Κεφαλαιο“ 10users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/10.pdfΚεφαλαιο“ 10 Ο Χ£ωρο των Φασεων“ “Πολ“υ παρ “αξενη , εƒιπε , εƒιναι

Κεφαλαιο 10

Ο Χ£ωρο των Φασεων

“Πολυ παραξενη, ειπε, ειναι η εικονα που µουπαρουσιαζει και οι δεσµ£ωτε σου παραξενοι.

Οµοιοι µε µα ειναι, ειπα εγ£ω·και πρ£ωτα-πρ£ωτα, πιστευει πω τετοιοι δεσµ£ωτε,εκτο του εαυτου του και των συντροφων του,

εχουν δει τιποτε αλλο εκτο απο τι σκιεπου προ1αλλονται, λογω τη φωτια,στον αντικρινο τοιχο του σπηλαιου;”

Πλατωνα

10.1 Εισαγωγη

Στη χαµιλτονιανη θε£ωρηση η εξελιξη ενο µηχανικου συστηµατο δια-δραµατιζεται στο χ£ωρο των φασεων (q, p). Οπω εχουµε αναφερει, γιαενα συστηµα n βαθµ£ων ελευθερια ο χ£ωρο των φασεων ειναι ενα χ£ω-ρο 2n διαστασεων. Η δυναµικη κατασταση του συστηµατο δινεται αποενα σηµειο του χ£ωρου αυτου και προσδιοριζεται απο τι n συντεταγµενετων γενικευµενων θεσεων q και τι n συντεταγµενε των γενικευµενων ορ-µ£ων p. ∆ιαφορετικε καταστασει του δυναµικου συστηµατο αντιστοι-χουν αναγκαστικα σε διαφορετικα σηµεια του χ£ωρου των φασεων.

Καθε σηµειο του χ£ωρου των φασεων προσδιοριζει πληρω την κατα- Η αρχικη θεση µονο

καθοριζει το µελλον

και το παρελθον

σταση του συστηµατο και σε καθε χρονικη στιγµη οι κανονικε εξισ£ωσειτου Χαµιλτον

qi =∂H

∂pi

, pi = −∂H

∂qi

(10.1)

προσδιοριζουν επακρι1£ω τα σηµεια του χ£ωρου των φασεων στα οποιατο συστηµα θα µετα1ει τι εποµενε χρονικε στιγµε η τα σηµεια του χ£ω-ρου των φασεων στα οποια το συστηµα βρισκοταν στο παρελθον. Αυτοισχυει, διοτι οι εξισ£ωσει του Χαµιλτον ειναι πρ£ωτη ταξη και εποµενωη αρχικη θεση στο χ£ωρο των φασεων ειναι αρκετη για να καθοριστει πλη-ρω η τροχια στο µελλον και στο παρελθον. Πραγµατι, αν το συστηµα βρι-σκεται αρχικα σε καποιο σηµειο του χ£ωρου των φασεων, η διαφορικη µε-τα1ολη τη θεση και τη ορµη του συστηµατο στο χ£ωρο των φασεων

301

302 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ

ειναι

dqi =∂H

∂pidt , dpi = −∂H

∂qidt , (10.2)

οποτε, η νεα θεση και ορµη ειναι κατα προσεγγιση1 ιση µε

qi(t + δt) = qi(t) + δt∂H

∂pi

∣

∣

∣

∣

q(t),p(t)

,

pi(t + δt) = pi(t) − δt∂H

∂qi

∣

∣

∣

∣

q(t),p(t)

. (10.3)

Με αυτο τον τροπο κατασκευαζεται βηµα προ βηµα η τροχια του συ-στηµατο στο χ£ωρο των φασεων, η οποια προσδιοριζει πληρω την κα-τασταση του συστηµατο σε ολου του χρονου.Στη συνεχεια τη µελετη µα θα επικεντρ£ωσουµε το ενδιαφερον µα

στην περιπτωση που η ΧαµιλτονιανηH δεν εξαρταται αµεσα απο το χρο-νο t, ειναι δηλαδη συναρτηση µονο των θεσεων και των ορµ£ων H(q, p).Εξαρτηση τη Χαµιλτονιανη απο το χρονο παρατηρειται, οταν το φυ-σικο συστηµα που µελετουµε δεν ειναι αποµονωµενο και δεχεται καποιαχρονοεξαρτ£ωµενη επιδραση. Χαρακτηριστικο τετοιο παραδειγµα ειναι ηµελετη τη κινηση ενο εξαναγκασµενου αρµονικου ταλαντωτη. Τα θε-µελι£ωδη φυσικα συστηµατα εχουν χρονοανεξαρτητη Λαγκρανζιανη λογωτη συνηθου υποθεση οτι ο φυσικο κοσµο ειναι οµογενη στο χρονοκαι, συνεπ£ω, η χαµιλτονιανη συναρτηση αυτ£ων ειναι χρονοανεξαρτητη.Εντουτοι, για λογου πληροτητα και εξαιτια του οτι δεν αποκλεισαµεκαι στη λαγκρανζιανη θε£ωρηση τη χρονικη εξαρτηση, θα ασχοληθουµεστο παρον κεφαλαιο και µε χρονοεξαρτ£ωµενε Χαµιλτονιανε.Οταν η Χαµιλτονιανη δεν εξαρταται απο το χρονο, σε καθε σηµειοΗ ταχυτητα στο

χ£ωρο των φασεων του χ£ωρου των φασεων αντιστοιχει µονο µια τροχια· προκειται γι αυτηνη οποια βαινει προ τη διευθυνση του διανυσµατο τη ταχυτητα του συ-στηµατο στο χ£ωρο των φασεων :2

~v = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn)

=

(

∂H

∂p1, . . . ,

∂H

∂pn,−∂H

∂q1, . . . ,−∂H

∂qn

)

. (10.4)

Το διανυσµα αυτο καθοριζει το ρυθµο µετα1ολη των θεσεων και των ορ-µ£ων σε καθε σηµειο του χ£ωρου των φασεων. Μπορουµε, ετσι, να φαντα-στουµε ολο το χ£ωρο των φασεων ω µια ροη καποιου υποθετικου ρευστου

1Η προσεγγιση στι παραπανω σχεσει εγκειται στο οτι οι παραγωγοι τη Χαµιλτονι-ανη υπολογιστηκαν στο αρχικο σηµειο. Απο το θε£ωρηµα τη µεση τιµη γνωριζουµεοτι οι σχεσει ειναι ακρι1ει, αν οι παραγωγοι υπολογιστουν σε καποιο ενδιαµεσο σηµειοτη τροχια (q(t + θδt), p(t + θδt)) µε 0 ≤ θ ≤ 1. Τα ενδιαµεσα σηµεια δεν ειναι, οµω,γνωστα και γι αυτο καταφυγαµε σε αυτη την προσεγγιση, η οποια ονοµαζεται και ολο-κληρωση κατα Euler και καθισταται ακρι1η στο οριο δt → 0. Υπαρχουν ακρι1εστεροιτροποι αριθµητικη ολοκληρωση, στου οποιου, οµω, θα αναφερθουµε στο εποµενοκεφαλαιο.

2Η κατασταση ειναι αναλογη µε την αριστοτελεια µηχανικη συµφωνα µε την οποιακαποιο αιτιο –εδ£ω οι παραγωγοι τη Χαµιλτονιανη– προκαλει αµεσα την ταχυτητα κι-νηση του σ£ωµατο –εδ£ω την ταχυτητα µετα1ολη τη κατασταση του σ£ωµατο στοχ£ωρο των φασεων.

10.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 303

µε πεδιο ταχυτητων ~v. Οι τροχιε του συστηµατο θα ειναι οι καµπυλε,οι ο-ποιε ειναι εφαπτοµενε στα ~v σε καθε σηµειο και ταυτιζονται µε τηντροχια ενο νοητου µικροσκοπικου κοκκου σκονη που παρασυρεται αποτη ροη τη οποια το πεδιο των ταχυτητων ειναι το ~v. Επειδη σε καθεσηµειο αντιστοιχει µονο ενα διανυσµα ~v, οι τροχιε του συστηµατο δενµπορουν να τµηθουν· σε αντιθετη περιπτωση στο σηµειο αυτο θα αντι-στοιχουσαν δυο διαφορετικε κατευθυνσει.3 Επιπλεον, ειναι δυνατον νααποδειχθει οτι οι τροχιε δεν µπορουν ουτε και να καταστουν εφαπτοµε-νε η µια στην αλλη, αν το πεδιο των ταχυτητων ~v ειναι συνεχη συναρ-τηση, εν£ω το ιδιο συµ1αινει και µε ολε τι µερικε παραγ£ωγου αυτη.Το γεγονο αυτο πηγαζει απο το θε£ωρηµα µοναδικοτητα τη λυση τωνδιαφορικ£ων εξισ£ωσεων.4

Η Χαµιλτονιανη, στην περιπτωση που δεν εξαρταται απο το χρονο,διατηρειται κατα την κινηση µε αποτελεσµα οι τροχιε του συστηµατονα κεινται σε επιφανειε H(q, p) = C του χ£ωρου των φασεων, οπου ησταθερα προσδιοριζεται απο την αρχικη θεση και ορµη του συστηµατοC = H(q(0), p(0)). ∆ιαπιστ£ωνουµε οτι, εφαρµοζοντα τι εξισ£ωσει τουΧαµιλτον, προκυπτει µηδενικη µετα1ολη τη Χαµιλτονιανη κατα µηκοτη τροχια του συστηµατο

dH

dt=

∂H

∂qi

dqi

dt+

∂H

∂pi

dpi

dt=(

~∇q,pH)

· ~v = piqi − qipi = 0 , (10.5)

οπου ~v ειναι η ταχυτητα στο χ£ωρο των φασεων (µε διευθυνση εφαπτο-µενικη τη τροχια) που δινεται απο την εκφραση (10.4) και ~∇q,p η βαθ-µιδα τη Χαµιλτονιανη ω προ ολε τι συντεταγµενε του χ£ωρου τωνφασεων. Απο την (10.5) συναγεται η διατηρηση τη Χαµιλτονιανη κατατην κινηση του συστηµατο, αφου η ταχυτητα, που ειναι εφαπτοµενη στηντροχια, ειναι καθετη στη βαθµιδα τη Χαµιλτονιανη και συνεπ£ω ειναικαθετη στην καθετο τη επιφανεια H(q, p) = C. Η τροχια, λοιπον, κει-ται στην επιφανεια H(q, p) = C.

Στη συνεχεια παραθετουµε τρια παραδειγµατα µηχανικ£ων συστηµα-των, και αναλυουµε την τροχια του στο χ£ωρο των φασεων.

•Παραδειγµα 1: ΗΧαµιλτονιανη ελευθερου σωµατιδιου που κινειται σεµια διασταση ειναι

H(q, p) =p2

2m. (10.6)

3Οµω, εαν η Χαµιλτονιανη εξαρταται αµεσα απο το χρονο, σε καθε σηµειο του χ£ω-ρου των φασεων η κατευθυνση αλλαζει µε την παροδο του χρονου και ω αποτελεσµααυτη τη αλλαγη, η τροχια ειναι δυνατον να τεµνει τον εαυτο τη. Στην περιπτωσηαυτη η µοναδικοτητα τη λυση δεν αποκλειει την τοµη των τροχι£ων.

4Το θε£ωρηµα µοναδικοτητα αποδεικνυεται κατω απο πολυ χαλαροτερε συνθηκε.Αρκει το πεδιο ταχυτητων ~v να ειναι Lipschitz. Μια απεικονιση λεγεται Lipschitz ανη αποσταση µεταξυ τη απεικονιση δυο σηµειων ειναι το πολυ L φορε µεγαλυτερηαπο την αποσταση µεταξυ των αρχικ£ων σηµειων, δηλαδη ισχυει οτι |~v(~x2) − ~v(~x1)| ≤L|~x2 − ~x1| , οπου ~x ≡ (q, p). Οι συνηθει, οµω, Χαµιλτονιανε που συναντουµε στηφυσικη εχουν συνεχει παραγ£ωγου καθε ταξη και ετσι δεν απαιτειται η αναφορα στηχαλαροτερη συνθηκη Lipschitz.


Οι τροχιε στο χ£ωρο των φασεων προσδιοριζονται απο τι σχεσει

dq =p

mdt , dp = 0 (10.7)

και κατα συνεπεια η ταχυτητα στο χ£ωρο των φασεων ειναι ~v = (p/m, 0).

Σχηµα 10.1: Η ροη στο χ£ωρο των φασεων ενο ελευθερου σωµατιδιου, µοναδιαια µα-ζα, το οποιο κινειται σε µια διασταση. Οι τροχιε ειναι ευθειε και η ταχυτητα (βελη τουσχηµατο) του εκαστοτε σηµειου του χ£ωρου των φασεων, που αντιστοιχει σε µια συγκε-κριµενη αρχικη κατασταση, ειναι αναλογη τη συντεταγµενη p του εν λογω σηµειου.

Εαν θεωρησουµε ενα καρτεσιανο διαγραµµα του χ£ωρου των φασεων µεορθογ£ωνιου αξονε (q, p), οι τροχιε του συστηµατο ειναι ευθειε, πα-ραλληλε στον αξονα q, που ω αφετηρια του εχουν το σηµειο οπου βρι-σκοταν αρχικα το συστηµα και διατρεχουν την ευθεια p =σταθερο µε τα-χυτητα σταθερη και αναλογη τη αρχικη ορµη. Αν p = 0, το σωµατιδιοπαραµενει στο αρχικο του σηµειο q(0) και η τροχια εκφυλιζεται σε σηµειο.Οι τροχιε p =σταθερο ειναι προφαν£ω επιφανειε σταθερη Χαµιλτονι-ανηH = C. Η ροη στο χ£ωρο των φασεων απεικονιζεται στο Σχηµα 10.1.Το πεδιο ταχυτητα εµφανιζει την εικονα µια διαστρωµατωµενη ροηρευστου µε γραµµικο προφιλ.•Παραδειγµα 2: ΗΧαµιλτονιανη ενο αρµονικου ταλαντωτη σε µια δια-σταση ειναι

H(q, p) =1

2mp2 +

k

2q2 . (10.8)

Οι τροχιε στο χ£ωρο των φασεων προσδιοριζονται απο τι σχεσει

dq =p

mdt , dp = −kq dt . (10.9)

Εποµενω, η ταχυτητα στο χ£ωρο των φασεων ειναι

~v =( p

m,−kq

)

εν£ω, εαν θεωρησουµε και παλι ενα καρτεσιανο διαγραµµα του χ£ωρου τωνφασεων µε ορθογ£ωνιου αξονε (q, p), οι τροχιε του συστηµατο ειναι οικαµπυλε H(q, p) = C, οι οποιε ειναι ελλειψει που διαγραφονται µε τηφορα των δεικτ£ων του ρολογιου. Η ροη στο χ£ωρο των φασεων απεικο-νιζεται στο Σχηµα 10.2. Ολε οι ελλειψει ειναι ιδιου σχηµατο, δηλαδη

10.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 305

Σχηµα 10.2: Η ροη στο χ£ωρο των φασεων ενο αρµονικου ταλαντωτη σε µια διασταση.Οι τροχιε ειναι ελλειψει, οι οποιε διαγραφονται µε την φορα των δεικτ£ων του ρολο-γιου.

