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8/17/2019 Antonio Carlos Guimarães2001
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ESTUDO DE DEFORMAÇÃO PERMANENTE EM SOLOS E A TEORIA DO
SHAKEDOWN APLICADA A PAVIMENTOS FLEXÍVEIS.
Antonio Carlos Rodrigues Guimarães
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
__________________________________
Prof.a Laura Maria Goretti da Motta, D.Sc.
__________________________________
Prof. Jacques de Medina, L.D.
___________________________________
Prof. Alexandre Benetti Parreira, D.Sc.
___________________________________
Prof. Salomão Pinto, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
DEZEMBRO DE 2001
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GUIMARÃES, ANTONIO CARLOS RODRIGUES
Estudo de deformação permanente em solos e a
teoria do shakedown aplicada a pavimentos flexíveis.
[Rio de Janeiro] 2001.
IX, 279 p., 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Civil, 2001)
Tese – Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Deformação permanente em solos
2. Shakedown
3. Mecânica dos pavimentos
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
ii
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“Se Pude Enxergar Longe é Porque me Apoiei em Ombros de Gigantes”.
(Isaac Newton)
iii
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus e a toda a minha família: Maria Helena, Ana Helena, Júnior, Geraldo
Guimarães (in memorian), e em especial, ao meu pai “Juca” pelo apoio dado em casa.
Agradeço aos “gigantes” Laura Motta, Salomão Pinto e Jacques de Medina por toda a
atenção e dedicação a mim prestada durante este tempo na COPPE. A professora Laura
Motta além de excelente orientadora revelou-se uma grande amiga com a qual podemos
contar sempre.
Ao professor Alexandre Parreira pelas importantes contribuições dadas como membro
da banca e ao colega Marcos Massao Futai que ajudou na interpretação dos resultados
obtidos. Outros colegas tiveram uma importante participação neste trabalho na medida
que aliviaram a chamada “solidão da pesquisa”. São eles: maj Geraldo Magela, Ian
Salles, Adriano Souza, Ana Cecília, Luciana Nogueira, Ana Carla, Fátima Sá, Rômulo
Sandro, Everton Meirelles, Flávia Pires, Aloésio Droesmeier, Fernando Navarro,
Manoel Izidro, Marcelo Furtado, Prepredigna Silva, Marcio Marangon, Geraldo
Luciano.
Agradeço ao Exército Brasileiro por ter me selecionado e liberado em tempo integral
para o curso de mestrado na COPPE, e ao Instituto Militar de Engenharia pela
confiança em mim depositada. Espero poder retribuir a confiança à altura. Também,
aos professores do IME: gen Real, cel Álvaro, cel Dias, maj Marcelo, maj Leão, cap
José Renato, cap Pires, entre outros, pelas palavras de incentivo.
À equipe de pavimentos da COPPE: Ana Souza, Álvaro Dellê, Ricardo Gil, e, emespecial, ao Bororó por ter me ensinado a montar, desmontar e operar o equipamento
triaxial de cargas repetidas.
Tive o privilégio de receber cópias de papers ou até mesmo de teses inteiras de
pesquisadores estrangeiros, através da internet e sem nenhum ônus, portanto tenho o
dever de agradecer-lhes. São eles: Niclas Odermatt, Erick Lekarp, Sabine Werkmeister,
I. F. Collins.
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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ESTUDO DE DEFORMAÇÃO PERMANENTE EM SOLOS E A TEORIA DO
SHAKEDOWN APLICADA A PAVIMENTOS FLEXÍVEIS.
Antonio Carlos Rodrigues Guimarães
Dezembro/ 2001
Orientadora: Laura Maria Goretti da Motta
Programa: Engenharia Civil
O presente trabalho tem como objetivo analisar a resposta plástica e elástica de
dois solos lateríticos, uma argila amarela do Rio de Janeiro e uma laterita de Brasília,
quando submetidos ao ensaio triaxial de cargas repetidas para um número de aplicações
de carga superior a 100.000 ciclos. Foram realizados no total vinte e quatro ensaios,
com vários níveis de tensão, e com umidade de compactação próxima a umidade ótima.
Pesquisa-se a ocorrência do shakedown, ou acomodamento das deformações plásticas,
verifica-se a variação da deformação permanente específica com diversos fatores, tais
como o número de aplicações de carga, a umidade do corpo-de-prova e o estado de
tensão, analisa-se a variação da deformação elástica, e do módulo resiliente, com o
número de aplicações de carga. Busca-se enquadramento da deformação permanente
nos modelos de Monismith et al (1975) e Uzan (1982), bem como a validade do
modelo de Tseng e Lytton (1989), propondo-se, através de regressão linear, uma
relação entre os parâmetros dos modelos e o estado de tensão. Em caráter secundário
pesquisa-se a variação do módulo resiliente após o término do ensaio de deformação
permanente, com duas freqüências (1 e 2 Hz).
v
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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Sciences (M.Sc.)
A STUDY ABOUT PERMANENT DEFORMATION ON SOILS AND THE
SHAKEDOWN THEORY APLIED TO FLEXIBLE PAVEMENTS.
Antonio Carlos Rodrigues Guimarães
Dezembro / 2001
Advisor: Laura Maria Goretti da Motta.
Department: Civil Engineering.
A study of plastic and elastic response of two lateritic soils – a yellow clay of
Rio de Janeiro and a laterite gravel from Brasília – submitted to repeated load triaxial
tests at several levels of stresses and number of cicles greates than 100,000. Twenty for
tests were made at different stress levels and compaction water contents near the
optimum value. The occurrence of plastic shakedown was investigated. The evolution
of permanent deformations with different factors – number of load applications,
moisture content, and state of applied stresses was observed. Observed the variation of
elastic deformation of elastic deformation and resilient modulus with the number of
load applications. Test results were introduced in models by Monismith et al (1975),
Uzan (1981), and Tseng e Lytton (1989). Regression analyses were made to obtain a
correlationship of model’s parameters with states of stresses. As a parallel study,resilient moduli were determined at 1 Hz and 2 Hz frequencies, after the permanent
deformation studies.
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ÍNDICE
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO............................................................................... 01
CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................... 04
2.1-Modelos de deformação permanente em solos ......................... 04
2.1.1 – Introdução ............................................................... 04
2.1.2 – Avaliação da deformação permanente .................... 05
2.1.3 – Modelos usuais de deformação permanente
em solos............................................................................... 07
2.1.4 – Outros modelos de deformação permanente
em solos............................................................................... 11
2.1.5 – A experiência brasileira........................................... 18
2.1.6 – Deformação permanente admissível ....................... 24
2.2-A teoria do Shakedown ............................................................. 26
2.2.1 – Considerações sobre o carregamento cíclico
de solos................................................................................ 26
2.2.2 – Principais fatores associados .................................. 27
2.2.3 – Resposta do solo submetido a
carregamento cíclico ........................................................... 32
2.2.4 – A teoria do shakedown ............................................ 34
2.2.4.1 – Introdução ............................................................ 34
2.2.4.2 – O shakedown ....................................................... 35
2.2.4.3 – Teoremas fundamentais ...................................... 36
2.2.4.4 – Tensões residuais ................................................ 39
2.2.5 – Aplicação da teoria do shakedown a
pavimentos flexíveis ........................................................... 39
vii
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2.2.5.1 – Introdução ............................................................ 39
2.2.5.2 – A pista experimental da AASHO......................... 39
2.2.5.3 – Análise de deformação plana em semi
espaços ................................................................................ 40
2.2.5.4 – Estudo de Johnson (1962) .................................... 41
2.2.5.5 – O método das Cônicas.......................................... 42
2.2.5.6 – Solução numérica para sistema
multicamadas..................................... ............. ............45
2.2.6 – Pesquisa do shakedown do
material................................................................................ 50
CAPÍTULO 3 APRESENTAÇÃO DOS SOLOS UTILIZADOS.......................... 55
3.1-Argila amarela .......................................................................... 55
3.2-Laterita Brasília ........................................................................ 57
CAPÍTULO 4 - RESPOSTA DOS SOLOS SUBMETIDOS A
CARREGAMENTO CÍCLICO ....................................................... 60
4.1- Argila amarela............................................................................. 60
4.1.1- Considerações gerais................................................................ 60
4.1.2- Influência da variação da freqüência de carregamento ............ 62
4.1.3 – Pesquisa do shakedown.......................................................... 64
4.1.4 – Critério prático de acomodamento ......................................... 72
4.1.5 – Deformação elástica ............................................................... 74
4.1.6 – Variação do módulo resiliente com “N”. ............................... 784.1.7 – Ensaios de módulo resiliente.................................................. 83
4.2 -Laterita Brasília........................................................................... 88
4.2.1- Considerações gerais................................................................ 88
4.2.2 – Pesquisa do shakedown.......................................................... 89
4.2.3 – Deformação elástica ............................................................... 98
4.2.4 – Ensaios de módulo resiliente................................................ 105
viii
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CAPÍTULO 5 – AVALIAÇÃO DA DEFORMAÇÃO PERMANENTE .............. 116
5.1-Argila amarela............................................................................ 117
5.1.1 – Deformação permanente específica ............................ 117
5.1.2 – Curvas σ e σ ............................................... 125 pd xε p xε1
5.1.3 – Enquadramento no modelo de Monismith et al .......... 130
5.1.4 – Enquadramento no modelo de Uzan ........................... 1425.1.5 – Validade do modelo de Tseng e Lytton ...................... 146
5.2-Laterita Brasília.......................................................................... 153
5.2.1 – Deformação permanente específica ............................ 153
5.2.2 – Enquadramento no modelo de Monismith et al .......... 156
5.2.2 – Enquadramento no modelo de Uzan ........................... 162
CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE PESQUISAS
FUTURAS ..................................................................................... 166
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................... 169
ANEXOS ...................................................................................................... 174
ANEXO – I PLANILHAS DE ENSAIOS DE DEFORMAÇÃO
PERMANENTE.
