Análisis Univariante mediante la metodología Box-Jenkins ... · zt = c +φ1zt−1 +...+φpzt−p +at donde at es ruido blanco. El AR puro es invertible por construcción. Práctica

Análisis Univariante mediante la metodología Box-Jenkins.Análisis Univariante con TRAMO

Análisis de la incertidumbre asociada a los modelos ARMA.Algunos conceptos estadísticos

Análisis Univariante mediante la metodologíaBox-Jenkins

Análisis de la incertidumbre asociada a losmodelos ARMA

Práctica No4

Técnicas en PredicciónAdministración y Dirección de Empresas

Departamento de EstadísiticaUniversidad Carlos III

30 de Abril, 2008

Práctica No4 Análisis de Incertidumbre



Contenido

1 Análisis Univariante mediante la metodología Box-Jenkins.

2 Análisis Univariante con TRAMO

3 Análisis de la incertidumbre asociada a los modelos ARMA.

4 Algunos conceptos estadísticos




Procesos estocásticos

Un proceso estocástico (PE) se define como una familia devariables aleatorias que corresponden a momentos sucesivosdel tiempo. Se designa con Y (t ,u) donde t es el tiempo y u esla variable aleatoria.

Determinación de la características del PE

A partir de la funciones de distribución conjunta.

A partir de los momentos.




Determinación de las características del PE

Funciones de distribución conjuntas

Un prosceso esta perfectamente caracterizado cuando sepueden determinar las funciones de distribución conjunta paracada conjunto finito de variables del proceso, es decir, paracada valor finito de n

F [Y (t1),Y (t2),Y (t3), ...,Y (tn)]

Este es un proceso complicado

Mediante momentosPrimer orden = media.

Segundo orden = varianzas, covarianzas, coeficientes decorrelación.




Procesos Estocásticos

Trygve Haavelmo (1911-1999). Nobel de Economía de 1989.

Introduce la idea de que las variables económicas sonvariables aleatorias (a partir de la teoría de la probabilidaddesarrollada por Kolmogorov) y los modelos que las relacionanson modelos probabilísticos. Donde las observaciones sonvalores muestrales de variables aleatorias poblacionales.

Serie Temporal

Una serie temporal tendrá un carácter aleatorio y se puedeinterpretar como una muestra de tamaño 1 tomada en períodossucesivos de tiempo en un proceso estocástico.

Serie temporal como una realización de un procesoestocástico.




Serie Temporal y predicciones

Las variables económicas como variables aleatorias.




Procesos estocásticos

El análisis de un proceso estocástico genérico implicaestimar tres funciones (media, varianza y covarianzas).

En general es imposible pues solo contamos con nobservaciones de la serie para estimar n medias, nvarianzas y un número mayor que n de covarianzas.




Solución al problema de estimación de los parámetros

Debemos imponer restricciones para poder estimar losdiferentes momentos:

Estacionariedad.

Ergodicidad.




Tipos de estacionariedad

Estacionariedad en sentido estricto

F [Y (t1),Y (t2), ...,Y (tn)] = F [Y (t1 + m),Y (t2 + m), ...,Y (tn + m)]

La distribución conjunta de n variables consecutivas delproceso no cambia a lo largo del tiempo.

Estacionariedad en sentido débilExisten y son constantes los momentos de primer ysegundo orden (media y varianza).

Las covarianzas entre dos variables del proceso sólodependen del número de períodos que las separaE(Yt+k − µ)(Yt − µ) = γk ∀t ; γk = γ

−k




Proceso estacionario

Autocorrelaciones

ρk =γk

γ0k ≥ 0 ρk = ρ

−k

La representación gráfica recibe el nombre de correlograma.

Distribución de las autocorrelaciones

ρk ∼ N(

0,1T

)

Si la serie es ruido blanco, el 95 % de la autocorrelacionesdeben caer en el intervalo ±2

√T a estas bandas también se

las denomina bandas de Barlett .




Ergodicidad

Adicionalmente debemos imponer otra restricción

Un proceso estacionario es ergódico si la covarianza se anulaal incrementarse el número de períodos que separan lasvariables.

limk→∞

γk = 0

Esta propiedad limita el número de parámetros distintos delproceso




Ejemplo de procesos estocásticos estacionarios

Un proceso estacionario importante es el denominado:

Ruido blanco

E(Yt) = 0

Var(Yt) = σ2

Cov(Yt ,Yt+k ) = 0 k = ±1, k = ±2, ...




Procesos estocásticos estacionarios y ergódicos

Procesos linealesNos vamos a ocupar de procesos lineales que se puedenrepresentar como una combinación lineal de variablesaleatorias. Entre estos se encuentran los procesos puramentealeatorios, los procesos autorregresivos, los procesos demedias móviles y los obtenidos como combinación lineal deestos últimos.




