Κεφαλαιο“ 5...Κεφαλαιο“ 5 Συµµετρƒιε - Θε£ωρηµα τη Noether “κατι ε“ ƒιναι συµµετρικ “ο αν δρ£ωντα π “ανω

Κεφαλαιο 5

Συµµετριε - Θε£ωρηµα τη Noether

“κατι ειναι συµµετρικο ανδρ£ωντα πανω του µε καποιο τροποαυτο παραµενει οπω ηταν αρχικα”

Hermann Weyl

“‘αρµονιη ’αφανη φανερη κρειττων”Ηρακλειτο

5.1 Εισαγωγικε παρατηρησει

Ενα απο τα βασικα πλεονεκτηµατα τη λαγκρανζιανη θε£ωρηση ει- Kυκλικε µετα1λητε

ναι οτι αποκαλυπτει µε αµεσο τροπο ποσοτητε που διατηρουνται κατατην κινηση ενο φυσικου συστηµατο. Χαρακτηριστικο παραδειγµα απο-τελει η περιπτωση µια γενικευµενη συντεταγµενη, εστω τη qk, η οποιαδεν εµφανιζεται στη Λαγκρανζιανη. Σε αυτη την περιπτωση επειδη

∂L

∂qk= 0

απο τι εξισ£ωσει Euler-Lagrange προκυπτει οτι

d

dt

(∂L

∂qk

)= 0,

και η γενικευµενη ορµη

pk =∂L

∂qk,

η συζυγη τη συντεταγµενη qk, διατηρειται κατα την κινηση. Οι συντε-ταγµενε που δεν εµφανιζονται στη λαγκρανζιανη συναρτηση ονοµαζο-νται κυκλικε. Με βαση την παραπανω αναλυση συµπεραινουµε οτι η γε-νικευµενη ορµη που ειναι συζυγη µια κυκλικη µετα1λητη ειναι διατη-ρουµενη ποσοτητα.Ωπαραδειγµα, α θεωρησουµε ενα σωµατιδιο που κινειται σεενα επι-

πεδο υπο την επιδραση ενο κεντρικου πεδιου που περιγραφεται απο τοδυναµικο V (r), οπου r η αποσταση του σωµατιδιου απο το κεντρο των

115

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER

συντεταγµενων. Η λαγκρανζιανη συναρτηση του σωµατιδιου σε πολικεΛαγκρανζιανη

ανεξαρτητη τη θ

σωµατιδιου

κινουµενου σε

επιπεδο

συντεταγµενε (r, θ) ειναι

L =m

2(r2 + r2θ2) − V (r). (5.1)

Ειναι εµφανε οτι η παραπανω λαγκρανζιανη συναρτηση δεν εχει καµιαεξαρτηση απο τη γωνια θ και συνεπ£ω η συζυγη ω προ τη γωνια θ ορµη

pθ = mr2θ ,

διατηρειται κατα την κινηση. Η διατηρουµενη αυτη ορµη δεν ειναι αλληαπο τη στροφορµη του σωµατιδιου ω προ το κεντρο τη δυναµη εκπε-φρασµενη σε πολικε συντεταγµενε. Η στροφορµη, απ ο,τι γνωριζουµε,διατηρειται σε κεντρικα πεδια.

Ασκηση 5.1. Εξεταστε αν διατηρειται η στροφορµη ω προ καποιο αλλο σηµειοΑΣΚΗΣΕΙΣαναφορα.

Ασκηση 5.2. Επαναλα1ετε την παραπανω αναλυση για την κινηση ενο σωµατι-διου σε τρει διαστασει. Γραψτε τη Λαγκρανζιανη σε σφαιρικοπολικε συντεταγµενε.Ποια ειναι τ£ωρα η διατηρουµενη ποσοτητα;

Η διαπιστωση οτι σε καθε κυκλικη µετα1λητη αντιστοιχει και µια δια-Εισαγωγη στην εννοια

του µετασχηµατισµου τηρουµενη ορµη µπορει να διατυπωθει και µε καποιον αλλο τροπο πουθα αποδειχθει ιδιαιτερα χρησιµο, οταν προσπαθησουµε να γενικευσουµετην αναζητηση διατηρουµενων ποσοτητων. Το γεγονο οτι η Λαγκρανζι-ανη του σωµατιδιου (5.1) δεν εξαρταται απο τη γωνια θ σηµαινει οτι, ανµετασχηµατισουµε τι γωνιε απο θ σε Θ(ǫ) = θ + ǫ, οπου ǫ ειναι µια συ-νεχη παραµετρο, αφηνοντα οµω τι αποστασει ιδιε, r → R = r, ηΛαγκρανζιανη παραµενει αναλλοιωτη, ανεξαρτητω τη τιµη τη παρα-µετρου ǫ. Ο µετασχηµατισµο αυτο των συντεταγµενων ειναι στην ουσιαστροφη του σωµατιδιου κατα γωνια ǫ. Αυτο σηµαινει οτι η Λαγκρανζι-ανη, υπολογισµενη στι νεε συντεταγµενε

Lǫ = L(R, R, Θ, Θ) = L(r, r, θ + ǫ, θ) ,

ειναι ιση µε την αρχικη Λαγκρανζιανη (Lǫ = L = Lǫ=0). Με αλλα λο-για η Λαγκρανζιανη σωµατιδιου σε κεντρικο πεδιο ειναι αναλλοιωτη σεστροφε, δηλαδη η Λαγκρανζιανη ειναι συµµετρικη (βλ. τον ορισµο τουWeyl στην αρχη του κεφαλαιου) ω προ το συνεχη µετασχηµατισµο τωνστροφ£ων. Επειδη η παραµετρο ǫ ειναι συνεχη, εχουµε τη δυνατοτητα ναπαραγωγισουµε τη Λαγκρανζιανη ω προ ǫ και να εκφρασουµε τη συµ-µετρια τη Λαγκρανζιανη ισοδυναµα ω ακολουθω :

∂Lǫ

∂ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

= 0 . (5.2)

Ο µηδενισµο τη παραγ£ωγου στο ǫ = 0, αν και στο συγκεκριµενο παρα-δειγµα φαινεται να µην εχει κανενα ιδιαιτερο νοηµα (η παραγωγο ειναι

5.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 117

ιδια ανεξαρτητω τη τιµη του ǫ), ειναι, οπω θα δουµε αργοτερα, η µο-ναδικη αναγκαια συνθηκη που εξασφαλιζει την υπαρξη διατηρουµενωνποσοτητων. Στο συγκεκριµενο παραδειγµα, αυτη η συνθηκη εξασφαλιζε-ται απο το γεγονο οτι

∂L

∂θ= 0 ,

µια σχεση που µε τη σειρα τη συνεπαγεται, οπω ειδαµε, τη διατηρησητη στροφορµη pθ. Συµπεραινουµε, λοιπον, οτι η διατηρηση τη στρο-φορµη πηγαζει απο την αναλλοιοτητα τη Λαγκρανζιανη σε στροφε.Α εξετασουµε στη συνεχεια αλλο ενα παραδειγµα£ωστε να µπορεσου-

µε να γενικευσουµε τα προηγουµενα συµπερασµατα µα. Εστω δυο σω-µατιδια, τα οποια κινουνται σε µια ευθεια και αλληλεπιδρουν µε καποιοδυναµικο νευτ£ωνειου τυπου. Αν ονοµασουµε τι θεσει των σωµατιδιων Παραδειγµα οπου η

χωρικη µεταθεση

αποτελει συµµετρια

x1 και x2 αντιστοιχα, η Λαγκρανζιανη τουτου του συστηµατο θα ειναι

L =1

2(m1x

2

1 + m2x2

2) − V (|x1 − x2|) . (5.3)

Υπαρχει, αραγε, συνεχη µετασχηµατισµο των συντεταγµενων, ο οποιοαφηνει αναλλοιωτη τη Λαγκρανζιανη; Πραγµατι υπαρχει· προκειται γιατο µετασχηµατισµο

x1 → X1(ǫ) ≡ x1 + ǫ , x2 → X2(ǫ) ≡ x2 + ǫ ,

ο οποιο αφηνει αναλλοιωτη τη Λαγκρανζιανη, διοτι αφενο η κινητικηενεργεια δεν µετα1αλλεται (Xi(ǫ) = xi, µε i = 1, 2) και αφετερου η δυνα-µικη ενεργεια δεν αλλαζει, αφου η αποσταση µεταξυ των σωµατιδιων δενεπηρεαζεται απο αυτο το µετασχηµατισµο. Οπω και στο προηγουµενοπαραδειγµα, επειδη

∂Lǫ

∂ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

= 0 ,

ισχυει επιση οτι∂L

∂x1

+∂L

∂x2

= 0 , (5.4)

αφου ειναι

∂Lǫ

∂ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

=

[∂Lǫ

∂X1(ǫ)

∂X1(ǫ)

∂ǫ+

∂Lǫ

∂X2(ǫ)

∂X2(ǫ)

∂ǫ

]

ǫ=0

=∂L

∂x1

+∂L

∂x2

.