ANEXO – II PLANILHAS DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA.
ANEXO – III PLANILHAS DOS MODELOS DE DEFORMAÇÃOPERMANENTE
ANEXO – IV PLANILHAS DE ENSAIOS DE MÓDULORESILIENTE.
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Capítulo 1: Introdução
A deformação permanente em solos está diretamente associada ao defeito estrutural do
pavimento conhecido como afundamento de trilha de roda. Algumas pesquisas decampo no Brasil, como a pesquisa PICR da década de 1970, constataram valores de
afundamento de trilha de roda dentro da faixa admissível, mesmo para pavimentos com
muitos anos de operação, constatando que o principal defeito estrutural dos pavimentos
do Brasil era o trincamento por fadiga do revestimento asfáltico.
Desta maneira, um estudo sobre deformação permanente tornar-se-ia secundário frente
aos estudos de fadiga do revestimento asfáltico do pavimento. Entretanto, pelo menos
dois importantes aspectos justificam esta linha de pesquisa.
Primeiro, do ponto de vista prático, é o desenvolvimento de um modelo de predição da
deformação permanente em solos que se adapte aos pavimentos brasileiros, e que seja,
posteriormente, incorporado ao método mecanístico de dimensionamento de
pavimentos, evitando a simples cópia de modelos importados que, freqüentemente,
induzem ao superdimensionamento.
Logicamente, um modelo para a predição de deformação permanente em solos não se
desenvolve apenas com uma tese de mestrado, entretanto aspectos fundamentais, tais
como a avaliação de modelos existentes, podem ser abordados de forma a redirecionar
as pesquisas futuras.
É necessário dizer que quase a totalidade dos pavimentos avaliados na pesquisa PICR
foi dimensionada pelo método do CBR e este método tende a superdimensionar o
pavimento exatamente no que se refere ao afundamento de trilha de roda, pois a
essência do método é a construção de camadas sobre o subleito de forma a protegê-lo
da ação da carga do tráfego, sendo que as propriedades mecânicas do subleito são
avaliadas por sua resistência à penetração (ensaio de CBR), que não simula a condição
real na qual o solo é solicitado no campo. Além disso, a imersão do corpo-de-prova em
água durante quatro dias não é compatível com as condições climáticas ambientais
tropicais.
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Segundo, do ponto de vista conceitual, é a melhor compreensão da relação
tensão/deformação em solos tropicais constituintes de pavimentos, incluindo a
possibilidade de ocorrência do chamado “shakedown”, ou acomodamento da
deformação plástica, associado ao surgimento de tensões residuais.
A teoria do shakedown teve origem na Alemanha sendo desenvolvida inicialmente
dentro da mecânica dos metais de forma a explicar o desempenho funcional de certas
peças submetidas a ação de cargas repetidas. Dentro da engenharia geotécnica foi
utilizada inicialmente no estudo de estruturas off-shore uma vez que o solo de fundação
destas estruturas está submetido à ação de cargas repetidas geradas pela ação ritmada
das ondas. Neste campo destacam-se os trabalhos desenvolvidos por Pande, citados por
FARIA (1999).
Sua aplicação a pavimentos deve-se ao trabalho pioneiro desenvolvidos por SHARP e
BOOKER (1984). Trata-se de uma tese de doutorado da universidade de Sidney na
Austrália, defendida por Richard Sharp e orientada por J. Booker. Entretanto este
assunto só ganhou maior projeção no cenário internacional a partir de uma seqüência de
trabalhos coordenados por Lutfi Raad e publicados no TRB. Em ambos os casos trata-
se de uma pesquisa do chamado shakedown estrutural do pavimento, que utiliza uma
abordagem numérica do pavimento a partir do cálculo das tensões e deformações,
diferente, por exemplo, da pesquisa coordenada por WERKMEISTER et al (2001),
referência desta tese, na qual se utilizam ensaios triaxiais de cargas repetidas para
verificar a ocorrência do shakedowm do material.
Este estudo foi idealizado pelo prof. Jacques de Medina e implementado como linha de
pesquisa pela profª Laura Motta.
O objetivo principal da tese é a análise da resposta de dois tipos de solos, uma argila
amarela do Rio de Janeiro e uma laterita de Brasília, quando submetidos a
carregamentos de cargas repetidas de longa duração.
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A tese é fundamentalmente experimental na medida que se baseia na análise de vinte e
quatro ensaios de deformação permanente e vinte e seis ensaios de módulo resiliente,
mas possui uma fração teórica significativa na medida que contribui para a divulgação
da teoria do shakedown aplicada a pavimentos flexíveis. A tese é dividida nos seguintes
capítulos:
No capítulo 2 faz-se uma revisão bibliográfica abrangendo os modelos de deformação
permanente em solos, item 2.1, e a teoria do shakedown, item 2.2.
No capítulo 3 são apresentadas características dos solos utilizados neste estudo.
No capítulo 4 é feita uma pesquisa de ocorrência do shakedown nos ensaios realizados,
juntamente com o estudo da deformação elástica e uma análise do módulo resiliente
convencional obtido após o ensaio de cargas repetidas, tanto para os corpos-de-prova
da Argila Amarela, quanto da Laterita Brasília.
No capítulo 5 é feita uma análise dos fatores que influenciaram a deformação
permanente específica, bem como o enquadramento nos modelos de deformação
permanente de Monismith et al (1975), Uzan (1981), e a validação do modelo de Tseng
e Lytton (1989).
No capítulo 6 são apresentadas as conclusões e sugestões para futuras pesquisas.
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CAPÍTULO 2: REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
CAPÍTULO 2.1: MODELOS DE DEFORMAÇÃO PERMANENTE EM SOLOS
2.1 Modelos Existentes de Deformação Permanente em Solos
2.1.1 Introdução
O afundamento de trilha de roda é um defeito do pavimento associado ao acúmulo de
deformação vertical permanente desenvolvido em cada camada do pavimento.
(MOTTA 1991, HUANG, 1993). Talvez por ser o principal defeito do pavimento em
países de clima temperado, geralmente os mais desenvolvidos, o mecanismo de
deformação permanente tem sido bastante estudado, com diversas publicações sobre o
assunto. E, por outro lado, por ser pouco observado no Brasil, (QUEIRÓZ 1984), há
relativamente poucas publicações brasileiras sobre o assunto.
Importante salientar que o afundamento de trilha de roda observado em corredores de
ônibus nas grandes cidades está muito mais relacionado ao uso de uma mistura asfáltica
inadequada, do que ao acúmulo de deformações permanentes nas camadas de solos.
Nestes casos há uma nítida tendência da massa asfáltica deslocar-se horizontalmente,ou “correr” para os lados como se diz na linguagem coloquial. Não constitui objeto do
presente trabalho o estudo do mecanismo de deformação permanente em misturas
asfálticas.
Barksdale (1972), citado por MOTTA (1991) propôs a seguinte expressão para cálculo
da deformação total de uma estrutura, ou afundamento da trilha de roda:
= (2.1) ptotal δ ∑=
n
ii
i p h
1
ε
ptotal δ - profundidade total do afundamento
i pε - deformação específica plástica média da i-ésima camada
hi – espessura da i-ésima camada
n – número total de camadas
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Conhecendo-se as relações entre a deformação permanente e as tensões atuantes para
cada material, relação obtida em laboratório, e as tensões atuantes em cada uma das
camadas utilizando-se um programa de sistemas em camadas, pode-se obter as
deformações permanentes em cada camada e, posteriormente, a deformação total.
O presente capítulo aborda alguns dos principais estudos sobre deformação permanente
em solos, incluindo a experiência brasileira.
2.1.2 Avaliação da Deformação Permanente
MEDINA (1997) cita resultados da pista experimental da AASHO (1958-1960), nos
EUA, na qual foi possível determinar-se a porcentagem de contribuição de cada
camada do pavimento para o afundamento da trilha de roda.
- Revestimento 32%
- Base de Brita Graduada 4%
- Subbase Granular 45%
- Subleito Argiloso 19%
A figura 2.1 mostra o equipamento utilizado para medir o afundamento da trilha de
roda na AASHO Road Test (1958-1960).
Figura 2.1: Treliça Utilizada para Medir Afundamento de Trilha de Roda na AASHO Road
Test. Extraído de Medina (1997).
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A pista experimental da AASHO sofreu grande influência de fatores climáticos-
ambientais, principalmente o chamado degelo da primavera, período no qual as
camadas do pavimento tendem à saturação. Além disso, o material constituinte do
subleito possuía argilo-minerais expansivos. Estes dois fatores, obviamente,
contribuíram, e muito, para o afundamento de trilha de roda.
Os resultados observados na pista experimental serviram para o aperfeiçoamento de
métodos de dimensionamento de pavimentos tanto nos EUA quanto em grande parte do
mundo, inclusive o Brasil.
No Brasil, QUEIRÓZ (1984) utilizou dados da Pesquisa de Inter-Relacionamento de
Custos Rodoviários, elaborada pelo GEIPOT, para analisar, entre outros fatores
relacionados ao desempenho, a deformação permanente em pavimento brasileiros.
Observa-se, através da tabela 2.1, que a deformação permanente medida em 45 trechos
atingiu valor máximo de 7,4 mm e média de 2,53 mm, muito abaixo do valor máximo
admissível em geral, como, por exemplo, o de 1,27 cm adotado pela FAA.
Tabela 2.1. Dados estruturais de Pavimentos Brasileiros. QUEIRÓZ (1984).
