“MARY GRAHAM” PROFESORAS: MARÍA ISABEL ESPINOZA SILVA ...“DU… · “MARY GRAHAM” PROFESORAS: MARÍA ISABEL ESPINOZA SILVA VILLA ALEMANA MARÍA TERESA ALVIÑO NIVEL: 4°

LICEO BICENTENARIO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA “MARY GRAHAM” PROFESORAS: MARÍA ISABEL ESPINOZA SILVA

VILLA ALEMANA MARÍA TERESA ALVIÑO

NIVEL: 4° MEDIO PREPARACIÓN PSU

1

GEOMETRÍA

Nombre:___________________________________________Curso:_____Fecha:________

Querido estudiante, el propósito de este material, es que recuerdes o adquieras conceptos

geométricos que te permitan resolver problemas.

Objetivo: - Actualizar conceptos de geometría euclidiana.

- Resolver problemas de ángulos.

Habilidad: Establecer relaciones de ángulos en la resolución de problemas.

Antecedentes históricos:

La palabra geometría deriva del griego: geo significa tierra y metron medida, luego

etimológicamente significa medida de la tierra.

Esta disciplina matemática tiene por objeto el estudio riguroso del espacio y de las

formas que en él se pueden imaginar.

Herodoto sostenía que la geometría se había originado en Egipto, creía que dicha

materia había surgido allí a partir de la necesidad práctica de volver a trazar las líneas de las

tierras después de la inundación anual del valle del río Nilo.

El nombre de “Padre de la Geometría” fue otorgado a Euclides de Alejandría, que

vivió en el siglo 3 antes de Cristo. En su gran obra llamada “Los Elementos”, organizó,

recopiló y dio estructura de ciencia a todo lo que se había escrito sobre Geometría hasta esa

fecha. Este trabajo esta dividió en trece libros.

Bases en las que se fundamenta la geometría

La geometría se construye a partir de algunos elementos primarios: punto, línea,

plano y espacio. De estos elementos podemos dar algunas características, pero no se definen,

sólo tenemos la idea intuitiva de lo que son.

Características de los elementos primarios:

Punto: - Es adimensional (no tiene dimensiones). .

- Se designan por letras mayúsculas A, B, C, etc. P

Línea: - Es unidimensional, es decir, sólo tiene longitud

- Se proyecta infinitamente en el plano en ambos sentidos.

- Existen diferentes tipos de líneas: recta, curva, mixta (curva y recta),

segmentada.

- Algunas formas de denotar la línea recta son las siguientes

𝐴𝐵 ⃡ ; 𝑅 ⃡ ; 𝐿 ⃡ ; L

Este símbolo indica que la recta es infinita hacia ambos lados.

Plano: - Es bidimensional, es decir, tiene dos dimensiones: ancho y alto.

- Es infinito.

- Se denota por una letra cursiva P. P.

𝐴𝐵 ⃡




2

Espacio: - Es tridimensional, es decir, tiene tres dimensiones: ancho, largo y alto.

- Es infinito.

- Se denota por una letra cursiva E

E

Otros elementos de la geometría

Ángulo: es el conjunto formado por dos rayos que se intersectan en un punto llamado

vértice.

A OA y OB rayos

O vértice

AOB = BOA

El ángulo dibujado se denota por AOB = BOA, siempre la letra del vértice se

escribe al medio.

El ángulo divide al plano en dos regiones: interior y exterior

A

Región

Exterior Región

Interior

Medida de los ángulos

Medir un ángulo es compararlo con otro que se considera como unidad. Existen tres sistemas

de medidas de ángulos: Sistema sexagesimal, Sistema centesimal y Sistema

internacional.

i) Sistema sexagesimal: Es uno de los más usados para la medición de ángulos. Este

sistema divide a la circunferencia en 360 partes iguales y cada uno se llama grado

sexagesimal. Los grados se denotan por º

Cada grado sexagesimal se divide a la vez en 60 partes iguales y cada uno se llama

minuto sexagesimal. Los minutos se denotan por ’ Cada minuto sexagesimal se divide a su vez en 60 partes iguales, y cada uno se llama

segundo sexagesimal. Los segundos se denotan por ”