Ετσι, οι εξισ£ωσει Euler - Lagrange προστιθεµενε δινουν

d

dt

(∂L

∂x1

+∂L

∂x2

)= 0 . (5.5)

Το γεγονο, λοιπον, οτι η Λαγκρανζιανη ειναι αναλλοιωτη σε µεταθεσει(αυτο ακρι1£ω πραγµατοποιει ο µετασχηµατισµο που χρησιµοποιησαµε)οδηγησε σε διατηρηση τη ποσοτητα

∂L

∂x1

+∂L

∂x2

= m1x1 + m2x2 ,


δηλαδη τη ολικη ορµη του συστηµατο των σωµατιδιων. Απο τη νευ-τ£ωνεια µηχανικη γνωριζουµε οτι η διατηρηση τη ολικη ορµη ειναι απο-τελεσµα του τριτου νοµου του Νευτωνα, τον οποιο στην ουσια εχουµε λα-1ει υποψη στην κατασκευη του δυναµικου αλληλεπιδραση, θεωρ£ωνταοτι το V ειναι συναρτηση του x1−x2 και οχι µια αυθαιρετη συναρτηση τωνx1, x2. Στο παραπανω παραδειγµα δειξαµε οτι η διατηρηση τη ολικηορµη ειναι ισοδυναµω συνεπεια τη αναλλοιοτητα του δυναµικου σεχωρικε µεταθεσει. Κατ αρχα δεν θα µπορουσαµε να αποφανθουµε ανο ενα απο του δυο νοµου –ο τριτο νοµο του Νευτωνα η η αναλλοιο-τητα τη Λαγκρανζιανη ενο αποµονωµενου συστηµατο σε χωρικε µε-ταθεσει του συστηµατο συντεταγµενων– ειναι πιο θεµελι£ωδη απο τοναλλο. Εφοσον, οµω, η διατηρηση τη ολικη ορµη που συνεπαγεται ηαναλλοιοτητα τη Λαγκρανζιανη υπο καποιο συνεχη µετασχηµατισµοτων συντεταγµενων ειναι ευρυτερη εφαρµογη, µπορουµε να υποστηρι-ξουµε οτι η αναλλοιοτητα τη Λαγκρανζιανη σε καποιου µετασχηµατι-σµου,ω αντανακλαση των αντιστοιχων συµµετρι£ων του Συµπαντο, κα-τεχει πιο θεµελι£ωδη θεση στη φυσικη απο τη διατηρηση τη ορµη η αλλωνγνωστ£ων ποσοτητων µεµονωµενα.Η παρατηρηση αυτη, οτι δηλαδη οι διατηρουµενε ποσοτητε προκυ-Η Noether διατυπ£ωνει

και αποδεικνυει το

οµ£ωνυµο θε£ωρηµα

πτουν απο την αναλλοιοτητα τη Λαγκρανζιανη σε καποιου συνεχειµετασχηµατισµου, εχει την ισχυ θεωρηµατο, του επονοµαζοµενου θεω-ρηµατο τη Noether (1918). H Emmy Noether [1882-1935], µια εξαιρετηµαθηµατικο και θεωρητικο φυσικο, ηταν η πρ£ωτη που διε1λεψε καιαπεδειξε τη σχεση µεταξυ συµµετρι£ων και διατηρουµενων ποσοτητων,θεµα που ανεπτυξε κατα την υφηγεσια τη στο Πανεπιστηµιο του Gɻottin-

gen στη Γερµανια. Ειναι ασυνηθιστο ενα τοσο σπουδαιο θε£ωρηµα να φε-ρει το ονοµα µια γυναικα. Αντιθετα απο ο,τι συµ1αινει στη σηµερινηεποχη, λιγε ηταν εκεινη την εποχη οι γυναικε που σπουδαζαν και ακοµηλιγοτερε εκεινε που συνεχιζαν τι σπουδε µετα το πτυχιο του. Η κοι-νωνια των αρχ£ων του 20ου αι£ωνα αντιµετ£ωπιζε µε προκαταληψη τι λιγο-στε γυναικε που προ1αλλαν αξι£ωσει για την καταληψη υψηλ£ωνακαδη-µακ£ων θεσεων. Στην περιπτωση, µαλιστα, τη Noether η προκαταληψηαυτη εκδηλ£ωθηκε µε την αρνηση των πρυτανικ£ων αρχ£ων του Πανεπιστη-µιου του Gɻottingen να κανουν δεκτη την υφηγεσια τη, οταν πρωτοκατα-τεθηκε το 1915. Ο τιτλο του υφηγετη τελικα τη απονεµηθηκε τεσσεραχρονια αργοτερα, το 1919, 1 κατοπιν πιεσεων του καθηγητη τη Noether,David Hilbert [1862-1943].

Οταν η Λαγκρανζιανη παραµενει αναλλοιωτη σε καποιο συνεχη µε-Συνεχει και διακριτε

συµµετριε τασχηµατισµο, ο µετασχηµατισµο αυτο λεγεται (συνεχη) συµµετρια τηΛαγκρανζιανη, µε την ιδια λογικη που ο ορθο κυλινδρο λεµε οτι πα-ρουσιαζει κυλινδρικη συµµετρια, αφου δεν υφισταται καµια αλλαγη οτανστραφει γυρω απο τον αξονα του. Στα παραδειγµατα που ηδη εξετασαµεδιαφαινεται η αναγκη θε£ωρηση µετασχηµατισµ£ων που εξαρτ£ωνται συνε-χ£ω και µε διαφορισιµο τροπο απο καποια παραµετρο ǫ. Οι διατηρουµε-

1Για περισσοτερε λεπτοµερειε σχετικα µε τη ζωη τηNoether µπορειτε να δια1ασετετο αρθρο “The Life and Times of Emmy Noether” τη N. Byers (βλ. την ιστοσελιδα http ://xxx.lanl.gov/PS_cache/hep− th/pdf/9411/9411110.pdf )

5.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 119

νε ποσοτητε προεκυψαν απο τη διαφοριση τη Λαγκρανζιανη ω προαυτην ακρι1£ω την παραµετρο. Αυτο δεν θα ηταν εφικτο αν η συµµετριαηταν διακριτη. Ω παραδειγµα διακριτη συµµετρια µπορουµε να θεω-ρησουµε τον κατοπτρισµο των συντεταγµενων

xi → Xi ≡ −xi

στο προ1ληµα των δυο αλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιων. Aυτο ο µετασχη-µατισµο που δεν εξαρταται απο καποια συνεχη παραµετρο αποτελει δια-κριτη συµµετρια τη Λαγκρανζιανη, η οποια στην κλασικη µηχανικη,αντιθετα απ ο,τι συµ1αινει στην κ1αντικη µηχανικη, δεν παραγει καµιαδιατηρουµενη ποσοτητα. Μια αλλη διακριτη συµµετρια για το ιδιο προ-1ληµα µε σωµατιδια ιδια µαζα ειναι η εναλλαγη των σωµατιδιων

x1 → x2 , x2 → x1 .

Ωστοσο και αυτη η συµµετρια δεν οδηγει στη διατηρηση καποια ποσο-τητα στην κλασικη µηχανικη.Απο την παραπανω αναλυση φαινεται οτι για την κατασκευη τη δια- Απειροστοι και

πεπερασµενοι

µετασχηµατισµοι

τηρουµενη ποσοτητα αρκει να γνωριζουµε µονο την απειροστη, σε πρ£ω-τη δηλαδη ταξη, εξαρτηση του µετασχηµατισµου απο την παραµετρο ǫ. Ηαπειροστη αυτη µορφη του µετασχηµατισµου, οπω θα δουµε, αρκει γιανα προσδιορισουµε πληρω το µετασχηµατισµο, αφου µπορουµε βηµα-βηµα να οικοδοµησουµε το µετασχηµατισµο για καθε πεπερασµενη τιµητου ǫ.

5.2 Το θε£ωρηµα τη Noether

Σε τουτο το εδαφιο θα διατυπ£ωσουµε το θε£ωρηµα τη Noether σε δυοφασει, για να γινει πιο κατανοητο, και θα το αποδειξουµε. Στη συνε-χεια θα το εφαρµοσουµε σε ενα συστηµα αλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιωνµε στοχο να εξετασουµε απο ποιε συµµετριε πηγαζουν ολε οι γνωστεδιατηρουµενε ποσοτητε (ορµη, στροφορµη, ενεργεια) καθ£ω επιση καικαποιε αλλε ποσοτητε που συνδεονται µε του γαλιλαικου µετασχη-µατισµου.Προτου διατυπ£ωσουµε το θε£ωρηµα τηNoether, θα παρουσιασουµε τη Η εννοια του συνεχου

µετασχηµατισµου των

συντεταγµενων

γενικοτερη µορφη ενο συνεχου µετασχηµατισµου συντεταγµενων. Ε-στω ενα φυσικο συστηµα που περιγραφεται απο τι N γενικευµενε συ-ντεταγµενε q1, q2, . . . , qN . Α θεωρησουµε επιση N νεε συναρτησειQ1, Q2, . . . , QN των αρχικ£ων συντεταγµενων qi καθ£ω και µια νεα συ-νεχου µετα1λητη ǫ, τετοιε £ωστε

Qa(q1, q2, . . . , qN , ǫ) = qa , οταν ǫ = 0 . (5.6)

Οι συναρτησει αυτε θα παιξουν το ρολο των νεων συντεταγµενων. Ηπαραµετρο ǫ ειναι αυτη που µε συνεχη τροπο αλλαζει τι συντεταγµε-νε απο q σε Q, εν£ω, οταν ǫ = 0, οι συντεταγµενε q και Q συµπιπτουν


µια προ µια (βλ. Σχηµα 5.1). Ενα τετοιο µετασχηµατισµο ονοµαζε-ται συµµετρια τη Λαγκρανζιανη, αν η Λαγκρανζιανη στι νεε συντε-ταγµενε δεν αλλαζει αριθµητικα σε πρ£ωτη ταξη ω προ την παραµετροǫ, δηλαδη

L

(Q(q, ǫ),

dQ(q, ǫ)

dt, t

)= L(q, q, t) + O(ǫ2) ,

οπου µε τι q η Q υπονοουµε τη N-αδα των αντιστοιχων συντεταγµενων.H συναρτησιακη µορφη τηΛαγκρανζιανη µπορει να αλλαξει, οταν αυτηγραφει ω συναρτηση τωνQ αντι των q, αλλα η αριθµητικη τη τιµη θα ει-ναι ιδια, οταν αναφερεται στην ιδια θεση και ταχυτητα του συστηµατο σεµια ορισµενη χρονικη στιγµη, ειτε αυτε εκφραζονται µεσω των q, q, ειτεµεσω των Q, Q.

