AP Estadistica y Probabilidad 11

5/28/2018 AP Estadistica y Probabilidad 11

1/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD1

CAPTULO 1 Introduccin y conceptos bsicos

1.1 INTRODUCCIN

Si bien el origen de la estadstica es tan lejano coo la ci!ili"aci#n isa$% no alcan"# &n desarrollo notable 'asta es&rgiiento de los Estados% aconteciiento bajo el c&al se con!irti# en &n instr&ento (reciso (ara describirlos &tili"andeleentos n&)ricos* De a' !iene el nobre de esta disci(lina% c&+o est&dio en s& ,ora eleental ser- objeto de &c'as dlas (-ginas .&e co(onen este libro*

La estadstica es &n )todo cient,ico .&e enc&entra a(licaci#n en &na gran di!ersidad de ca(os del saber '&ano c&+a &tilidad% coo .&ed# deostrado desde el siglo (asado% !a -s all- de la era descri(ci#n% (&es (erite desc&briiento de le+es + tendencias* Dentro de los &c'os eje(los .&e (eriten il&strar esto% basta con citar el caso deestadstico ale-n Ernesto Engel$$ /101210345 .&e ad.&iri# renobre en el terreno de las in!estigaciones econ#icas sociales al desc&brir la le+ .&e lle!a s& nobre + .&e se en&ncia as6 7C&anto enor es el ingreso ,ailiar% a+or es

(ro(orci#n destinada a la co(ra de alientos7*

Con datos recabados en 1089% obser!# .&e esa (ro(orci#n era de 4:% 88: + 8;: en ,ailias de clase baja% edia

alta% res(ecti!aente* Al di,&ndirse esta le+% res&lt# e!idente .&e c&anto a+or es la (arte del ingreso ,ailiar .&e se in!ierten alientos% enor es la .&e se (&ede destinar a otros ,ines /!estido% sal&d% recreaci#n% coodidades% etc*5 + !ice!ersa* Poesta ra"#n% esa (arte o (ro(orci#n 'a sido &tili"ada coo &nidad de edida del bienestar social*

El est&diante encontrar- con s&a ,acilidad &na gran !ariedad de a(licaciones del )todo estadstico% lc&al ser- s&,iciente (ara de(oner la idea de .&e la estadstica es la si(le ac&&laci#n de 'ec'os + ci,ras con ,ineeraente acad)icos o de arc'i!o< -s bien se con!encer- de .&e se trata de &na disci(lina .&e incidsigni,icati!aente en la !ida cotidiana de los seres '&anos*

=o obstante% coo todo instr&ento% la estadstica tiene s&s liitaciones< no (&ede% (or eje(lo% dise>ain!estigaciones ni seleccionar (robleas (ara soeterlos a est&dio% ni (&ede% (or s sola% a(ortar res&ltado!aliosos o dar inter(retaciones de res&ltados en a&sencia de &na s#lida teora* Por otro lado% todos los res&ltadoestadsticos% e?actos o no% se e?(resan de odo (reciso ediante n@eros* Pero (reciso no es sin#nio de e?actoson e?actas las o(eraciones arit)ticas% (ero las ediciones .&e cond&cen a los datos .&e las 'acen (osibles n

sie(re son con,iables* Por esta ra"#n los res&ltados estadsticos deben ser sie(re soetidos a crtica*Pero% .&) es la estadstica Desde ediados del siglo III 'asta &na cent&ria des(&)s% la estadstica 'a sidobjeto de &c'sias de,iniciones% las c&ales 'an obedecido% e!identeente% a las di,erentes conce(ciones .&e s'an tenido de ella a lo largo del tie(o* Sin ebargo% ser- s&,iciente (or a'ora con .&e nos ,ailiariceos con &nde,inici#n .&e res(onde a los objeti!os de este c&rso6

Estadstica

Es &n conj&nto de (rocediientos .&e sir!en (ara organi"ar + res&ir datos% 'acer in,erencias a (artir de ellos+ transitir los res&ltados de anera clara% concisa + signi,icati!a*

Tabi)n (odeos entender la estadstica coo la ciencia .&e (erite res(onder a ciertas (reg&nta

bas-ndose en datos e(ricos% es decir% en datos .&e se originan de la obser!aci#n o la e?(eriencia* Entendida asdireos .&e esla ciencia que tiene que ver con los mtodos que dan respuesta a determinadas cuestionesmediante la recolecci!n " la interpretaci!n apropiadas de datos empricos. Las obser!aciones o lae?(eriencias .&e constit&+en los datos (&eden res&ltar de la in!estigaci#n cient,ica% de la acti!idad coercial o dla !ida cotidiana* En c&al.&ier caso% la estadstica b&sca dar sentido a los datos< esto i(lica tanto la recolecci#coo la inter(retaci#n de )stos*Larecolecci!nabarca el dise>o de las in!estigaciones e(ricas% la (laneaci#n de lo .&e se .&iere obser!ar% lcalidad + s&,iciencia de la obser!aci#n + el registro de los datos< la interpretaci!nel an-lisis + el res&en de lodatos% la e?tracci#n de concl&siones a (artir de ellos + el re(orte + la (resentaci#n de los res&ltados*Para s& est&dio% la estadstica se di!ide en dos grandes raas6descriptiva e in#erencial.$
http://ciam.ucol.mx/directorios/984/apuntes/1a%20parcial/varios%20estadistica.dochttp://ciam.ucol.mx/directorios/984/apuntes/1a%20parcial/varios%20estadistica.doc


2/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

Estadstica descriptivaEs un conjunto de procedimientos que sirven para organizar, describir y sintetizar datos, sin que

las conclusiones que se extraigan de stos rebasen su mbito especfico.

%or eje(lo% si al recolectar las cali,icaciones de &n gr&(o de est&diantes en &na asignat&ra deterinada lares&ios diciendo .&e la cali,icaci#n (roedio es 9*8% estaos describiendo + sinteti"ando &na caracterstica dlos datos< es decir% del total de cali,icaciones* La !alide" de esta descri(ci#n n&)rica ata>e @nicaente al gr&(o dest&diantes del c&al (ro!ienen los datos + no encierra incertid&bre*

Estadstica in#erencialEs un conjunto de procedimientos que se emplean para hacer inferencias y generalizaciones respecto a una

totalidad, partiendo del estudio de un nmero limitado de casos tomados de esta ltima.

Las in,erencias + generali"aciones en esta raa% .&e co(leenta a la descri(ti!a% se basan en la teora dla (robabilidad% alg&nos de c&+os ,&ndaentos ser-n est&diados en el ca(t&lo 8*

El car-cter (ro(io del )todo estadstico descansa en el est&dio de gr&(os o asas% a tra!)s de loeleentos .&e los co(onen* En estadstica no interesan aisladaente las caractersticas de &n eleento de lasa* =o interesa% (or eje(lo% .&e la !ida @til de &na l-(ara de cierto dise>o sea de 1; il 'oras + la de otra dF il* Lo .&e i(orta es !er la tendencia de cierto n@ero de l-(aras .&e (&edan ser re(resentati!as de toda (rod&cci#n< lo .&e se b&sca es desc&brir% (or eje(lo% .&e la !ida @til (roedio de ese ti(o de l-(aras es de 9 'oras* Si lo .&e se est&dia es &n gr&(o de (ersonas% no interesa .&e &na de ellas en (artic&lar (ro,ese el catolicis+ otra el (rotestantiso% (or encionar algo< lo .&e .&isi)raos conocer (odran ser los c&ltos e?istentes + el .&-s se (ro,esa en el gr&(o*

El edio e(leado (ara el est&dio estadstico es la en&eraci#n o rec&ento* En&erar es ca(tar lacaractersticas de los eleentos soetidos a est&dio + anotarlos o edirlos bajo las condiciones .&e se (resentanLa estadstica es% b-sicaente% &n )todo de ind&cci#n basado en los grandes n@eros$ + s&s (ro(iedades% con lc&al se eliinan los errores (ro(ios de la obser!aci#n + se a&enta la !alide" de los res&ltados obtenidos*!"ara que sirve la estadstica# Explica

La Estadstica puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nosplantea. Su tarea fundamental es la reduccin de datos, con el objetivo de representar larealidad y transformarla, predecir su futuro o simplemente conocerla.

El INEGI

T y la Estadstica

La Estadstica es &na raa de las Gate-ticas .&e% a tra!)s de di!ersas etodologas + t)cnicas% seencar&a de la recolecci!n " or&ani'aci!n de datos acerca de personas sucesos o cosas* Asiiso%,acilita s& an-lisis e inter(retaci#n% con el ,in de obtener concl&siones*

(a Estadstica es un apo"o importante en el mane)o " an*lisis de &randes vol+menes de


3/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADF

in#ormaci!n% (or eje(lo% la (oblaci#n de &n (as + di!ersos datos es(ec,icos% coo6 edad% se?o%escolaridad + !i!ienda% entre otras*

C&ando no se (&ede reali"ar &n rec&ento total del n@ero + caractersticas de &n conj&nto de (ersonas%s&cesos o cosas% la Estadstica a(lica t)cnicas (recisas (ara elegir &n gr&(o re(resentati!o /&estra5% loc&al tiene &n !alor siilar a contar todo*

El INE,I se vale de la Estadstica para reunir " dar a conocer in#ormaci!n a detalle de lapo-laci!n " la economa de /ico% la c&al es &+ i(ortante (ara a(o+ar la (laneaci#n del desarrollodel (as*

T@ (odras 'acer &n sencillo ejercicio de estadstica si reali"as &na in!estigaci#n de alg&nascaractersticas de t&s co(a>eros de clase% coo6 c&-ntos son en total< c&-ntos son 'obres+ c&-ntas% &jeres< s& edad + n@ero de 'eranos o de (ersonas .&e 'abitan en s& casa* Alordenar los res&ltados en tablas + anali"arlos% estar-s a(licando la Estadstica*

La Estadstica responde a las necesidades blicas y fiscales de los gobernantes. Estose puede conseguir con un conocimiento claro de la poblacin con la que se cuenta. Laherramienta para conseguirlo es el CES! "E #!$L%C&'y su hermano peque(o, el#%")' *+&C%L "E %$&-%-ES.

La prctica del recuento de la poblacin y de algunas caractersticas de esta por losEstados es muy antigua /se remonta a 0111 a(os antes de Cristo en Egipto y *esopotamia2En palabras de $ielfed, la Estadstica es la ciencia que nos ense(a el ordenamiento poltico

de todos los estados del mundo conocido, es decir, est al servicio del Estado, de hecho, lapalabra Estadstica deriva de Estado.

La Estadstica responde a la actividad planificadora de la sociedad. Con la )evolucin&ndustrial aparecen nuevos problemas, sobre todo de desigualdades sociales. La Estadstic
http://www.galeon.com/estadisticautil/censo.htmhttp://www.galeon.com/estadisticautil/censo.htmhttp://www.galeon.com/estadisticautil/censo.htmhttp://www.galeon.com/estadisticautil/censo.htmhttp://www.galeon.com/estadisticautil/censo.htmhttp://www.galeon.com/estadisticautil/censo.htm


4/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADH

es un instrumento para identificar estas injusticias y para producir informacin en elllamado Estado del $ienestar.

La Estadstica responde a nuevas demandas sociales. #ara reali3ar investigacionese4haustivas sobre temas sociales surgen tres problemas bsicos a la hora del trabajo decampo, como el tiempo que tardaramos en entrevistar a toda la poblacin y el costoeconmico y de personal de estas entrevistas. Con las t5cnicas de *+ES-)E!se consiguehacer buenas investigaciones sobre una peque(a parte de esa poblacin, obteniendoresultados vlidos para toda ella.

La Estadstica responde a las necesidades del desarrollo cientfico y tecnolgico de la

sociedad.-ras la )evolucin &ndustrial se produce un desarrollo de la sociedad en todossus mbitos y, en particular, en el Cientfico y -ecnolgico. Las Comunicaciones, la&ndustria, la %gricultura, la Salud... se desarrollan rpidamente y se e4ige el m4imorendimiento y la mejor utili3acin de estos sectores.