Variável Média Desvio Padrão Mínimo Máximo
Número de Trechos 45 - - -
Idade (anos) 7,71 4,80 1,5 20,5
Deflexão, viga Benkelman (mm) 0,78 0,43 0,17 2,13
Número Estrutural Corrigido 5,00 0,88 3,40 7,50
Logn (nº de eixos cumulativos equival.) 5,56 0,74 3,20 7,23
Profundidade de Trilha de Roda (mm) 2,53 0,90 0,40 7,40
Ainda sobre a influência do tipo de solo do subleito, UZAN (1998) discorre sobre
características de solos argilosos típicos de subleitos das vias de Israel.Observa-se um
aumento de umidade até o terceiro ou quinto ano de implantação da via, com umidade
de equilíbrio entre 1,2.LP e 1,3LP, onde LP é o limite de plasticidade. Ainda, todos os
materiais argilosos constituintes do subleito da pesquisa de UZAN continham
montmorilonita, argilo-mineral altamente expansivo.
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2.1.3 Modelos Usuais de Deformação Permanente em Solos
Modelo de Monismith et al
O modelo mais comum e amplamente empregado é o proposto por MONISMITH et al.
(1975).
pε = ANB (2.2)
Onde:
ε p - deformação específica plásticaA e B - parâmetros experimentais
N - número de repetições de carga
A deformação permanente é obtida através de ensaios triaxiais de cargas
repetidas.Trata-se de um modelo simplificado que representa bem o comportamento à
deformação permanente tanto de solos argilosos como de solos granulares, entretanto
alguns aspectos devem ser observados.
- Geralmente obtém-se os parâmetros do modelo para até 100.000 ciclos de
carregamento. Assim, a predição da deformação permanente para valores superiores
tende a ser superestimada;
- Há diversos fatores influenciando os parâmetros do modelo, tais como energia e
umidade de compactação, freqüência de carregamento, estado de tensão, tipo de solo,
dimensões do corpo-de-prova.
Assim, para uma correta aplicação do modelo é necessária uma conveniente seqüência
de ensaios de laboratório. Importante ressaltar que boa parte da experiência brasileira
no estudo da deformação permanente em solos está associada a este modelo.
A tabela 2.2 apresenta valores típicos dos coeficientes A e B para uma argila siltosa ,
ensaiadas em várias umidades e pesos específicos aparentes secos, obtidos por
Monismith et al e citados por SVENSON (1980).
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Tabela 2.2: Valores típicos dos parâmetros A e B. MONISMITH et al (1975), citado porSVENSON (1980)
Amostra H (%) γs(g/cm3 ) σ d (kgf/cm
2 ) A B
1 16,7 1,792 0,35 0,168 0,184
2 16,8 1,792 0,70 0,306 0,185
3 16,5 1,792 1,40 1,28 0,156
4 19,8 1,712 0,21 0,378 0,212
5 19,3 1,712 0,35 1,22 0,1456 19,7 1,712 0,70 4,57 0,193
7 19,3 1,712 1,40 39,5 0,185
8 16,4 1,712 0,35 0,0467 0,332
9 16,5 1,712 0,70 0,746 0,163
10 16,1 1,712 1,40 1,73 0,154
Modelo de Uzan
Uzan (1982), citado por CARDOSO (87), desenvolve modelo a partir da diferenciação
da equação proposta por Monismith et al (1975).
ε p = A.NB (2.2)
diferenciando a equação 2.2, tem-se:
dN
d pε = A.B.NB-1 (2.3)
mas,
dN
d pε = lim 1−→ N N )1()1.(.
−−−−
N N
N A N A B B = A.(NB – NB-1) = ε p (N)
onde:
ε p (N) – deformação plástica para a n-ésima camada
µ = A.B/ εr e α = 1 - B
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admitindo-se εr (N) = εr , e dividindo-se a equação nº 2.3 por εr , tem-se:
r
p N
ε
ε )(= (2.4)αµ − N .
Os parâmetros µ e α podem ser extraídos de diversas autores conforme mostra a tabela
2.3.
Tabela 2.3: Variação dos parâmetros µ e α de acordo com as diversas referências.
Citado por CARDOSO (1987)
Camada Parâmetros LOTFI
(1977)
LYTTON
et al
(1975)
RAUHUT
et al (1975)
UZAN
(1985)
VERSTRATEN
et al (1977)
α - 0,656 0,45-0,90 - 0,70-0,90Revestimento
µ - 0,146 0,10-0,50 - -
α - - 0,90-1,00 - -Base/Subbase
µ - - 0,10-0,30 - -α 0,88-
0,91
- 0,70-0,90 0,800 -Subleito
µ 0,26-
1,20
- 0,00-0,10 0,045 -
Sejam as equações 2.5 e 2.6 dadas por:
r
p N
ε
ε )(= (2.5)αµ − N .
ε p (N) = εt (N) – εr (N) (2.6)
Combinando-se as equações, tem-se:
ε p (N) = εt (N) – εr (N) = εr .µ.N-α (2.7)
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Durante o carregamento e descarregamento o módulo elástico Ec (carregamento) e ED
(descarregamento) são distintos, e a relação tensão-deformação é considerada linear.
Da teoria da elasticidade, tem-se:
(εt)z =c E
1 .[ σz – ν.( σr + σt)] =c
z
E σ (2.8)
(εr )z = D E
1 .[ σz – ν.( σr + σt)] =
D
z
E
σ (2.9)
Onde:
(εt)z – deformação total vertical;
(εr )z – deformação resiliente vertical;
σz , σr , σt – tensões atuantes;
ν – coeficiente de Poisson.
Substituindo-se 2.1.8 e 2.1.9 na equação 2.1.7, tem-se:
σz.( Dc E E
11− ) = αµ
σ − N E D
z .. (2.10)
Modelo de Tseng e Lytton
Tseng e Lytton (1989), citados por CINQUE (2000), utilizam um modelo mecanístico-
empírico apresentado a seguir:
δa(N) =r ε
ε 0 .e
βρ
−
N .εv . h (2.11)
onde:
δa (N) - deformação permanente da camada
N – número de repetições de carga
ε0, ρ, β – propriedades dos materiais
εr – deformação específica resiliente
εv – deformação específica vertical média resiliente
h – espessura da camada
10
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Os parâmetros ρ e β e a relação ε0/εr são os parâmetros dos materiais derivados a partir
de ensaios de deformação permanente. A estimativa desses parâmetros é realizada
através dos modelos apresentados nas equações 2.12 e 2.13.
Para materiais constituintes do subleito: equações 2.12, 2.13 e 2.14
Log (r ε
ε 0 )=-1,69867+0,09121.Wc – 0,11921.σd + 0,91219.log(Er ) (2.12)
R 2 = 0,81
Log(β)=-0,9730–0,0000278.W . σ2c d + 0,017165. σd – 0,0000338.W .σ2c θ (2.13)
R
2
= 0,74
Log(ρ)=11,009+0,000681. W . σ2c d - 0,40260. σd + 0,0000545. W .σ2c θ (2.14)
R 2 = 0,86
Para materiais constituintes das camadas de base e de subbase tem-se as equações 2.15,
2.16 e 2.17.
Log (r ε
ε 0 )=0,80978–0,06626.Wc – 0,003077.σθ + 0,000003.Er (2.15)
R 2 = 0,60
Log(β)=-0,9190+0,03105.Wc+ 0,001806. σθ – 0,0000015.Er (2.16)
R 2 = 0,74
Log(ρ) = -1,78667 + 1,45062. Wc + 0,0003784.σ2θ - 0,002074. W .σ
2c θ – 0,0000105. Er
R 2=0,66 (2.17)
Onde:
Wc – umidade do material %
σθ – tensão octaédrica, em Psi
σd – tensão desvio em Psi
Er – módulo resiliente da camada em Psi
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2.1.4 Outros Modelos de Deformação Permanente em Solos
Modelos Para Solos Granulares
A deformação permanente em solos granulares tem sido objeto de diversas pesquisas
em pavimentos de países de clima temperado. Tanto por este ser o principal defeito
apresentado pelo pavimento naquelas regiões do planeta, quanto pelo freqüente uso de
materiais granulares, principalmente britas graduadas, nos pavimentos. De interesse
para o Brasil além da similaridade das nossas bases constituídas de britas, é a
possibilidade de comparação com o comportamento apresentado pelos solos lateríticos
concrecionados, ou lateritas.
Alguns estudos de deformação permanente em solos podem ser encontrados em
MOTTA(1991). São eles: Brown(1974), Barksdale(1984), Paute(1983), Lentz e
Baladi(1980), Khedr(1985), Pappin(1979), Shaw(1980), Bouassida(1988), Travers et al
(1988), Paute et al (1988).
BAYOMY e AL-SANAD (1993) estudaram a deformação permanente em solos
constituintes do subleito de algumas rodovias do Kuwait. Todas as amostras são
constituídas de solos granulares arenosos, com porcentagem passando na peneira nº 200
variando de 1% a 7,5%.A freqüência de aplicação do carregamento no ensaio triaxial
cíclico foi de 2 Hz com período de carregamento de 1/8 s, com quatro níveis distintos
de tensão, variando de 10% a 40% da intensidade da resistência à compressão axial.
Para cada solo foram preparadas amostras com três níveis de umidade de compactação:umidade ótima 2%.O modelo adotado para estudo da deformação permanente foi o
proposto por MONISMITH et al.(1975), já citado anteriormente.
±
Concluíram os autores que o parâmetro “A” depende das condições do ensaio e do tipo
de material, e o parâmetro “b” independe das condições de ensaio, sendo um parâmetro
característico de cada solo.
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As curvas de deformação permanente mostraram ser sensíveis tanto à umidade de
compactação quanto ao nível de tensões aplicado. No gráfico 2.1 foram plotadas curvas
para dois níveis distintos de tensões e três diferentes umidades, ambos para a amostra
S8 do estudo de Bayomy e Al-Sanad.
