para
el caso de los errores los mismos se clasificaron de acuerdo con algunas de las categorías
abordadas en el marco teórico de esta investigación (ver sección 2.3).
109
6.3.1. Función Lineal
6.3.1.1. Errores cometidos por los estudiantes
1) Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales
a. Omisión del signo de un número al calcular m cuando una de las coordenadas
de un par ordenado es negativa.
b. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas en el
conjunto de los números reales.
c. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números reales
(sumas y multiplicaciones erradas).
110
2) Errores debido a asociaciones incorrectas
a. Dado el criterio de asociación de una función lineal de la forma ( )mx b
f xa
,
asocia el valor numérico de la pendiente a m y no a m
a .
b. Dado el criterio de asociación de una función lineal de la forma ( )mx b
f xa
,
asocia la intersección con el eje de las ordenadas a b y no a b
a.
Asocia el hecho de que el valor numérico de b en 1 2
( )3
xf x
es uno.
c. Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos y
procedimientos para la realización de una tarea Matemática.
111
a. Conceptuales, no distingue entre abscisas y ordenadas.
b. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer 2 1
2 1
x x
y y
ó
2 2
1 1
y xm
y x
.
c. Ubicación incorrecta de pares ordenados en el plano cartesiano.
A.
112
B.
d. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta pares ordenados presentes en
la misma.
e. Error al aplicar el orden de la prioridad de las operaciones básicas en los
números reales.
113
f. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de ecuaciones lineales.
A.
B.
g. Al dar expresiones de la forma ( )f a b asume que , fb a G .
114
h. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la monotonía de la
función.
i. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la intersección con el
eje y de una gráfica.
j. Error al homogenizar fracciones en la resolución de ecuaciones lineales.
115
k. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión algebraica
que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas con base en él.
1.
2.
116
3. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una parábola como su
representación gráfica.
A.
B.
4. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en cuenta el
dominio de la misma.
117
En este ítem en particular no se toma en cuenta el hecho de que al tratarse de
televisores las cantidades son discretas y finitas, por lo que la representación gráfica no
puede incluir las abscisas negativas y la línea debe ser punteada pues es un dominio y
ámbito discreto; adicionalmente, como se definió la función lineal el dominio es un
subconjunto de los números reales.
En la siguiente tabla se presenta la suma de la cantidad de veces que apareció dicho
error tanto de forma individual como de forma global según categoría, esto con el objetivo
de prestar especial atención a aquellos errores que se presentaron con mayor frecuencia.
Como una forma de facilitar la referencia a los errores relacionados con la función lineal,
estos se abreviarán con las siglas EFL.
Tabla 10. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la
resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función lineal.
Categoriza-
ción de los
errores
FUNCIÓN LINEAL
( )f x mx b
Acciones cometidas
Cantidad de
veces que
apareció
cada error
Cantidad
total por
categoría
Errores
debidos a
cálculos
incorrectos
o
accidentales
EFL1. Omite el signo de un número al calcular m cuando
una de las coordenadas de un par ordenado es negativa.
EFL2. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto
de los números reales (sumas y multiplicaciones erradas)
EFL3. Mal empleo de la ley de signos en la realización de
operaciones básicas en el conjunto de los números reales.
10
7
4
21
Errores
debidos a
asociaciones
incorrectas
EFL4. Dado el criterio de asociación de una función lineal
de la forma ( )mx b
f xa
, asocia el valor numérico de la
pendiente a m y no a m
a .
EFL5. Dado el criterio de asociación de una función lineal
de la forma ( )mx b
f xa
, asocia la intersección con el
eje de las ordenadas a b y no a b
a .
3
3
6
118
Errores
originados
por
deficiencias
en el manejo
de
conceptos,
contenidos y
procedimien
tos para la
realización
de una tarea
Matemática
EFL6. Ubicación incorrecta de pares ordenados en el
plano cartesiano.
EFL7. Dado un problema definido en forma verbal,
determina una expresión algebraica que modele el mismo,
pero extrae conclusiones erróneas con base en él.
EFL8. Error al expresar en forma gráfica una situación
dada al no tomar en cuenta el dominio de la misma.
EFL9. No relaciona el signo de m (positivo, negativo,
cero) con la monotonía de la función.
EFL10. No relaciona el signo de b (positivo, negativo,
cero) con la intersección con el eje y de una gráfica.
EFL11. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta
pares ordenados presentes en la misma.
EFL12. Error al aplicar algoritmos relacionados con la
resolución de ecuaciones lineales
EFL13. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente
al hacer 2 1
2 1
x xm
y y
ó 2 2
1 1
y xm
y x
.
EFL14. Conceptuales, no distingue entre abscisas y
ordenadas.
EFL15. Al dar expresiones de la forma ( )f a b no
distingue cuál par ordenado pertenece al gráfico funcional
de f si ,a b o ,b a .
EFL16. Error al aplicar el orden de la prioridad de las
operaciones básicas en los números reales.
EFL17. Error al homogenizar fracciones en la resolución
de ecuaciones lineales.
EFL18. Dada la representación algebraica de una función
lineal traza una parábola como su representación gráfica.
17
14
13
12
11
10
9
5
3
3
2
2
2
103
Fuente: Elaboración propia
De esta sección se puede resumir que una gran parte de los errores cometidos por
los estudiantes responden a falta de dominio de conceptos, como por ejemplo, al
119
significado de los términos abscisas y ordenadas; y al cálculo incorrecto de las operaciones
principalmente, en las leyes de signo, en la omisión de los mismos y en la jerarquización de
las operaciones. También destacan errores en conocimientos previos como la resolución de
ecuaciones lineales y la ubicación de pares ordenados. Siendo este último alarmante dado
que es un tema que se aborda desde tercer grado hasta noveno año; en primera instancia,
con una noción de posición y localización de personas u objetos a partir de un punto de
referencia, posteriormente en sétimo año cuando se trabaja el plano cartesiano, en octavo
año con las homotecias y en noveno año con la fórmula de la distancia entre puntos.
Otro de los errores más comunes en esta categoría fue el hecho de no saber
interpretar de qué manera influye el valor de los parámetros m y b en la representación
gráfica de la función lineal. Es decir, no asocian la monotonía, ni la intersección con el eje
de las ordenadas con el valor de cada uno de los parámetros respectivamente. Así como no
distinguen el valor numérico de m y b en una función cuyos coeficientes son números
racionales; en este caso, solo toman en cuenta el numerador.
También se encontró que cuando se propone un problema definido en forma verbal,
los estudiantes logran determinar la expresión algebraica que modela la situación descrita.
Sin embargo, extraen conclusiones erróneas, lo que evidencia solo un dominio algorítmico.
6.3.1.2. Errores detectados por los profesores
A continuación se presenta una lista de errores, los cuales se obtuvieron por medio
de una pregunta abierta en el cuestionario aplicado a los docentes. Para el análisis de las
respuestas, se realizó una categorización con respecto a las respuestas obtenidas, en algunas
ocasiones los docentes no respondieron dicha pregunta, luego de hacer dicho análisis se
obtuvieron los siguientes resultados:
1) Mal manejo de signos.
2) No aplican la ley de operaciones combinadas para el cálculo de b .
3) El uso de operaciones básicas con números enteros.
4) Mal manejo algebraico, en el despeje de las variables.
5) Determinar los valores de m y b .
120
6) Incluir la variable como parte de la pendiente.
7) Sustituir en las fórmulas cuando m y b son valores negativos.
8) Confunden los ejes de coordenadas.
9) Cuando pasan a dividir el número que acompaña la y realizan un cambio de
signo.
10) Relaciona el valor de b con el eje x .
11) Extraer pares ordenados de una representación gráfica.
12) Despejar la variable y .
13) No identificar la diferencia entre preimagen e imagen en un problema
En esta otra sección, todos los errores mencionados por los docentes coinciden con
los detectados en el cuestionario aplicado a los estudiantes, lo que reafirma, que
efectivamente se requiere de una mayor profundización en los mismos.
6.3.1.3. Dificultades detectadas por los profesores.
A continuación se presentan una serie de dificultades que fueron detectadas por treinta
docentes de Matemática en ejercicio, cuando desarrollaron en sus clases los temas de función
lineal y función cuadrática, las mismas fueron recolectadas a través de un cuestionario que
consta de dos partes: en la primera parte se le presentaba a los docentes cada una de las
habilidades propuestas en el Programa de Estudios y una serie de aspectos que se derivaban de
los mismos, para cada uno de ellos los docentes asignaban un valor numérico de uno a cinco,
donde cada número representa la frecuencia con que sus estudiantes desarrollaban dicha acción,
siendo 1: Nunca, 2: Casi nunca, 3: Algunas veces, 4: Casi siempre y 5: Siempre.
Después de la aplicación de los cuestionarios, se realizó una sumatoria de cada
posible dificultad, las cuales fueron propuestas en dicho instrumento (ver anexo 2), a
continuación se presenta una tabla, donde se recopiló los resultados obtenidos y
posteriormente se identificaron cuáles son las dificultades que proponen los docentes.
121
Tabla 11. Sumatoria de los puntajes asignados por los profesores encuestados en relación
con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad.
Posibles dificultades de la función lineal ( )f x mx b Puntaje
obtenido
1. Redacta problemas que involucren funciones lineales 69
2. Plantea funciones lineales para modelar problemas en contextos reales 78
3. Dada la función lineal que modela un problema en un contexto real es capaz
de extraer conclusiones a partir de ella 80
4. Identifica situaciones reales que siguen un modelo lineal 81
5. Puede a partir de un problema construir una gráfica que represente la
situación mostrada 82
6. Comprende el concepto de pendiente 83
7. Obtiene, a partir de la representación gráfica, la ecuación de la recta 85
8. Traza una representación gráfica adecuada a partir de puntos dados 87
9. Obtiene el valor numérico de la pendiente a partir de la representación gráfica 87
10. Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al
resolver ecuaciones lineales 88
11. Traza la representación gráfica a partir del criterio de una función 89
12. Identifica la pendiente, en el criterio de la función, sin importar el orden de
las variables 89
13. Comprende el concepto de monotonía de una función 96
14. Identifica la monotonía de la función en la representación algebraica 99
15. Relaciona la monotonía de la función, en su forma gráfica, con el signo de
la pendiente 99
16. Calcula la intersección con el eje “x” 100
17. Ubica puntos en el plano cartesiano 101
18. Calcula la intersección con el eje “y” 104
19. Dada la pendiente y un par ordenado de la función calcula el valor de “b”
del criterio 104
20. Calcula imágenes a partir del criterio de una función 105
21. Identifica la monotonía en la representación gráfica 105
22. Obtiene, a partir de pares ordenados, la ecuación de la recta 106
23. Calcula la pendiente de una recta dados dos pares ordenados utilizando la
fórmula de la pendiente 110
24. Identifica la relación que hay entre “b” y la intersección con el eje “y”, en la
representación gráfica 118
Fuente: Elaboración propia
De las enunciadas anteriormente, se considerará como dificultad, para efectos de
esta investigación, a aquellas cuyo puntaje sea menor a noventa, dado que el puntaje
asignado por los docentes cuando un estudiante realiza algunas veces una determinada
122
actividad es de tres puntos, al ser treinta cuestionarios, si todos seleccionaran la categoría
algunas veces, el puntaje total sería noventa; por lo que, si el puntaje es menor a noventa es
porque la mayoría de los profesores asignó puntajes menores a tres, lo que quiere decir que
indicaban que sus estudiantes nunca o casi nunca realizaban dicha acción.
En la siguiente tabla se muestran los conocimientos derivados de cada habilidad
que, según los criterios de esta investigación, se considerarán como dificultades.
Tabla 12. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función lineal según
los docentes encuestados.
Posibles dificultades de la Función lineal Puntaje
obtenido
Redacta problemas que involucren funciones lineales 69
Plantea funciones lineales para modelar problemas en contextos reales 78
Dada la función lineal que modela un problema en un contexto real es
capaz de extraer conclusiones a partir de ella 80
Identifica situaciones reales que siguen un modelo lineal 81
Puede a partir de un problema construir una gráfica que represente la
situación mostrada 82
Comprende el concepto de pendiente 83
Obtiene a partir de la representación gráfica la ecuación de la recta 85
Traza una representación gráfica adecuada a partir de puntos dados 87
Obtiene el valor numérico de la pendiente a partir de la representación
gráfica 87
Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al
resolver ecuaciones lineales 88
Traza la representación gráfica a partir del criterio de una función 89
Identifica la pendiente, en el criterio de la función, sin importar el orden de
las variables 89
Fuente: Elaboración propia
En este apartado la mayoría de las dificultades señaladas por los docentes
corresponden a acciones que requieren de análisis que van más allá de aplicar algoritmos
para su resolución; principalmente, actividades como la identificación de modelos lineales,
y el planteamiento y resolución de problemas. Esto también puede deberse a que son
actividades que se desarrollan pocas veces en las clases.
123
6.3.2. Función cuadrática
6.3.2.1. Errores cometidos por los estudiantes.
1) Errores debidos a cálculos incorrectos o accidentales.
a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas en el
conjunto de los números reales.
b. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la fórmula de las
coordenadas del vértice.
2) Errores debidos a asociaciones incorrectas.
a. Cálculo incorrecto de potencias de base negativa.
124
3) Errores originados por deficiencias en el manejo de conceptos, contenidos y
procedimientos para la realización de una tarea Matemática.
a. Ubicación incorrecta de pares ordenados
b. Error al factorizar.
c. Error algebraico en la resolución ecuaciones lineales: al resolver ecuaciones
cuadráticas factorizan y al aplicar el Principio del Producto Nulo despejan
incorrectamente en los factores lineales.
125
d. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
e. No asocia el discriminante con la cantidad de intersecciones de la función con el
eje x .
f. Dado el criterio de una función cuadrática, no interpreta el valor de cada
parámetro para realizar la representación gráfica de dicha función.
En el siguiente caso la representación gráfica de la función es cóncava
hacia abajo dado que 0a , sin embargo al graficar el estudiante realiza una
parábola cóncava hacia arriba
En este ítem ambas gráficas intersecan al eje de las ordenadas en su parte
positiva, sin embargo el estudiante no asocia este hecho con el valor de c , dado que
indica 0c
126
g. Dada la representación gráfica de una función cuadrática, determina de forma
incorrecta pares ordenados que pertenecen a la misma.
h. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.
i. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no traza correctamente la
parábola.
127
j. Dada la representación gráfica de una función cuadrática al determinar el
criterio de la misma, utiliza la fórmula de la pendiente.
k. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función cuadrática pero no
determina el ámbito y los intervalos de monotonía o lo realiza de forma
incorrecta.
l.
2.
A continuación se presenta una tabla con la frecuencia absoluta de cada uno de los
errores cometidos por los estudiantes, tanto de forma individual, como categorizados.
128
Tabla 13. Categorización de errores y acciones realizadas por los estudiantes en la
resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática.
Categorización
de los errores
FUNCIÓN CUADRÁTICA 2( )f x ax bx c
Acciones cometidas
Cantidad
de veces
que
apareció
cada error
Cantidad
total por
categoría
Errores
debidos a
cálculos
incorrectos o
accidentales
a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en
la fórmula de las coordenadas del vértice.
b. Mal empleo de la ley de signos en la realización de
operaciones básicas en el conjunto de los números reales.
3
2
5
Errores
debidos a
asociaciones
incorrectas
a. Cálculo incorrecto de potencias de la forma 2a en
confusión con 2
a . 2 2
Errores
originados por
deficiencias en
el manejo de
conceptos,
contenidos y
procedimientos
para la
realización de
una tarea
Matemática.
a. No distingue qué determina cada variable del criterio
en su representación gráfica.
b. Calcula el vértice de la representación gráfica de una
función cuadrática pero no determina el ámbito y los
intervalos de monotonía o lo realiza de forma incorrecta.
c. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
d. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones de la función con el eje x .
e. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.
f.Confunde el intervalo de crecimiento con el de
decrecimiento.
g. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no
traza correctamente la parábola.
h. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
i. Dada la representación gráfica de una función
cuadrática, determina de forma incorrecta pares
ordenados que pertenecen a la misma.
j. Dada la representación gráfica de un función cuadrática
al determinar el criterio de la misma, utiliza la fórmula
de la pendiente.
k. Error al factorizar.
19
9
8
8
4
3
3
2
2
2
1
63
Fuente: Elaboración propia
129
En este apartado, al igual que en el de función lineal, la mayoría de los errores
detectados se ubican en la categoría de errores relacionados con el manejo de conceptos y el
cálculo incorrecto de operaciones en el conjunto de los números reales; aunque, en este caso
particular, se agudiza el hecho de no identificar de qué manera influye el signo de los
parámetros, del criterio algebraico de la función, en su representación gráfica.
Igualmente se observaron errores al resolver ecuaciones cuadráticas, en la relación del
signo del discriminante (positivo, negativo o cero) y la cantidad de intersecciones con el eje de
las abscisas; además, no logran relacionar la representación gráfica de cierta función con los
valores de los parámetros , y a b c .
Se aprecian también errores al determinar los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, el ámbito de la función y el valor del vértice a partir del criterio de una función.
6.4.2.2. Errores detectados por los profesores
A continuación se presenta una lista de errores, los cuales se obtuvieron por medio
de una pregunta abierta del cuestionario aplicado. Para el análisis de las respuestas, se
realizó una categorización con respecto a las respuestas obtenidas, en algunas ocasiones los
docentes no respondieron dicha pregunta, luego de hacer dicho análisis se obtuvieron los
siguientes resultados:
1) Mal manejo algebraico.
2) Sustituyen mal en las fórmulas cuando a , b y c son negativos
3) No identifica los valores de a , b y c .
4) Calcula mal el discriminante.
5) Cálculo de intersección con los ejes.
6) Cálculo del ámbito.
7) Confunden los ejes de coordenadas.
8) Confunden el concepto de ámbito con la monotonía.
9) Cálculo incorrecto en la solución de una ecuación cuadrática.
10) Mala interpretación en los resultados obtenidos.
130
11) Calculan mal la solución de una ecuación cuadrática cuando 0b .
12) Mal uso de intervalos abiertos y cerrados.
13) Error en el manejo algebraico para factorizar trinomios.
En este apartado algunos de los errores mencionados por los docentes
concuerdan con los detectados en la aplicación de los cuestionarios. Sin embargo,
aparecen algunos no contemplados y van relacionados, principalmente, con el manejo de
aspectos algebraicos, como lo son los métodos de factorización, el cálculo del valor
numérico del discriminante y la resolución de ecuaciones cuadráticas. Tomando en
cuenta esta información, es claro el por qué otro de los errores mencionados es el cálculo
de los puntos de intersección con los ejes coordenados, ya que para el caso de la
intersección con el eje de las abscisas se requiere del dominio de los aspectos
algebraicos en la que los estudiantes comenten errores.
En la siguiente tabla se sintetizan los errores relacionados con la función
cuadrática, tanto los evidenciados en el cuestionario aplicado a los estudiantes, como los
mencionados por los docentes. Estos errores se abreviarán con las siglas EFC.
Tabla 14. Enriquecimiento de la categorización de errores y acciones realizadas en la
resolución de ejercicios y problemas relacionados con la función cuadrática.
Categorización de
los errores
FUNCIÓN CUADRÁTICA 2( )f x ax bx c
Acciones cometidas
Errores debidos a
cálculos
incorrectos o
accidentales
EFC1. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones
básicas en el conjunto de los números reales.
EFC2. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la fórmula
de las coordenadas del vértice.
Errores debidos a
asociaciones
incorrectas
EFC3. Cálculo incorrecto de potencias de la forma 2a en confusión con
2
a .
131
Errores
originados por
deficiencias en el
manejo de
conceptos,
contenidos y
procedimientos
para la
realización de una
tarea Matemática.
EFC4. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
EFC5. Error al factorizar.
EFC6. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.
EFC7. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
EFC8. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones de la función con el eje x .
EFC9. No distingue qué determina cada variable del criterio en su
representación gráfica.
EFC10. Dada la representación gráfica de una función cuadrática,
determina de forma incorrecta pares ordenados que pertenecen a la misma.
EFC11. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.
EFC12. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no traza
correctamente la parábola.
EFC13. Dada la representación gráfica de un función cuadrática al
determinar el criterio de la misma, utiliza la fórmula de la pendiente.
EFC14. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función
cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de monotonía o lo
realiza de forma incorrecta.
EFC15. Cálculo incorrecto del valor numérico del discriminante.
EFC16. Cálculo incorrecto de las soluciones de ecuaciones cuadráticas de la
forma 2 0ax c .
Fuente: Elaboración propia
6.4.2.3. Dificultades detectadas por los profesores
En el cuestionario aplicado a los profesores aparecía una serie de ítems
relacionados con las posibles dificultades de la función cuadrática, cada ítem está
categorizado de uno a cinco, donde cada número representaba la frecuencia con que
cada estudiante desarrolla dicha habilidad, 1: Nunca, 2: Casi nunca, 3: Algunas veces,
5:Siempre, a continuación se muestra una tabla donde se evidencia el puntaje asignado.
132
Tabla 15. Sumatoria de los puntajes obtenidos por los 30 profesores entrevistados en
relación con la frecuencia con la que sus estudiantes realizan una actividad.