Modelos para procesos estacionarios

El teorema de Wold (1938)

Todos proceso estocástico estacionario en sentido débil conmedia cero se puede escribir como

Yt = at + ψ1at−1 + ψ2at−2 + ... =∞

∑

i=0

ψiat−i

(1 + ψ1B + ψ2B2 + ...)at = ψ(B)at

∞∑

i=0

ψ2i <∞, ψ0 = 1, at ∼ N(0, σ2

a)




Modelos para procesos estacionarios

El teorema de Wold

Encontrar la representación de Wold, en principio, requiereajustar un número infinito de parámetros (ψ1, ψ2, ...) a los datoscon un número finito de observaciones esto será imposible.

ψ(B) =Θ(B)

Φ(B)=

1 − θB − θ2B2 − ...− θqBq

1 − φB − φ2B2 − ...− φpBp =MA(q)

AR(p)




Autoregressive AR(p)

George Udny Yule (1871-1951). Inventor delos procesos autorregresivos. Estos modeloson útiles para representar la dependenciade los valores de una serie temporalrespecto a su pasado.

zt = c + φ1zt−1 + ...+ φpzt−p + at

donde at es ruido blanco.El AR puro es invertible por construcción.




Moving Average MA(q)

Evgeny Evgenievich Slutsky (1880-1948).Introdujo los procesos de medias móvilespara explicar los ciclos económicos. Susinvestigaciones contribuyeron a la creaciónde la teoría de los procesos estacionarios ya la comprensión de los ciclos económicos.

zt = at − θ1at−1 − ...− θqat−q

El modelo MA(q) es estacionario pordefinición.




Procesos Mixtos ARMA(p, q)

Expresión general:

zt = c + φ1zt−1 + ...+ φpzt−p + at − θ1at−1 − ...− θqat−q

utilizando el operador de retardos:

(1 − φ1B − ...− φpBp)zt = c + (1 − θ1B − ...− θqBq)at

φp(B)zt = c + θq(B)at

Proceso estacional mixtos ARMA(P,Q)S

(1 − Φ1BS − ...− ΦPBPS)zt = c + (1 − Θ1BS − ...− ΘQBQS)at

φp(B)Zt = θq(B)at




Procesos No estacionarios ARIMA(p, d , q)

Pocas series económicas parecen haber sido generadaspor procesos estacionarios (presentan tendencias, ciclos,etc.)

Un proceso no estacionario se dice que es homogéneo ointegrado I(d) si al diferenciarlo d veces se transforma enun proceso estacionario.

Yt = zt − zt−1 = ∆zt




Procesos ARIMA multiplicativos

El proceso ARIMA más general son aquellos que incorporanestructura estacional y regular de forma simultanea.

ARIMA(p,d ,q) × ARIMA(P,D,Q)S

φp(B)ΦP(BS)(∆d∆DSzt − µ) = θq(B)ΘQ(BS)at

con µ = E(∆d∆DSzt)




No estacionariedad en varianza

Detección

Gráfico rango-media(desviación típica-media). Se divide lamuestra en submuestras iguales y seguidas y para cada unaellas se calcula la media y la desviación típica.

Solución

Transformaciones Box-Cox (Tomar logaritmos).




No estacionariedad en media

Detección1 Gráfico temporal de la serie.2 acf y pacf muestrales.

Decaimiento lento de la acf.Primer valor muy cercano a uno en la pacf.

En prácticas futuras veremos contrastes más formales deraíces unitarias como el contraste Dikey-Fuller y sus variantes.

Solución

Tomar diferencias en la parte regular y si es necesario en laparte estacional.

∆S∆ ln Yt




Condiciones de estacionariedad e invertibilidad

Para que sea estacionario las raíces del polinomio AR(p) yAR(P)S deben estar fuera del círculo unidad (los AR purosson invertibles por construcción).

Para que sea invertible las raíces de los polinomios MA(q)y MA(Q)S deben estar fuera del círculo unidad (los MApuros son estacionarios por construcción).

Los modelos mixtos deben cumplir ambas.




Elaboración de modelos ARIMA: Enfoque Box-Jenkins

1 Identificación.2 Estimación.3 Diagnosis.

Contrastes sobre los residuos

Media cero.

Varianza constante.

Ausencia de autocorrelación.

Distribución normal.

Ausencia de atípicos.

4 Previsión.




Aplicación: Índice de Precios de Japón(1995:01-2003:11)




Correlograma de la serie IPC

El correlograma muestrala estructuracaracterística de seriesno estacionarias. Lentodecaimiento de lascorrelaciones de la acf yun valor muy significativoen el primer valor de lapacf.




Detección de no estacionariedad en varianza

El gráfico muestra que no sería necesaria la toma delogaritmos, si bien, serán tomados para facilitar lainterpretación de los parámetros del modelo.




Primera Diferencia del logIPC

Hay un valor anormalmente alto que parece ser debido alefecto escalón que se observo en la serie original.




Correlograma de la serie dlogIPC

Estructura en losretardos de estacionalesque debe ser modelada.




Diferencia Estacional de dlogIPC




Análisis de intervención (Box y Tiao, 1975)

Análisis de intervención

Se conoce a priori que algún suceso ajeno al procesoestocástico ha podido afectar a una serie temporal en unmomento determinado del tiempo y de un modo tambiéndeterminado.

