Kondisi kesetaraan untuk ansambel kanonik dan microcanonical
dalam sistem berputar ditambahHal ini biasanya diasumsikan, tanpa
pembenaran, bahwa kopling lemah antara sistem dan mandi
adalahkondisi yang diperlukan untuk kesetaraan ansambel kanonik dan
ansambel microcanonical. Misalnya,dalam ansambel kanonik, suhu
muncul jika sistem dan mandi yang uncoupled atau lemah ditambah.
kamimenyelidiki wilayah validitas lemah-kopling ini pendekatan,
menggunakan sistem komposit-berputar ditambah.Hasil kami
menunjukkan bahwa kekuatan kopling spin dapat sebagai besar sebagai
jarak tingkat sistem, menunjukkanbahwa pendekatan yang
lemah-kopling memiliki daerah yang lebih luas validitas dari
biasanya diharapkan.
I. PENDAHULUANIni adalah sangat penting untuk meninjau mekanika
statistik,berdasarkan prinsip-prinsip mekanika kuantum? lihat,
misalnya,? 1-12??. Mulai dari ansambel microcanonical, konsepsuhu
muncul dari ansambel kanonik dalambatas kopling lemah antara sistem
dan mandi. iniberlaku baik untuk distribusi klasik di ruang fase
danuntuk kuantum kepadatan matriks lihat?, misalnya? 1-3??. Seorang
jenderalSistem komposit yang terbuat dari sistem pusat dan mandi
bisadijelaskan oleh
Rumus
dengan HS sistem Hamiltonian, HB mandi Hamiltonian,dan HSB
sistem-mandi kopling. Dalam rangka untuk mendapatkansuhu, HSB
jangka kecil biasanya diabaikan.Dalam mekanika kuantum, matriks
kerapatan termalekuilibrium negara dalam ansambel microcanonical
dengan energiantara? E, E +? E??? Tapi jauh lebih besar daripada
tingkatjarak dari bak mandi? digambarkan olehrumusdi mana d adalah
dimensi ruang bagian dengan total energi diinterval? E, E +??, dan
PC adalah proyeksi ke subruang itu.Dalam batas yang lemah-kopling,
HSB 0, canonicalensemble yangdistribusi berasal dari ansambel
microcanonicaldengan mengikuti prosedur standar? lihat, misalnya,?
1,3?Rumusdengan fungsi partisi Z = exp Tr -??? HS? dan
kebalikansuhu? = 1 / T. Sebuah pernyataan yang jauh lebih kuat,
disebut kanoniktypicality, juga telah dibuat, yang menyatakan
bahwasewenang-wenang acak keadaan murni dalam subruang
microcanonical adalahcukup untuk memperoleh hasil kanonik-ensemble
di atas? lihat,misalnya,? 3.4??. Beberapa karya telah mengikuti
arah ini? Lihat,misalnya,? 9,13-24??. Namun, arti dari "lemah
kopling"telah dipanggil tanpa pembenaran apapun, kecuali di
koranoleh Dong et al. ? 25? dan Reimann? 26?.Dalam tulisan ini,
kami meneliti efek coupling antarasistem spin dan bak berputar dan
membenarkanvaliditas pendekatan yang lemah-kopling spin
ditambahsistem. Sistem ini berputar sangat berbeda dari
harmonikosilator di Ref. ? 25?. Makalah ini disusun sebagaiberikut.
Kami menggambarkan model dari komposit berputar ditambahsistem Sec.
II dan mempresentasikan hasil numerik kami di Sec.III. Sebuah
diskusi singkat dan kesimpulan diberikan dalam Sec. IV.II. SISTEM
SPIN KOPELKami menganggap model bagi banyak spin-1/2 partikel?
Lihat Gambar.1. Beberapa berputar ini diberi label sebagai
"berputar sistem," dilambangkanoleh Sm, dengan m = 1,2,. . . , M.
Lainnya diberi label sebagai "mandiberputar, "dilambangkan dengan
Ik, dengan k = 1,2,. . . , K. ini kompositsistem digambarkan oleh
Hamiltonian dalam Pers. ? 1?, Di mana
rumusdengan Akm menggambarkan kopling antara sistem spin Smdan
mandi berputar Ik. Di sini,? M dan? K adalah Zeeman split-
gambar
Gambar. 1. ? Warna online? Skema sistem berputar? Panah
merahdengan lingkaran? digabungkan ke dalam bak berputar? panah
biru tanpa lingkaran?.Garis putus-putus menunjukkan kopling antara
mereka.
