PONTFICIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

Programa de Estudos Ps Graduados em Educao Matemtica

UM ESTUDO SOBRE METODOLOGIAS DE ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL:

EM BUSCA DA VISUALIZAO

RENATO MENDES MINEIRO

SO PAULO

2015

RENATO MENDES MINEIRO

UM ESTUDO SOBRE METODOLOGIAS DE ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL:

EM BUSCA DA VISUALIZAO

Anteprojeto de pesquisa apresentado ao

Programa de Estudos Ps Graduados em

Educao Matemtica da Pontifcia Universidade

Catlica de So Paulo como requisito admisso

no Curso de Doutorado em Educao

Matemtica.

SO PAULO

2015

LISTA DE FOTOS

FOTO 1. REPRESENTAO TRIDIMENSIONAL DE UMA ESFERA (ESQUERDA) E DE UM CONE (DIREITA)..........................................................................................................................6FOTO 2. UM CONJUNTO COM TRS REPRESENTAES (CUBO, CONE E ESFERA)...6

SUMRIO

1 INTRODUO ......................................................................................................... 52 JUSTIFICATIVA ....................................................................................................... 83 OBJETIVO E QUESTES DE PESQUISA ............................................................ 114 METODOLOGIA .................................................................................................... 125 CRONOGRAMA .................................................................................................... 156 BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................... 16

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1 INTRODUO

Por ocasio do curso de Licenciatura em Matemtica desenvolvemos um

modelo de representao de superfcies qudricas em trs dimenses, composto

pela sobreposio ordenada de transparncias impressas com grficos

bidimensionais, a exemplo de curvas de nvel. Como as folhas eram transparentes,

era possvel ver diferentes grficos de duas dimenses simultaneamente. Tal efeito

proporcionava aos observadores a viso tridimensional das superfcies estudadas.

Aps o trmino da graduao, este modelo foi usado em nossa pesquisa de

mestrado, auxiliando-nos na criao, aplicao e avaliao de uma sequncia

didtica para o estudo das superfcies qudricas. Pretendamos, na ocasio, verificar

se tal sequncia, mediada pelo modelo de representao tridimensional que

criamos, poderia favorecer aprendizagem dos conceitos relativos a estes objetos,

por meio da interao entre seus aspectos intuitivos, algortmicos e formais. Para

Fischbein (1993), qualquer contedo matemtico apresenta estes trs aspectos: os

aspectos formais (relacionados aos axiomas, definies, teoremas e provas), os

aspectos algortmicos (relacionados s habilidades desenvolvidas para a resoluo

de problemas) e os aspectos intuitivos (relacionados s asseres sobre as quais

no so necessrias provas, ou seja, aquelas que so aceitas sem que haja

necessidade de justificativas) sendo a interao entre os trs, fundamental

aprendizagem.

Da mesma forma, pretendamos verificar se atividades que contivessem

tratamentos e converses entre diferentes registros de representao semitica,

mediadas pelo modelo de representao tridimensional, seriam capazes de levar os

alunos da viso visualizao do objeto em estudo. Para Duval (1999) a viso

imediatamente acessvel ao primeiro olhar, porm incapaz de desenvolver as

funes cognitivas fundamentais, sendo a visualizao a responsvel pela

organizao das informaes obtidas pela viso.

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FOTO 1. REPRESENTAO TRIDIMENSIONAL DE UMA ESFERA (ESQUERDA) E DE UM CONE (DIREITA)

FOTO 2. UM CONJUNTO COM TRS REPRESENTAES (CUBO, CONE E ESFERA)

Conclumos, aps a anlise dos protocolos obtidos, que embora as

atividades tenham despertado em alguns alunos a necessidade de ir alm da

simples viso do objeto, levando-os a buscar informaes adicionais presentes nas

representaes, para a maioria dos alunos, os aspectos intuitivos, frutos de

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aprendizagens anteriores fortemente enraizadas, sobrepuseram-se aos aspectos

formais dos objetos estudados, limitando a sua aprendizagem.

Estas concluses nos convenceram que o modelo de representao

tridimensional, para alguns alunos, desempenhou um papel facilitador no processo

de aprendizagem das superfcies qudricas.

Gostaramos, nesta prxima pesquisa, de investigar as dificuldades

apresentadas pelos alunos quanto aprendizagem dos objetos da geometria

espacial, alm de verificar se o modelo de representao que criamos pode

representar um recurso heurstico neste processo, conforme descreveremos nas

prximas pginas deste anteprojeto de pesquisa.