Luego

= 360º

1º = 60’ 1’ = 60”

1º = 3.600”

O B

O B




3

Ejemplos:

1) 2º = 2 · 60 = 120’ = 2 · 3600 = 7200”

2) 1200” = 1200 : 60 = 20’ = 1200 : 3600 = 0,3º

Es común transformar la parte decimal de los grados en minutos y/o segundos

Ejemplos:

3) 23,85º

Para transforma la parte decimal de los grados en minutos, multiplicamos por 60

0, 85º · 60 = 51’

23,85º = 23º 51’

4) 35,42º

0,42 · 60 = 25,2’ Para transforma la parte decimal de los minutos en segundos, volvemos a

multiplicar por 60

0,2 · 60 = 12” 35,42º = 35º 25’ 12”

ii) Sistema centesimal:

En este sistema la circunferencia se divide en 400 partes iguales y cada una de ellas

se llama grado centesimal. Cada grado centesimal se divide a la vez en 60 partes

iguales, y cada uno se llama minuto centesimal y cada minuto se divide a la vez en

60 partes iguales llamadas segundo centesimal, es decir:

= 400º

1º = 60`

1` = 60”

1º = 3.600”

Luego el procedimiento para transformar de grados centesimales a minutos y/o

segundos es análogo al caso anterior.

Ejemplos:

1) 50º = 2400’ porque 50 · 60 = 3000’

2) 12,6º = 12º 36’ porque 0,6 · 60 = 36’

3) 108,49 º = 108º 29’ 24” porque 0,4 · 60 = 29,4’ y 0,4 · 60 = 24”




4

EJERCICIOS

I.- Expresa en la unidad indicada las siguientes medidas de ángulos:

1) 5º en minuto = ___________________________________________________

2) 36.000” en grados = ___________________________________________________

3) 4º 8` 12” en segundos = __________________________________________________

4) 28.000” en grados = ___________________________________________________

5) 360’ en grados = ___________________________________________________

6) 3º 15’ en minutos = ___________________________________________________

7) 6º 41’ 57” en segundos = _________________________________________________

8) 10’ 40” en segundos = ___________________________________________________

II.- Completa la siguiente tabla:

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

Ejm: 27º 1.620’ 97.200”

12º

180’

32.000”

420’

10º

48.000

90’

54º




5

iii) Sistema Internacional de medidas

En este sistema la unidad de medida es el radián, el cual relaciona el arco

subtendido por el ángulo del centro de la circunferencia y el radio de ella.

Si consideramos al AOB =

y describimos otra circunferencia

que corta a los rayos 𝐎𝐀 𝐎𝐁 en A’ B’ respectivamente, entonces

el A’OB’ también mide .

Def: Radian = rad

Un radian es la medida del ángulo del centro de la circunferencia, donde la longitud del

arco que subtiende, tiene la misma longitud del radio de la circunferencia.

360° = 2 radianes

180° = radianes

1 radian = 180 = 57°17`44``

Resumiendo

EQUIVALENCIAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema Internacional

de medidas

Grado sexagesimal Grado centesimal Radian

90° 100° 𝛑

𝟐 rd

180° 200° rd

270° 300° 𝟑𝛑

𝟐 rd

360° 400° 2 rd

O

B’`

A’`

A

B




6

EJERCICIOS

Realiza las equivalencias en cada ítem aplicando proporciones, por ejemplo 3

4𝜋 𝑟𝑑 lo

transformaremos en grados sexagesimales

3

4 𝜋 rd

π rd =

s

180° s =

3

4· 180°

s = 135°

En forma similar se trabaja con todas las equivalencias.