Las t5cnicas de Investigacin de Mercadospermiten saber si un producto cualquiera serbien acogido en el mercado antes de su salida a este, o bien medir la audiencia en -elevisi

y )adio.

El Control de Calidadpermite medir las caractersticas de la calidad de un producto,compararlas con ciertos requisitos y tomar decisiones correctivas si hay diferencias entreel funcionamiento real y el esperado. Con estudios estadsticos aplicados a la %gricultura ya la #esca podemos estimar los rendimientos obtenidos en una cosecha, o encontrar bancosde peces...

En Medicina e Investigacin farmacolgica es imprescindible la Estadstica, probandonuevos tratamientos en grupos de pacientes o bien, obteniendo conclusiones sobre ciertasenfermedades observando durante un tiempo un grupo de pacientes /saber si para eltratamiento de cierto tipo de cncer es ms efectiva la ciruga, la radioterapia o laquimioterapia, sin ms que observar un grupo de pacientes tratados con estas t5cnicas2.

La Estadstica responde a las necesidades blicas y fiscales de los gobernantes. Censo Dpoblacin. Padrn municipal de habitantes. Para preveer los sericios que se prestarn alos ciudadanos.

A los comerciantes con la investigacin de mercados. Para er si un producto se a aender.
http://www.galeon.com/estadisticautil/muestreo.htmhttp://www.galeon.com/estadisticautil/muestreo.htm


5/58


Industrias productoras de bienes. Control de calidad de un producto.

En Medicina e Investigacin farmacolgica. #robando nuevos tratamientos en grupos depacientes o bien, obteniendo conclusiones sobre ciertas enfermedades.

En las Ciencias Naturalesayuda a entender datos y tomar decisiones.

CO=CEPTOS J=DAGE=TALES*Descri-e los si&uientes conceptos %o-laci!n uestra Elemento. Datovaria-le. Tipos de varia-les.

ESTADISTICA DESCRIPTIA DE DATOS

POBLACIO=*

GJESTRA*

ELEGE=TO

ARIABLE*

TIPOS DE ARIABLES*

DATO*

DATOS*

EPERIGE=TO*

PARAGETRO*

ESTADISTICA o ESTADIKRAO*

GEDICIO= DE LA I=COGODIDAD ISICA

a5El &ndo es (e.&e>o (ara !iajeros rob&stos + altos* Basta (reg&ntar a Rose+ Krier% e? liniero de,ensi!ode la =L de 1*38 + 1F4 g* de (eso% .&ien ja-s encontr# alg@n a(o+ador .&e no (&diese derribar*Sin ebargo% no (&ede ganar contra los asientos de los a!iones% constr&idos (ara (ersonas de 1*98 + 99

g* Krier no esta solo* Otros 1F illones de 'obres (or lo enos iden 1*00 o (esan 1; g*

Los asientos de los a!iones n&nca 'an contado con s&,iciente es(acio* Originalente ,&eron dise>ados(ara .&e c&(iese &n atleta bastante conocido6 /el joce+5 Millie S'oeaer% broea Ed Perins% editor deCons&er Re(orts Tra!el Letter% .&e ide la distancia entre los asientos cada dos a>os* D&rante los@ltios ; a>os% las aerolneas 'an a&entado grad&alente alrededor de &n 1;: el n@ero de asientosen s&s a!iones* En ese tie(o se 'a red&cido el es(acio .&e 'a+ entre las ,ilas de asientos en todas lasaerona!es* Las ,ilas est-n 1; centetros as (r#?ias entre s .&e 'ace ; a>os*

Cons&lta el rec&adro !iajar es &n (roblea*
http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1//E:/estescrit/dos%20semes/2008a/semestre%20II/materia%20ago%20ene/estad%20y%20%20prob/1a%20parcial/APRETUJ.dochttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_1//E:/estescrit/dos%20semes/2008a/semestre%20II/materia%20ago%20ene/estad%20y%20%20prob/1a%20parcial/APRETUJ.doc


6/58


a5 .&ien ,&e enc&estado*

b5 c&antos ,&eron enc&estados*

c5 E?(lica el signi,icado de NAsientos estrec'os en a!iones 33:*

d5 Por .&e se 'an re(ortado (orcentajes tan ele!ados*

P-sae la dona% .&)date con el ca,)


7/58


Por =anc+ elic'JSA Toda+

El desa+&no estado&nidense de ca(eones a'oraincl&+e -s (l-tanos + donas + enos ca,)*Se est&diaron re(ortes de cons&o de alientos de

;;; 'ogares d&rante &n (eriodo de 1H das + sellegaron a las sig&ientes (ro(osiciones*

El ca,) sig&e siendo la bebida as (o(&lar% +a .&e se sir!e en H;: de los alientos .&e se

cons&en antes del edioda< a&n.&e esta (or debajo del 4;: re(ortado en 130H% debido en gran(arte a .&e es enos (o(&lar entre las (ersonas enores de F8 a>os de edad* Los (l-tanos son a'ora la ,r&ta n&ero &no% en l&gar de las toronjas% .&e eran las ,a!oritas en

130H* Las donas son el aliento .&e se o,rece cada !e" as en el en@* La gente coi# &n (roedio de

9 donas (or (ersona en 133F% lo .&e re(resenta &n increento con res(ecto con res(ecto a las *H.&e se cons&an en 130H*

El cons&o de '&e!os estrellados descendi# a 11 (ersonas en 133F% de los F .&e se cons&anen 130H* El cons&o de tocino tabi)n 'a descendido% de 1 (orciones (or (ersona .&e secons&an en 130H a 1F (orciones (or (ersona en 133F*

Las donas% los roles de a"@car + las (astas de alendras sig&en siendo (o(&lares% con &n cons&o

de 1 (or (ersona en 133F con res(ecto a las 11 (or (ersona .&e se cons&an en 130H*

1*2 Q&i)n/es5 ,&e/ron5 enc&estado/s5*2Q&) in,oraci#n se recolect# en cada 'ogarF*2C&-l ,&e el (eriodo de tie(o .&e se too en c&enta (ara el cons&o de alientoH*2Q&e concl&si#n e?traes de las cinco (ro(osiciones .&e res&en los res&ltados de la en c&esta conres(ecto a los alientos sal&dables8*2C&al ,&e el a>o .&e se 'i"o esta enc&esta + con .&e a>o se co(ar#

CO=CEPTOS J=DAGE=TALES*

Jn est&diante de estadstica esta interesado en deterinar el (roedio del !alor en d#lares de losa&to#!iles .&e (ertenecen al c&er(o docente de n&estra &ni!ersidad* Cada &no de los oc'o t)rinosrecienteente descritos (&ede identi,icarse en esta sit&aci#n*

1*2 La po-laci!n es la colecci#n de todos los a&to#!iles .&e (ertenecen a todos los iebros delc&er(o docente de la &ni!ersidad*


8/58


*2 Jna muestraes c&al.&ier s&bconj&nto de esa (oblaci#n* Por eje(lo% &na &estra serian losa&to#!iles .&e (ertenecen a los (ro,esores del de(artaento de ate-ticas*

F*2 La varia-le es el !alor en d#lares de cada a&to#!il indi!id&al*

H*2 Jn dato(odra ser el !alor en d#lares de &n a&to#!il en (artic&lar* El a&to#!il del se>or S-nc'e"%

(or eje(lo esta !al&ado en 3H;; d#lares*

8*2 Los datos serian el conj&nto de !alores .&e corres(onden a la &estra obtenida /3H;;< 09;;< 1838;5*

4*2 El e/perimentoserian los )todos a(licados (ara seleccionar los a&to#!iles .&e integren la &estr+ deterinar el !alor de cada a&to#!il de la &estra* Podra e,ect&arse (reg&ntando a cada iebro dede(artaento de ate-ticas% o de otras ,oras*

9*2 El par*metrosobre el .&e se esta b&scando in,oraci#n es el !alor N(roedio de todos losa&to#!iles de la (oblaci#n*

0*2 La estadstica.&e se enc&entre es el !alor N(roedio de todos los a&to#!iles de la &estra*

Describe + da eje(los6Par-etro*

Estadistica

Dato*

Jn est&diante de estadstica de 8 NA Nest- interesado en deterinar el (roedio del !alor en (esos de lasco(&tadoras .&e (ertenecen a los aestros de n&estra &ni!ersidad* Describe cada &no de los sig&ientest)rinos*

Poblaci#n* G&estra* Dato* ariable Par-etro Estadstica*

Acti!idad* Elabora &n a(a% es.&ea diagraa o res&en de todos los ti(os de !ariables e?istentes

1.0 CONCE%TO 2UND3ENT3(E

%o-laci!nTabi)n llaadauniversoes todo conj&nto de (ersonas% cosas & objetos con ciertas caractersticas co&nes*


9/58


Por eje(lo6 los est&diantes de (re(aratoria con (roedio nio de 0 en el Estado de Gic'oac-n e1300< las ,abricas de a&to#!iles e?istentes en la Re(@blica Ge?icana 'asta el F1 de diciebre de 1303< conj&nto de los n@eros (rios< el conj&nto de las ,oras iaginables en .&e se (&ede re(artir la ri.&e"a nacionaetc*

De estos eje(los debe .&edar claro .&e en estadstica el conce(to de (oblaci#n no se re,iernecesariaente a (ersonas ni objetos ateriales* Ta(oco tiene .&e estar integrada (or &n gran n@ero deleentos* Si decios 7los n@eros nat&rales U 1;7% estareos de,iniendo con (recisi#n &n &ni!erso .&e consta d&+ (ocos eleentos*

C&ando se trata de eleentos concretos% (or eje(lo% est&diantes% ,-bricas de a&to#!iles% ejido!i!iendas% etc*% s& de,inici#n rig&rosa se alcan"a% (or regla general% a>adiendo a la caracterstica la &bicaci#n l&gar + el (eriodo% es decir% el es(acio de tie(o en el c&al se considera !-lida esa caracterstica* 7Ejidos en &nici(io de C#rdoba 'asta el F1 de j&nio de 130;7< 7!i!iendas con -s de F 'abitaciones en Y&cat-n 'asta el Fde ar"o de 133F7% etc*

Cada &no de los co(onentes de &na (oblaci#n recibe el nobre deelemento o unidad 4 esencial

Jn eleento (&ede ser indi!id&al o colecti!o* En &na (oblaci#n ,orada (or est&diantes% el eleento &nidad esencial es 7el est&diante7% c&+o car-cter es% e!identeente% indi!id&al< en &na (oblaci#n ,orada (o,-bricas de a&to#!iles% el eleento es 7la ,-brica de a&to#!iles7% de nat&rale"a colecti!a% +a .&e se trata de &estableciiento en el .&e 'a+ &c'os obreros* e(leados% de(artaentos% etc*

Es claro .&e% (ara s& est&dio% re!isten a+or co(lejidad los &ni!ersos ,orados (or eleentos de ndolcolecti!a*

De,inida &na (oblaci#n c&al.&iera se llaamuestraa toda (orci#n de eleentos sacada de ella*

S de &na (oblaci#n ,orada (or = eleentos% se toa &na (arte de ellos% esta (arte o s&bconj&nto de ltotalidad ser- &na &estra* Kr-,icaente% &ni!erso% eleento + &estra se re(resentan coo en la ,ig&ra sig&iente

Relatividad de los trminos po-laci!n elemento " muestra

Considereos &n &ni!erso ,orado (or todas las ,ac&ltades de &na &ni!ersidad6 cada ,ac&ltad ser- &n eleento de es&ni!erso* Si to-seos &nas c&antas ,ac&ltades% tendraos &na &estra /ig* 1**5* =o obstante% el &ni!erso objeto dest&dio (odra ser rede,inido en &n oento dado* Podraos estar interesados en est&diar &na ,ac&ltad deterinada% .&e ser&n &ni!erso c&+os eleentos (odran estar dados (or s&s (ro,esores% al&nos% e(leados% etc* /ig* 1**H5*


10/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD1;

Tabi)n (odeos considerar coo &ni!erso al conj&nto de todas las &ni!ersidades de &n (as* En este caso l&ni!ersidad .&e inicialente 'abaos considerado (asa a ser &n eleento del n&e!o &ni!erso* Si to-seos &nas c&anta&ni!ersidades del conj&nto% esa (orci#n o s&bconj&nto (asara a ,orar &na &estra /ig* 1**F5*

Lo anterior (one de ani,iesto la relati!idad de los t)rinos (oblaci#n% eleento + &estra* uestreo in#erenc

estadstica par*metro " estad&ra#o

Con ,rec&encia es i(osible o innecesario obser!ar las caractersticas de todos + cada &no de los eleentos de l(oblaci#n% es decir% reali"ar &ncenso.

