ANUALIDADES

El siguiente gráfico no representa una anualidad porque hay 4 pagos

y hay 5 períodos.

Claramente puede observarse que cuando se inicia el gráfico con

pago y se termina con pago, no hay una anualidad bien conformada y

cuando el gráfico inicia con período y termina con período, tampoco

hay una anualidad bien conformada. Las gráficas que representan

anualidades bien conformadas tienen una característica en común,

que su inicio y fin son diferentes, en un caso se inicia con período y

se termina con pago y en el otro se inicia con pago y se termina con

período.

En conclusión se puede decir que para una anualidad este bien

conformada, en la grafica de representación el inicio y el fin deben

ser diferentes.

Anualidades ordinarias y anticipadas V

Anualidad ordinaria o anualidad vencida

Para que la gráfica anterior represente una anualidad bien

conformada es necesario agregarle un período que bien puede

quedar al principio o al final. En el primer caso se tendría:

La anualidad así conformada recibe el nombre de anualidad ordinaria o anualidad vencida que viene a ser aquella en que los pagos se efectúan al final del período por ejemplo el pago de los sueldos de un empleado (primero viene el período de trabajo y después viene el pago).

Anualidad anticipada

En el segundo caso se tendría:

Las anualidades así conformadas reciben el nombre de anualidades

anticipadas porque los pagos se efectúan al principio del período por

ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa (primero paga y

después tiene derecho a ocupar la casa durante el mes que se pagó).

Anualidades ordinarias y anticipadas IV

La segunda condición establece que los pagos deben hacerse a

iguales intervalos de tiempo, esto es necesario para que los

exponentes sean ascendentes o descendentes tal como se vio en las

ecuaciones del ejemplo señalado. Esta condición se cumple aún si los

pagos son trimestralmente, semestralmente o anualmente y sin

embargo a la serie se le sigue llamando anualidad.

La tercera condición establece que todos los pagos deben ser

llevados a valor presente o a valor final, según sea el caso, a la

misma tasa de interés. Esto garantiza que todos los términos dentro

del paréntesis tienen la misma base, por lo tanto, la serie que está

adentro del paréntesis forma una progresión geométrica.

La cuarta condición establece que el número de pagos debe ser igual

al número de períodos.

Por lo tanto la serie que se muestra en la siguiente gráfica no

representa una anualidad porque tiene 4 pagos y solo hay 3 periodos.

Anualidades ordinarias y anticipadas III – Renta, período de

renta, anualidad

Renta

Es el pago periódico de igual valor que corresponde a los R $ del

ejemplo anterior. A la renta también se le conoce con el nombre de:

cuota, depósito, retiro o pago, según sea el caso.

Período de renta

Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos.

Anualidad

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes

condiciones:

Todos los pagos son de igual valor. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.

El número de pagos es igual al número de períodos.

Las condiciones anteriores obedecen a ciertas normas y tienen

algunas implicaciones, por ejemplo, la primera condiciones es

indispensable para poder factorizar tal como se hizo cuando se

plantearon las ecuaciones de valor del ejemplo inicial mostrado en la

introducción del tema de anualidades.

Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Una persona compra un terreno cuyo valor, al contado, es de 2

millones de $. Si le dan la facilidad para pagarlo en cuatro cuotas

trimestrales de R $ cada una, que se efectuarán al final de cada

trimestre y además se le cargaría un interés del 40 % CT, hallar el

valor de la cuota trimestral de amortización.

Solución:

En primera instancia se puede construir un grafico en el que se

represente los flujos de dinero establecidos en el ejemplo. Este

gráfico se conoce también con el nombre de flujo de caja. Puesto que

la tasa tiene efectividad trimestral y los pagos son trimestrales se

puede usar el trimestre como período.

Si se plantea la ecuación del valor poniendo la fecha focal en el año cero, la ecuación quedaría de la siguiente forma:

2000000 = R(1+0.1)-1+R(1+0.1)-2+R(1+0.1)-3+R(1+0.1)-4

Factorizando R se tendría:

2000000 = R((1+0.1)-1+(1+0.1)-2+(1+0.1)-3+(1+0.1)-4)

Haciendo cálculos:

2000000 = R(3.169865)

Despejando el valor de la cuota se tendría:

R = 630941.61 $

Ejemplo de calculo aceptaciones bancarias y financieras

Una aceptación bancaria por 80 $ millones con ficha de vencimiento

del 17 de diciembre de 2009 es adquirida el 22 de julio de 2009 por

un inversionista con un descuento del 28 % y es cedida a un segundo

inversionista el 14 de octubre de 2009. Si el segundo inversionista

desea ganar el 32 %.

a) ¿Cuál es la ganancia en $ del primer inversionista?

b) ¿Cuál es la rentabilidad efectiva del primer inversionista?