III.- Expresa en términos de grados sexagesimales, la medida de cada ángulo dado a

continuación:

1) 𝜋

3 rd =

2) 2𝜋

5 𝑟𝑑 =

3) 7 rd =

4) 5𝜋

8 𝑟𝑑 =

IV.- Expresa en términos de radianes, la medida de cada ángulo sexagesimal dado a

continuación:

1) 27º =

2) 65º =

3) 47,8º =

4) 78º45`15” =

V.- Expresa en términos de grados centesimales, la medida de cada ángulo dado a

continuación:

1) 3𝜋 rd =

2) 4𝜋

7 𝑟𝑑 =

3) 12𝜋

15 𝑟𝑑 =

4) 2𝜋

5𝑟𝑑 =

VI.- Expresa en términos de radianes, la medida de cada ángulo centesimal dado a

continuación:

1) 32º =

2) 146º =

3) 58,12º =

4) 150º =




7

CLASIFICACION DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

i) Ángulo agudo: es aquel que mide menos de 90º

B

90º

ii) Ángulo recto: es aquel que mide 90º y sus rayos son perpendiculares

B

OA ⊥ OB

AOB = 90º

iii) Ángulo obtuso: es aquel que mide más de 90º y menos de 180º

B

90º α 180º

iv) Ángulo extendido: es la línea recta y mide 180º

= 180°

v) Ángulo no convexo: es aquel que mide más de 180º y menos de 360º

180º 360º

Obs: Los Ángulos convexos: son todos aquellos que miden de 0° a 180°

0º 180º

O A

O A

O A

O

B

A

B O A ·




8

vi) Ángulo completo: es la circunferencia y mide 360º

La circunferencia de centro O y radio r mide 360º

La

Los ángulos también se clasifican según las posiciones que ocupan en el plano o según la

suma de sus medidas.

vii) Ángulos opuestos por el vértice:

Dos ángulos son opuestos por el vértice si tienen un vértice en común y sus lados

son rayos opuestos. Estos ángulos son congruentes, es decir, tienen la misma

medida.

es opuesto por el vértice con

es opuesto por el vértice con

viii) Ángulos contiguos:

Dos ángulos son contiguos cuando comparten un lado de un polígono.

es contiguo y

es contiguo y

es contiguo y

es contiguo y

ix) Ángulos adyacentes:

Dos o más ángulos son adyacentes cuando tienen un rayo en común.

𝐎𝐁 rayo común

es adyacente con

O

B

A

C

C

B

D

A

C

B

D A

C

O

B

D

A

C

B

D

A

C

B

O· r




9

x) Ángulos complementarios:

Dos o más ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º

+ = 90º

xi) Ángulos suplementarios:

Dos o más ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º

+ = 180º

xii) Ángulos adyacentes complementarios: Dos o más ángulos son adyacentes

complementarios cuando tienen un rayo en común y la suma de sus medidas es

90º.

+ = 90º

xiii) Ángulos adyacentes suplementarios: Dos o más ángulos son adyacentes

suplementarios cuando tienen un rayo en común y la suma de sus medidas es

180º.

+ = 180º

Ángulos entre paralelas intersectadas por una secante

En las siguientes figuras L1 // L2 L3 transversal

xiv) Ángulos externos: son los cuatro ángulos que se ubican al exterior de las rectas

paralelas.

O A

B

L1 // L2 L3 transversal , ,

Son ángulos externos entre paralelas

C

B

D

P C

O A

D

P C

A O B

C

O A

B

L1

L2

L3




10

xv) Ángulos internos: son los cuatro ángulos que se ubican al interior de las rectas

paralelas.

, , son ángulos internos entre

paralelas

xvi) Ángulos correspondientes entre paralelas: son aquellos que están hacia el mismo

lado de las paralelas y al mismo lado de la secante y son congruentes entre sí.

xvii) Ángulos alternos externos entre paralelas: son ángulos exteriores no

adyacentes situados a distinto lado de la secante.

L3 L1

L2

L1

L2

L3

L3

L1

L2

L1

L2

L3

L1

L2

L3

L1

L2

L3

L1

L2

L3




11

xviii) Ángulos alternos internos entre paralelas: son ángulos interiores no adyacentes

situados a distinto lado de la secante.

En síntesis podemos decir que:

Def: Bisectriz del ángulo

La bisectriz es la semi recta que dimidia al ángulo, es decir, lo divide en dos ángulos

congruentes.