C&ando &n )dico .&iere conocer la calidad de la sangre de &n (aciente% le basta con ordenar el an-lisis de &n&estra% +a .&e en el caso de l.&idos o de otros c&er(os de constit&ci#n 'oog)nea% &na (orci#n o &estra es e?actaentig&al a la totalidad* Este eje(lo il&stra .&e el an-lisis del todo no s#lo es i(osible sino innecesario* Lo iso s&cedera cootros &ni!ersos% (or eje(lo% el conj&nto de l-(aras de cierto dise>o (rod&cidas (or &na ,-brica6 si se les soete a &n

(r&eba de resistencia .&e i(li.&e s& destr&cci#n (ara conocer esa caracterstica% es i(osible (lantearse el soeter a todas (r&eba* En este caso la necesidad de est&diar el todo% (ero a tra!)s de &na &estra% res&lta indis(ensable*

En otros casos% donde es &rgente conocer la sit&aci#n .&e g&arda cierto orden de cosas (ara la toa de decisioneres&lta incon!eniente le!antar &n censo (or.&e los res&ltados de la indagaci#n (odran res&ltar e?te(or-neos* Por esto enecesario est&diar el todo a tra!)s de &na &estra* Ade-s% es claro .&e si &n &ni!erso es &+ n&eroso% el censo res&lta &costoso debido a la gran cantidad de rec&rsos ateriales + '&anos .&e 'a+ .&e (oner en j&ego* Esta es la ra"#n (or la c&al locensos nacionales de (oblaci#n% de agric&lt&ra + ganadera o ind&striales% entre otros% s#lo (&ede ejec&tarlos el Estadediante instit&ciones dedicadas a ello* En G)?ico el I=EKI$*

El (rocediiento ediante el c&al se reco(ila in,oraci#n de los eleentos de &na &estra% se conoce con el nobrdemuestreo5di,erente al censo% .&e consiste en 'acer lo iso% (ero con todos los eleentos .&e co(onen &n &ni!erso*

Anali"ado lo anterior% direos .&e c&ando es i(osible% innecesario o incon!eniente obser!ar caractersticas de todolos eleentos de &n &ni!erso% se rec&rre a estiarlas a (artir de &na o -s &estras toadas de )l*


11/58


=o obstante% la calidad de las estiaciones de(ende% b-sicaente% de la re(resentati!idad de la &estrJna &estra es re(resentati!a si re@ne% en t)rinos generales% las caractersticas del &ni!erso del c&al (rocede*

Esta (ro(iedad no sie(re se c&(le* Si la (oblaci#n est- integrada% digaos% (or (ersonas% &na (orci#n dellas% toada de anera arbitraria% di,cilente tendr- las caractersticas generales del conj&nto* As% (&es% no e

,-cil c&(lir el re.&isito de la re(resentati!idad< sin ebargo% la teora del &estreo a(orta eleentos (ara (odec&(lirlo en grado ace(table* En otras (alabras% e?isten (rocediientos de selecci#n de &estra .&e garanti"aaltos ni!eles de re(resentati!idad% inde(endienteente del &ni!erso de .&e se trate*

A'ora bien% el estiar las caractersticas de &n &ni!erso de la anera se>alada anteriorente es &(rocediiento estadstico .&e !a de lo (artic&lar a lo general* Dic'o de otro odo% es &na in#erencia o inducci!nla c&al se de,ine as6

In#erencia estadstica

Es el (roceso ediante el c&al se estian caractersticas de &na (oblaci#n a (artir de las obser!aciones 'ec'asen &na &estra sacada de esa (oblaci#n*

Toda descri(ci#n n&)rica .&e sintetice in,oraci#n res(ecto a &n &ni!erso% recibe el nobre dpar*metro5si se re,iere a &na &estra%estad&ra#oo* coo le llaan alg&nos a&tores% estadstico.Por eje(lo7el (orcentaje de !i!iendas en al estado7 en &n &ni!erso es &n par*metro5en &na &estra toada de dic'&ni!erso% &nestad&ra#o.

&ndaental en el .&e'acer estadstico es la noci#n de !ariable*

6aria-le

Es toda (ro(iedad o caracterstica .&e nos interesa est&diar + .&e (ertenece a &n conj&nto de (ersonas% &objetos + adite !ariaciones

Se dice .&e algo !ara si (&ede toar (or lo enos dos !alores% grados o ,oras o% incl&so% c&ando &ncaracterstica (&ede estar (resente o a&sente en &na sit&aci#n es(ec,ica*

Dic'o esto% (odraos estar de ac&erdo en .&e nociones coo se?o% n@ero de 'ijos (or ,ailia% color da&to#!il% n@ero de '&elgas an&ales% ni!el de est&dios% etc*% son !ariables% +a .&e son caractersticas .&e adite(or lo enos dos !alores% grados o ,oras dentro de &n &ni!erso deterinado*=o obstante% la (r-ctica docente ense>a .&e% al e(e"ar a ,ailiari"arse con este tea% los al&nos&elen con,&ndir la caracterstica .&e adite !ariaciones con el &ni!erso o con los eleentos del iso

Co(-rese la lista del (-rra,o anterior con esta otra6 (ersona% !i!ienda% l-(ara% a&to#!il* Estot)rinos se re,ieren a objetos + no a caractersticas de objetos< (or lo tanto% no son !ariables* ariables seran lacaractersticas .&e .&isi)raos indagar de esos objetos* Por eje(lo% de &n &ni!erso ,orado (or (ersonas (odraos conoces& edad% l&gar de naciiento% ni!el de escolaridad% clase social a .&e (ertenecen% etc* Estas (ec&liaridades son !ariablesTabi)n son !ariables% de &n &ni!erso ,orado (or a&to#!iles% s& arca% odelo% color% (otencia% etc*% +a .&e socaractersticas .&e !an cabiando de a&to en a&to*

Otra con,&si#n ,rec&ente se da con los datos estadsticos* Considereos estos eje(los6 7n@ero de '&elgas7 7(rod&cci#n de a"@car7* Si decios .&e el n@ero de '&elgas en &na regi#n + en &n (eriodo deterinados es A% estaoa(ortando in,oraci#n global del ,en#eno% .&e es &n dato estadstico% no &na !ariable* El n@ero de '&elgas se con!ierte e!ariable si se est&dia% digaos% en &n (eriodo deterinado + en di,erentes regiones% o en &na sola regi#n + en di,erente

(eriodos /an&alente% se?enalente% etc*5* Lo iso (asa si a,iraos .&e la (rod&cci#n de a"@car en el ingenio es


12/58


toneladas6 se trata de &n dato estadstico% no de &na !ariable* La (rod&cci#n de a"@car se con!ertir- en !ariable c&ando sindag&e en di,erentes ,-bricas + en &n iso oento o en &na isa ,-brica + en distintos oentos*

E)emplo 1.1 La tabla sig&iente &estra la (rod&cci#n de a"@car en la "a,ra 1300V1303% en c&atro ingeniosde los -s i(ortantes del (as /&ente6 Gan&al A"&carero Ge?icano% 133;5

Ingenio Prod&cci#n /iles de ton*5

El (otrero

Eiliano Wa(ataSan Crist#bal

Tala

18H*0

114*318F*F

118*F

E)emplo 1.0 A contin&aci#n se &estra la (rod&cci#n de a"@car en el Ingenio El Potrero% d&rante c&atro"a,ras consec&ti!as /&ente6 Ide% (* F9F56

Wa,ra Prod&cci#n

/iles de ton*5

0HV08 1F0*

08V04 14;*H04V09 180*;

09V00 1H4*4

Tabi)n a.& la (rod&cci#n es &na !ariable% (or.&e se registra en &na isa ,-brica /Ingenio El Potrero5 + en di,erenteoentos*

A'ora bien% toda !ariable tiene dos ni!eles6 &no conce(t&al o te#rico + otro o(eracional o de edici#n* Snos (reg&ntaran .&) se entiende (or alco'oliso% (or eje(lo% (odraos decir .&e se trata de &na en,ereda(rogresi!a + ortal% e?cl&si!a de los seres '&anos% .&e consiste en la ingesti#n de bebidas alco'#licas* De se-s o enos correcta esta de,inici#n% estaraos en el ni!el estrictaente conce(t&al o te#rico% .&e no (erite,ect&ar ning&na edici#n* Si% en cabio% a (artir de este conce(to de,inios al alco'oliso coo el &rado ddependenciade los seres '&anos res(ecto a la ingesti#n de bebidas alco'#licas% 'abreos (asado del ni!e

conce(t&al a otro donde es (osible edir% (&es en &na (oblaci#n dada encontraraos desde el .&e no 'a bebidja-s &na gota de alco'ol% el absteio% 'asta el .&e no (&ede dejar de beber*

La corres(ondencia entre el ni!el te#rico + el o(eracional de &na !ariable se consig&e ediante &n (rocediienllaadomedici!n.&e no debe entenderse coo &n (rocediiento arbitrario de asignaci#n de n@eros & otros sbolos a laobser!aciones6 esta asignaci#n se e,ect@a en concordancia con &n conj&nto de (rocediientos adisibles (ara la !ariablconce(t&al .&e SX est) anejando*

A ni!el o(eracional o de edici#n% !ariable es &n conj&nto de n@eros & otros sbolo< asignados a las obser!acione.&e sir!en (ara clasi,icarlas con res(ecto a &na !ariable conce(t&al Sin ebargo% no a'ondareos en esta c&esti#n< sers&,iciente% (or a'ora% .&e se(aos identi,ica !ariables% +a .&e del ti(o a .&e (ertene"can de(ender- el (rocediientestadstico con .&e se le< trate% tea .&e est&diareos -s adelante*


13/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD1F

TIPOS DE ARIABLES

$ipo de variable %unci&n ejemplosnominales 'lasificar (ombres , razas, grupos

ordinales )rdenaci&n. *ayor que +rado de estudios.lcoholismo

'ardinales 'ontinuas -ecimales-iscretas Enteros

-Variables cualitativas:on las variables que expresan distintas cualidades, caractersticas omodalidad. "ueden ser nominales u ordinales. a)Nominales./ablaremos de variable nominal cuando los datos correspondan a una variablecualitativa que se agrupa sin ninguna jerarqua entre s, como por ejemplo0 nombres depersonas, de establecimientos, raza, grupos sanguneos, estado civil. Estas variables no tienenningn orden inherente a ellas ni un orden de jerarqua.

b)Ordinales.i las categoras o valores que adopte una variable cualitativa poseen un ordensecuencia o progresi&n natural esperable, hablaremos de variable ordinal, como por ejemplo0grados de desnutrici&n, respuesta a un tratamiento, nivel socioecon&mico, intensidad deconsumo de alcohol, das de la semana, meses del a1o, escalas, etc.