εχουν ιδιο λογο µεγαλου – µικρου ηµιαξονα. Επειδη, µαλιστα, και οι δυοηµιαξονε ειναι αναλογοι τη τετραγωνικη ριζα τη ενεργεια (τη τιµητη Χαµιλτονιανη), το εµ1αδον τη καθε ελλειψη αυξανει γραµµικα µετην ενεργεια.•Παραδειγµα 3: ΗΧαµιλτονιανη ενο εκκρεµου που εκτελει κινηση σεκατακορυφο επιπεδο µεσα στο οµογενε πεδιο βαρυτητα ειναι

H(θ, p) =p2

θ

2ml2− mgl cos θ . (10.10)

Στην κατασκευη τη Χαµιλτονιανη χρησιµοποιησαµε ω θεση τη γωνιαθ που σχηµατιζει το εκκρεµε µε την κατακορυφο (θ = 0 ειναι το σηµειοευσταθου ισορροπια). Η γωνια θ παιρνει τιµε στο διαστηµα [−π, π).Ετσι, ο χ£ωρο των φασεων ειναι η επιφανεια ενο ορθου κυλινδρου. Ηγωνια θ, τοτε, προσδιοριζει τη γωνιακη θεση επανω στην επιφανεια, ανο κυλινδρο τµηθει απο ενα επιπεδο καθετο στον αξονα συµµετρια του,εν£ω η pθ προσδιοριζει τη θεση του καθετου αυτου επιπεδου. Σε αυτο τοπαραδειγµα ο δισδιαστατο χ£ωρο των φασεων δεν ειναι το επιπεδο.Ωστοσο, επειδη η επιφανεια του κυλινδρου µπορει να ξεδιπλωθει και νακαταστει επιπεδη, µπορουµε να θεωρησουµε οτι η κινηση στο χ£ωρο τωνφασεων εξελισσεται στο ορθογ£ωνιο καρτεσιανο χωριο [−π, π)×(−∞,∞),οι πλευρε του οποιου θ = −π και θ = π εχουν ταυτιστει. Η ροη απεικο-νιζεται στο Σχηµα 10.3. Οι εξισ£ωσει του Χαµιλτον ειναι

θ =1

ml2pθ , pθ = −mgl sin θ . (10.11)

Το σηµειο (0, 0) ειναι σηµειο ευσταθου ισορροπια, εν£ω το σηµειο (−π, 0)ειναι σηµειο ασταθου ισορροπια. Τα σηµεια αυτα αποτελουν εκφυλι-σµενε τροχιε του εκκρεµου στο χ£ωρο των φασεων, αφου, αν αρχικα


Σχηµα 10.3: Ηροη στο χ£ωρο των φασεων ενο εκκρεµου µε Χαµιλτονιανη αυτη που δι-νεται στην εκφραση (10.10). Η κινηση του εκκρεµου ειναι περιοδικη, εκτο αν η αρχικηκατασταση ειναι επανω στη διαχωριζουσα δ1,2. Στην περιοχη Β η κινηση ειναι ταλα-ντωτικη. Στι περιοχε Α και Γ το εκκρεµε εχει αρκετη ενεργεια £ωστε να εκτελει συνεχηπεριστροφικη κινηση, στην περιοχη Α συµφωνα µε τη φορα κατα την οποια αυξανεται ηγωνια θ, εν£ω στην περιοχη Γ αντιθετα απο τη φορα αυτη. Μονο επι τη διαχωριζουσα ηκινηση δεν ειναι περιοδικη : Οταν το εκκρεµε διατρεχει τη δ1, κινειται αεναω προ τοσηµειο ασταθου ισορροπια π, εν£ω, οταν η αρχικη κατασταση του εκκρεµου βρισκε-ται στην δ2, το εκκρεµε κινειται αεναω προ το −π. Στην ουσια, βε1αια, και τα δυοσηµεια αντιστοιχουν στην ιδια θεση του εκκρεµου. Σηµει£ωστε οτι το σηµειο (−π, 0) δενανηκει στι διαχωριζουσε, αφου ειναι σηµειο ασταθου ισορροπια. Αυτο το σηµειο τοπροσεγγιζουν οι τροχιε επι των διαχωριζουσ£ων, χωρι βε1αια ποτε να κατορθ£ωνουν νατο φτασουν.

το εκκρεµε βρεθει στα σηµεια αυτα, θα παραµεινει εκει επ απειρον. Ηδιαχωριζουσα (separatrix) δ1, δ2 που τεινει προ το σηµειο ασταθου ισορ-ροπια (στο Σχηµα 10.3 το σηµειο αυτο απεικονιζεται σε δυο ξεχωριστασηµεια), χωρι να καταφερνει να το φτασει, αποτελει την ισοενεργειακηεπιφανεια

pθ = ±2m√

gl3 cos(θ/2) , (10.12)

η οποια διαχωριζει το χ£ωρο των φασεων σε τρει περιοχε. Σε καθε περι-οχη η κινηση ειναι περιοδικη. Στι περιοχε Α και Γ (βλ. Σχηµα 10.3) τοεκκρεµε εκτελει περιστροφικη κινηση (κατα τη θετικη η αρνητικη φορααντιστοιχω), εν£ω στη µεσαια περιοχη Β εκτελει ταλαντωση.

Γενικοτερα, οι περιοδικε κινησει στο χ£ωρο των φασεων µπορει ναειναι περιστροφικε η ταλαντωτικε. Ειναι περιστροφικε, οταν η q δεναλλαζει προσηµο και ταλαντωτικε, οταν η q αλλαζει περιοδικα προσηµο.Αν οι θεσει λαµ1ανουν τιµε επι µια ευθεια, δεν µπορουµε να εχουµεπεριστροφικη κινηση. Αν, οµω, οι θεσει οριζονται επι ενο κυκλου, τοτεµπορουµε να εχουµε και του δυο τυπου περιοδικη κινηση. Εποµενω,ο τυπο τη περιοδικη κινηση εξαρταται απο την τοπολογια του χ£ωρουτων φασεων (βλ. Σχηµα 10.4).

10.2. ΘΕΩΡΗΜΑ LIOUVILLE 307

Σχηµα 10.4: Η τοπολογια του χ£ωρου των φασεων του Παραδειγµατο 3. Στο σχηµααπεικονιζονται τρει ταλαντωτικε κινησει (οι οποιε δεν τυλιγονται γυρω απο τον κυ-λινδρο) και τεσσερι περιστροφικε κινησει –δυο δεξιοστροφε και δυο αριστεροστρο-φε (οι οποιε τυλιγονται γυρω απο τον κυλινδρο).

Ασκηση 10.1. Αποδειξτε οτι η διαχωριζουσα δινεται απο την εκφραση (10.12). ΑΣΚΗΣΕΙΣΥποθεστε τ£ωρα οτι οι αρχικε συνθηκε ειναι επι τη διαχωριζουσα και δειξτε οτι απαι-τειται απειρο χρονο για να προσεγγισει το εκκρεµε το ακρο τη διαχωριζουσα πουαποτελει σηµειο ασταθου ισορροπια.

10.2 Θε£ωρηµα Liouville

Καθε χαµιλτονιανο συστηµα, καθε συστηµα δηλαδη που µπορει να πε-ριγραφει µεσω καποια χαµιλτονιανη συναρτηση, κατα την κινηση τουστο χ£ωρο των φασεων διατηρει τον “ογκο” του. Αυτη η ιδιοτητα των χα-µιλτονιαν£ων συστηµατων αποτελει το περιεχοµενο του θεωρηµατο τουLiouville. Για να κατανοησουµε γιατι συµ1αινει αυτο, α θεωρησουµε ενακλειστο χωριο του χ£ωρου των φασεων Γ0. Υστερα απο χρονο t η χαµιλ-τονιανη δυναµικη θα το µετασχηµατισει στο χωριο Γt (βλ. Σχηµα 10.5). Oδιαφορικο ογκο στο χ£ωρο των φασεων ειναι

dnqdnp ≡ dq1 . . . dqndp1 . . . dpn ≡ d2nx , (10.13)


οπου ~x = (q, p) και n οι βαθµοι ελευθερια του συστηµατο. Συνεπ£ω, οαρχικο ογκο του χωριου Γ0 δινεται απο την εκφραση

V (0) =

∫

Γ0

d2nx(0) , (10.14)

οπου τα ~x(0) ειναι τα σηµεια του χ£ωρου τωνφασεων που βρισκονται εντοτου χωριου Γ0. Ο ογκο του ιδιου χωριου, οπω θα εχει µετεξελιχθει τηχρονικη στιγµη t θα ειναι

V (t) =

∫

Γt

d2nx(t) , (10.15)

οπου ~x(t) ειναι τα σηµεια του χ£ωρου των φασεων που βρισκονται εντοτου χωριου Γt. Θα αποδειξουµε οτι για καθε t ισχυει οτι V (t) = V (0). Τοθε£ωρηµα του αµετα1λητου των ογκων διατυπ£ωθηκε απο τον γαλλο µα-θηµατικο Joseph Liouville [1809-1882] το 1838.

Σχηµα 10.5: Το αρχικο χωριο Γ0 µετασχηµατιζεται στο χωριο Γt στο χρονο t. Καθε ση-µειο x(0) εντο του χωριουΓ0 µετασχηµατιζεται σε σηµειο x(t) εντο του χωριουΓt µεσωτη απεικονιση φt. Αν η εξελιξη του χωριου ειναι χαµιλτονιανη, τοτε ο ογκο του χω-ριου παραµενει αµετα1λητο.

Επειδη η µελετη τη εξελιξη του ογκου εχει ιδιαιτερη σηµασια και σεγενικοτερα δυναµικα συστηµατα, τα οποια µπορει να µην ειναι χαµιλτονι-ανα, α υπολογισουµε το ρυθµο µετα1ολη του ογκου για ενα γενικο δυ-ναµικο συστηµα, που περιλαµ1ανει και τα χαµιλτονιανα συστηµατα (βλ.σχεση 10.4)

d~x

dt= ~v(~x, t) , (10.16)

οπου µε ~x συµ1ολιζουµε τιN µετα1λητε (x1, . . . , xN) και η ~v εχειN συ-νιστ£ωσε (v1, . . . , vN). Μπορουµε να φανταστουµε οτι το παραπανω δυ-ναµικο συστηµα περιγραφει την εξελιξη τη θεση ενο κοκκου σκονη σε


Σχηµα 10.6: Εξελιξη χωριου στην ατµοσφαιρικη ροη που προκαλειται απο το στασιµοβαροµετρικο χαµηλο που διακρινεται στο χαρτη στο ανω µερο του σχηµατο. Στοχαρτη απεικονιζεται η ροη στην επιφανεια πιεση 500 mb, η οποια βρισκεται περιπουστα 5 km επανω απο την επιφανεια τη θαλασσα. Η ροη θεωρειται χρονικα ανεξαρ-τητη και ασυµπιεστη, οποτε ειναι χαµιλτονιανη, εν£ω ο ογκο των χωριων που βρισκονταιστην επιφανεια αυτη διατηρειται. Εχει σχεδιαστει η εξελιξη του αρχικου τετραγωνικουχωριου στου χρονου 6h, 12h, 24h και 36h. Η µειωση τη προ1λεπτικοτητα τη θεσητων κοκκων ενο αδρανου ιχνηλατη (που κινειται συµφωνα µε τη ροη) µε την παροδοτου χρονου ειναι εµφανη. Απο την εργασια του P.Welander, 1955: Studies on the generaldevelopment of motion in a two dimensional fluid flow, Tellus, 7, 141-156.

ενα ρευστο του οποιου το πεδιο ταχυτητων ~v(~x, t) σε καθε σηµειο του χ£ω-ρου και σε καθε χρονικη στιγµη θεωρειται γνωστο. Θα δειξουµε οτι, αν ηροη ~v εχει µηδενικη αποκλιση (ασυµπιεστο ρευστο), δηλαδη αν Η ροη ασυµπιεστου

ρευστου

~∇ · ~v =

N∑

i=1

∂vi

∂xi= 0 , (10.17)

τοτε διατηρειται ο ογκο καθε χωριου του ρευστου.Καθε σηµειο ~x(t) του χωριου Γt ειναι απεικονιση του αντιστοιχου ση-

µειου ~x(0) του Γ0,

φt : ~x(0)−→~x(t) .

Η απεικονιση αυτη ειναι απλ£ω η ταυτοτικη απεικονιση για t = 0. Oογκο τη χρονικη στιγµη t ειναι

V (t) =

∫

Γt

dNx(t) =

∫

Γ0

J(t)dNx(0) , (10.18)


οπου J(t) η Ιακω1ιανη του µετασχηµατιασµου φt των συντεταγµενων ολο-κληρωση

J(t) = det(J(t)) , (10.19)

και J(t) ο ιακω1ιανο πινακα µε στοιχεια

Jij(t) =∂xi(t)

∂xj(0). (10.20)

Παρατηρουµε οτι µεσω τη ιακω1ιανη οριζουσα µετα1αινουµε απο τισυντεταγµενε ~x(t) στι συντεταγµενε ~x(0), οποτε και το χωριο ολοκλη-ρωση αλλαζει απο Γt σε Γ0. Η αναφορα στην απεικονιση φt απο τι αρ-χικε συντεταγµενε στι νεε συντεταγµενε εγινε ακρι1£ω γι αυτον τολογο : το καθε σηµειο ~x(t), αντι να το βλεπουµε ω εξελιξη του ~x(0), µπο-ρουµε να το θεωρουµε ω το ιδιο σηµειο µε το ~x(0) αλλα σε καινουργιεσυντεταγµενε µε µετασχηµατισµο συντεταγµενων αυτον τη απεικονιση.Κατι αναλογο συναντησαµε στο Κεφαλαιο 6 µε του ενεργου και τουπαθητικου µετασχηµατισµου στροφη· τη στροφη ενο διανυσµατοµπορουµε να την εννοησουµε ειτε ενεργητικα ω στροφη του ιδιου τουδιανυσµατο, ειτε παθητικα ω τη µετα1ολη των συνιστωσ£ων ενο σταθε-ρου διανυσµατο εξαιτια τη αντιστροφη στροφη του συστηµατο τωνσυντεταγµενων.Προκειµενου να υπολογισουµε την αλλαγη του ογκου του χωριου, α

υπολογισουµε το Jij(ǫ) για πολυ µικρου χρονου ǫ << 1. Eπειδη

xi(ǫ) = xi(0) + ǫvi(~x(0), 0) + O(ǫ2) , (10.21)

θα ειναι∂xi(ǫ)

∂xj(0)= δij + ǫ

∂vi(~x(0), 0)

∂xj(0)+ O(ǫ2) , (10.22)

οπου δij ειναι το δελτα τουKronecker, τα στοιχεια δηλαδη του µοναδιαιουπινακα I σε N διαστασει. Η Ιακω1ιανη, λοιπον, του µετασχηµατισµουγια µικρου χρονου µπορει να γραφει υπο µορφη πινακων ω

J(ǫ) = det(I + ǫA + O(ǫ2)) , (10.23)

οπου ο πινακα A εχει στοιχεια

Aij =∂vi(~x(0), 0)

∂xj(0).

Αναπτυσσοντα την J(ǫ) σε ορου αυξανοµενη ταξη ω προ ǫ, λαµ1α-νουµε (βλ.Μαθηµατικο Παραρτηµα)

J(ǫ) = 1 + ǫtrace(A) + O(ǫ2) , (10.24)

οπου trace(A) = Aii (υπονοειται η αθροιστικη συµ1αση) ειναι το ιχνοτου πινακα που ισουται µε το αθροισµα των διαγ£ωνιων στοιχειων του.


Ασκηση 10.2. Αναπτυσσοντα την οριζουσα σε ορου αυξανοµενη ταξη ω προ ΑΣΚΗΣΕΙΣǫ αποδειξτε την ταυτοτητα (10.24).

Σχηµα 10.7: Εξελιξη ενο χρωµατισµενου τετραγ£ωνου που βρισκεται στην επιφανεια πε-ριστρεφοµενου ρευστου, το οποιο αναδευεται. Η χαµιλτονιανη εξελιξη του χωριου ειναιχαοτικη, οπω φαινεται απο την ευαισθητη εξαρτηση τη τελικη θεση εκαστου σηµειουαπο τι αρχικε συνθηκε, και οδηγει τελικα στην πληρη διαχυση του χρ£ωµατο στηνεπιφανεια του ρευστου. Απο την εργασια του P.Welander, 1955: Studies on the generaldevelopment of motion in a two dimensional fluid flow, Tellus, 7, 141-156.

Eπειδη ο φ0 ειναι ταυτοτικο µετασχηµατισµο, θα ισχυει J(0) = 1·εποµενω, η σχεση (10.24) γραφεται ω

J(ǫ) − J(0)

ǫ= trace(A) + O(ǫ) . (10.25)

Στο οριο ǫ → 0 προκυπτει η διαφορικη εξισωση µετα1ολη τη Ιακω1ια-νη

dJ

dt

∣

∣

∣

∣

t=0

= trace(A) = ~∇ · ~v(~x(0), 0) . (10.26)


Μολονοτι η παραπανω εξισωση προκυπτει για τη διαφορικη εξελιξη τηJ(t) τη χρονικη στιγµη t = 0, καταληγουµε σε ταυτοσηµα συµπερασµατακαι για τη διαφορικη εξελιξη τη J(t) απο το χρονο t στο χρονο t+ǫ. Επο-µενω, ο ρυθµο µετα1ολη τη J(t) τη χρονικη στιγµη t ειναι

dJ

dt= trace(A) = ~∇ · ~v(~x(t), t) . (10.27)

Ολοκληρ£ωνοντα την (10.27), βρισκουµε οτι η τιµη τη Ιακω1ιανη J(t)υστερα απο πεπερασµενο χρονο t ειναι

J(t) = 1 +

∫ t

0

~∇ · ~v(~x(s), s) ds . (10.28)

Aν η αποκλιση του ~v ειναι µηδενικη, η Ιακω1ιανη του µετασχηµατισµουθα ειναι

J(t) = 1

για ολου του χρονου και, οπωπροκυπτει απο τη σχεση (10.18), ο ογκοτου χρονικα εξελιγµενου χωριου V (t) θα παραµεινει ισο µε τον αρχικοογκο V (0).