Posibles dificultades de la función cuadrática 2( )f x ax bx c Puntaje
obtenido
1. Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva 74
2. Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales 75
3. Determina a partir de la representación gráfica los valores de “a”, “b” y “c” 78
4. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio no es 79
5. Resuelve ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de segundo
grado. 80
6. Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es
capaz de extraer conclusiones a partir de ella 80
7. Diferencia entre intervalos de monotonía y los intervalos donde la función es
positiva o negativa 83
8. Plantea problemas que involucren funciones cuadráticas 84
9. Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la
representación gráfica 86
10. Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al resolver
ecuaciones cuadráticas 87
11. Determina los intervalos de monotonía a partir de la representación gráfica de
la función 88
12. Determina los intervalos de monotonía a partir del criterio de la función 90
13. Logra representar gráficamente una función cuadrática a partir de su
representación algebraica 94
14. Utiliza el vértice para calcular el ámbito de la función 98
15. Calcula el ámbito de la función cuando el dominio es 101
16. Determina a partir de la representación algebraica los valores de “a”, “b” y “c” 102
17. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica 105
18. Obtiene el ámbito de la función a partir de la representación gráfica 105
19. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección con el eje “y”, en la
representación gráfica 105
20. Calcula la intersección con el eje “x” 106
21. Calcula la intersección con el eje “y” 107
22. Obtiene el vértice a partir del criterio de la función 107
23. Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de intersecciones que tiene
la gráfica con el eje “x” 108
24. Obtiene el máximo o mínimo de la función en la representación gráfica 109
25. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función 112
26. Identifica el vértice dada la gráfica 114
27. Identifica la concavidad de la función dado el criterio 114
28. Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad en una
representación gráfica 116
Fuente: Elaboración Propia
133
De las anteriores, se considerará como dificultad, para efectos de esta investigación,
aquellas que obtuvieran un porcentaje mayor al 50% en las categorías de nunca o casi
nunca; es decir, aquellas cuyo puntaje sea menor a noventa, dado que el puntaje asignado
por los docentes cuando un estudiante realiza algunas veces una determinada actividad es
de tres puntos, al ser treinta cuestionarios, si todos seleccionaran la categoría algunas veces,
el puntaje total sería noventa; por lo que, si el puntaje es menor a noventa es porque la
mayoría de profesores asignó puntajes menores a tres, lo que quiere decir que indicaban
que sus estudiantes nunca o casi nunca realizaban dicha acción.
Tabla 16. Dificultades que poseen los estudiantes en relación con la función cuadrática
según los docentes encuestados.
Dificultades detectadas por los profesores Puntaje
obtenido
Determina los intervalos de monotonía a partir del criterio de la función 90
Determina los intervalos de monotonía a partir de la representación gráfica de la
función 88
Tiene un manejo adecuado de operaciones algebraicas y aritméticas al resolver
ecuaciones cuadráticas 87
Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la
representación gráfica 86
Plantea problemas que involucren funciones cuadráticas 84
Diferencia entre intervalos de monotonía y los intervalos donde la función es
positiva o negativa 83
Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es capaz de
extraer conclusiones a partir de ella 80
Resuelve ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de segundo grado. 80
Calcula el ámbito de la función cuando el dominio no es 79
Determina a partir de la representación gráfica los valores de “a”, “b” y “c” 78
Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales 75
Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva 74
Fuente: Elaboración Propia
Las acciones de la tabla anterior se relacionan con conceptos matemáticos
abstractos, dado que para su resolución se requiere más que aplicar una fórmula, conllevan
una integración de diferentes procedimientos y conceptos, en ellos se vuelve indispensable
un manejo adecuado del paso de la representación gráfica a la algebraica, el conocimiento
de fórmulas y el dominio de conceptos propios de las funciones. Por otro lado, al igual que
en la función lineal, las acciones relacionadas con el planteamiento y resolución de
problemas que se modelan bajo este tópico vuelven a categorizarse como dificultades.
134
CAPÍTULO VII
ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN
Este apartado se orienta en la selección, diseño, y secuenciación de las tareas que se
emplearán para lograr las expectativas de aprendizaje propuestas en el Análisis Cognitivo en
relación con la función lineal y la función cuadrática, también se delimitan los materiales y
recursos que se emplearán en las clases; así como, la secuenciación de las tareas en etapas de
aprendizaje (Lupiáñez, 2013).
7.1. Diseño y selección de tareas
Para la elaboración de esta sección se tomaron en cuenta las indicaciones metodológicas
dadas en el Programa de Estudios de Matemática, las etapas para el diseño de tareas establecidas
en la sección 3.2, los conocimientos conceptuales y procedimentales especificados en el Análisis
de Contenido; las expectativas de aprendizaje y el catálogo de errores elaborados en el Análisis
Cognitivo, dado que se consideraron tareas que permitieran trabajar sobre los aspectos
desarrollados en dichos análisis.
Asimismo, otro de los referentes utilizados fueron los criterios establecidos por Marín
(2013) quien establece que al seleccionar una tarea esta debe:
1. manejar contenidos de la estructura conceptual; tener un equilibrio entre el conjunto
de tareas y que estas no se inclinen demasiado al contenido procedimental
algorítmico.
2. involucrar en su resolución los diferentes sistemas de representación previstos.
3. presentar contextos y situaciones diferentes y complementarias.
4. estar asociadas a las habilidades específicas previstas.
5. contribuir realmente a activar las competencias que se asociaron con cada habilidad
en el Análisis Cognitivo.
Además, es importante destacar que, se hizo un análisis de tareas preexistentes en libros
de texto u otros documentos, las cuales fueron adecuadas para efectos de esta investigación;
135
donde adecuar implica seleccionar tareas que se ajustan a los criterios que la investigación
maneja, incluyendo la posibilidad de modificarlas, y si es necesario, diseñar tareas nuevas
(Marín, 2013).
7.2. Variables involucradas en el análisis de las tareas
En esta sección se detallan las variables que caracterizan cada una de las tareas
seleccionadas; que para efectos de este trabajo se analizaron las que propone Marín (2013), a
saber: habilidades, contenido matemático, sistemas de representación, contextos, procesos,
dificultades y errores, y complejidad (estos términos fueron definidos en la sección 2.5.3.1 de
este documento). Cabe destacar que estos indicadores coinciden con los elementos para la
valoración de tareas Matemática formulados por Ruiz (2017) en el documento “Evaluación y
Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades superiores”, con
la diferencia de que Marín (2013) considera dentro de sus elementos las dificultades y errores.
Además, para efectos de realizar el análisis de las variables contenido matemático y
sistemas de representación se utilizó lo desarrollado en el Análisis de Contenido (Capítulo V),
mientras que para las variables habilidades, dificultades, y errores, se utilizó lo establecido en el
Análisis Cognitivo (Capítulo VI).
Por otra parte, para establecer los procesos matemáticos que se nutren con la resolución
de cada tarea, se siguió lo propuesto por Marín (2013) quien sostiene que se debe simular la
resolución de la tarea como si lo hiciese un estudiante de educación secundaria y trabajar sobre
una lista hipotética de acciones y con esto determinar cuáles de esas acciones corresponden con
las descripciones de los procesos matemáticos que presentan algunos documentos como los del
Informe PISA 2003; en el caso de esta investigación, se utilizará como documento de
comparación la “Estructura de Intervención de los Procesos en un Problema” propuesta por Ruiz
(2017), en la cual se establecen 61 indicadores para determinar a qué proceso matemático
contribuye una determinada tarea, así como el grado en que se propicia; siendo el grado 1 el
menos complejo y el grado 3 el más complejo (ver anexo 5).
136
Finalmente, para la variable contexto, se utilizó lo descrito en el marco teórico de esta
investigación (ver apartado 2.5.3.1); y para establecer la complejidad de un problema, se
siguieron los criterios planteados por Ruiz (2017), quien destaca que estos deben aplicarse de
una manera flexible, dado que siempre habrá problemas o ítems donde será complejo identificar
su nivel. A continuación, se resumen cada uno de los cinco criterios.
1. Si en un problema la intervención de los procesos no supera el grado 1, entonces se
clasificará como un problema de reproducción.
2. Si en un problema la intervención en al menos dos procesos es de grado 2, y además se
pueden identificar al menos tres indicadores en ese grado, entonces se clasificará como
un problema de conexión.
3. Si en un problema la intervención en al menos dos procesos es de grado 3, y además se
pueden identificar al menos tres indicadores en ese grado, entonces se clasificará como
un problema de reflexión.
4. Cuando en un problema la intervención de los procesos es de grados 2 o 1 y el número de
los indicadores en el grado 2 es menor que tres, se requerirá hacer una valoración más
específica para establecer si es de reproducción o conexión; dependerá de la “fuerza” del
indicador o indicadores de grado 2 para valorar el problema como de conexión. Este
criterio aplica cuando en un problema aparecen tres indicadores de grado 2 en un proceso
y en los otros procesos los indicadores no sobrepasan el grado 1.
5. Cuando en un problema la intervención de los procesos es de grado 3, 2 o 1 y el número
de los indicadores en el grado 3 es menor que tres, se requerirá hacer una valoración más
específica para establecer si es de reproducción, conexión o reflexión; dependerá de la
“fuerza” del indicador o indicadores de grado 3 para valorar el problema como de
reflexión. Este criterio aplica cuando en un problema aparecen tres indicadores de grado
3 en un proceso y en los otros procesos los indicadores no sobrepasan los grados 1 o 2.
137
Es indispensable destacar que, en el caso de los criterios dos y tres se requieren de, al
menos, tres indicadores y dos procesos, y se puede inferir que se podrían tener: dos indicadores
del mismo proceso y un tercero de otro proceso, o un indicador en tres procesos distintos; todos
ellos de grados dos o tres según corresponda. Por otro lado, los últimos dos criterios dejan
abierta la clasificación que pueda realizar cada profesor de acuerdo con su criterio personal, ya
que dependerá de la “fuerza” que considere posee un determinado indicador.
7.3. Análisis de las tareas que fueron diseñadas en relación con la función lineal
Se presenta en este apartado una serie de tareas que contribuirán al logro de las
expectativas de aprendizaje para la función lineal, cabe destacar que estas no son las únicas que
se pueden plantear y que cada docente podría realizarle modificaciones en relación con las
características de sus estudiantes y centro educativo. Además, para cada tarea, se presenta una
tabla con el análisis de las variables que están inmersas en ellas (un ejemplo detallado de cómo
se realizó dicho análisis está en el anexo 6), las cuales fueron expuestas en el apartado anterior,
esto colaborará en las secciones posteriores para establecer la secuenciación que tendrán las
tareas en el Material Didáctico.
Tarea 1: Compras de maletas por Internet
El administrador de la empresa Oliver Cabell, desea realizar la evaluación de un
proyecto, relacionado con la venta de la maleta Kennedy Weekender por Internet. Evaluar un
proyecto de inversión consiste en determinar, mediante un análisis de costo-beneficio, si genera
o no el rendimiento deseado para entonces tomar la decisión de continuar realizándolo o no.
Para ello toma los datos del sitio web de la empresa, en la que se presenta una tabla con
los costos de producción de dicha maleta. Lo anterior, según el periódico La Nación es la
tendencia dada en los últimos años en Estados Unidos y Europa, denominada “determinación
transparente de precios” en los que las empresas se han dado a la tarea de desglosar los costos de
producción de sus artículos, con el fin de ganar más consumidores al saber por lo que pagan.
La siguiente tabla corresponde a los datos presentados en el sitio web de la empresa para
la producción de la maleta en cuestión.
138
Maleta Kennedy Weekender
Producto
Maleta
Costos de
producción
por cada maleta
Lona $16,02
Cuero $11,58
Forro $5,68
Cinchas
(correas, fajas) $0,78
Zipper $4,27
Nylon $2,61
Tela de
reforzamiento $4,35
Hebillas y
broches $3,70
Manufactura, el
transporte, los
impuestos y
envío
$78,49
Precio de venta $285
Capital mensual
(Dinero que
dispone la
empresa para la
producción de
este tipo de
maleta)
$30 000*
*Dato supuesto, dado que no está
disponible
Fuente: Elaboración propia a partir de algunos datos tomados de
https://olivercabell.com/products/heathrow-weekender
Los costos de producción de la tabla anterior corresponden a costos variables, ya que
estos cambian dependiendo de la cantidad de maletas que se realicen; sin embargo, falta
considerar algunos costos fijos, que son aquellos que la empresa debe obligatoriamente pagar
independientemente de la cantidad de maletas que produzcan, entre ellos por ejemplo: el salario
de los trabajadores.
139
Ayuda al administrador de la empresa a realizar la evaluación, para ello:
a) Determine a cuántos dólares corresponde el costo fijo mensual de la empresa
(considerando que un mes tiene 4 semanas). Tome en cuenta solo el salario de los
trabajadores, y asuma que: trabajan 10 personas en la fabricación de las maletas, el
salario por hora es de $8, trabajan 6 días por semana y 8 horas diarias.
b) Determine el costo total de producir cierta cantidad de maletas (tome en cuenta que el
costo total es la suma de los costos fijos más los costos variables) completando la
siguiente tabla.
Cantidad de maletas Costo total de producción
1
2
3
4
5
6
7
c) ¿Podría la empresa producir 115 maletas mensuales? ¿Cuánto sería el costo total en
dicho caso?
d) En el plano cartesiano adjunto, trace un esbozo de la representación gráfica que
representa el costo total de producción para cualquier cantidad de maletas
producidas (Sugerencia: utilizar una escala de 1:1 en eje de las abscisas y de 1: 7800
en el eje de las ordenadas).
140
e) En el esbozo de la gráfica anterior ¿tomaste en cuenta el capital? ¿En qué ayuda éste?
En ambos casos, debes justificar la respuesta.
f) ¿En cuál de los ejes ubicaste las unidades que se producen y en cuál los costos totales?
Explique el por qué de esa decisión.
A partir de la información numérica y gráfica que se tiene sobre la producción de
las maletas:
1. ¿Qué ocurre con el costo total cuando variamos la cantidad de maletas que se produce?
2. ¿Qué tanto varía el costo total por cada unidad producida? Justifique su respuesta.
3. Si por vacaciones en la empresa no laboran 15 días, entonces ¿cuál es el costo total si en
esos días no hubo producción, y en los otros 15 días que sí hubo, se produjeron 24 maletas?
4. ¿Cómo representarías algebraicamente el costo total para cualquier cantidad de maletas
producidas?
5. Sabiendo que se, entiende por ingreso a la cantidad de dinero que entra a una empresa por la
venta de un producto y por utilidad al dinero que queda, de la venta, luego de hacerle la
reducción de los costos totales de producción, entonces:
a. ¿Cómo representarías algebraicamente el ingreso para cualquier cantidad de maletas
producidas?
b. ¿Cómo representarías algebraicamente la utilidad mensual, por maleta, de la empresa
Oliver Cabell?
c. Si la meta de la empresa Oliver Cabell es obtener una utilidad mensual de $5000 por la
venta de las maletas entonces ¿cuántas debe vender?
141
Tabla 17. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Compras de
maletas por Internet”.
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de puntos en el plano cartesiano.
b. Resolución de ecuaciones lineales.
c. Concepto de función, variable dependiente e independiente.
d. Funciones con dominio discreto o continuo.
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Representar gráficamente una función lineal.
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función
lineal.
Otras habilidades
inmersas
(8° año)
a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas
algebraicamente en la forma y ax b .
b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal.
c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Contenido
matemático
Plano cartesiano
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Concepto de pendiente
Sistemas de
representación
Verbal, tabular, gráfica, algebraica
Situación/contexto Profesional
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 2 - El estudiante responde preguntas
donde la respuesta no es directa y amerita mayor argumentación.
b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve un problema que
no ha sido estudiado, donde se ejecutan el cálculo de costos fijos,
costos de producción y costos totales.
c. Representar – Grado 3 – Pasa de una representación Matemática a dos
o más representaciones.
Dificultades/
Errores
a. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números
reales.
b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
142
c. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de
ecuaciones lineales.
d. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión
algebraica que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas con
base en él.
e. Error al expresar en forma gráfica una situación dada por no toma en
cuenta el dominio de la misma.
Complejidad Conexión.
Fuente: Elaboración propia
Tarea 2: Frecuencia cardiaca máxima2
En los últimos años ha tomado un gran auge, que los jóvenes asistan a gimnasios o salgan
a correr, tanto por salud como por estética, pero se vuelve indispensable conocer el
funcionamiento de nuestro cuerpo y sus limitaciones. Una de ellas tiene que ver con la
frecuencia cardíaca, para la cual existe un método que sirve para prescribir las intensidades de
entrenamiento y este se basa en la presunción de que la frecuencia cardíaca es una función lineal
de la intensidad del ejercicio (cuánto más alta sea la intensidad, mayor será la frecuencia
cardíaca).
En este sentido, también se habla de una frecuencia cardiaca máxima, que es aquella
observada en el momento en que la intensidad del ejercicio alcanza su punto más alto durante las
pruebas de esfuerzo. Esta se modela a través de la función ( ) 220h x x donde x representa la
edad de una persona, otras teorías argumentan que la fórmula anterior funciona para el caso de
los hombres, y que en el caso de las mujeres debe ser ( ) 200m x x , dado que las mujeres
bombean, en promedio, menos sangre por minuto que los hombres.
Con base en la información anterior y de acuerdo a las situaciones que se le presentan
a continuación dé respuesta a las interrogantes planteadas:
2 Las ecuaciones de esta tarea fueron tomadas de: Machado, F. y Denadai, B. (2011). Validez de las
Ecuaciones Predictivas de la Frecuencia Cardíaca Máxima para Niños y Adolescentes. Maringá,
Brasil: Universidad Estadual de Maringá.
143
1. Si Juan e Isabel son dos deportistas, de 26 y 25 años respectivamente, y salen a correr
todas las mañanas portando siempre un pulsímetro (instrumento que indica la frecuencia
cardiaca de una persona en un momento dado), entonces ¿cuánto debería marcar el
pulsímetro de Juan y el de Isabel mientras corren para saber que no está en riesgo su
salud; tomando en cuenta que, los educadores físicos recomiendan que nunca se debe
exceder la frecuencia cardiaca máxima, sino que se deben mantener pulsaciones entre el
60% y 70% de ella?
2. Asumiendo que usted actualmente es un deportista que sale a correr todas las mañanas,
realice una representación gráfica de cómo variará su frecuencia cardiaca máxima en el
transcurso de los años.
3. En los fútbolistas existen diversas técnicas para calcular, durante un partido, su
frecuencia cardiaca máxima, si la edad de un determinado fútbolista profesional es de
23 años y se recomienda que ellos mantengan pulsaciones entre 70% y 80% de su
frecuencia cardiaca máxima, entonces entre qué valores deben rondar dichas
pulsaciones para saber si el jugador está dando su máximo esfuerzo.
4. En un determinado gimnasio el entrenador de María sabe que ella practica diariamente
en la corredora eléctrica, él está elaborando un cuadro con los datos personales de cada
uno de sus clientes, desconoce la edad de María, pero tiene anotado que su frecuencia
cardíaca en los últimos días estuvo entre 108,6 y 126,7 latidos por minutos, sabiendo
que ella trata de mantener su frecuencia entre 60% y 70% de la frecuencia cardiaca
máxima, entonces, ¿cuál sería su edad?
144
Tabla 18. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Frecuencia
cardiaca máxima”.
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Cálculo de imágenes y preimágenes.
c. Cálculo de porcentajes.
d. Resolución de ecuaciones lineales.
e. Funciones con dominio discreto o continuo.
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Representar gráficamente una función lineal.
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función
lineal.
Otras habilidades
inmersas
a. Plantear y resolver problemas aplicando porcentajes y regla de tres
(6° año)
b. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita (8° año)
c. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año)
Contenido
matemático
Imágenes y preimágenes
Plano cartesiano
Sistemas de
representación
Algebraica, tabular y gráfica
Situación/contexto Personal
Procesos
a. Representar– Grado 2 – Pasa de una representación algebraica a una
representación gráfica.
b. Comunicar – Grado 2 – Establece conclusiones mediante lenguaje
natural en torno a acciones, razonamientos y resultados que ha
desarrollado en la resolución de un problema.
c. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Establece conexiones
entre distintas áreas Matemática, o distintas formas de representación
o de comunicación.
Dificultades/
Errores
a. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
b. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de
ecuaciones lineales.
c. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una
parábola como su representación gráfica.
d. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en cuenta el dominio de la misma.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
145
Tarea 3: Uso del servicio de transporte Uber
Juan fue a Nova Cinemas de Repretel con su novia a ver la película Liga de la Justicia,
salieron de la sala a las 8:00 pm, como saben que a esa hora es peligroso caminar por las
afueras del lugar, ya que pueden ser víctimas de un asalto, y que el sector donde viven se
ubica a 5 km, entonces deciden contractar un servicio de transporte, en este caso un Uber.
Ellos saben que, actualmente, para trasladarse en un Uber, el costo varía dependiendo
de si es un UberX o un UberXL (UberX pueden viajar 4 personas, mientras que en un
UberXL pueden viajar 6). Las tarifas toman en cuenta los kilómetros de viaje y el tiempo de
duración del mismo, en la siguiente tabla aparece el costo de cada rubro, para cada uno de los
tipos de Uber.
Tipo Tarifa base
(1km)
Costo por
minuto
Costo por km
adicional
UberX 400 40 240
UberXL 750 75 450
Fuente: Datos tomados de www.ubertarifa.com
a. Determina la tarifa, aproximada, que debe pagar Juan por dicho viaje. Considerando que,
por el congestionamiento vehicular de nuestro país, el automóvil podría durar alrededor
de 10 minutos para trasladarse desde Nova Cinemas hasta su casa de habitación
b. Si Juan va al cine acompañado de su novia y cuatro amigos más, y deciden pedir un Uber,
y dividirse de forma equitativa la tarifa del mismo, entonces ¿cuánto le corresponde pagar
a cada uno? (Considera las mimas condiciones de viaje del ítem anterior)
c. Plantee las representaciones algebraicas que sirven de modelo para determinar una
aproximación del costo a pagar por cualquier viaje; una para los UberX y otra para los
UberXL (omita el costo por el tiempo de duración del viaje).
d. ¿Será posible que por un mismo viaje un UberX y un UberXL cobren exactamente lo
mismo? Justifique su respuesta, y de ser afirmativa, ¿en qué casos sería?
