X Congreso Internacional Expresión Gráfica aplicada a la Edificación

Graphic Expression applied to Building International Conference

APEGA 2010

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HOMOGRAF-3D.LSP UN PROGRAMA PARA LA RESOLUCIÓN DE HOMOLOGIAS EN 3D SOBRE AUTOCAD.

IRLES MAS, Francisco (1); Maestre López-Salazar, Ramón (2).

(1) Dpto. Ingeniería de Sistemas Industriales. Escuela Politécnica Superior de Elche.

Universidad Miguel Hernández de Elche. Elche, España. Paco.Irles@umh.es

(2) Dpto. Expresión Gráfica y Cartografía. Escuela Politécnica Superior de Alicante. Universidad de Alicante. Elche, España. Ramon.Maestre@ua.es

Resumen Las homologías en 3D son estudiadas en Arquitectura por sus aplicaciones al dibujo de cuádricas y por su utilización en escenográfia o para arquitectura ilusoria. Su estudio desde la expresión gráfica se ha centrado en las construcciones geométricas de trazado manual, conocidas desde antaño, existiendo escasas referencias sobre la resolución de las mismas en entorno CAD, y siempre basadas en reproducir la misma construcción. En esta comunicación se expone el funcionamiento de un programa creado por los autores que las resuelve desde la geometría proyectiva, mediante el cálculo matricial en coordenadas homogéneas. Permite definir la transformación a partir de 5 pares de puntos homólogos (p.e.: tres dobles definen el plano de homología, el centro sería otro punto doble y un par para definir la razón de homología) y aplicarla a tantos objetos “línea” como “3Dcara” deseemos. Veremos que la homología matemática es más potente y versátil que la geométrica, pues admite homologías ordenadas y desordenadas (sin centro ni plano doble). Esto permite representar en Autocad 3D superficies, hasta ahora imposibles, como son algunas de las cuádricas: elipsoide escaleno, hiperboloide elíptico, etc. Así como investigar en nuevas geometrías poliédricas o alámbricas. Otra aplicación inmediata es el diseño 3D de arquitecturas ilusorias, escenarios o decorados, basándonos en la ambigüedad de la pirámide visual, aportamos aquí algunos ejemplos.

Palabras clave: Homologías 3D, geometría proyectiva, escenografía, Autocad.

Abstract HOMOGRAF-3D.LSP A PROGRAM FOR HOMOLOGIAS's RESOLUTI ON IN 3D ON AUTOCAD. The 3D homologies are studied in Architecture for its applications to the drawing of quadric and for its utilization in scenography or for illusory architecture. Its study from the graphical expression has been centred on the geometric constructions of manual tracing, known from long ago, existing scanty references on the resolution of them in environment CAD, and always based in reproducing the same construction. In this communication it is exposed the functioning of a program created by the authors that solves them from the projective geometry, by means of the matrix calculation in homogeneous coordinates. It allows to define the transformation from 5 pairs of equivalent points (for example: three double points define the homology plane, the centre would be another double point and a pair to define the reason of homology) and to apply it to so many "line" objects as "3Dcara" objects we wish. We will see that the mathematical homology is more powerful and versatile than the geometric one, because it admits tidy and untidy homologies (without centre or double plane). This allows to represent in AutoCAD 3D surfaces, till now impossible, as they are some of the quadric ones: scalene ellipsoid, elliptical hyperboloid, etc. As well as to investigate in new polyhedral geometries, transforming “line” or “3Dface” Autocad objects. Another immediate application is the 3D

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design of illusory architectures, scenes or sets, basing on the visual pyramid ambiguity, we show here some examples.

Keywords: Homologies 3D, projective geometry, scenery, Autocad.

1. Introducción En diciembre 2009 se leyó la tesis “Transformaciones homográficas de modelos tridimensionales. Análisis proyectivo para el desarrollo de una aplicación infográfica” por parte del autor F. Irles y como director R. Maestre, en ella se abordan las homografías sobre AutoCAD tanto en 2D como en 3D, automatizándose su ejecución mediante programación lo que realmente es más novedoso es el enfoque que se le da desde la Geometría Proyectiva a la resolución del problema tridimensional y lo potente que resulta la aplicación del programa sobre Autocad en la generación de nuevas geometrías. Todo ello como fruto de una línea de investigación iniciada por R.Maestre en la Universidad de Alicante y que con la creación de la Universidad Miguel Hernandez de Elche se ha continuado en mutua colaboración.