Considera un tipo de interés comercial para el ejercicio (año

comercial = 360 días)

Solución:

Si se representa por Pc1 y por Pc2 el precio de compra del primer

inversionista y del segundo inversionista respectivamente, se tendría

el siguiente gráfico del flujo de caja:

Tomando en cuenta que se debe emplear en el ejemplo un año comercial (igual a 360 días), entonces los días que hay entre el 22 de julio y el 17 de diciembre son 145.

Y la cantidad de días que hay entre el 14 de octubre y el 17 de

diciembre es igual a 63.

Con lo determinado anteriormente y tomando en cuenta la tasa de

descuento dada, el precio de compra del primer inversionista será

igual a:

Pc1 = 80 millones de $ * (1+0.28)-(145/360) = 72.42828364

millones de $ o aproximadamente 72428284 $

Dado que no se está tomando en cuenta comisiones, el precio de

compra del segundo inversionista es el mismo precio de venta del

primer inversionista y se calcula de la siguiente manera:

Pc2 = 80 millones de $ * (1+0.32)-(63/360) = 76.20606713 millones

de $ o aproximadamente 76206067 $.

a)

De donde la ganancia del primer inversionista será:

76206067 $ - 72428284 $ = 3777783 $

b)

La rentabilidad del primer inversionista se obtiene aplicando la

fórmula del interés compuesto y tomando el tiempo que tuvo en su

poder la aceptación.

En el caso del ejemplo el tiempo se puede hallar calculando los días

que hay entre el 22 de julio y el 14 de octubre usando el

procedimiento anterior, o, también por diferencia de días entre el

total que es 145 y los que hay entre la fecha de compra del segundo

inversionista y la fecha de vencimiento que llega a ser 63, entonces

la diferencia será igual a 82.

Dado que la fórmula del interés compuesto es:

S = Pc (1+i)n

Reemplazando los datos dados y obtenidos, se tendrá:

76206067 = 72428284 (1+i)82/360

Y despejando la tasa de interés correspondiente se obtendrá:

i = 25.01 %

La rentabilidad del segundo inversionista es de 32 %.

Ejemplo de cálculo 4 ecuaciones de valor – equivalencias

financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una persona debe pagar 70000 $ en 3 meses y 85000 $ en 8 meses.

Ante la imposibilidad de cancelar las deudas en las fechas previstas

le ofrece al acreedor que le cancelará 50000 $ en 4 meses y 130000

$ en 12 meses. Si el acreedor acepta esta nueva forma de pago, ¿Qué

tasa de interés efectiva mensual estará pagando?

Solución:

Si se pone el plan de pago original hacia arriba de la línea de tiempo,

el plan propuesto en la misma línea de tiempo pero hacia abajo y la

fecha focal en 0 se tendrá lo siguiente:

La incógnita es la tasa de interés i, en consecuencia el planteo de la ecuación de valor correspondiente a la gráfica del flujo de caja anterior será:

70000(1+i)-3+85000*(1+i)-8=50000*(1+i)-4+130000*(1+i)-12

Se solucionará este problema en forma manual, aunque la solución

no es sencilla debido a que se trata de una ecuación de grado 12, el

procedimiento será el siguiente:

Igualando la ecuación a cero y simplificando por 1000, la ecuación

queda como sigue:

70(1+i)-3-50*(1+i)-4+85*(1+i)-8-130*(1+i)-12=0

Para resolver la anterior ecuación se utilizará el método de ensayo y

error combinado con una interpolación, el método consiste en

escoger una tasa i1 y calcular el valor que toma la función f1, luego se

hace lo mismo con otra tasa i2 y se calcula el valor que toma la

función f2, lo importante es que el valor de las funciones f1 y f2 sean

de signo diferente, si al hacer los ensayos las funciones salen del

mismo signo habrá que hacer nuevos ensayos hasta que se obtenga

las funciones con signo diferente.