Mπορουµε επιση να προσδιορισουµε τη διαφορικη εξισωση µετα1ο-λη του ογκου συναρτησει του ρυθµου µετα1ολη τη Ιακω1ιανη. Παρα-γωγιζοντα την (10.18), λαµ1ανουµε

dV (t)

dt=

d

dt

∫

Γt

dNx(t)

= limǫ→0

∫

Γt+ǫ

dNx(t + ǫ) −∫

Γt

dNx(t)

ǫ

= limǫ→0

∫

Γt

[1 + ǫ (dJ/dt)]dNx(t) −∫

Γt

dNx(t)

ǫ

=

∫

Γt

dJ

dtdNx(t)

=

∫

Γt

~∇ · ~v(~x(t), t) dNx(t) . (10.29)

Ειδικα τα χαµιλτονιανα συστηµατα ικανοποιουν την ασυµπιεστη ιδι-οτητα του διανυσµατικου πεδιου

~∇ · ~v = 0 ,

αφου, αν θεσουµε ~x = (~q, ~p) και

~v(~x, t) =

(

∂H/∂~p−∂H/∂~q

)

, (10.30)

οπου µε ∂H/∂~p συµ1ολιζουµε τη βαθµιδα τη Χαµιλτονιανη ω προ τιp µετα1λητε και παροµοιω µε ∂H/∂~q τη βαθµιδα ω προ τι q µετα1λη-τε, οι κανονικε εξισ£ωσει του Χαµιλτον λαµ1ανουν στι συντεταγµενεαυτε τη µορφη

d~x

dt= ~v(~x, t) , (10.31)


και εχουν την ιδιοτητα η αποκλιση του πεδιου των ταχυτητων να µηδενι-ζεται

~∇ · ~v =

(

∂

∂qi

(

∂H

∂pi

)

+∂

∂pi

(

−∂H

∂qi

))

= 0 . (10.32)

Συνεπ£ω, η ροη στο χ£ωρο των φασεων ειναι ασυµπιεστη και ετσι καθε χα- Η ροη στο χ£ωρο

των φασεων ειναι

ασυµπιεστη

µιλτονιανο συστηµα κατα την κινηση του στο χ£ωρο των φασεων διατηρειτον αρχικο του ογκο.

Παρατηρουµε οτι το ασυµπιεστο τη ροη στο χ£ωρο των φασεων ει-ναι απορροια τη ιδιαιτερη συµπλεκτικη µορφη των κανονικ£ων εξισ£ω-σεων. Εαν θεωρουσαµε τη δυναµικη στο χ£ωρο των (q, q), το θε£ωρηµα Li- Το θε£ωρηµα Liouville

ισχυει και για

Χαµιλτονιανε που

αλλαζουν µε το χρονο

ouville δεν θα ισχυε γενικα για καθε Λαγκρανζιανη. Παρατηρουµε επισηοτι το θε£ωρηµα ισχυει και για χρονοεξαρτ£ωµενε Χαµιλτονιανε, αφουσε κανενα σηµειο τη αποδειξη δεν χρειαστηκε να επικαλεστουµε τη µηεξαρτηση τη Χαµιλτονιανη απο το χρονο.

Τι φυσικο νοηµα οµω, µπορει ναεχει ενα χωριο στο χ£ωρο των φασεων;Μπορει να φανταστει κανει οτι ενα χωριο αντιπροσωπευει ενα µεγαλοδειγµα ιδιων φυσικ£ων συστηµατων µε παρεµφερει αρχικε συνθηκε· για Τι νοηµα εχει ενα

χωριο στο χ£ωρο των

φασεων;

παραδειγµα, µια µεγαλη παιδικη χαρα µε πανοµοιοτυπε κουνιε, οι οποι-ε τη χρονικη στιγµη t = 0 καταλαµ1ανουν ολε τι γωνιε εντο καποιουδιαστηµατο, για παραδειγµα, µεταξυ 5 και 10, και ολε τι γωνιακεταχυτητε, για παραδειγµα, µεταξυ −1s−1 και +1s−1. Μπορει, ακοµη,να φανταστει κανει το χωριο ω ενα και µοναδικο φυσικο συστηµα τηθεση και την ορµη του οποιου δεν γνωριζουµε µε απολυτη βε1αιοτητα· γιαπαραδειγµα, µια κουνια για την οποια δεν ειµαστε απολυτω σιγουροι τιαρχικη γωνια και τι αρχικη γωνιακη ταχυτητα εχει, αλλα γνωριζουµε τοευρο τη α1ε1αιοτητα µα οσον αφορα στα µεγεθη αυτα.

Το θε£ωρηµα Liouville εχει θεµελι£ωδη σηµασια στην κλασικη στατιστι-κη µηχανικη, συµφωνα µε την οποια ενα συστηµα εχει την ιδια πιθανο-τητα καταληψη ισων ογκων στο χ£ωρο των φασεων. Το θε£ωρηµα Liou- Η πυκνοτητα

καταστασεων

παραµενει σταθερη αν

ακολουθησουµε τη ροη

ville βε1αι£ωνει οτι αυτη η προταση παραµενει σε ισχυ ανα πασα χρονικηστιγµη. Για να γινει αντιληπτο π£ω εξελισσεται η κατανοµη των καταστα-σεων στο χ£ωρο των φασεων για ενα στατιστικο συστηµα, υποθετουµε οτικαποια χρονικη στιγµη dN συστηµατα βρισκονται σε µια απειροστη πε-ριοχη dV = dnqdnp του χ£ωρου των φασεων. Η πυκνοτητα των καταστα-σεων στην περιοχη αυτη ειναι ρ = dN/dV . Με την παροδο του χρονου οστοιχει£ωδη ογκο dV εξελισσεται στον dV ′. Επειδη ο αριθµο των κατα-στασεων dN που περιλαµ1ανονται στο στοιχει£ωδη ογκο παραµενει στα-θερο, η πυκνοτητα πρεπει να ικανοποιει τη σχεση

ρ dV = ρ′dV ′ ,

οπου ρ′ η πυκνοτητα των καταστασεων στον χρονικα εξελιγµενο ογκο.Απο το θε£ωρηµα του Liouville, οµω, γνωριζουµε οτι ο ογκο παραµενεισταθερο και ω εκ τουτου πρεπει να παραµενει σταθερη και η πυκνοτητακαταστασεων ρ. Καταληγουµε, εποµενω, στο συµπερασµα οτι στο χ£ωροτων φασεων η πυκνοτητα καταστασεων παραµενει σταθερη, πραγµα που


σηµαινει οτι κατα µηκο τη ροη στο χ£ωρο των φασεων θα ισχυει οτι

d

dtρ(~x(t), t) =

∂ρ

∂t+ ~v · ~∇q,pρ = 0 . (10.33)

Ηεξισωσηαυτη λεγεται εξισωση Liouville και αποτελει αναδιατυπωση τουθεωρηµατο Liouville. Εαν αρχικα ολα τα σηµεια του χ£ωρου των φασεωνειχαν την ιδια πυκνοτητα καταστασεων, τοτε η πυκνοτητα καταστασεωνστο χ£ωρο των φασεων θα παρεµενε παντοτε σταθερη.Ενδεχεται, ωστοσο, παροτι ο ογκο παραµενει αµετα1λητο, η εξελιξηΤα χαοτικα συστηµατα

βρισκονται σε

συµφωνια µε το

θε£ωρηµα Liouville.

στο χ£ωρο των φασεων να ειναι ιδιαιτερω περιπλοκη και µαλιστα σε τε-τοιο βαθµο, £ωστε η αποσταση αρχικα γειτονικ£ων σηµειων να αυξανει εκ-θετικα µε το χρονο διατηρ£ωντα συγχρονω το συνολικο ογκο του χω-ριου σταθερο. Σε αυτη την περιπτωση µια µικρη αρχικα α1ε1αιοτητα τουσυστηµατο µεγαλ£ωνει µε την παροδο του χρονο σε τετοιο βαθµο, £ωστετο συστηµα να εµφανιζει ευαισθητη εξαρτηση απο τι αρχικε συνθηκε.Οταν συµ1αινει αυτο, η δυναµικη του συστηµατο λεγεται χαοτικη. Τοτετο εξελιγµενο χωριο αποκτα µια ιδιαιτερα πολυπλοκη µορφη, διοτι αφε-νο πρεπει να διατηρει τον ογκο του και αφετερου η αποσταση µεταξυγειτονικ£ων σηµειων πρεπει, τουλαχιστον αρχικα, να αποκλινει εκθετικα(βλ. Σχηµατα 10.6, 10.7).Στη µακροσκοπικη περιγραφη τη φυση υπεισερχονται φαινοµενα α-Η αναλωση

καταστρεφει τη

διατηρηση του ογκου

ναλωση οποτε η δυναµικη του αντιστοιχου συστηµατο παυει να ειναιχαµιλτονιανη. Στι περιπτ£ωσει αυτε ο ογκο στο χ£ωρο των φασεων δενπαραµενει σταθερο και µε την παροδο του χρονου συνηθω τεινει να εκ-µηδενιστει (βλ. Σχηµα 10.8). Ενα χαρακτηριστικο παραδειγµα µη χαµιλ-τονιανου συστηµατο ειναι το τρισδιαστατο5 συστηµα του Lorenz

dx

dt= σ(y − x)

dy

dt= ρx − y − xz

dz

dt= −βz + xy , (10.34)

µε σ, ρ, β θετικε σταθερε.Απο την προηγουµενη αναλυση ειναι ευκολο να διαπιστ£ωσουµε οτι ο

ογκο στο χ£ωρο (x, y, z) ικανοποιει την εξισωση

dV

dt= −(σ + β + 1) , (10.35)

και συνεπ£ω µει£ωνεται µονοτονα, οταν σ + β + 1 > 0. Παρολο, οµω,που ο ογκο καθε αρχικου χωριου τεινει στο µηδεν, η παραπανω δυνα-µικη εµφανιζει και αυτη (για ορισµενε τιµε των παραµετρων) ευαισθητηεξαρτηση απο τι αρχικε συνθηκε. Τα χωρια στι περιπτ£ωσει αυτε τει-νουν να εξελιχθουν στου καλουµενου παραξενου ελκυστε (strange at-tractors), περιοχε µηδενικου ογκου οχι οµω και µηδενικ£ων διαστασεων.

5Μολονοτι ο τρισδιαστατο αυτο χ£ωρο δεν µπορει να ειναι χ£ωρο φασεων λογω πε-ριττη διασταση, αυτο δεν αποτελει ουσιαστικο προ1ληµα, αφου το συστηµα θα µπο-ρουσε να επεκταθει αναλογα κατα µια ακοµη διασταση.


Κατ αναλογιαν φανταστειτε ενα στερεο σ£ωµα που εχει ισοπεδωθει, αλλαεχει υποστει τετοια παραµορφωση £ωστε να υπαρχουν ζευγαρια σηµειωνπου, εν£ω αρχικα βρισκονταν οσοδηποτε κοντα το ενα στο αλλο, υστερααπο την ισοπεδωση του σ£ωµατο βρισκονται σε πεπερασµενη µεταξυ τουαποσταση.

Ασκηση 10.3. Επι1ε1αι£ωστε την παραπανω εξισωση εξελιξη του ογκου στο συ- ΑΣΚΗΣΕΙΣστηµα του Lorenz.

Σχηµα 10.8: Οκτ£ω διαφορετικε αρχικε συνθηκε στι ακρε ενο κυ1ου εξελισσονταισυµφωνα µε το συστηµα του Lorenz (10.34) µε τιµε σταθερ£ων σ = 10, ρ = 28, β =8/3. Εν£ω το αρχικο χωριο ειναι τρισδιαστατο, το τελικο χωριο γινεται µε την παροδοτου χρονου ολοενα και πιο δισδιαστατο σχηµατιζοντα τη γνωστη µασκα του Lorenz.

Η αποδειξη που παραθεσαµε παραπανω σχετικα µε τη διατηρηση τουογκου του χωριου µπορει να επαναληφθει µε τον ιδιο ακρι1£ω τροπο γιανα δειχθει οτι διατηρειται το εµ1αδον τη τοµη του χωριου απο ενα επι-πεδο που οριζεται απο καποιο qi και απο το συζυγε του pi. Συγκεκρι-µενα, για καθε συντεταγµενη i και για καθε χρονικη στιγµη t, η ιακω1ιανη


οριζουσα του µετασχηµατισµου απο τι αρχικε θεσει και ορµε µε δει-κτη i στι κατοπινε θεσει και ορµε µε δεικτη i ειναι (χωρι αθροιστικησυµ1αση)

∂(qi(t), pi(t))

∂(qi(0), pi(0))=

∂qi(t)

∂qi(0)

∂pi(t)

∂pi(0)− ∂qi(t)

∂pi(0)

∂pi(t)

∂qi(0)= 1 , (10.36)

οποτε κατα την κινηση διατηρειται η επιφανεια τη προ1ολη τη τοµηστο επιπεδο (qi, pi)

∫ ∫

dqidpi .

Η διατηρηση αυτη πηγαζει απο τη συµπλεκτικη δοµη των εξισ£ωσεων τουΧαµιλτον για καθε ζευγο συζυγ£ων θεσεων και ορµ£ων. Εξαιτια αυτητη διατηρηση οι σχεσει α1ε1αιοτητα του Heisenberg, σε κλασικο επι-πεδο, παραµενουν αναλλοιωτε µε την παροδο του χρονου.

Ασκηση 10.4. Ακολουθ£ωντα τα βηµατα τη αποδειξη του θεωρηµατο του Liou-ΑΣΚΗΣΕΙΣville, αποδειξτε οτι για οποιαδηποτε µετα1λητη i η στοιχει£ωδη επιφανεια dqidpi παρα-µενει σταθερη στη χαµιλτονιανη δυναµικη. Με αυτο τον τροπο αποδεικνυεται η εξισωση(10.36).

Επιπλεον, επειδη ισχυει∫ ∫

dqidpi =

∮

C(t)

pidqi , (10.37)

οπου C(t) το συνορο του χωριου στο επιπεδο (qi, pi), η κυκλοφορια πουοριζεται ω

∮

C(t)

pidqi

(χωρι αθροιστικη συµ1αση), παραµενει αναλλοιωτη κατα την κινηση ενοχαµιλτονιανου συστηµατο.Τελο, επειδη το

∫∫

dqidpi παραµενει αναλλοιωτο για καθε i, θα πα-ραµενει επιση αναλλοιωτο και το

n∑

i=1

∫ ∫

dqidpi . (10.38)

Οµοιω, αποδεικνυεται οτι παραµενουν αναλλοιωτα και τα εκαστοτε ολο-κληρ£ωµατα

∫ ∫

· · ·∫ ∫

dqidpidqjdpj · · · (10.39)

οπου η ολοκληρωση γινεται στου χ£ωρου των τεσσαρων, εξι, κ.ο.κ. δια-Τα αναλλοιωτα του

Poincare στασεων στο χ£ωρο των φασεων. Τα αναλλοιωτα αυτα µεγεθη λεγονταιαναλλοιωτα ολοκληρ£ωµατα του Poincarɴe. Το θε£ωρηµα του Liouville ανα-φερεται στο τελευταιο αναλλοιωτο ολοκληρωµα του Poincarɴe οπου η ολο-κληρωση λαµ1ανεται και στι 2n διαστασει.

10.3. A∆ΙΑΒΑΤΙΚΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ 317

10.3 Aδια1ατικα αναλλοιωτα

Σε ορισµενε περιπτ£ωσει κατα τι οποιε η Χαµιλτονιανηεχει χρονικηεξαρτηση, η χρονικη µετα1ολη αυτη πραγµατοποιειται σε χρονου πολυπιο αργου απο το χαρακτηριστικο χρονο που χαρακτηριζει την κινησητου συστηµατο. Οταν συµ1αινει αυτο, η µετα1ολη ονοµαζεται αδια-1ατικη.6 Γι αυτε τι περιπτ£ωσει που η κινηση ειναι σχεδον περιοδικηισχυει το λεγοµενο αδια1ατικο θε£ωρηµα (Ehrenfest, 1913). Εχουµε ανα-

Σχηµα 10.9: Περιοδικη τροχια χαµιλτονιανου συστηµατο. Το εµ1αδον τη επιφανειαπου περικλειεται απο την τροχια ειναι

∮

pdq. Οταν η Χαµιλτονιανη µετα1αλλεται αδια-1ατικα, η καµπυλη αυτη αλλαζει, αλλα το εµ1αδον που περικλειει παραµενει σταθερο.

φερει οτι σε ενα περιοδικο συστηµα µε χρονικα ανεξαρτητη Χαµιλτονι-ανη το

∮

pdq ειναι η επιφανεια που περιγραφεται απο την κλειστη τροχιατου συστηµατο στο επιπεδο (q, p) (βλ. Σχηµα 10.9). Τι συµ1αινει, αραγε,οταν η Χαµιλτονιανη ενο τετοιου συστηµατο µετα1αλλεται αδια1ατικα;Συµφωνα µε το αδια1ατικο θε£ωρηµα κατα την αδια1ατικη µετα1ολη τη Ποιο θα το

φανταζοταν οτι,

οταν ολα αλλαζουν,

υπαρχει κατι που

µενει αναλλοιωτο!