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2 JUSTIFICATIVA

Em algumas reas do conhecimento, como na biologia, por exemplo, o

acesso aos objetos de estudo se d de forma direta, sem a necessidade de uma

representao que se passe pelo objeto ou que o substitua em sua ausncia. Por

meio de um microscpio, um bilogo ou um estudante podem, por exemplo,

observar um espcime diretamente e investigar os detalhes que julgarem relevantes.

Podem fazer inferncias sobre como este espcime respira, como se alimenta, como

se relaciona com o ambiente em que vive ou como se reproduz.

A aprendizagem em matemtica, no entanto, percorre caminhos, que em

alguns aspectos, so fundamentalmente distintos das outras reas do

conhecimento.

Na aprendizagem em matemtica o acesso aos objetos do estudo se d

unicamente por meio de suas representaes, que no so nem o objeto em si,

tampouco um substituto ao objeto, mas um conjunto de informaes, reunidas em

um sistema lgico e bem organizado de representao.

Nos idos de 1990, em busca de um entendimento sobre as dificuldades que

alguns alunos apresentam quanto aprendizagem em matemtica, o pesquisador

francs Raymond Duval desenvolveu uma teoria conhecida como Teoria dos

Registros de Representao Semitica.

Duval chamou as representaes de objetos matemticos de representaes

semiticas. Em breves palavras, estas representaes caracterizam-se e

diferenciam-se de outros tipos de representao principalmente pela dualidade das

funes que executam. So capazes de trazer ao interlocutor tanto a forma (o

significante) como o contedo (o significado). A forma refere-se ao sistema de

representao (que pode se apresentar de modos diferentes para um mesmo objeto

matemtico) enquanto que o contedo relaciona-se com o objeto matemtico em si

(que pode ser representado de diferentes formas).

Tomemos um objeto, como uma funo, por exemplo. Ela no diretamente

acessvel, mas podemos estuda-la por meio de sua representao algbrica ou por

meio de sua representao grfica, ou at mesmo pelo enunciado das suas

propriedades. Para Duval (2006), isso pode representar um paradoxo: ao mesmo

tempo em que o nico acesso ao objeto matemtico se d por sua representao,

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necessrio no confundir o objeto em si com a sua representao. Como os alunos

podero acessar tais objetos sem confundi-los com as suas respectivas

representaes?

Alm disso, [...] o limiar crtico para o progresso na aprendizagem e para a

resoluo de problemas manifesta-se atravs da capacidade de mudar de um

sistema de representao para outro 1(DUVAL, 2006, p. 107, traduo nossa).

Esta pesquisa prev uma sequncia didtica mediada por um modelo de

representao tridimensional em que sejam contempladas situaes de tratamento

(aquelas em que as operaes acontecem internamente em um registro de

representao) e situaes de converso (que implicam a mudana de um registro

de representao para outro, num caminho de ida e de volta). De acordo com Duval,

principalmente atravs destas converses que os alunos conseguem distinguir

entre o significado (o objeto matemtico) e o significante (a forma de representao

do objeto, que pode ser diferente de acordo com o sistema em que se d a

representao).

A leitura de algumas teses e dissertaes s quais tivemos acesso, e que de

alguma forma se relacionavam com o ensino e com a aprendizagem de objetos da

geometria espacial, nos mostrou que alguns pesquisadores intermediaram suas

investigaes, abordagens e sequncias didticas por meio de modelos concretos

de representao, como Tavares (1988) e Medalha (1997). Outros se utilizaram de

recursos computacionais, como os softwares de geometria dinmica, a exemplo de

Possani (2002), Vieira (2007), Jordo (2011) e Palles (2013), e alguns outros

mesclaram estes dois recursos em atividades que tinham ao mesmo tempo

representaes concretas e representaes na tela do computador, como Reis

(2006). No encontramos, no entanto, nenhum trabalho de pesquisa que estudasse

os objetos tridimensionais por meio da representao simultnea de seus cortes,

como pode ser feito com o modelo concreto de representao que utilizaremos.

A pesquisadora francesa Rommevaux (1998) relata em um de seus artigos o

resultado de suas investigaes sobre a importncia do discernimento dos planos no

estudo de figuras tridimensionais. De acordo com Rommevaux, ao resolver

1 And that manifests itself in the fact that the ability to change from one representation system to another is very often the critical threshold for progress in learning and for problem solving.

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problemas da geometria espacial atravs de representaes planas, os alunos se

deparam com o apoio de representao (a folha de papel, a lousa ou a tela do

computador onde construda a representao), o plano de referncia (os planos

representados no desenho, como as faces de um prisma, por exemplo) e o plano da

situao (aqueles por meio dos quais so permitidos os tratamentos que levem

soluo). Diferentemente da geometria plana, na geometria espacial estes trs

planos no coincidem, sendo de fundamental importncia para a aprendizagem o

discernimento entre estes planos.