1.1. Antecedentes. Desde la geometría clásica se ha estudiado la homologías desde Desargues en el siglo XVII: Dados dos triángulos sin elementos comunes, si sus lados se cortan dos a dos en puntos alineados, las rectas que unen sus vértices concurren en el mismo punto. En los tratados de geometría descriptiva encontramos los trazados de homologías planas, y las homologías entre figuras planas en el espacio, así como referencias a las homologías tridimensionales entre volúmenes y superficies en el espacio (¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. ), pero en estas últimas son escasas las aportaciones con ilustraciones, que en a mayoría de casos se hacen en diédrico con lo que la

Figura 1: Arriba: Homología plana entre dos triángulos coplanares (izquierda) o no coplanares (derecha). Bajo: Homología espacial entre dos tetraedros. V es el centro de homología, el plano de homología es el

vertical y sobre el plano horizontal H obtenemos al proyectar la construcción una homología plana.

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homología espacial se traduce a dos homologías planas. El álgebra y la geometría proyectiva se estudian las homografías en espacios n-dimensionales, definiéndose como una función que asigna a cada elemento x un elemento x’ tal que para algún l, perteneciente a R, se cumple l x’=A·x, siendo “A” una matriz invertible de dimensión n x n, siendo 3x3 para R2 y 4x4 para R3, al trabajarse en coordenadas homogéneas lo que nos permite trabajar con puntos impropios. El la bibliografía manejada siempre se ilustra con ejemplos para R2 realizándose una clasificación de las mismas en base a los puntos dobles y rectas dobles que aparecen en función de los valores propios de la matriz “A”. También es habitual un estudio exhaustivo de las superficies cuádricas desde el punto de vista analítico, si bien no con un enfoque desde el punto de vista gráfico, de transformaciones homológicas de la superficie esférica como veremos aquí. En el campo de la infografía aparecen bien diferenciados los antecedentes 2D y 3D. En el campo 2D encontramos el enderezado o rectificación de fotografías de elementos planos, que no es otra cosa que una transformación homográfica para corregir las fugas, destacamos la tesis de José Luis Cabanes (U.P.V. 2002) donde esta rectificación se realiza sobre un software de gran difusión como es Microstation, mediante la herramienta cámara, obteniendo una foto de la foto . Todas las referencias estudiadas aplican la homografía a la imagen raster, mientras que las aplicaciones desarrolladas por los autores la aplican sobre dibujos vectoriales, primero con Homograf.LSP que se creo durante la elaboración de la tesis de R-Maestre, y que se comercializó, y ahora con Homograf_3D.LSP, hasta estas líneas inedito. Las homologías 3D desde el punto de vista gráfico y de programación, se estudian en la tesis José Luis Subias (Zaragoza, 1992), donde plantea una matriz proyectiva 4x4, pero pasa a utilizarla para la obtención de proyecciones de R3 sobre R2 y no en el caso más general de R3 en R3 como se hace en la presente tesis. Sí encontramos referencias de transformaciones de R3 en R3 en la bibliografía referente al registro de imágenes médicas. Nos referimos a la superposición de imágenes tridimensionales raster, formadas por voxeles, obtenidas mediante tomografías o resonancias magnéticas. Para lograr esta superposición se realizan transformaciones rígidas (traslaciones y giros) y no rígidas (lineales o no). Entre las lineales se encuentran los escalados, las transformaciones afines y las proyectivas. Hemos encontrado referencias del uso de todas ellas excepto de las proyectivas, que también se omiten en las librerías de programación en C manejadas (ITK y VTK). Por ello entendemos como novedoso la presentación de su estudio y utilización en esta comunicación. Formulación de las transformaciones citadas:

2. Desarrollo teórico y creación del programa Homog raf_3d

2.1. Planteamiento y algoritmo.

En un primer lugar se analizó la problemática de las homologías espaciales y se resolvió a través de Autocad mediante dibujo 3D (Fig. 2). Se parte del centro de homología O, el plano de homología PH y un par de puntos homólogos AA’ y BB’, siendo en este caso AA’ un punto doble del PH. Por ejemplo, para obtener la figura homóloga del cubo ABCDE debemos hacer pasar rectas por los puntos a