Χαµιλτονιανη, το∮

pdq κατα µηκο µια κλειστη διαδροµη στο χ£ωροτων φασεων (ακρι1εστερα, κατα µηκο µια σχεδον κλειστη διαδροµη,αφου η ενεργεια µετα1αλλεται και εποµενω η τροχια δεν κλεινει) παρα-µενει σταθερο. Η ποσοτητα

∮

pdq

καλειται αδια1ατικο αναλλοιωτο.Το θε£ωρηµα του Ehrenfest βρηκε δοκιµη εφαρµογη στα πρ£ωτα βηµατα

προ την κ1αντικη µηχανικη οταν ο Niels Henrik David Bohr [1885-1962] Αδια1ατικο

αναλλοιωτο και

γεννηση τη

κ1αντοµηχανικη

6Η ελληνογενη λεξη αδια1ατικο (adiabatic), που προερχεται απο το ελληνικο επι-θετο αδια1ατο, πρωτοχρησιµοποιηθηκε απο τον Clausius, για να περιγραψει µια διερ-γασια κατα την οποια η θερµοκρασια δεν “βαινει”, δηλαδη δεν προχωρει. Αργοτερα οιCarnot,Clapeyron, καιRankine εδωσαν στον ορο τη σηµερινη θερµοδυναµικη του εννοια.Στην κλασικη µηχανικη ο ορο πρωτοχρησιµοποιειται το 1916 απο τον Paul Ehrenfest[1880-1933], ο οποιο µε τη σειρα του δανειστηκε τον ορο απο τον Einstein.


και ο Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld [1868-1951] προτειναν τονκ1αντισµο ποσοτητων τη µορφη

∮

pdq. Συµφωνα µε τη θεωρια τωνBohr-Sommerfeld ποσοτητε τη µορφη

∮

pdq λαµ1ανουν διακριτε τιµε. Τοεπιχειρηµα των Bohr και Ehrenferst για την παγκοσµιοτητα ενο τετοιουνοµου βασιζοταν στο αδια1ατικο αναλλοιωτο τη ποσοτητα αυτη : αν,για παραδειγµα, διαπιστ£ωσουµε7 οτι σε εναν αρµονικο ταλαντωτη ισχυειοτι

∮

pdx =

(

n +1

2

)

h , (10.40)

οπου h η σταθερα του Planck καιn καποιο φυσικοαριθµο , τοτε η σχεση(10.40) πρεπει να εχει παγκοσµια ισχυ, διοτι, µετα1αλλοντα αδια1ατικα(µε πολυ αργο ρυθµο) το παρα1ολικο δυναµικο του ταλαντωτη, µπορουµενα καταληξουµε σε οποιοδηποτε αλλο δυναµικο, ακοµη και σε αυτο τουατοµου του υδρογονου. Ετσι, για οποιοδηποτε δυναµικο θα ισχυει η σχε-ση (10.40). Συνεπ£ω, ενα τετοιο νοµο πρεπει να εχει θεµελιακη και πα-γκοσµια ισχυ.

Η αδια1ατικη θεωρια εχει πολλε εφαρµογε και σε κλασικα προ1λη-Τι µπορουµε να

υπολογισουµε µε

τα αδια1ατικα

αναλλοιωτα;

µατα. Η κινηση, για παραδειγµα, των πλανητ£ων επηρεαζεται απο τη µε-τα1ολη τη µαζα του Ηλιου. Φυσικα αυτη η µετα1ολη συντελειται µεπολυ βραδυ ρυθµο σε συγκριση µε την περιοδο περιφορα των πλανητ£ων.Συγκεκριµενα, η µαζα του Ηλιου µει£ωνεται κατα εναν παραγοντα ταξη10−13 ανα ετο, οποτε η αδια1ατικη θε£ωρηση µπορει να εφαρµοστει στοηλιακο συστηµα µε στοχο τη µελετη των επιπτ£ωσεων τη µετα1ολη τηηλιακη µαζα στι τροχιε των πλανητ£ων. Οµοιω, σε µικροσκοπικη κλι-µακα, σε ενα δοχειο χαµηλη πιεση τα ατοµα προσκρουουν στα τοιχ£ω-µατα του δοχειου µε περιοδο τη ταξη των 10−5 − 10−4 s. Αν ο ογκοτου δοχειου µετα1αλλεται µε χαρακτηριστικο χρονο µετα1ολη 1 s, οι αλ-λαγε που θα παρατηρησουµε στο συστηµα ερµηνευονται και αυτε αποτο αδια1ατικο θε£ωρηµα. Αλλε εφαρµογε του αδια1ατικου θεωρηµατοσυναντουµε στη διαδοση κυµατων σε µεσα στα οποια ο δεικτη διαθλα-ση µετα1αλλεται ειτε χρονικα, ειτε χωρικα. Αν η χρονικη µετα1ολη τουδεικτη διαθλαση ειναι πολυ αργη σε σχεση µε την περιοδο του κυµατο ηαν η χωρικη µετα1ολη του ειναι εξαιρετικα µικρη σε ενα µηκο κυµατο,τοτε η αδια1ατικη θεωρια µπορει να εφαρµοστει στη µελετη τη διαδοσητου κυµατο.

Πριν αποδειξουµε το αδια1ατικο θε£ωρηµα, θα δειξουµε µε ενα απλοπαραδειγµα την ισχυ του. Θεωρουµε µια µπαλα µοναδιαια µαζα, η ο-Επιδειξη του

αδια1ατικου

αναλλοι£ωτου µε

ενα µονοδιαστατο

µονοατοµικο αεριο

ποια κινειται σε µια ευθεια καθετη σε δυο τοιχ£ωµατα. Οταν η µπαλασυγκρουστει µε καποιο απο τα τοιχ£ωµατα, ανακλαται ελαστικα. Το αρι-στερο τοιχωµα ειναι ακινητο, αλλα το δεξιο τοιχωµα πλησιαζει το πρ£ωτοτοιχωµα µε ταχυτητα U σαν εµ1ολο που συστελλει το χ£ωρο κινηση τηµπαλα. Αν U = 0, τα τοιχ£ωµατα παραµενουν στη θεση του εν£ω η πο-σοτητα

7Εκεινη την εποχη υπηρχαν αρκετε πειραµατικε ενδειξει οτι κατι τετοιο ισχυει. Τε-τοιε ενδειξει προερχονταν για παραδειγµα απο το φασµα τη ακτινο1ολια του µελα-νο σ£ωµατο.


Σχηµα 10.10: Η τροχια στο χ£ωρο των φασεων ενο σωµατιδιου που κινειται σε µια δια-σταση και ανακλαται ελαστικα σε τοιχ£ωµατα που βρισκονται σε αποσταση L. Λιγο προ-του το σωµατιδιο προσπεσει στο δεξιο τοιχωµα (σηµειο Β), κινειται µε ταχυτητα u. Αµε-σω µετα την κρουση το σωµατιδιο ανακλαται και αποκτα ταχυτητα −u. Η τροχια στοχ£ωρο των φασεων διανυει ακαριαια κατα την ανακλαση το ευθυγραµµο τµηµα ΒΓ. Ταιδια συµ1αινουν οταν το σωµατιδιο επιστρεφει στο αριστερο τοιχωµα. Συνολικα, η τρο-χια του σωµατιδιου µε συγκεκριµενη ενεργεια ειναι το ορθογ£ωνιο ΑΒΓ∆Α.

I =1

2π

∮

pdq =Lu0

π(10.41)

διατηρειται σταθερη, οπου L ειναι η αποσταση µεταξυ των τοιχωµατωνκαι u0 η ταχυτητα τη µπαλα (βλ. Σχηµα 10.10). Θα δειξουµε οτι η πο-σοτητα αυτη παραµενει σταθερη, οταν τα τοιχ£ωµατα πλησιαζουν το ενατο αλλο µε ταχυτητα U << u, £ωστε το συστηµα να µετα1αλλεται ελαχι-στα στο χαρακτηριστικο χρονο του συστηµατο 2L/u, δηλαδη το χρονοπου αντιστοιχει σε ενα πηγαινε–ελα τη µπαλα. Κατα την εξελιξη τουσυστηµατο η ταχυτητα τη µπαλα δεν παραµενει σταθερη. Εαν η ταχυ-τητα τη µπαλα πριν απο τη n-οστη κρουση αυτη µε το κινουµενο τοι-χωµα ειναι un−1 και αµεσω µετα τη n-οστη κρουση ειναι un, τοτε, επειδηη σχετικη ταχυτητα τη µπαλα ω προ το τοιχωµα ειναι σταθερη, θα ει-ναι un − U = un−1 + U , οποτε

un = un−1 + 2U . (10.42)

Απο την αναδροµικη αυτη σχεση συµπεραινουµε οτι η ταχυτητα µετα τηn-οστη κρουση ειναι

un = u0 + 2nU , (10.43)

οπου u0 η αρχικη ταχυτητα τη µπαλα, οταν τα τοιχ£ωµατα βρισκοντου-σαν σε αποσταση L. Εστω xn η αποσταση µεταξυ των τοιχωµατων τηστιγµη τη n-οστη κρουση και τn το χρονικο διαστηµα µεταξυ τη n-οστη και τη (n + 1)-οστη κρουση. Η µειωση τη αποσταση των τοι-


χωµατων ικανοποιει την αναδροµικη σχεση

xn+1 − xn = −Uτn , (10.44)

Εν τω µεταξυ στο χρονικο διαστηµα µεταξυ τη n-οστη και τη (n + 1)-οστη κρουση τn η µπαλα, κινουµενη µε ταχυτητα un, θα εχει διανυσειαποσταση xn + xn+1 οποτε

τn =xn + xn+1

un

. (10.45)

Αν συνδυασουµε ολε τι παραπανω σχεσει καταληγουµε στον αναγω-γικο τυπο

xn+1 = xnu0 + (2n − 1)U

u0 + (2n + 1)U, (10.46)

ο οποιο δινειxn+1 = L

u0

u0 + (2n + 1)U, (10.47)

αν υποθεσουµε οτι αρχικα (για t = 0) η µπαλα βρισκοταν στο σταθεροτοιχωµα, οποτε x1 = Lu0/(u0+U). Οριζουµε τ£ωρα τη µετα1λητη δραση(action variable)

In =1

2π

∮

pdx , (10.48)

υπολογισµενη στην κλειστη διαδροµη απο τη n-οστη κρουση στο σταθεροτοιχωµα8 µεχρι τη (n+1)-οστη κρουση στο ιδιο τοιχωµα. Ηδιαδροµη αυτηπεριλαµ1ανει εν µερει τη διαδροµη προ το κινητο τοιχωµα µε ταχυτηταun και εν µερει τη διαδροµη προ το σταθερο τοιχωµα µετα τη n+1-οστηκρουση µε ταχυτητα un+1. Ετσι, η µετα1λητη δραση για την κλειστηαυτη διαδροµη θα ειναι

In =xn+1(un + un+1)

2π=

Lu0

π= I0 . (10.49)

Παρατηρουµε οτι η ποσοτητα αυτη παραµενει σταθερη καθ ολη τη διαρ-κεια τη διεργασια, παροτι ολα τα αλλα φυσικα µεγεθη του προ1ληµα-το, το µηκο τη ελευθερη κινηση, η ταχυτητα του σωµατιδιου και ηενεργεια του σωµατιδιου µετα1αλλονται και µαλιστα δραµατικα. Η αλη-θεια ειναι οτι αυτη η απολυτη σταθεροτητα του µεγεθου In ειναι πλα-σµατικη. Για παραδειγµα, αν ο εκαστοτε “κυκλο” στο χ£ωρο των φασεωνειχε ω αφετηρια οχι το ακινητο τοιχωµα αλλα το κινητο, το ολοκληρωµα∮

pdx θα λαµ1ανε ελαφρ£ω διαφορετικη τιµη

I ′

n =un+1(xn + xn+1)

2π= I0

u20 + 4nUu0 + 4n2U2

u20 + 4nUu0 + (4n2 − 1)U2

. (10.50)

Θελουµε να εκτιµησουµε τη µετα1ολη τη νεα µετα1λητη δραση I ′

n,

οταν τα τοιχ£ωµατα κινουνται αδια1ατικα, δηλαδη οταν u0 >> U . Α

8Χρησιµοποιησαµε αυτο το σηµειο ουτω £ωστε να κλεινει η διαδροµη στο χ£ωρο τωνφασεων.


εκτελεσουµε ενα αριθµητικο πειραµα : θεωρουµε τι τιµε u0 = 1, L = 1και U = 0.01. Οπω φαινεται στον πινακα που ακολουθει και η νεα πο-σοτητα I ′

n ειναι περιπου (αλλα οχι ακρι1£ω) σταθερη, αφου u0 >> U ,

καθ ολη τη διαρκεια τη διεργασια. Στον πινακα παρατιθεται ακοµη ηταχυτητα τη µπαλα un, η κινητικη ενεργεια τη µπαλα En = u2

n/2 καιη αποσταση µεταξυ των τοιχωµατων xn τη στιγµη αµεσω µετα τη n-οστηκρουση τη µπαλα µε το κινουµενο τοιχωµα. Σηµει£ωνουµε οτι οι δυο πο-σοτητε In και I

′

n δεν αφορουν ακρι1£ω στον ιδιο κυκλο· η In σχετιζεταιµε τον κυκλο γυρω απο την n-οστη κρουση στο κινουµενο τοιχωµα, εν£ωη I ′

n σχετιζεται µε τον κυκλο που εχει ω αφετηρια αυτη την κρουση.

n xn En π In π I ′

n

1 0.99 0.52 1 1.001

10 0.83 0.72 1 1.00007

50 0.50 2.00 1 1.00003

100 0.33 4.50 1 1.00001

500 0.09 60.50 1 1.00000081000 0.05 220.50 1 1.0000002

Σχηµα 10.11: Η τροχια στο χ£ωρο των φασεων, οταν το ενα τοιχωµα πλησιαζει αργα τοαλλο. Η αρχικη θεση ειναι το σηµειο Α, εν£ω η τελικη, υστερα απο 30 “κυκλου”, ειναι τοσηµειο Ω. Η φορα διαγραφη ειναι σηµειωµενη στο διαγραµµα. Το αρχικο ορθογ£ωνιοειναι σηµειωµενο µε ασπρου κυκλου, εν£ω το τελικο µε µαυρου κυκλου. Η διατηρησητου εµ1αδου των “κυκλων” ειναι εµφανη.

Παρατηρουµε, οτι, παρολο που η ενεργεια τη µπαλα υστερα απο1000 κρουσει εχει αυξηθει περισσοτερο απο 400 φορε και η αποσταση Κι εν£ω ολα αλλαζουν,

η µετα1λητη δραση

µενει περιπου ιδια

µεταξυ των τοιχωµατων εχει σχεδον εκµηδενιστει, η µετα1λητη δρασηεχει παραµεινει σε εκπληκτικο βαθµο σταθερη. Το εκπληκτικο αυτο απο-τελεσµα αποτελει το περιεχοµενο του αδια1ατικου θεωρηµατο. Αξιζει


να δοκιµασει κανει και µε αρκετα µεγαλυτερε τιµε τη U , για να διαπι-στ£ωσει ποσο ισχυρο ειναι το θε£ωρηµα. Επειδη τα τοιχ£ωµατα πλησιαζουνµεταξυ του, η περιοδο τη κινηση τη µπαλα µικραινει και η αδια-1ατικη συνθηκη οσον αφορα στη µετα1ολη τη αποσταση µεταξυ τωντοιχωµατων γινεται ολοενα και πιο ακρι1η. Τι θα συνε1αινε, οµω, αντα τοιχ£ωµατα, αντι να πλησιαζουν, αποµακρυνονταν το ενα απο το αλ-λο; Σε αυτη την περιπτωση η κινηση τη µπαλα θα επι1ραδυνοταν ολοε-να και περισσοτερο, οποτε η ταχυτητα µε την οποια θα αποµακρυνοντανµεταξυ του τα τοιχ£ωµατα θα γινοταν τελικα συγκρισιµη µε την ταχυτητατη µπαλα. Το καταπληκτικο ειναι οτι ακοµη και σε αυτη την περιπτωσηη µετα1λητη δραση παραµενει σχεδον σταθερη, τουλαχιστον ωσοτου κα-ταστουν συγκρισιµοι οι χαρακτηριστικοι χρονοι κινηση τη µπαλα καιµετακινηση του τοιχ£ωµατο. ∆οκιµαστε το! (Για το εν λογω προ1ληµαυπαρχει καποιο γρηγορο τροπο να µετατρεψετε καταλληλα τι προη-γουµενε σχεσει.)