Observa-se que a deformação permanente aumentou com a umidade de
compactação e apresentou maior diferença de valores, em relação à amostra
compactada na umidade ótima, quando se aumentou o nível de tensão.
0.0001
0.001
0.01
0.1
1 10 100 1,000 10,000 100,000
Número de Repetições de Ciclos (N)
D e f o r m a ç ã o P e r m a n e n t e A c u m u l a d a ( ε p
nível 2 hot nível 2 hot +2% nível 2 hot - 2%
nível 3 hot nível 3 hot +2% nível 3 hot - 2%
Gráfico 2.1. Deformação Permanente Para Várias Umidades e Distintos Níveis de Tensão
em Solo Arenoso. Adaptado de Bayomy e Al-Sanad (1993).
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Modelos Para Solos Argilosos
MAJIDZADEH et al. (1976) desenvolveram relações entre os parâmetros A e m, do
modelo apresentado por GUIRGUIS (1974), e o módulo dinâmico, E* , do solo.
ε p/N = A(D,w).N-m (2.18)
onde:
ε p - deformação permanente
A(D,w) - interseção da linha reta (ε p/N x N) com o eixo ε p/N
m - valor absoluto do coeficiente angular da mesma reta
N - número de ciclos
O estudo foi desenvolvido com solos siltosos e solos argilosos, ambos com fração
granular, oriundos do estado de Ohio/EUA. Concluem que o parâmetro m varia
normalmente entre 0,82 e 0,95, podendo, em casos excepcionais, ser menor que 0,57. Para
solos com módulo dinâmico maior que 40 MPa, pode ser considerado constante. O
parâmetro A é função da umidade, densidade, tensão desvio e estrutura do solo.
MAJEDZADEH, BAYOMY e KHEDR (1978) desenvolveram estudos experimentais
sobre a deformação permanente em solos do subleito de algumas rodovias em Ohio. Os
solos analisados eram siltosos, com índice de plasticidade variando de 5,4 % a 16,1%.
Buscou-se um enquadramento no modelo da equação 2.19, assim como uma associação
entre o parâmetro “A” desta equação e o módulo dinâmico * E , apresentada na equação
2.20.
ε p/N = A.Nm (2.19)
onde:
ε p - deformação permanente
N - número de repetições de tensão
A, m - parâmetros de afundamento
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A = K. * E s (2.20)
* E - módulo dinâmico resiliente
K, s – parâmetros que dependem da tensão dinâmica aplicada
O módulo dinâmico mostrou ser um parâmetro apropriado do solo, segundo os autores,
refletindo os efeitos da umidade, densidade seca e estrutura do solo, todos associados à
deformação permanente. Apresentou-se constante para todas as tensões aplicadas
superiores a 55 KPa.
O parâmetro “m” mostrou-se constante para cada tipo de solo e com valores entre 0,85 e
0,90, não existindo variação significativa estatística antes e após saturação.
O parâmetro “A” foi estabelecido em função do * E , de acordo com a equação 2.21, que
mostra a variação do parâmetro “A” com o tipo e estrutura do solo e o nível de tensão.
A = R. * E -c.exp(σapl/ σapl) (2.21)
Onde:
σapl - tensão aplicadaσapl - resistência à compressão, não confinada
R, C - constantes do material
O efeito da saturação resultou num acréscimo do valor de A com decréscimo de * E , para
uma mesma tensão aplicada.
RAAD E ZEID (1989) apresentam uma modelagem para a deformação permanente emsolos de subleito, na qual a deformação axial é associada às tensões aplicadas e ao número
de repetições de carga. O modelo é baseado em resultados de ensaios para uma argila
siltosa.
Desenvolvem ensaios triaxiais estáticos, cíclicos lentos e de cargas repetidas, para
constatar que a deformação de ruptura, para uma dada condição de compactação e tensão
confinante, é independente da história de tensões.
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O ensaio de cargas repetidas foi realizado com uma pressão confinante de 14,5 lb/pol2
(psi), com freqüência de 40 ciclos por minuto (cpm) e pulsos de duração de 0,2 s.
Define-se nível de tensão (qr ) como a relação entre a tensão desvio e a resistência obtida
num ensaio triaxial convencional, ou estático, com taxa de deformação constante de 0,5
%/min.
Os resultados indicaram a existência de um nível de tensão crítico (“threshold stress
level”) abaixo do qual a deformação acumulada tende a se estabilizar, e acima da qual
ocorrem deformações progressivas e até mesmo a ruptura. A figura 2.2 ilustra a variação
do nível de tensões qr com o número de ciclos.
Foi verificado que para uma dada tensão confinante, densidade seca e condição de
compactação (energia, umidade), a deformação de ruptura é relativamente independente
da história de carregamento, podendo ser determinada em ensaios triaxiais convencionais
(estáticos).
O modelo proposto varia de acordo com o nível de tensões qr . Para qr superior ao crítico
tem-se a equação 2.22.
qr =)log(. N sa l l
a
+ε
(2.22)
al , bl - parâmetros do solo, obtidos de acordo com a figura 2.2.
Para um nível de tensão qr superior ao crítico, tem-se a equação 2.23
qr =ahh
a
ba ε
ε
.+ (2.23)
bh = Bh + Sh.log(N) (2.24)
bh, Bh, Sh – parâmetros do material
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Figura 2.2. Determinação dos parâmetros a l e Sl do modelo proposto por Raad e Zeid
(1989).
T a x a d e D e f o r m a ç ã o A x i a l ( % ) p o r
N ú m e r o d e
A p l i c a ç ã o d e C a r g a .
Figura 2.3. Variação da Deformação Axial e Taxa de Deformação Axial com o Número de
Aplicação de Cargas. (σ3 = 14.5 psi, δd = 129.5 lb/ft3, m = 7%). Raad e Zeid (1989).
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2.1.5 A Experiência Brasileira
No Brasil ocorreu um início simultâneo de estudos sobre deformação permanente através
de avaliação de campo e de laboratório. A tese de mestrado de SVENSON (1980),
orientada pelo professor Jacques de Medina na COPPE/UFRJ, constitui o primeiro
trabalho sobre deformação permanente em laboratório com solos típicos do Brasil.
Paralelamente, QUEIRÓZ (1981) utilizava dados de campo, obtidos da pesquisa PICR, já
comentada, para desenvolvimento de sua tese de doutorado.
Posteriormente, novas pesquisas foram realizadas, podendo-se citar: CARDOSO (1987),
MOTTA (1991), CARVALHO (1995), SANTOS (1998).
SVENSON (1980) ensaiou quatro argilas de subleitos de rodovias federais obtendo os
parâmetros A e B para o modelo proposto por MONISMITH et al (1975), conforme
mostrado na tabela 2.4. Foram usados diversos níveis de tensão σd e σ3 = 0,21 kgf/cm2. Os
valores obtidos foram concordantes com os valores encontrados por Monismith et al.
Tabela 2.4: Valores dos parâmetros A e B obtidos por SVENSON (1980).
Amostra h(%) γs (g/cm
3
) Energia σd (kgf/cm
2
) Ax10
-4
B17,0 1,781 0,76 93,0 0,058Argila vermelha RJ
18,9 1,717
Normal
0,76 29,9 0,072
21,1 1,688 0,75 11,5 0,086Argila amarela RJ
23,3 1,614
Intermediária
0,75 49,3 0,121
16,2 1,776 1,42 12,9 0,028
17,4 1,757 1,42 29,8 0,039
Argila vermelha MG
18,6 1,737
Normal
1,42 80,3 0,044Argila vermelha PR 18,7 1,729 Intermediária 0,70 59,9 0,066
Constata ainda Svenson que a variação do intervalo entre aplicações de carga (0,86 a
2,86), para umidades próximas à ótima, pouca influência tem nos valores dos coeficientes
A e B.
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CARDOSO (1987) ensaiou dois solos lateríticos da região de Brasília/DF. O solo nº 1 foi
classificado de argila com alta plasticidade e o solo nº 2 de argila com baixa plasticidade,
ambas do tipo A-7-6, pela classificação da AASHTO. O solo 1 apresentou cerca de 30%
de sua massa com partículas de diâmetros superiores a 0,42 mm (nº 40), portanto será
considerado como solo fino com significativa fração granular.
A maioria das amostras foi compactada na energia modificada, sendo algumas poucas na
energia normal, a umidade variou entre a mais seca e mais úmida condição.
Aplicou-se uma pressão confinante de 3, 5, 8.3, 10, e 15 lb/pol2 (psi) e tensão desvio de 5,
9, 15 e 25 lb/pol2 (psi) . Os ensaios foram conduzidos na condição drenada.
Cardoso enquadrou os resultados obtidos no modelo a seguir, desenvolvido a partir do
modelo de UZAN (1982):
r
p N
ε
ε )(= (2.4)αµ − N .
Verificou que os parâmetros α e µ são pouco influenciados pelo número de aplicações de
carga. O parâmetro µ é bastante sensível as tensões desvio e as pressões confinante e ainda
a umidade de moldagem acima da umidade ótima. Já o parâmetro α varia mais com um
tipo de material, e tem pouca influência das tensões desvio e confinante. Para os solos
estudados os parâmetros α variaram de 0,748 a 0,955 para as várias condições de ensaio
enquanto µ variou bastante para cada um deles.
De uma maneira geral o efeito dos principais fatores na deformação permanente é
mostrado a seguir.
Efeito da Tensão Confinante: Foi observada uma aparente contradição entre os resultados
obtidos para as amostras de solos granulares lateríticos. Enquanto que a deformação
permanente aumentava com o acréscimo da tensão confinante para uma tensão desvio de
25 Psi (1,75 Kgf/cm2), no caso de tensão desvio de 15 Psi (1,05 kgf/cm2) a deformação
permanente decresceu com o aumento da tensão confinante. As figuras 2.4 e 2.5 ilustram
esta situação.