-Variables cuantitativas o cardinales:on las variables que se expresan mediantecantidades numricas. dems pueden ser Continuas 'ualquier valor dentro de un intervalo. Estatura 2.32 cms. Discretas -eterminados valores dentro de un intervalo. olo enteros

1.7 TI%O DE 63RI38(E

Desde el (&nto de !ista conce(t&al% e?isten tres ti(os de !ariables6 noinales% ordinales< cardinales*

6aria-les nominales

Son las -s si(les + ab&ndantes + s& @nica ,&nci#n es clasi,icar* S& !ariable o(eracional corres(ondiente es

&na escala noinal .&e sir!e (ara clasi,icar las obser!aciones en &n conj&nto de categoras &t&aente


14/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD1H

e?cl&+entes%7 c&+o orden de colocaci#n es indistinto* A )stas se les (&ede asignar ci,ras & otros sbolos

arbitrarios con el ,in de disting&irlas< si son ci,ras% no tienen ning@n !alor intrnseco ni (ro(iedades n&)ricas

coo en la arit)tica*

En la tabla 1*F*1 obser!aos .&e los sbolos 1% % F + H% si bien son los isos .&e se e(lean (ara re(resenta

n@eros% no re(resentan sino distritos de riego< es decir% carecen de (ro(iedades n&)ricas* Ade-s% el orden .&e se les d) ela tabla es indistinto% +a .&e s#lo sir!en (ara disting&ir &n distrito de otro*Ta-la 1.7.1Distrito de rie&o 9ect*reas sem-radas

1 :;.>

11.A.A11.o debido al o!iiento arado de la Re!ol&ci#n Ge?icanaPoblaci#n r&ral6 enos de 8;; 'abitantes* &ente6 Censos generales de (oblaci#n% 13;;2134;*

La cabe"a de la tabla anterior nos dice% de anera clara + bre!e% .&e los datos se re,ieren a la (oblaci#n en&estro (as% tanto en el ca(o coo en la ci&dad% de 13;; a 13F; + .&e est-n e?(resados en illones* En ec&er(o a(arece ordenadaente el a>o% la col&na de totales + l&ego los s&andos co(onentes* Esta dis(osici#de la in,oraci#n ,acilita &na lect&ra co'erente*

Leeos% (or eje(lo% .&e en 13;; la (oblaci#n e?icana era de 1F illones 4;; il 'abitantes% de los c&ales illones 4;; il se encontraban en el edio &rbano + 11 illones en el edio r&ral% etc*

Al (ie de la tabla a(arecen alg&nas notas aclaratorias + la ,&ente de donde (ro!ienen los datos* Obs)r!es.&e si no se diera ning&na e?(licaci#n re,erida al a>o 131% se (odra (ensar .&e se escribi# al el inicio de ltercera d)cada del siglo% +a .&e los censos generales de (oblaci#n se reali"an cada decenio + al inicio del iso en&estro (as* Tabi)n esta (arte de la tabla nos dice lo .&e debeos entender (or (oblaci#n r&ral* Sin las notaaclaratorias al (ie de la tabla% el lector no .&edara e?ento de d&das*

Ta-la 0.1.7%roducci!n de a'+car en al&unas entidades /ico. 1AFA

Gilo&ramos

Entidad %roducci!n

CampecHealisco

icHoac*n6eracru'

7


19/58


En el c&adro *1*H no a(arece e?(lcita ning&na &nidad de edida< sin ebargo% el encabe"aiento% al (recisar .&e strata de al&nos de (rier ingreso (or es(ecialidad% nos 'ace co(render .&e la &nidad de edida% i(lcita% es 7&n al&no+ .&e esta &nidad corres(onde a la col&na de totales* As leeos .&e% de los HF al&nos .&e se inscribieron en la Esc&e

=oral S&(erior eracr&"ana 7Dr* Gan&el S&-re" Tr&jillo7 en 133;% 9F escogieron la es(ecialidad de Ciencias Sociales% etc*

Antes de dar ,in a este s&btt&lo% con la enci#n de alg&nas reglas b-sicas (ara la constr&cci#n de c&adrodeteng-onos en el signi,icado deunidad de medidade la .&e 'eos 'ablado en todos los eje(los anteriores*

(a unidad de medidaes el n@ero .&e indica las !eces .&e la &nidad /&no5 est- contenida en ella* La &nidad dedida 7ill#n de 'abitantes7 indica .&e la &nidad 7&n 'abitante7 est- contenida &n ill#n de !eces en la &nidad de edidtoada coo base* eaos &n (ar de eje(los6

E)emplo 0.1 Jnidad de edida6 ill#n de 'abitantes*

Para e?(resar en esta &nidad &n n@ero concreto% digaos 1F 4;9 83 'abitantes% si(leente se le di!ide entre &n ill#n*

1F 4;9 83V1 ;;; ;;; [ 1F*4;983

Este cociente% con *;1 de a(ro?iaci#n% se escribir- 1F*41< + con ;*1 de a(ro?iaci#n% 1F*4* En la (r-ctica% la di!isi#n seejec&ta entalente de &na sola !e" con la a(ro?iaci#n (re!iaente de,inida*E)emplo* Jnidad de edida6 toneladas*Para con!ertir el n@ero concreto 10 F8 ilograos a toneladas% basta con di!idirlo (or il + redondear% digaos% a ;*1< as10 F8 ilograos (odeos e?(resarlos coo 10*F toneladas*

La &nidad de edida (ara datos de !ariable discreta (&ede escribirse esc&etaente &tili"ando @nicaente l(alabra .&e indica el n@ero de !eces .&e la &nidad est- contenida en ella* ol!iendo al eje(lo 1% en !e" describir 7illones de 'abitantes7% basta con escribir 7illones7 en el encabe"aiento de la tabla*

La ,inalidad de introd&cir &nidades de edida en &n c&adro estadstico es si(li,icar datos .&originalente son del orden de iles% cientos de iles% illones% etc* Esta si(li,icaci#n% si se le aco(a>a deredondeo correcto% no (rod&ce errores signi,icati!os en los datos originales + ,acilita enoreente la lect&ra an-lisis de los isos* Por esta ra"#n% se recoienda &tili"ar &nidades de edida adec&adas c&ando los datos .&se anejan son% (or lo enos% del orden de iles*

Importante?en todo c&adro .&e (resenta datos concretos% es decir% datos .&e se re,ieren a !ariablees(ec,icas% sie(re e?iste la &nidad de edida% e?(lcita o i(lcita* A'ora bien% lo .&e 'eos tratado de e?(lica@ltiaente es la necesidad de introd&cir% c&ando sea necesario% &nidades de edida adec&adas .&e den cores&ltado la si(li,icaci#n +% (or lo tanto% la ,acilidad de la lect&ra de los datos*

Este as&nto de la si(li,icaci#n de datos introd&ciendo &nidades de edida% se debe aclarar desarrolland&n eje(lo*


20/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD;

Eje(lo *F Si(li,i.&eos el c&adro sig&iente6 Tabla *1*8

oluci!n?Esta tabla contiene in,oraci#n sobre el n@ero de coidas ser!idas entre 139; + 139F en la Re(@blica de C'ileLa &nidad de edida% i(lcita% es 2e!identeente2 7&na coida7* As% (&es% sabeos .&e% dentro del (rograa dalientaci#n escolar en C'ile% en 139; se sir!ieron 413 134 coidas + .&e F a>os des(&)s% (or eje(lo% se sir!ieron 49H 9Si anali"aos &n (oco estos n@eros% nos daos c&enta .&e el re(ortarlos con (recisi#n de &nidades no tiene ning&na !entaja

(or lo contrario% esa (recisi#n !&el!e tediosa la lect&ra + di,ic&lta el an-lisis* Bien (odeos decir 413 il coidas en 139;49H il tres a>os des(&)s*

Esto nos indica .&e res&lta con!eniente introd&cir en el c&adro &na &nidad de edida .&e si(li,i.&e la in,oraci#n% side,orarla de odo inadisible% + .&e ,acilite la lect&ra + el an-lisis* Podraos eter c&al.&ier &nidad de edida6 decenacientos% iles% decenas de iles% illones% decenas de illones% etc* =o obstante% la -s adec&ada% dado el orden n&)rico dlos datos% es 7iles7* As% basta con di!idir (or 1 ;;; cada dato + redondear el cociente 'asta el lite (erisible% .&e en estcaso (&ede ser a enteros* Estas sencillas o(eraciones arit)ticas (rod&cen la tabla *1*4% en la c&al se nota .&e el !alor de lodatos si(li,icados 'a cabiado ligeraente con res(ecto a los originales% sin .&e ello i(li.&e de,oraci#n inace(table*

Ta-la 0.1.:Prograa de alientaci#n escolar* Coidas ser!idas* C'ile* 139;2139F/iles5

A>o Total

139;1391139139F

413*;48H*;914*;49H*;

&ente6 LI(act de la Recession Gondiale 130H% (* 1F1% est&dio (&blicado(or s&r les En,ants% el J=ICE*

Reateos la e?(licaci#n del (rocediiento de constr&cci#n de tablas desarrollando &n (ar de eje(los*

E)emplo 0.= El An&ario Estadstico 130H de la ac&ltad de Sociologa de la Jni!ersidad eracr&"ana% nos dice .&e 'as130F 'aba 1F9 egresados de los c&ales 0; eran 'obres + 89 &jeres% re(artidos coo sig&e6 la (riergeneraci#n% salida en ,ebrero de 1301% est&!o ,orada (or 19 'obres + 11 &jeres< la seg&nda% en agostde 1301% (or F + 18< la tercera% en ,ebrero de 0% (or 11 + 1;< la c&arta en agosto de 0% (or 8 + 1 + l.&inta% en agosto de 0F% (or H + ;* Presenteos esta in,oraci#n en &na tabla*

oluci!n?El (rier (aso consiste en locali"ar los eleentos .&e ,oraran el encabe"aiento% el c&er(o + el (ie* Si leeocon deteniiento la in,oraci#n% nos dareos c&enta .&e se re,iere a la ac&ltad de Sociologa de la J**< (or lo tanto% )sta eel &ni!erso* Las !ariables objeto de est&dio son6 7=o* de egresados (or generaci#n7 + 7se?o7* La &nidad de edida es $$&egresado7% .&e en el encabe"aiento .&edara i(lcita* El (erodo !a de ,ebrero de 1301 a agosto de 130F* Ade-encontraos la ,ec'a de egreso de cada generaci#n* Por lo tanto% el encabe"aiento (odra ser el sig&iente6

E&resados por &eneraci!n #ecHa de e&reso " se/o. 2ac. de sociolo&a U.6. 2e- ;1 B3&o ;7


21/58


El c&er(o tendra cinco col&nas6 7generaci#n7% 7,ec'a7 /de egreso5 +% res(etando el (rinci(io de lo general a lo (artic&lar% el n@ero degresados 7'obres7 + el de 7&jeres7% (recedido del 7total7*

,eneraci!n 2ecHa Total 9om-res u)eres

En ,in% el c&adro seria el sig&iente6

Ta-la*1*9E&resados por &eneraci!n #ecHa de e&reso " se/o. 2ac. de sociolo&a U.6. 2e- ;1 B 3&o ;7

Keneraci#n ec'a Total 1F9 obres 0; G&jeres 89

La ,eb01 0 19 11

a ago 01 F0 F 18

Fa ,eb0 1 11 1;

Ha ago 0 4 8 1

8a ago 0F HH H ;

Eje(lo *8 En el ol* 0 de la Enciclo(edia de G)?ico /Fa* ed*% 1390% (* 3315 leeos el sig&iente (-rra,o re,erente al n@ero de !i!ienddel (as6 7***Del total /0%04%F435% %H3H%38; /F;*1:5 tienen &ros de adobe% F%480%1H4 /HH*1:5 de ladrillo + %1FF%9/8*0:5 de adera & otros ateriales***7 Esta in,oraci#n es !-lida (ara 139;% (&es el libro dice .&e (ro!iene del ICenso Keneral de Poblaci#n* Constr&+aos dos c&adros6 &no .&e e?'iba esta in,oraci#n + otro con la in,oraci#

si(li,icada% introd&ciendo &na &nidad de edida adec&ada*oluci!n?La in,oraci#n se re,iere a las !i!iendas en el (as< (or lo tanto% )stas son el &ni!erso* La !ariable es 7ti(o de aterial de s&&ros7* La &nidad de edida es 7&na !i!ienda7 + el (eriodo% 139;* As el encabe"aiento (odra ser )ste6