Το αδια1ατικο θε£ωρηµα εχει προσεγγιστικη ισχυ και η αποδειξη τουειναι διαφορετικη φυσεω απο εκεινε που αφορουν σε θεωρηµατα σανΣχετικα µε την

αποδειξη του

αδια1ατικου

θεωρηµατο

αυτα που εχουµε συναντησει εω τ£ωρα. Θα παρουσιασουµε στη συνεχειαµια αποδειξη που αναδεικνυει παραστατικα τι συµ1αινει κατα τι αδια-1ατικε µετα1ολε. Θα θεωρησουµε ενα χαµιλτονιανο συστηµα, πολλ£ωνεν γενει βαθµ£ων ελευθερια, που περιγραφεται απο µια Χαµιλτονιανη τηµορφη H(q, p, λ), οπου η παραµετρο λ δηλ£ωνει µια παραµετρο του συ-στηµατο, η οποια εξελισσεται µε την παροδο του χρονου. Θα υποθε-σουµε, επιπλεον, οτι η υπερεπιφανεια H(q, p, λ) = E ειναι µια κλειστηΓια µικρου χρονου

η τροχια διατρεχει

µια ισοενεργειακη

επιφανεια

επιφανεια στο χ£ωρο τωνφασεων για καθε σταθερη τιµη τη παραµετρου λπου θα εξετασουµε. Το γεγονο οτι η επιφανεια ειναι κλειστη σηµαινει οτιγια δεδοµενο σταθερο λ ολε οι συντεταγµενε λαµ1ανουν τιµε σε κλει-στα διαστηµατα. Με αλλα λογια, η συνθηκη αυτη εξασφαλιζει την απαι-τηση η κινηση να ειναι ταλαντωτικη. Υποθετουµε, επιπλεον, οτι η κινησησαρ£ωνει ολα τα σηµεια τη επιφανεια και εποµενω ολε οι συντεταγµε-νε διαγραφουν καποιο κλειστο διαστηµα χωρι κατ αναγκην η κινησηνα ειναι περιοδικη. Για να γινει κατανοητο αυτο, α φανταστουµε µιατροχια επανω σε εναν τορο, η οποια περιτυλισσεται µε τετοιο τροπο γυρωαπο αυτον,£ωστε να µην κλεινει, αλλα να καλυπτει σιγα-σιγα µε τη συνεχηπεριελιξη τη ολοκληρη την επιφανεια του τορου. Στην περιπτωση ενοβαθµου ελευθερια η εν λογω “επιφανεια” ειναι µια κλειστη καµπυλη στοχ£ωρο των φασεων και η κινηση ειναι τοτε κατ αναγκην περιοδικη.

Η συνθηκη αδια1ατικοτητα τη µετα1ολη, που θα χρησιµοποιησου-µε παρακατω στην αποδειξη του αδια1ατικου αναλλοι£ωτου, συνοψιζεταιστο οτι η παραµετρο λ(t) µετα1αλλεται µε πολυ αργο ρυθµο σε σχεση µεολου του χαρακτηριστικου χρονου του συστηµατο, δηλαδη σε σχεσηµε τον εκαστοτε χρονο που απαιτειται £ωστε καθε συντεταγµενη να δια-γραψει εναν πληρη κυκλο.

Α δουµε τι θα συνε1αινε γενικα, στην περιπτωση δηλαδη που η εξε-λιξη τη παραµετρου λ δεν ειναι αδια1ατικη. Εστω οτι αρχικα το συ-στηµα κειται στην υπερεπιφανεια H(q, p, λ(0)) = E που αντιστοιχει σεµια ορισµενη τιµη τη παραµετρου λ = λ(0) και σε ορισµενη τιµη τη Χα-


µιλτονιανη E. Με την παροδο του χρονου η υπερεπιφανεια αυτη εξε- Η ισοενεργειακη

επιφανεια

µετα1αλλεται µε

το χρονο

λισσεται σε µια νεα υπερεπιφανεια, υπο την εννοια οτι καθε σηµειο αυτηεξελισσεται σε καποιο αλλο σηµειο του χ£ωρου των φασεων. Η νεα αυτηυπερεπιφανεια, οµω, δεν ειναι αναγκαστικα επιφανεια σταθερη ενερ-γεια (βλ. Σχηµα 10.12). Τουτο οφειλεται στο εξη φαινοµενο : η εν λογωυπερεπιφανεια περιγραφει συστηµατα που ξεκινουν ολα µε την ιδια ενερ-γεια. Ωστοσο, η παραµετρο λ αρχιζει να εξελισσεται τη στιγµη που τοκαθε συστηµα βρισκεται σε διαφορετικη φαση τη κινηση του. Για παρα-δειγµα, αν, εν£ω κανουµε κουνια, αρχισουµε να ανε1οκατε1αζουµε τα πο-δια µα µε τον ιδιο ακρι1£ω τροπο που θα τα ανε1οκατε1αζαµε αν θελαµενα αυξησουµε το πλατο τη αι£ωρηση µα, αλλα σε εντελ£ω λαθο χρο-νικη στιγµη, το πλατο τη αι£ωρηση και µαζι και η ενεργεια τη ταλαντω-ση µα οχι µονο δεν θα αυξηθει πολυ αλλα µπορει ακοµη και να µειωθει.∆οκιµαστε το µε την πρ£ωτη ευκαιρια! Παρα ταυτα, συµφωνα µε το θε£ω-ρηµα του Liouville που, οπω θυµαστε, ισχυει ακοµη και οταν η Χαµιλ-τονιανη εχει αµεση χρονικη εξαρτηση, η νεα υπερεπιφανεια θα περικλειειτον ιδιο ογκο µε την αρχικη υπερεπιφανεια. Το ιδιο θα ισχυει και για τοεµ1αδον τη προ1ολη αυτου του ογκου σε καθε επιπεδο (qi, pi)· το εµ-1αδον αυτο θα παραµενει επιση σταθερο. Το εµ1αδον τη προ1ολη τουογκου σε καποιο επιπεδο (qi, pi) δινεται απο το επικαµπυλιο ολοκληρωµακατα µηκο τη καµπυλη που οριζει η προ1ολη τη υπερεπιφανεια σεαυτο το επιπεδο, ειναι δηλαδη

∮

pidqi. Καθε σηµειο τη υπερεπιφανειαεξελισσοµενο θα διαγραψει µια καµπυλη και τελικα, αφοτου ολοκληρω-θει η µετα1ολη τη παραµετρου λ και η λ σταθεροποιηθει, το συστηµαθα βρεθει να διαγραφει µια νεα ισοενεργειακη υπερεπιφανεια µε ενεργειαE ′(q0, p0). Γενικα, αυτη η τελικη ισοενεργειακη επιφανεια θα εξαρταταιαπο το αρχικο σηµειο εκκινηση στο χ£ωρο των φασεων (q0, p0), εν£ω το εµ-1αδον των προ1ολ£ων τετοιων υπερεπιφανει£ων που προκυπτουν απο δια-φορετικε αρχικε συνθηκε θα ειναι διαφορετικο (βλ. Σχηµα 10.12). Ανδειξουµε οτι για αδια1ατικε µετα1ολε καθε σηµειο που διαγραφει αρ-χικα την υπερεπιφανειαH(q, p, λ(0)) = E θα καταληξει να διαγραφει καιτην ιδια αντιστοιχη χρονικα εξελιγµενη υπερεπιφανειαH(q, p, λ(t)) = E ′,

δηλαδη οτι κατα την αργη µετα1ολη του λ οι υπερεπιφανειε παραµενουνσυνεχ£ω ισοενεργειακε, τοτε το θε£ωρηµα Liouville οδηγει στο συµπερα-σµα οτι ο ογκο που περικλειεται απο την υπερεπιφανεια που διαγραφε-ται απο την τροχια ειναι παντοτε σταθερο. Ο ογκο αυτο ειναι το αδια-1ατικο αναλλοιωτο. Στην περιπτωση τη µονοδιαστατη κινηση το αδια-1ατικο αναλλοιωτο ειναι το

∮

pdq .

Α θεωρησουµε, λοιπον, µια αδια1ατικη εξελιξη του συστηµατο απο Σε µεγαλου χρονου

η τροχια τεµνει τι

ισοενεργειακε

υπερεπιφανειε

καποιο σηµειο q0, p0 του χ£ωρου των φασεων (το q συµ1ολιζει ολε τι συ-ντεταγµενε των θεσεων και οµοιω το p ολε τι ορµε). Εφαρµοζοντατι κανονικε εξισ£ωσει του Χαµιλτον βρισκουµε οτι η χρονικη µετα1ολη


Σχηµα 10.12: Μια µη αδια1ατικη µετα1ολη τη συχνοτητα αρµονικου ταλαντωτη. Ησυχνοτητα του ταλαντωτη µετα1αλλεται σε µια χρονικη µοναδα απο ω2 = 1 σε ω2 = 2,συµφωνα µε το νοµο ω2 = 1 + t. Αν η συχνοτητα του ταλαντωτη ηταν σταθερα ω2 = 1,η τροχια στο χ£ωρο των φασεων θα ηταν η ισοενεργειακη κυκλικη τροχια 1. Η διακεκοµ-µενη καµπυλη 2 ειναι η εξελιξη ολων των σηµειων τη αρχικη ισοενεργειακη καµπυλη1 υστερα απο χρονο t = 1 κατα την εν λογω µη αδια1ατικη µετα1ολη απο t = 0 σε t = 1.Το θε£ωρηµα Liouville βε1αι£ωνει οτι το εµ1αδον που περικλειεται απο τι καµπυλε 1 και2 ειναι το ιδιο. Προσεξτε οτι η καµπυλη 2 δεν ειναι ισοενεργειακη καµπυλη (δεν προκει-ται για ελλειψη). Το σηµειοA µετα1αινει στο σηµειοA′ σε χρονο t = 1 ακολουθ£ωντα τηλεπτη γραµµη που τα συνδεει εν£ω η 3 ειναι η ισοενεργειακη ελλειψη που θα διαγραφειτο σηµειο A′ αν σταµατησει για t ≥ 1 να µετα1αλλεται η συχνοτητα. Ενα αλλο σηµειο,το B, µετα1αινει στο σηµειο B′ σε χρονο t = 1 ακολουθ£ωντα την αλλη λεπτη γραµµη,εν£ω η καµπυλη 4 ειναι η ισοενεργειακη ελλειψη που θα διαγραφει το B′ αν σταµατησεινα µετα1αλλεται η συχνοτητα για t ≥ 1. Προσεξτε οτι οι ισοενεργειακε καµπυλε 3 και4 δεν αντιστοιχουν στην ιδια ενεργεια και δεν περικλειουν ισα εµ1αδα. Αν η µετα1ολητη συχνοτητα γινοταν αδια1ατικα, οι καµπυλε 2, 3, 4 θα ταυτιζονταν και το εµ1αδονπου περικλειεται απο αυτε θα ηταν ισο µε το εµ1αδον που περικλειεται απο την αρχικηκαµπυλη 1.


τη Χαµιλτονιανη ειναι

dH

dt=

(

∂H

∂qi

dqi

dt+

∂H

∂pi

dpi

dt

)

+∂H

∂λλ

=

(

∂H

∂qi

∂H

∂pi

− ∂H

∂pi

∂H

∂qi

)

+∂H

∂λλ

=∂H

∂λλ . (10.51)

Αυτο σηµαινει οτι η µετα1ολη τη Χαµιλτονιανη προερχεται µονο αποτη χρονικη εξαρτηση τη παραµετρου λ. Στην περιπτωση, βε1αια, πουδεν υπαρχει χρονικη εξαρτηση τη παραµετρου λ η ενεργεια διατηρειταικατα την κινηση. Εποµενω, η µετα1ολη τη ενεργεια του συστηµατοπου ξεκινησε απο το q0, p0 σε ενα χρονικο διαστηµα T ειναι

∆E(q0,p0) =

∫ T

0

∂H

∂λλ dt . (10.52)

Σηµει£ωνουµε οτι η µετα1ολη αυτη εξαρταται απο το αρχικο σηµειο (q0, p0)εκκινηση. Εστω οτι T >> τ , οπου τ ο χαρακτηριστικο χρονο τηµεγαλυτερη περιοδου τη κυκλικη µετα1ολη των συντεταγµενων τουσυστηµατο. Εµει θα θεωρησουµε αδια1ατικε µετα1ολε του λ τετοιε Τι σηµαινει πρακτικα

αδια1ατικη µετα1ολη;£ωστε η µετα1ολη τουλ και των παραγ£ωγων του στο χαρακτηριστικο χρονοπου οι συντεταγµενε διαγραφουν εναν πληρη κυκλο στην υπερεπιφανεια(µια περιελιξη τη τροχια στον τορο) να ειναι µηδαµινη, δηλαδη δλ =λτ << λ, λτ << λ κ.ο.κ. Αφου η λ και η λ δεν µετα1αλλονται σηµαντικασε καθε χρονικο διαστηµα τ , µπορουν να εκληφθουν ω σταθερε. Συνε-π£ω, η µετα1ολη τη Χαµιλτονιανη θα δινεται, µε πολυ καλη προσεγγιση,απο το αθροισµα των µετα1ολ£ων αυτη σε καθε χρονικο διαστηµα τ

∆E =∑

j

(

∂H

∂λ

)

λ(jτ) τ , (10.53)

οπου η µεση τιµη(

∂H

∂λ

)

=1

τ

∫ (j+1)τ

jτ

∂H

∂λ

∣

∣

∣

∣

λ=λ(jτ)

dt (10.54)

υπολογιζεται για τη συγκεκριµενη τιµη του λ στο διαστηµα jτ ≤ t ≤ (j +1)τ . Αυτο σηµαινει οτι το ολοκληρωµα αυτο υπολογιζεται για εναν πληρηκυκλο του συστηµατο µε σταθερη τιµη τη παραµετρου λ. Το ενδιαφε- Η τροχια θα

διατρεχει την ιδια

ισοενεργειακη

υπερεπιφανεια

απ οπου και αν

ξεκινησει

ρον ειναι οτι η µεση αυτη τιµη ειναι ανεξαρτητη απο το αρχικο σηµειο(q0, p0) και συνεπ£ω η ολικη µετα1ολη τη Χαµιλτονιανη ειναι και αυτηανεξαρτητη απο το αρχικο σηµειο· αυτο ειναι και ο λογο που παραλει-ψαµε τον προσδιοριστικο δεικτη (q0, p0) στη µετα1ολη τη ενεργεια. Συ-ναγεται, λοιπον, οτι για αδια1ατικε µετα1ολε ολα τα σηµεια τη υπερε-πιφανειαH(q, p, λ(0)) = E θα απεικονιστουν υστερα απο χρονοT >> τστην ισοενεργειακη υπερεπιφανεια

H(q, p, λ(T )) = E + ∆E ,


και συνεπ£ω καθε αρχικη συνθηκη στην αρχικη υπερεπιφανεια υστερααπο χρονο T θα διαγραφει τη νεα ισοενεργειακη υπερεπιφανεια, οποτε oογκο που περικλειεται απο αυτη την υπερεπιφανεια θα ειναι σταθερο.Παρατηρουµε εποµενω οτι το θε£ωρηµα Liouville ειναι αυτο που εξασφα-λιζει το αδια1ατικο αναλλοιωτο του ογκου που περικλειεται απο την τρο-χια.

10.4 Ταλαντωτη µε µετα1λητη συχνοτητα

Ωπαραδειγµα εφαρµογη του αδια1ατικου αναλλοι£ωτου θαπροσπα-θησουµε να απαντησουµε στο ακολουθο ερ£ωτηµα : τι συµ1αινει µε την πε-Εκκρεµε µε αργα

µετα1αλλοµενο µηκο ριοδο ενο εκκρεµου, οταν το µηκο του νηµατο µετα1αλλεται µε αργορυθµο (βλ. Σχηµα 10.13); Το προ1ληµα αυτο εχει ιστορικη σηµασια· συ-ζητηθηκε και απαντηθηκε απο τον Einstein κατα τη διαρκεια του περιφη-µου Πρ£ωτου Συνεδριου του Solvay το 1911, κατοπιν σχετικη ερ£ωτησηπου του εθεσε ο Lorentz.Προκειµενου να απλοποιησουµε του υπολογισµου, θεωρουµε οτι το

εκκρεµε εκτελει ταλαντ£ωσει µικρου πλατου. Σε αυτη την περιπτωση ηΧαµιλτονιανη –αν διαγραψουµε σταθερε που δεν αλλοι£ωνουν το φυσικοπεριεχοµενο του προ1ληµατο– εχει τη µορφη

H =p2

2+

ω2(t)

2q2 , (10.55)

οπου ω(t) ειναι η αργα µετα1αλλοµενη συχνοτητα του ταλαντωτη. Εαν ησυχνοτητα δεν παρουσιαζε καµια µετα1ολη, η ενεργεια θα παρεµενε στα-θερη και η µετα1λητη δραση θα ηταν

I(E, ω) =1

2π

∮

p(q, E, ω) dq =E

ω, (10.56)

δεδοµενου οτι το∮

pdq ειναι το εµ1αδον που περικλειεται απο την ελλει-πτικη τροχιαH = E στο χ£ωρο των φασεων (οι ηµιαξονε τη ελλειψη ει-ναι

√2E/ω και

√2E αντιστοιχα, εν£ω το εµ1αδον τη ελλειψη ειναι

2πE/ω). Εποµενω, απο το αδια1ατικο θε£ωρηµα συναγεται οτι η ποσο-τηταE/ω διατηρειται σε αδια1ατικε µετα1ολε τη συχνοτητα. Επειδη,µαλιστα, η ενεργεια ειναι

E =1

2ω2A2 ,

το πλατο τη ταλαντωση A(t) µετα1αλλεται σε αδια1ατικε µετα1ολετη συχνοτητα συµφωνα µε το νοµο

A(t) = A(0)

√

ω(0)

ω(t), (10.57)

οπου A(0) το αρχικο πλατο και ω(0) η αρχικη συχνοτητα.Α εφαρµοσουµε τ£ωρα αυτα τα αποτελεσµατα στην περιπτωση ενο

εκκρεµου που εκτελει µικρε ταλαντ£ωσει. Το µεγιστο πλατο ταλαντω-ση του εκκρεµου ειναιA = lθmax, οπου l το µηκο του νηµατο και θmax

10.5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ WKB 327

Σχηµα 10.13: Οταν ρουφατε τα µακαρονια σα, θυµηθειτε οτι το ευρο αι£ωρηση µετα-1αλλεται µε το µηκο συµφωνα µε το νοµο l−3/4, οπου l ειναι το µηκο του µακαρονιουπου κρεµεται καθε στιγµη απο το στοµα σα. Προσεξτε, λοιπον, ιδιαιτερα οταν η µακα-ροναδα σα συνοδευεται απο πλουσια σαλτσα!