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determinar y uno de los ya conocidos: prolongamos CB hasta PH y unimos con B’ de forma que donde interseca al haz OC tenemos C’. Análogamente prolongando DC hasta PH y uniendo con C’ donde interseque a OD tenemos D’. Lo mismo con BE para obtener E’ y con todos los vértices del cubo obtendríamos su homólogo A’B’C’D’E’. Los puntos homólogos del infinito nos definen los planos “límite”: PL’ (homólogos de los puntos del espacio sin ’) y PL (homólogos del los puntos del espacio

con ’), se han dibujado paralelos a PH por P’ y Q, siendo P’ el homólogo de los puntos del infinito de la recta DB, por tanto en la intersección de un haz OP’ paralelo a DB y la prolongación de B’D’. El punto Q se obtiene en la intersección del haz OQ, paralelo a B’D’, con la prolongación de DB, siendo el homólogo de los puntos del infinito de B’D’. Los planos límite resultan siempre equidistantes del centro de homología O y el plano de homología PH; y paralelos a él. Tendremos que pares de rectas homólogas se cortan en el plano de homología, pero también pares de planos homólogos se cortarán en rectas dobles contenidas en el plano de homología.

Definida una homología 3D, cualquier par de puntos homólogos BB’ junto a O y X constituyen una razón doble de valor constante que llamaremos coeficiente de la homología:

El desarrollo de una aplicación infográfica que aplicase este procedimiento geométrico hubiese resultado tedioso y con numerosos casos particulares de difícil resolución al trabajar con puntos impropios; la solución la encontramos empleando Geometría Proyectiva, de forma que partiremos de la ecuación matricial de las transformaciones proyectivas citada en 1.1 y aplicándola a cinco pares de puntos homográficos, que son los mínimos necesarios parea poder determinar los coeficientes de la matriz de transformación, se obtiene la ecuación:

Donde x,y,z son coordenadas de los pares de puntos dato: Espacio de R3

nº/1 Espacio de R3nº/2

A1=(xA1,yA1,zA1) C1=(xC1,yC1,zC1) A2=(xA2,yA2,zA2) C2=(xC2,yC2,zC2)

Figura 2: Vista axonométrica de la construcción geométrica tridimensional clásica de una homología 3D. Obtenido ya el

hexaedro homólogo y los planos límite PL y PL’.

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B1=(xB1,yB1 zB1) D1=(xD1,yD1 zD1) B2=(xB2,yB2,zB2) D2=(xD2,yD2,zD2) E1=( xE1,yE1,zE1) E2=( xE2,yE2,zE2)

Y aij son los coeficientes de la matriz de transformación. La resolución de un sistema nos da la matriz de transformación, de forma que los pasos para transformar un punto cualquiera de un espacio euclídeo R3

nº/1 a el otro de espacio R3nº/2, que serán:

- Pasar un punto P1 de coordenadas euclídeas (xP1,yP1, zP1) a un punto P1~ en coordenadas

homogéneas (x P1,y P1, zP1,1). - Multiplicarlo por la matriz de transformación proyectiva obteniendo el punto P2~ en coordenadas

proyectivas: A~·P1~=P2~. - Pasar el punto P2~ de coordenadas proyectivas (xp2~, yp2~, zP1~, λ) a coordenadas euclídeas

(xp2~/λ, yp2~/λ, zP1~/λ).

2.2. Implementación en el programa Homograf3d .lsp. Se ha creado Homograf3d.lsp que es un programa que funciona sobre AutoCAD definiendo tres nuevos comandos de Autocad: Uno que nos pedirá los cinco pares de puntos necesarios para definir la homología por parejas AA’, BB’, CC’, DD’ y EE’; denominado “Defpar”; y que finaliza pidiendo las líneas o 3Dcaras a transformar. Otro que pide los cinco puntos seguidos ABCDE y luego A’B’C’D’E’; denominado “Def5p” y que termina pidiendo líneas o 3Dcaras a transformar. Por último “Transforma” nos permite volver a aplicar la transformación definida previamente por Defpar o Def5p a nuevas líneas o 3Dcaras, pudiéndose ejecutar tantas veces como se desee hasta que se defina una nueva homografía o se cierre el dibujo. En los tres casos el programa analiza cada uno de los objetos seleccionados; en el caso de ser líneas o 3Dcaras pasa a obtener las coordenadas de sus vértices, aplicando la transformación descrita en el apartado 2.1, para finalmente crear nuevas líneas o 3Dcaras con los vértices transformados.