Επειδη η παραµετρο ǫ ειναι συνεχη, α θεωρησουµε την οικογενειατων απειροστ£ων µετασχηµατισµ£ων

Qi(q, ǫ ∼= 0) ∼= Qi(q, 0) + ǫ∂Qi

∂ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

≡ qi + ǫKi(q) ,

οι οποιοι προσεγγιζουν το γενικο µετασχηµατισµοQi(q, ǫ) για µικρα ǫ. Οι

Σχηµα 5.1: Σε αυτο το σχηµα απεικονιζονται οι συντεταγµενε του φυσικου συστηµατογια διαφορε τιµε του ǫ. Οσο µεγαλ£ωνει η τιµη τη παραµετρου ǫ τοσο διαφοροποιου-νται οι καινουργιεQ συντεταγµενε απο τι αρχικε q συντεταγµενε. Για ǫ = 0 (κατ£ω-τερο πλεγµα) οι q και Q συντεταγµενε συµπιπτουν, εν£ω για ǫ 6= 0 ειναι διαφορετικε.∆ηλαδη, το καθε σηµειο του χ£ωρου (επανω στο κατ£ωτερο πλεγµα) µπορει να καθορι-στει ειτε µεσω των qi, ειτε µεσω των Qi, οι οποιε οµω εχουν διαφορετικε τιµε οταν ηπαραµετρο ǫ ειναι µη µηδενικη. Ετσι, η καθε Qi συντεταγµενη καποιου σηµειου τουχ£ωρου µπορει να εκφραστει ω συναρτηση των qj και τη παραµετρου ǫ.

απειροστοι µετασχηµατισµοι επαναλαµ1ανοµενοι µπορουν να οικοδοµη-σουν τον πεπερασµενο µετασχηµατισµο. Yπο αυτη την εννοια, ο µετα-σχηµατισµο προσδιοριζεται πληρω απο τι συναρτησει Ki(q) µε i =1, 2, . . . , N , οι οποιε λεγονται και γεννητορε του µετασχηµατισµου. Σεεποµενο κεφαλαιο, οπου θα αναλυσουµε διεξοδικα τη δραση του µετα-σχηµατισµου των στροφ£ων, θα εχουµε την ευκαιρια να παρουσιασουµε

5.2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 121

τον τροπο µε τον οποιο οι γεννητορε µια απειροστη στροφη παραγουνµια πεπερασµενη στροφη.Ειµαστε τ£ωρα πια σε θεση να διατυπ£ωσουµε το θε£ωρηµα τη Noether

σε µια πρ£ωτη µορφη .

Το θε£ωρηµα τηNoether : Εαν ηΛαγκρανζιανη ενο συστηµατο ∆ιατυπωση και

αποδειξη του

θεωρηµατο τη

Noether (περιορισµενη

µορφη)

ειναι συµµετρικη σε καποιου συνεχει απειροστου µετασχη-µατισµου Ki, τοτε η ποσοτητα

N∑

i=1

Kipi

διατηρειται, οπου pi ειναι η γενικευµενη ορµη (∂L/∂qi), συζυ-γη τη qi.

Αποδειξη: Αν γραψουµε τη Λαγκρανζιανη στι νεε συντεταγµενε καιαναπτυξουµε ω προ την απειροστη παραµετρο ǫ, επειδη Q = q + ǫKεχουµε

L(Q, Q, t) = L(q + ǫK, q + ǫK, t)

= L(q, q, t) + ǫ

(∂L

∂qi

Ki +∂L

∂qi

Ki

)+ O(ǫ2) , (5.7)

υπονο£ωντα την αθροιστικη συµ1αση για επαναλαµ1ανοµενου δεικτε.Αφου η Λαγκρανζιανη ειναι συµµετρικη ω προ του µετασχηµατισµουαυτου, η πρ£ωτη ταξη ω προ ǫ ποσοτητα στο αναπτυγµα (5.7) πρεπεινα ειναι ταυτοτικα µηδεν. Εποµενω, η αναλλοιοτητα τη Λαγκρανζιανησυνεπαγεται

∂L

∂qiKi +

∂L

∂qiKi = 0 . (5.8)

Επειδη, οµω, η qi(t) ειναι φυσικη τροχια του συστηµατο και ικανοποιειτι εξισ£ωσει Euler - Lagrange, θα ισχυει ακοµη οτι

d

dt

(∂L

∂qi

)=

∂L

∂qi

,

και ω εκ τουτου η (5.8) µπορει να γραφει, µε χρηση τη αθροιστικη συµ-1αση, ω εξη :

∂L

∂qi

Ki +∂L

∂qi

Ki =d

dt

(∂L

∂qi

)Ki +

∂L

∂qi

d

dtKi

=d

dt

(∂L

∂qiKi

)= 0 .

Συνεπ£ω, η συµµετρια τη Λαγκρανζιανη οδηγει στη διατηρηση, κατα τηφυσικη κινηση του συστηµατο, τη ποσοτητα

∂L

∂qiKi , (5.9)

δηλαδη στη διατηρηση τη συνισταµενη των γενικευµενων ορµ£ων στη δι-ευθυνση του εκαστοτε γεννητορα τη συµµετρια.


5.3 ∆ιατηρηση ορµη και στροφορµη

Υπο το πρισµα του θεωρηµατο τηNoetherα επανεξετασουµε το πα-ραδειγµα που συναντησαµε στο εισαγωγικο εδαφιο του παροντο κεφα-λαιου σε γενικοτερη, τ£ωρα, µορφη. Εστω N σωµατιδια που αλληλεπι-δρουν µε νευτ£ωνειε δυναµει, δηλαδη συντηρητικε δυναµει που ικα-νοποιουν τον τριτο νοµο του Νευτωνα. Η Λαγκρανζιανη αυτου του συ-στηµατο ειναι

L =N∑

i=1

1

2mi|~xi|

2 −N∑

i=1

N∑

j=i+1

V (|~xi − ~xj |) . (5.10)

Το διπλο αθροισµα δικαιολογειται απο το γεγονο οτι πρεπει να ληφθουνοι δυναµικε ενεργειε αλληλεπιδραση για καθε ζευγο σωµατιδιων. Τοj > i στη δευτερη αθροιση εξασφαλιζει οτι καθε ζευγο σωµατιδιων λαµ-1ανεται µονο µια φορα. Ειναι ευκολο να διαπιστ£ωσει κανει, οτι, αν εκτε-λεσει τον ακολουθο µετασχηµατισµο συντεταγµενωνΑπλε µεταθεσει

των χωρικ£ων

συντεταγµενων~Xi = ~xi + ǫ~r , (5.11)

δηλαδη αν µετατοπισει ολα τα σωµατιδια στη διευθυνση του~r, ηΛαγκραν-ζιανη δεν θα µετα1ληθει. Παρατηρουµε οτι σε αυτον το µετασχηµατισµοοι ταχυτητε παραµενουν αµετα1λητε, αφου το ~r ειναι ενα σταθερο διανυ-σµα· αµετα1λητε επιση παραµενουν και οι σχετικε αποστασει µεταξυτων σωµατιδιων. Ποια διατηρουµενη ποσοτητα κρυ1εται πισω απο αυτηντη συµµετρια τη Λαγκρανζιανη; Ο γεννητορα του µετασχηµατισµου ει-ναι ο

~Ki =∂ ~Xi

∂ǫ

∣∣∣∣∣ǫ=0

= ~r .

Αφου το συνολικο πληθο των συντεταγµενων του συστηµατο ειναι 3N–τρει για καθε σωµατιδιο–, υπαρχουν 3N γεννητορε, του οποιου γιαευκολια εχουµε οµαδοποιησει σε N τριαδε γραφοντα του ω διανυ-σµατα. Τ£ωρα, ειναι ευκολο να διακρινουµε τη διατηρουµενη ποσοτητα.Προκειται για την

~r ·N∑

i=1

∂L

∂~xi

= ~r ·N∑

i=1

mi~xi = ~r · ~Pολ . (5.12)

Η παραγωγο ω προ το διανυσµα ~xi που εµφανιζεται στι παραπανωσχεσει µπορει να θεωρηθει ω ενα συµ1ολικο τροπο γραφη ενο δια-νυσµατο, οι συνιστ£ωσε του οποιου ειναι οι παραγωγοι ω προ την καθεσυνιστ£ωσα του ~xi. Με αυτον το συµ1ολισµο το αθροισµα ολων των γινο-µενων των γεννητορων µε τι αντιστοιχε ορµε εχει αντικατασταθει µεενα εσωτερικο γινοµενο.Αφου το διανυσµα που οριζει τη χωρικη µεταθεση ~r ειναι αυθαιρετο,Η διατηρηση τη ορµη

ω συνεπεια τη

οµογενεια του χ£ωρου

η συνολικη ορµη, ~Pολ, του συστηµατο των σωµατιδιων διατηρειται στα-θερη σε καθε κατευθυνση. Η διατηρηση τη ορµη ειναι αποτελεσµα του

5.3. ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 123

Σχηµα 5.2: Το διανυσµα ~x στρεφεται απειροστα κατα γωνια ǫ γυρω απο τον αξονα n.