το γωνιακο πλατο τη ταλαντωση. Η συχνοτητα τη ταλαντωση ειναιω =

√

g/l οποτε σε αδια1ατικε µετα1ολε του µηκου του εκκρεµου τοπλατο των µικρ£ων ταλαντ£ωσεων θα ειναι θmax ∝ l−3/4.

10.5 ΠροσεγγισηWKB

Με την αδια1ατικη µεθοδο προσδιορισαµε το πλατο τη ταλαντωσηενο ταλαντωτη, αλλα δεν προσδιορισαµε την εξελιξη τη φαση τη τα- Αφου ειδαµε π£ω

αλλαζει το πλατο

τη ταλαντωση,

α υπολογισουµε και

την εξελιξη τη ιδια

τη κινηση

λαντωση. Για τον πληρη προσδιορισµο τη κινηση του ταλαντωτη θαχρησιµοποιησουµε τη χρησιµη προσεγγιστικη µεθοδοWKB9, η οποια εχειευρυτατε εφαρµογε. Στην περιπτωση του αρµονικου ταλαντωτη µε µε-τα1λητη συχνοτητα η εξισωση κινηση ειναι

q + ω2(t)q = 0 . (10.58)

∆οκιµαζοντα ταλαντωτικε λυσει τη µορφη

q = eim(t) , (10.59)

και αντικαθιστ£ωντα στην (10.58) λαµ1ανουµε

−im + m2 = ω2(t) . (10.60)

Εφοσον το ω(t) µετα1αλλεται αδια1ατικα, ο ορο |m| ειναι πολυ µικροτε- Π£ω λυνουµε αυτη

την εξισωση

προσεγγιστικα;

ρο απο τον |m2|, ο οποιο λαµ1ανει την περιπου σταθερη τιµη του ω2(t)µε πολυ καλη προσεγγιση

m2 ∼= ω2(t) ,

9Απο τα αρχικα των Gregor Wentzel [1898-1978], Hendrik Anthony Kramers [1894-1952] και Lιon-Nicolas Brillouin [1889-1969] που χρησιµοποιησαν το 1926 τη µεθοδοαυτη για τον προσδιορισµο των ενεργειακ£ων επιπεδων σε προ1ληµατα κ1αντικη µη-χανικη. Η µεθοδο αυτη αναφερεται και ω µεθοδο Liοuville-Green, διοτι ειχε παρου-σιαστει νωριτερα, το 1837, σε εργασιε των Liοuville και George Green [1793-1841]. Στηβι1λιογραφια αναφερεται και ω µεθοδοWKBJ, προ τιµην και του Sir Harold Jeffreys[1891-1989], ο οποιο χρησιµοποιησε τη µεθοδο σε µετεωρολογικε µελετε to 1923.


οποτε προσεγγιζουµε διαδοχικα10 τηνm(t) θετοντα

m20 = ω2(t) . (10.61)

Στη συνεχεια για k > 0 κατασκευαζουµε τον αναδροµικο τυπο

mk =√

ω2(t) + imk−1 . (10.62)

Μεαυτο τον τροπο, λαµ1ανοντα αρκετα µεγαλο k, µπορουµε να προσδι-ορισουµε τηνm(t) µε οση ακρι1εια επιθυµουµε. H προσεγγισηWKB αρ-κειται στον υπολογισµο τη πρ£ωτη διορθωση στη σχεση (10.61)

m1 =√

ω2(t) + im0

=√

ω2(t) + iω(t)

≈ ω(t)

(

1 + iω(t)

2ω2(t)

)

= ω(t) + iω(t)

2ω(t).

Εποµενω,

m1 =

∫ t

0

ω(s)ds + i ln

√

ω(t)

ω(0).

Προσεγγιζοντα την m µε m1 λαµ1ανουµε την προσεγγιση WKB τη κι-νηση του ταλαντωτη

q(t) = q(0)

√

ω(0)

ω(t)e±i

∫

t

0ω(s)ds . (10.63)

Παρατηρουµε οτι η ιδια προσεγγιση ισχυει και για τα δυο προσηµα τηφαση· συνεπ£ω, η γενικη κινηση σε αυτη την προσεγγιση δινεται απο τησχεση

q(t) = A0

√

ω(0)

ω(t)cos

(∫ t

0

ω(s)ds + θ0

)

. (10.64)

Συµφωνα, δηλαδη, µε την προσεγγισηWKB, το πλατο εξελισσεται βασειτου νοµου που προ1λεπεται απο το αδια1ατικο αναλλοιωτο, εν£ω η φασητου ταλαντωτη θ(t) ειναι η συσσωρευµενη φαση θ(t) =

∫ t

0ω(s)ds + θ0,

που ικανοποιει τη στιγµιαια σχεση

dθ

dt= ω(t) . (10.65)

Ασκηση 10.5. ∆ειξτε οτι η λυσηWKB συνεπαγεται το αδια1ατικο αναλλoιωτο τουΑΣΚΗΣΕΙΣE/ω για τον αρµονικο ταλαντωτη µε µετα1λητη συχνοτητα.

10Αν δεν εχετε δει εω τ£ωρα αυτη την προσεγγιση, υπολογιστε µε διαδοχικε προσεγ-γισει τι ριζε του τριωνυµου x2+ǫx−1 = 0 µε ǫ << 1. Επειδη x = ±

√1 − ǫx, η θετικη

ριζα µπορει να υπολογιστει διαδοχικα απο τον αναδροµικο τυπο xk =√

1 − ǫxk−1 µεx0 = 1 (τη θετικη ριζα οταν ǫ = 0). Υπολογιστε µε αυτο τον τροπο τη θετικη ριζα τουτριωνυµου και συγκρινετε το αποτελεσµα σα µε την ακρι1η εκφραση.

10.5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ WKB 329

Σχηµα 10.14: Η τροχια στο χ£ωρο των φασεων αρµονικου ταλαντωτη µε φυσικη συχνο-τητα ω2 = 1+ at µε a = 0.1. Στο σχηµα εχουν σχεδιαστει και η ακρι1η λυση και η προ-σεγγιστικη λυσηWKB. Οι δυο τροχιε διακρινονται πολυ δυσκολα η µια απο την αλλη.Το γεγονο αυτο ειναι ενδεικτικο τη ακρι1εια τη λυσηWKB.

Ειναι ενδιαφερον οτι η προσεγγιση WKB παρουσιαζει εκπληκτικηακρι1εια. Α υποθεσουµε, για παραδειγµα, οτι ω2 = 1 + at µε a = 0.1(µια οχι και τοσο αργη µετα1ολη). Συµφωνα µε την προσεγγισηWKB, αν Ποσο καλη ειναι η

προσεγγισηWKB;αρχικα ηταν q(0) = 1, p(0) = 0, η θεση q(t) θα δινεται απο την εκφραση

q(t) =1

(1 + at)1/4cos

(∫ t

0

√1 + as ds

)

,

εν£ω στο ιδιο επιπεδο προσεγγιση η ορµη p(t) θα ειναι

p(t) = −(1 + at)1/4 sin

(∫ t

0

√1 + as ds

)

.

Η φαση ευκολα υπολογιζεται οτι ειναι∫ t

0

√1 + as ds =

2

3a

(

(1 + at)3/2 − 1)

.

Στο Σχηµα 10.14 εχει σχεδιαστει η τροχια του συστηµατο στο χ£ωρο τωνφασεων υπολογισµενη µεσωαριθµητικη ολοκληρωση του ακρι1ου προ-1ληµατο καθ£ω και η τροχια που προκυπτει απο την προσεγγιση WKBπου υπολογισαµε παραπανω. Η συµπτωση τη προσεγγιστικη λυσηWKB µε την πραγµατικη ειναι εξαιρετικη. Φαινεται απο το σχηµα οτι ητροχια δεν ειναι περιοδικη και οτι το χωριο συνεχ£ω παραµορφ£ωνεται. Ηαδια1ατικη σταθερα δηλ£ωνει το αναλλοιωτο του εµ1αδου που περικλει-εται σε καθε περιστροφη (η αντιστοιχη καµπυλη δεν κλεινει). H χρονικη


εξελιξη τη αδια1ατικη σταθερα E/ω απεικονιζεται στο Σχηµα 10.15.

Προσεξτε την ακρι1εια του αδια1ατικου αναλλοι£ωτου, η οποια στο ενλογω παραδειγµα µε την παροδο του χρονου βελτι£ωνεται. Μπορειτε ναεξηγησετε γιατι συµ1αινει αυτο; Θυµηθειτε το παραδειγµα του εµ1ολουµε την µπαλα.

Σχηµα 10.15: Η εξελιξη του αδια1ατικου αναλλοι£ωτουE/ω στην περιπτωση αρµονικουταλαντωτη µε φυσικη συχνοτητα ω2 = 1 + at µε a = 0.1.

10.6 Ενεργο περιγραφη τη δυναµικη

Πολλε φορε σε φυσικα συστηµατα υπαρχουν δυο διαφορετικε χρο-νικε κλιµακε τ και T µε T >> τ . Σε αυτε τι περιπτ£ωσει οι κινησειµε χαρακτηριστικο χρονο τ µπορουν να θεωρηθουν υψισυχνε διακυµαν-σει τη τροχια του συστηµατο που εξελισσεται πολυ πιο αργα µε χαρα-κτηριστικο χρονο T . Υπολογιζοντα τη µεση επιδραση αυτ£ων των διακυ-µανσεων στη βραδεω εξελισσοµενη κινηση, µπορουµε να καταληξουµεσε µια ενεργο περιγραφη τη δυναµικη στην οποια η εξαρτηση απο τοχρονο τ εχει πληρω εξαλειφθει.

Αργη µετα1ολη: Η αδια1ατικη µετα1ολη ενο συστηµατο ειναι παρα-δειγµα φυσικου συστηµατο που χαρακτηριζεται απο δυο χρονικε κλι-µακε : το χαρακτηριστικο χρονο εξελιξη του συστηµατο και τον αργοχρονο αδια1ατικη µετα1ολη των παραµετρων. Σε αυτη την περιπτωσητο θε£ωρηµα του αδια1ατικου αναλλοι£ωτου µα δινει τη δυνατοτητα ναµαθουµε τα χαρακτηριστικα τη κινηση, οπω για παραδειγµα το πλα-το τη ταλαντωση, υστερα απο πολλε ταλαντ£ωσει χωρι να χρειαζεταινα κανουµε καµια αναφορα στο µικρο χαρακτηριστικο χρονο. Ω πρ£ωτοπαραδειγµα ενεργου περιγραφη τη δυναµικη θα εξετασουµε την πε-ριπτωση του αρµονικου ταλαντωτη µε µετα1λητη συχνοτητα που ειδαµεπροηγουµενω, αλλα σε διαφορετικο πλαισιο αναλυση. Θεωρουµε οτι η

10.6. ΕΝΕΡΓΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ 331

τροχια ειναι τη µορφη

q(t) = A(t) cos θ(t) ,

οπου οι A και θ ειναι ανεξαρτητε συναρτησει που θα προσδιοριστουν Εστω η λυση τη

µορφη που θα ειχαµε,

αν δεν συνε1αινε καµια

µετα1ολη

απο την απαιτηση η δραση να ειναι στασιµη για τι συναρτησει A και θτη φυσικη κινηση. Επιλεξαµε αυτη τη µορφη, επειδη γνωριζουµε οτι,οταν η συχνοτητα ειναι σταθερη, η φυσικη κινηση εχει ακρι1£ω αυτη τηµορφη. Εξαλλου, λογω αδια1ατικη µετα1ολη τη συχνοτητα αναµε-νουµε λυση ιδια µορφη. Οι A και dθ/dt µετα1αλλoνται µε χαρακτηρι-στικη κλιµακα T , εν£ω ο ταλαντωτη εξελισσεται µε χαρακτηριστικη χρο-νικη κλιµακα τ = 2π/ω µε T >> τ . Επειδη η A δεν µετα1αλλεται σηµα-ντικα σε µια περιοδο τη κινηση, θα ειναι |A| << |θ|A και ω εκ τουτουη ταχυτητα του ταλαντωτη θα ειναι µε πολυ καλη προσεγγιση

q = −A(t)θ sin θ(t) .

Η Λαγκρανζιανη στι συντεταγµενε αυτε ειναι Η Λαγκρανζιανη

σε καπω περιεργε

συντεταγµενεL =1

2

(

A2θ2 sin2 θ − ω2(t)A2 cos2 θ)

.

Προκειται για ενα συστηµα δυο βαθµ£ων ελευθερια µε γενικευµενε συ-ντεταγµενε τιA και θ.11 Η φυσικη τροχια του συστηµατο προσδιοριζε-ται απο την απαιτηση να καθισταται η δραση στασιµη για οποιεσδηποτεανεξαρτητε µετα1ολε δA και δθ. Συνεπ£ω, οι A και θ πρεπει να ειναιτετοιε £ωστε

δS = δ

∫ t2

t1

1

2

(

A2θ2 sin2 θ − ω2(t)A2 cos2 θ)

dt = 0 .

Επειδη η µετα1ολη ειναι αδια1ατικη, τα ω, A, θ µετα1αλλονται µε πολυαργο ρυθµο και συνεπ£ω, αν θεωρησουµε ενα χρονικο διαστηµα t2 − t1πολυ µεγαλυτερο απο την περιοδο του συστηµατο τ = 2π/ω, µπορουµεµε µεγαλη ακρι1εια να αντικαταστησουµε στην εκφραση για τη στασιµο-τητα τη δραση τι τριγωνοµετρικε ποσοτητε sin2 θ και cos2 θ µε τη µεσητιµη του 1/2. Αναµενουµε, λοιπον, η αδια1ατικη εξελιξη των A και θνα προκυπτει απο τη στασιµοτητα τη δραση που παραγεται απο τηνενεργο Λαγκρανζιανη Η ενεργο

Λαγκρανζιανη

L(A, θ, A, θ) =1

4A2(

θ2 − ω2(t))

. (10.66)

Παρατηρουµε οτι η ενεργο Λαγκρανζιανη δεν εξαρταται ουτε απο τηφαση τη ταλαντωση θ, αφου η φαση εχει εξαλειφθει µε την αντικατα-σταση των ταλαντωτικ£ων ορων απο τη µεση τιµη του, ουτε και απο τορυθµο χρονικη µετα1ολη του πλατου τη ταλαντωση A, αφου το πλα-το τη ταλαντωση εξελισσεται πολυ αργα.Ω αποτελεσµα τη απουσια αυτ£ων των ποσοτητων, η ενεργο Λα-

γκρανζιανη παρουσιαζει δυο νεε συµµετριε : (α) Ειναι αναλλοιωτη σε


µεταθεσει τη φαση θ → θ + ǫ. Η νεα αυτη συµµετρια συνεπαγεται ενα∆υο νεε συµµετριε

αποκαλυπτονται

απο την ενεργο

Λαγκρανζιανη.

νεο νοµο διατηρηση. Η διατηρουµενη ποσοτητα ειναι η συζυγη ορµητη φαση θ

∂L

∂θ=

1

2A2θ . (10.67)

(β) Ταυτοχρονα, επειδη η ενεργο Λαγκρανζιανη δεν εξαρταται απο τοA, η εξισωση Euler - Lagrange ω προ A ειναι

∂L

∂A=

A

2(θ2 − ω2(t)) = 0 . (10.68)

Εποµενω, θ = ±ω(t) και ω εκ τουτου η διατηρουµενη ορµη (10.67) δενΤο αδια1ατικο

αναλλοιωτο ω

αποτελεσµα

συµµετρια

ειναι αλλη απο το αδια1ατικο αναλλοιωτοA2ω. Ηδευτερη συµµετρια, µα-λιστα, (βλ. σχεση (10.68)) µα εξασφαλισε και τη χρονικη εξελιξη τη φα-ση που υπολογισαµε προηγουµενω µε τη µεθοδοWKB.Ταχεια µετα1ολη: Θα εξετασουµε στη συνεχεια προ1ληµατα στα οποιαη Χαµιλτονιανη εξαρταται απο µια παραµετρο λ = a sin ωt, η οποια εκτε-λει πολυ γρηγορε ταλαντ£ωσει, δηλαδη θα θεωρησουµε οτι ω >> 2π/T ,

οπου T ο χαρακτηριστικο χρονο εξελιξη του συστηµατο. Για λογουαπλουστευση θα θεωρησουµε Λαγκρανζιανε τη µορφη

L =1

2Mq2 − V0(q) − V1(q) sin ωt , (10.69)

οπουM µια σταθερα. Ω πρ£ωτο χαρακτηριστικο τετοιο παραδειγµα θεω-ρουµε τη Λαγκρανζιανη που διεπει την εξαναγκασµενη αρµονικη ταλα-ντωση σωµατιδιου µοναδιαια µαζα διχω τρι1η. Σε αυτη την περιπτωσηοι οροι που υπεισερχονται στη σχεση (10.69) ειναιM = 1 και

V0 =ω2

0

2q2 , V1 = −Fq .