Sobre a utilizao de modelos concretos, Rommevaux diz que

[...] estudos histricos e certos estudos tcnicos mostram, contudo, que estes objetos podem ter, para a compreenso do espao real ou virtual, funes importantes: funo heurstica pelas simulaes que permite, e funo de verificao til, mas que pode intervir apenas quando o problema resolvido (ROMMEVAUX, 1998, p. 45, traduo nossa 2).

Em consonncia com este entendimento, acreditamos que um modelo de

representao como o que ser usado na mediao das atividades, seja capaz de

ajudar os alunos a desenvolver a habilidade de discernir entre os planos, to

necessria aprendizagem em matemtica.

Acreditamos que a produo de conhecimento resultante de uma investigao

como esta, que visa ao mesmo tempo compreender as dificuldades de

aprendizagem de um determinado contedo matemtico, verificar as publicaes e

metodologias atuais de ensino deste contedo e propor novas abordagens e novos

recursos didticos para o ensino da geometria espacial, pode colaborar de forma

importante para a superao das limitaes de aprendizagem destes e de outros

saberes.

2 Les tudes historiques et certaines tudes techniques montrent cependant que ces

objets peuvent avoir, pour la comprhension de l'espace rel ou virtuel, des fonctions importantes: fonction heuristique par les simulations qu'elle autorise, fonction de vrification - utile -, mais qui ne peut intervenir que lorsque le problme est rsolu.

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3 OBJETIVO E QUESTES DE PESQUISA

O objetivo da pesquisa que pretendemos desenvolver relaciona-se

investigao das dificuldades envolvidas no processo de aprendizagem dos

contedos da geometria espacial, em busca de uma metodologia que possa superar

estas dificuldades e favorecer a aprendizagem. Entendemos que investigar as

dificuldades relaciona-se diretamente com a investigao das variveis que

favorecem a aprendizagem.

Surgem, desta forma, alguns questionamentos, naturais ao pesquisador e ao

professor de matemtica, diante da falta de entendimento que alguns alunos podem

apresentar ao serem colocados em contato com estes contedos.

Q1. Quais so os principais obstculos aprendizagem dos conceitos referentes geometria espacial?

Ao tentar responder a esta pergunta, muito provvel que nos deparemos

com outras, que nos levem ao necessrio aprofundamento da investigao, em

busca das origens das dificuldades.

Q2. Quais so os mtodos atuais de ensino dos conceitos referentes geometria espacial nas escolas de ensino mdio?

Q3. Como as publicaes atuais tem abordado o ensino deste tema? Q4. H uma busca nestas publicaes da interao entre as componentes

intuitivas, algortmicas e formais deste objeto (Fischbein, 1993)?

Q5. H nestas publicaes alguma busca no sentido de levar os alunos a visualizarem os objetos matemticos, alm de apenas verem a representao

destes objetos (Duval, 1999)?

Q6. H nestas publicaes atividades que promovam alm do tratamento dos objetos dentro de um mesmo registro de representao, converses, que levem os

alunos a estudar o mesmo objeto matemtico em diferentes registros de

representao semitica, em caminhos de ida e de volta (Duval, 2006)?

Q7. Uma sequncia didtica para o ensino dos objetos da geometria espacial, que contemple tratamentos e converses, mediada por um modelo de representao

tridimensional com cortes retos, paralelos e oblquos s faces das figuras

geomtricas, pode contribuir para a aprendizagem destes contedos?

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4 METODOLOGIA

Realizaremos uma pesquisa bibliogrfica das publicaes atualmente

recomendadas pelo Ministrio da Educao e Cultura (MEC) que abordem os

conceitos relativos geometria espacial em escolas de ensino mdio. A princpio,

considerando as dimenses continentais de nosso pas e a diversidade de

publicaes didticas disponveis, pretendemos nos concentrar naquelas que

servem de referncia para as escolas do Estado de So Paulo, o que no significa

absolutamente que estas mesmas publicaes no sejam utilizadas por escolas de

outras unidades da federao.

O principal objetivo desta sondagem analisar e comparar as metodologias

recomendadas pelos seus autores, em busca de um entendimento mais amplo sobre

como esto sendo direcionadas as situaes didticas que envolvem os conceitos

de geometria espacial para o Ensino Mdio.