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Figura 2.4: Efeito da pressão confinante e número de repetições na deformaçãopermanente – solo 1 [25 lb/pol2 (psi) ]. CARDOSO (1987).
Figura 2.5: Efeito da pressão confinante e número de repetições na deformação
permanente – solo 1 [15 lb/pol2 (psi) ]. CARDOSO (1987).
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Efeito da Tensão Desvio: A tensão desvio tem uma significativa influência na
deformação permanente, tanto para o solo granular quanto para o solo fino, conforme
era de se esperar.
O nível de deformação plástica cresceu 263,2 % para o solo granular e 150,2% para o
solo fino, quando a tensão desvio variou de 15 lb/pol2 (psi) para 50 lb/pol2 (psi), numa
condição de umidade ótima e 8,3 Psi de pressão confinante.
Efeito da Umidade: Para o solo granular a amostra mais seca apresentou maiores níveis
de deformação permanente do que as amostras moldadas próximas à umidade ótima.
Para o solo fino, as amostras mais secas apresentaram menores níveis de deformação
permanente do que as outras.
Para ambos os solos a deformação permanente começou a crescer com o aumento da
umidade próximo ou ligeiramente acima da ótima.
De um nível de umidade de 1% abaixo da ótima para mais 2,2%, no caso do solo
granular, e para mais 2,5 %, no caso do solo fino, a deformação plástica cresceu sete
vezes para o solo granular e dezessete vezes para o solo fino.Isso demonstra que o solo
fino tem mais sensibilidade a umidade, em termo de deformação permanente, do que o
solo granular.
Influência da Relação (σ3/σd): Para ambos os solos analisados por Cardoso a
deformação plástica decresceu com o acréscimo de σ3/σd até um valor entre 0,5 e 0,6.
Além desse valor a deformação plástica tende a crescer. Foi observado que esse efeito é
mais significativo para solos finos do que granulares, em termo de deformação permanente.
SANTOS (1998) apresentou estudo sobre solos lateríticos concrecionados do Mato
Grosso, incluindo ensaios de deformação permanente, no equipamento triaxial de
cargas repetidas.
Foram ensaiados corpos-de-prova de 10 x 20 cm na energia do ensaio ProctorIntermediário para bases e sub-bases e Proctor Normal para subleito, todos na umidade
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ótima. Buscou-se um enquadramento dos resultados no modelo proposto por
MONISMITH et al. (1975). A tabela 2.5 ilustra alguns parâmetros obtidos.
Constata Santos que não houve variações significativas para os parâmetros A e B a
20.000 e 100.000 repetições.
Dentre os vários ensaios realizados são apresentados dois, relativos à base, e mostrados
no gráfico, juntamente com resultados obtidos por Motta (1991) para uma amostra da
laterita de Roraima (RR), todas com mesmo nível de tensões aplicado.
Observa-se uma razoável dispersão dos resultados, peculiaridade dos solos lateríticos
concrecionados, já demonstrada em relação ao comportamento resiliente, conforme
observado por VERTAMATTI (1987) entre outros.
No gráfico 2.2 são mostradas as curvas referentes à mesma estação, ou estaca, para a
base, sub-base e subleito. Observam-se maiores deformações permanentes para o solo
constituinte da base e um excelente comportamento do solo constituinte da sub-base.
Trata-se de um fato bastante interessante tendo em vista tratar-se de amostras de um
pavimento em operação.
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0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1,000 10,000 100,000
Número de Ciclos (N)
D e f o r m a ç ã o P e r m a n e n t e ( m m )
Laterita Mato Grosso (E-100) Laterita Mato Grosso (E-200) Laterita Roraima
Motta (1991)
Santos (1998)
Gráfico 2.2: Deformação Permanente para Solos Lateríticos Concrecionados.
MOTTA(1991) E SANTOS (1998).
Tabela 2.5. Parâmetros de Deformação Permanente. MOTTA (1991) e SANTOS (1998).
Solo A B r 2 AutorLaterita MT E-100 0,005 0,11 0,92 Santos (1998)
Laterita MT E-200 0,001 0,10 0,92 Santos (1998)
Laterita RR 0,002 0,08 0,93 Motta (1991)
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0.0001
0.001
0.01
0.1
1
1 10 100 1,000 10,000 100,000
Número de Ciclos (N)
D e f o r m a ç ã o P e r m a n e n t e ( m m
Base Subbase Subleito
Estaca E-300 Santos (1998)
Gráfico 2.3: Deformação Permanente Observada Na Estaca E-300. SANTOS (1998)
CARVALHO et al (1998) estudaram a deformação permanente de um solo LA’ de São
Paulo para o teor de umidade ótima, umidade relativa ao máximo CBR e 2% acima da
ótima, enfatizando que a deformação permanente nos primeiros 500 ciclos foram mais
significativas que as demais. Além disso, uma camada de 15 cm de base de pavimento
flexível com o material ensaiado desenvolveria uma deformação permanente de apenas
1,4 mm, portanto sem comprometimento do desempenho estrutural do pavimento.
2.2.6 Avaliação da Deformação Permanente Admissível
Diversas fórmulas e expressões têm sido geradas com a finalidade de se determinar a
deformação permanente admissível em um pavimento. Um dos mais comuns
procedimentos é controlar a tensão vertical atuante no topo do subleito, como proposto
por HEUKELOM E KLOMP (1962), citado por SANTOS (1998).
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σvmáx=)log(7,01
006,0
N
MR
+ (2.25)
σv máx - tensão vertical admissível no topo do subleito
MR - módulo resiliente médio
N - número de ciclos
Alguns autores têm proposto valores limites para deformação permanente admissível
através do limite da deformação elástica no subleito. SANTOS (1998) cita alguns
destes exemplos.
εz=21600.10-6 N-0,25 (NOTTINGHAN) (2.26)
εz=28000.10-6 N-0,25 ( SHELL, 1977) (2.27)
εz=11000.10-6 N-0,23 ( CRR) (2.28)
εz=21000.10-6 N-0,24 ( LCPC) (2.29)
YODER E WITCZAK (1975) apresentam um critério de tensão vertical máxima
admissível no subleito em função do CBR do material:
σadm=(0,553CBR 1,5). 0,07 (kgf/cm2) (2.30)
PINTO E PREUSSLER (1984) propõem um limite de tensão normal vertical no
subleito igual a 15% da tensão desvio de ruptura determinada em ensaio estático do tipo
UU no solo do subleito, para carregamento igual ao da carga padrão.
VERSTRAETEN (1989), citado por SANTOS (1998), indica uma deformação
permanente máxima de 16 mm como padrão na Bélgica.
Do trabalho de PIDWERBESKY e STEVEN (1997), citado por SANTOS (1998),extraem-se as seguintes expressões, com os respectivos autores:
εcvs = 0,028N-0,25 CLAESSEN et al (1997)
εcvs = 0,021N-0,23 DUNLOP et al (1983), rodovia de 1ª Classe
εcvs = 0,025N-0,23 DUNLOP et al (1983), rodovia de 2ª Classe
εcvs = 0,0085-0,14
Manual AUSTRALIA AUSTROADS (1992)
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Onde:
εcvs - Deformação específica vertical de compressão no topo do subleito
O INSTITUTO DO ASFALTO dos Estados Unidos, em seu método de
dimensionamento MS(1) utiliza a expressão:
N=1,36x10-9εc(-4,48) (2.31)
THEYSE (1997), citado por SANTOS (1998), apresenta uma modelagem para dados
de afundamento de trilha de roda na África do Sul , em trechos reais com a passagem
do equipamento HVS. Segundo THEYSE, WOLFF (1992) propôs a seguinte
modelagem para a deformação permanente total:
PD=(nM+a).(1– e-bn) (2.32)
PD - afundamento total a trilha de roda
N - número de repetições de carga
m, a , b - parâmetros experimentais
e - base neperiana
Trata-se de um modelo composto de uma parte linear e outra exponencial. A parte
exponencial modela o rápido decréscimo da deformação permanente e a parte linear
uma tendência a estabilização.
Com base nesse modelo e em medições de dezenas de trechos, Theyse sugere:
PD=e. Ns.( eB.σv –1) (2.33)
c, s , B - parâmetros experimentais
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CAPÍTULO 2.2: A TEORIA DO SHAKEDOWN
2.2.1. Considerações Sobre o Carregamento Cíclico de Solos
Na engenharia geotécnica o termo carregamento cíclico está relacionado a um sistemade carregamento que exibe um grau de regularidade tanto em magnitude quanto em sua
freqüência de aplicação.
O principal aspecto associado ao carregamento cíclico é a sua natureza não estática, e
não propriamente a ciclagem, sendo que a palavra ciclo pode ser mesmo inadequada,
porém é o termo comumente utilizado para descrever um carregamento repetitivo não-
estático ao qual um solo está submetido. De fato inexiste um termo apropriado
consagrado para esse comportamento, (O’REILLY e BROWN,1991).
As principais situações nas quais o carregamento cíclico é de fundamental importância
são ilustradas na figura 2.6.
Estruturas Offshore
Fundação de Máquinas
Carregamento Sísmico
Rodovias e FerroviasCravação de
Estacas
Figura 2.6: Tipos de Carregamentos Cíclicos em Obras Geotécnicas. Adaptado de
O’REILLY e BROWN (1991).
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Uma questão particular relativa ao carregamento cíclico em obras de pavimentação é a
verificação da deformação permanente após um determinado número de aplicações de
carga. Ou seja, verificar se a deformação permanente pode conduzir à ruptura ou se
tende à estabilização.