Análisis de “outliers” o de influencia

Se desconoce el momento del tiempo y la casusa de laaparición de la ”anomalía´´ en la serie.




Tipos de valores influyentes

Los más habituales son los siguientes:

Efecto transitorio

Tipo impulso debido a errores de tecleo, huelgas, fenómenosmetereológicos, etc.

Efecto permanente

De tipo escalón debido a devaluaciones, cambiosmetodológicos, introducción de IVA, etc.




Variable tipo impulso

ξI,t∗t =

{

1 t = t∗

0 t 6= t∗




Variable tipo escalón

ξE ,t∗t =

{

1 t ≥ t∗

0 t < t∗




Modelo con análisis de intervención

Variable escalón ⇒ Crisis asiática de 1997.

Variable impulso ⇒ Se desconoce la causa.




Correlograma del modelo con intervención




Estimación modelo final




Correlograma del modelo final




Residuos del modelo con intervención




Diagnosis del modelo final




Modelo de Final con análisis de intervención

Modelo de intervención más general

Y λt =

k∑

i=1

ω(B)

δ(B)Bbk ξk ,tk + Nt

∆d∆DNt =θq(B)

φp(B)at

δ(B) ⇒ Polinomio autorregresivo.ω(B) ⇒ Polinomio de medias móviles.

∆∆12logIPC = 0,0155ζEt=0497 − 0,001173ζ I

t=0900 + Nt

(1 + 0,368B12)Nt = at




Predicción del modelo final




Predicción del modelo final




TRAMO-SEATS

Programa desarrollado por Agustín Maravall, GianlucaCaporello y Victor Gómez.

TRAMO (Time Series Regression with ARIMA Noise, MissingObservations and Outliers) and SEATS (Signal Extraction inARIMA Time Series).

Dirección en internet: Banco de España

www.bde.es/Servicios al público/Distribución desoftware/Programas estadísticos y econométricos/ ProgramaTSW para windows/fichero autoejecutable tswlast.exe (7,06MB).




Introduciendo los datos

Primera línea: Nombre de la serie. Segunda línea en orden:Número de observaciones, año de comienzo de los datos, meso cuatrimestre de comienzo (Enero:1, primer cuatrimestre:1),periodicidad de la serie (12 mensual, 4 trimestral).




La pantalla principal de TRAMO




Corriendo el modelo




Visualización de los resultados: Output




Análisis de resultados




Análisis de resultados




Diagnosis




Gráficos de los resultados




Predicción con el modelo final




TRAMO y Eviews

Seguir los pasos coloreados en azul: Seleccionar la serie deinterés/procs/seasonal adjustment/Tramo-Seats.




Análisis de la varianza asociada a modelos ARMA

Gráfico de la serie Empleo Canadá: 1962Q1-1993Q4




Correlograma de la serie Empleo Canadá




MA(1) ⇒ zt = µ + at − θat−1

Invertibilidad

zt = (1 − θB) = at ; (1 − θB) = 0 → B =1θ; |θ| < 1

zt ⇒ Serie en desviaciones respecto a la media.

Esperanza

E(zt) = E(at) − θE(at−1) = µ = 0

Varianza Marginal

Var(zt) = E(at − θat−1)2 = σ2

a(1 + θ2)




Previsión con modelos MA(1)

ZT = µ+ aT − θaT−1

ET (ZT+1) = µ− θET (aT ) = µ− θaT

ET (ZT+2) = µ− θET (aT+1) = µ

ET (ZT+k ) = µ ∀ ≥ 2

Converge a su media a partir de k mayor que el orden delproceso.




Previsión con modelos MA(1)

error de previsión

eT (1) = ZT+1 − Z TT+1 = ZT+1 − ET (ZT+1) =

(µ+ aT+1 − θaT ) − (µ− θaT ) = aT+1

eT (2) = aT+2 − θaT+1

eT (k) = aT+k − θaT+k−1

Varianza del error de previsión

Var [eT (1)] = Var [aT+1] = σ2a

Var [eT (2)] = Var [aT+2 − θaT+1] = σ2a(1 + θ2)

Var [eT (k)] = Var [aT+k − θaT+k−1] = σ2a(1 + θ2)

La varianza crece con k hasta llegar a la varianza incondicionaldel proceso a partir de k 2.




Estimación del modelo con el MA(4)




Predicción con el MA(4)

La varianza crece con k hasta llegar a la varianza incondicionaldel proceso a partir del orden del MA.




Predicción con el MA(4)

Converge a su media a partir de k mayor que el orden delproceso.




Estimación del modelo con AR(2)




Predicción con el AR(2)

La varianza crece con k hasta llegar a la varianza incondicionaldel proceso. Converge a la media del proceso cuando k → ∞




Métodos de predicción

Predicción dentro de la muestra

Se estima el modelo con todos las observaciones y sepredice con una parte de la muestra final.

Subestima la varianza.

Predicción fuera de la muestra

Dos formas:1 Dividiendo la muestra en una muestra de estimación y otra

de validación (Sobreestima la varianza).2 Estimado con toda la muestra y haciendo predicciones

fuera de la muestra.




Formas de Predicción


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