6iviendas por tipo de material de sus muros. /ico. 1AF TERINO(O,@3 RE(3TI63 3 DITRI8UCIONE DE 2RECUENCI3

S&(#ngase .&e en la tabla *H*1 las categoras de la !ariable re(resentan las edades de &n gr&(o de (ersonas< si sdi!ide cada &na de s&s ,rec&encias entre s& total% se obtiene &na #recuencia relativa e?(resada en deciales .&e% si s&lti(lica (or 1;;% se e?(resa en (orcentaje* Esta serie de ,rec&encias relati!as (&ede ser ane?ada a la distrib&ci#n d,rec&encias% coo se il&stra a contin&aci#n6

Ta-la 0.>.15 % f.r.678

23 2 9

2: ; 2os de edad* C&ando se 'abla en t)rinos (orcent&ales% se transite &na ideco(leta de la i(ortancia relati!a de &na caracterstica dentro de &n &ni!erso* Por esta ra"#n% sie(re es recoendable% co,ines de (resentaci#n% ane?ar la col&na de ,rec&encias relati!as en : a toda distrib&ci#n de datos .&e (resente &na so!ariable*

Por otra (arte% si se .&isiera saber el n@ero de (ersonas c&+as edades ,&esen% digaos% desde 19 'asta 1 a>os% s(rocedera a s&ar% es decir% a ac&&lar las ,rec&encias del dato 19 'asta la del dato 16 1\F\\F\8[ 1H* Esta ci,ra re(resen

la #recuencia acumulada 'asta el dato 1 + tiene &n signi,icado bien (reciso6 del total de (ersonas est&diadas% 1H tieneedades desde 19 'asta 1 a>os* Claro% si en l&gar de 'aber s&ado las ,rec&encias absol&tas del eje(lo% se '&biesen s&ads&s res(ecti!as ,rec&encias (orcent&ales% se 'abra obtenido6 H\1 \ 0 \ 1 \ ; [[ 84% dato .&e sera la #recuencacumulada relativade claro signi,icado6 del total de (ersonas% el 84: tienen edades desde 19 'asta 1 a>os*

Con lo anterior +a no es di,cil entender .&e% si se ac&&lan las ,rec&encias absol&tas de dato a dato en todo erecorrido de &na !ariable% res&lta &na distri-uci!n de #recuencias acumuladas d # a .El (rocediiento (ara constr&ir esti(o de distrib&ci#n es &+ sencillo6

1* Se a>ade a la distrib&ci#n de ,rec&encias &na tercera col&na + se escribe en ella% en laisa ,ila del dato enor% la ,rec&encia de )ste*

* Se s&a a esta ,rec&encia la corres(ondiente al seg&ndo dato / 1 \ F [ H5< el res&ltado se anota en la tercera col&na*

F* Se s&a a la ,rec&encia anterior la corres(ondiente al tercer dato /H \ [[ 45% se anota + as s&cesi!aente*

Tabi)n se (&ede seg&ir este (rocediiento e(e"ando (or la ,rec&encia si(le del dato a+or* Inde(endienteentdel (&nto de (artida% la ,rec&encia ac&&lada del @ltio dato es sie(re ig&al al total de ,rec&encias% o sea% al total de dato/=5*

C&ando la ac&&laci#n de ,rec&encias e(ie"a (or la ,rec&encia si(le del dato enor% la distrib&ci#n .&e se generrecibe el nobre dedistri-uci!n de #recuencias acumuladas ascendente. ,*a*/\5


25/58


Tabla *8*7 verla en Kord1 0 7 = > : F

Total 0> columnas 7 con 0 # = con 0 iiL# > con 7 iiL#r : con 0 it F con 7 it 1


26/58


se deterina el n@ero de casos (ertenecientes a cada clase% o sea% la ,rec&encia de clase* Jna ordenaci#n de lacategoras de la !ariable en clases% re&nidas todas% e indicada la ,rec&encia de cada &na recibe el nobre ddistri-uci!n en clases " ,rec&encias*

Eje(lo0.: Obser!eos el c&adro sig&iente6 Tabla0.:.1

A&to#!iles en circ&laci#n seg@n tie(o de ser!icioA>os =@ero de a&to#!iles 9;

;2 1 ;

2 F F;

Liite in, H H2 8 H;

Liite s&( 8 4 2 9 H;

Liite real in, F*8 02 3 8;

Liite real s&( 8*8 1;21 9;

A(lit&d o Anc'&ra a(arente 1 1F214 9

A(lit&d o Anc'&ra real 192; 0

P&nto edio H*8 12F; 8

En este c&adro la (riera clase !a de ; a 1 a>os + 'a+ ; a&to#!iles /,rec&encia de clase5 c&+o tie(o de circ&laci#n caedentro de esos lites< la seg&nda clase !a de a F a>os e incl&+e a F; a&to#!iles% etc*

*9 TERGI=OLOKA RELATIA A DATOS AKRJPADOS

Regreseos a los inter!alos del c&adro anterior% (ero ol!id-ndonos (or a'ora de .&e indican el tie(o decirc&laci#n% edido en a>os% de &n conj&nto de a&to#!iles< (enseos solaente .&e se re,ieren a &na !ariablecontin&a*

Jn sbolo coo 4 29 se conoce cooclase o intervalo de clase.Los n@eros .&e a(arecen en ese sbolo son lolmites enunciados in#erior " superior.La distancia entre el lite o ,rontera in,erior + el lite o ,rontera s&(erior de &inter!alo% recibe el nobre de amplitud o ancHura aparentede ese inter!alo* C&ando s#lo se dice a(lit&d o anc'&ra% s

sobreentiende .&e es la a(arente* En el c&adro *4*1 se obser!a .&e la anc'&ra de los (rieros cinco inter!alos es 1< la dse?to% < la del s)(tio + octa!o% F< la del @ltio% 3*Toeos a'ora &n inter!alo c&al.&iera% (or eje(lo 0 2 3* Es claro .&e contiene todos los datos a+ores o ig&ales .&e 0 enores o ig&ales .&e 3* Pero% d#nde estaran datos coo 9*9 # 3* =#tese .&e 'a+ &n es(acio entre 9 + 0 + otro entre 3 1;< son res&ltado del odo en .&e se 'i"o el agr&(aiento6 son es(acios a(arentes% +a .&e los datos (ertenecen a !ariabcontin&a* As% los lites reales% in,erior + s&(erior% del inter!alo 023 son 9*8 + 3*8% res(ecti!aente** A'ora +a no 'a+ d&da d.&e datos coo 9*9 # 3* caen tabi)n en el inter!alo 023*

Los (&ntos locali"ados a la itad de todos los es(acios a(arentes de &n conj&nto de inter!alos de clase se llaalmites o #ronteras reales de clase.En el eje(lo% los lites reales son ;*8% 1*8% F*8% 8*8% ***% ;*8 + F;*8* Estos lites debeser &tili"ados (ara deterinar la a(lit&d real de &n inter!alo* Por eje(lo% la a(lit&d real del inter!alo 0 2 3 es 3*8 2 9*8 [ la del inter!alo 1; 2 1 es 1*8 2 3*8 [ F< etc* Esto e!idencia .&e el c&adro *4*1 re(resenta &na distrib&ci#n c&antitati!a d

,rec&encias en la c&al la a(lit&d real de s&s inter!alos no es constante$* A'ora bien% (or sencille" en &na tabla se da'abit&alente% lites en&nciados< (ero se 'a de s&(oner sie(re .&e los datos est-n agr&(ados de ac&erdo con los litereales* Por lo iso%todos los c*lculos que involucran lmites se e#ect+an con lmites reales5s#lo en la sencilla o(eraci#

(ara 'allar el (&nto edio de &na clase% a(arte de lites reales% se (&eden &sar lites en&nciados*

Jn caino (ara encontrar elpunto medio o marca de clasede &n inter!alo es deterinar la a(lit&d a(arente d)ste% di!idirla entre dos + s&ar el cociente al lite in,erior del inter!alo* Si se usan lmites reales entonces se determina amplitud realse la di!ide entre + se s&a el res&ltado al lite real in,erior del inter!alo*

E)emplo*9 Toando de n&e!o el c&adro *4*1% deterineos la arca de clase del inter!alo 1F 2 14*


27/58


oluci!n?Con los lites en&nciados6

Amplitud[ 1421F [ F 1V/F5 [ 1*8Marca de clase =1F\1*8 [ 1H*8

oluci!n?Con los lites reales6Amplitud real (j) =14*821*8 [ H

1V/j5 [ 1V/H5 [ Marcadeclase[ 1*8\ [ 1H*8

$C&ando la a(lit&d real/ + ob!iaente % la a(arente5 de todos los inter!alos de &na distrib&ci#es constante% se (&ede 'ablar a(ro(iadaente de la a(lit&d de la distrib&ci#n* si todas la clases tiene&na anc'&ra real% digaos% de F a>os se dice .&e se trata de &na distrib&ci#n c&+a anc'&ra% real es de Fa>os*

Desde el (&nto de !ista conce(t&al% la marca de clase de un intervalo puede ser inter(retadacomo valor donde se concentran todos los datos pertenecientes a ese intervalo.

0.; RECUENTO DE D3TO

Antes de e?(licar c#o agr&(ar conj&ntos de datos en inter!alos de clase% est&dieos dos (rocediientosde conteo r-(ido + si&lt-neo de los casos .&e caen en las distintas categoras de &na !ariable deterinada* Eesencia% abos consisten en 'acer% (or cada obser!aci#n% &na arca% (or lo co@n &na ra+ita% .&e se coloca a lderec'a de la categora corres(ondiente* Estas arcas se !an cerrando% (or decirlo as% en gr&(os de cinco% con e,in de .&e se ,acilite% al ,inal del rec&ento% ediante &na si(le o(eraci#n ental% la deterinaci#n de la,rec&encias de cada categora* El c&adro sig&iente il&stra dos )todos de conteo en gr&(os de cinco*

Tabla0.;.1

El )todo alternati!o consiste en &na ra+ita !ertical + otra 'ori"ontal% seg&ida de dos diagonales .&,oran &na estrella< la c&al% ,inalente% se encierra en &n crc&lo (ara co(letar el conteo de cinco en cincA este (rocediiento (odraos darle el nobrede estrellas circunscritas.Si se est- &+ ,ailiari"ado con el de ra+itas% alternati!o (&ede (arecerle di,cil al (rinci(io< esta i(resi#n% sin ebargo% desa(arece r-(idaente con la (r-ctica*


28/58


2.9 3,RU%3IENTO DE D3TO EN INTER63(O DE C(3E

La (r-ctica constante en el anejo de conj&ntos de datos di!ersos + n&erosos% nos !a 'aciendo desarrollar alg&nat)cnicas @tiles (ara agr&(arlos c&ando es necesario* Por esta ra"#n% basta .&e nos ,ailiariceos con &na t)cnica b-sica .&il&straos a contin&aci#n6

E)emplo 0.; Co(roetidos en &na in!estigaci#n sobre los e(leados de &n s&(erercado% aco(iaos datos sobre di!ersa!ariables% &na de las c&ales es la edad* La in,oraci#n es la sig&iente6

;<


29/58


H* Establecidas todas las clases% se deterina el total de datos .&e caen en cada clase% es decir% la ,rec&encia de clase*