¡Ahora estamos listos para desarrollar una guía de ángulos!

L3 L3

L2

L1

L2

L3

L1

L2

L1

Si L1 // L2 L3 transversal

A O

C

B

En AOB, 𝐎𝐂 es bisectriz

Recuerda que congruencia ( )

significa que tienen la misma medida.




12

GUÍA DE ÁNGULOS 1

I.- En la figura encuentra:

1) Dos ángulos rectos_________________________________________________

2) Tres ángulos agudos________________________________________________

3) Tres ángulos obtusos_______________________________________________

4) Dos líneas rectas __________________________________________________

5) Dos ángulo no convexo_____________________________________________

6) Cinco rayos ______________________________________________________

7) Dos ángulos complementarios________________________________________

8) Dos ángulos suplementarios _________________________________________

9) Dos ángulos opuesto por el vértice ____________________________________

II.- Observando la figura completa las siguientes proposiciones, de modo que sean

verdaderas.

1) ACB __________ tienen vértice en C.

2) BCF __________ son dos ángulos suplementarios.

3) GFH __________ son dos ángulos opuesto por el vértice.

4) __________ CFG son dos ángulos alternos internos.

5) __________ ACD son dos ángulos alternos externos

6) __________ DCF son dos ángulos correspondientes.

C

A O B E

D

L1 // L2 AH transversal

E F G

H

B C D

A

L2

L1




13

III.- Determina el valor de los ángulos indicados:

1) 2)

| AOB | = | AOB | =

| BOC | = | BOC | =

| COD | =

3) 4)

| AOB | = | AOB | =

| BOC | = | | =

5) 6)

| AOB | = | AOB | =

| BOC | = | BOC | =

7) 8)

| | = | AOD | =

| | = | COB | =

D

x + 20

O

2x

A

C

B

n

2n

C

A

O

a

3a 2a

C

B

D O A

A

B

D

C

60° O

A

O

+ 40° 2 + 80°

B

C

4y + 15º

2y + 15º

C

A

B

O

B

C O A

3z + 8º 5z + 12º

C O A

D

136º

B




14

9) | | = 10) | AOB | =

11) 12)

IV,- Determina el valor de los ángulos indicados si L // L’ L’’ transversal:

1) 2)

| | = | | =

| COD | =

55°

3x + 15º 5x − 15º

15º º

D

A B

C

O

A

| BOC | =

50°

| AOD | =

| BOC | =

O

B A

2n +10°

50°

80°- n

E D

C

L L’

L’’ 108°

−5º

D

B

C

E

105° O

P

90° 40°

U

T

S

R

Q

135º

L’

L

L’’




15

3) L // L’ ᴧ L’’ // L’’’ 4) OP bisectriz del AOB

5) OP bisectriz del AOC 6) OP bisectriz del AOB, L’’ es

transversal OP // QR ᴧ L // L’

7) ⊥ OR 8) AC bisectriz del DAB,

| | = | x | =

| z | =

| w| =

| u | =

| | = | | =

| | = | | = | | =

z x

38º

w u

L’’ L’’’

L’

L

B

P A

O

L

L’’

140°

A

30°

L O C

L’

40°

L’

L’’

L’

B

R P

Q

O

A

C

A

L’

130°

L

L’

’

D

p

L’’’

R

O

120°

L

L’

L’




16

¡Haz terminado!

Te felicitamos

por la actitud

positiva de que

en situaciones

adversas te

esfuerces en

salir adelante.

9) L // L’ y L ⊥ L’’ 10) 𝐀𝐁 // 𝐂𝐃 ; 𝐀𝐃 // 𝐁𝐂

CP bisectriz ECF

11) L // L’ y L’’ // L’’’ 12) L1 // L2 // L3 y L4 // L5 // L6

| | = | | =

| u | =

| w | =

| x | =

| y | =

| z | =

43° L’’’ L’’

z

28º

x

u

y

w

L

L’

w

L1

L6

L4

L5

L2

L3

w

L’’

30°

L

L’’’

L’

E

F

P

B

A

65°

D

C

| | =

| | =

| | =

| | =

| | =

| | =

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