Η εξισωση κινηση ειναι

q + ω20q = F sin ωt ,

εν£ω η λυση αυτη µπορει να γραφει ω υπερθεση µια χαµηλοσυχνη τα-Η κινηση ω υπερθεση

µια γρηγορη και µια

αργη ταλαντωση

λαντωτικη κινηση qs(t) και µια υψισυχνη διακυµανση qf (t) (βλ. Σχη-µα 10.16)

q(t) = qs(t) + qf (t) .

Η χαµηλοσυχνη κινηση σε αυτη την περιπτωση ειναι

qs(t) = A cos(ω0t + θ) ,

εν£ω η υψισυχνη κινηση ειναι η εξαναγκασµενη ταλαντωση στη συχνοτητατη εξωτερικη διεγερση,

qf(t) = − F

ω2 − ω20

sin ωt ,

11Το συστηµα ειναι στην ουσια ενο βαθµου ελευθερια αφου η θεση του ταλαντωτηειναι αρκετη για να περιγραφει πληρω το συστηµα. Απλ£ω η επιλογη των συντεταγµε-νων ειναι τετοια £ωστε το συστηµα να εµφανιζεται οτι ειναι δυο βαθµ£ων ελευθερια.


Σχηµα 10.16: Η τροχια στο χ£ωρο των φασεων ενο ταλαντωτη µε φυσικη συχνοτηταω0 = 1 χωρι εξωτερικη διεγερση (κυκλικη τροχια) και µε αρµονικη εξωτερικη δυναµηµε συχνοτητα ω = 20 (κυµαινοµενη τροχια). Απο το σχηµα ειναι εµφανε οτι η κινησηστην περιπτωση τη εξωτερικη διεγερση ειναι υπερθεση µια αργη µεση κινηση, µεχαρακτηριστικο χρονο 2π/ω0, και µια αρµονικη διακυµανση µικρου πλατου, µε χα-ρακτηριστικο χρονο 2π/ω. Tο πλατο τη διακυµανση ειναι ταξηO(F/Mω2). Επειδησε αυτη την περιπτωση η εξωτερικη δυναµη δεν εξαρταται απο τη θεση του ταλαντωτη,η υψισυχνη εξωτερικη δυναµη δεν επηρεαζει καθολου την αργη κινηση του ταλαντωτη,η οποια παραµενει αρµονικη ταλαντωση µε τη φυσικη συχνοτητα και το πλατο που θαειχε αν δεν υπηρχε η διεγερση. Εαν η εξωτερικη δυναµη ειχε εξαρτηση απο τη θεση, τοτεη αργη κινηση θα αλλαζε εξαιτια τη υψισυχνη διεγερση.

η οποια, επειδη θεωρουµε οτι ω >> ω0, µπορει να προσεγγισθει απο την

qf(t) ≈ − F

ω2sin ωt .

Η διαγραφη του ορου ω20 σηµαινει οτι οι ταχειε διακυµανσει δεν επη-

ρεαζονται απο τη χαµηλοσυχνη δυναµικη. Εποµενω, οι υψισυχνε δια- Η υψισυχνη ταλαντωση

ειναι αναισθητη στη

δυναµικη τη αργη

ταλαντωση

κυµανσει προκυπτουν ω η αποκριση ενο ελευθερου σωµατιδιου στοοποιο ασκειται η υψισυχνη δυναµη. Με αλλα λογια, η υψισυχνη διακυ-µανση ικανοποιει την προσεγγιστικη εξισωση κινηση

qf = F sin ωt .

Το ιδιο, οµω, συµ1αινει και στην περιπτωση υψισυχνη διεγερση µε δυ-ναµικο V1(q). Επειδη οι µη αδρανειακοι οροι που οφειλονται στην αργηταλαντωση ειναι αµελητεοι, η υψισυχνη διακυµανση ικανοποιει και σε αυ-τη την περιπτωση την προσεγγιστικη εξισωση

Mqf = − dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

sin ωt .


Εποµενω, η υψισυχνη κινηση περιγραφεται, σε πρ£ωτη προσεγγιση, αποΗ υψισυχνη κινηση

τη σχεση

qf =1

Mω2

dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

sin ωt . (10.70)

Η qf ειναι ακρι1£ω ιση µε την αποκριση ενο ελευθερου σωµατιδιου πουκινειται µεσα στο πεδιο του ταλαντωτικου δυναµικου στη γειτονια του ση-µειου qs. Η ταλαντωτικη δυναµη εχει υπολογιστει στη θεση qs αντι τη θε-ση q, επειδη η qf εχει πλατο πολυ µικροτερο απο το πλατο τη χαµηλο-συχνη ταλαντωση εξαιτια του οτι το ω2 ειναι πολυ µεγαλο. Αν γνωρι-ζουµε το υψισυχνο µερο τη κινηση qf (t), µπορουµε να ξαναγραψουµετη Λαγκρανζιανη του συστηµατο ω

L =1

2M(qs + qf )

2 − V0(qs + qf ) − V1(qs + qf ) sin ωt , (10.71)

να κρατησουµε το ενεργο µερο τη, οπω καναµε και µε τι αδια1ατικεµετα1ολε, και τελο να κατασκευασουµε τι εξισ£ωσει κινηση που αφο-ρουν στη µεση χαµηλοσυχνη κινηση του σ£ωµατο qs(t). Εχουµε µαλιστατη δυνατοτητα, επειδη η υψισυχνη κινηση εχει µικρο πλατο (∝ 1/ω2),

να αναπτυξουµε τα δυναµικα γυρω απο τη θεση τη χαµηλοσυχνη κινη-ση qs(t) και στη συνεχεια να αντικαταστησουµε την τιµη τη qf (t) πουυπολογισαµε στη σχεση (10.70). Η Λαγκρανζιανη που θα προκυψει θαΗ Λαγκρανζιανη

αναπτυγµενη ω

προ τη µικρη

υψισυχνη ταλαντωση

ειναι η ενεργο Λαγκρανζιανη, που θα καθορισει τη µεση κινηση. Ξανα-γραφουµε, λοιπον, τη Λαγκρανζιανη (10.71) κρατ£ωντα µονο του πρ£ω-του ορου στο αναπτυγµα των δυναµικ£ων γυρω απο τη qs(t) και αντικα-θιστ£ωντα τη συναρτηση qf (t) και την παραγωγο τη, που σε προσεγγισηO(1/ω) υπολογιζεται απο την (10.70) οτι ειναι

qf =1

Mω

dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

cos ωt .

Ετσι, εχουµε

L(qs, qs) ≈1

2M

(

qs +1

Mω

dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

cos ωt

)2

−[

V0(qs) +dV0

dq

∣

∣

∣

∣

qs

(

1

Mω2

dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

sin ωt

)]

−[

V1(qs) +dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

(

1

Mω2

dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

sin ωt

)]

sin ωt . (10.72)

Η ενεργο Λαγκρανζιανη θα προελθει απο την παραπανω εκφραση, αναντικαταστησουµε αφενο τα ηµιτονα και τα συνηµιτονα µε τη µεση τιµητου, που ειναι µηδεν, αφετερου τα τετραγωνα των ηµιτονων και των συ-νηµιτονων µε τη µεση τιµη του, που ειναι 1/2. Εποµενω

L(qs, qs) =1

2Mq2

s −

V0(qs) +1

4Mω2

(

dV1

dq

∣

∣

∣

∣

qs

)2

. (10.73)


Με αλλα λογια η µεση κινηση του σ£ωµατο ειναι η κινηση που εκτελει ενασωµατιδιο µαζαM σε ενα νεο δυναµικο, το Η υψισυχνη ταλαντωση

διαφοροποιει το

ενεργο δυναµικο

στο οποιο κινειται

το σωµατιδιο

V (q) = V0(q) +1

4Mω2

(

dV1(q)

dq

)2

. (10.74)

Η υψισυχνη ταλαντωση διαφοροποιει το δυναµικο τη αργη ταλαντωσηκατα εναν παραγοντα αναλογο του 1/ω2. Μια τετοια αναδραση, µολο-νοτι µικρη, εχει τη δυνατοτητα να διαφοροποιησει σηµαντικα, οπω θαδουµε στη συνεχεια, τα ποιοτικα χαρακτηριστικα τη κινηση.Ενδιαφερον παραδειγµα µη τετριµµενη αναδραση εχουµε στην κινη- Π£ω µπορει µια

υψισυχνη διεγερση

να επηρεασει την

ευσταθεια η την

ασταθεια ενο

συστηµατο;

ση του επιπεδου εκκρεµου σε κατακορυφο πεδιο βαρυτητα οταν ηεντα-ση του πεδιου µετα1αλλεται αρµονικα µε υψηλη συχνοτητα. Πρακτικα,αυτο µπορει να επιτευχθει αν το εκκρεµε βρισκεται σε ενα µη αδρανει-ακο συστηµα αναφορα που εκτελει κατακορυφη αρµονικη ταλαντωσηa sin ωt (βλ. Κεφαλαιο 4). Το εκκρεµε θεωρειται οτι αποτελειται απο µιαα1αρη ρα1δο µηκου l στο κατω ακρο τη οποια εχει προσαρτηθει µαζαm. Η Λαγκρανζιανη ενο τετοιου εκκρεµου ειναι τη µορφη (10.69) µε

M = ml2 , V0(q) = −mgl cos q , V1(q) = − maω2l cos q , (10.75)

οπου q ειναι η γωνια που σχηµατιζει η ρα1δο µε την κατακορυφο και q =0 ειναι η γωνια που αντιστοιχει στη γωνια ευσταθου ισορροπια, οταν τοπεδιο βαρυτητα ειναι σταθερο. Θεωρουµε οτι ο χαρακτηριστικο χρονοτη ταλαντωση µε συχνοτητα ω ειναι πολυ µικροτερο απο το χαρακτη-ριστικο χρονο εξελιξη του συστηµατο, οτι δηλαδη ισχυει ω >>

√

g/l.

Ασκηση 10.6. ∆ειξτε οτι η Λαγκρανζιανη ΑΣΚΗΣΕΙΣ

L =1

2ml2q2 + mgl cos q + mlξ cos q ,

περιγραφει την κινηση εκκρεµου του οποιου το σηµειο στηριξη εκτελει κατακορυφηκινηση. Η ξ(t) ειναι µια δεδοµενη κατακορυφη µετατοπιση του σηµειου στηριξη. Ηµετα1λητη q ειναι η γωνια που σχηµατιζει η ρα1δο του εκκρεµου µε την κατακορυφοκαι q = 0 ειναι η γωνια που αντιστοιχει στη γωνια ευσταθου ισορροπια. Οµοιω, δειξτεοτι η Λαγκρανζιανη

L =1

2ml2q2 + mgl cos q − mlξ sin q

περιγραφει την κινηση εκκρεµου του οποιου το σηµειο στηριξη εκτελει οριζοντια κι-νηση ξ(t). Συνεπ£ω, αν ξ(t) = a sin ωt, τα παραπανω συστηµατα περιγραφονται απο τηθεωρια για τη Λαγκρανζιανη του τυπου (10.69). [Υποδειξη: Μην ξεχνατε οτι εχετε τηνελευθερια να αλλαξετε τη Λαγκρανζιανη κατα ενα µετασχηµατισµο βαθµονοµηση.]

Απο τη σχεση (10.74) προκυπτει αµεσα οτι η βραδεια κινηση του τα-λαντωτη εκτελειται στο ενεργο δυναµικο

V = −mgl(

cos q − K sin2 q)

(10.76)


Σχηµα 10.17: Η µετα1ολη που υφισταται ο χ£ωρο των φασεων του ενεργου δυναµικουενο εκκρεµου οταν αυτο αναρταται στην οροφη ενο ανελκυστηρα που εκτελει κατα-κορυφη υψισυχνη αρµονικη ταλαντωση a sin ωt. ∆ιακρινονται οι τροχιε στο χ£ωρο τωνφασεων για K = 0 (ανω αριστερα), οταν ο ανελκυστηρα ειναι σταθερο. Το σηµειοq = 0 ειναι σηµειο ευσταθου ισορροπια, εν£ω το q = ±π σηµειο ασταθου ισορροπια.Οσο µεγαλ£ωνει η παραµετρο K , η ευσταθεια του q = 0 αυξανεται, εν£ω η ασταθειατου q = ±π µει£ωνεται. Για K = 0.5 (ανω δεξια) το σηµειο q = ±π εχει ουδετερη αστα-θεια (οριζοντιε γραµµε γυρω απο το σηµειο q = ±π, p = 0). Για K = 1 και K = 2(κατω αριστερα και δεξια, αντιστοιχω) το q = ±π εχει καταστει ευσταθε, εν£ω εχουνεµφανιστει δυο νεα ασταθη σηµεια ισορροπια στι γωνιε q = ± cos−1(1/2K).

µε την αδιαστατη παραµετρο

K =a2ω2

4gl.

Τα σηµεια ισορροπια τη βραδεια κινηση προσδιοριζονται απο τη συν-θηκη

dV

dq= 0 .

και εποµενω ειναι οι ριζε τη εξισωση

sin q(1 + 2K cos q) = 0 .

Συνεπ£ω, τα σηµεια ισορροπια του ενεργου δυναµικου ειναι τα q(1)ισ = 0,

q(2)ισ = π και q

(3,4)ισ = ± cos−1(−1/2K), εφοσον K ≥ 1/2. Ο χ£ωρο των

φασεων για διαφορετικε τιµε του K απεικονιζεται στο Σχηµα 10.17.H ευσταθεια των σηµειων ισορροπια προσδιοριζεται απο το προσηµο

τουd2V

dq2

∣

∣

∣

∣

qισ

= mgl(cos q + 2K cos 2q) .


Το σηµειο ισορροπια q(1)ισ = 0 ειναι ευσταθε για καθε K, επειδη για

το σηµειο αυτο ειναι d2V /dq2 = mgl(1 + 2K) > 0. Παρατηρουµε, µαλι-στα, οτι οσο αυξανεται τοK, δηλαδη η συχνοτητα η το πλατο τη κατα-κορυφη ταλαντωση, τοσο αυξανεται και η ευσταθεια του σηµειου ισορ-

ροπια q(1)ισ = 0. Αυτο ειναι ενα εκπληκτικο αποτελεσµα στο οποιο δεν θα

ηταν ευκολο να καταληξουµε διαισθητικα. Οταν ο ανελκυστηρα επιτα-χυνεται προ τα κατω, το εκκρεµε κινειται σε µειωµενο πεδιο βαρυτη- Ευσταθεια συν

ασταθεια ισον τι;τα και στο χρονικο αυτο διαστηµα η ταλαντωση µπορει να γινει αστα-θη για µεγαλε τιµε τη παραµετρου K. Το αντιθετο συµ1αινει οταν οανελκυστηρα επιταχυνεται προ τα επανω. Εποµενω, η ταλαντωση τουανελκυστηρα δηµιουργει περιοδου αυξηµενη ευσταθεια και περιοδουµειωµενη ευσταθεια η ακοµη και ασταθεια. Ειναι δυσκολο, λοιπον, νααποφανθουµε, χωρι να καταφυγουµε στην αναλυση του παροντο εδα-φιου, αν η ευσταθεια του εκκρεµου υπο τετοιε χρονοεξαρτ£ωµενε συν-θηκε θα αυξηθει η θα µειωθει.Οµοιω, η ευσταθεια του σηµειου ισορροπια q

(2)ισ = π κρινεται απο το

προσηµο του d2V /dq2 που ισουται µεmgl(−1 + 2K). ΟτανK < 1/2, τοσηµειο αυτο ισορροπια παραµενει ασταθε, αλλα η ασταθεια του µει£ω-νεται καθ£ω αυξανεται η τιµη τουK. ΟτανK > 1/2, το ασταθε σηµειοισορροπια γινεται ευσταθε. Παρατηρουµε οτι οι υψισυχνε κατακορυ-φε ταλαντ£ωσει του εκκρεµου σταθεροποιουν την αργα εξελισσοµενηκινηση του. Η αλλαγη τη ευσταθεια των σηµειων ισορροπια µε την αυ-ξηση τη παραµετρου K διακρινεται στο Σχηµα 10.17. Η σταθεροποιησητου ασταθου σηµειου ισορροπια επιτυγχανεται οταν a2ω2 > 2gl. Εαν Οταν η σταθεροτητα

του ενο σηµειου

αλλαζει, εµφανιζονται

νεα σηµεια ισορροπια

για παραδειγµα l = 10 cm και a = 1 cm, η σταθεροποιηση επιτυγχανε-ται, εαν το σηµειο στηριξη του εκκρεµου ταλαντ£ωνεται µε συχνοτηταω & 22.5 cycles/s. Στο ενεργο δυναµικο εµφανιζονται δυο νεα σηµεια

ισορροπια, q(3,4)ισ = ± cos−1(−1/2K), οταν K > 1/2. Με αλλα λογια

οταν σταθεροποιειται το ασταθε σηµειο ισορροπια q(2)ισ = π εµφανιζο-

νται δυο νεα σηµεια ασταθου ισορροπια.