146
e. Realice una representación gráfica que evidencie lo realizado en el punto anterior.
Tabla 19. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Uso de Uber”.
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Cálculo de imágenes.
c. Resolución de ecuaciones lineales.
d. Funciones con dominio discreto o continuo.
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Representar gráficamente una función lineal.
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función lineal.
Otras habilidades
inmersas (8° año)
a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas
algebraicamente en la forma y ax b .
b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal.
c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Contenido
matemático
Imágenes
Ecuaciones lineales
Sistemas de
representación
Tabular, gráfica y algebraico
Situación/contexto Personal
Procesos a. Representar – Grado 2 – Pasa de una representación Matemática a
otra en la resolución de problemas.
b. Razonar y argumentar – Grado 1- Responde a preguntas donde está
presente de forma explícita toda la información necesaria para
encontrar la solución.
c. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde a preguntas donde la
respuesta no es directa y amerita mayor argumentación, dando
respuestas a qué puede o no puede pasar.
d. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – Se utilizan algoritmos,
fórmulas, procedimientos, propiedades, o convenciones elementales
en la resolución del problema.
147
Dificultades/
Errores
a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas
en el conjunto de los números reales.
b. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números
reales.
c. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer 2 1
2 1
x xm
y y
ó 2 2
1 1
y xm
y x
.
d. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
e. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una
parábola como su representación gráfica.
f. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en
cuenta el dominio de la misma.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
Tarea 4: Televisión satelital Claro
Según la Encuesta Nacional de Hogares realizada por el Instituto Nacional de
Estadística y Censos (INEC) en el 2017, en Costa Rica, 69% de los hogares cuentan con
televisión por cable. Santiago es uno de los costarricenses que actualmente no cuenta con
dicho servicio, y se encuentra considerando la opción de adquirirlo, por lo cual visita el
sitio web de Claro Costa Rica y encuentra la siguiente información:
La empresa Claro S.A entre sus servicios ofrece televisión satelital, la tarifa base del paquete básico
en HD tiene un costo de ₡12 500 para un televisor y ₡3500 por cada televisor adicional.
Con base en la información anterior:
a. Realice una representación tabular sobre el costo a pagar dependiendo de la cantidad
de televisores que adquiera Santiago, él está pensando en un máximo de 4.
148
b. Escriba una función que estime el costo a pagar dependiendo de la cantidad de
televisores.
c. ¿Cuál es la pendiente de la función anterior y cómo se interpreta en este contexto?
d. Realice un esbozo de la gráfica que relacione el costo a pagar dependiendo de la
cantidad de televisores adquiridos.
Tabla 20. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Televisión satelital
Claro”.
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Resolución de ecuaciones lineales.
c. Funciones con dominio discreto o continuo.
d. Concepto de pendiente.
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Representar gráficamente una función lineal.
b. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y
de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.
Otras habilidades
inmersas
(8° año)
a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas
algebraicamente en la forma y ax b .
b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal.
c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Contenido
matemático
Concepto de pendiente
Ecuaciones lineales
Sistemas de
representación
Verbal, tabular, algebraica y gráfica
Situación/contexto Personal
Procesos a. Representar – Grado 2 – Involucra pasar de una representación
Matemática a otra en la resolución de problemas.
b. Razonar y argumentar – Grado 2 – Debe brindar información que no está dada de manera explícita en la resolución del problema.
c. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – En la resolución del
problema se involucra la utilización de algoritmos de resolución de
ecuaciones lineales y la fórmula de la pendiente.
149
Dificultades/
Errores
a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas
en el conjunto de los números reales.
b. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números
reales.
c. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de ecuaciones
lineales.
d. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer 2 1
2 1
x xm
y y
ó 2 2
1 1
y xm
y x
.
e. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
f. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una
parábola como su representación gráfica.
g. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en
cuenta el dominio de la misma.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
Tarea 5: En el gimnasio
Cerca de la casa de Mario existen dos gimnasios con matrícula única, el primero
tiene un costo de matrícula de ₡30 000 y una mensualidad
de ₡13 000, mientras que el segundo gimnasio cobra una
matrícula de ₡20 000 y una mensualidad de ₡15 000. De
acuerdo con esta información responda las siguientes
preguntas:
a. En los primeros seis meses, ¿en cuál gimnasio se paga menos dinero? Justifique su
respuesta.
b. En términos de costos ¿cuál y por qué es el gimnasio que usted le recomendaría a
Mario?
150
c. ¿Será posible que después de un determinado tiempo se haya hecho la misma inversión
de dinero en el pago de ambos gimnasios? De ser posible, ¿cuántos meses deben
transcurrir para que suceda dicha situación.
Tabla 21. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “En el gimnasio”.
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Cálculo de imágenes.
c. Resolución de ecuaciones lineales.
d. Análisis de gráficas funcionales.
e. Funciones con dominio discreto o continuo.
f. Concepto de pendiente.
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Representar gráficamente una función lineal
b. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados
con ella.
c. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función lineal.
Otras habilidades
inmersas
(8° año)
a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas
algebraicamente en la forma y ax b .
b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal.
c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Contenido
matemático
Imágenes
Concepto de pendiente
Ecuaciones lineales
Sistemas de
representación
Verbal, gráfica y algebraica
Situación/contexto Personal
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde preguntas donde la
respuesta no es directa y amerita mayor grado de argumentación.
b. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – Resuelve problemas que
involucra formulas y procedimientos aritméticos.
c. Representar– Grado 2 – Pasa de una representación Matemática a
otra en la resolución de problemas.
d. Comunicar– Grado 2 – Comunica conclusiones mediante lenguaje
natural en torno a acciones, razonamientos y resultados que ha
desarrollado en la resolución de un problema.
151
Dificultades/
Errores
a. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números
reales (sumas y multiplicaciones erradas).
b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
c. Error al aplicar el orden de la prioridad de las operaciones básicas en
los números reales.
d. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión
algebraica que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas
con base en él.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
Tarea 6: Venta de granizados
Juan hizo una inversión de ₡3 000 000 para iniciar un negocio de venta de
granizados. Los gastos semanales del negocio son de ₡150 000 en costos fijos y ₡550 por
cada granizado que se elabora. El precio de venta de cada granizado es de ₡1 275.
a. ¿Cuál es la representación algebraica de las funciones que modelan los gastos
semanales y los ingresos?
b. Realice la representación gráfica de la función que modela los gastos y los ingresos
en un mismo plano cartesiano.
c. ¿El negocio tiene pérdidas o ganancias si vende 207 granizados por semana?
Justifique su respuesta.
d. ¿Cuál es la representación algebraica de la función que modela las ganancias?
e. ¿Cuál es la cantidad mínima de granizados que debe vender para recuperar las
inversiones?
Tabla 22. Análisis de las variables involucradas en la resolución de de la tarea “Venta de
granizados”.
Variables
analizadas Aspectos determinados
Contenidos
matemáticos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Cálculo de preimágenes.
c. Resolución de ecuaciones lineales.
d. Funciones con dominio discreto o continuo.
152
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Representar gráficamente una función lineal.
b. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con
ella.
c. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función
lineal.
Otras habilidades
inmersas
(8° año)
a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente
en la forma y ax b .
b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal.
c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Contenido
matemático
Plano cartesiano
Imágenes
Ecuaciones lineales
Sistemas de
representación
Verbal , gráfica y algebraica
Situación/contexto Personal
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Responde a preguntas directas
como ¿Cuántos? ¿Cuánto es? ¿Cuál?
b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Se establecen conexiones
entre distintas formas de representación o de comunicación.
c. Representar – Grado 2 - Pasa de una representación Matemática a otra
en la resolución de problemas.
d. Comunicar– Grado 2 – Comunica conclusiones entorno a
razonamientos que ha desarrollado en la resolución de un problema.
Dificultades/
Errores
a. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números
reales (sumas y multiplicaciones erradas).
b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
c. Error al aplicar el orden de la prioridad de las operaciones básicas en
los números reales.
d. Dado un problema definido en forma verbal, determina una expresión
algebraica que modele el mismo, pero extrae conclusiones erróneas con
base en él.
Complejidad Reflexión
Fuente: Elaboración propia
153
Tarea 7: Contrato de fontanero
Javier tiene una avería en el baño de su casa y necesita con
urgencia un fontanero. Nuria, una compañera de trabajo, le ha
dado la referencia de dos empresas de fontanería. Javier ha
decidido representar conjuntamente las tarifas de ambas
empresas para establecer comparaciones y esto es lo que ha
obtenido:
a. ¿Cuál es el precio por ninguna hora trabajada de ambas empresas? Interprete la
información obtenida.
b. ¿Cuál empresa cobra más por dos horas de contrato?
c. ¿Qué sucede durante cuatro horas de trabajo?
d. Como Javier prevé que la reparación de su baño dure unas 5 horas, se ha inclinado
por la empresa A. Indique a cuánto asciende su factura y razona si ha hecho la
elección más conveniente para su bolsillo.
Tabla 23. Análisis de las variables involucradas en la resolución de de la tarea “Contrato de
fontanero”
Variables
analizadas Aspectos determinados
Contenidos
previos
a. Cálculo de imágenes.
b. Resolución de ecuaciones lineales.
c. Análisis de gráficas funcionales.
d. Concepto de pendiente.
Empresa A
Empresa B
154
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con
ella.
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función
lineal.
Otras habilidades
inmersas
a. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal (8° año).
b. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).
Contenido
matemático
Imágenes
Ecuaciones lineales
Concepto de pendiente.
Sistemas de
representación
Verbal, gráfica y algebraica
Situación/contexto Profesional
Procesos
a. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve problemas que
impliquen establecer conexiones entre distintas formas de
representación.
b. Representar– Grado 3 – Pasa de una representación Matemática a
otra.
c. Comunicar– Grado 2 – Comunica conclusiones mediante en torno a
razonamientos que ha desarrollado en la resolución de un problema.
Dificultades/
Errores
a. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer
2 1
2 1
x xm
y y
ó 2 2
1 1
y xm
y x
.
b. Ubicación incorrecta de pares ordenados.
c. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta pares ordenados
presentes en la misma.
d. Al dar expresiones de la forma ( )f a b no distingue cuál par
ordenado pertenece al gráfico funcional de f si ,a b o ,b a .
e. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la
monotonía de la función.
f. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la
intersección con el eje y de una gráfica.
Complejidad Reflexión
Fuente: Elaboración propia
155
Tarea 8: Competencia con Kahoot
Para propiciar el uso de herramientas tecnológicas, se propone el uso de la aplicación
Kahoot, para ello se ha diseñado el siguiente cuestionario con ítems de función lineal, el cual
se encuentra disponible en “My Kahoots” del sitio web https://kahoot.com/welcomeback/ con
el usuario [email protected] y contraseña funcionestfg.
Pregunta 1
Considere las siguientes proposiciones para la función lineal f dada por
( ) 5 3f x x .
I.La gráfica de f interseca el eje “ x ”.
II. La pendiente de f es un número negativo.
De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Kahoot es una herramienta tecnológica basada en
preguntas y respuestas, donde el docente puede crear su
propio cuestionario, con la ventaja de que admite la opción
de incluir imágenes y vídeos.
Para su ejecución los estudiantes no necesitan tener
una cuenta en Kahoot, sino simplemente tener la aplicación
en sus dispositivos, la cual es gratuita y se encuentra
disponible para diversos sistemas operativos.
Dentro de la aplicación se les solicita a los
estudiantes la introducción de un código (Game PIN), el cual se genera con la creación del cuestionario. Al
ingresarlo los estudiantes tienen acceso al cuestionario diseñado, en él aparecerán los ítems creados por el
docente, con cuatro opciones de respuesta, representadas por diversas figuras geométricas; para responder,
deben seleccionar una de las figuras geométricas, cuando todos hayan respondido la aplicación brindará la
cantidad de estudiantes que seleccionó cada opción y además el docente podrá verificar quiénes fueron.
Adicionalmente, Kahoot ofrece la opción de que el docente pueda controlar el tiempo de duración de
cada pregunta.
Aplicación Tecnológica
156
Pregunta 2
De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:
I. La gráfica de f es creciente.
II. La gráfica de f interseca el eje “ y ” en 0,1
De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 3
La pendiente de una función lineal es – . Si 0,6 pertenece al gráfico de esa función,
entonces, ¿en qué punto interseca la gráfica de f al eje de las abscisas?
A) 12,0
B) 2,0
C) 6,0
D) 3,0
Pregunta 4
De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:
I. La función f es creciente.
II. Para todo 1x se cumple que ( ) 0f x
De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 5
El presupuesto “ p ” en dólares, que realiza un fontanero para cambiar la tubería en un
residencial, está dado por ( ) 18 126p m m , donde “ ” es el número de metros de
tubería. Si el presupuesto es de , entonces, ¿Cuántos metros de tubería se
presupuestaron?
A) 17
B) 31
C) 288
D) 7902
–
–
–
2
157
Pregunta 6 Considere el siguiente enunciado:
Una máquina se deprecia linealmente, ( ) 225 000 25000f x x , donde “ x ” representa los
años después de haber salido al mercado
De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Cada año la máquina se deprecia en más de ₡25 000.
II. A los cinco años de comprada la máquina vale ₡105 000.
De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 7
Considere el siguiente enunciado:
El salario total que percibe Andrea por mes está compuesto por una base de ₡800 000 más
₡5 000 de cada comisión por las ventas realizadas.
De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El salario mínimo que puede percibir Andrea en un mes es de ₡800 000.
II. Para que el salario total de Andrea en un mes sea de ₡1 000 000, la totalidad de
ventas realizadas, debe ser de 20 comisiones.
De ellas, ¿cuál(es) es (son) verdadera(s)?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 8
El valor inicial de un terreno es ₡20 000 000 y su valor se incrementa por año en
₡2 000 000. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el valor del terreno sea
₡46 000 000?
A) 10
B) 13
C) 23
D) 32
158
Pregunta 9
De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. 0b
II. 0m
De ellas, ¿cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 10
La pendiente de una función es – 4. Si un punto de la representación gráfica de dicha
función es entonces ¿en cuál punto interseca la representación gráfica el eje de las
ordenadas?
A) 17,0
B) 0,17
C) 17
,04
D) 17
0,4
En la imagen adjunta presenta la forma en que se visualiza una de las preguntas, del
cuestionario diseñado, en la aplicación Kahoot.
159
Tabla 24. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia de
Kahoot”
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Resolución de ecuaciones lineales.
c. Cálculo de imágenes y preimágenes.
Habilidades
específicas de la
función lineal en
décimo año.
a. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y
de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función
lineal.
Otras habilidades
inmersas
a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas
algebraicamente en la forma y ax b (8° año).
b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función
lineal (8° año).
c. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).
Contenido
matemático
Cálculo de imágenes y preimágenes
Concepto de pendiente
Intersección con los ejes coordenados
Sistemas de
representación
Verbal, gráfica, algebraica
Situación/contexto Profesional, Social, Científico y Matemático
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Responde a preguntas directas
como ¿Cuántos? ¿Cuánto es? ¿Cuál?
b. Plantear y Resolver problemas – Grado 1 – Resuelve problemas con
datos sencillos.
c. Comunicar – Grado 1 – Identifica expresiones Matemática
estudiadas similares a lo estudiado.
d. Representar – Grado 2 – Interpreta y razona sobre la información
codificada en distintas formas representación.
Dificultades/
Errores
a. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de
ecuaciones lineales
b. Al dar expresiones de la forma ( )f a b asume que , fb a G .
c. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la
intersección con el eje y de una gráfica.
d. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la monotonía
de la función.
Complejidad Reproducción
Fuente: Elaboración propia
160
Tarea 9: Jugando con un tablero
Se les propone a los estudiantes un “tablero” con la finalidad de que relacionen la
representación gráfica de cierta función lineal con el criterio de la misma, con lo cual se deben
enfrentar a la extracción de pares ordenados, al cálculo de la pendiente con dichos puntos y al
cálculo de b a partir de la representación gráfica de la función lineal, aunque idealmente se
espera que relacionen la monotonía de cada gráfica con el signo de la pendiente y el valor de
b con la intersección en el eje de las ordenadas.
Para la puesta en práctica de dicha tarea se propone al docente realizar un “tablero”
con dimensiones 80 cm por 100 cm, siguiendo el formato del anexo 8, o en dado caso
realizarlo a menor escala para propiciar un trabajo más individualizado.
Las fichas relacionadas con la representación algebraica de una función lineal se
exponen en la tabla 25, mientras que las fichas con la representación gráfica se muestran en
la tabla 26.
Tabla 25. Fichas de la representación algebraica.
4 7( )
3
xf x
( ) 2 4f x x
( ) 3f x x
( ) 2f x x
( ) 1f x x
( ) 1f x x
( )f x x
( )f x x
( ) 1 2f x x
1 2( )
2
xf x
3 4( )
5
xf x
( ) 2f x
( ) 23
xf x
( ) 2 2f x x
161
Tabla 26. Fichas de la representación gráfica.
162
Esta función se conoce como la identidad
163
164
Tabla 27. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Jugando con un
tablero”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Cálculo de imágenes.
c. Análisis de gráficas funcionales.
d. Representaciones de la función lineal
Habilidades específicas
de la función lineal en
décimo año.
Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las
ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o
algebraica.
Otras habilidades
inmersas
a. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una
función lineal (8° año).
b. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).
Contenido matemático
Cálculo de imágenes y preimágenes
Ubicación de puntos en plano cartesiano
Fórmula de la pendiente
Intersección con los ejes coordenados
Sistemas de
representación
Gráfica y algebraica
Situación/contexto Matemático
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Identifica información
presente de forma explícita.
b. Representar – Grado 2 - Pasa de una representación
Matemática a otra (algebraica- gráfica)
Dificultades/ Errores
a. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer
2 1
2 1
x xm
y y
ó 2 2
1 1
y xm
y x
.
b. Dada una gráfica, determina de forma incorrecta pares
ordenados presentes en la misma
c. No relaciona el signo de b (positivo, negativo, cero) con la
intersección con el eje y de una gráfica.
d. No relaciona el signo de m (positivo, negativo, cero) con la
monotonía de la función.
Complejidad Reproducción
Fuente: Elaboración propia
165
7.4. Secuenciación de las tareas de función lineal en etapas de aprendizaje
Para la secuenciación de las tareas tanto en esta sección, como para su homóloga en la
función cuadrática, se tomará en cuenta las indicaciones puntuales del currículo de Matemática
del MEP, las recomendaciones metodológicas dadas por los expertos involucrados en los
procesos de redacción y capacitación del Programa de Estudios, y el análisis realizado a cada una
de las tareas, el cual se basó en el Análisis de Contenido y el Análisis Cognitivo realizado
previamente.
En primera instancia, cabe resaltar que el MEP (2012) establece dos etapas para el
desarrollo de una lección, así como el estilo que debería imperar en ellas; esto fue abordado en el
marco teórico (sección 2.1), pero dada la relevancia del mismo en este aparatado, se retoman los
aspectos esenciales del mismo.
Las dos etapas que establece el MEP (2012) se pueden distinguir por los propósitos de
enseñanza y aprendizaje, en la etapa 1 se da el aprendizaje de conocimientos, mientras que en la
etapa 2 se da la movilización y aplicación de los conocimientos, así como un refuerzo y
ampliación del papel de los aprendizajes adquiridos; además, se debe tener presente que esta
última etapa puede realizarse en cualquier momento posterior, no necesariamente de forma
inmediata a la primera etapa.
Asimismo, el MEP (2012) propone un estilo de organización de la lección, donde se
promueve la introducción y el aprendizaje de los nuevos conocimientos siguiendo cuatro pasos o
momentos centrales:
1. Propuesta de un problema.
2. Trabajo estudiantil independiente.
3. Discusión interactiva y comunicativa.
4. Clausura o cierre.
Por otro lado, el Programa de Estudios de Matemática tiene una serie de indicaciones
puntuales, las cuales pueden ser tomadas en cuenta por el docente al momento de organizar su
lección, las cuales se detallan en la siguiente tabla.
166
Tabla 28. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación
con la función lineal.
Fuente: MEP (2012) Programa de Estudio en Matemática para la Educación general
Básica y el Ciclo Diversificado.
Como una forma de enriquecer las indicaciones metodológicas anteriores, se agrega el
aporte obtenido a través de una entrevista con docentes e investigadores involucrados en la
redacción del Programa de Estudios de Matemática del MEP o con la capacitación del contenido
del mismo; a quienes, entre otras cosas, se les consultó ¿cuál es la manera idónea de desarrollar
una clase relacionada con la función lineal y cuadrática? A lo que los docentes señalan las
siguientes acciones
1. No se deben evaluar habilidades separadas, ya que el tiempo de clase no alcanzaría, es
fundamental la integración, en un solo problema se pueden desarrollar dos o tres
habilidades (R. Poveda, comunicación personal, 29 de setiembre, 2016).
Conocimiento Indicaciones puntuales
Función
lineal
1. Se puede comenzar implementando un problema que involucre función
lineal como repaso de lo trabajado en 8° año o función cuadrática para
repasar lo visto en 9° año.
2. Mencionar que la función identidad, expresada algebraicamente por
( )f x x , es un caso particular de la función lineal. Esta función será muy
útil en la definición de la inversa de una función.
3. En la etapa de cierre desarrolle los conceptos de pendiente de una recta,
intersección con el eje de las abscisas e intersección con el eje de las
ordenadas. Además, se puede solicitar a cada estudiante que analice el
problema anterior desde una perspectiva funcional, determinando su
dominio, ceros, signo de la función, ámbito, inyectividad, crecimiento o
decrecimiento, estableciendo conexiones con el problema y los elementos
anteriores.