οτι οι χωρικε µεταθεσει αποτελουν συµµετρια τη Λαγκρανζιανη, γε-γονο το οποιο µε τη σειρα του οφειλεται στην οµογενεια του χ£ωρου, στοοτι δηλαδη ολα τα σηµεια του χ£ωρου ειναι ισοδυναµα. Εποµενω, αν µε-ταφερουµε ενα συστηµα σωµατιδιων απο µια περιοχη του χ£ωρου σε αλλη,το συστηµα θα συµπεριφερθει και θα εξελιχθει µε τον ιδιο ακρι1£ω τροπο.Συµφωνα µε τι συγχρονε αντιληψει περι διαστελλοµενου Συµπαντο οχ£ωρο, αν και ειναι καµπυλο, ειναι και παλι οµογενη· 2 η κατανοµη τωνσµην£ων των γαλαξι£ων ειναι σε πολυ µεγαλο βαθµο οµοιοµορφη και ετσισε οποια θεση του Συµπαντο και αν µεταφερθουµε θα παρατηρουµε τηνιδια κατανοµη υλη γυρωµα. Αξιζει να επισηµανουµε οτι τουτο αποτελειενα απο τα θεµελι£ωδη ερωτηµατα τη συγχρονη αστροφυσικη : γιατι τοΣυµπαν εµφανιζει τετοια οµοιοµορφια; Π£ω καταφερε να εξαλειψει σχε-δον ολοκληρωτικα καθε ανοµοιοµορφια που πιθαν£ω υπηρχε στα πρ£ωιµασταδια τη διαστολη του;

Σε αυτο το σηµειο τη µελετη µα αρχιζουµε να υποψιαζοµαστε τηνυπαρξη καποια αλλη δυνατη συµµετρια τηΛαγκρανζιανη (5.10) τουσυστηµατο των N σωµατιδιων. Αν στρεψουµε το συστηµα συντεταγµε- Η διατηρηση τη

στροφορµη ω

συνεπεια τη

ισοτροπια του

χ£ωρου

νων, θα αλλαξει η θεση των συντεταγµενων των σωµατιδιων, αλλα οι απο-στασει µεταξυ αυτ£ων, ω µηκη διανυσµατων, θα παραµεινουν σταθερε,εν£ωοι ταχυτητε των σωµατιδιων,ω µηκη διανυσµατων, θα διατηρησουντο µετρο του. Οι στροφε, λοιπον, αποτελουν συµµετρια τη Λαγκρανζι-ανη. Α κατασκευασουµε το γεννητορα των στροφ£ων, για να δουµε σε τιδιατηρουµενε ποσοτητε θα οδηγηθουµε.3 Σε εποµενο κεφαλαιο, οπουθα αναλυσουµε διεξοδικα το θεµα των στροφ£ων, θα δειξουµε οτι οι συ-ντεταγµενε στην περιπτωση των απειροστ£ων στροφ£ων µεγεθου ∆φ = ǫγυρω απο τον αξονα n µετασχηµατιζονται ω ακολουθω : Απειροστε στροφε

~X = ~x + ǫn × ~x . (5.13)

2Οµογενη ειναι και η επιφανεια µια σφαιρα, τα σηµεια τη οποια δεν διακρινονταιτο ενα απο το αλλο, παρολο που η σφαιρα ειναι καµπυλο χ£ωρο.

3Κατ αντιστοιχια µε το πρ£ωτο παραδειγµα που χρησιµοποιησαµε στο παρον κεφα-λαιο πιθαν£ω να εχετε ηδη µαντεψει οτι αυτο που προκειται να διατηρηθει ειναι η στρο-φορµη κατα µηκο του αξονα τη στροφη.


Θααρκεστουµε εδ£ω να δικαιολογησουµε απλ£ω την περιεργη αυτη µορφητου µετασχηµατισµου (βλ. Σχηµα 5.2). Το απειροστο διανυσµα που προ-στιθεται στην αρχικη θεση ειναι καθετο και στην αρχικη θεση και στο δια-νυσµα n, εποµενω επιτυγχανει ο,τι και µια στροφη του ~x γυρω απο το n.Το µετρο τη µετατοπιση του ~x ειναι ǫ|~x| sin(~x, n), ακρι1£ω οση και η µε-τακινηση που θα του επεφερε µια πολυ µικρη στροφη µεγεθου ǫ. Σηµει£ω-νουµε οτι οι στροφε που εκτελεστηκαν ηταν απειροστε –οι πεπερασµε-νου µεγεθου στροφε εχουν καπω διαφορετικη µορφη (βλ.Κεφαλαιο 6).Ο γεννητορα, λοιπον, των απειροστ£ων στροφ£ων ειναι o

~K = n × ~x , (5.14)

και η αντιστοιχη διατηρουµενη ποσοτητα ειναι η

N∑

i=1

(n × ~xi) ·∂L

∂~xi

=N∑

i=1

(n × ~xi) · ~pi

= n ·N∑

i=1

(~xi × ~pi)

= n · ~Lολ , (5.15)

οπου

~Lολ =

N∑

i=1

(~xi × ~pi) ,

η συνολικη στροφορµη των σωµατιδιων. Εποµενω, η συνιστ£ωσα τη συ-νολικη στροφορµη των σωµατιδιων στην κατευθυνση του αξονα τηστροφη διατηρειται. Αφου το διανυσµα που οριζει τη στροφη n ειναι αυ-θαιρετο, η συνολικη στροφορµη του συστηµατο των σωµατιδιων διατη-ρειται σταθερη σε καθε κατευθυνση.Η συµµετρια τη Λαγκρανζιανη στι στροφε ειναι και παλι συνεπεια

τη ισοτροπια του Συµπαντο, δηλαδη τη ιδιοτητα συµφωνα µε την ο-ποια η εξελιξη ενο αποµονωµενου συστηµατο δεν εξαρταται απο το π£ωειναι στραµµενο το συστηµα µεσα στο Συµπαν. Αυτο αποτελει αλλη µιαυποθεση για τι βασικε ιδιοτητε του χ£ωρου, η οποια ειναι συµφωνη µετα παρατηρησιακα δεδοµενα, αφου σε οποιαδηποτε κατευθυνση και ανστρεψουµε το βλεµµα µα στο Συµπαν που µα περι1αλλει, θα παρατη-ρησουµε την ιδια κατανοµη γαλαξι£ων χωρι να υπαρχει καποια προεξαρ-χουσα διευθυνση.

Ασκηση 5.3. Εξεταστε ποιε συνιστ£ωσε τη στροφορµη και τη ορµη διατηρου-ΑΣΚΗΣΕΙΣνται για ενα σωµατιδιο, το οποιο κινειται µεσα στο βαρυτικο πεδιο που δηµιουργει µιαοµογενη κατανοµη µαζα σχηµατο (α) απειρου κυλινδρου, (β) απειρου κ£ωνου, (γ) απει-ρου επιπεδου, (δ) απειρη ευθεια, (ε) ηµιευθεια, (στ) ορθου πρισµατο, (ζ) ηµιαπειρουεπιπεδου, (η) τορου, (θ) σφαιρα, (ι) απειρη κυλινδρικη ελικα. [Σηµειωση: ∆εν ειναιαναγκη να γνωριζετε ακρι1£ω το βαρυτικο πεδιο παρα µονο τι συµµετριε του.](L. Lan-dau)

5.4. ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 125

5.4 Γενικο θε£ωρηµα τη Noether

Εχουµε αναφερθει εω τ£ωρα σε µετασχηµατισµου που µετα1αλλουνµε συνεχη τροπο τι συντεταγµενε καθορισµου τη θεση του συστηµα-το. Σεαυτου του µετασχηµατισµου ο χρονο δενεπαιζε καποιον ενερ-γητικο ρολο, αφου ο µετασχηµατισµο δεν εξαρτιοταν απο το χρονο, ουτεκαι ο χρονο υφιστατο καποιο µετασχηµατισµο. Στο παρον εδαφιο θαεπεκτεινουµε την εννοια τη συµµετρια στου γενικοτερου χωροχρονι-κου µετασχηµατισµου που αφηνουν αναλλοιωτη την ιδια τη δραση.4

Αθεωρησουµε, λοιπον, µια οικογενειααπειροστ£ων µετασχηµατισµ£ωντη µορφη Γενικοι χωροχρονικοι

µετασχηµατισµοιQi = qi + ǫKi(q1, q2, . . . , qN , t) ,

T = t + ǫτ(q1, q2, . . . , qN , t) , (5.16)

οι οποιοι αφηνουν τη δραση του συστηµατο που περιγραφεται απο τιN γενικευµενε συντεταγµενε qa αναλλοιωτη. Σε αυτο το σηµειο θα πρε-πει να γινει µια διευκρινιση του τι εννοουµε µε τον ορο αναλλοιοτητα τηδραση. Γνωριζουµε οτι η δραση ειναι το χρονικο ολοκληρωµα τη Λα-γκρανζιανη. Τι θα συµ1ει, οµω, αν αλλαξουµε την παραµετρο του χρο-νου; Ποια ορια ολοκληρωση θα χρησιµοποιησουµε τοτε για να υπολογι-σουµε τη δραση στι νεε χωροχρονικε συντεταγµενε; Αντιλαµ1ανοµα-στε οτι, αφου η δραση υπολογιζεται ω το ολοκληρωµα τη Λαγκρανζι-ανη µεταξυ δυο δεδοµενων χωροχρονικ£ων σηµειων, δεν εχει σηµασια τιχωροχρονικε συντεταγµενε θα χρησιµοποιησουµε για να περιγραψουµετα σηµεια αυτα. Θα θεωρουµε, λοιπον, οτι ο µετασχηµατισµο (5.16) απο-τελει συµµετρια τη δραση, οταν Συµµετρια τη δραση

S(Q, T ) = S(q, t) + O(ǫ2),

η ισοδυναµω οταν∫ T2

T1

L

(Q,

dQ

dT, T

)dT =

∫ t2

t1

L(q, q, t) dt + O(ǫ2) . (5.17)

Στην παραπανω εκφραση T1, T2 ειναι οι νεε χρονικε στιγµε που αντι-στοιχουν στι συντεταγµενε και στι χρονικε στιγµε του αρχικου και τε-λικου χωροχρονικου σηµειου µεταξυ των οποιων υπολογιζεται η δραση.Ετσι

T1 = T (q(t1), t1) και T2 = T (q(t2), t2) .