$En la (r-ctica% el total de datos (otenciales rara !e" es di!isible (or el n@ero de inter!alos elegido< esto lle!a a constr&ir &n inter!alo 2(riero o el @ltio2 con a(lit&d enor o a+or a la de los inter!alos restantes* Otras !eces% 'abiendo constr&ido todos los inter!alos coa(lit&d constante% res&lta (or lo enos &no con ,rec&encia &+ baja% lo c&al lo 'ace inj&sti,icable coo inter!alo (or.&e no &estning&na concentraci#n de datos< en este caso las alternati!as son di!ersas% (ero todas (arten de esto6 a5 los inter!alos (&eden tenea(lit&des constantes o !ariables< b5 los inter!alos (&eden tener abierto &no de s&s lites% el in,erior si es el (rier inter!alo% o el s&(eriosi es el @ltio* Con todo% es recoendable constr&ir% cada !e" .&e se (&eda% distrib&ciones de a(lit&d constante* Esto ,acilita lre(resentaci#n gr-,ica + (erite co(araciones adec&adas% entre otras cosas*

Cuadro 0.A.0Edad Trabajadores 9;

1021 1;

28 3

423 13

F;2FF 1

FH2F9 3

F02H1 H

H2H8 9

El (rocediiento de agr&(aiento en clases est- terinado* Se trata de &na distrib&ci#n c&+a a(lit&d real es de H a>os* Estcaracterstica (erite decir% en &n caso coo )ste% .&e se 'a 'ec'o el agr&(aiento (or gr&(os c&atrienales de edad* A'or

bien% si se e?aina detenidaente la distrib&ci#n obtenida% se desc&brir- .&e el agr&(aiento tiene &na !entaja + &ndes!entaja e!identes* En c&anto a la (riera% se logra la (resentaci#n de la asa de datos en &na sencilla estr&ct&ra% .&,acilita el 'alla"go de las relaciones .&e (&ede 'aber entre ellos* En c&anto a la seg&nda% es claro .&e e?iste &na ()rdidine!itable de &na b&ena (arte del detalle original de los datos* Obs)r!ese .&e no es (osible saber c&-ntos trabajadores tienen

(or eje(lo% 10 a>os de edad # FF< ade-s% ni si.&iera se (&ede aseg&rar .&e 'a+a 'abido trabajadores .&e re(ortaran tener Fa>os /!id* tabla *3*15* Esta ()rdida de detalles ser- a+or c&anto enor sea el n@ero de inter!alos o% lo .&e es lo isoc&anto a+or sea la a(lit&d de los inter!alos* Con todo% la sola !entaja encionada j&sti,ica el agr&(aiento en clases*

Tablas* Resol&ci#n de (robleas


30/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADF;

0.1< ,RM2ICO ET3D@TICO

Si &no de los objeti!os de la estadstica es co&nicar los res&ltados de &na in!estigaci#n de anera clara% concisa +signi,icati!a /!id* 1*15% las re(resentaciones gr-,icas de esos res&ltados no obedecen a &na intenci#n eraente est)tica% sino.&e son &n !alioso rec&rso (ara ,acilitar el objeti!o*

Concentrados los datos en &na tabla + de(endiendo de s& nat&rale"a + ,inalidad% se (&ede 'acer la re(resentaci#ngr-,ica corres(ondiente*

Un &r*#ico estadsticoes la re(resentaci#n de datos estadsticos (or edio de ,ig&ras geo)tricas /(&ntos%lneas% rect-ng&los% etc*5% c&+as diensiones son (ro(orcionales al !alor n&)rico de los datos

*

S& ,in (rinci(al es (eritir% de &n solo !ista"o% la ca(taci#n r-(ida del conj&nto de caractersticas (resentadas +e!idenciar s&s !ariaciones en intensidad* El gr-,ico% coo +a se encion# en el (rier (-rra,o del s&btt&lo *1% est- basado ela tabla estadstica% (ero tiene s&s liitaciones6

1* =o (&ede re(resentar tantos gr&(os de datos coo &na tabla* Esta (&ede tener H% 4 # -scol&nas de datos% (ero &n gr-,ico .&e re(resentara &n gran n@ero de indicadores di,ic&ltara s& inter(retaci#n*

* Contrario a la tabla% donde (&eden darse !alores e?actos% en el gr-,ico% (or lo general% s#lo (&eden darse !alorea(ro?iados* En la tabla (&eden (resentarse incl&so (esos + centa!os% (or citar &n eje(lo% (ero tal e?actit&d ei(osible en &n gr-,ico* En s&a% )ste no toa en c&enta los detalles + no (&ede alcan"ar la isa (recisi#n .&e &ntabla estadstica*

El gr-,ico es @til (ara dar &na r-(ida idea de la sit&aci#n general .&e se est- anali"ando< (erite deterinar% (or &si(le e?aen% el -?io + el nio de las !ariaciones de &n ,en#eno% (oniendo de relie!e lo .&e debe toarse en c&entes(ecialente*

A&n.&e e?isten &c'os ti(os de gr-,icos% est&diareos @nicaente los -s &s&ales6 alg&nos gr-,icos de barra + lneel gr-,ico circ&lar + el (ictograa*

Sal!o el gr-,ico circ&lar + el (ictograa% los de barra + de lnea se dib&jan en el arco de &n sistea rectang&lar d

coordenadas% en el c&al% dic'o sea de (aso% el c&adrante I es el -s &tili"ado% debido a .&e la inensa a+ora de las !ariable.&e se est&dian generan cantidades (ositi!as*

0.11 3(,UN3 RE,(3 %3R3 (3 RE%REENT3CIN ,RM2IC3

1* C&ando se 'ace la re(resentaci#n gr-,ica de &na sola !ariable% es cost&bre indicar losdatos de )sta en el eje 'ori"ontal*

* Coo ab&ndan las !ariables .&e de(enden del tie(o% las &nidades en .&e se e?(rese )stese colocan en el eje 'ori"ontal /'oras% das% eses% a>os% etc*5*

F* Al re(resentar los datos de dos !ariables /%Y5% cada &na .&eda asociada a &no de los ejes* Se acost&bra (oner lo!alores de la !ariable .&e se considera inde(endiente en el eje 'ori"ontal /eje de las abscisas5 + los !alores de las de(endienteen el eje !ertical /eje de las ordenadas5*

H* En alg&nos casos% dadas d/ 2 !ariables% &na (&ede de(ender de la otra o abas de &natercera< en tal caso% la asignaci#n de los ejes a las !ariables es arbitraria*

8* La dis(osici#n general de &n diagraa debe a!an"ar de i".&ierda a derec'a* ] Se debe (roc&rar .&e a(are"ca en

diagraa la lnea corres(ondiente al cero*

9* C&ando la lnea del cero no (&eda a(arecer de odo noral en el diagraa% se lere(resenta &til-ndola coo sig&e6


31/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADF1

0* Las dos escalas deben g&ardar (ro(orcionalidad% de s&erte .&e el gr-,ico no d) la i(resi#n de !ariaciones &+ (e.&e>ao &+ e?ageradas* La a+or objeti!idad !is&al se logra con la re&la de los tres cuartos de altura.&e (&ede ser en&nciadcoo sig&e6

En la re(resentaci#n gr-,ica se debe constr&ir el eje !ertical de tal odo .&e la alt&ra del (&nto -?io /.&ere(resenta el dato asociado a la ,rec&encia -s alta5 seaapro/imadamente i&uala FVH de la longit&d .&e edia entre el

origen + el @ltio dato indicado en el eje 'ori"ontal*

S&gerios anejar esta regla cada !e" .&e se (&eda% +a .&e e?iste &n &so enga>oso% no (oco ,rec&ente% de lat)cnicas de re(resentaci#n gr-,ica* Basta con anejar a>osaente los ejes de coordenadas (ara dar i(resiones radicalendi,erentes6 Si se e?tienden las abscisas en relaci#n a las ordenadas% las di,erencias entre los datos (arecen red&cidas< si% ecabio% se e?tienden las ordenadas con res(ecto a las abscisas% las di,erencias (arecen e?ageradas$*

Jn gr-,ico se considera terinado c&ando c&(le con estos re.&isitos6

1* El tt&lo de la tabla .&e dio origen al gr-,ico debe a(arecer arriba + ,&era de )ste< el (erodo se escribe debajo del tt&lo< &nidad de edida (&ede ,orar (arte del encabe"aiento% .&edando debajo del (erodo% o ,&era del gr-,ico.&edando a &n lado o arriba de la escala n&)rica* Esto @ltio es lo -s &s&al /!id* gr-,ico *1*15*

* C&ando en &n gr-,ico a(arecen las categoras de -s de &na !ariable% se re(resentan (or la isa ,ig&ra geo)trica% (erdisting&i)ndolas (or di,erente color% sobreado & otra caracterstica* El signi,icado de esta di,erenciaci#n se colocar-% d

(re,erencia% dentro del gr-,ico iso< (ero si esto no es (osible% en s& (arte e?terior*

*1 KR^ICO DE BARRAS


32/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADF

Es &no de los ejores (ara reali"ar co(araciones de datos estadsticos% (or.&e ade-s de re(resentar los !aloreabsol&tos o relati!os de los datos en s% da &na iagen de c#o se re(arten los eleentos del conj&nto res(ecto al total* Lconstr&cci#n de este gr-,ico se basa en la re(resentaci#n de &n !alor n&)rico (or &n rect-ng&lo% c&+a longit&d e

(ro(orcional a ese !alor* Lo -s i(ortante es la deterinaci#n de la longit&d o alt&ra de los rect-ng&los .&e re(resentan lo!alores de los datos% +a .&e del c-lc&lo correcto de esta edida de(ende la co(araci#n de los !alores* El c-lc&lo se reali"ediante regla de tres si(le% &na !e" establecida la corres(ondiente ig&aldad entre &na &nidad de !alor + &na &nidad d

edida* La ig&aldad se establece entre el dato a+or + &na edida deterinada*

E)emplo 0.A Calc&leos la alt&ra de los rect-ng&los corres(ondientes a los datos c&+as ,rec&encias ointensidades n&)ricas son6


33/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADFF

Todas las barras deben (artir de &na 'ori"ontal llaada lnea -ase(ara (oder 'acer co(araciones entrlas diensiones de las isas (or &na si(le + r-(ida ins(ecci#n*

Anc'o de las barras

Es ar-itrario(erotiene que ser i&ual paratodas las barras de &nmismogr-,ico* De(ende deln+mero de dato

.&e se !a+an a re(resentar" deles(acio dis(onible (ara la constr&cci#n del &r*#ico.