4. Puede proponerse que se determine la pendiente y la intersección con el
eje de las ordenadas de una determinada recta representada por el criterio
y mx b , dados dos puntos de ella.
5. Se recomienda usar software matemático para conjeturar acerca de la
influencia de los parámetros a, b, en la representación gráfica de
y ax b .
167
2. Tomar en cuenta la diversidad de representaciones que tiene una función, siendo necesario
el comprender y hacer cambios de una representación a otra de manera eficaz (M.
Zumbado, comunicación personal, 8 de diciembre, 2016).
3. No se debe desviar en hacer solo operaciones algebraicas, aritméticas, y no entender lo que
significa funciones lineales y cuadráticas (M. Zumbado, comunicación personal, 8 de
diciembre, 2016).
4. Los estudiantes tienen que saber cuáles son las principales aplicaciones de la función lineal
y cuadrática (E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero, 2017).
5. Para hacer uso de la historia primero se debe responder a las siguientes interrogantes,
¿Cómo surgió?, ¿Qué necesitaban? (E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero,
2017).
6. Incluir problemas de reproducción, conexión y reflexión, además sugiere distribuirlos de la
siguiente manera 40% en ejercicios de reproducción, 30% de conexión y 30% de reflexión
(E. De Faria, comunicación personal, 26 de enero, 2017).
Al consultarles a los entrevistados sobre ¿qué herramientas tecnológicas podían utilizarse
y cómo hacerlo? Mencionaron lo siguiente:
1. Debe utilizarse para representar las gráficas de una función y analizar sus respectivas
variaciones en relación con los parámetros (R. Poveda, comunicación personal, 29 de
setiembre, 2016).
2. Se debe realizar una guía con preguntas guiadas con el fin de orientar al estudiante (M.
Zumbado, comunicación personal, 8 de diciembre, 2016).
3. Algunas herramientas que se pueden utilizar son Geogebra, el cual es gratuito, fácil de
instalar y tiene muchas aplicaciones, además Winplot, que es un buen graficador, es muy
ágil. Para el caso particular de las funciones cuadráticas se puede utilizar el software
168
Tracker que sirve para analizar vídeos de movimientos parabólicos (E. De Faria,
comunicación personal, 26 de enero, 2017).
7.4.1 Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad
En concordancia con lo establecido en el Programa de Estudios, en esta sección se
dividen las tareas en dos etapas de clase y se añaden las habilidades y complejidad que propician
cada una de ellas; además, se consideró el hecho de que según Ruiz (2017) es poco probable que
los problemas del nivel de complejidad de reproducción permitan la construcción de
aprendizajes y que en su lugar es conveniente para esta acción usar problemas de conexión y
reflexión.
Tabla 29. Organización de las tareas por momento de clase.
Momento de clase Tarea Habilidades Nivel de complejidad
Etapa 1
Tarea 1: “Compras de
maletas por Internet”
Tarea 3: “Uso del
Servicio de transporte
Uber”
HL 1
HL 4
Conexión
Etapa 2
Tarea 2: “Frecuencia
cardiaca máxima”
Tarea 4: “Televisión
satelital Claro”
Tarea 5: “En el
gimnasio”
HL 1
HL 4
HL 3
Conexión
Tarea 7: “Contrato de
fontanero”
Tarea 6: “Venta de
granizados”
HL1, HL2, HL3, HL
4
HL1, HL3 y HL 4
Reflexión
Tarea 9: “Jugando con
un tablero”
Tarea 8: “Competencia
con Kahoot”
HL 2
HL1, HL2, HL3,
HL4
Reproducción
Reproducción
Fuente: Elaboración propia
169
7.4.2 Descripción de las etapas de clase
Se presenta en este apartado los recursos y materiales necesarios y la distribución de
lecciones a emplear en la ejecución de las tareas diseñadas, para este último aspecto, se tomó
como referencia la distribución propuesta, en conjunto, por el MEP y Proyecto Reforma de la
Educación Matemática en Costa Rica (2014) en el “Documento de integración de habilidades
para Décimo año”, en el cual se sugiere que el estudio de esta temática se realice en diez
lecciones de cuarenta minutos, de las cuales se dediquen tres a la primera etapa; sin embargo,
en este trabajo se dedicarán cuatro lecciones a la primera etapa, esto debido a la extensión y
riqueza de las tareas propuestas.
Tabla 30. Planificación de la etapa 1 de función lineal
Etapa 1: Aprendizaje de
conocimientos
Tiempo estimado: 4 lecciones
Contenidos
matemáticos
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Concepto de pendiente
Cálculo de imágenes y preimágenes
Ecuaciones lineales
Relación con los
conocimientos
previos
Es la primera etapa en relación con la función lineal. Se tiene como
conocimiento previo, lo abordado en octavo año, específicamente la
habilidad de identificar y representar relaciones de la forma y ax b
, y de décimo año: el concepto de función y de gráfica de una función,
elementos para el análisis de una función (dominio, imagen,
preimagen, ámbito, inyectividad, crecimiento, decrecimiento, ceros,
máximo y mínimo), y el análisis de gráficas funcionales.
Tareas asociadas Tareas 1 y 3
Secuencia de las
tareas
Primero la tarea 1 y luego la 3.
Interacción
En parejas estudiante con estudiante y el docente como mediador. Se
sugiere que sea el docente quien forme las parejas, con el fin de que
no queden estudiantes excluidos.
Momentos de clase
En concordancia con lo establecido en el Programa de Estudios de
Matemática, la organización de la lección estará dividida en cuatro
momentos centrales. En el primero de ellos se propondrá a los
estudiantes la resolución de la tarea 1, posteriormente se dará un espacio para el trabajo estudiantil independiente, y luego se realizará
una discusión interactiva de las respuestas obtenidas por las
diferentes parejas. Estos tres momentos se realizarán nuevamente
pero con la tarea 2.
Las tareas seleccionadas tienen como objetivo mostrar que el
dominio de la función lineal puede ser discreto o continuo. Por lo que
170
como momento final, se debe hacer una clausura del conocimiento,
definiendo la función lineal, y realizando el análisis de la misma.
Se sugiere utilizar la siguiente definición: “Sea :f D una
función, f es una función lineal si existen, m , b tal que
( )f x mx b . El valor de m se llama pendiente” (Araya, Murillo y
Soto, 2009, p. 128).
Fuente: Elaboración propia
La segunda etapa se ha divido en seis lecciones, las cuales se presentan a
continuación dividas en grupos de dos lecciones.
Tabla 31. Planificación de la segunda etapa de la función lineal.
Etapa 2: Movilización y
aplicación de los conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Cálculo de imágenes y preimágenes
Ecuaciones lineales
Intersección con los ejes cartesianos
Fórmula de la pendiente
Ecuación de la recta
Enmarque de la etapa en
relación con etapas anteriores
Es la segunda etapa y en esta se espera que se apliquen los
conocimientos adquiridos en la etapa 1 en la resolución de
ejercicios y problemas de diversos contextos y que hagan
relaciones con otras áreas, como la de Números al usar
porcentajes, o la de Relaciones y Álgebra al usar ecuaciones
lineales.
Tareas asociadas Tareas 2, 4, y 5
Secuencia de las tareas 2, 4, 5
Interacción En parejas estudiante con estudiante y el docente como
mediador.
Momentos de clase
En concordancia con lo establecido en el Programa de
Estudios de Matemática, la etapa 2 trata de que se trabajen de
forma mecánica algunos de los procedimientos aprendidos,
que amplíen su dominio en las formas de representación de la
función y de la fórmula de la pendiente así como en su
interpretación en términos de la situación dada.
Se espera entonces que el docente proponga a los estudiantes
las tareas seleccionadas, y que realice una supervisión
constante de los procesos de análisis y de resolución de las
parejas. Al finalizar las tareas el docente debe seleccionar al
azar a estudiantes para que expliquen el proceso de resolución
171
de cada una de ellas.
Además es importante complementar con la resolución de
ejercicios algorítmicos de los que aparecen en los libros de
texto, sin caer en repeticiones excesivas.
Fuente: Elaboración propia
Tabla 32. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de la función lineal.
Etapa 2: Movilización y
aplicación de los conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Cálculo de imágenes y preimágenes
Ecuaciones lineales
Intersección con los ejes cartesianos
Fórmula de la pendiente
Ecuación de la recta
Enmarque de la etapa en
relación con etapas anteriores
En esta etapa se pretende aumentar el nivel de razonamiento
de las tareas de la etapa dos, ya que se proponen tareas que
requieren de un mayor nivel de análisis de los conceptos de
función lineal involucrados, así como mayor nivel en los
procesos matemáticos inmersos.
Tareas asociadas Tareas 6, 7 y 9
Secuencia de las tareas 7, 6, 9
Materiales necesarios
Tablero realizado en cartulina
Fichas con criterios de funciones y otras con
representaciones gráficas
Presentación Power Point con las representaciones gráficas
Computadora y proyector
Interacción
En la resolución de las tareas 6 y 7: Tríos de estudiantes y
docente como mediador.
En la resolución de la tarea 9: La cantidad de subgrupos
dependerán de la cantidad de fichas con que disponga el
docente. En esta parte se requiere para su revisión de una
presentación Power Point que le permita a los estudiantes
seleccionados, explicar a los compañeros el por qué y con cuál
criterio la relacionaron; de forma alternativa si no se cuenta
con el equipo necesario se pueden imprimir y ampliar las
gráficas para colocar en la pizarra al momento de revisión.
Momentos de clase
Se espera que al finalizar las tareas 6 y 7 el docente seleccione
al azar a estudiantes (distintos de los seleccionados en la etapa
dos) y que expliquen el proceso de resolución de cada una de
ellas.
Enmarque con la próxima etapa Solicitar a los estudiantes traer instalada la aplicación Kahoot
en los dispositivos móviles.
Fuente: Elaboración propia
172
Tabla 33. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de la función lineal.
Etapa 2: Movilización y
aplicación de los conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Cálculo de imágenes y preimágenes
Ecuaciones lineales
Intersección con los ejes cartesianos
Fórmula de la pendiente
Ecuación de la recta
Enmarque de la etapa en
relación con etapas anteriores
Es la última fase relacionada con la función lineal y tiene por
objetivo medir los conocimientos adquiridos
Tareas asociadas Tarea 8
Materiales necesarios
Aplicación Kahoot
Computadora y proyector
Interacción Se sugiere grupos de máximo 4 estudiantes
Momentos de clase
En primera instancia el docente debe sugerir la formación de
cuartetos. En el que uno de los estudiantes debe tener un
dispositivo móvil, con acceso a internet y con la aplicación
Kahoot.
Posteriormente, el docente debe proyectar las preguntas
formuladas en la tarea “Competencia con Kahoot” y dará el
tiempo que considere necesario para la resolución de cada una de
ellas, los estudiantes responderán usando el dispositivo móvil. Al
finalizar cada pregunta uno de los grupos explicará el proceso de
resolución.
Al concluir la actividad, se espera que el docente, a través de
preguntas dirigidas, realice un esquema resumen de los
conceptos, procedimientos y aplicaciones de la función lineal.
Así como la aclaración final de dudas que hayan surgido en el
proceso.
Fuente: Elaboración propia
173
7.5. Análisis de las tareas que fueron diseñadas o seleccionadas en relación con la función
cuadrática
En este apartado se presentan las tareas relacionadas con la función cuadrática, las cuales
fueron elegidas para cumplir con los criterios de selección establecidos en la sección 7.1 de este
capítulo, dentro de las cuales están el estar acorde con el Programa de Estudios de Matemática,
abarcar contenidos de la estructura conceptual, propiciar la utilización de diferentes sistemas de
representación, entre otros. Para cada una de ellas, se presenta el análisis de las variables
involucradas en las mismas (un ejemplo detallado de dicho análisis se encuentra en el anexo 6),
lo cual permitirá, junto con otros aspectos, establecer en la sección siguiente el orden que tendrán
en el Material Didáctico.
Tarea 1: Explorando con Geogebra
Se presenta una actividad con el uso de GeoGebra para la función :f con
2( )f x ax bx c , la misma tiene como finalidad determinar de qué manera cambia la
representación gráfica de dicha función conforme se varían los valores de los parámetros a , b y
c ; para lo cual, se utilizará la opción de “deslizadores” que ofrece el software, tal como se
muestra en la siguiente imagen, con el objetivo de variar de una forma más ágil los valores de los
parámetros.
174
I Parte. Análisis de la influencia de los parámetros a , b y c en la
representación gráfica de las funciones cuadráticas
Con ayuda de un archivo de GeoGebra y creando deslizadores para cada uno de los
parámetros de la función responda los siguientes ítems:
1. Explique qué sucede con la representación gráfica cuando 0a , y se varían los
valores de los parámetros b y c .
2. Determine los valores de a para los cuáles la parábola queda cóncava hacia arriba.
¿Hay otros valores de a para los que sucede lo mismo?
3. Determine los valores de a para los cuáles la parábola queda cóncava hacia abajo.
¿Hay otros valores de a para los que sucede lo mismo?
4. ¿Qué parámetro(s) influye(n) en el desplazamiento horizontal de la parábola? ¿Es el
mismo del desplazamiento vertical? Justifique su respuesta.
5. Explique qué ocurre con la parábola cuando se varían los valores de a , b y c .
6. Varíe los parámetros y determine la cantidad de veces que puede la parábola
intersecar al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.
7. ¿Siempre interseca al eje de las abscisas? ¿Siempre interseca al eje de ordenadas?
Justifique su respuesta.
II Parte. Análisis de la influencia en la representación gráfica, de una función
cuadrática, de los parámetros a , b y c . Un poco más allá de lo planteado en el
Programa de Estudios de Matemática del MEP
Esta actividad tiene el objetivo de ampliar los aspectos conjeturados en la I parte;
está dirigida a aquellos estudiantes que logren finalizar de forma anticipada la actividad
anterior, o a los docentes que en sus instituciones educativas requieren un análisis mayor
por parte de los estudiantes.
1. En el software fije el valor de b en cero, y varíe los parámetros a y c .
a. Explique ¿qué sucede con la gráfica, en este caso, para los distintos valores de b y c ?
b. ¿Dónde se ubica el eje de simetría? ¿Está siempre en la misma posición? Justifique
su respuesta
175
2. Grafique, con Geogebra, las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano
:f con 2( ) 3 9 3f x x x y :g con
2( ) 3 1g x x x .
a. ¿Cuáles son los puntos de intersección de ambas funciones con el eje de las
abscisas? ¿Son los mismos o son diferentes?
b. Justifique a qué se debe lo que sucedió en la parte a.
c. ¿Lo que pasó en los puntos anteriores se repite con el eje de las ordenadas? ¿A qué
se debe este hecho?
d. Determine el vértice de ambas funciones ¿es el mismo? Justifique su respuesta
detallando el trasfondo de ella.
3. Considere las siguientes funciones, con dominio y codominio .
2
( ) 1 1f x x
( ) 1 2g x x x
2
( ) 2 4m x x
2( ) 2 2h x x x 2( ) 2n x x x 2( ) 4j x x x
a. Compare gráfica y algebraicamente los siguientes pares de funciones f y h , g y
n , m y j (refiérase a sus semejanzas y diferencias, puede utilizar aspectos como
el ámbito, la intersección con los ejes cartesianos, sus intervalos de monotonía,
intervalos donde la función es positiva, negativa, así como el máximo intervalo
donde la función es inyectiva, etc).
b. Para el caso de las funciones que se representen algebraicamente como f , g o m ,
conjeture de qué manera influyen los valores numéricos presentes en su criterio, en
la representación gráfica de las mismas.
176
Tabla 34. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Explorando con
Geogebra”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos a. Análisis de gráficas funcionales
b. Concepto de concavidad
c. Concepto de eje de simetría
d. Definición de función cuadrática
Habilidades específicas de
la función cuadrática en
décimo año
Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática
:f con2( )f x ax bx c , 0a .
Otras habilidades inmersas
(9° año)
Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de 2y ax bx c utilizando software.
Contenido matemático a. Intersección con el eje de las abscisas y de las ordenadas.
b. Relación entre los distintos parámetros de la representación
algebraica y la representación gráfica.
c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la
representación gráfica.
d. Eje de simetría.
e. Representación algebraica estándar, producto de binomios,
criterio del vértice.
Sistemas de
representación de la
función cuadrática
Algebraica 2( )f x ax bx c ,
2( )f x a x h k y
1 2( )f x a x x x x .
Gráfica.
Situación/contexto Matemático
Procesos a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Requiere de
razonamientos donde se señalen cuáles son los aspectos
esenciales de la situación y cómo están relacionados los
diferentes objetos matemáticos que participan.
b. Comunicar – Grado 3 – Expresar ideas, acciones, argumentos
y conclusiones usando lenguaje matemático y precisión
Matemática.
c. Representar – Grado2 – Interpretar y razonar sobre la
información codificada en una representación Matemática
dada.
Dificultades/ Errores a. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
b. No distingue qué determina cada variable del criterio en su
representación gráfica.
c. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función
cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de
monotonía o lo realiza de forma incorrecta.
d. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.
Complejidad Reflexión
Fuente: Elaboración propia
177
Tarea 2: Competencia con Plickers
Plickers es una herramienta
tecnológica que relaciona una página
web con una aplicación para celular,
entre las ventajas que tiene es que la
aplicación es gratuita, y los estudiantes
no necesitan ningún dispositivo, sino
que lo que requieren es una tarjeta de
papel, en dicha tarjeta se distribuyen
las opciones de respuesta A, B, C y D
en cada uno de los lados (ver imagen del lado derecho).
El docente elabora el cuestionario a utilizar en la página
web e indica cuál es la respuesta a cada ítem planteado, luego
debe registrar en el programa el nombre de cada estudiante, en
caso de realizar la actividad en forma individual, o de los
subgrupos.
El programa generará tarjetas numeradas desde 1 hasta n,
donde n es la cantidad de estudiantes o subgrupos que ingresó el docente, las mismas deberán ser impresas (se
diferencian, únicamente, por el número asignado). Para ejecutar la herramienta en el aula, el docente proyecta
el cuestionario, cuando los estudiantes tienen la respuesta, deben levantar la ficha de tal manera que el lado
superior contenga la opción por la que se inclinaron (A, B, C o D), el docente con la aplicación del celular
escanea las respuestas de los estudiantes, esto se puede hacer desde lejos, no es necesario acercarse a cada uno
de ellos (ver imagen adjunta). Conforme se vayan escaneando las respuestas irá apareciendo en pantalla quién
ya contestó, así como el conteo de cada opción seleccionada; si el docente lo dispone podría aparecer qué
seleccionó cada estudiante.
Aplicación Tecnológica
178
Para propiciar el uso de herramientas tecnológicas en el aula, se propone el uso de la
aplicación Plickers (a través de la opción “Live View”), para ello se ha diseñado el siguiente
cuestionario, con ítems de los que usualmente aparecen en las pruebas estandarizadas de
bachillerato, el mismo se encuentra también digitalizado y adaptado al formato de Plickers en
el sitio web https://www.plickers.com con el usuario [email protected] y contraseña
funcionestfg.
Pregunta 1
La siguiente tabla contiene algunos valores de la función cuadrática f :
De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. f es cóncava hacia abajo.
II. f es decreciente en 0,2 .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 2
La utilidad “U ” por la venta de cierto tipo de producto está dada por
2( ) 140 240U p p p , donde “ p ” representa el precio unitario en dólares de ese
producto. ¿Cuál debe ser el precio, en dólares, del producto en cuestión para obtener la
utilidad máxima?
A) 70
B) 280
C) 2 500
D) 4 660
x –2 –1 0 1 2
( )f x 5 8 9 8 5
179
Pregunta 3
Si f es una función, tal que : 0,10f con 2( ) 10f x x x entonces ¿cuál es el
ámbito de f ?
A) 0
B) 0,10
C) 25,0
D) 25,5
Pregunta 4
Si f es una función cuadrática, tal que (0) 8f , y el vértice de la gráfica de f es
3, 7 entonces ¿cuál de los siguientes elementos está en el ámbito de f ?
A) – 3
B) – 8
C) – 10
D) – 12
Pregunta 5
Si la función f está dada por 2( ) 2 7 3f x x x , entonces ¿cuál de las siguientes
opciones corresponde al eje de simetría de la gráfica de f ?
A) 7
4x
B) 7
4y
C) 25
8x
D) 25
8y
Pregunta 6
Si f es una función cuadrática dada por 2( ) 4 5f x ax x y 1x es el eje de simetría
de la gráfica de f , entonces ¿cuál es la imagen de – 2 en f ?
A) 7
B) 11
C) – 5
D) – 8
180
Pregunta 7
Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f dada por
2( ) 2 3f x x x .
I. La gráfica f es cóncava hacia abajo.
II. El eje de simetría de la gráfica de f es 1
4
.
De ellas, ¿cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 8
De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:
I. 0
II. El ámbito de f es .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Pregunta 9
Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f , dada por2( ) 3 2 4f x x x
I. El eje de simetría es 2.
II. La gráfica de f interseca al eje “ ” en 0,4
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
181
Pregunta 10
De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones:
I. El dominio de f es 3,3 .
II. 3,0 pertenece al gráfico de f .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Tabla 35. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Competencia con
Plickers”
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Ubicación de pares ordenados.
b. Resolución de ecuaciones cuadráticas.
c. Cálculo de imágenes.
d. Concepto de eje de simetría y concavidad.
e. Definición de función cuadrática, e influencia de los parámetros en
la representación gráfica.
Habilidades
específicas de la
función cuadrática
en décimo año
a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática
:f D con2( )f x ax bx c , 0a .
Otras habilidades
inmersas
(9° año)
a. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.
b. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado
con una incógnita.