Ω απλο παραδειγµα χωροχρονικη συµµετρια τη δραση α θεω-ρησουµε ενα ελευθερο σωµατιδιο στο χ£ωρο, το οποιο, οπω γνωριζουµε,διεπεται απο τη Λαγκρανζιανη

L =m

2|~x|2 .

4Θα ηταν ισω ορθοτερο να µιλαµε για συµµετρια τη δραση και οχι για συµµετριατη Λαγκρανζιανη, οπω καναµε στο προηγουµενο εδαφιο. ∆εδοµενου οτι ο χρονοδεν υφισταται κανενα µετασχηµατισµο, αν η Λαγκρανζιανη ειναι αναλλοιωτη σε καποιοµετασχηµατισµο, θα ειναι αναλλοιωτη και η δραση.


Η δραση που αντιστοιχει στην οµαλη και ευθυγραµµη φυσικη κινηση τουσωµατιδιου απο το ~x1 τη χρονικη στιγµη t1 στο ~x2 τη χρονικη στιγµη t2,ειναι

S =m

2

|~x2 − ~x1|2

t2 − t1.

Παρατηρουµε οτι η δραση ειναι αναλλοιωτη στον αµιγ£ω χρονικο µετα-σχηµατισµο t → t + ǫ και συνεπ£ω η χρονικη µεταθεση αποτελει συµµε-τρια τη δραση του ελευθερου σωµατιδιου. Επιση απο την εκφραση τηδραση φαινεται οτι και οι χωρικε µεταθεσει ~x → ~x + ǫ~a, οπου ~a ειναιενα σταθερο διανυσµα, ειναι και αυτε συµµµετριε τη δραση.

Ασκηση 5.4. ∆ειξτε οτι η χρονικη µεταθεση T = t + ǫ , Q = q µετασχηµατιζειΑΣΚΗΣΕΙΣτι τροχιε ετσι £ωστε να ικανοποιειται η σχεση Q(T ) = q(T − ǫ). Σχεδιαστε µια τροχιαπριν και µετα το µετασχηµατισµο. ∆ειξτε ακοµη οτι για ολε τι χρονοανεξαρτητε Λα-γκρανζιανε L(q, q) η χρονικη µεταθεση ικανοποιει τη σχεση (5.17) και εποµενω ειναισυµµετρια τη δραση.

Η παραγωγο dQ/dT , που εµφανιζεται στην (5.17) ω µια απο τι µε-τα1λητε τη νεα Λαγκρανζιανη, ειναι

dQ

dT=

Q

T

=q + ǫK

1 + ǫτ

= q + ǫ(K − τ q) + O(ǫ2) ,

οπου η τελεια στι παραπανω ποσοτητε, για παραδειγµα στην Q, συµ1ο-λιζει ολικη παραγ£ωγιση ω προ t. Στου µετασχηµατισµου (5.16) η ǫ ει-ναι µια απειροστη ποσοτητα και ω εκ τουτου η αναλλοιοτητα τη δραση(5.17) σηµαινει οτι σε πρ£ωτη ταξη ω προ ǫ η αριστερη εκφραση για τηδραση δεν διαφερει απο τη δεξια. Αν, τ£ωρα, αναπτυξουµε την αριστερηεκφραση για τη δραση ω προ ǫ, φροντιζοντα να αλλαξουµε και παλι τηµετα1λητη ολοκληρωση απο T σε t, £ωστε να αποφυγουµε την εξαρτησητων οριων απο το ǫ, θα εχουµε

S(Q, T ) =

∫ t2

t1

dtdT

dtL

(q + ǫK,

q + ǫK

T, t + ǫτ

)

=

∫ t2

t1

dt (1 + ǫτ )

[L(q, q, t) +

∂L

∂qiǫKi +

∂L

∂qiǫ(Ki − qiτ ) +

∂L

∂tǫτ

]

+ O(ǫ2)

= S(q, t) + ǫ

∫ t2

t1

dt

[Lτ +

∂L

∂qi

Ki +∂L

∂qi

(Ki − qiτ) +∂L

∂tτ

]

+ O(ǫ2) . (5.18)

Το ολοκληρωµα ταξη ǫπου εµφανιζεται στην τελευταια εκφραση τη σχε-ση (5.18) θελουµε να ειναι µηδενικο £ωστε η δραση να ειναι συµµετρικη

5.4. ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ NOETHER 127

Σχηµα 5.3: Στο ιδιο διαγραµµα παριστανονται οι ισο-q και οι ισο-t γραµµε (συνεχειγραµµε) καθ£ω και οι ισο-Q και οι ισο-T γραµµε (διακεκοµµενε γραµµε). Η φυσικηδιαδροµη του συστηµατο (παχια καµπυλη) ειναι προφαν£ω ιδια, ειτε χρησιµοποιησεικανει τι παλιε ειτε τι καινουργιε χωροχρονικε συντεταγµενε για να την περιγρα-ψει. Απλ£ω στον υπολογισµο τη δραση τα ορια ολοκληρωση θα αλλαξουν απο t1, t2σε T1, T2 και η Λαγκρανζιανη θα πρεπει να υπολογιζεται σε διαφορετικε συντεταγµε-νε (Q, T ) αντι των (q, t) και σε διαφορετικε ταχυτητε dQ/dT αντι των dq/dt, οπωφαινεται στη µεγεθυσµενη λεπτοµερεια του σχηµατο.

στο µετασχηµατισµο που θεωρησαµε. Στηριζοµενοι στι εξισ£ωσει Euler -Lagrange που ισχυουν για τη φυσικη διαδροµη του συστηµατο, δεν ειναιδυσκολο να αποδειξουµε οτι η ολοκληρωτεα ποσοτητα στη σχεση (5.18)που προσδιοριζει τη διαφορα ταξη ǫ των δρασεων ειναι µια τελεια χρο-νικη παραγωγο

Lτ +∂L

∂qiKi +

∂L

∂qi(Ki − qiτ ) +

∂L

∂tτ =

d

dt

[Ki

∂L

∂qi

+

(L −

∂L

∂qi

qi

)τ

]. (5.19)

Ασκηση 5.5. Επι1ε1αι£ωστε την ισοτητα (5.19). [Υποδειξη: Χρησιµοποιηστε τι εξι- ΑΣΚΗΣΕΙΣσ£ωσει Euler - Lagrange οπου χρειαζεται.]

Ο µηδενισµο του ολοκληρ£ωµατο τη τελεια χρονικη παραγ£ωγου(5.19) συνεπαγεται οτι η ποσοτητα

Ki∂L

∂qi+

(L −

∂L

∂qiqi

)τ , (5.20)

λαµ1ανει την ιδια τιµη στην αρχικη και την τελικη χρονικη στιγµη t1 καιt2 αντιστοιχα. Επειδη οµω οι χρονικε στιγµε t1 και t2 ειναι αυθαιρετε,


συµπεραινουµε οτι η ποσοτητα (5.20) διατηρειται κατα την κινηση. Ηδια-τηρουµενη ποσοτητα (5.20) µπορει πιο κοµψα, αλλα και πιο φυσικα, ναγραφει ω

Kipi − Eτ , (5.21)

οπου pi ειναι οι γενικευµενε ορµε καιE η γενικευµενη ενεργεια (το ολο-κληρωµα του Jacobi) του συστηµατο. Σεπεριπτωση συµµετρια που αφο-ρα µονο σε µετασχηµατισµου των χωρικ£ων συντεταγµενων (οταν τ = 0)λαµ1ανουµε τη διατηρηση τη ποσοτητα Kipi που ειδαµε σε προηγου-µενο εδαφιο, εν£ω σε συµµετρια που αφορα σε µετασχηµατισµο µονο τουχρονου (οταν Ki = 0) προκυπτει η διατηρηση τη ενεργεια.Η διατηρηση τη

ενεργεια ω

συνεπεια τη

οµογενεια του χρονου

Σε αυτο το σηµειο ειµαστε σε θεση να απαντησουµε αµεσω στο ερ£ω-τηµα ποια διατηρουµενη ποσοτητα συνεπαγεται η µη εκπεφρασµενη εξαρ-τηση απο το χρονο µια Λαγκρανζιανη. Αν θεωρησουµε το µετασχηµα-τισµο

Qi = qi , T = t + ǫ , (5.22)

δηλαδη Ki = 0, τ = 1, που προκαλει µεταθεση στο χρονο διχω καµιαµετα1ολη των συντεταγµενων, παρατηρουµε οτι η αντιστοιχη διατηρου-µενη ποσοτητα ειναι η

E ≡∂L

∂qiqi − L . (5.23)

Με αλλα λογια, συστηµατα που ειναι συµµετρικα σε µεταθεσει στο χρονοδιατηρουν την ενεργεια του. Για την ακρι1εια, η ποσοτητα (5.23) συµπι-πτει µε την ενεργεια του συστηµατο, κινητικη + δυναµικη, εφοσον η κι-νητικη ενεργεια περιγραφεται απο την κλασικη διγραµµικη µορφη

1

2Aij(q)qiqj

και η δυναµικη ενεργεια ειναι συναρτηση µονο των θεσεων.Αυτη, λοιπον, ειναι και η βαθυτερη αιτια στην οποια οφειλεται η δια-

τηρηση τη ενεργεια : η οµογενεια του χρονου, το γεγονο δηλαδη οτικαµια χρονικη στιγµη δεν ξεχωριζει απο τι αλλε και ω εκ τουτου η µε-ταθεση ενο συστηµατο στο χρονο αφηνει αναλλοιωτη τη Λαγκρανζιανητου συστηµατο. Επειδη µαλιστα σε θεµελι£ωδε επιπεδο αυτο ισχυει γιαολε τι Λαγκρανζιανε των φυσικ£ων συστηµατων, η διατηρηση τη ενερ-γεια εχει τοσο ευρεια εφαρµογη. Ισω, αν δεν υπηρχε αυτη η συµµετριατων φυσικ£ων συστηµατων σε µεταθεσει στο χρονο και οι φυσικοι νοµοιαλλαζαν µε την παροδο του χρονου, η φυσικη να µην ειχε το χαρακτηραεπιστηµη.

