ANOVA 1F Introduccio (R)

INTRODUCCIN AL

ANLISIS DE LA VARIANZA

Resumen

Diseo de un factor

Entrada de datos

Modelo estadstico

Anlisis bsico e interpretacin

Contrastes

Estimacin del efecto

ANOVA DE UNA FACTOR CON k NIVELES

k

k

H

H

211

210

:

:

yyyy

yyy

yyy

yyy

GGG

k

knnn

k

k

k

k

21

21

22212

12111

21

21

ijiijy

Si Ho es cierta, entonces se cumple: kii ,..,10

),0( 2 Nij


)()()( yyyyyy iiijij

y

iy

B

A

grupo del dentro adVariabilid)( iij yyA

grupos entre adVariabilid)( yyB i

En este caso, la variabilidad

entre grupos es grande

respecto a la variabilidad

intra grupos.



y

iy

grupo del dentro adVariabilid)( iij yyA

grupos entre adVariabilid)( yyB i

En este caso, la variabilidad

entre grupos es similar a la

variabilidad intra grupos.

DESCOMPOSICIN DE LA SUMA DE

CUADRADOS


k

i

n

j

i

k

i

n

j

iij

k

i

n

j

ij

iiijiiijiiijij

iii

yyyyyy

yyyyyyyyyyyyyy

1 1

2

1 1

2

1 1

2

2222

)()()(

))((2)()()()()(

k

i

n

j

ij

i

yy1 1

2)(:TotalSC

k

i

n

j

iij

i

yy1 1

2:SCDentro

k

i

n

j

i

i

yy1 1

2)(:SCEntre


yyyy

yyy

yyy

yyy

GGG

k

knnn

k

k

k

k

21

21

22212

12111

21

21

Estimacin de la varianza 2

Si Ho es cierta, podemos obtener una

estimacin de la varianza 2 haciendo

una promedio ponderado de las

varianzas de cada grupo:

kn

yy

knnn

snsn

k

i

n

j

iij

k

kk

i

1 1

2

21

22

112

Dentro

)1()1(

2

1 1

:SCDentro

k

i

n

j

iij

i

yy


yyyy

yyy

yyy

yyy

GGG

k

knnn

k

k

k

k

21

21

22212

12111

21

21

Estimacin de la variancia 2 entre grupos

Podemos estimar la varianza entre los

grupos como

11 1

2

1 1

2

2

Entre

k

yyn

k

yyk

i

ii

k

i

n

j

i

i

k

i

n

j

i

i

yy1 1

2)(:SCEntre

Si Ho es cierta, la varianza entre

grupos debera ser similar a la

varianza dentro del grupo.


SC Entre: variabilidad entre las medias de los grupos. Si los grupos tienen un efecto, esta variabilidad debera ser importante respecto de la variabilidad dentro de los grupos.

SC Dentro (SC Residual): variabilidad respecto a la media del grupo.

SCTotal=SCEntre+SCDentro

k

i

n

j

ij

i

yy1 1

2)(:TotalSC

2

1 1

:SCDentro

k

i

n

j

iij

i

yy

k

i

n

j

i

i

yy1 1

2)(:SCEntre

yyyy

yyy

yyy

yyy

GGG

k

knnn

k

k

k

k

21

21

22212

12111

21

21

TABLA DE ANOVA

k

i

n

j

ij

i

yy1 1

2)(:TotalSC

2

1 1

:SCDentro

k

i

n

j

iij

i

yy

k

i

n

j

i

i

yy1 1

2)(:SCEntre

Fuente SC g.d.l. CM F

Entre SCEntre k-1 SCEntre/(k-1) CMEntre/CMDentro

Residual SCDentro n-k SCDentro/(n-k)

Total SCTotal n-1

Ejemplo 1

Queremos evaluar si la dosis de alcohol tiene un

efecto apreciable en el tiempo (segundos) que se

tarda en hacer operaciones matemticas sencillas.

Se escogen 20 voluntarios que cumplen ciertos

criterios de admisin en el estudio.

Se dividen aleatoriamente en cuatro grupos,

recibiendo cada grupo distintas dosis de alcohol.

Datos

Definir una variable para

los grupo

El tratamiento es el factor de

inters

Hay cuarto niveles (cada una

de las dosis)

Es un modelo de efectos fijos.

Modelo

),0(

N

y

ij

ijiijij

Descriptiva

Hiptesis y mtodo de anlisis

La dosis de alcohol incrementa de manera

significativa el tiempo de respuesta.

Utilizaremos un ANOVA de un factor, el tratamiento,

que tiene cuatro niveles, las distintas dosis.

ANOVA en R

4.224:SCDentro2

1 1

k

i

n

j

iij

i

yy

8.1067)(:SCEntre1 1

2

k

i

n

j

i

i

yy

Fuente SC g.d.l. CM F

Entre 1067.8 4-1=3 355.93 25.378

Residual 224.4 20-4=16 14.03

Total 1292.2 20-1=19

Interpretacin

Si es cierta la hiptesis nula, la variancia estimada a partir de la SC entre grupos y la estimada a partir de la SC dentro de grupos deberan ser similares.