Ασκηση 10.7. Προσπαθηστε να εξηγησετε γιατι εµφανιζονται τα ασταθη αυτα ση- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

µεια ισορροπια ακρι1£ω οταν σταθεροποιειται το q(2)ισ = π. [Υποδειξη: Σκεφτειτε οτι

µεταξυ δυο τοπικ£ων ελαχιστων µια συνεχου συναρτηση µεσολα1ει σιγουρα ενα το-πικο µεγιστο.]


10.7 Προ1ληµατα

1. Θεωρηστε τη Χαµιλτονιανη του αρµονικου ταλαντωτη

H =p2

2+

ω2

2q2 .

Στη συνεχεια προκειµενου να εφαρµοσετε το θε£ωρηµα Liouvilleθεω-ρηστε το χωριο που σχηµατιζεται απο τα σηµεια που κεινται επι τηκαµπυλη H = E και βρισκονται µεταξυ δυο γειτονικ£ων σηµειωντη ελλειψη. Παραµενει το µηκο αυτου του ελλειπτικου τοξου στα-θερο; Ισχυει σε αυτη την περιπτωση το θε£ωρηµα Liouville;Υπολογι-στε την περιµετρο τη καµπυλη που αντιστοιχει στην ενεργειαH =E. Ισουται αυτη µε την τιµη του

∫∫

δ(H−E)dpdq, οπου δ ειναι η συ-ναρτηση του Dirac; Γιατι υπαρχει διαφορα;

2. Ενα φορτισµενο σωµατιδιο κινειται µεσα σε ενα σχεδον οµογενεµαγνητικο πεδιο, δηλαδη σε µαγνητικο πεδιο τη µορφη

~B = B(z)z ,

οπουB(z) ειναι µια πολυ αργα µετα1αλλοµενη συναρτηση του z (σεσυγκριση µε ποιο µηκο;). Γραψτε τη χαµιλτονιανη συναρτηση τουσωµατιδιου σε κυλινδροπολικε συντεταγµενε (ρ, θ, z), θεωρ£ωνταοτι το ανυσµατικο δυναµικο εχει µονο πολικη συνιστ£ωσα, η οποιαεξαρταται αποκλειστικα απο τα ρ, z. Θεωρηστε αρχικα το µαγνη-τικο πεδιο σταθερο και υπολογιστε ποση πρεπει να ειναι η γωνιακηταχυτητα περιστροφη του σωµατιδιου£ωστε αυτο να κινειται επανωσε µια ορθη ελικα που οπω ξερετε θα ακολουθησει το φορτισµενοσωµατιδιο. Στη συνεχεια υπολογιστε το

∮

pθdθ. Βασιζοµενοι στοαναλλοιωτο του ολοκληρ£ωµατο αυτου, εξηγηστε π£ω εξελισσεταιη ακτινα περιστροφη του σωµατιδιου, οταν το µαγνητικο πεδιο µε-τα1αλλεται αργα µε το z, καθ£ω το σωµατιδιο προχωρει ελικοειδ£ωκατα µηκο του αξονα z. Μετα1αλλεται η κινητικη ενεργεια του σω-µατιδιου; Το αναµενατε αυτο το αποτελεσµα;

3. Προσδιοριστε την κινηση του αρµονικου ταλαντωτη µε αδια1ατικαεξελισσοµενη συχνοτητα σε προσεγγιση κατα µια ταξη µεγαλυτερηαπο την προσεγγισηWKB.

4. Επιθυµουµε να προσδιορισουµε τα αδια1ατικα αναλλοιωτα κατατην ελλειπτικη κινηση σωµατιδιου µεσα στο ελκτικο δυναµικο

V (r) = −k/r ,

µε k > 0. Η εκκεντροτητα τη ελλειψη ειναι e και ο µεγαλο ηµι-αξονα τη a. Υποθετουµε οτι η σταθερα k µει£ωνεται αδια1ατικα.Σχεδιαστε τη διαδροµη του σωµατιδιου για σταθερο k στα επιπεδα(x, px) και (y, py). Αποδειξτε οτι τα δυο αναλλοιωτα ειναι

∮

pxdx =√

kmaf1(e) ,

∮

pydy =√

kma(1 − e2)f2(e) ,

10.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 339

οπου f1,2 δυο συναρτησει τη εκκεντροτητα e. Αποδειξτε οτι κατατην αδια1ατικη µετα1ολη το σωµατιδιο συνεχιζει να διαγραφει ελ-λειψη σταθερη εκκεντροτητα και η περιοδο τη κινηση του αυ-ξανεται συµφωνα µε το νοµο T ∝ k−1/2. Ποιο νοµο διεπει τηνεξελιξη του µεγαλου ηµιαξονα; [Υποδειξη : ∆ειξτε οτι η κινηση επιτη ελλειψη µπορει να γραφει παραµετρικα ω x = a(cos ξ − e),y = a

√1 − e2 sin ξ και t =

√

ma3/k(ξ − e sin ξ).]

5. Ενα µονοατοµικο αεριο βρισκεται µεσα σε ενα κυ1ικο δοχειο τουοποιου οι διαστασει L µετα1αλλονται αδια1ατικα. Υποθεστε οτιολα τα ατοµα εχουν την ιδια ταχυτητα και οτι ισο αριθµο ατοµωνκινειται στι τρει διευθυνσει που ειναι καθετε στα τοιχ£ωµατα τουδοχειου. Αποδειξτε οτι κατα την αδια1ατικη µετα1ολη του ογκουτου δοχειου ισχυει ο γνωστο αδια1ατικο νοµο για µονοατοµικααερια p ∝ ρ5/3 οπου p ειναι η πιεση και ρ η πυκνοτητα του αεριου.

6. Στην οροφη ενο ανελκυστηρα αναρταται µεσω ενο ελατηριου στα-θερα k µαζαm, ηοποια εκτελει κατακορυφε ταλαντ£ωσει. Οανελ-κυστηρα οµω επιταχυνεται µε αργα µετα1αλλοµενο ρυθµο. Γραψ-τε τη Χαµιλτονιανη που διεπει την κινηση τη µαζα και ελεγξτε ανη κινηση του ανελκυστηρα επιφερει µετα1ολε στη συχνοτητα τα-λαντωση, στο πλατο τη ταλαντωση και στην ενεργεια του ταλα-ντωτη.

7. Ενα φυσικο συστηµα διεπεται απο τη Χαµιλτονιανη

H =p2

2m+ V0(q) +

N∑

k=1

Vk(q) sin(kωt + φk) .

Προσδιοριστε την ενεργο Χαµιλτονιανη που διεπει τη χαµηλοσυ-χνη κινηση οταν ω >> 2π/T , οπου T ο χαρακτηριστικο χρονοεξελιξη του συστηµατο χωρι την εξωτερικη χρονοεξαρτ£ωµενη δυ-ναµη.

8. Αναλυστε την ευσταθεια ενο αρµονικου ταλαντωτη µε Χαµιλτονι-ανη H = 1/2 [p2 + ω2

0(t)q2] στι δυο ακολουθε οριακε καταστα-

σει : (α) στην περιπτωση αδια1ατικη αλλαγη του ω0 και (β) στηνπεριπτωση υψισυχνη αρµονικη µετα1ολη του ω0(t) = 1+ǫ sin ωt.Αναλυστε, επιση, την ευσταθεια του ταλαντωτη οταν η συχνοτηταω0(t) λαµ1ανει διαδοχικα δυο τιµε : την τιµη ω1 για χρονικο δια-στηµα π/(2ω1) και την τιµη ω2 για χρονικο διαστηµα π/(2ω2) [Υπο-δειξη : Σχεδιαστε την κινηση στο χ£ωρο των φασεων]. Σε ποιο συ-µπερασµα καταληγετε σχετικα µε την ευσταθεια των χρονοεξαρτ£ω-µενων συστηµατων;

9. Σωµατιδιο µοναδιαια µαζα κινειται στο δυναµικο

U(x) = K [exp(−2x) − 2 exp(−x)] .


Το δυναµικο U(x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x0. Σχεδιαστε το δυνα-µικο και δειξτε οτι υπαρχει ενα διαστηµα ενεργει£ων U(x0) < E <Emax για τι οποιε το συστηµα εκτελει περιοδικε κινησει µε πε-ριοδο T (E) η οποια εξαρταται απο την ενεργεια του σωµατιδιου.Σχεδιαστε τι τροχιε στο χ£ωρο των φασεων. Αποδειξτε οτι η περι-οδο τη ταλαντωση ειναι

T (E) =dA

dE,

οπου

A(E) =

∮

E

pdq

το εµ1αδον που περικλειεται απο τη περιοδικη τροχια ΓE , ενεργειαE. Σχεδιαστε την περιοδο τη κινηση συναρτησει τη ενεργεια τουσωµατιδιου. Εστω τ£ωρα οτι η σταθερα K µετα1αλλεται αδια1α-τικα και γινεται 2K. Τι παραµενει αναλλοιωτο; Προσδιοριστε τηνενεργεια του σωµατιδιου µετα το περα τη µετα1ολη και τη µει-ωση τη περιοδου τη κινηση. [∆ινεται οτι

∫ x2

x1

√

E − U(x)dx = π(√

K −√

E) ,

οπου U(x1,2) = E για ενεργειε −K < E < 0.]

10. (α)N µη αλληλεπιδρ£ωντα σωµατιδια κινουνται σε µια διασταση υποτην επιδραση δυναµικου V (x, t). Τη χρονικη στιγµη t, η αριθµητικηπυκνοτητα των σωµατιδιων που κατανεµονται στο δισδιαστατο χ£ω-ρο των φασεων (x, p) ειναι f(x, p, t). Γραψτε τη χρονικη παραγωγοτη f(x, p, t) επι τη τροχια του σωµατιδιου στο χ£ωρο των φασεων.Eξισ£ωνοντα το ρυθµο µετα1ολη του συνολικου αριθµου των σω-µατιδιων που εµπεριεχονται σε ενα τυχαιο και ακινητο χωριο A µετον αριθµο των σωµατιδιων που εισερχονται στο A, δειξτε οτι ηf(x, p, t) ειναι σταθερη επι τη τροχια των σωµατιδιων. (β) Θεω-ρηστε ενα τυχαιο χωριο στο χ£ωρο των φασεων A στο οποιο τα σω-µατιδια ειναι αρχικα κατανεµηµενα µε πυκνοτητα f1 = σταθερη.Προσδιοριστε την πυκνοτητα των σωµατιδιων στο εξελιγµενο χωριοκαποια αλλη χρονικη στιγµη. (γ) Υποθεστε οτι το δυναµικο αρχικαειναι

V (x) =1

2kx2 ,

εν£ω σωµατιδια εισαγονται στο χ£ωρο των φασεων µε τετοιον τροπο£ωστε η πυκνοτητα f1 να καθισταται σταθερη για ενεργειε των σω-µατιδιων µικροτερε απο E1 και να µηδενιζεται για ενεργειε µεγα-λυτερε απο E1. Υπολογιστε το πληθο των σωµατιδιων; Υποθεστετ£ωρα οτι το δυναµικο µετα1αλλεται αδια1ατικα και τελικα µετατρε-πεται στο δυναµικο του φρεατο

V (x) =

0, |x| < L∞, |x| ≥ L.

10.7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 341

∆ειξτε οτι η µεγιστη τελικη ενεργεια που µπορει να εχουν τα σωµα-τιδια ειναι

E2 =π2

8

E21

kL2.

(δ)Υποθεστε οτι καποια στιγµη αντικαθιστουµε ακαριαια το αρχικοσυστηµα του ταλαντωτη µε το δυναµικο του φρεατο φροντιζοντατο L να ειναι µεγαλυτερο απο το µεγιστο πλατο ταλαντωση τωνσωµατιδιωνστον ταλαντωτη. Υπολογιστε τη µεγιστη ενεργεια των σωµατιδιωνστο φρεαρ. Η πυκνοτητα στο χ£ωρο των φασεων θα ειναι διαφο-ρετικη απ ο,τι προηγουµενω; Τι συµπεραινετε σχετικα µε τη συ-νολικη επιφανεια που καλυπτουν οι καταστασει; [Υποδειξη : Γιανα κατανοησετε την εξελιξη του συστηµατο στο χ£ωρο των φασεωνκατα την αποτοµη µετα1ολη του δυναµικου, θεωρηστε ενα σηµειοστο χ£ωρο των φασεων στο αρχικο συστηµα του ταλαντωτη. Σε ποιαπεριοχη του χ£ωρου των φασεων µπορει να βρισκεται αυτο αρχικα;Π£ω θα κινηθει τελικα µια περιοχη του χ£ωρου των φασεων που αρ-χικα καταλαµ1ανε µια λωριδα σταθερη ορµη;] (ε) Αφου το συ-στηµα µετα1ει αδια1ατικα στο δυναµικο του φρεατο, επιστρεφειπαλι στο αρχικο δυναµικο του ταλαντωτη αδια1ατικα. Ποια θα ει-ναι η µεγιστη τελικη ενεργεια του συστηµατο; Αν οι µετα1ασει γι-νουν ακαριαια ποια ειναι η µεγιστη ενεργεια που µπορει να εχει τε-λικα το σωµατιδιο; Εξαρταται το αποτελεσµα αυτο απο την επιλογητων χρονικ£ων στιγµ£ων κατα τι οποιε πραγµατοποιουνται οι µετα-1ασει του συστηµατο; [Υποδειξη : Που πρεπει να βρισκεται ενασηµειο στο χ£ωρο των φασεων κατα τη µετα1αση απο το φρεαρ στοδυναµικο του ταλαντωτη £ωστε το σηµειο αυτο να αντιστοιχει σε µε-γιστη ενεργεια;]

11. Σωµατιδιο µαζα m κινειται στο δυναµικο

V (x) =1

2kx2 .

Γνωριζουµε µονο οτι το σωµατιδιο εχει ενεργειαE και οτι ενδεχεταινα βρισκεται µε ιση πιθανοτητα σε οποιοδηποτε σηµειο τη ισοενερ-γειακη καµπυληH = E, οπουH η Χαµιλτονιανη του σωµατιδιου.(α) ∆ειξτε οτι η κατανοµη

f(x, p) =1

Tδ(E − H) ,

οπου T η περιοδο ταλαντωση του σωµατιδιου, ειναι η κατανοµηπιθανοτητα ευρεση του σωµατιδιου σε καποιο σηµειο (x, p) στοχ£ωρο των φασεων. ∆ειξτε, επιση, οτι η εν λογω κατανοµη ικανο-ποιει την αναγκαια συνθηκη

∫

∞

−∞

dx

∫

∞

−∞

dp f(x, p) = 1 ,


καθ£ω και οτι αυτη η κατανοµη παραµενει αµετα1λητη, ειναι δη-λαδη

df

dt= 0 .

(β) Προσδιοριστε την πιθανοτητα Π(x0|E) να βρεθει το σωµατιδιοστη θεση x = x0 αν εχει ενεργεια E. ∆ειξτε οτι η πιθανοτητα αυτηειναι

Π(x0|E) =1

T

∫

∞

−∞

dx

∫

∞

−∞

dp δ(x − x0)δ(E − H)

=2m

T

1

|pE(x0)|

=

√2m

T

1√

E − kx20/2

,

οπου pE(x0) η ορµη σωµατιδιου ενεργεια E στη θεση x = x0. Τοαναµενατε αυτο το αποτελεσµα; ∆ειξτε οτι το ολοκληρωµα τηΠ(x0|E)ω προ ολε τι επιτρεπτε θεσει x0 δινει µοναδα. (γ)∆ειξ-τε οτι η πιθανοτητα Π(p0|E) να εχει το σωµατιδιο ορµη p0 αν εχειενεργεια E ειναι

Π(p0|E) =1

T

∫

∞

−∞

dx

∫

∞

−∞

dp δ(p − p0)δ(E − H)

=2

kT

1

|xE(p0)|

=

√2√

kT

1√

E − p20/(2m)

,

οπου xE(p0) η θεση σωµατιδιου ενεργεια E και ορµη p0. (δ) Θεω-ρηστε οτι το δυναµικο µετα1αλλεται στο δυναµικο φρεατο τουπροηγουµενου προ1ληµατο. Χρησιµοποι£ωντα την πιθανοτηταπου υπολογισατε στο ερ£ωτηµα (γ) δειξτε οτι αν αρχικα το σωµατιδιοειχε ενεργεια E1 η πιθανοτητα να εχει ενεργεια E2 µετα την αλλαγηδυναµικου ειναι

Π(E2|E1) =1

π

1√E2

√E1 − E2

.

Documents

Κεφαλαιο“ 10users.uoa.gr/~pjioannou/mech2/BIBLIO/10.pdfΚεφαλαιο“ 10 Ο Χ£ωρο των Φασεων“ “Πολ“υ παρ “αξενη , εƒιπε , εƒιναι