Ασκηση 5.6. ∆ειξτε οτι για Λαγκρανζιανε τη µορφηΑΣΚΗΣΕΙΣ

L =1

2Aij(q)qiqj − V (q1, q2, . . . , qN )

η ποσοτητα τη εκφραση (5.23) δεν ειναι τιποτε αλλο παρα η ενεργεια του συστηµατο.

5.5. ΓΑΛΙΛΑΙɻΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 129

5.5 Η διατηρουµενη ποσοτητα που παραγεται

απο τη συµµετρια στου γαλιλαικου

µετασχηµατισµου

Εκτο απο τι προαναφερθεισε οφθαλµοφανει συµµετριε του Συ-µπαντο (οµογενεια και ισοτροπια χ£ωρου, οµογενεια χρονου) υπαρχει, ο-πω εχουµε αναφερει στο Κεφαλαιο 3, και µια συµµετρια που δεν ειναιγεωµετρικη, αλλα εχει αµεσο φυσικο περιεχοµενο : το γεγονο οτι, αν αλ-λαξουµε αδρανειακο συστηµα αναφορα και περιγραψουµε την κινησητου συστηµατο στο νεο συστηµα, οι εξισ£ωσει κινηση δεν αλλαζουν. Οµετασχηµατισµο που αντιστοιχει στη γαλιλαικη σχετικοτητα5 ειναι

~Xi(t) = ~xi(t) + ǫ~vt , (5.24)

οπου επιλεξαµε να γραψουµε τη σχετικη ταχυτητα των δυο εν λογω αδρα-νειακ£ων συστηµατων ω ǫ~v, £ωστε να µπορουµε να τη µετα1αλλουµε µε Ο µετασχηµατισµο του

Γαλιλαιουσυνεχη τροπο µεσω τη παραµετρου ǫ. Α ελεγξουµε στη συνεχεια αν οµετασχηµατισµο αυτο αποτελει συµµετρια τη δραση ενο αποµονωµε-νου µηχανικου συστηµατο αλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιων. Προφαν£ω οιαποστασει µεταξυ των σωµατιδιων δεν θα µετα1ληθουν, αν µετα1ουµεσε καποιο αλλο συστηµα αναφορα και συνεπ£ω δεν θα µετα1ληθει ουτεη δυναµικη ενεργεια αλληλεπιδραση µεταξυ δυο οποιωνδηποτε σωµατι-διων. Η κινητικη ενεργεια, οµω, των σωµατιδιων θα µετα1ληθει, αφου

~xi → ~xi + ǫ~v .

Εποµενω, η κινητικη ενεργεια ολου του συστηµατο θα αλλαξει σε

N∑

i=1

1

2mi~x

2

i →

N∑

i=1

1

2mi~x

2

i + ǫ~v ·

N∑

i=1

mi~xi + O(ǫ2) . (5.25)

Τον τελευταιο ορο δεν χρειαζεται να τον γραψουµε αναλυτικα, αφου ειναιταξηO(ǫ2) και εποµενω µα ειναι αδιαφορο για απειροστου µετασχη-µατισµου. Ταυτοχρονα, ο δευτερο ορο (ταξη O(ǫ)) στο αναπτυγµατη κινητικη ενεργεια ειναι τελεια χρονικη παραγωγο τη ποσοτητα

ǫ~v ·

N∑

i=1

mi~xi ,

µε αποτελεσµα η αλλαγη τη δραση που θα προκυψει απο την αλλαγητου συστηµατο αναφορα να ειναι µια σταθερα που εξαρταται απο τοαρχικο και το τελικο σηµειο τη θεωρουµενη διαδροµη, Η γαλιλαικη µετα1ολη

τη δραση5Εδ£ω ο ορο σχετικοτητα χρησιµοποιειται οπω και στη θεωρια τη σχετικοτητα τουΑνσταιν και δεν σηµαινει οτι “τα παντα ειναι σχετικα”, οπω εσφαλµενα παρερµηνευε-ται η θεωρια τη σχετικοτητα, αλλα οτι παρατηρητε που κινουνται ο ενα σε σχεσηµε τον αλλο παρατηρουν ακρι1£ω την ιδια δυναµικη εξελιξη των φυσικ£ων συστηµατων.Η θεωρια τη σχετικοτητα απλ£ω επεκτεινε αυτη την αρχη απο τα µηχανικα σε ολα ταφυσικα συστηµατα, συµπεριλαµ1ανοµενων και των οπτικ£ων φαινοµενων.


S → S + ǫ~v ·

N∑

i=1

mi[~xi(t2) − ~xi(t1)] . (5.26)

Η νεα ποσοτητα που προστιθεται στη δραση, οντα σταθερη, δεν αλλοι£ω-νει τι εξισ£ωσει κινηση, αφου η ιδια διαδροµη του συστηµατο στο χ£ωροκαθιστα και τη νεα ανα1αθµονοµηµενη δραση στασιµη. Ο µετασχηµατι-σµο, λοιπον, που εφαρµοσαµε µπορει να θεωρηθει µια πιο εκτεταµενησυµµετρια τη δραση· ο µετασχηµατισµο δεν µετα1αλλει σε πρ£ωτη ταξητη δραση περαν µια σταθερα. Ποια ειναι, οµω, η αντιστοιχη διατηρου-µενη ποσοτητα που πηγαζει απο αυτην τη συµµετρια;Μπορουµε να χρη-σιµοποιησουµε απευθεια την εκφραση (5.19) για τη διατηρουµενη ποσο-τητα που κατασκευασαµε στην περιπτωση του γενικου θεωρηµατο τηNoether;Ηαπαντηση στο τελευταιο ερ£ωτηµα ειναι αρνητικη, αφου ο γαλι-λαικο µετασχηµατισµο δεν αφηνει εντελ£ω ανεπηρεαστη τη δραση. Ανσυνδυασουµε τη συγκεκριµενη αλλαγη τη δραση µε εκεινη που προκυ-πτει απο ενα γενικο µετασχηµατισµο σε πρ£ωτη ταξη ω προ ǫ (βλ. σχε-ση(5.18)), λαµ1ανουµε

d

dt

[~v ·

N∑

i=1

mi~xi

]=

d

dt

[~Ki ·

∂L

∂~xi

+

(L −

∂L

∂~xi

· ~xi

)τ

]. (5.27)

Ο γαλιλαικο µετασχηµατισµο περιγραφεται απο του γεννητορε ~Ki =~vt και τ = 0. Ετσι, η διατηρουµενη ποσοτητα ειναι η

~v ·N∑

i=1

mi~xi − ~v ·N∑

i=1

mi~xit = ~v ·(M ~XKM − t ~PKM

). (5.28)

Σε αυτη την εκφραση εχουµε αντικαταστησει τα αθροισµατα µε τι αντι-στοιχε εκφρασει για τη θεση και την ορµη του κεντρου µαζα του συστη-µατο. Αν επιπλεον λα1ουµε υποψη οτι η σχετικη ταχυτητα ~v που θεω-ρησαµε µεταξυ των συστηµατων αναφορα ειναι αυθαιρετη, συµπεραι-νουµε πω η διατηρουµενη ποσοτητα που αναλογει στου γαλιλαικουµετασχηµατισµου ειναι το διανυσµαΤι διατηρειται ω

αποτελεσµα τη

γαλιλαικη

συµµετρια;

M ~XKM − t ~PKM , (5.29)

η σταθεροτητα του οποιου εκφραζει την οµαλη κινηση του κεντρου µα-ζα µε ταχυτητα ~PKM/M . Η διατηρουµενη αυτη ποσοτητα δεν φαινεταινα εµπεριεχει καµια επιπλεον πληροφορια εκτο απο αυτη που πηγαζειαπο τη διατηρηση τη ορµη του συστηµατο. Ο λογο ειναι οτι ο χρονοστη νευτ£ωνεια µηχανικη ειναι απολυτο και εποµενω ο γαλιλαικο µετα-σχηµατισµο ειναι ισοδυναµο µε τη χωρικη µεταθεση. Ετσι, οι δυο µε-τασχηµατισµοι οδηγουν σε ισοδυναµε διατηρουµενε ποσοτητε. Παραταυτα, η νεα ποσοτητα (5.29) εχει πολυ πιο σαφε και ξεχωριστο φυσικονοηµα στη σχετικοτητα, οπου παρουσιαζεται ω συνιστ£ωσα τη γενικευ-µενη στροφορµη στο χωροχρονο (βλ. Κεφαλαιο 6).