A estabilização da deformação permanente depois de determinado número de ciclos é
denominada shakedown e o seu estudo constitui o objeto principal do presente trabalho.
A teoria do shakedown foi desenvolvida inicialmente para o estudo de metais
submetidos a cargas deslizantes ou rolantes, sendo a primeira aplicação ao estudo de
pavimentos feita for SHARP e BOOKER (1984).
Trabalhos sobre deformação permanente elaborados com solos típicos do Brasil,
(CARVALHO et al 1995, SANTOS 1997, SVENSON 1980), apontam para baixos
valores de deformação permanente. Porém, grande parte deles foi conduzida a
relativamente poucos ciclos de carga (até 100.000) e a possibilidade de ocorrência do
shakedown não é mencionada.
Considerando-se que grande parte dos projetos de restauração de pavimentos brasileiros
não prevê significativas alterações em suas respectivas camadas de solos, então a
análise da resposta do solo para um número relativamente elevado de ciclos torna-se
justificada.
2.2.2. Principais Fatores Associados ao Carregamento Cíclico de Solos
Uma importante discussão sobre carregamento cíclico de solos pode ser observada em
O’REILLY e BROWN (1991), da qual foi extraído o texto que se segue.
É possível, porém, identificar linhas de desenvolvimento dentro do estudo do
carregamento cíclico de solos, que podem ser agrupadas em três classes:
- o efeito da reversão de tensões;
- a resposta-dependente da taxa de carregamento do solo;
- efeitos dinâmicos nos quais a análise estática torna-se inadequada.
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O Efeito da Reversão de Tensões
Reversão de tensões nesse contexto não se refere a uma variação no sinal da tensão,
mas na variação de sua taxa de acréscimo. Por exemplo, um acréscimo na magnitude da
tensão seguido de imediata redução é, nesse contexto, uma reversão de tensão, não
obstante as tensões continuarem a agir na mesma direção.
Por outro lado, o termo “acréscimo de tensão” é de difícil definição quando se
considera um estado de tensão tridimensional, principalmente devido à possibilidade
de rotação das tensões principais.
A figura 2.7 ilustra o comportamento idealizado de um solo granular submetido a um
carregamento cíclico com tensão controlada. Cada ciclo é acompanhado de uma
deformação cisalhante que é parcialmente recuperada e a magnitude desta deformação
tende a se tornar constante para qualquer ciclo a partir de um certo número de
repetições. Há outros tipos de respostas do solo quando submetido a carregamento
cíclico que serão mais detalhados posteriormente à luz da teoria do shakedown.
D eform a çã o
D efo rm a çã o R esilien te
R esis tê n cia
Figura 2.7: Resposta a um Carregamento Cíclico com Tensão Controlada.
Por outro lado, a parcela irrecuperável, ou plástica, desenvolvida durante cada ciclo
tende a ser reduzida com o acréscimo do número de ciclos.
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Eventualmente, o solo atinge uma forma de equilíbrio, na qual a magnitude da
deformação recuperada durante cada ciclo atinge valores bem maiores do que o
correspondente à deformação plástica, e este comportamento pode ser descrito como
resiliente, ou “quase-estático”. Também, é sabido que a rigidez do solo é dependente do
estado de tensões.
Durante o carregamento cíclico a deformação permanente desenvolvida durante cada
ciclo será usualmente pequena, porém a deformação permanente acumulada poderá ser
significativa.
Se o solo estiver saturado, variações na poro-pressão ocorrerão durante uma “ciclagem
rápida”, isto é, na qual a taxa de ciclagem é tal que o excesso de poro-pressão não é
totalmente dissipado. Evidências experimentais em solos saturados, submetidos a
ensaios de tensão controlada, indicam que, em muitos casos, a ruptura irá ocorrer a um
nível de tensões bem inferior ao da tensão cisalhante de ruptura monotônica, através da
geração continuada de poro-pressão adicional durante cada ciclo sucessivo.
A figura 2.8 apresenta a variação de rigidez ocorrida durante um carregamento cíclico.
É observado que imediatamente após cada reversão de tensão a rigidez aumenta
substancialmente e posteriormente decresce. Também, a tensão desenvolvida para
qualquer nível de deformação durante a fase de carregamento é menor que para a
correspondente deformação na fase de carregamento. Esse fenômeno indica, em
linguagem simples, que um elemento de solo não é “empurrado de volta” na mesma
intensidade com que “empurra”. Isto é conhecido como histerese e indica que o solo
não retornou toda a energia que lhe foi transferida durante o carregamento.
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Tensão
Deformação Tempo
Rigidez
Figura 2.8 Variação da Rigidez Durante Carregamento Cíclico. Extraído de O’Reilly eBrown (1991)
O fenômeno do aumento da rigidez no ponto de reversão de tensão e o efeito da
histerese podem ser representados por um modelo simplificado do comportamento do
solo, o modelo bloco e mola, ilustrado na figura 2.9 e citado por O’REILLY e BROWN
(1991).
Algumas considerações podem ser feitas sobre o modelo:
- o sistema de molas representa a interação entre uma partícula e um grupo de
partículas;
- as diversas tensões normais Ni representam a variação na geometria interna
do solo;
- o ângulo de inclinação α está associado ao potencial de redução
volumétrico do solo;
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Âng ulo de Inclinação
Mode lo Conce itual
Resultad os Típ icos
a
b
Figura 2.9 Esquematização do Modelo Bloco e Mola.
Resposta Dependente da Taxa de Carregamento dos Solos
Trata-se da influência da taxa de carregamento, ou, alternativamente, da taxa dedeformação, na resistência ou rigidez de um solo. Esse fenômeno pode seratribuído a dois fatores: à ação viscosa interpartículas do solo e à dissipação,dependente do tempo, do excesso de poro-pressão gerado durante carregamento,no caso de situação drenada.
Outro fator associado à taxa de carregamento é a dissipação do excesso de poro- pressão gerada durante o carregamento. Como as taxas de ciclagem podem serelevadas, a permeabilidade e o gradiente hidráulico devem ser considerados naanálise, mesmo para solos considerados permeáveis. A liquefação de areias é
um exemplo típico no qual a poro-pressão cresce mais rapidamente do que édissipada.
Efeitos Dinâmicos
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Efeitos dinâmicos significativos acompanham muitas situações decarregamento cíclico, principalmente quando a freqüência decarregamento é elevada. Fenômenos como a ressonância de fundaçõese a amplificação de pulsos de tensões dinâmicos em depósitos
profundos de solos de baixa rigidez são problemas típicos envolvendo
efeitos dinâmicos.
2.2.3. Resposta do Solo Submetido a Carregamento CíclicoExistem três fatores principais afetando a resposta do solo submetida acarregamento cíclico:1. Ocorre uma variação nas propriedades do solo com o acúmulo de
deformações permanentes, devido, em geral, a um rearranjomicroestrutural das partículas. No modelo elasto-plástico estasvariações são geralmente simuladas usando-se leis constitutivas,incluindo alguma forma de fluxo plástico secundário, que ocorre nasuperfície de ruptura primária.
2. Em uma estrutura real, num dado elemento que foi solicitado acima dolimite elástico, a tensão atuante não retorna a zero após a aplicação dacarga. Tensões residuais são induzidas no material e, comoconseqüência, quando o elemento se fizer novamente carregado suaresposta será distinta. Trata-se de uma segunda forma de shakedown,chamada de shakedown estrutural, em oposição ao shakedown domaterial, citado no item a.
3. Um terceiro fator, menos importante, responsável pela mudança naresposta da estrutura é a possível mudança na distribuição da tensãode carregamento induzida, provocada por deslocamentos permanentes.É o chamado shakedown geométrico.
Vários autores, tais como WERKMEISTER et al (2001), COLLINS eBOULBIBANE (2000), FARIA(1999), têm classificado a resposta de um solosubmetido a carregamento cíclico em quatro categorias, conforme mostrado a
seguir.- puramente elástica: quando a carga repetida aplicada é suficientemente pequena de modo a produzir deformações plásticas. Todas as deformaçõessão totalmente recuperadas;
- shakedown elástico: quando a carga repetida aplicada é ligeiramente menordo que a necessária para produzir o shakedown plástico. A resposta domaterial é plástica para um número finito de tensões/deformações. Porém, aresposta última é elástica e o material é dito estar em shakedown e omáximo nível de tensões no qual esta condição é mantida é chamado limiteelástico do shakedown;
- shakedown plástico: quando a carga repetida aplicada é ligeiramente inferior
do que a necessária para produzir um rápido colapso. O material apresentauma resposta estável, sem deformações plásticas. Isso implica que uma
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quantidade finita de energia é absorvida pelo material em cadatensão/deformação. Resposta puramente resiliente é obtida e o material édito estar em shakedown e o máximo nível de tensões para o qual estacondição é obtida é chamado de limite plástico do shakedown;
- incremento de colapso: quando a carga repetida aplicada é relativamente
alta. Uma grande parte do material está na condição limite e deformações plásticas se acumulam rapidamente com a ruptura ocorrendo em curtoespaço de tempo.
Pesquisas da carga de shakedown elástico de um solo têm sido conduzidasmediante a determinação de limites superiores e inferiores, onde o limiteinferior representa a menor carga para a qual se verifica o shakedown e o limitesuperior a maior carga para a qual esta condição se mantém. Esta foi a linhaseguida por WERKMEISTER et al (2001).
A figura 2.10 ilustra respostas típicas apresentadas por solos submetidos acarregamento cíclico. Tal como representado na figura a situação de escoamento
plástico conduz a uma diminuição das deformações plásticas, porém estasdeformações podem crescer indefinidamente ocasionando o colapso daestrutura.
Figura 2.10. Resposta de um Solo Submetido a Carregamento Cíclico.