Contenido
matemático
a. Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”.
b. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección con el eje
“y”, en la representación gráfica.
c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la representación
gráfica.
d. Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad en una
representación gráfica.
e. Identifica la concavidad de la función dado el criterio.
f. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función.
182
Sistemas de
representación
Tabular, algebraica y gráfica
Situación/contexto Matemático
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Requiere la aplicación de
procedimientos rutinarios.
b. Razonar y argumentar – Grado 2- Brinda las soluciones a los problemas
mediante distintas representaciones.
c. Representar-Grado 2- Interpreta y razona sobre información codificada
en representaciones Matemática.
Dificultades/
Errores
a. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
b. No distingue qué determina cada variable del criterio en su
representación gráfica.
c. Dada la representación gráfica de una función cuadrática, determina
de forma incorrecta pares ordenados que pertenecen a la misma.
d. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones de la función con el eje x .
e. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.
f. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función
cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de monotonía
o lo realiza de forma incorrecta.
Complejidad Reproducción
Fuente: Elaboración propia
Tarea 3: Distancia de frenado3
Cuando un conductor de automóvil, que viaja a cierta velocidad, mira un obstáculo
en la carretera, transcurre cierto intervalo de tiempo para que el conductor presione los
frenos, lo que se conoce como tiempo de reacción y otro intervalo de tiempo para que el
vehículo se detenga (tiempo de frenado).
3 Esta tarea fue adaptada de Zumbado, M. (2013). Ideas para desarrollar la habilidad específica de analizar
gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio 2( )f x ax bx c mediante el enfoque de resolución
de problemas en décimo año.
183
Entre los intervalos de tiempo mencionados el vehículo recorre siempre cierta
distancia, la cual depende de la velocidad con la que se transite. El siguiente cuadro
presenta la velocidad en que transita un automóvil y la distancia total recorrida desde el
instante en que el conductor mira el obstáculo y el automóvil se detiene.
Velocidad (km/h) Distancia total recorrida (m)
10 2,44
20 5,88
30 10,24
40 15,61
50 22,01
60 29,34
70 37,71
80 47
90 57
100 69
110 81
120 94
130 106
140 123
150 139
Con base en la información anterior responda las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es la velocidad máxima, que un vehículo debe
mantener, para no chocar un vehículo del frente que
se detenga de repente? Tome en cuenta que, las
leyes costarricenses obligan que un vehículo pesado
se mantenga a una distancia mayor a 50 m del
vehículo que va adelante y suponga que los
conductores siempre aplican esta ley.
184
b. Un conductor de un automóvil viaja a una velocidad de 60 km/h cuando de repente
observa que un niño que empieza a cruzar la carretera, a una distancia aproximada
de 50 m del automóvil que él conduce.
¿Atropellará el automóvil al niño? ¿Sucederá lo mismo si el automóvil viaja a
100 km/h? Justifique su respuesta.
c. Construya, utilizando una hoja de cálculo, una representación gráfica de la distancia
total recorrida por un automóvil en función de la velocidad (utilice la herramienta
gráfico de dispersión).
d. Tomando en cuenta la “forma” de la representación gráfica del punto anterior, use la
herramienta línea de ajuste y determine un modelo algebraico que describa la
distancia total recorrida por un automóvil en función de la velocidad.
e. Si un conductor viaja a 115 km/h y observa un obstáculo al frente, estime la
distancia que su vehículo recorre hasta detenerse.
f. Si un conductor se encuentra a 50 m de distancia de un semáforo y observa que éste
acaba de ponerse en rojo, y que no existen obstáculos adelante ¿a qué velocidad
máxima puede viajar para lograr detenerse al llegar al semáforo? Utilice el modelo
obtenido en la pregunta d.
185
Tabla 36. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Distancia de
frenado”
Variables
analizadas Aspectos determinados
Conocimientos
previos
a. Lectura de información registrada de forma tabular.
b. Resolución de ecuaciones lineales.
c. Cálculo de promedio entre dos números.
d. Cálculo de preimágenes.
e. Resolución de ecuaciones cuadráticas.
Habilidades
específicas de la
función cuadrática
en décimo año
Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función
cuadrática.
Otras habilidades
inmersas
(9° año)
a. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.
b. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado
con una incógnita.
c. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es 2( )f x ax bx c .
Contenido
matemático
Ecuaciones cuadráticas
Modelación de problemas a través de una función cuadrática
Sistemas de
representación
Tabular, gráfica y algebraica
Situación/contexto Científico
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde preguntas donde la
respuesta no es directa y amerita mayor argumentación.
b. Plantear y resolver problemas – Grado 2 - Establece conexiones
entre distintas áreas o formas de representaciones.
c. Representar – Grado 3 – Pasa de una representación Matemática a
otra en la resolución de problemas.
Dificultades/
Errores
a. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.
b. Cálculo incorrecto del valor numérico del discriminante.
c. Error algebraico al resolver ecuaciones cuadráticas.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
186
Tarea 4: Colocando cerámica
En el jardín de una casa se desea colocar una decoración, similar a la de la imagen
adjunta, sobre una sección triangular con dos lados de medidas 1,5m y el tercer lado de
longitud 2,5 m. Se pretende construir sobre la sección triangular un prisma rectangular, y de
concreto, de un metro de altura, de manera que uno de sus lados se sitúe en el lado mayor
de la sección triangular.
1. Determine la fórmula que modela el área de la base del prisma
rectangular de la decoración.
2. Como parte de la decoración, al prisma, se le colocará
cerámica; determina el costo a pagar por la cantidad de
cerámica a comprar, si se desea que la base del prisma tenga la
mayor área posible (realice la estimación con el precio que
ofrecen en la página web de El Lagar).
Tabla 37. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Colocando
cerámica”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos
a. Teorema de Pitágoras.
b. Criterios de semejanza de triángulos.
c. Fórmula para el cálculo del vértice de la función cuadrática.
Habilidades específicas de
la función cuadrática en
décimo año.
a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con
criterio 2( )f x ax bx c , 0a .
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando
la función cuadrática.
187
Otras habilidades inmersas
8° año
a. Aplicar los criterios de semejanza: lado-lado-lado, lado-
ángulo-lado y ángulo - ángulo – ángulo, para determinar y
probar la semejanza de triángulos.
9° año
b. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas
en diferentes contextos.
c. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas
algebraicamente en la forma 2y ax bx c .
d. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo
grado con una incógnita.
Contenido matemático
Interpretación del vértice de la función cuadrática.
Modelación de problemas a través de una función cuadrática.
Sistemas de representación Algebraico
Situación/contexto Profesional
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Realiza razonamientos
matemáticos donde muestra que comprende la amplitud y
los límites de los objetos matemáticos usados y de los
procedimientos desarrollados
b. Plantear y resolver problemas – Grado 2 - Establece
conexiones entre distintas áreas Matemática.
c. Comunicar – Grado 3 – Expresa ideas, acciones,
argumentos y conclusiones usando lenguaje matemático y
precisión Matemática.
d. Conectar – Grado 3 - Usa la conexión entre conceptos o
procedimientos matemáticos y una situación de contexto
real para resolver problemas no estudiados y relativamente
complejos.
Dificultades/ Errores
a. Error algebraico al resolver ecuaciones lineales.
b. Errores de factorización.
c. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
d. Cálculo incorrecto del valor numérico del discriminante.
Complejidad Reflexión
Fuente: Elaboración propia
188
Tarea 5: Atletismo moderno 4
El lanzamiento de peso o lanzamiento de bola bala es una prueba de atletismo
moderno que consiste en lanzar una bola de acero a la máxima distancia posible, forma
parte de los juegos olímpicos. Juan es un atleta de los juegos olímpicos y su lanzamiento de
bala está modelado usando la ecuación 2( ) 0,024 5h x x x donde es la distancia
recorrida (en pies) y ( )h x la altura de la pelota lanzada. La siguiente ilustración
corresponde a una representación gráfica de esta situación.
De acuerdo con la información anterior, responde los siguientes
cuestionamientos:
a. ¿Cuál es la altura de la bola respecto al suelo en el momento en que es lanzada?
b. ¿Cuál es la distancia que recorrió la bola? Justifique su respuesta.
c. Si el récord de lanzamiento es de 50 pies, ¿habrá el lanzamiento anterior superado
el récord? Justifique la respuesta.
d. ¿Cuántos metros avanza la bola mientras va ascendiendo y cuántos metros avanza
mientras va descendiendo?
4 La ecuación fue tomada de Huircan, M. y Carmona K. (2013). Guía de Aprendizaje N°2 las
funciones cuadráticas: una herramienta de modelación. Recuperado de http://epja.mineduc.cl/wp-
content/uploads/sites/43/2016/04/GuiaN2MatematicaIICiclodeEM.pdf
189
Tabla 38. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Atletismo
moderno”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos
a. Intersección con los ejes cartesianos.
b. Ecuaciones cuadráticas.
c. Fórmula del vértice de la función cuadrática.
d. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Habilidades específicas
de la función cuadrática
en décimo año
a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con
criterio 2( )f x ax bx c , 0a .
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función cuadrática.
Otras habilidades
inmersas
a. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo
grado con una incógnita (9° año).
b. Analizar una función a partir de sus representaciones (10° año).
Contenido matemático
Eje de simetría
Máximo y mínimo de la función
Intersección con el eje de las abscisas
Análisis de la gráfica de una función cuadrática
Sistemas de
representación
Gráfica y algebraica
Situación/contexto Científica
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Identifica información
Matemática que no está dada de manera explícita en una
situación Matemática o de contexto real.
b. Razonar y argumentar – Grado 3– Desarrolla argumentos que
utilizan integradamente distintos conceptos matemáticos para
resolver un problema.
c. Comunicar – Grado 2 – Interpreta o sigue una secuencia de
razonamientos matemáticos, que usan conceptos o
procedimientos matemáticos estudiados (expresados de manera
oral o escrita) en la resolución de un problema).
Dificultades/ Errores
a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la
fórmula de las coordenadas del vértice.
b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
c. No asocia el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones de la función con el eje x .
d. No distingue qué determina cada variable del criterio en su
representación gráfica.
e. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función
cuadrática pero no determina el ámbito y los intervalos de
monotonía o lo realiza de forma incorrecta.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
190
Tarea 6: Haciendo malabarismo5
Un malabarista, lanza hacia arriba tres pelotas, cada una de
ellas se desplaza de forma parabólica, como se muestra en la imagen
adjunta, además, la gráfica corresponde a una función cuadrática con
criterio de asociación:
2( ) 12 96 100f x x x
Donde ( )f x indica la altura (en centímetros) alcanzada por las
pelotas al cabo de x segundos de transcurrido el lanzamiento.
a. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza cada una de las pelotas?
b. ¿Cuántos segundos deben transcurrir para que alcance la altura máxima?
c. Si cada pelota tiene una diferencia de dos segundos, determine la altura en la que se
encuentra cada pelota al cabo de 1 segundo.
d. Estime cuál es el tiempo que dura una pelota, después de lanzada, en el aire.
Tabla 39. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Haciendo
malabarismo”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos
a. Cálculo de imágenes.
b. Fórmula del vértice de la función cuadrática.
c. Ecuación Cuadrática.
d. Cálculo de imágenes y preimágenes.
Habilidades específicas de
la función cuadrática en
décimo año
Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función cuadrática.
Otras habilidades inmersas
9° año
a. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo
grado con una incógnita.
10° año
b. Analizar una función a partir de sus representaciones.
5 La ecuación fue tomada de Huircan, M. y Carmona K. (2013). Guía de Aprendizaje N°2 las
funciones cuadráticas: una herramienta de modelación. Recuperado de http://epja.mineduc.cl/wp-
content/uploads/sites/43/2016/04/GuiaN2MatematicaIICiclodeEM.pdf
191
Contenido matemático
Cálculo de imágenes en una función cuadrática
Eje de simetría
Intersección con el eje de las abscisas
Sistemas de representación Algebraico
Situación/contexto Científico
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 1 – Responde a preguntas
donde está presente de forma explícita toda la información
necesaria para encontrar la solución.
b. Plantear y resolver problemas – Grado 1 – Utiliza
algoritmos, fórmulas, procedimientos, propiedades, o
convenciones elementales para resolver un problema.
c. Comunicar – Grado 1 – Comunica en forma breve
resultados de procedimientos rutinarios.
Dificultades/ Errores
a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la
fórmula de las coordenadas del vértice
b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
c. No distingue que determina cada variable del criterio en su
representación gráfica.
Complejidad Reproducción
Fuente: Elaboración propia
Tarea 7: Movimiento de un balón de fútbol
Un jugador de fútbol
(delantero) se encuentra a 8
metros de la portería y el
portero está a 3 metros de la
misma; cuando el portero
salta, este puede cubrir hasta
2,5 metros de altura. El
delantero puede escoger para hacer el remate a marco por medio de diversas maneras, a
continuación, se presentan el criterio de dos funciones que modelan la distancia basada en
el tiempo: 2( ) 0,4 0,05h t t t y
2( ) 1,6 0,2f t t t .
192
a. Determine cuánto tiempo duran las bolas en el aire a través de esos lanzamientos.
b. ¿Cuál es la altura máxima que podría alcanzar cada uno de los lanzamientos?
c. En el momento que el primer y segundo lanzamiento pasa por encima del portero ¿a
qué altura se encuentra el balón?
d. Respecto a la pregunta anterior, determina si el portero alcanza el balón de fútbol en
alguno de los lanzamientos.
e. Realice una representación gráfica de la situación dada, ubica en el mismo plano
cartesiano ambos lanzamientos.
Tabla 40. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Movimiento de un
balón de fútbol”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos
a. Resolución de ecuaciones cuadráticas.
b. Cálculo de imágenes.
c. Fórmula del vértice de la función cuadrática.
d. Concavidad de la función cuadrática
Habilidades específicas de
la función cuadrática en
décimo año.
a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con
criterio 2( )f x ax bx c , 0a .
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando
la función cuadrática.
Otras habilidades inmersas
a. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo
grado con una incógnita (9° año).
b. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es 2( )f x ax bx c (9° año).
c. Analizar una función a partir de sus representaciones (10°
año).
Contenido matemático
Cálculo de imágenes
Vértice de la función cuadrática
Sistemas de representación Algebraica y gráfica.
Situación/contexto Científico
193
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 2 – Responde a preguntas
donde la respuesta no es directa y amerita mayor
argumentación para encontrar la solución.
b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve
problemas que implican establecer conexiones entre
distintas formas de representación o de comunicación.
c. Comunicar – Grado 2 – Interpreta o sigue una secuencia
de razonamientos matemáticos, que usan conceptos o
procedimientos matemáticos estudiados (expresados de
manera oral o escrita) en la resolución de un problema
d. Representar – Grado 2 – Interpreta y razona sobre la
información codificada en una representación Matemática
dada.
Dificultades/ Errores
a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la
fórmula de las coordenadas del vértice.
b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
c. No distingue que determina cada variable del criterio en su
representación gráfica.
d. Ubica pares ordenados en un eje cartesiano pero no traza
correctamente la parábola.
Complejidad Conexión
Fuente: Elaboración propia
194
Tarea 8: Maniobra de una avioneta6
Durante una exhibición, una avioneta debe
realizar una maniobra de “vuelo rasante”, está
maniobra consiste en que el avión se acerque al suelo
a una altura mínima. Para que la maniobra no falle
debe iniciar a cierta altura 0h . El criterio de
asociación de la función que describe la altura h que
alcanza la avioneta (en metros) a los x segundos de haber comenzado la maniobra está
dada, por la expresión 2
0( ) 0,5 6h x x x h .
El piloto sabe que no corre riesgo de tocar el suelo si comienza la maniobra a una
altura mayor de cierto valor. Con base en esta información:
a. ¿Cuántos segundos deben pasar después de iniciada la maniobra para que el avión
logre su altura mínima?
b. Determine a qué altura debe iniciar el avión para realizar el vuelo rasante y no
estrellarse.
c. ¿Cuál es la altura mínima que alcanza el avión durante la maniobra?
d. Si el valor de 0 20h entonces ¿cuáles son las coordenadas del vértice y a qué
conclusión podemos llegar en relación con el vuelo? ¿Se estrella?
6 La ecuación fue tomada de Huircan, M. y Carmona K. (2013). Guía de Aprendizaje N°2 las
funciones cuadráticas: una herramienta de modelación. Recuperado de http://epja.mineduc.cl/wp-
content/uploads/sites/43/2016/04/GuiaN2MatematicaIICiclodeEM.pdf
195
Tabla 41. Análisis de las variables involucradas en la resolución de la tarea “Maniobra de una
avioneta”
Variables analizadas Aspectos determinados
Conocimientos previos
a. Cálculo de imágenes.
b. Fórmula del vértice de la función cuadrática.
Habilidades específicas
de la función
cuadrática en décimo
año
a. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con
criterio 2( )f x ax bx c
b. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la
función cuadrática.
Otras habilidades
inmersas
10° año
a. Analizar una función a partir de sus representaciones.
b.
Contenido matemático
Concepto de vértice
Cálculo de imágenes y preimágenes
Sistemas de
representación
Algebraica
Situación/contexto Científico
Procesos
a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Realiza argumentos
matemáticos para resolver problemas o describir situaciones
(Matemática o de contexto real) no estudiados y complejos.
b. Plantear y Resolver problemas – Grado 2 – Resuelve problemas
que no han sido estudiados a partir de una situación dada
(Matemática o de contexto real) donde se ejecuten acciones
secuenciales.
c. Comunicar – Grado 1 – Interpreta expresiones Matemática
dadas en situaciones similares a las estudiadas para proceder a
buscar una estrategia de solución.
d. Representar – Grado 2 – Interpreta y razona sobre la
información codificada en una representación Matemática.
Dificultades/ Errores
a. Omite el signo de un número negativo al remplazarlo en la
fórmula de las coordenadas del vértice.
b. No identifica a , b y c dado el criterio de la función.
Complejidad Reflexión
Fuente: Elaboración propia
196
7.6. Secuenciación de las tareas de función cuadrática en etapas de aprendizaje
Este apartado se articula entorno a dos elementos principales, en primera instancia las
indicaciones puntuales del currículo de Matemática del MEP, así como los dos momentos de
clase que se detallan en el mismo (Etapa 1 Aprendizaje de conocimientos y Etapa 2 Movilización
y aplicación de los conocimientos), y finalmente las recomendaciones metodológicas dadas por
los profesionales relacionados con el proceso de redacción y capacitación del Programa de
Estudios.
Tabla 42. Indicaciones puntuales del Programa de Estudios de Matemática en relación con la
Función Cuadrática
Fuente: MEP (2012) Programa de Estudio en Matemática para la Educación general
Básica y el Ciclo Diversificado.
Conocimiento Indicaciones puntuales
Función
cuadrática
1. La función cuadrática ya fue estudiada en 9º año, de lo que se trata ahora
es de precisar sus propiedades. Se sugiere hacer un estudio sistemático
para la representación gráfica que incluya:
a. Punto de intersección con el eje de las ordenadas.
b. Puntos de intersección con el eje de las abscisas.
c. Intervalos de crecimiento o decrecimiento.
d. Concavidad.
e. Intervalo donde la función es positiva o negativa y su conexión con la
solución de desigualdades cuadráticas.
f. Máximo o mínimo de la función (vértice).
g. Ámbito de la función.
h. Eje de simetría.
i. Intervalos máximos donde la función es inyectiva.
Los puntos anteriores deben verse en conjunto, en forma
articulada, y no por separado.
2. Conviene analizar la influencia de los parámetros a, b y c en el tipo de
gráfica. Una buena estrategia consiste en la técnica de completar
cuadrados y utilizar transformaciones en el plano: homotecias y
traslaciones.
3. Es recomendable usar software matemático para facilitar la observación
de las características descritas para 2y ax bx c y para aproximar
soluciones de ecuaciones de segundo grado.
197
7.6.1. Organización de las tareas por momento de clase y nivel de complejidad
En la siguiente tabla se presenta una síntesis del nivel de complejidad de cada una
de las tareas y la organización de cada una de ellas de acuerdo con las etapas de la lección
establecidas en el Programa de Estudios del MEP. En concordancia con Ruiz (2017), quien
destaca que para que una tarea cree conocimiento, esta debe ser de un grado de complejidad
de conexión o reflexión, se estableció la Tarea 3 “Distancia de frenado” para la etapa uno y
las otras siete tareas para la segunda etapa.
Tabla 43. Organización de las tareas por momento de clase
Momento de clase Tarea Habilidades Nivel de complejidad
Etapa 1
Tarea 3: “Distancia
de frenado”
HL 1
HL 2
Conexión
Etapa 2
Tarea 1:
“Explorando con
Geogebra”
HL 1
Reflexión
Tarea 6: “Haciendo
malabarismo”
HL 1
Reproducción
Tarea 5: “Atletismo
moderno”
HL 1
HL 2 Conexión
Tarea 7:
“Movimiento de un
balón de fútbol”
HL 1
HL 2
Conexión
Tarea 8: “Maniobra
de una avioneta”
Tarea 4: “Colocando
cerámica”
HL 1
HL 2
Reflexión
Tarea 2:
“Competencia con
Plickers”
HL 1
HL 2
Reproducción
Fuente: Elaboración propia
198
7.6.2. Descripción de las etapas de clase
Se presenta en este apartado la planificación de las etapas de aprendizaje, destacando
los recursos y materiales a utilizar; la distribución de la cantidad de lecciones se basó en la
recomendación dada por el MEP y el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa
Rica (2014), quienes estiman que esta temática se aborda en un total de once lecciones, de las
cuales cuatro se deben utilizar en el desarrollo de la primera etapa.
La primer etapa se ha divido en cuatro lecciones, las cuales se presentan a continuación
dividas en grupos de dos lecciones.