5.6. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ 131

Ασκηση 5.7. Ποσε συνολικα διατηρουµενε ποσοτητε εχουµε για ενα συστηµα ΑΣΚΗΣΕΙΣαλληλεπιδρ£ωντων σωµατιδιων; Ποιοι ειναι οι γεννητορε των αντιστοιχων µετασχηµα-τισµ£ων; Ελεγξτε αν ολοι οι γεννητορε, που αποτελουνται απο χωρικο και απο χρονικοµερο, αντιµετατιθενται µεταξυ του, δηλαδη αν η σειρα µε την οποια ενεργουν αυτοι οιγεννητορε εχει σηµασια. Γραψτε το µετασχηµατισµο που µα µεταφερει αποενα αδρα-νειακο συστηµα Σ1 µε καρτεσιανε συντεταγµενε σε ενα αλλο Σ2, το οποιο (α) κινειταιµε ταχυτητα v σε σχεση µε το πρ£ωτο κατα µηκο του αξονα z1, (β) τα ρολογια τουΣ2 δενειναι συγχρονισµενα µε του Σ1 αλλα “πανε πισω” σε σχεση µε τα ρολογια του Σ1 κατασταθερο ∆τ , (γ) οι αρχε των αξονων του δεν συνεπιπταν, οταν το ρολοι του πρ£ωτουεδειχνε t1 = 0, αλλα ηταν µετατοπισµενε κατα ∆~x, και (δ) οι αντιστοιχοι αξονε τουδεν ειναι παραλληλοι αφου οι αξονε του δευτερου ειναι στραµµενοι κατα 90 γυρω αποτον αξονα z1 σε σχεση µε του αξονε του πρ£ωτου. Προσεξτε π£ω θα γραψετε τη στροφητου µετασχηµατισµου, αφου αυτη δεν ειναι απειροστη αλλα πεπερασµενη.

5.6 Γενικα σχολια

Εχοντα αναλυσει του γαλιλαικου µετασχηµατισµου ειµαστε πια Ποια διατηρουµενη

ποσοτητα συνεπαγεται

η γενικοτερη συµµετρια

τη δραση;

σε θεση να διατυπ£ωσουµε το γενικο θε£ωρηµα τηNoetherπου συνδεει συµ-µετριε και διατηρουµενε ποσοτητε, οταν αναφεροµαστε σε διακριταµηχανικα συστηµατα, δηλαδη σε συστηµατα που αποτελουνται απο πε-περασµενο πληθο σωµατιδιων.

Εανενα απειροστο συνεχη µετασχηµατισµο των χωροχρο-νικ£ων συντεταγµενων ενο συστηµατο µε γεννητορεKi (i =1, 2, . . . , N) των γενικευµενων συντεταγµενων και τ του χρο-νου αλλαζει τη δραση του συστηµατο το πολυ κατα το ολο-κληρωµα µια τελεια χρονικη παραγ£ωγου dG(q, t)/dt, τοτευπαρχει µια ποσοτητα η οποια διατηρειται κατα την κινησητου συστηµατο. Αυτη ειναι η

Ki∂L

∂qi+

(L −

∂L

∂qiqi

)τ − G . (5.30)

Η καινουργια αυτη ποσοτητα G που αφαιρειται απο τη διατηρουµενηποσοτητα που κατασκευασαµε παραπανω (βλ. σχεση (5.19)) ειναι απλ£ωσυνεπεια του γεγονοτο οτι οι δυο δρασει, προ και µετα το µετασχηµα-τισµο, δεν συµπιπτουν, οπω στη (5.17), αλλα διαφερουν κατα το ολο-κληρωµα τη τελεια χρονικη παραγ£ωγου dG/dt. Ετσι, η µετα1ολη τηδραση, αντι να ισουται µε τη µετα1ολη τη ποσοτητα εντο των τετρα-γωνων αγκυλ£ων τη σχεση (5.19), ισουται µε τη µετα1ολη τη G. Εξι-σ£ωνοντα αυτε τι δυο χρονικε παραγ£ωγου, συµπεραινουµε οτι η δια-φορα των δυο ποσοτητων ειναι µια σταθερα.Το θε£ωρηµα τη Noether, οπω διατυπ£ωθηκε απο την ιδια, αναφερε-

ται σε πεδια και οχι σε διακριτα συστηµατα· αυτο εξαλλου ειναι και ο


λογο που συνανταµε το θε£ωρηµα τη Noether κυριω σε βι1λια θεωρι£ωνπεδιου. οµαδοθεωρητικ£ων συµµετρι£ων τη δραση πεδιων µε αντιστοιχεΘε£ωρηµα τη Noether

και πεδια διατηρουµενε ποσοτητε, οπω για παραδειγµα η συµµετρια βαθµιδαU(1) του ηλεκτροµαγνητικου πεδιου, η οποια σχετιζεται µε τη διατηρησητου φορτιου. Η επεκταση τη εφαρµογη του θεωρηµατο τη Noether σεδιακριτα συστηµατα ειναι αµεση και οδηγει µε σχετικα απλο τροπο στησυνδεση των γνωστ£ων απο τη µηχανικη διατηρουµενων ποσοτητων µε τισυµµετριε του Συµπαντο, προσδιδοντα στι πρ£ωτε βαθυτερο νοηµα.Αξιζει να αναφερθει οτι η Noether, δουλευοντα πανω στο οµ£ωνυµοNoether και γενικη

σχετικοτητα θε£ωρηµα, εδωσε απαντησει σε δυσκολα νοητικα προ1ληµατα που εµφα-νιστηκαν τα πρ£ωτα χρονια µετα το 1915, οταν ο Hilbert και ο Ανσταιν,σχεδον ταυτοχρονα, αλλα ανεξαρτητα ο ενα απο τον αλλο, διατυπωσαντη γενικη θεωρια τη σχετικοτητα. Παραδειγµα ενο τετοιου προ1ληµα-το ηταν η φαινοµενη µη διατηρηση τοπικα τη ενεργεια και τη ορµη.ΗNoether οχι µονο εδειξε π£ω θα πρεπει να αναδιατυπωθουν οι αντιστοι-χοι νοµοι διατηρηση στη σχετικοτητα, αλλα και κατασκευασε αλλο εναδιαφωτιστικο, αναλογο µε τη σχετικοτητα, παραδειγµα οπου η νευτ£ωνειαµορφη των νοµων διατηρηση δεν ισχυε.

5.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 133

5.7 Προ1ληµατα

1. Γραψτε τη Λαγκρανζιανη που διεπει τη φυσικη κινηση σωµατιδιουστο οµογενε και κατακορυφο πεδιο βαρυτητα. Υπολογιστε τη συ-ναρτηση τη δραση που αντιστοιχει στη φυσικη κινηση συναρτησειτη αρχικη θεση z1 και του χρονου t1 και τη τελικη θεση z2 καιτου χρονου t2. Απο την εκφραση αυτη προσδιοριστε τι συµµετριετη δραση και τι αντιστοιχουσε διατηρουµενε ποσοτητε στη πε-ριπτωση αυτη καθ£ω και στην ειδικη περιπτωση που δεν υπαρχειπεδιο βαρυτητα (g = 0).

2. Θεωρηστε τη Λαγκρανζιανη ελευθερου σωµατιδιου στο ιδιοµορφοΣυµπαν που συναντησαµε στο Προ1ληµα 3 του Κεφαλαιου 3, στοοποιο η ισοτροπια περιοριζεται σε διευθυνσει µονο γυρω απο τοναξονα z. Σκεφτειτε ποιοι µετασχηµατισµοι συντεταγµενων αποτε-λουν συµµετριε τη Λαγκρανζιανη και στη συνεχεια βρειτε τι αντι-στοιχε διατηρουµενε ποσοτητε.

3. Κατασκευαστε τι ισοδρασικε καµπυλε (καµπυλε σταθερη δρα-ση) σε ενα διαγραµµα x− t για ενα ελευθερο σωµατιδιο που κινει-ται σε µια διασταση και τη χρονικη στιγµη t = 0 βρισκεται στη θεσηx = 0. Σε αυτο το διαγραµµα εχει νοηµα να υπολογισει κανει τηδραση µονο για τι φυσικε διαδροµε που µπορει να ακολουθησειτο σωµατιδιο. Μπορειτε να το δικαιολογησετε αυτο;Αν, τ£ωρα, θεω-ρησουµε εναν απειροστο µετασχηµατισµο τη θεση και του χρονου

x → x′ = x(1 +

ǫ

2

), t → t′ = t(1 + ǫ) ,

παρατηρουµε οτι η δραση δεν µετα1αλλεται σε πρ£ωτη ταξη ω προǫ. Αποδειξτε οτι αυτο συµ1αινει, υπολογιζοντα απευθεια τη µετα-1ολη τη δραση ελευθερου σωµατιδιου σε πρ£ωτη ταξη ω προ ǫ.Υπο την προποθεση οτι ο µετασχηµατισµο αυτο αφηνει αναλλοι-ωτη τη δραση υπολογιστε την αντιστοιχη διατηρουµενη ποσοτητα.Τι φυσικο νοηµα εχει αυτη η διατηρουµενη ποσοτητα;