Se(araci#n entre las barras

(as -arrasdeungr-,icopueden o no estarse(aradas% de(endiendo del tipode !ariableque representen. De-Ha-eres(acio entre &na + otra c&ando los datospertene'can a!ariable noinal &ordinal. DicHoes(acio no debeser meno.&ela mitaddelancHode &na barra ni a+or .&e el ancHo de laisa + 'a de seri&ual entre todaslas barras* C&ando lodatos son de !ariable cardinalno de-e Ha-erse(araci#nentrelas-arras.&e losrepresentan.Inde(endienteente de la !ariable% se debe dejar es(acio entre el origen de coordenadas + la (riera barra*

Con los eleentos dados desde el inicio de este ca(t&lo% (odeos a'ora constr&ir c&al.&ier gr-,ico (ara distrib&ciones de &nsola !ariable* E?(licareos el (rocediiento general con &n eje(lo*

Eje(lo0.1


34/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADFH

F8 F4F k =9*8 c 1F F;3 k[[ *0 c 1 008 k =*9 c 1; 4HH k =* c 4HH k =H*0 c H 83=3*; c

8* Se a(ro?ia la ,rec&encia -s alta de la distrib&ci#n id n@ero inediataente a+or .&e (erita &na di!isi#a(ro(iada del eje !ertical% (re,erenteente en decenas% o &n s&b@lti(lo o @lti(lo de 1;% res(ecto a la &nidad dedida de la distrib&ci#n* Ese n@ero% en este eje(lo% es 8; ;;;% .&e se &lti(lica (or (ara conocer el n@ero d&nidades de longit&d .&e le corres(onden*

8; ;;; k =1;*4 c

L&ego se (arte 1;*4 entre 8% (ara 'allar la longit&d e.&i!alente a 1; ;;; illones de (esos* En otras (alabras% estas o(eracione(eriten ,raccionar al eje de las ordenadas en 8 (artes ig&ales% cada &na de las c&ales es &na &nidad con!eniente (ara la lect&r+ el dib&jo del gr-,ico*

4* inalente se dib&jad gr-,ico ane?-ndole las indicaciones nias necesarias (aras& ,-cil co(rensi#n% seg@n las reglas con!encionales /s&btt&lo *115*

,r*#ico 0.10.1

Presupuesto para seis municipios de los ms importantes del Estado de Veracru* &++&

&ente6 Legislat&ra del Estado de eracr&"* Direcci#n de Contad&ra + Klosa% 1331*

0.17 ,RM2ICO CIRCU(3R

Se le llaa tabi)n&r*#ico de pastel+ es bastante @til (ara re(resentar (ro(orciones o (orcentajes* Es% de 'ec'o% &n,ora alternati!a al gr-,ico de barras (ara re(resentar &na distrib&ci#n de !ariable noinal* En s& constr&cci#n se &tili"a &ncirc&n,erencia% c&+o circ&lo se di!ide en sectores tales .&e s&s edidas ang&lares sean (ro(orcionales a los !alores .&re(resentan* Esas edidas se obtienen% al ig&al .&e (ara el ti(o de gr-,ico +a est&diado% ediante &na regla de tres si(le% &n!e" .&e se establece la relaci#n entre &na &nidad de edida + &na &nidad de !alor* Sin ebargo% en este caso (artic&lar res&lttoda!a -s si(le% +a .&e el ,actor constante .&e s&rge de la relaci#n es sie(re el iso en todos los casos% debido a .&toda circ&n,erencia se di!ide con!encionalente en F4;_ + la s&a de todos los datos de &na distrib&ci#n deterinad

e.&i!ale al 1;;:* As% la relaci#n .&e se establece es6;@>G F 2>>7 ;.@

Dic'a relaci#n da el n@ero de grados (or cada &nidad (orcent&al* Consec&enteente% (ara encontrar la edidang&lar .&e corres(ondera a &n conj&nto de ,rec&encias (orcent&ales c&+a s&a es 1;;:% se &lti(lica cada &na de )stas (oF*4*$

Los est&diosos de estas c&estiones 'an deostrado .&e% (ara lograr la #(tia legibilidad% los sectores deben sedib&jados de a+or a enor a (artir de la (osici#n .&e e.&i!aldra en &n reloj a las 1 'oras en (&nto + en sentido de laanecillas*


35/58


Il&strareos el (rocediiento a contin&aci#n*

E)emplo 0.11 Constr&+aos &n gr-,ico circ&lar .&e re(resente la in,oraci#n de la tabla *1*1*

Instr&entos necesarios6 regla% co(-s + trans(ortador* %rocedimiento?

1* Se s&an las ,rec&encias de las categoras de la !ariable /si la s&a o total no

a(arece en la tabla5* En n&estro eje(lo a(arece6 1F9 HF9*

* Se e?(resan todas las ,rec&encias en (orcentaje* Para ello% seg@n a(rendios en el s&btt&lo *8% se di!ide cada &na entel total + el cociente se &lti(lica (or 1;;* La s&a de los (orcentajes debe dar 1;;:*

F* Se &lti(lican las ,rec&encias (orcent&ales (or el ,actor constante F*4< esto da la edida ang&lar del sector re(resentati!de cada (orcentaje* La s&a de las edidas ang&lares debe dar F4;_< a !eces% (or e,ecto de redondeo% se (resentalg&na di,erencia insigni,icante* Esto carece de i(ortancia< si la di,erencia es -s o enos &n grado% se le resta a&enta al sector -s grande al oento de tra"arlo*


36/58


0.1= %ICTO,R33

Es &no de los gr-,icos .&e -s atrae la atenci#n del lector% ra"#n (or la c&al se rec&rre a )l con ,rec&encia* Consiste ere(resentar% (or edio de ,ig&ras% deterinadas agnit&des* S& des!entaja (rinci(al es .&e no (erite co(aracionesatis,actorias*

Para constr&irlo se (rocede as6

1*2Se escoge &na ,ig&ra al&si!a al as&nto .&e se describe + se le asigna &n !alor o &nidad de edida**2Las cantidades enores .&e la &nidad de edida se re(resentan ediante &n sbolo &tilado*F*2Terinado el gr-,ico% se a>aden las indicaciones necesarias (ara s& ,-cil lect&ra* eaos6

E)emplo 0.10 Re(resenteos (or edio de &n (ictograa la in,oraci#n sig&iente6

Ta-la 0.1=.1

Entidades ,ederati!as$ con -s de ;; bibliotecas* G)?ico* 130;Entidad =o de bibliotecas

`alisco 0

G)?ico 8=&e!o Le#n ;;

Oa?aca 98

P&ebla F;

eracr&" F18

Z E?cl&ido el D**&ente6 Agenda estadstica% 1393% (* 90% Secretaria de Prograaci#n + Pres&(&esto*

oluci!n?Al&si!a a &na biblioteca (odeos escoger% (or eje(lo% la ,ig&ra de &n libro abierto% al c&al le asignaos$$ el !alode 78; bibliotecas7* De esta decisi#n sale el sig&iente (ictograa6

Esta asignaci&n depender siempre del tama1o de los datos que queramos representar, est en funci&n del espacio disponible y s&lo se pide

que facilite la lectura aproximada rpidamente.

,ra#ico 0.1=.1

Entidades ,ederativas con ms de # bibliotecas-/01ico. &+2

$ E?cl&ido el D** &ente6 Agenda estadstica% 1393% (* 90% S*P*P*


37/58


*18 ISTOKRAGA Y POLKO=O DE RECJE=CIAS

Se da el nobre deHisto&ramasa los gr-,icos de barras c&ando re(resentan !ariables cardinales% (rinci(alentecontin&as* Si se &nen con segentos de recta los (&ntos edios de los tec'os de los rect-ng&los% res&lta &npol&ono de#recuencias.

E)emplo 0.17 Constr&+aos tanto el 'istograa coo el (olgono de ,rec&encias de la tabla sig&iente6

Tabla *18*1Edad de los e(leados del s&(erercado

A>os Total 9; : 1;;

1021 1; 1H

28 3 1F

423 13 9

F;2FF 1 19

FH2F9 3 1F

F02H1 H 4

H2H8 9 1;

Este c&adro es el iso .&e el *3* del eje(lo *9< se le 'a a>adido @nicaente la col&na de ,rec&encias (orcent&ales% con el ,in dj&sti,icar las identi,icaciones di,erentes de abos c&adros*

Procediiento6

1* Las siete categoras de la !ariable cardinal contin&a est-n agr&(adas en inter!alos de a(lit&d constante< (or lo tanto% se &sar-n sierect-ng&los del iso anc'o% &nidos entre s*

* Tra"ados los ejes coordenados% se (rocede a arcar el inicio + el t)rino de cada barra% 'abiendo ,ijado (re!iaente s& anc'&r

P&esto .&e no e?isten datos entre el origen de las coordenadas + el (rier inter!alo% se &tila el eje 'ori"ontal (ara e(e"ar tra"o de las barras a &na se(araci#n ra"onable del origen* L&ego se ide la distancia entre este @ltio + el e?treo del @ltirect-ng&lo /s&(onga .&e da 1; c*5*

F* Se deterinan tres c&artas (artes de 1; c + con este !alor /9*8 c5 + la -?ia,rec&encia /135 se establece &na ra"#n*

9]8;*F3H9k 13

la c&al indica el n@ero de centetros (or cada &nidad de ,rec&encia% o sea% (or cada e(leado*

H* Se calc&lan las alt&ras de las barras (ara todos los inter!alos (or !a r-(ida*

2>I ;.=cm

=J ;.@ cmCCC CCCCCC CCC

3fc


38/58


L&ego se ,racciona 9*3 c% digaos en 1; (artes ig&ales% (ara encontrar la longit&d e.&i!alente a &nidades de ,rec&encia% edecir% a e(leados* La decisi#n de di!idir en d)cios + no en c&artos% .&intos o !eintea!os% en este eje(lo% es (ocon!eniencia< no e?iste otro oti!o*

8* inalente se dib&ja el gr-,ico% + se le a>aden las indicaciones necesarias* ,r*#ico 0.1>.1 Edad de los empleados d

supermercado P

&ente6 datos s&(&estos

Este &r*#ico muestra tantoel 'istograa cooel(olgonode,rec&encias* eobser!a.&e el (&nto edio de la base de cada barra es% (recisaente% la arca de clase de cada inter!alo< el inicio + el ,in de &na barrre(resentan los lites reales de &n inter!alo +% en consec&encia% el anc'o de la barra e.&i!ale a la a(lit&d real de ldistrib&ci#n*

Re(rod&"caos de n&e!o el 'istograa + di!id-oslo en (e.&e>os blo.&es% cada &no de los c&alere(resente &n e(leado /gr-,ico *18**5*

,r*#ico 0.1>.0 Edad de los empleados del supermercado P

&ente6 datos s&(&estos

%ensemos aHora que cada -loque tiene un-rea ig&al a la &nidad< entonces% eln+mero de unidades d*rea en cada rect*n&ulo o seael -rea total de )ste%representa la #recuencia de&n intervalo de clase o de udato sisetratade &na distrib&ci#nsimple de #recuencias.Girando detenidamente el &r*#ico resulta claro quel -rea de todos los rect-ng&losrepresenta la s&ade #recuencias o total de datos+ es i&ual a la s&(er,icliitada (or el (olgono + el eje de las a-scisas delgr-,ico0.1>.1.

^ . Dening&na anera es &n re.&isito .&e abos ti(os de gr-,icos se constr&+an j&ntos< con,ines de (resentaci#n se (&ede elegir &no & otro% seg@n se (re,iera*

A'ora bien% c&ando las a(lit&des de los inter!alos son desig&ales% el (rocediiento s&,re alg&nas odi,icaciones(ara calc&lar el taa>o correcto de los rect-ng&los* Est&dieos el eje(lo .&e sig&e*

E)emplo 0.1= Constr&+aos tanto el 'istograa coo el (olgono de ,rec&encias de la tabla sig&iente*

Tabla *18*

Personas .&e se s&icidaron (or gr&(os de edadEdad =@ero de (ersonas

1H2H 0

82FH 1H

F82HH 1

H828H 3

88243 3

9;298 4

&ente6 Datos s&(&estos


39/58


Procediiento6

1* Las categoras de la !ariable cardinal contin&a est-n agr&(adas en inter!alos de a(lit&d desig&al< (or lo tanto se &sar-n4 rect-ng&los de anc'o di,erente% &nidos entre s*

* Coo la a(lit&d -s ,rec&ente es 1;% corres(ondiente a los inter!alos seg&ndo% tercero + c&arto% (odeos toarlacoo a(lit&d &nitaria< entonces% la a(lit&d del (rier inter!alo tendr- 1*1 !eces la a(lit&d &nitaria< la del .&into1*8 !eces% + la del se?to% ;*4 !eces* is&aliceos esto en el c&adro sig&iente6

datos ,rec&encia #de !eces .&e &n inter!alo contiene ala a(lit&d &nitaria

1H2H 0 11V1; [ [ 1*1

82FH 1H 1;V1; [ [ 1*;

F82HH 1 1;V1; - [ 1*;

H828H 3 1;V1; -- [[ 1*;

88243 3 18V1; - [ 1*8

9;298 4 4V1; [ [ ;*4

Estos !alores (eriten ,ijar las alt&ras de los rect-ng&los en ,&nci#n de la .&e se 'a toado coo &nidad*

F* La elecci#n de &n inter!alo de re,erencia c&+a a(lit&d se considera ig&al a la &nidad% da coo res&ltado &na#recuencia)ustadac&+a deterinaci#n re(resenta las alt&ras de los rect-g&los* As%

frecuencia austada3 frecuencia de clase.............n!mero de veces que un intervalo

contiene a la amplitud unitaria

A(licando esta e?(resi#n% tendreos6

(ara el (rier inter!alo%

frec. ajustada0V1*1 [ 8*8

(ara el .&into%!rec. a"ustada =F2.? @

+ (ara el se?to%

frec. ajustada[:Q


40/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADH;

F* inalente% se (rocede e?actaente ig&al .&e en los casos anteriores a(licando la regla de los tres c&artos de alt&ra*Se 'a de tener en c&enta% no obstante% .&e lo .&e se gr-,ica son las ,rec&encias aj&stadas + no las originales* Estas

(&eden ser anotadas arriba del rect-ng&lo corres(ondiente (ara (eritir lect&ras e?actas* El gr-,ico res&ltante/'istograa + (olgono de ,rec&encias5 es el sig&iente6

H K lo que se maneja son frecuencias porcentuales, se usa la misma expresi&n 628 para calcular frecuencias porcentuales ajustadas.