Tabla 44. Planificación de la etapa 1 de clase de la función cuadrática
Etapa 1: Aprendizaje de
conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos Ecuaciones cuadráticas
Análisis algebraico de la función cuadrática
Relación con los
conocimientos previos
Es la primera etapa relacionada con la función cuadrática, se
plantea una tarea de modelación Matemática, con la que se busca,
a través de una hoja de cálculo, un criterio algebraico que sirva de
modelo de la situación dada. Se requiere de conocimientos previos
relacionados con el análisis de información presente en una
representación tabular, del cálculo de imágenes y preimágenes y
de la resolución de ecuaciones cuadráticas.
Tareas asociadas Tarea 3
Interacción
En parejas, estudiante - estudiante, en la etapa final estudiantes –
profesor. Se sugiere que sea el docente el que forme las parejas
para que no haya estudiantes excluidos.
Momentos de clase
En concordancia con lo establecido en el Programa de Estudios
de Matemática, la organización de la lección estará dividida en
cuatro momentos centrales. En el primero de ellos se propondrá
a los estudiantes la resolución de la tarea 1, posteriormente se
dará un espacio para el trabajo estudiantil independiente.
Se espera que al final de la clase se realice una discusión de los
resultados obtenidos en la resolución de la tarea, que comente
aplicaciones que tiene la función cuadrática en diversos contextos
y defina formalmente la función cuadrática.
Una propuesta de definición es la siguiente: “Si :f D
es una función, se dice que f es una función cuadrática si existen
constantes a , b y c con 0a tal que 2( )f x ax bx c ”.
Fuente: Elaboración propia
199
Tabla 45. Planificación de la segunda parte de la primera etapa de clase de la función
cuadrática
Etapa 1: Aprendizaje de
conocimientos Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos
a. Intersección con el eje de las abscisas y de las ordenadas
b. Relación entre los distintos parámetros de la representación
algebraica y la representación gráfica
c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la
representación gráfica
Enmarque de la etapa en
relación con etapas
anteriores
Es la primera etapa relacionada con la función cuadrática, en la
primera se abordó la definición, y contextos donde el tópico
presenta funcionalidad. En esta se pretende un análisis gráfico de la
función.
Tareas asociadas Tarea 1
Interacción Estudiante- Estudiante
Momentos de clase
Para iniciar se propondrá a los estudiantes la guía con las
preguntas que deberá responder con ayuda del software Geogebra,
y posteriormente se dará un espacio para el trabajo estudiantil
independiente.
Se espera que al final de la clase se realice una síntesis de los
aspectos desarrollados a través de la resolución de la tarea:
influencia de los parámetros en la representación gráfica y de las
distintas representaciones algebraicas de la función cuadrática.
Además, se debe hacer la definición formal del concepto de eje de
simetría y vértice.
Fuente: Elaboración propia
La segunda etapa se ha divido en siete lecciones, las cuales se presentan a continuación
dividas en grupos de dos lecciones y de tres lecciones respectivamente.
200
Tabla 46. Planificación de la segunda etapa de clase de la segunda etapa de la función
cuadrática
Etapa 2: Movilización y
aplicación de los
conocimientos
Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos
Cálculo de imágenes y preimágenes
Eje de simetría
Máximo y mínimo de la función
Intersección con los ejes cartesianos
Concepto de Vértice
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
Enmarque de la etapa en
relación con etapas
anteriores
Es la segunda etapa y en esta se espera que se apliquen los
conocimientos adquiridos en la etapa 1 en la resolución de
ejercicios y problemas de diversos contextos.
Tareas asociadas Tareas Malabarismo, Atletismo moderno y Fútbol
Secuencia de las tareas Malabarismo, Atletismo moderno y Fútbol
Interacción
En parejas estudiante con estudiante y el docente como
mediador.
Momentos de clase
En concordancia con lo establecido en el Programa de
Estudios de Matemática, la etapa 2 trata de que se trabajen
de forma mecánica algunos de los procedimientos
aprendidos, que amplíen su dominio en las formas de
representación de la función y en las fórmulas para el cálculo
del vértice, así como en su interpretación en términos de la
situación dada.
Se espera que al finalizar las tareas el docente seleccione al
azar a estudiantes y que expliquen el proceso de resolución
de cada una de ellas. El papel del docente debe ser de
mediador, puntualizando aspectos matemáticos relevantes en
el problema, así como a través de preguntas dirigidas
orientar en caso de que haya errores, se debe también
propiciar la participación, en la revisión de las tareas, de
estudiantes que no hayan sido seleccionados.
Fuente: Elaboración propia
201
Tabla 47. Planificación de la segunda parte de la segunda etapa de clase de la segunda
etapa de la función cuadrática
Etapa 2: Movilización y
aplicación de los
conocimientos
Tiempo estimado: 3 lecciones
Contenidos matemáticos
Concepto de Vértice
Cálculo de Imágenes y Pre imágenes
Eje de simetría
Máximo y mínimo de la función cuadrática
Semejanza de triángulos
Enmarque de la etapa en
relación con etapas
anteriores
Es la tercera etapa y en esta se espera que se apliquen los
conocimientos adquiridos en la etapa 1 y 2 en la resolución
de ejercicios y problemas de diversos contextos.
Tareas asociadas Tareas Avioneta y Cerámica
Secuencia de las tareas Avioneta y Cerámica
Interacción
En parejas estudiante con estudiante y el docente como
mediador.
Momentos de clase
Se espera que al finalizar las tareas el docente seleccione al
azar a estudiantes y que expliquen el proceso de resolución
de cada una de ellas, además que el docente resalte las
diversas maneras de resolver un problema.
Es importante que, se aproveche la utilidad que tiene el
cálculo de las coordenadas del vértice para la resolución de
las tareas de esta etapa, para cerciorarse de que los
estudiantes realmente estén, por un lado, calculando
correctamente el vértice, y además realizando una
interpretación correcta del mismo en términos del problema.
El papel del docente debe ser el de orientar a los estudiantes
hacia la interpretación, en términos del problema, en cada
uno de los cálculos realizados.
Fuente: Elaboración propia
202
Tabla 48. Planificación de la tercera parte de la segunda etapa de clase de la segunda
etapa de la función cuadrática
Etapa 2: Movilización y
aplicación de los
conocimientos
Tiempo estimado: 2 lecciones
Contenidos matemáticos
Relaciona el signo del discriminante con la cantidad de
intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”.
Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección
con el eje “y”, en la representación gráfica.
Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la
representación gráfica.
Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad
en una representación gráfica.
Identifica la concavidad de la función dado el criterio.
Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la
función.
Enmarque de la etapa en
relación con etapas anteriores
Es la cuarta etapa y en esta se espera que se apliquen los
conocimientos adquiridos en las diversas tareas
anteriores.
Tareas asociadas Tareas Plickers
Secuencia de las tareas Plickers
Interacción De forma individual pues cada estudiante debe tener una
tarjeta.
Momentos de clase
En primera instancia el docente debe llevar impresas una
serie de tarjetas que se obtienen en el sitio web de
Plickers, y brindar a cada estudiante una de ellas.
Posteriormente, el docente debe proyectar las preguntas
formuladas en la tarea “Competencia con Plickers” y dará
el tiempo que considere necesario para la resolución de
cada una de ellas, los estudiantes responderán usando el
dispositivo móvil.
Al finalizar cada pregunta uno de los grupos explicará el
proceso de resolución.
Se espera que el docente realice un esquema resumen de
los conceptos y procedimientos estudiados; así como la
aclaración final de dudas que hayan surgido en el proceso.
Fuente: Elaboración propia
Se presentó en este capítulo lo concerniere a las tareas que conforman el
Material Didáctico, así como el respectivo análisis, secuenciación y sugerencias para su
puesta en práctica en aulas de educación secundaria. Las tareas fueron divididas en las
dos etapas que se establecen en el actual currículo de Matemática costarricense.
203
CAPÍTULO VIII
VALORACIONES DEL MATERIAL DIDÁCTICO
Esta sección se estructura en torno a la valoración realizada al Material Didáctico
elaborado en este trabajo de investigación. Dicha valoración fue realizada por docentes de
educación secundaria y por algunos integrantes del Proyecto Reforma de la Educación
Matemática en Costa Rica. Además, se añade la retroalimentación obtenida producto de la
ejecución de ciertas tareas de dicho material tanto en un aula de educación secundaria como
en un aula universitaria. La importancia de esta sección radica en que dichas valoraciones
permitieron posteriormente mejorar el Material Didáctico elaborado.
8.1. Recomendaciones obtenidas a raíz de la valoración de los docentes
Por la extensión del Material Didáctico se tomó la decisión de que los docentes de
educación secundaria valoraran por separado la sección correspondiente a la Función
Lineal y a la Función Cuadrática, y que solo los integrantes del Proyecto Reforma de la
Educación Matemática en Costa Rica valoraran el material de ambas funciones. Para este
propósito se le brindó a los docentes una rúbrica de valoración (ver anexo 7).
En la siguiente tabla se presentan los años de experiencia de los docentes
evaluadores, así como el nombre de la universidad donde obtuvieron sus distintos grados
académicos en relación con la Enseñanza de la Matemática. Con el fin de proteger su
confiabilidad se colocaron como nombres pseudónimos.
Tabla 49. Perfil de los docentes evaluadores del Material Didáctico.
Fuente: Elaboración propia
Formación académica
Sección valorada Docente Años de experiencia Bachillerato Licenciatura
Función lineal
Profesor 1 14 UNA UNED
Profesor 2 31 UNA UISIL
Profesor 3 18 UNA UAM
Función cuadrática
Profesor 4 12 UNA UNA
Profesor 5 5 UNA UISIL
Profesor 6 27 UNA UISIL
Material didáctico
completo 3 integrantes
Proyecto Reforma de la Educación Matemática en
Costa Rica
204
A continuación se presentan las valoraciones obtenidas por los docentes que
revisaron el Material Didáctico.
Todos los docentes de educación secundaria afirmaron que sí utilizarían el Material
Didáctico para impartir sus lecciones. Cuatro docentes señalan que las tareas tratadas no se
encuentran en los libros de texto, que abarcan temas actualizados y contextualizados.
Adicionalmente, valoran de manera muy positiva la presentación del material, consideran
que el formato de las tareas es atractivo para ser utilizado con los estudiantes, aunque su
población meta son los profesores. Además, consideran positivo la utilización de
definiciones Matemática adecuadas para el nivel de instrucción al cual se dirige el Material
Didáctico.
Por otro lado, a los docentes se les solicitó la valoración en cuanto al tiempo
estimado para la puesta en práctica del Material Didáctico. Dos de los docentes señalaron
que es muy difícil valorar la estimación del tiempo, dado que dependerá de las
circunstancias de cada institución. Otro de los docentes, en la sección de observaciones
generales, fue más explícito y mencionó que muchas veces se pierden demasiadas
lecciones, ya sea por actos cívicos, informes de adecuación, actividades extra curriculares,
entre otros aspectos. Y que por lo tanto es importante tomar en cuenta el tiempo, ya que en
la realidad se debe acortar.
Los integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática consideran
valioso que se utilizara el modelo completo para la valoración de los grados de
participación de los procesos matemáticos y del nivel de complejidad, mismo que es
propuesto el documento denominado “Evaluación y Pruebas Nacionales para un Currículo
de Matemáticas que enfatiza capacidades superiores” de Ruiz (2017).
Adicionalmente, consideran que aunque los contextos y situaciones planteadas para
la función lineal son interesantes, en algunos casos son contextos artificiales. Mientras que
en el caso de la función cuadrática los contextos son más reales en el marco de modelos
científicos. En este sentido, es importante aclarar que en la creación de las tareas se
especificó que no todas cumplen con un contexto real, debido a que su intención es
205
meramente didáctica; es decir, su fin es evaluar la comprensión de un determinado
conocimiento matemático.
Asimismo, los integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en
Costa Rica, mencionan que el apartado Dificultades/Errores en la tabla “Variables de la
tarea” contiene suposiciones generalizadas relacionadas con posibles errores o dificultades
que son difíciles de apreciar si no se tiene la solución de la tarea. Lo cual es correcto, dado
que son suposiciones generadas por los autores de esta investigación luego de la resolución,
a través de diversas maneras, de las tareas planteadas.
Por otro lado, citan que a pesar de que se utilizan diferentes herramientas para la
etapa de movilización (Geogebra, Plickers, Kahoot, Hoja de cálculo) las preguntas que se
planteen en ellas son muy tradicionales y orientadas a ejercicios abstractos. Cabe destacar,
que como se mencionó en cada una de las tareas donde se requiere el uso de las
aplicaciones y software mencionados su objetivo es solo evaluar la aplicación de algún
conocimiento, y responden a la forma en que se realizan actualmente las pruebas
estandarizadas del país.
De manera general, los docentes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática
mencionan que el Material Didáctico es muy importante pues es congruente con gran parte
del Programa de Estudios de Matemática y contiene elementos relacionados con la
selección, diseño y valoración de tareas Matemática.
8.2. Aplicación de tareas seleccionadas del Material Didáctico.
Este análisis no se encuentra definido dentro de los objetivos iniciales de la
investigación; sin embargo, se consideró oportuno desarrollar algunas actividades en aulas
de educación secundaria y educación universitaria con el fin de tener la perspectiva del
estudiantado en el momento de enfrentarse a las actividades propuestas en el Material
Didáctico, así como la opinión del docente aplicador en cuanto al logro de las habilidades
según la actividad propuesta. Cabe mencionar que los docentes que aplicaron estas tareas
corresponden a los autores de esta investigación.
206
Se aplicaron algunas tareas en el curso Principios de Matemática II (MAC 403) de la
carrera Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad
Nacional, y en dos grupos de décimo año, con 40 estudiantes cada uno, de una institución
educativa de educación secundaria.
Luego de la aplicación de las tareas se obtuvo como retroalimentación la
modificación en la redacción de algunas de ellas. Dado que en algunos casos los estudiantes
no realizaban lo que se tenía proyectado con un determinado ítem, debido a que no
entendían lo indagado por el mismo. Además se realizó una modificación del tiempo
estimado en el caso de algunas tareas.
207
CAPÍTULO IX
CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo se muestran las conclusiones más relevantes obtenidas producto de
esta investigación. Para lo cual, se ha estructurado este apartado entorno a la pregunta y a
los objetivos de investigación planteados en el capítulo uno. Además, se exponen una serie
de recomendaciones, para diversas entidades nacionales, entorno a la preparación y
capacitación de docentes de Matemática. Por último, se sugieren temas para futuras
investigaciones relacionadas con los procesos de enseñanza y aprendizaje acordes con el
actual Programa de Estudios de Matemática del MEP.
9.1. Conclusiones
El objetivo general de esta investigación propone Elaborar un material didáctico
para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática, para décimo año, considerando las
indicaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de
Educación Pública de Costa Rica. El cumplimiento de este objetivo está relacionado en su
totalidad con la consecución de los objetivos específicos que se presentan a continuación.
En el primer objetivo específico se propuso Desarrollar un análisis de contenido
matemático de la función lineal y de la función cuadrática, se consideró dentro del análisis
de contenido el análisis conceptual; este último, evidenció que a pesar de que la mayoría de
los libros de texto de Matemática utilizan dentro de la definición de función lineal la
representación algebraica ( )f x mx b , estas se mostraban de forma muy diversa, en
algunos casos añadían conceptos relacionados con variables dependientes e independientes;
en otros casos, mencionaban dentro de la definición su representación gráfica, e incluso
algunos evidenciaban falta de precisión al definir correctamente el dominio de una función
lineal, así como confusiones con la representación algebraica de la recta.
Para el caso de la función cuadrática, se encontró que en algunas ocasiones no
definían de manera adecuada el dominio y en otros casos ni se definía; al mismo tiempo, en
las definiciones de esta función se utiliza, únicamente la representación algebraica
2( )f x ax bx c .
208
En cuanto al Análisis de Contenido, el mismo brindó una rigurosidad de todos los
conceptos, procedimientos y sistemas de representación involucrados en los temas en
cuestión, lo que permitió considerar esa multiplicidad de elementos en el planteamiento de
las tareas Matemática. Es preciso destacar que esta indagación permitió una búsqueda
detallada de representaciones, aplicaciones, historia, definiciones, y la forma en que estas se
relacionan. En el caso de la función cuadrática, se determinó que la representación
algebraica se puede dar de tres formas equivalentes (ver sección 5.6), y en todos los libros
de texto, de educación secundaria consultados en esta investigación, se abordó de una única
forma. Aunque esto puede ser debido a que en el MEP (2012) dentro de las habilidades cita
“Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática 2( )f x ax bx c ”.
Asimismo, el Análisis de Contenido permitió dar respuesta a una de las consultas
más frecuentes por parte de los estudiantes, referentes a la funcionalidad de los temas de
Matemática que se abordan en el aula. Para ello, se consideró dentro de sus organizadores
al análisis fenomenológico, como una búsqueda más consiente de las aplicaciones que
tienen los conceptos matemáticos en las situaciones cotidianas o en otras áreas científicas,
lo que se denomina en el Programa de Estudios de Matemática del MEP como
contextualización activa.
En este sentido, se determinó que la función lineal tiene múltiples aplicaciones, en
ciencias como la Física, en la que se realizan conversiones entre un sistema de medida de
temperatura a otra, a través de una función lineal o en los movimientos rectilíneos
uniformes. Además se puede utilizar para determinar la frecuencia cardiaca máxima a la
que se puede exponer un ser humano. Igualmente se utiliza en problemas de naturaleza
cotidiana como en el cálculo de costos dependiendo de la cantidad de productos adquiridos.
Por otro lado, en cuanto a la funcionalidad de la función cuadrática destaca la modelación
de problemas relacionados con la trayectoria que sigue un objeto al ser lanzado, como en el
lanzamiento de una bola bala, o al patear un balón de fútbol. Además se puede utilizar para
determinar la distancia recorrida por un automóvil al frenar dependiendo de la velocidad
con la que transita, así como para modelar problemas relacionados con costos máximos y
mínimos.
209
En consecuencia, el Análisis de Contenido permitió dentro del Material Didáctico
establecer los conocimientos matemáticos requeridos para la consecución de las habilidades
establecidas en el actual currículo de Matemática del MEP, así como elaborar tareas en los
contextos en que tienen aplicación la Función Lineal y la Función Cuadrática, y abordar
dentro de estas sus distintos sistemas de representación.
El segundo objetivo planteaba Describir las dificultades y errores que presentan los
estudiantes en el aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática; la búsqueda
en investigaciones previas reveló que los estudiantes presentan dificultades que se originan
propiamente por la diversidad de conceptos involucrados en estos tópicos y que los
principales errores que se comenten se relacionan con la transformación de una
representación Matemática a otra, en especial en la asociación de la representación
algebraica con la representación gráfica y viceversa.
En cuanto a los resultados obtenidos en los cuestionarios aplicados tanto a los
docentes como a los estudiantes, se evidenciaron que los errores más frecuentes están
relacionados con aquellos originados por deficiencias en el manejo de conceptos,
contenidos y procedimientos, algunos de ellos responden a la falta de dominio de aspectos
conceptuales, como lo es la diferenciación entre los términos abscisas y ordenadas. Así
como hay errores que no pertenecen directamente a contenidos relacionados con la función
lineal y la función cuadrática, pero que forman parte de los conocimientos previos de
acuerdo al Programa de Estudios de Matemática del MEP. Ejemplo de esta situación es
errar al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números reales, principalmente,
en la aplicación de las leyes de signos y en la jerarquización de las operaciones, la
resolución de ecuaciones lineales y de ecuaciones cuadráticas, y la ubicación de pares
ordenados en el plano cartesiano.
Mientras que en relación con las dificultades, la mayoría de los docentes
cuestionados señalaron que una de las principales dificultades se presenta cuando se les
solicita a los estudiantes el planteamiento de problemas que se puedan modelar con las
funciones en cuestión. Este hecho resulta desalentador, ya que esta habilidad se encuentra
inmersa a lo largo del actual currículo de Matemática costarricense. Además esto puede
210
deberse a la falta de dominio de las habilidades relacionados con la función lineal y la
función cuadrática, que no le permiten al estudiante enfrentarse a ese tipo de actividades.
De manera particular, en el caso de la función lineal, la mayoría de los docentes
afirman que los estudiantes tienen dificultades en tareas que requieren de análisis que van
más allá de aplicar algoritmos, principalmente, en actividades como la identificación de
modelos lineales y la interpretación del concepto de pendiente, en el planteamiento y
resolución de problemas. Mientras que en la función cuadrática la principal dificultad se
presenta en la determinación de los intervalos de monotonía y de su ámbito. Por lo que se
evidencia el poco razonamiento lógico matemático por parte de los estudiantes y la poca
articulación con los algoritmos correspondientes a dichos tópicos.
Por ende este análisis permitió dentro del Material Didáctico generar ítems dentro
de las tareas que requirieran de parte de los estudiantes la articulación entre los distintos
conocimientos que componen la función lineal y la función cuadrática, así como exponerlos
ante situaciones que fueron detectadas como dificultades o errores presentes en ellos.
Además, permitió brindarle al docente una lista de posibles errores y dificultades que
pueden presentar los estudiantes al momento de estudiar los tópicos de función lineal y
función cuadrática.
El tercer objetivo proponía Especificar los métodos y técnicas que favorezcan el
proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones lineal y cuadrática, para el logro de
este objetivo en primera instancia se recurrió a la búsqueda de investigaciones relacionadas
con planteamientos didácticos en estos tópicos, posteriormente se realizó una entrevista a
algunos miembros del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, que
además estuvieron involucrados en los procesos de capacitación del Programa de Estudios
de Matemática del MEP.