Gambar
Gambar. 2. ? Warna online? Hubungan antara Canonical ln? Pi?
danSistem energi EiS untuk berbagai kekuatan kopling sistem bath: n
= 0no kopling, biru garis putus-putus dengan lingkaran?, n = 3?
kopling lemah,jalur hijau solid dengan salib?, n = 10? menengah
kopling, merah solidSejalan dengan segitiga atas?, dan n = 30?
kopling kuat, cyan padatSejalan dengan segitiga bawah?. Berikut Pi
adalah probabilitas bahwa sistemdalam eigenstate engan dengan
energi EiS. Untuk kopling lemah dan menengah? n = 0,3,10?, kurva
hampir linier. Lihat juga Tabel I.tings dari sistem spin mth dan
mandi berputar k, masing-masing.Kami telah menetapkan? = 1 dan kB =
1 untuk kenyamanan. Perhatikan bahwasistem dan mandi memiliki
dimensi 2M dan 2K, masing-masing.Sistem ini hanya mengalami
dephasing karenadari pergantian antara sistem HS dankopling HSB,?
HS, HSB? = 0.Model di atas? Pers. ? 1? dan? 4? adalah persis
dipecahkan.Tanpa istilah kopling sistem mandi, energi total ET
adalahjumlah dari ES energi sistem dan EB energi mandi, yaitu,ET =
ES + EB. Untuk eigenstate, nilai eigen H adalahmana SMZ dan Ikz
adalah nilai eigen dari Smz dan saya kz, masing-masing.Para
eigenbasis merupakan dasar komputasi biasa.Di sini, i dan j label
eigenstates, dan berkisar dari 1 sampai 2Mdan dari 1 sampai 2K,
masing-masing. Dengan sistem-mandi koplingpanjang, nilai eigen dari
eigenstate menjadi
TABEL I. suhu Inverse? diekstraksi dengan pas lerengdari kurva
pada Gambar. 2, dan korelasi linear yang sesuaikoefisien r
masing-masing fit.
Tabel
Gambar. 3. ? Warna online? Kepadatan Normalisasi negara untuk
systembathkopling kekuatan n = 0? sebuah?, 3? b?, 10? c?, 30? d?.
Garis merahmenunjukkan kisaran energi? E, E +? E. kecil? Di sini, E
= -1,722.
II. HASIL NUMERIKDalam perhitungan kami, kami memilih satu set
nomor acak? m?? 0, 0.4?,? k?? 0,1?, Akm? 0,0.037?. Jumlahberputar
dan berputar sistem mandi adalah M = 3 dan K = 18,
masing-masing.Sebagai contoh, di sini kita mengatur shell energi?
E, E +? olehmemilih E = -1,722 dan? = 0,0350. Kami menghitung
jumlahdari eigenstates komposit-sistem yang energinya dalamshell
energi yang diberikan? E, E +? dan partisi nomor inimenurut
eigenstates sistem yang berbeda menjadi angka 2M? 28?. Dengan cara
ini, kita mendapatkan probabilitas Pi? I= 1,2, , 8 untuk M = 3?.
Kami menyesuaikan kekuatan kopling denganmengalikan n bilangan
bulat? misalnya, n = 0,3,10,30? untuk semua Akm.Dengan demikian, n
= 0 sesuai dengan kasus tersebut tanpa kopling, n = 3kopling lemah,
dan n besar menunjukkan kopling kuat.Kami merencanakan pada Gambar.
2, hubungan antara ln? Pi? dan EiS. Satuakan mengharapkan hubungan
linear jika ensemble kanonik? Eq. ? 3? adalah setara dengan
ansambel microcanonical. KamiTABEL II. Lebar fit Gaussian kurva, 0,
diGambar. 3. Karena simetri, hanya empat kurva terendah
terdaftar.Tabel
jelas melihat hubungan linier dalam kasus tidak ada kopling? n =
0? dan lemah kopling? n = 3? serta penyimpangan darihubungan linier
dalam kasus kopling menengah? n = 10?dan khusus untuk kopling kuat?
n = 30?. Semakin kuatpenghubung antara sistem dan berputar mandi,
yang lebih besardeviasi dari garis lurus. Dengan data ini pas
dengangaris lurus, kita dapat memperoleh suhu terbalik? darisetiap
set data, yaitu, kemiringan negatif dari garis dipasang. kamijuga
memperoleh koefisien korelasi linear r, yang menunjukkanseberapa
baik hubungan linear, di manar= 1 sesuaiuntuk garis lurus.