,r*#ico*18*F

0.1: ,RM2ICO DE (@NE3

Es bastante @til (ara co(arar los datos de dos o -s distrib&ciones* Consiste en &nir (or edio dsegentos de recta% los (&ntos de coordenadas deterinados (or los datos de dos !ariables .&e se corres(onden de !ariables .&e de(enden del tie(o* En s& constr&cci#n tabi)n se a(lica la regla de los FVH de alt&ra* El tra"del gr-,ico (&ede o no coen"ar en el eje de coordenadas< esto no tiene i(ortancia + de(ende del dise>o dgr-,ico*

E)emplo 0.1> Gediante &n gr-,ico de lnea% (resenteos la in,oraci#n de la tabla sig&iente6

Tabla *14*1

%o-laci!n rural " ur-ana. /ico. 1Aos dados* L&ego se ide distancia entre el origen de coordenadas + el (&nto corres(ondiente al @ltio dato en el eje de las abscisa/s&(ongaos% 14 c5*


41/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADH1

F* Se deterinan los FVH de la distancia anterior + se establece &na relaci#n entre la longit&d res&ltante + el dato a+or de serie% .&e se locali"a en la col&na de totales*

La ra"#n de 1 a 49*3 indicar- el n@ero de centetros (or cada ill#n de 'abitantes*

1*; V 49*4 [ ;*1949H* ecalc&lan las alt&ras de los datos de (oblaci#n &sando el ,actor constante%queen esta ocasi#n siboli"areos (or *

8* Se a(ro?ia 49*3 a 9; + se &lti(lica este @ltio n@ero (or % (ara saber eln@ero de &nidades de longit&d .&e le corres(onden*

9; [ 1*H c

4* Se (arten los 1*H c en 9 (artes ig&ales% (ara 'allar la longit&d e.&i!alente a 1;illones de 'abitantes*

9* ijados los (&ntos corres(ondientes a las tres distrib&ciones de datos /total% &rbana + r&ral5% se tra"a el gr-,ico 2tres c&r!as2 + se ane?an las indicaciones nias necesarias (ara 'acer accesible la lect&ra*

,raneo 0.1:.1 %o-laci!n rural " ur-ana /ico 1A


42/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADH

,rec&encias ac&&ladas (ara distrib&ciones si(les de ,rec&encias% es decir% (ara datos no agr&(ados* Acontin&aci#n ensanc'areos n&estro conociiento de este ti(o de distrib&ciones*ablaos con (ro(iedad de distrib&ci#n de ,rec&encias ac&&ladas sie(re + c&ando las categoras de la !ariable.&e se aneja sean ordenables* En otras (alabras6 (ara !ariables ordinales o cardinales* Si ac&&laos lascategoras de enor a a+or /ac&&laci#n ascendente5% res&lta &na distrib&ci#nmenos deen la c&al &na,rec&encia ac&&lada incl&+e todas las categoras enores de cierto !alor* Si las ac&&laos de a+or a enor

/ac&&laci#n descendente5% res&lta &na distrib&ci#no m*sen la c&al &na ,rec&encia ac&&lada incl&+e todas lascategoras a+ores o ig&ales .&e cierto !alor* Toda re(resentaci#n tab&lar de &na distrib&ci#n ac&&lada seconoce coo distri-uci!n de #recuencias acumuladasIl&streos lo dic'o*

La tabla *19*1 (resenta al iso tie(o &na distrib&ci#n de ,rec&encias ac&&ladas si(le + otra(orcent&al% 7enos de7% de las edades de los e(leados del s&(erercado 77% .&e se dan en la tabla del s&btt&lo*18*

Ta-la 0.1F.1

Distri-uci!n de #recuencias acumuladas menos de de las edades de los empleados del supermercado PA>os E(leados =o* :

Genos de 19*8 ; ;

i$ o 1*8 1; 1H

i 7 8*8 13 9

o n 3*8 F0 8H

7 7 FF*8 8; 91

n F9*8 83 0H

n n H1*8 4F 3;n H8*8 9; 1;;

Este c&adro (osibilita la sig&iente lect&ra6 (or eje(lo% F0 e(leados% .&e re(resentan el 8H: del total% soenores de 3 a>os + edio< 83 e(leados% .&e re(resentan el 0H: del total% son enores de F9 a>os + edio% etc

A'ora bien% la re(resentaci#n gr-,ica de &na distrib&ci#n de ,rec&encias ac&&ladas se llaa o)iva

pol&ono de #recuencias acumuladas.=o se debe con,&ndir el (olgono de ,rec&encias ac&&ladas /oji!a5 con el (olgono de ,rec&encias* Xste

(ara s& tra"o% tiene coo base los (&ntos edios de los inter!alos de clase + liita &na s&(er,icie con el ej'ori"ontal .&e es re(resentati!a del total de ,rec&encias /!id* gr-,ico *18*15< a.&)l se basa en los lites realein,eriores de clase +% (or -s caractersticas% rec&erda la ,ora de &na ese.

Podeos constr&ir oji!as con distrib&ciones ac&&ladas si(les o (orcent&ales* Por sencille" 'eo(re,erido las ac&&laciones (orcent&ales% a(licaos la regla de los tres c&artos de alt&ra + di!idios en 1; (arteig&ales al eje de las ordenadas% +a .&e la distrib&ci#n sie(re abarcar- de O a 1;;:* eaos*


43/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADHF

,r*#ico 0.1F.1

=#tese .&e el car-cter ascendente de este gr-,ico .&eda de ani,iesto al leer los lites reales de enor a a+or% +a .&a&enta el (orcentaje de casos .&e caen (or debajo de ellos*

Los (olgonos de ,rec&encias ac&&ladas son &+ @tiles (or.&e (eriten res(onder distintas (reg&ntas sin necesidade c-lc&lo* Por eje(lo% si en n&estra oji!a tra"aos &na (aralela al eje 'ori"ontal a (artir del (&nto .&e re(resenta el 8;:'asta .&e la corte% + si este (&nto de corte lo (ro+ectaos !erticalente 'asta el eje 'ori"ontal% (odeos estiar la edad /a>os5 bajo la c&al se enc&entra el 8;: de los e(leados* Tabi)n (odeos (roceder en sentido in!erso6 ,ijada &na edad .&sea de n&estro inter)s% en el eje de las abscisas% (ro+ectarla 'asta .&e corte a la oji!a + leer el (orcentaje de e(leados c&+aedades son enores a ese !alor*

A'ora considereos el c&adro sig&iente6

Ta-la*19*Distri-uci!n de #recuencias acumuladas o m*s de las edades de los empleados del supermercado P

A>os E(leados =o* :

19*8 # -s 9; 1;;

1*8 7 7 4; 04

8*8 7 7 81 9F

3*8 7 7 F H4

FF*8 7 7 ; 3

F9*8 7 7 11 14

H1*8 7 7 9 1;

H8*8 7 7 ; ;En este c&adro leeos% (or eje(lo% .&e 4; e(leados .&e re(resentan el 04: del total% tienen 1 a>os + edio de

edad o -s< .&e 11 e(leados% .&e re(resentan el 14: del total% tienen (or lo enos F9*8 a>os de edad< etc* A contin&aci#nostraos la oji!a corres(ondiente a esta n&e!a distrib&ci#n ac&&lada*


44/58

ESTADSTICA Y PROBABILIDADHH

,r*#ico*19*

El car-cter descendente de esta oji!a sobresale (or.&e al leer los liites reales de enor a a+ordisin&+e el (orcentaje de casos .&e est-n (or arriba de ellos*

Concl&ireos diciendo .&e los (olgonos de ,rec&encias ac&&ladas (&eden ser constr&idos (ara c&al.&ieti(o de distrib&ci#n de datos agr&(ados% sin i(ortar c&-l sea la anc'&ra de s&s inter!alos*


45/58


Capitulo #

$edidas de tendencia central % de dispersinGedidas de tendencia central6 Gedia% Gediana + oda* /Series de datos si(les% sin ,rec&encia asociada5

Al describir gr&(os de obser!aciones% con ,rec&encia se desea describir el gr&(o con &n solo n@ero* Partal ,in% desde l&ego% no se &sar- el !alor as ele!ado ni el !alor as (e.&e>o coo @nico re(resentante% +a .&solo re(resentan los e?treos* as bien .&e !alores t(icos* Entonces sera as adec&ado b&scar &n !alor centraA estos !alores se les conoce coo edidas de tendencia central* Se les llaa as (or.&e en torno a ellas (areceagr&(arse los datos* Sir!en (ara res&ir todo &n gr&(o de !alores* En general c&al.&ier edida de tendencicentral es &n !alor edio*

Gedia arit)tica* Se el de,ine coo la s&a de &n conj&nto de cantidades di!idida entre el n&ero dellas* Se el conoce tabi)n con los nobres de !alor edio% (roedio arit)tico o si(leente edia + as lllaareos* Se le re(resenta con la letra

Gedidas de tendencia centralGedia arit)tica

La edida de tendencia central -s ob!ia .&e se (&ede elegir% es el si(le (roedio de las obser!acionedel gr&(o% es decir el !alor obtenido s&ando las obser!aciones + di!idiendo esta s&a (or el n@ero dobser!aciones .&e 'a+ en el gr&(o*

En realidad 'a+ &c'as clases de (roedios + )sta se la llaa edia arit)tica (ara denotar la s&a de &gr&(o de obser!aciones di!idida (or s& n@ero*

Gediana

Otra edida de tendencia central .&e se &tili"a con &c'a ,rec&encia es la ediana% .&e es el !alor sit&aden edio en &n conj&nto de obser!aciones ordenadas (or agnit&d*

Gediana6 es el !alor de la serie de datos .&e se sit@a j&staente en el centro de la &estra /&n 8;: d!alores son in,eriores + otro 8;: son s&(eriores5

Goda

Otra edida de tendencia central es la oda* La oda es el !alor .&e oc&rre con -s ,rec&encia en &conj&nto de obser!aciones*

*edidas de tendencia central. datos agrupados. gregar

*E-L- -E -L"EML)(.4na medida de dispersi&n dice cuanto se desvan los datos respecto a lastendencias centrales.Nas principales medidas de -ispersi&n son0 Na desviaci&n media, desviaci&nestndar y varianza y pueden ser de datos agrupados y datos no agrupados.

*edidas de dispersi&n para datos no agrupados-esviaci&n media. e define como la desviaci&n promedio de los valoresabsolutos de las desviaciones de los datos de una variable con respecto a sumedia. e expresa en las mismas unidades de la variable 6a1os, horas, etc.8


46/58


") "M E(')($MM N -E5L'L)( *E-L.2.Ce calcula la media.

.?3 >.?: 2.?

Documents

AP Estadistica y Probabilidad 11