De acuerdo a lo mencionado, se hace un primer ensayo con i1=2%,

entonces al reemplazar en la ecuación el resultado obtenido será:

f1=-10.18714

Procediendo a hacer un nuevo ensayo con otra tasa i2=3%, el

resultado será: f2=-4.44404.

Cómo el valor de la función en ambos casos es negativo, entonces se

tiene que hacer un nuevo intento con otra tasa hasta que el valor de

la función cambie de signo.

Ensayando con i3=4%, se tiene que: f3=0.40058.

Por lo tanto se toman los resultados correspondientes al 3% y 4% por

ser los más cercanos y los que presentan signo diferente en el

cálculo de la función.

Luego se planteará lo siguiente:

Valor de la tasa Valor de la función

3% -4.44404

x 0

4% 0.40058

Entonces se planteará una proporción, en el siguiente sentido: la

diferencia pequeña es a la diferencia grande entre los valores de las

tasas de interés, al igual que la diferencia pequeña es a la diferencia

grande entre los valores de la función.

Lo anterior se representará de la siguiente forma:

((3-x)/(3-4))=((-4.44404-0)/(-4.44404-0.40058))

Despejando el valor de x de la anterior ecuación se obtendrá:

x=3.9173 % mensual

Ejemplo de cálculo 1 ecuaciones de valor – equivalencias

financieras en el tiempo

Ejemplo:

Una persona se comprometió a pagar 250000 $ en 3 meses, 300000

$ en 8 meses y 130000 $ en 15 meses. Ante la dificultad de cumplir

con las obligaciones tal como están pactadas solicita una nueva

forma de pago de la siguiente forma: 60000 $ hoy, 500000 $ en 12

meses y el saldo en 18 meses. Suponiendo que el rendimiento normal

de la moneda es del 3 % efectivo mensual, determinar el valor del

saldo.

Solución:

Se pueden hacer dos gráficas, una para las obligaciones originales y

otra para el nuevo plan de pagos, pero para simplificar el flujo de

caja se hará una sola gráfica poniendo las obligaciones originales

hacia arriba y dejando las nuevas obligaciones hacia abajo. La fecha

focal se puede poner en cualquier parte, sin embargo para el ejemplo

se la pondrá en el mes 8.

El análisis del flujo de caja presentado es el siguiente:

a. Para la deuda del mes 3: hay que pagar 250000 $ en el mes 3,

pero si se pagan en el mes 8 entonces su valor será:

250000*(1+0.03)5

b. Para la deuda del mes 8: como se deben pagar 300000 $ en el

mes 8 y es ahí donde está la fecha focal esto implica que la

cantidad no se modifica por tanto se la deja como está.

c. Para la deuda del mes 15: en 15 meses hay que pagar 130000 $

pero si se llegan a pagar antes es justo que se pague menos y

su valor será 130000*(1+0.03)-7

d. Para el pago que se haría el día de hoy: como hoy se pagan

60000 $ esto equivale a que en el mes 8 se hubiese pagado

60000*(1+0.03)8

e. Para el pago que se hace en 12 meses: hay un compromiso de

pagar 500000 $ en 12 meses pero si se llegan a pagar antes

entonces la cifra debe ser menor 500000*(1+0.03)-4

f. Para el pago que se haría en 18 meses: el compromiso es pagar

x $ en 18 meses, pero si se llegan a pagar en el mes 8 es lógico

que se tenga que pagar una cantidad menor por pagarlos antes

de tiempo y su valor será: x*(1+0.03)-10

Luego la ecuación de valor puede ser escrita de la siguiente manera:

250000*(1.03)5+300000+130000*(1.03)-7 =

60000*(1.03)8+500000*(1.03)-4+x*(1.03)-10

Despejando el valor de x en la ecuación anterior se tendrá que:

x=235549.16 $

Ejemplo 3 - Anualidades ordinarias – Valor presente y valor

futuro

Una deuda e 50000 $ se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes

de R $. Con una tasa de 2 % efectivo para el período, encontrar el

valor de la cuota R situando la fecha focal en:

a) El día de hoy

b) En 12 meses

Solución:

a) Si se pone la fecha focal el día de hoy, la gráfica que representa el

flujo de fondos será la siguiente:

Para este primer caso se usará la siguiente expresión:

an┐i

Ya que todo el flujo de caja debe ser puesto al principio que es donde

está la fecha focal y la ecuación de valor quedará de la siguiente

manera:

50000 = Ra12┐2%

De donde:

El valor de la renta será igual a:

R = 4727.98 $

b) Si se pone la fecha focal en 12 meses la gráfica correspondiente al

flujo de caja para el ejemplo planteado será:

En este caso se puede emplear la siguiente expresión:

Sn┐i

Ya que todo el flujo de caja debe ser puesto en el punto 12 que es

donde está la fecha focal, pero la deuda de los 50000 $ sigue en 0, lo

cual implica que deberá ser trasladada a valor final junto con todos

los pagos, entonces la ecuación quedará de la siguiente manera:

50000(1.02)12 = R S12┐2%

Resolviendo la ecuación anterior para R se obtiene:

R = 4727.98 $

Nótese que los valores obtenidos usando las dos fechas focales son iguales.

Ejemplo 1 Anualidades ordinarias – Valor presente

Un documento estipula pagos trimestrales de 80000 $ durante 6

años. Si este documento se cancela con un solo pago de:

a) A $ al principio o,

b) S $ al final, con una tasa del 32 % CT.

Solución:

El número de pagos se puede calcular mediante:

n = 4*6= 24

Y R = 80000 $

La tasa efectiva trimestral será:

i = (32 % / 4) = 8 % efectivo trimestral

a)

La representación del flujo de caja correspondiente será:

Luego el valor del pago representado por A será:

A = 80000*[1-(1+0.08)-24]/0.08 = 842301 $

b)

El flujo de caja para el caso puede ser representado por:

Luego el valor del pago equivalente a S se determinará de la

siguiente manera:

S = 80000[1+0.08)24-1]/0.08 = 5341181 $

Anualidades ordinarias y anticipadas – El valor presente

Valor presente

El caso del valor presente se lo representa por an┐i en la notación

actuarial y por (P/A,n,i%) en la notación tradicional y significará el

valor presente de una anualidad de n pagos puestos en valor

presente a la tasa i %.

La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal

al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i

(de nuevo, no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos

son de 1$).

(P/A, n, i%) = an┐i = (1+i)-1+(1+i)-2+………+(1+i)-n

Para simplificar la ecuación anterior, se puede seguir un

procedimiento similar al realizado para el valor final; sin embargo el

camino mas corto consiste en actualizar el valor final.

Luego se tendrá:

an┐i = Sn┐i (1+i)-n

Si se reemplaza Sn┐i por su equivalente ((1+i)n-1)/i, se tendrá:

an┐i = [((1+i)n-1)/i](1+i)-n = [1-(1+i)-n)]/i

De donde se puede concluir que:

(P/A,n,i%) = an┐i = [1-(1+i)-n)]/i

Las anteriores fórmulas fueron deducidas para una renta de 1 $,

pero si la renta hubiese sido de R $, el valor final VF o el valor

presente VP hubiese sido R veces mayor. Por la tanto se puede

escribir lo siguiente:

VF = R Sn┐i

Y también

VP = R an┐i

Plazo de una anualidad (continuación)

En forma general se tendrá:

Para plantear la ecuación de valor con fecha focal en n se traslada cada uno de los pagos de 1 $ a valor final usando la fórmula del interés compuesto S= P(1+i)n a cada pago, pero en cada caso, P=1. El pago que está en 1 se traslada por n-1 períodos, el que está en 2 se traslada por n-2 períodos y así sucesivamente hasta llegar al pago que está en n, el cuál no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tendrá:

(F/A, n, i%) = 1+ (1+i) + (1+i)2 + ……… + (1+i)n-1

Si se multiplica la ecuación anterior por (1+i) se obtendrá lo

siguiente:

(F/A, n, i%) (1+i) = (1+i) + (1+i)2 + ……… + (1+i)n

Si se realiza la resta de las dos ecuaciones anteriores, se obtendrá:

(F/A, n, i%) (1+i) - (F/A, n, i%) = (1+i)n -1

Factorizando (F/A, n, i%) o Sn┐i en la notación actuarial, se obtiene:

(F/A, n, i%) (i) =(1+i)n -1

Por último despejando (F/A, n, i%), se tendrá:

(F/A, n, i%) = Sn┐i=((1+i)n-1)/i)

Plazo de una anualidad y Valor final

Plazo de una anualidad

El tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final

del último período se denomina el plazo de una anualidad y se

representa por n.