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2.2.4 A Teoria do Shakedown
2.2.4.1 Introdução
A apresentação da teoria clássica do shakedown pode ser encontrada em diversas
fontes, sendo que o presente relato foi extraído de FARIA (1999).
Quando em um corpo submetido a um carregamento cíclico cessam asdeformações plásticas para um determinado número de aplicações de cargas,diz-se que ele entrou em shakedown, e a inexistência de deformação plástica é
justificada a partir do surgimento de equilíbrio no campo de tensões formado pelas tensões correspondentes às deformações elásticas e pelas tensõesresiduais. Portanto, o surgimento de tensões residuais é condição essencial parao surgimento do shakedown.
O objetivo do desenvolvimento da teoria do shakedown é a determinação dascondições e limites, para um determinado carregamento, na qual a condição de
shakedown ocorra.
2.2.4.2 O Shakedown Considere um vetor de carregamento q ij (x i ) e seja um corpo elástico-plástico
submetido a um carregamento múltiplo quase-estático atuante na superfície S q ,
enquanto que na superfície remanescente S os deslocamentos são nulos. O modelo
assumido para carregamento múltiplo consiste num conjunto de parâmetros de cargas
da seguinte forma:
u
q i = .q i .(x i ) l = (1,2,...r) (2.34))(l
l λ)(
0l
podendo variar independente do outro, isto é, os parâmetros de carga λ são funções
escalares independentes do tempo. Eles podem representar um ponto no espaço de
carregamento de r dimensões, enquanto que a proporção fixada com (t) representa a
direção neste mesmo espaço ( direção de carregamento). A magnitude dos parâmetros
de carga é, porém, limitadas pela relação:
l
l λ
0)( ≤l L λ (2.35)
As equações (2.34) e (2.35) definem as possíveis combinações de carregamentos
externos que podem ocorrer durante o processo de carga.
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No espaço de “r” dimensões, com coordenadas , a função é
ilustrada por uma hiper-superfície limitando o domínio de possíveis carregamentos e as
curvas dentro do domínio representam a trajetória de cargas, como mostrado na figura
2.11.
l λλλ ,...,, 21 0)( 1 =λ L
Figura 2.11. Domínio de Possíveis Carregamentos. FARIA (1999).
Quando um acréscimo monotônico proporcional de carregamento é considerado, as
razões de são mantidas constantes durante o processo de carregamento e a trajetória
de carga é representada por uma linha reta (AO).
l λ
No caso de carregamento cíclico, as cargas são aplicadas repetidamente e suas
variações são representadas por uma curva fechada (OBCO).
Um carregamento genérico é representado pela trajetória ODEF.
2.2.4.3 Teoremas Fundamentais do Shakedown
Princípio Estático
Se as tensões estáticas violarem a condição de plasticidade, deformações plásticas irão
ocorrer conduzindo a uma redistribuição das tensões, sendo que estas tensões podem
ser expressas pela soma das tensões elásticas (σ ) e outro campo de tensões, chamado
de tensões residuais ( ).
e ji,
ji,ρ
=> σ (2.36)),(),()(,,,
t xt x x i jii
e
jii ji ρσ +=
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Por esta razão, tensões residuais conduzem a tensões permanentes que irão permanecer
no corpo mesmo após o descarregamento elástico. Então, o campo de tensões residuais
corresponde a um carregamento externo nulo e forma um sistema auto-equilibrado,
satisfazendo condições de equilíbrio durante o processo completo de carregamento.
Após a ocorrência do shakedown as tensões residuais não mais sofrerão variações,
porque não ocorrem mais deformações plásticas em um corpo em shakedown.
Teorema 1: Teorema de Melan.
Se para uma estrutura elasto-plástica submetida a agentes externos (cargas e
deslocamentos) existir um campo de tensões residuais ( ), estaticamente
admissível e independente do tempo, satisfazendo a equação (2.36), de tal forma que a
equação (2.37) seja satisfeita para todas as possíveis variações de carregamento:
ji ,ρ i x
)()](),([ ,, ii jiie ji x K xt x f ≤+ ρσ (2.37)
então a estrutura entrará em shakedown para qualquer parâmetro de carregamento ,
contido no domíno ψ .
l λ
De maneira alternativa, se um campo de tensões residuais puder ser encontrado tal que
o correspondente limite de carregamento elástico inclua o domínio de todos os
possíveis carregamentos, então o shakedown irá ocorrer durante o processo de
carregamento.
A condição para a ocorrência do shakedown definida pela equação (2.37) pode também
ser expressa em termos de parâmetros de carregamento λ . Como as tensões elásticas
são funções lineares dos parâmetros de carga, podem ser escritas:
l
l e jil
e ji )( ,, σλσ = l = 1,2,..., r (2.38)
onde:
e ji ,σ : denota o campo de tensões elásticas independente do tempo e os parâmetros de
carga são funções do tempo. Substituindo-se na equação (2.2.4.4), tem-se:l λ
(2.39))()](),(.[ ,, ii jiie jil x K xt x f ≤+ ρσλ
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Princípio Cinemático
Considere-se um corpo linear elástico-perfeitamente plástico submetido a um
carregamento múltiplo quase-estático atuando em sua superfície e admita-se os
deslocamentos nulos. Introduzindo-se uma taxa de deformação plástica
cinematicamente admissível para todo 0 , que é caracterizada pela
propriedade de, para qualquer intervalo de tempo T a deformação plástica, conforme
(2.38), constitui um campo de tensões cinematicamente admissível juntamente com o
campo de deslocamentos, (2.39), os quais ao mesmo tempo satisfazem a condição de
fronteira em .
),( t xik ijε& T t ≤≤
0=∆ k
iu uS
dt t x x i
T k ijiij ).,()(
0∫=∆ εε && (2.40)
∫=∆T
ik i dt uu
0
.& (2.41)
Então, o princípio cinemático estabelece:
Teorema 2: Teorema de Koiter
A estrutura não entrará em shakedown sobre os carregamentos e se para certa
trajetória de carregamento (t), contida num dado domínio de carregamentos
i F iT
l λ ψ ,
existir:
1. uma trajetória de carregamento (t) ∈ , t ∈ ;l λ ψ ),0( T
2. uma taxa de deformação cíclica )( iij xε &
∫=∆T
iijiij dt t x x0
).,()( ε ε && = ))()((21
i jiiij xu xu + em V , em0=iu uS
e tal que a equação (2.42) seja satisfeita.
(2.42)≤∫ ∫ dt dV t x ijT
V
eije .).,(
0
ε σ λ ∫ ∫T
V ij dt dV D
0
.)(ε &
onde D é a dissipação plástica.
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2.2.4.4 Tensões Residuais
O termo tensão residual é usado para denominar tensões existentes em estruturas na
ausência de carregamentos externos. As tensões residuais constituem um campo auto-
equilibrado de tensões.
As tensões residuais constituem um fator importante no estudo de fadiga de
componentes mecânicos . Porém, à luz da mecânica dos pavimentos este é um fator
pouco estudado e, consequentemente, pouco se sabe sobre sua influência no
desempenho dos pavimentos.
O campo de tensões residuais pode variar através de processos mecânicos, tratamento
químico ou transferência de calor, entre outros.
Se ocorre escoamento plástico em um ponto do material durante um ciclo de
carregamento então um campo de tensões residuais auto-equilibrado surgirá na
estrutura e permanecerá após o descarregamento. Além disso, no próximo ciclo de
carga estas tensões residuais irão interagir com as tensões induzidas no material pela
carga externa, produzindo diferente conjunto de deformações plásticas.
2.2.5 Aplicação da Teoria do Shakedown a Pavimentos Flexíveis
A aplicação da teoria do shakedown a pavimentos flexíveis pode parecer distante da
realidade do meio rodoviário. Entretanto é necessário esclarecer que o conceito do
shakedown é baseado no comportamento de campo observado do pavimento, e
totalmente apropriado para análise de sua performance, conforme constatações já no
fim da década de 1950, na pista experimental da AASTHO.
2.2.5.2 A Pista Experimental da AASHTO
A pista experimental da AASHTO gerou um largo e elaborado banco de dados a
respeito do desempenho do pavimento e sua relação com o tráfego e espessuras de
projeto. Algumas destas informações têm sido utilizadas para se verificar a
aplicabilidade da teoria do shakedown à performance dos pavimentos flexíveis.
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A performance do pavimento foi obtida monitorando-se vários indicadores, tais como:
afundamento de trilha de roda e trincamento do revestimento, sendo quantificada pelo
PSI (Present Serviceability Index). Definiu-se performance do pavimento como a
variação do PSI com o tempo, ou tráfego.
A degradação total do pavimento é alcançada quando para e o shakedown foi
detectado através da estabilização do valor de PSI após certo número de aplicações de
carga. A figura 2.12 ilustra a ocorrência do shakedown nas estacas 581 e 333.
5,1≤ PSI
PSI
“N”
Fim da Vida Útil
Numeração das Estacas
Figura 2.12. Performance do Pavimento. Pista Experimental da AASHO. Extraído deSHARP e BOOKER (1984).
2.2.5.3 Análise de Deformação Plana em Semi Espaços.
Antes de se partir para uma análise do shakedown em pavimentos é necessário
estabelecer um modelo para simular o carregamento de rodas, ou pneus, atuante na
estrutura. Sharp e Booker utilizam o modelo do cilindro rolando no plano, conforme
ilustrado na figura 2.13.
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Tráfeg
Subleito
P Carregamento
x
z y
Base
Direção de
Figura 2.13: Modelo Bidimensional de Carregamento de Tráfego. Extraído de Collins eBoulbibane (2000).