Tambm faremos uma reviso de literatura, que nos permitir delimitar a

investigao, verificar o modo como outros pesquisadores abordaram este tema,

verificar se propuseram metodologias para o ensino de aspectos da geometria

espacial, verificar quais foram as referidas metodologias (se houve) e que resultados

obtiveram com tais abordagens.

Acreditamos que o conhecimento dos sujeitos da pesquisa, mais

precisamente no que se refere ao entendimento de suas percepes sobre os

contedos a serem estudados, devem nortear a concepo das atividades que

desenvolveremos.

Por ocasio de nossa pesquisa de mestrado, tivemos a oportunidade de ter

contato pessoal com o Prof. Raymond Duval, que estava ministrando um curso

semestral para as turmas do Programa de Ps Graduao que frequentvamos, na

Uniban. Quando lhe apresentamos os modelos de representao tridimensional que

havamos desenvolvido, ele surpreendeu-se com as caractersticas das

representaes e pelas suas eventuais possibilidades em uma sequncia didtica.

Ao ser convidado, aceitou prontamente nossa solicitao para que participasse

como um dos professores avaliadores da pesquisa, tanto na banca de qualificao

quanto na de defesa. Suas sugestes foram muito importantes e nos ajudaram

sobremaneira com o desenvolvimento do trabalho, como por exemplo, sua

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orientao para que fizssemos um questionrio preliminar com os sujeitos da

pesquisa, que sugeriu chamarmos de recognition tasks (tarefas de

reconhecimento: um fundamento da psicologia que associa uma srie de

informaes ou asseres a alguma coisa que a pessoa j tenha aprendido

previamente). O objetivo deste questionrio, naquele contexto, era verificar se os

alunos conseguiriam, pontualmente, de forma rpida e sucinta, reconhecer a

representao algbrica de uma circunferncia a partir de sua representao grfica

e o caminho de volta, ou seja, se conseguiriam, a partir da representao algbrica,

reconhecer a representao grfica.

A anlise dos protocolos desta atividade serviu de base, na ocasio, para a

criao da sequncia didtica desenvolvida meses depois, com os mesmos alunos.

Pretendemos, como uma das anlises prvias desta pesquisa, realizar um

questionrio que envolva tarefas de reconhecimento, porm direcionado aos

contedos que antecedem o aprendizado de geometria espacial.

Subsidiados pelas anlises referidas nos pargrafos anteriores, iremos

desenvolver, aplicar e avaliar uma sequncia didtica para o estudo de objetos da

geometria espacial, mediada por um modelo de representao tridimensional, com

cortes retos, paralelos e oblquos destes objetos. A concepo das atividades, seu

desenvolvimento e anlise devero pautar-se pela metodologia definida pela

pesquisadora Michele Artigue como Engenharia Didtica.

Esta metodologia de pesquisa prev anlises prvias (das publicaes sobe o

assunto, do ambiente, dos alunos, das concepes que estes alunos trazem sobre o

objeto de estudo, das dificuldades e obstculos envolvidos no ensino e na

aprendizagem deste contedo), a concepo e anlise a priori das atividades que

sero desenvolvidas em sala de aula (a descrio detalhada das atividades,

explicitando quais sero os recursos e mtodos utilizados, alm de um levantamento

de hipteses sobre quais sero os eventuais comportamentos e asseres dos

participantes), a experimentao (onde ocorre efetivamente o contato do

pesquisador com a turma e onde se desenvolvem as atividades concebidas) e

finalmente a anlise a posteriori (anlise das observaes feitas e dos protocolos

obtidos durante o perodo da experimentao).

Ao contrrio das pesquisas que se baseiam em mtodos estatsticos

comparativos entre grupos experimentais e grupos de controle, na Engenharia

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Didtica a validao das hipteses interna, ou seja, se d pela confrontao entre

as asseres feitas previamente pesquisa (anlise a priori) e os resultados

observados durante o desenvolvimento das atividades (anlise a posteriori).

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5 CRONOGRAMA

2015 2018Atividades 2 Sem. 1 Sem. 2 Sem. 1 Sem. 2 Sem. 1 Sem.

Atividades prvias: pesquisa bibliogrficaReviso de literaturaAnlise a priori: concepo das atividades e levantamento de hiptesesAplicao dos instrumentos de pesquisa e coleta de dadosAnlise a posteriori: validao interna das hiptesesRedao do texto da tese para o Exame de QualificaoExame de QualificaoRedao do texto da teseNova reviso bibliogrfica e demais providncias para atendimento s sugestes da banca de qualificao.Redao final da teseApresentao

2016 2017

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6 BIBLIOGRAFIA

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