Una anualidad tiene dos valores el valor final y el valor presente en

el primer caso, todos los pagos son trasladados al final de la

anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al

principio de la anualidad.

Valor final

Si se hace los cálculos para hallar el valor final de una anualidad

ordinaria. El valor final puede ser representado de dos maneras:

La primera usando la notación tradicional:

(F/A,n,i%)

Ejemplo de Cálculo Flujos Uniformes y Valor Presente o Valor Futuro:

Si en una cuenta de ahorros que paga el 30% anual se depositan $

10’000,000 anuales durante 5 años. ¿Qué cantidad acumulada al

final del año 10 tendrá, si el primer depósito se hizo al final del año

1?

Solución:

La representación del flujo es:

Opción uno:

Llevar los flujos al final del año 10.

Aplicando la fórmula:

Fn=A((1+i)n-1)/i

Se obtiene:

Opción dos:

Traer todos los flujos al presente y posteriormente encontrar su valor

equivalente al final del año 10.

Aplicando la fórmula:

P=A (1+i)n-1)/(i(1+i)n)

Se obtiene:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Flujos Uniformes y su relación con el Presente y el Futuro (Segunda parte)

Para determinar la equivalencia en el presente de una serie uniforme

de flujos de efectivo; dado que F = P(1+i)n ; entonces:

Por lo que el valor presente equivalente (P) de una serie de flujos

uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de

valor del dinero a través del tiempo i, se puede determinar mediante

la formula:

Por despeje, se encuentra la formula para obtener

una anualidad a partir de un valor presente conocido, como:

Derivación de Fórmulas del valor del dinero en el tiempo - Serie de Flujos Uniformes y su relación con el Presente y el Futuro (Primera parte)

Para determinar la equivalencia en el futuro de una serie uniforme

de flujos de efectivo, es necesario introducir una nueva variable, la

cual denota por A.

A = Representa el flujo neto al final del período, el cual ocurre

durante n períodos.

F = A + A(1+i)1 +

A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 (1)

Multiplicando (1) por (1+i):

F(1+i) = A(1+i)1 + A(1+i)2 + A(1+i)3 + .... + A(1+i)n-1 + A(1+i)n (2)

F (1+i) = A[(1+i)1 + (1+i)2 + (1+i)3 + .... + (1+i)n-1 + (1+i)n ] (3)

Restando (3) – (1):

Desarrollando ambos lados: F(1+i) – F = - A + A(1+i)n

F + Fi – F = A [-1 +(1+i)n ]

F = A [-1 + (1+i)n ] / i

Por lo que el valor futuro equivalente (F) de una serie de flujos

uniformes, que se da durante n períodos con un factor de cambio de

valor del dinero a través del tiempo i, se

Ejemplo 2 - Anualidades ordinarias – Valor futuro

Una persona empieza el 1 de julio de 2006 a hacer depósitos de 1000

$ de forma mensual (realiza los depósitos el primer día de cada mes).

Estos depósitos son efectuados en una entidad financiera que le paga

el 24 % CM, pero a partir del 1 de octubre de 2007, decide que de

ahí en adelante, sus depósitos serían de 2500 $. El último depósito lo

hace el 1 de agosto de 2009. Si el 1 de diciembre de 2009 decide

cancelar la cuenta. ¿Cuál sería el monto de sus ahorros?

Solución:

La representación del flujo de caja correspondiente al ejercicio

planteado se muestra a continuación:

Obsérvese que hay dos anualidades: la de renta de 1000 $ y la renta

de 2500 $. La primera anualidad empieza el 1-6-2006 y termina el 1-

9-2007 y la segunda anualidad empieza el 1-9-2007 y termina el 1-8-

2009. De esa manera la primera anualidad tendrá una duración de

15 períodos y su valor final deberá ser trasladado por 27 períodos

para llevarlo a la fecha focal (desde el 1-9-2007 al 1-12-2009). La

segunda anualidad tendrá 23 períodos y su valor final se debe

trasladar por 4 períodos y así la ecuación de valor se planteará como.

1000S15┐2%*(1.02)27+2500S23┐2%*(1.02)4=X

De donde se obtiene que el monto total en la fecha focal será:

X = 107574.69 $