A tensão de contato em geral irá envolver componente normal e tangencial. O eixo z se
refere a vertical e o eixo y a uma direção lateral. Como o semi-espaço é homogêneo na
direção de tráfego, as tensões residuais tornam-se independentes de x. Isto porque cada
ponto na reta (y = constante e z = constante) experimenta a mesma história de tensões.
Procura-se atingir um estado de tensões mais próximo possível da realidade na vertical
passando pelo centro geométrico do cilindro. Entretanto, este modelo pode
superestimar as tensões atuantes em outras partes distintas da vertical.
2.2.5.4 Estudo de Johnson (1962)
Para a determinação do carregamento de shakedown, , JOHNSON(1962), citado por
COLLINS e BOULBIBANE(2000), utilizou um argumento ad hoc, notando que a
condição de plasticidade pode ser satisfeita se puder ser escolhido de tal forma que o
primeiro termo da equação a seguir desapareça
λ
ρ
2222 .)...(4
1k e
xz
e
zz
e
xx
≤+−+ σ λ σ λ ρ σ λ (2.43)
Neste caso o maior valor de para satisfazer 2.43 é (λ e xzk σ max/ ). Então, o
shakedown ocorrerá exatamente no ponto onde a magnitude da tensão cisalhante
elástica atinge seu máximo no semi-espaço.
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2.2.5.5 O Método das Cônicas. Sharp e Booker (1984)
A primeira aplicação da Teoria do Shakedown para pavimentos deve-se a SHARP e
BOOKER (1984), juntamente com PONTER et al. (1985) em mecânica dos metais. Os
dois modelos diferem basicamente no modelo constitutivo usado para descrever o
comportamento plástico do material.
Sharp e Booker definem, alternativamente, o limite de shakedown como o maior valor
de para o qual tem-se uma situação de shakedown, sobre carregamento cíclico, tal
que:
λ
(V , onde:),(), V V H SDSD λµ λ =
H: máxima tensão cisalhante;V: máxima tensão normal;
µ : coeficiente de atrito mobilizado, =H/Vµ
A condição de equilíbrio é descrita da seguinte forma:
0..2..2....2),( 22 ≤+++++= k f g bha F XR XR XR XR λ σ λ λ σ σ λ σ , (2.44)
Onde:
λ : fator de carga;
XRσ : tensão residual horizontal;)(cos: 2 φ a ;
)).((sen)( 2 XE ZE XE ZE h σ σ φ σ σ +−−−= ;
2222 ).(sen.4)( XE ZE E XE ZE b σ σ φ τ σ σ +−+−= ;
)cos().sen(..2 φ φ c g −= ;
).(cos.sen..2 XE ZE c f σ σ φ φ +−= ;
)(cos.42
φ ck −= ;),,( E ZE XE τ σ σ : representa o estado de tensões no Ponto P(x,z);
c é a coesão e o ângulo de atrito.φ
F representa uma região e corresponde a uma cônica. Como a tensão
residual é independente de x, para cada profundidade z, uma família de cônicas pode
ser construída, para diversos x
0),( =λ σ XR F
i.
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A área correspondente a interseção entre duas cônicas é chamada de zona do
shakedown, na profundidade z. Significa que qualquer ponto desta área corresponde a
um carregamento de shakedown na profundidade z, para qualquer coordenada xi.
O maior valor de na zona de shakedown é denotado por .λ )(max zλ
Como z varia , o menor valor de corresponde ao maior valor de para o qual a
condição de shakedown é mantida, ou seja:
)(max zλ λ
)( max0
λ λ ≥
= z
SD mim (2.45)
Por contradição, considere um correspondente a profundidade z)(max i zλ i. Se
então na profundidade z tem-se, necessariamente , a violação da
condição de shakedown e, obrigatoriamente, plastificação.
)()( 2max1max z z λ λ 〈
Dois tipos de máximo são possíveis na zona de shakedown, conforme ilustrado na
figura 2.14. No primeiro, o máximo é analítico e ocorre quando . Da
equação 2.43 e utilizando-se o critério de Von Mises, tem-se:
0/ = XRd d σ λ
).( XE ZE XR σ σ λ σ −= e k ZE =σ λ (2.46)
Figura 2.14: Domínio do shakedown para a profundidade z. SHARP e BOOKER (1984).
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O segundo caso de máximo ocorre na interseção de duas elipses, correspondendo a dois
valores distintos de x. Este tipo de ruptura é chamado de shakedown plástico ou
plasticidade alternante, nos quais a trajetória de carregamento atinge a superfície de
ruptura em dois pontos distintos.Porém, em todos os casos investigados, o valor decorrespondeu ao máximo analítico, (COLLINS e BOULBIBANE, 2000).
SDλ
Implementaram os autores citados acima a análise descrita em um programa de
computador, inicialmente para um semi-espaço homogêneo e isotrópico e,
posteriormente, para um semi-espaço dividido em duas camadas.
Semi-Espaço de Duas Camadas
Os parâmetros elásticos ( e de resistência ( caracterizam um
pavimento genérico, conforme ilustrado na figura 2.15.
),,, 00 µ µ E E ),,, 00 φ φ cc
Figura 2.15: Parâmetros do Modelo Bidimensional de Sharp e Booker.
Os autores utilizaram o programa LAYELLIP para fazer uma série de cálculos, cujos
resultados podem ser analisados mediante a subdivisão em dois blocos: influência das
propriedades do material e influência da espessura da camada.
Influência da Espessura da Camada.
Um exame detalhado da figura 2.16 mostra que seções de curvas associadas a fadiga
da camada de superfície, de elevados valores de , são múltiplos da mesma curva
fonte.
0/ E E
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C a r g a d e S h a
k e d o w n
λ
. V / C
Rigidez Relativa E/Eo
Figura 2.16. Carga de Shakedown por SHARP e BOOKER (1984).
A principal conclusão que pode ser tirada da figura 2.16 bem como dainfluência da espessura da camada de superfície é o fato de que para uma dadacondição de , e espessura , existe um valor ótimo de rigidez relativa
, que maximiza a resistência do pavimento ao colapso.0/ cc D
0/ E E
2.2.5.6 Solução Numérica para Sistemas Multicamadas
Soluções numéricas para a teoria do shakedown aplicada a pavimentos flexíveis
surgiram inicialmente com SHARP e BOOKER (1984), na Austrália, e,
posteriormente, com RAAD, WEICHERT et al (1988, 1988a, 1988b) em três artigos do
Transportation Research Board dos EUA. MEDINA (1999) interpretou e traduziu
parcialmente a coletânea de trabalhos de RAAD et al, tendo disponibilizado seus
manuscritos para uma primeira publicação sobre a teoria do shakedown no Brasil. A
discussão que se segue é baseada nos manuscritos de MEDINA (1999) e nos de RAAD
et al (1988).
Na solução proposta por RAAD et al (1988b) considera-se o pavimento como um meio
contínuo estratificado, para o qual deve-se atender às condições de equilíbrio e
escoamento (ou ruptura), a partir de um campo de tensões residuais. É utilizado o
método dos elementos finitos com elementos quadrangulares para determinação das
forças e deslocamentos nos nós, além das tensões atuantes no centro de cada elemento.
As condições de carregamento externo e deslocamentos nos nós externos
compatibilizam a estrutura com um pavimento usual. São desprezados os efeitos de
inércia e viscosidade.
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As principais variáveis do modelo são as seguintes:
(σij)o: tensão devido as forças de corpo (mássicas);
(σij)s: tensão devido as forças aplicadas estaticamente;
(σij)a: tensão devido as cargas repetidas;∆σij: incremento de tensão aplicado no centro de cada elemento;
Sxi, Syi: Resultantes das forças nos nós, nas direções x e y;
NP: número de pontos nodais da malha de elementos finitos;
f: função de escoamento, no caso representa o critério de Mohr-Coulomb
)2/45(.2)2/45(. 231 φ φ σ σ +−+−= Ctg tg f (2.47)
σ1, σ3: tensão principal maior e menor respectivamenteφ ,c : coesão e ângulo de atrito
A ruptura ocorre quando .0≥ f
A determinação da carga de acomodamento reduz-se, matematicamente, a minimizar a
função Q sujeita as restrições contidas na equações 2.49, 2.50, 2.51. Trata-se de um
típico problema de programação linear.
∑∑==
++−= NP
i yi
NP
i xi S S Q
1
2
1
2 )()(α α>0 (2.48)
α: fator de carga multiplicativo em relação as cargas repetidas;
0]).()()[( ≤∆+++ ijaij sijoij f σ σ α σ σ (2.49)
)2/45(..23 φ σ −−≥ tg C (2.50)
ijaij sijij σ σ α σ σ σ ∆+++= ).()()( 0 (2.51)
Ao se minimizar Q, com as restrições indicadas, obtém-se o valor máximo de α que,
multiplicado por , fornece a carga de acomodamento do sistema considerado.a f
RAAD et al (1988b) citam o algorítmo de busca desenvolvido por HOOKE e JEEVES(1961), que compreende as seguintes etapas:
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(1) Determinar as tensões resultantes de Po, Fs e Fa (carga repetida aplicada
inicialmente);
(2) Encontrar o multiplicador de carga (αst) tal que (αst.Fa) cause escoamento no
elemento mais criticamente solicitado no sistema. Isto fará deslocar a busca paraa região de interesse;
(3) A busca inicia-se pela determinação de Q para αst e um conjunto de que
satisfaçam as condições restritivas das equações 2.49, 2.50, 2.51;
ijσ ∆
(4) Durante uma determinada sequência exploratória permite-se à variável (α) uma
alteração no sentido do decréscimo de Q. A cada variação de tensões ( )
permite-se algumas alterações, cada uma igual ao tamanho do passo e no
mesmo sentido, desde que a função objetiva (Q) diminua e as restrições
impostas sejam atentidas. Caso contrário, a sequência exploratória