Nilai-nilai? dan r tercantum dalam Tabel Iuntuk empat kasus kami
sajikan dalam Gambar. 2. Sekali lagi, kami menemukan
darinilai-nilai yang lebih baik hubungan linier dalam kasus tidak
adakopling dan kopling lemah.Dari hasil numerik di atas, kita
mengamati bahwaDistribusi kanonik-ensemble berlaku dalam kasus
tidak adakopling dan kopling lemah, dan sekitar berlaku
untukkopling menengah. Dengan membandingkan tingkat jarak s?
0,1sistem dan kekuatan kopling khas mediumcoupling yangkasus,
Akm0,37, kita menemukan bahwa canonicalensemble yangdistribusi
adalah pendekatan yang baik jika koplingKekuatan kurang atau urutan
jarak tingkat,akms. Dengan kata lain, ansambel kanonik setarauntuk
ansambel microcanonical jika istilah kopling khaskurang atau sama
dengan jarak tingkat sistem. Namun,kesetaraan antara dua ansambel
rusak sekaliAkm? S, seperti yang ditunjukkan dalam kasus n = 30
pada Gambar kuat-kopling.2? D?. Dibandingkan dengan estimasi Tasaki
yang Akm? S? 2?, Hasil kamimemberikan rentang yang lebih luas, yang
secara signifikan memperluasPersyaratan kecilnya sebelumnya pada
sistem-mandi kopling.Selanjutnya kita mempertimbangkan bagaimana?
tergantung pada komposit sistemparameter. Kami merencanakan pada
Gambar. 3 kepadatan normalizednegara? DOS? distribusi untuk setiap
eigenstate sistem. untukkejelasan, kita menggeser setiap kurva naik
0,1 di semua panel. Seperti yang diharapkanuntuk sistem berputar,
satu jelas melihat distribusi Gaussian untukkepadatan negara. Hal
ini terutama menarik untuk dicatat bahwalebar dari distribusi
Gaussian hampir identikdalam panel 3 a -??? c, di mana kita
menemukan bahwa canonicalensemble tersebutdistribusi berlaku. Kami
daftar dalam Tabel II lebarfit Gaussian dari kurva pada Gambar.
3.A. batas Lemah-koplingDari Gambar. 3? Sebuah? -3? C?, Jelas bahwa
distribusi mandi-tingkatuntuk setiap sistem eigenstate adalah sama,
kecuali untukbergeser posisi puncak. Dalam "lemah" batas kopling,
mari kitamengasumsikan bahwa probabilitas sistem berada di
enganeigenstate dengan energi total E? Adalah
di mana 0 adalah lebar spektrum mandi. Dalam energishell? E, E
+?, probabilitas menjadi
rumusSelama dua eigenstates sistem, rasio probabilitas
adalahRumus
mana??-2E / 02, jika E? Ei, Ei?. Menggunakan Persamaan. ? 9?,
Kita dapat memperkirakansuhu terbalik? untuk E diberikan dan
mandi-Tingkat energi sistem EiSln (Pi)Tidak ada koplinglemah
koplingsedang koplingkopling kuatGambar. 6. ? Warna online? Sama
seperti Gambar. 2 kecuali bahwa sistemDistribusi tingkat sekarang
merata. Perhatikan bahwa ini menyiratkan bahwadistribusi jarak
tingkat merata sama sensitif terhadap systembath yangkekuatan
kopling.lebar spektrum 0. Untuk kasus nol-kopling, di manalebar
bath-spectrum adalah sama untuk semua negara, kita temukan?= 0,964
dalam kasus-kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 2? A? -2? C?. Ini
nilai?dalam perjanjian yang baik dengan tiga nilai yang ditampilkan
dalamTabel I.B. Batas Kuat-koplingDalam batas-kopling kuat, asumsi
0 menjadisama untuk semua eigenstates sistem tidak berlaku, seperti
yang ditunjukkanpada Gambar. 3? D?. Dalam batas ini, adalah
mustahil untuk mendapatkan? Terbalik? suhu, karena ensemble kanonik
dan microcanonicalensemble tidak setara. Dari fiturdari kepadatan
negara, dengan demikian kita menyimpulkan bahwa kesetaraanantara
ensemble kanonik dan microcanonicalensemble terjadi hanya ketika
sistem-mandi kopling"Lemah", sehingga kopling tidak berubah secara
signifikansifat spektrum, misalnya, spektrum lebar 0. kamiingin
berkomentar bahwa kita dapat memperoleh terbalik negatifsuhu?0?