4. Θεωρηστε µια Λαγκρανζιανη τη µορφη L = a(x/x)2. Ειναι ευ-κολο να παρατηρησει κανει οτι η Λαγκρανζιανη αυτη ειναι συµµε-τρικη σε µετασχηµατισµου τη µορφη x → x′ = x(1+ǫ). Υπολογι-στε την αντιστοιχη διατηρουµενη ποσοτητα και στη συνεχεια βρειτεµεσω αυτη την εξισωση κινηση. ∆οκιµαστε να βρειτε την εξισωσηκινηση απο την εξισωση Euler - Lagrange. Ποιο ειναι ο ευκολοτε-ρο τροπο;

5. ∆υο σωµατιδια ειναι υποχρεωµενα να κινουνται στην επιφανειαµια σφαιρα µε ακτινα 1. Τα δυο σωµατιδια ειναι συνδεδεµενα µε-ταξυ του µε ελατηριο σταθερα k, το οποιο κειται επι τη σφαι-ρα και εχει µηδενικο φυσικο µηκο. Γραψτε τη Λαγκρανζιανη τουσυστηµατο σε σφαιρικε συντεταγµενε και δειξτε οτι ειναι συµµε-τρικη σε µετασχηµατισµου των αζιµουθιακ£ων γωνι£ων φi → φ′

i =


φi + ǫ, οπου i = 1, 2 ο δεικτη του εκαστοτε σωµατιδιου. Ποια ει-ναι η αντιστοιχη διατηρουµενη ποσοτητα; Ποια ειναι η φυσικη τησηµασια;

6. Η εξισωση κινηση του ισοτροπου αρµονικου ταλαντωτη µε απο-σ1εση m~x + 2γ~x + k~x = ~0 ειναι αναλλοιωτη στι στροφε. ∆ια-τηρειται η στροφορµη ~L = ~x × ~p; Γραψτε την εξισωση εξελιξη τηστροφορµη και λυστε την. Αποδειξτε οτι µια Λαγκρανζιανη πουπαραγει τη δυναµικη του συστηµατο ειναι η

L = e2γt/m 1

2(m~x2 − k~x2) .

Η Λαγκρανζιανη αυτη, οπω φαινεται, ειναι συµµετρικη σε στρο-φε. Μηπω διατηρειται, λοιπον, η στροφορµη; Εφαρµοζοντα τοθε£ωρηµα τηNoether προσδιοριστε τη διατηρουµενη ποσοτητα πουαντιστοιχει σε αυτη τη συµµετρια.

7. ∆υο σωµατιδια αλληλεπιδρουν µε νευτ£ωνειο δυναµικο και βρισκο-νται υπο την επιδραση εξωτερικου δυναµικου τη µορφη V (ρ, z −αθ), οπου (ρ, θ, z) κυλινδρικε συντεταγµενε. Γραψτε τη Λαγκραν-ζιανη και προσδιοριστε τι διατηρουµενε ποσοτητε.

8. Ο Feynman στο περιφηµο βι1λιο του "Lectures on Physics" περιγρα-φει το εξη παραδοξο : ενα δισκο µπορει να περιστρεφεται ελευ-θερα γυρω απο τον κατακορυφο αξονα του. Στην περιφερεια τουδισκου και σε σταθερη αποσταση η µια απο την αλλη ειναι τοπο-θετηµενε µια σειρα απο οµοιε θετικα φορτισµενε σφαιρε. Στοκεντρο του δισκου ειναι στερεωµενο ενα πηνιο απο υπεραγ£ωγιµουλικο, το οποιο διαρρεεται απο ρευµα. Αυξανοντα τη θερµοκρα-

σια του περι1αλλοντο, το υπεραγ£ωγιµο πηνιο αποκτα αντισταση ο-ποτε συντοµα το ρευµα καταργειται. Το πρ£ωην σταθερο µαγνητικοπεδιο αλλαζει και η αλλαγη αυτη συνεπαγεται την εµφανιση ηλε-κτρικου πεδιου που ασκ£ωντα ροπη στι φορτισµενε σφαιρε θετειτο δισκο σε περιστροφη. Απο την αλλη πλευρα η στροφορµη τουδισκου δεν πρεπει να µετα1αλλεται απο τη στιγµη που δεν υπαρχειεξωτερικο πεδιο δυναµεων. Θα αρχισει, λοιπον, να περιστρεφεταιο δισκο η οχι; Αντιµετωπιστε το προ1ληµα ω εξη : (α) Θεωρηστετο δισκο και το πηνιο α1αρη και υποθεστε οτι ολοκληρη η µαζα τουσυστηµατο βρισκεται στι φορτισµενε σφαιρε, οι οποιε ειναι το-ποθετηµενε στην περιφερεια του δισκου. Η θε£ωρηση αυτη απλ£ω

5.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 135

διαφοροποιει την τιµη τη ροπη αδρανεια του δισκου χωρι να αλ-λοι£ωνει τη φυσικη του συστηµατο. Γραψτε σε κυλινδρικε συντε-ταγµενε τη Λαγκρανζιανη του συστηµατο, λαµ1ανοντα υποψητην αξονικη συµµετρια του και αγνο£ωντα το ηλεκτρικο πεδιο τωνσφαιρ£ων, το οποιο εξαλλου θα παρεµενε σταθερο κατα την περι-στροφη του δισκου, αν αντικαθιστουσαµε τι σφαιρε µε ενα συνεχηφορτισµενο δακτυλιο. (β) Η γωνια περιστροφη ειναι κυκλικη µε-τα1λητη. Ποια ποσοτητα διατηρειται ω συνεπεια αυτου; (γ) ∆ια-τηρειται η κλασικη στροφορµη του δισκου; Τι θα συµ1ει, οταν τοανυσµατικο δυναµικο µαζι µε το µαγνητικο πεδιο εξαφανιστουν;

9. Το αντιστροφο του θεωρηµατο τη Noether. Μεχρι τ£ωρα εχουµεθεωρησει µετασχηµατισµου τη µορφη qǫ

i = qi + ǫKi(q, t). Αυτοιοι µετασχηµατισµοι λεγονται σηµειακοι. Μπορουµε οµω να θεω-ρησουµε και γενικοτερου µετασχηµατισµου τη µορφη qǫ

i = qi +ǫKi(q, q, t), που εξαρτ£ωνται και απο το q. Καλειστε να αποδειξετεοτι καθε διατηρουµενη ποσοτητα προκυπτει απο µια συµµετρια τηΛαγκρανζιανη στου γενικοτερου µετασχηµατισµου qǫ

i = qi +ǫKi(q, q, t). (α)∆ειξτε οτι ο µετασχηµατισµο τη µεταθεση του χρο-νου qǫ

i (t) = qi(t + ǫ) ειναι στην ουσια ενα τετοιο γενικο µετα-σχηµατισµο, ο οποιο στην περιπτωση των χρονοανεξαρτητων Λα-γκρανζιαν£ων οδηγει στη διατηρηση τη ενεργεια. (β)Η γενικη δια-τυπωση του θεωρηµατο τηNoether ειναι οτι, αν υπαρχει µια ǫ-οικο-γενεια µετασχηµατισµ£ων µε την ιδιοτητα

∂Lǫ

∂ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

=dG

dt,

για καποια G(q, q, t), τοτε η ποσοτητα

F = G − pi∂qǫ

i

∂ǫ

∣∣∣∣ǫ=0

διατηρειται κατα την κινηση. Αποδειξτε τ£ωρα οτι, αν η ποσοτητα Fδιατηρειται κατα την κινηση, τοτε η ǫ-οικογενεια µετασχηµατισµ£ωνKi(q, q, t) που προκυπτει απο τη λυση των γραµµικ£ων εξισ£ωσεων

∂2L

∂qi∂qj

Ki = −∂F

∂qj

,

παραγει µια (ηµι)συµµετρια τη Λαγκρανζιανη.

10. Το ανυσµα Runge-Lenz. Σωµατιδιο µαζα m κινειται στο κεντρικοδυναµικο V = −k/|~x|. Αποδειξτε κατευθειαν απο τι εξισ£ωσει κι-

νηση οτι διατηρειται η στροφορµη του σωµατιδιου ~L ω προ τοκεντρο τη δυναµη καθ£ω επιση και το ανυσµα Runge-Lenz

~A = ~p × ~L − km~x

|~x|.


Αποδειξτε οτι το σωµατιδιο κινειται επι σταθερου επιπεδου και οτιτο ~A κειται επι αυτου του επιπεδου. Υπολογιστε το ~x · ~A και δειξτεοτι το σωµατιδιο διαγραφει στο επιπεδο αυτο την κωνικη τοµη

|~x| =|~L|2

mk(1 + e cos θ),

µε εκκεντροτητα

e =| ~A|

mk.

Ποια ειναι η διευθυνση του ~A; Ποια ειναι η φυσικη σηµασια του ~A;

Χρησιµοποιηστε το προηγουµενο προ1ληµα για να προσδιορισετετο µετασχηµατισµο-συµµετρια που παραγει τη διατηρηση του ανυ-σµατο Runge-Lenz.

11. Θεωρηστε τον τρισδιαστατο ισοτροπο αρµονικο ταλαντωτη µε Λα-γκρανζιανη

L =m

2|~x|2 −

k

2|~x|2 .

Αποδειξτε οτι οι εξη 6 (γιατι 6 και οχι 9;) ποσοτητε διατηρουνται :

Fij =m

2xixj +

k

2xixj .

Προσδιοριστε του µετασχηµατισµου-συµµετριε που οδηγουν στηδιατηρηση αυτ£ων των ποσοτητων.

Documents

Κεφαλαιο“ 5...Κεφαλαιο“ 5 Συµµετρƒιε - Θε£ωρηµα τη Noether “κατι ε“ ƒιναι συµµετρικ “ο αν δρ£ωντα π “ανω