En ambos casos, estamos estimando la varianza comn a todos los grupos (trmino en el modelo lineal).

La media cuadrtica (SC/g.l.) es un estimador de dicha varianza en cada caso.

El cociente sigue una F de Fisher con (k-1) y (n-k) g.d.l. si Ho es cierta.

En este caso, p

Estimacin de las medias de los grupos

IC 95%

Los IC de las medias

sugieren que se produce un

aumento del tiempo de

respuesta a partir de una

dosis media de alcohol.

Evaluacin de las

diferencias entre grupos

Podemos considerar dos grupos. Los que no han tomado alcohol o bien reciben

dosis bajas tienen una respuesta media ms rpida que el resto.

Es decir, el resultado del ANOVA es debido a la diferencia de respuesta entre las

dosis media y alta, que tienen un comportamiento similar entre ellos, y el grupo

de dosis bajas y el que no ha tomado alcohol.

Anlisis va lm

Anlisis va lm (sin interseccin)

745.3

Anlisis va lm (sin interseccin)

Estimacin de los IC 95% de los efectos de cada tratamiento

Ejemplo 2

Se quiere evaluar el efecto de cuatro fertilizantes en un determinato tipo de cultivo.

Se dispone de 10 parcelas, aplicando cada tipo de fertilizante en cada parcela en aos consecutivos.

Se pide:

Evaluar si los cuatro fertilizantes tienen el mismo efecto.

Evaluar si las hiptesis del modelo (homogenidad de varianzas y normalidad) se cumplen.

Realizar comparaciones mltiples para determinar qu fertilizante es el ms apropiado.

Datos

A B C D

47 51 37 42

42 56 39 43

43 54 41 42

46 49 38 45

44 53 39 47

42 51 37 50

45 50 42 48

43 49 36 45

44 50 40 44

44 53 40 45

Fertilizante

ANOVA

El efecto del fertilizante es significativo.

Estimacin de los efectos

1.451.144

9.381.544

6.516.744

44

D

C

B

A

ANOVA

Estimacin de los efectos

El anlisis va lm permite estimar

directamente las medias de los

grupos si restamos el trmino

constante.

En este caso, los IC que se

consiguen con confint sn los que

corresponden a las medias de

cada grupo.

Grficos de las medias estimadas

Podemos observar que el

fertilizante B es el que produce

ms, mientras que C es el que

produce menos.

A y D produce, de media, lo mismo

y se sitan entre B y C.

Podemos utilizar el procedimiento

TukeyHSD para estimar las

diferencias entre tratamientos.

Comparaciones mltiples

Podemos comprobar que los

tratamientos A y D son equivalentes (en

produccin media), mientras que B es

superior y C inferior.

El procedimiento TukeyHSD solo puede

aplicarse a un objeto aov.

Contrastes ortogonales

Por defecto, se compara cada

tratamiento (nivel del factor) con

el primer tratamiento.

Podemos establecer otras

comparaciones indicando una

matriz de contraste.


Assignamos un contraste entre

tratamientos y obtenemos el

mismo resultado que el anterior

(resultado por defecto).

En la matriz de contraste se

indica por un 1 el nivel que se

compara con el nivel de

referencia.

Podemos cambiar estas

definiciones.


Ahora las estimaciones se refieren

al grupo B como referencia.

Si vemos los resultados anteriores,

al grupo B le corresponde una

media de 51.6=44+7.6

Contrastes ortogonales: Comparacin de grupos

El primer contraste prueba la

hiptesis de que los tratamientos A

y D son equivalentes (p>0.05)

El segundo, prueba si podemos

admitir que A es equivalente al

promedio de B y C (p>0.05)

El tercero compara B y C (p

Problema

Se dispone de 6 abonos, valorndose la productividad en 78 parcelas de similares caractersticas (Abonos.sav)

Describir el experimento, indicando el factor o factores implicados y sus niveles. Decidir si se trata de un problema de efectos fijos.

Contrastar si los seis abonos afectan de manera similar a la produccin de las cosechas.

Determinar las diferencias de produccin entre pares de abonos.

Comprobar las hiptesis del modelo

Resolver los siguientes contrastes:

El promedio de las cosechas obtenidas por los abonos 3 y 4 no difiere del promedio de las cosechas 5 y 6.

La media de los abonos 1 y 2 coincide con el promedio de las cosechas del resto de abonos.

Resultados por abono

ANOVA

Los distintos abonos tienen una produccin media diferente

(p

Medias por grupo

kN

SCT

ntyIC

NtyIC

i

kNii

kN

2

2

,2/1.1

2

,2/1..1

)(

)(

Comparaciones

mltiples

Los abonos 2, 4, 6 no presentan diferencias

significativas.

ContrastesANOVA un factor

02222

: 654321654321

0

H

022

: 65436543

0

H

Resumen

El diseo de un factor fijo con k niveles es muy

habitual. Formalmente, se concreta en valorar la

hiptesis de igualdad de la medias poblacionales

de cada nivel del factor.

Las observaciones deben proceder de una distribucin

normal y la varianza debe ser igual en cada nivel del

factor.

El anlisis en R puede hacerse con las funciones aov o

lm.

Documents

ANOVA 1F Introduccio (R)