jika total energi dari sistem kompositpositif? E? 0?, menurut
evaluasikepadatan negara.Hal ini diinginkan untuk menyelidiki
apakah kondisi kesetaraanantara ensemble kanonik dan
microcanonicalensemble, yaitu, Akms, masih memegang untuk ukuran
mandi lain dannilai-nilai lain dari shell energi. Kami menyajikan
hasil untuk duaukuran mandi lainnya pada Gambar. 4 dan juga hasil
untuk dua lainnyapilihan untuk shell energi pada Gambar. 5. Dengan
membandingkan inidengan Gambar. 2, kami tidak menemukan efek
mandi-ukuran yang signifikan atauEfek energi shell pada kondisi
kesetaraan antaraensemble kanonik dan ansambel microcanonical
dikasus kami menyelidiki? 29?.Gambar. 7. ? Warna online? Sama
seperti Gambar. 3 kecuali untuk sistem dengantingkat distribusi
tidak merata. Energi total? Vertikal merah putus-putusbaris? adalah
E = -2,214. Perhatikan bahwa DOS tidak terpengaruholeh distribusi
yang tidak merata dari tingkat energi sistem.Kita sekarang tentatif
menduga bahwa sistem dengan meratatingkat terdistribusi lebih
sensitif terhadap kekuatan kopling.Dengan bantuan numeric, kami
memeriksa bawah dugaan inidengan membandingkan distribusi
sebelumnya hampir-bahkan tingkatkasus dengan satu merata berikut.
Kami menemukan bahwa inidugaan tidak valid.Kami menyimpan semua
parameter yang sama seperti sebelumnya, kecuali? M.Kami kemudian
memilih satu set? M, yang menghasilkan tidak meratatingkat energi
didistribusikan untuk sistem? lihat Gambar. 6?. yakni,tingkat
energi berturut-turut atau berturut-turut telah berbedajarak antara
mereka. Hal ini berbeda dengan sebelumnyakasus, di mana energi
jarak antara berurutan atautingkat energi berturut-turut hampir
sama. Hasilnyadisajikan pada Gambar. 6 dan 7, dan dalam Tabel III
dan IV. pembandingandua kasus, terutama koefisien korelasi linearr
pada Tabel I dan III, kami tidak menemukan bukti yang kuat
untukmendukung dugaan di atas bahwa sistem dengan meratatingkat
lebih sensitif terhadap kekuatan koplingantara sistem dan mandi.IV.
DISKUSI DAN KESIMPULANKomposit sistem kami menghitung terbatas,
dengan M = 3berputar untuk sistem dan K = 18,21,25 berputar untuk
mandi. itujumlah eigenstates kurang dari 228? 3? 108. tapijumlah
eigenstates di shell energi? E, E +? tidaksangat besar?? 105? untuk
parameter kita pilih. dariTitik numerik pandang, kesalahan
statistik relatif dariTABEL III. Sama seperti Tabel I kecuali bahwa
nilai-nilai sekarangdiekstrak dari Gambar. 6.Data kami sajikan
dalam Gambar. 2 dan 6 adalah urutan dari 1%.Memilih sistem komposit
yang lebih besar akan mengurangi statistikkesalahan, dengan harga
waktu komputasi yang lebih. tapi kamipercaya bahwa kesimpulan utama
kami masih akan terus kualitatif.Singkatnya, kami menyelidiki efek?
Pada canonicalensemble yangdistribusi? dari kopling antara sistem
berputardan mandi spin. Kami menemukan bahwa distribusi
kanonik-ensemblemasih memegang bahkan jika kekuatan kopling khas
memilikiurutan yang sama besarnya sebagai jarak tingkat sistem.
inijauh lebih besar dari apa yang diharapkan? 2?. Selain itu, kami
mengamati bahwa suhu terbalik? untuk spin kompositsistem dapat
dinyatakan sebagai? =-2E / 0, dengan E menjadienergi dalam ansambel
microcanonical dan 0 lebarkepadatan negara di eigenstates
sistem.