De las indagaciones realizadas se obtuvo que dentro del proceso de enseñanza de la
función lineal y la función cuadrática se debe propiciar la iniciación de estos conceptos, a
través de situaciones cotidianas que le permitan al estudiante construir nociones y
elementos conceptuales, para posteriormente formalizar dichos conceptos. Además, dentro
211
de un salón de clases en donde se desarrollen estas temáticas, se deben utilizar tareas
Matemática que expongan a los estudiantes al uso de los distintos sistemas de
representación. Para el desarrollo de las temáticas estudiadas se vuelve de interés el uso de
software matemáticos que les permitan, a los estudiantes, conjeturar la forma en que varía
la representación gráfica de estas funciones (lineal y cuadrática) conforme varían cada uno
de los parámetros involucrados en la representación algebraica de la misma, situación que
sin un software dinámico, requeriría de mucho tiempo de clases.
Por ende este análisis permitió dentro del Material Didáctico conocer la orientación
que debían contener cada una de las tareas. Dentro de las cuales se consideró el
planteamiento de distintas actividades, como el uso de fichas para asociar una
representación algebraica dada con su respectiva representación gráfica, el uso del software
Geogebra, para conjeturar la influencia de los distintos parámetros de la representación
algebraica en la representación gráfica. Así como la introducción de la temática a través del
planteamiento de un problema.
El cuarto objetivo específico planteaba Diseñar tareas Matemática para la
enseñanza de la función lineal y de la función cuadrática, en décimo año, acordes a las
orientaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de
Educación Pública de Costa Rica, para el cumplimiento de este objetivo se utilizó como
base el Análisis de Instrucción y los planteamientos teóricos y metodológicos establecidos
por el MEP.
El Análisis de Instrucción permitió seleccionar y diseñar de forma justificada tareas
Matemática que propiciarán el desarrollo de capacidades cognitivas superiores (objetivo
planteado en el actual currículo de Matemática costarricense). Para ello se realizó un
análisis de las variables presentes en cada tarea Matemática, tales como: habilidades
generales y específicas, contenido matemático, sistemas de representación, contextos,
procesos, dificultades y errores, y complejidad (todas descritas en el Capítulo VII).
Para el análisis de las variables inmersas en cada tarea, se recurrió a la resolución
completa de cada una de ellas, posteriormente se fueron asociando los elementos inmersos
212
en su resolución con las variables anteriormente citadas. Para el caso de las habilidades,
conocimientos que se propician y los conocimientos previos necesarios, se recurrió a la
revisión del Programa de Estudios de Matemática del MEP. Mientras que para el análisis de
los errores o dificultades que podrían presentar los estudiantes con la resolución de las
tareas se hizo una correspondencia con las categorías determinadas en el Análisis
Cognitivo.
Además para establecer el nivel de complejidad y los procesos matemáticos que se
propician con la resolución de las tareas se recurrió al documento denominado “Evaluación
y Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades
superiores” de Ruíz (2017). El cual establece una serie de elementos que permiten
determinar de acuerdo con una serie de acciones cuál proceso matemático se está nutriendo
y en qué nivel de dificultad.
Para el diseño de las tareas se realizó una adaptación de tareas prexistentes en libros
de texto de educación secundaria y en otros documentos como artículos de investigación y
divulgación. Adaptar implicó modificarlas para que cumplieran con las habilidades
propuestas en el Programa de Estudios de Matemática y para que abarcaran la mayor
cantidad de conocimientos matemáticos y sistemas de representación detectados en el
Análisis de Contenido.
Como producto final del cuarto objetivo específico de esta investigación se aporta
un total de nueve tareas para abordar las habilidades relacionadas con la función lineal y
ocho tareas para la función cuadrática, las cuales abarcan diversos niveles de complejidad,
nutren el desarrollo de distintos procesos matemáticos, y poseen una variedad de contextos.
El nivel de complejidad, así como los procesos matemáticos inmersos permitieron brindar
la secuenciación que deben tener las tareas que se encuentran dentro del Material
Didáctico, así como establecer una serie de recomendaciones relacionadas con el accionar
de aula (ver anexo 9).
En relación con el quinto y último objetivo específico el cual planteaba Valorar la
pertinencia del material didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la función
213
lineal y de la función cuadrática mediante el criterio de docentes de secundaria de
Matemática en servicio. Para el cumplimiento de este objetivo se recurrió a seis docentes
que actualmente laboran en educación secundaria y dos de los profesores-investigadores
que forman parte del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica; cabe
mencionar que los docentes que realizaron la valoración tienen en promedio 18 años de
laborar en educación secundaria. Además, los investigadores de este escrito, llevaron a la
práctica algunas tareas en una institución educativa de educación secundaria y en una
institución universitaria.
Tanto las observaciones brindadas por los docentes de educación secundaria y por
los integrantes del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, así como
la retroalimentación obtenida producto de su aplicación, fueron tomadas en cuenta para
mejorar el material didáctico que se entrega como producto de esta investigación.
Finalmente, se puede destacar que el Material Didáctico podría constituir un
documento de consulta valioso, para los estudiantes de la carrera Enseñanza de la
Matemática, para los docentes de Matemática en ejercicio y para la comunidad de
educadores matemáticos en general, debido a los insumos conceptuales, procedimentales y
estrategias metodológicas que incluye. Además de ser el primer Trabajo Final de
Graduación de Costa Rica que sigue los elementos teóricos propuestos por el director del
Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, Ruiz (2017), quien propone
el modelo utilizado en este trabajo para valorar la participación de los procesos o
capacidades superiores y los niveles de complejidad que señala el actual currículo
costarricense (reproducción, conexión y reflexión). Para dicho modelo se utilizaron 61
indicadores colocados en tres “grados” y cinco criterios a partir de los cuales se
identificaron los tres niveles de complejidad.
El cumplimiento de los objetivos específicos permitió la consecución de un material
didáctico que integra nueve tareas para la función lineal y ocho para la función cuadrática,
cada una de las tareas presenta las variables inmersas en ellas, así como una serie de
sugerencias para su aplicación en el aula. Además, dentro del Material Didáctico las tareas
se dividen en las dos etapas propuestas por el MEP (etapa 1: aprendizaje de los
214
conocimientos y etapa 2: movilización y aplicación de los conocimientos), y se da una
estimación del tiempo requerido en cada una de ellas. Tiempo que concuerda con el
establecido en el trabajo denominado “Documento de integración de habilidades para
Décimo año” del Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica.
Por otro lado, la consecución de los objetivos anteriores permitió dar respuesta a la
pregunta de investigación, la cual establecía ¿qué conocimientos debe tener un docente
para construir un material didáctico dirigido a la enseñanza de las funciones lineal y
cuadrática en décimo año, coherente con las indicaciones metodológicas del Programa de
Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica?
En este sentido, se puede destacar que es necesaria una revisión exhaustiva de las
indicaciones metodológicas y evaluativas que posee el actual currículo costarricense,
debido a que en el mismo se establecen una serie de orientaciones que permean
directamente en el accionar de clases.
Además, en concordancia con el Análisis Didáctico, el docente debe realizar una
búsqueda con detalle de los aspectos matemáticos que están involucrados con los temas en
cuestión. Para ello, puede recurrir a libros de texto, pero no basta con los libros de texto de
educación secundaria, es recomendable que utilice libros de textos universitarios o reportes
de investigación donde haya un análisis con más profundidad. Este análisis también debería
permitirle al docente determinar algunas de las aplicaciones de los tópicos que está
abordando, es decir, es necesario un conocimiento sobre la funcionalidad de los tópicos
matemáticos con el objetivo de presentar una contextualización activa.
Asimismo, el docente debe tener conocimiento sobre las posibles dificultades o
errores que presentarán sus estudiantes durante el estudio de los diversos tópicos
matemáticos; para lo cual, puede recurrir a la búsqueda de investigaciones donde se hayan
reportado estos hallazgos, así como su experiencia en las aulas de educación secundaria. Es
importante destacar que dentro del material didáctico no debe evitar exponer los alumnos
ante las dificultades o errores detectados, por el contrario deben utilizarse ítems donde sea
necesario poner en práctica algunos de estos aspectos.
215
Adicionalmente, en concordancia con el actual Programa de Estudios de
Matemática, el docente debe propiciar el diseño o selección de tareas matemáticas que no
solo potencien los conocimientos matemáticos sino que además nutran el desarrollo de
algún proceso matemático, que poseen diversos niveles de complejidad y una variedad de
contextos.
Finalmente debe tener en cuenta que el diseño que realice no es infalible, y que a
raíz de la puesta en práctica del material didáctico este debería tener ciertos rediseños. En el
Material Didáctico que se obtiene como producto final de esta investigación se incluye una
serie de pasos, con más detalles, para que los docentes puedan crear materiales didácticos
congruentes con el actual currículo de Matemática costarricense.
9.2. Limitaciones de la investigación
Dentro de las limitaciones de esta investigación es importante resaltar la falta de
información específica referida al desarrollo histórico de la función lineal y de la función
cuadrática, a pesar de que en diversos artículos y tesis de investigación aparecen apartados
con títulos que hacen referencia a este hecho, al hacer una lectura de los mismos se
encuentra que se refieren al desarrollo del concepto de función en general.
Otra de las limitantes fue la puesta en práctica de la totalidad del Material Didáctico
con estudiantes de educación secundaria, debido a que solo se llevaron a la práctica algunas
de las tareas. Aunque se debe tener claro que no se consideró esto como un objetivo de la
investigación, pero hubiese sido un aporte valioso en términos de valorar la funcionalidad
del mismo de acuerdo a la forma de ser abordado por los estudiantes.
9.3. Recomendaciones
Dentro de esta investigación surgen algunas recomendaciones, las cuales van,
especialmente dirigidas a las Escuelas de Matemática de las universidades costarricenses,
también surgen recomendaciones para aquellos docentes en ejercicio y en formación que
deseen utilizar el Análisis Didáctico como herramienta para el quehacer educativo; así
como aquellos investigadores que tomen como guía esta investigación.
216
9.3.1. Para las Escuelas de Matemática de las universidades costarricenses
Algunas de las recomendaciones dirigidas a las universidades costarricenses,
especialmente para las Escuelas de Matemática, es que incluyan dentro de sus cursos:
a) el planteamiento de problemas por parte de los estudiantes con el fin de que
posteriormente, como docentes, tengan insumos para realizar actividades de
planteamiento de problemas en las aulas de educación secundaria.
b) el análisis de las variables que están inmersas en el desarrollo de una tarea
Matemática, tales como las habilidades, contenido matemático, sistemas de
representación, contextos, procesos, dificultades y errores, y complejidad. Análisis
requerido en el actual currículo costarricense.
c) el uso del modelo teórico propuesto por Ruiz (2017) para la determinación de los
procesos matemáticos que se nutren con la resolución de una tarea, así como para
determinar el nivel de complejidad de ellas. Dado que dicho modelo es actualmente
el único referente teórico que está adaptado al contexto nacional.
d) diversos marcos teóricos que fundamenten y orienten la elaboración de materiales
didácticos. Algunos de ellos podrían ser el Análisis Didáctico, la Ingeniería
Didáctica o el Estudio de la Lección. Este es un requerimiento esencial en ausencia
de materiales didácticos, en las diversas áreas Matemática, que sean congruentes
con el actual Programa de Estudios de Matemática del MEP.
9.3.2. Para los docentes en ejercicio y en formación
Para los docentes en formación y aquellos que ya ejercen su profesión se les hacen
las siguientes recomendaciones:
a) Que consideren dentro de la construcción de las tareas matemáticas, que utilizarán
en sus clases, los elementos establecidos en el Análisis Didáctico, así como el
modelo teórico propuesto por Ruiz (2017).
b) Que los estudiantes de la carrera Enseñanza de la Matemática generen materiales
didácticos fundamentados para que puedan ser implementados en el aula por
docentes de Matemática en ejercicio.
217
9.3.3. Para el Ministerio de Educación Pública (MEP)
Algunas recomendaciones orientadas al ente costarricense encargado de las
directrices metodológicas para la educación primaria y educación secundaria son:
a) El desarrollo de capacitaciones, para docentes, relacionadas con el análisis de los
procesos matemáticos, el nivel de complejidad y el contexto que tienen las tareas
matemáticas, con el fin de que puedan seleccionar o diseñar materiales que
propicien el desarrollo de capacidades cognitivas superiores, mismas que se
requiere en el actual currículo costarricense de matemática.
b) Establecer un sitio web donde pueda facilitarse, a los docentes, los diversos
materiales didácticos que hayan sido elaborados como producto de una
investigación en las diversas universidades del país.
9.3.4. Para futuras investigaciones
Dentro del campo investigativo, se sugieren los siguientes temas de investigación:
a) Realizar un análisis didáctico de la función exponencial y de la función
logarítmica, para darle continuación a los tópicos del área de Relaciones y
Álgebra del actual currículo de Matemática del MEP.
b) Plantear tareas de evaluación, en diversas áreas matemáticas, acordes al actual
Programa de Estudios de Matemática del MEP, que permitan medir la
consecución de las habilidades por parte de los estudiantes en un determinado
tópico.
c) Desarrollar un modelo de planeamiento alternativo al propuesto por el MEP, que
permita evidenciar el desarrollo de procesos matemáticos, el nivel de
complejidad de los problemas, así como las situaciones o contextos en los que se
desarrollan.
d) Crear rúbricas de evaluación que le permitan al docente valorar el grado de
avance de sus estudiantes en los distintos procesos matemáticos.
218
Referencias bibliográficas
Abrate, R., Pochulu, M. y Vargas, J. (2006). Errores y Dificultades en Matemática: análisis
de causas y sugerencias de trabajo. Buenos Aires, Argentina: Universidad Nacional
de Villa María. Recuperado de http://unvm.galeon.com/Libro1.pdf
Alfaro, A.L., Alpízar, M., Morales, Y., Ramírez, M., y Salas, O. (2013). La formación
inicial y continua de docentes de Matemática en Costa Rica. Cuadernos de
Investigación y Formación en Educación Matemática, 11(8), 131-179. Recuperado
de http://www.revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/viewFile/12225/11496
Alfaro, C. (2006). Las ideas de Pólya en la resolución de problemas. Cuadernos de
investigación y formación en Educación Matemática, 1(1), 1-13. Recuperado de
http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/view/6967/6653
Alfonzo, Z. (2012). Didáctica de las funciones lineales y cuadráticas asistidas con
computadora. Revista Didasc@lia: Didáctica y Educación, 3(3), 2224-2643.
Recuperado de https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4230477
Altman, S., Comparatore, C. y Kurzrok, L. (2006). El modelo cuadrático en el aula. En
Universidad Nacional de Villa María (Ed.), Experiencias, propuestas y reflexiones
para la clase de Matemática. Trabajo presentado en las Segundas Jornadas
Nacionales en Didácticas Específicas, San Martin (Buenos Aires). Recuperado de
http://unvm.galeon.com/Cap18.pdf
Altam, S., Comparatore, C. y Kurzrok, L. (2007). Función lineal, una propuesta diferente.
En Universidad Nacional de Villa María (Ed.), Experiencias, propuestas y
reflexiones para la clase de Matemática. (pp. 351-363). Recuperado de
http://unvm.galeon.com/Cap19.pdf
Araya, J. A., Murillo, M. y Soto A. (2009). Matemática Básica con Aplicaciones. San José,
Costa Rica: EUNED.
Aránzazu, C. (2013). Secuencia didáctica para la enseñanza de la función cuadrática.
(Tesis de maestría). Universidad Nacional de Colombia, Medellín. Recuperado de
http://www.bdigital.unal.edu.co/11788/1/71644693.2013.pdf
Arch, E. (2008). La importancia de las Matemática en el desarrollo cognitivo. Recuperado
de http://www.fimpes.org.mx/phocadownload/Premios/3Ensayo2008.pdf
Arguello, L (2008). Simulación de un problema en Cabrí Geometre en el estudio de las
funciones lineal y cuadrática: subgrupo de tecnologías, edumat-uis escuela de
Matemática. Trabajo presentado en el Noveno Encuentro Colombiano de
Matemática Educativa Valledupar, Colombia. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/843/1/45comun.pdf
219
Arias, I. y González, Y. (2016). Análisis didáctico del concepto de homotecia para su
enseñanza y aprendizaje en octavo año de la Educación General Básica en Costa
Rica. (Tesis de licenciatura). Universidad Nacional de Costa Rica, Costa Rica.
Arias, F. y Poveda, W. (2011). Matemática Elemental. San José, Costa Rica: Editorial
UCR.
Astorga, A. y Rodríguez, J. (1984). Funciones reales de variable real. Revista Digital de
Matemática. Instituto Tecnológico de Costa Rica.
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/MATEGENERAL/index.htm
Bentacur, Y. (2013). Una propuesta metodológica para enseñar el concepto de función
desde la experimentación. (Tesis de maestría). Universidad Nacional Sede
Medellín, Colombia. Recuperado de
http://www.bdigital.unal.edu.co/11628/1/1017129660.2014.pdf
Boude, O. (2011). Desarrollo de competencias genéricas y específicas en educación
superior a través de una estrategia didáctica medida por TIC. (Tesis de doctorado).
Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid, España. Recuperado de
http://e-spacio.uned.es/fez/eserv/tesisuned:Educacion-Orboude/Documento.pdf
Cabra, D. y Gómez, J. (2006). La función lineal en diferentes contextos. Recuperado de
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-
110456_archivo.pdf
Cambronero, F. (2016). Matemática 8. Un enfoque práctico. (1ª ed.). San José, Costa Rica:
Inversiones Orozcan de Orotina.
Cambronero, F. (2016). Matemática 9. Un enfoque práctico (1ª ed.). San José, Costa Rica:
Inversiones Orozcan de Orotina.
Cambronero, F. (2017). Matemática 10: Un enfoque práctico. (1ª ed.). Costa Rica, San
José: Inversiones Orazcan de Orotina.
Cañadas, M. y Gómez, P. (2012). Apuntes sobre análisis de contenido. Módulo 2 de MAD.
Recuperado de http://funes.uniandes.edu.co/1983/1/Apuntes_Modulo2.pdf
Chavarría, G. (2015). Afrontando retos: Matemática 9. Costa Rica, Heredia: Ediciones
Educativas Andrómeda, S. A.
Chavarría, J. (2006). Teoría de las situaciones didácticas. Cuadernos de investigación y
formación en educación Matemática, 1(2), 1-10. Recuperado de
http://www.unige.ch/fapse/clidi/textos/teoria%20de%20las%20situaciones%20dida
cticas.pdf
220
Chaves, E., Alpízar, M. y Alfaro, A. (2016). Percepción de los docentes de primaria en
ejercicio, acerca de las Matemática y su enseñanza en relación con los programas
oficiales del MEP. Revista Uniciencia, 30(1), 31-55. Recuperado de
http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/uniciencia/article/view/7582/7959
Chaves, E. y Salazar, J. (2003). La historia de la Matemática como recurso metodológico
en los procesos de enseñanza aprendizaje: una experiencia en secundaria. Revista
Uniciencia, 20(2), 259-266. Recuperado de
http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/uniciencia/article/view/5743/5614
Coppié, Á. y Velázquez, F. (2013). Estudio de la función lineal mediado por TIC.
Recuperado de
http://www2.famaf.unc.edu.ar/institucional/biblioteca/trabajos/6085/16933.pdf
Corbetta, P. (2007). Metodología y Técnicas de Investigación Social. España: Editorial Mc
Graw. Recuperado de
https://diversidadlocal.files.wordpress.com/2012/09/metodologc3ada-y-tc3a9cnicas-
de-investigacic3b3n-social-piergiorgio-corbetta.pdf
Córdoba, L., Díaz, M., Haye, E. y Montenegro, F. (2013). Dificultades de los alumnos para
articular representaciones gráficas y algebraicas de funciones lineales y cuadráticas.
En Y, Morales y A, Ramírez (Eds.) I CEMACYC Congreso de Educación
Matemática de América Central y El Caribe. (pp. 1-13). Santo Domingo, República
Dominicana: CEMACYC. Recuperado de
http://www.centroedumatematica.com/memorias-icemacyc/373-401-2-DR-C.pdf
Costill, D. y Wilmore, J. (2007). Fisiología del Esfuerzo y del Deporte. España, Barcelona:
Editorial Paidotribo.
Donolo, D. (2009). Triangulación: Procedimiento incorporado a nuevas metodologías de
investigación. Revista Digital Universitaria, 10(8), 2-10. Recuperado de
http://www.revista.unam.mx/vol.10/num8/art53/art53.pdf
Espinoza, J., Espinoza, J., González, M., Zumbado, M. y Ramírez, C. (2008) La resolución
de problemas en la Enseñanza de las Matemática: una experiencia con la función
exponencial, polígona y estadística. (Tesis de licenciatura). Universidad Nacional,
Heredia, Costa Rica.
Espinoza, J. (2011). Invención de problemas aritméticos por estudiantes con talento
matemático: un estudio exploratorio. (Tesis de maestría). Universidad de Granada,
España. Recuperado de
http://fqm193.ugr.es/media/grupos/FQM193/cms/Johan%20Espinoza_TFM.pdf
Espinoza, J. (2013). La resolución e invención de problemas en la educación Matemática.
Trabajo presentado en el XIV Evento Internacional MATECOMPU. Universidad de
Ciencias Pedagógicas Juan Marinello Matanzas, Cuba. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/2790/2/EspinozaJ2013Resoluci%C3%B3n.pdf
221
Flores, P., Lupiáñez, J. L., Berenguer, L., Marín, A. y Molina, M. (2011). Materiales y
recursos en el aula de Matemática. Granada: Departamento de Didáctica de la
Matemática de la Universidad de Granada. Recuperado de
http://digibug.ugr.es/bitstream/10481/21964/1/libro_MATREC_2011.pdf
Fragoso, V. (2012). Recursos y materiales didácticos. Recuperado de
http://portalacademico.cch.unam.mx/materiales/prof/textos/material_didactico.pdf
Gamboa, R. (2007). Uso de la tecnología en la enseñanza de las Matemática. Cuadernos de
Investigación y Formación en Educación Matemática, 2(3), 11-44. Recuperado de
https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/download/6890/6576
García, G. y Torres L. (2014). Una propuesta para el diseño curricular en el área de
Geometría Euclídea, basada en un enfoque por competencias, para la carrera
Bachillerato y Licenciatura en Enseñanza de la Matemática de la Universidad
Nacional de Costa Rica. (Tesis de licenciatura). Universidad Nacional, Heredia,
Costa Rica.
García, L. (2009). Las unidades didácticas I. Recuperado de
http://www.uned.es/catedraunesco-ead/editorial/p7-3-2009.pdf
Gaulin, C. (2001). Tendencias Actuales de la Resolución de Problemas. Revista Sigma,
2(19), 51-63. Recuperado de http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43-
573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_19/7_Tendenc
ias_Actuales.pdf
Giacomone, M. y Loría, R. (2015). Análisis de contenido de la función cuadrática. Trabajo
presentado en el curso Diseño, Desarrollo y Evaluación del Currículo de
Matemática 2014 - 2015. Universidad de Granada, España.
Gómez, P. (2002). Análisis didáctico y diseño curricular en Matemática. Revista EMA,
7(3), 252-292. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/1537/1/89_G%C3%B3mez2002An%C3%A1lisis_Rev
EMA.pdf
Gómez, P. (2005). El análisis didáctico en la formación inicial de profesores de
Matemática de secundaria. Seminario Análisis Didáctico en Educación Matemática.
Recuperado de funes.uniandes.edu.co/394/1/GomezP05-2797.PDF
Gómez, P. (2007). Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial
de profesores de Matemática de secundaria. (Tesis de doctorado). Universidad de
Granada, España. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/444/1/Gomez2007Desarrollo.pdf
González, F., Castro, E. y Castro, E. (2016). Interpretación de diagramas de comparación
multiplicativa por estudiantes de secundaria. PNA, 10(4), 280-306. Recuperado de
http://www.pna.es/Numeros2/pdf/Gonzalez2016PNA10(4)Interpretacion.pdf
222
González, J.L. y Gallardo, J. (2013). Análisis Didáctico Curricular: Un procedimiento para
fundamentar el diseño, el desarrollo y la evaluación de Unidades Didácticas de
Matemática. En L. Rico, J.L. Lupiáñez y M. Molina (Eds.), Análisis Didáctico en
Educación Matemática: Metodología en investigación, formación de profesores e
invención curricular (pp. 161-189). Granada, España: Editorial Comares, S.L.
González, M. y Gómez, P. (2013). Módulo 3 Análisis Cognitivo. Recuperado de
https://core.ac.uk/download/files/475/12342212.pdf
González, P. (2004). La historia de las Matemática como recurso didáctico e instrumento
para enriquecer culturalmente su enseñanza. Revista Suma, 45, 17-28.Recuperado
de http://revistasuma.es/IMG/pdf/45/017-028.pdf
Griffith, M. (2014). Física conceptual. México: Editorial McGrill.
Guevara, C. (2011). Propuesta didáctica para lograr aprendizaje significativo del concepto
de función mediante la modelación y simulación. (Tesis de maestría). Universidad
de Colombia. Recuperado de https://core.ac.uk/download/files/334/11056352.pdf
Gutiérrez, F., Herrera, F., Mora, M., Ramírez, G., Sandi, W. y Solano, J. (2014).
Elaboración de una propuesta de trabajo en el aula para la gestión del aprendizaje
de la recta en la Educación Secundaria, desde el enfoque funcional del contenido
matemático. (Tesis de licenciatura). Universidad de Costa Rica, San José.
Guzmán, M. (2001). Tendencias actuales de la Educación Matemática. Sigma: revista de
Matemática, 1(19), 5-25. Recuperado de
http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.eus/r43-
573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_19/3_Educaci
on_Matematica.pdf
Guzmán, R. (2006). Dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de
educación secundaria al trabajar con los diferentes registros de representación de
la función lineal. (Tesis de licenciatura). Universidad Autónoma de Guerrero,
Acapulco. Recuperado de
http://cimate.uagro.mx/hermes/Tesis/tesis%20Raquel%20.pdf
Hernández, W., Márquez, Z. y Quiñonez, G. (2008). La Función Cuadrática como Marco
Referencial para el Desarrollo del Pensamiento Variacional una Experimentación
con Estudiantes de 9 de la Institución Educativa Indígena Técnica Agropecuaria de
Escobar Arriba – Sampúes. (Tesis de licenciatura). Universidad de Sucre.
Recuperado de
http://repositorio.unisucre.edu.co/bitstream/001/112/2/515.252H557.pdf
Huang, X., Li, S. & An, S. (2012). Understanding of Teaching Strategies on Quadratic
Functions in Chinese Mathematics Classrooms. Journal of the Korean Society of
Mathematical Education Series D: Research in Mathematical Education. 16 (3), 177-
194.
223
Hupaya, E. (2012). Modelación usando función cuadrática: Experimentos de enseñanza
con estudiantes de 5to de secundaria. (Tesis de maestría). Pontificia Universidad
Católica del Perú, Lima. Recuperado de
http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/bitstream/handle/123456789/1571/HUAPAYA_
GOMEZ_ENRIQUE_MODELACION.pdf?sequence=1&isAllowed=y
Jiménez, R. (2016). Matemática para Bachillerato. (1º ed.). Costa Rica, San José:
Academia de Matemática AMP.
Leithold, L. (1998). El cálculo. (1ª ed.). México: Oxford University Press México, S. A.
Llinares, S. (1998). Aprender a enseñar Matemática en la Enseñanza Secundaria: relación
dialéctica entre el conocimiento teórico y práctico. Revista interuniversitaria de
formación del profesorado, (32), 117-127. Recuperado de
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=117982
López, M., Petris, R. y Pelozo, S. (2005). Estrategias innovadoras mediante la aplicación de
software: Enseñanza-aprendizaje de funciones Matemática en los niveles EGB 3 y
Polimodal. Comunicaciones científicas y tecnológicas. Resumen: E-014.
Recuperado de http://www.unne.edu.ar/unnevieja/Web/cyt/com2005/8-Exactas/E-
014.pdf
López, J. y Sosa, L. (2008). Dificultades conceptuales y procedimentales en el aprendizaje
de funciones en estudiantes de bachillerato. En P, Lestón (Ed.). Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa, 21, 308-318. México: Comité
Latinoamericano de Matemática Educativa. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/4946/1/L%C3%B3pezDificultadesALME2008.pdf
Lozzada, J. y Ruíz, C. (2011). Estrategias didácticas para la enseñanza-aprendizaje de la
multiplicación y división en alumnos de 1er año. (Tesis de licenciatura),
Universidad de los Andes, Venezuela. Recuperado de
http://tesis.ula.ve/pregrado/tde_arquivos/26/TDE-2012-09-22T23:47:05Z-
1755/Publico/lozzadajessenia_ruizclelsy_parte1.pdf
Lupiáñez, J.L. (2009). Expectativas de aprendizaje y planificación curricular en un
programa de formación inicial de profesores de Matemática de secundaria. (Tesis
doctoral), Universidad de Granada, Granada. Recuperado de http://0-
hera.ugr.es.adrastea.ugr.es/tesisugr/18504188.pdf
Lupiáñez, J.L. (2013). Análisis Didáctico: La planificación del aprendizaje desde una
perspectiva curricular. En L. Rico, J.L. Lupiáñez y M. Molina (Eds.), Análisis
Didáctico en Educación Matemática: Metodología en investigación, formación de
profesores e invención curricular (pp. 81-101). Granada, España: Editorial
Comares, S.L.
Machiunas, V. (2005). Diseño de juegos para la enseñanza de funciones lineales,
cuadráticas, holográficas y polinómicas en la escuela media y en cursos de ingreso a
224
la universidad. Actividades Académicas: Talleres didácticos, 348-356. Recuperado
de http://web.fi.uba.ar/~mmachiu/td_01_publicado_asi_en_el_cd.pdf
Marín, A. (2013). El análisis de instrucción: Instrumento para la formación inicial de
procesos de secundaria. En L. Rico, J.L. Lupiáñez y M. Molina (Eds.), Análisis
Didáctico en Educación Matemática: Metodología en investigación, formación de
profesores e invención curricular (pp. 103-120). Granada, España: Editorial
Comares, S.L.
Martínez, C., Mora, J. y Rodríguez, A. (2012). La utilización de las nuevas tecnologías en
el desarrollo de habilidades y hábitos en la representación gráfica de funciones
lineales y cuadráticas con el apoyo de un entorno virtual de aprendizaje. En R,
Flores (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 25, 1455-1461.
México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/4491/1/RichardLautilizaci%C3%B3nALME2012.pdf
Martínez, J. (2013). Apropiación del concepto de función usando el software geogebra.
(Tesis de maestría) Universidad Nacional de Colombia. Manizales, Colombia.
Recuperado de http://www.bdigital.unal.edu.co/9498/1/8411011.2013.pdf
Mesa, Y, y Villa, J.(2008) El concepto de función cuadrática: un análisis de su desarrollo
histórico.(Tesis de Licenciatura).Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia.
Recuperado de
http://ayura.udea.edu.co:8080/jspui/bitstream/123456789/939/1/JC/0538.pdf
McMillan, J. y Schumacher, S. (2005). Investigación Educativa. (5a ed). Madrid, España:
Editorial Pearson. Addison Wesley. Recuperado de
https://es.scribd.com/doc/171326451/Investigacion-Educativa-Mcmillan
Ministerio de Educación Pública (2012). Programas de estudio en Matemática para la
Educación general Básica y el Ciclo Diversificado. San José, Costa Rica: autor.
Ministerio de Educación Pública (2015). Informe Nacional de Bachillerato de la Educación
Formal 2014. San José, Costa Rica: autor. Recuperado de
http://www.dgec.mep.go.cr/sites/all/files/dgec_mep_go_cr/documentos/informe_naci
onal_2014_cap._1_2_y_3.pdf
Molina, M., Castro, E., Molina, J.L. y Castro, E. (2011). Un acercamiento a la
investigación de diseño a través de los experimentos de enseñanza. Enseñanza de
las Ciencias, 29(1), 75-88. España: Universidad de Granada. Recuperado de
http://www.raco.cat/index.php/Ensenanza/article/view/243824/353427
Mora, A. y Ortiz, J. (2015). Capacidades didácticas en el diseño de tareas con modelación
Matemática en la formación inicial de profesores. Perspectiva Educacional.
Formación de Profesores, 54(1), 110-130. Recuperado de
http://www.perspectivaeducacional.cl/index.php/peducacional/article/viewFile/281/
144
225
Muñetón, V. (2008). Entrevista: Las Matemática, herramientas invaluables de la vida
cotidiana. Revista Digital Universitaria, 9(12), 3-11. Recuperado de
http://www.revista.unam.mx/vol.10/num1/art04/art04.pdf
Ortega, M., Puig, L. (2015). El aprendizaje de la función cuadrática con tabletas a través
del proceso de modelización. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (Eds.),
Investigación en Educación Matemática XIX (pp. 451-458). Alicante: SEIEM.
Recuperado de https://documat.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5230084
Opazo, C., Grajeda, J. y Farfán, R. (2014). Visualización de la función cuadrática. En P,
Lestón (Ed.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 27, 1455-1461.
México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/5817/1/OpazoVizualizacionALME2014.pdf
Pontes, A. (2005). Aplicaciones de las tecnologías de la información y de la comunicación
en la educación científica. Segunda parte: aspectos metodológicos. Revista Eureka
sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias, 2(3), 330-343. Recuperado de
http://rodin.uca.es/xmlui/bitstream/handle/10498/16250/Pontes2005b.pdf
Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 10. Costa Rica, San José: Editorial
Compas ERV.
Protti, O. (2003). La historia de las Matemática como instrumento pedagógico. Revista
Uniciencia, 20(2), 251-257. Recuperado de
http://www.revistas.una.ac.cr/index.php/uniciencia/article/view/5742/5613
Quintero, C. y Cadavid, L. (2009). Construcción del concepto de función en estudiantes de
octavo grado. Trabajo presentado en el Décimo Encuentro Colombiano de
Matemática Educativa. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/705/1/construccion.pdf
Ramírez, D. y Pizarro, E. (2014). Evaluación de conocimientos matemáticos elementales en
los estudiantes de undécimo año de la educación secundaria académica pública
diurna en la gran área metropolitana costarricense durante el 2013. (Tesis de
licenciatura). Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica.
Rico, L. (2011). El estudio PISA y la evaluación de la competencia Matemática.
Matematicalia Revista Digital de Divulgación Matemática, 7(1).
Rico, L (2013). El método del Análisis Didáctico. Unión Revista Iberoamericana de
Educación Matemática, 1(33), 11-27. Recuperado de
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2013/33/ARCHIVO6.pdf
Rico, L. y Fernández, A. (2013). Análisis Didáctico y Metodología de Investigación. En L.
Rico, J.L. Lupiáñez y M. Molina (Eds.), Análisis Didáctico en Educación
Matemática: Metodología en investigación, formación de profesores e invención
curricular (pp. 1-22). Granada, España: Editorial Comares, S.L.
226
Rico, L., Flores, P. y Ruiz, J. (2015). Enseñanza de la Matemática con sentido. UNO:
Revista Didáctica de las Matemática, 70, 48-54.
Rico, L. y Lupiáñez, J.L. (2008). Objetivos y competencias en el aprendizaje de los
números naturales. UNO: Revista de Didáctica de la Matemática, 54, 14-
30. Recuperado de http://funes.uniandes.edu.co/1755/1/Art%C3%ADculoUNO.pdf
Rico, L., Marín, A., Lupiáñez, J.L. y Gómez, P. (2008). Planificación de las Matemática
escolares en secundaria. El caso de los Números Naturales. Revista Suma, (58), 7-
23. Recuperado de http://revistasuma.es/IMG/pdf/58/007-023.pdf
Roldán, E. (2013). El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para
estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica. (Tesis de maestría). Universidad
Nacional de Colombia.
Romero, G. (2009). La utilización de estrategias didácticas en clase. Innovación y
Experiencias Educativas, 23, 1-8. Recuperado de http://www.csi-
csif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/GUSTAVO_ADOLFO
_ROMERO_BAREA02.pdf
Roumieu, S. (2014). La importancia de las funciones en la formulación de modelos
matemáticos utilizando tecnología: implementación del modelo 1 a 1. En J, Asenjo.,
Ó, Macías. y J.C., Toscano. (Presidencia). Memorias del Congreso Iberoamericano
de Ciencia, Tecnología, Innovación y Educación. Buenos Aires, Argentina.
Ruesga, M. y Sigarreta, J.M. (2004). Una Estrategia Específica para la Resolución de
Problemas en Función del Contenido. Las Funciones. Docencia Universitaria, 5(1),
75-93. Recuperado de
http://www.ucv.ve/fileadmin/user_upload/sadpro/Documentos/docencia_vol5_n1y2
_2004/8_art._5_Maria_Ruesga.pdf
Ruiz, A. (2013). Historia y tecnología en la reforma de la Educación Matemática en Costa
Rica. Trabajo presentado en el VI Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de
Matemática, UFSCar, São Carlos, SP, Brasil. Recuperado de
http://www2.dm.ufscar.br/anais/artigoscompletos/Paper_ARuiz_Final.pdf
Ruiz, A. (2014). La implementación de los programas oficiales de Matemática. Informe
Estado de la Educación. San José: PEN. Recuperado de
http://www.estadonacion.or.cr/files/biblioteca_virtual/educacion/005/Angel_Ruiz_L
a_implementacion_programas_matemt.pdf
Ruiz, A. (2017). Evaluación y Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que
enfatiza capacidades superiores. Cuadernos de investigación y formación en
Educación Matemática, 12(1), 1-245. Recuperado de
http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/view/31916/31622
227
Ruiz, P. (2015, diciembre 26). Solo 6% de estudiantes aprueba diagnóstico en Matemática
que realiza la UCR. La Prensa Libre. Recuperado de
http://www.laprensalibre.cr/Noticias/detalle/52376/491/solo-6-de-estudiantes-
aprueba-diagnostico-en-matematica-que-realiza-la-ucr
Saiz, I. (2007). Una Matemática con sentido (entrevista). Educar el portal educativo del
Estado argentino. Recuperado de http://portal.educ.ar/noticias/entrevistas/irma-
elena-saiz-una-matematica.php
Santillana. (2014). Matemática 8: Ser Competentes. Costa Rica, San José: Editorial
Santillana.
Santillana. (2015). Matemática 10: Ser Competentes. Costa Rica, San José: Editorial
Santillana.
Santillana. (2017). Matemática 9: Puentes del Saber. Costa Rica, San José: Editorial
Santillana.
Sarmiento, M. y Manzanilla, J. (2011). Unidad didáctica para enseñar y aprender funciones
Matemática con Maple. Revista de Evaluación e investigación, 6 (1), 121-134.
Recuperado de http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/35335/1/articulo8.pdf
Sastre, P. Rey, G. y Boubée, C. (2008). El concepto de función a través de la Historia.
UNO: Revista de Didáctica de la Matemática, 1(16), 141-155. Recuperado de
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2008/16/Union_016_014.pdf
Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemática en
la Educación Secundaria. En L, Rico (Ed.), La educación Matemática en la
enseñanza secundaria (pp. 125-154). Horsori, Barcelona. Recuperado de
http://face.uasnet.mx/zona/mochis/recursos_web/alumnos/semestre2/procesoAprend
izajeMatematicas/tema2%20obstaculos%20en%20la%20ense+%A6anza%20(1%20
a%20la%2018).pdf
Soriano, E. (1993). Enseñar a pensar al alumnado del primer ciclo de primaria a través de la
Matemática. Revista Suma, 1(23), 7-20. Recuperado de
http://revistasuma.es/IMG/pdf/23/007-020.pdf
Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2012). PRECALCULO. Matemática para el cálculo.
(6ª ed.). Editorial Thomson. México.
Torres, C. (2013). Aproximación al concepto de función lineal. El caso de una alumna
invidente que cursa el segundo grado de secundaria. (Tesis de maestría). Pontificia
Universidad Católica del Perú. Recuperado de
http://repositoriocdpd.net:8080/bitstream/handle/123456789/91/Tes_TorresLeoCA_
AproximacionConceptoFuncion_2013.pdf?sequence=1
228
Ugalde, W. (2014).Funciones: desarrollo histórico del concepto y actividades de enseñanza
aprendizaje. Revista digital: Matemática, Educación e Internet, 14(1), 1-48.
Recuperado de
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ARTICULOS_V14_N1_2013/Revista
Digital_Ugalde_V14_n1_2013/RevistaDigital_Ugalde_V14_n1_2013.pdf
Uribarren, T. y Gatica, F. (2013). ¿Cómo elaborar una rúbrica?. Investigación en
Educación Médica, 2(1), 61-65. Recuperado de
http://riem.facmed.unam.mx/sites/all/archivos/V2Num01/10_PEM_GATICA.PDF
Vargas, M. (2011). El concepto de función y sus aplicaciones en situaciones relacionadas
con fenómenos físicos, que conducen a un modelo cuadrático, una propuesta para
trabajar en el grado noveno. (Tesis de maestría). Universidad Nacional de
Colombia. Recuperado de
http://www.bdigital.unal.edu.co/7276/1/01186564.2012.pdf
Vílchez. E y Ulate, G. (2006). Sitio web: funciones cuadráticas una experiencia de
desarrollo, implementación y evaluación. Actualidades investigativas en educación,
6(2), 1-31. Recuperado de
https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/aie/article/view/9216/17661
Vilchis. L.C. (1998). Metodología del diseño. Fundamentos teóricos. México, D.F.: Las
claves Latinoamericanas S.A. Recuperado de
https://es.scribd.com/doc/242403765/Metodologia-del-Diseno-Fundamentos-
Teoricos-Luz-del-Carmen-Vilchis-pdf#scribd
Villa-Ochoa, J., Bustamante, C., Berrio, M., Osorio, J. y Ocampo, D. (2009). Sentido de
realidad y modelación Matemática: el caso de Alberto. ALEXANDRIA Revista de
Educação em Ciência e Tecnologia, 2(2), 159-180. Recuperado de
http://funes.uniandes.edu.co/890/1/jhony.pdf
Villarraga, S. (2012). La función cuadrática y la modelación de fenómenos físicos o
situaciones de la vida real utilizando herramientas tecnológicas como instrumentos
de mediación. (Tesis de maestría). Universidad Nacional de Colombia. Recuperado
de http://www.bdigital.unal.edu.co/9004/1/Sandrapatriciavillarragaperlaza.2012.pdf
Zamora, J. (2012). Prueba diagnóstica en Matemática en la UNA. ¿Para qué?. VIII Festival
Internacional De Matemática. Universidad Nacional, Liberia, Costa Rica.
Recuperado dehttp://www.cientec.or.cr/matematica/2012/ponenciasVIII/Jose-
Andrey-Zamora3.pdf
Zumbado, M. (2013). Ideas para desarrollar la habilidad específica de analizar gráfica y
algebraicamente la función cuadrática con criterio 2( )f x ax bx c mediante el
enfoque de resolución de problemas en décimo año. Trabajo presentado en el IV
Encuentro de la Enseñanza de la Matemática. Costa Rica. Recuperado de
http://dinamico.uned.ac.cr/matematica/congresos/2013/Ponencias/Investiga/3_Pone
ncia%20Marianela%20Zumbado%20Castro%20160713.p
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