2.3. Clasificación de las homografías en ordenadas y desordenadas. Damos continuidad aquí a esta clasificación de R. Maestre para las homografías 2D, ya que las 3D se pueden clasificar también en ordenadas y desordenas (Fig. 3). Las homografías ordenadas serán las que disponen los pares de puntos alineados sobre las rectas de un haz proyectivo que pase por el centro de homología; y que sus pares de rectas homólogas se corten en un plano de homología. Las homografías ordenadas son lo que conocemos como homologías y corresponden a un caso concreto de la clasificación algebraica realizada atendiendo a los valores propios de la matriz de transformación proyectiva. Todos los demás casos, desde el punto de vista geométrico, los llamamos homografías desordenadas que son aquellas en que la disposición espacial relativa de las dos figuras es arbitraria, de forma que no existe un centro de homología ni un plano de homología, pero sí una

Figura 3: Homografía ordenada. Figuras tridimensionales homólogas Figura: Homografía

desordenada. Figuras tridimensionales homográficas.

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relación proyectiva entre ellas.

La resolución ordenada o no se puede realizar también para los casos particulares como por ejemplo afinidad y homotecia, por tanto a las simetrías. Cuando el coeficiente de homotecia es -1, tendremos la simetría respecto de un punto, donde el centro de homotecia se sitúa sobre el único punto doble, siendo los demás simétricos respecto él (Fig. 4).

2.4. Clasificación de las homografías en homologías pseudo-regulares o no. Cuando a las figuras geométricas regulares les aplicamos una homografía, en general, obtenemos figuras irregulares; únicamente en el caso de homotecias o semejanzas, y traslaciones o identidades seguimos obteniendo figuras regulares. Pero hay unas homologías que debemos diferenciar de las demás y que proponemos llamar “pseudo-regulares”, dado que van a mantener una serie de características regulares. Llamaremos homologías pseudo-regulares a aquellas que aplicamos sobre figuras geométricas regulares y que el rayo principal (llamamos rayo principal a la recta perpendicular al plano de homología desde el centro de homología.) coincide con un eje de simetría radial de la figura regular (Fig. 5). Como consecuencia la figura homóloga tendrá al rayo principal también como eje de simetría radial, provocando que existan caras o aristas iguales entre sí, pero no todas. Sólo serán iguales entre sí aquellas que, siendo iguales en la figura origen, se dispongan equidistantes respecto el plano de homología. Si desordenamos las figuras de una homología pseudo-regular tendremos una homografía pseudo-regular, aunque en este caso ya no podamos hablar de un rayo principal, sí tendremos eje de simetría radial.

3. Ejemplos y aplicaciones del programa Homograf_3d .lsp

Todas las aplicaciones de las homologías 3D tradicionales lo son de Homograf_3D, ampliando las posibilidades y sobretodo acelerando su proceso de dibujo, al automatizarse la resolución y aplicación de la transformación proyectiva en el entorno AutoCAD, pudiéndose aplicar esta a cientos de objetos “3Dcara” o “línea”. Esto posibilita nuevas formas de dibujar en 3D superficies cuádricas, y en general transformar cualquier superficie poliédrica o definida por de forma alámbrica a través de las conocidas curvas U V. Su utilización en escenografía o en arquitectura ilusoria para el diseño de escenarios, decorados, o ilusiones ópticas mediante arquitecturas deformadas, basándonos siempre en la ambigüedad de la pirámide visual. Aportamos seguidamente algunos ejemplos.

Figura 5: Perspectiva de una homología pseudo-regular de un cubo con una cara sobre el plano de homología, la

figura homóloga obtenida será un tronco de pirámide regular de bases cuadradas paralelas. Figura 4.17: Perspectiva de una homología pseudo-regular de un cubo con una diagonal perpendicular al plano de homología,

la figura homóloga no es regular, pero tiene sus caras iguales tres a tres (A’B’D’G’=A’B’E’I’=A’G’H’I’; B’D’F’E’=D’F’H’G’=E’F’H’I’) y mantiene una simetría radial de orden 3 respecto del rayo proyectante principal.

Figura 4: Simetría respecto de un punto.

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Figura 7: Transformación de un poliedro pseudoregular inscrito en una superficie esférica en otro, inscrito en

una superficie de elipsoide, de hiperboloide (se muestra sólo una hoja para simplificar el dibujo) y de paraboloide, en este caso de la figura las tres cuádricas transformadas son de revolución.

3.1. Dibujo de superficies cuádricas.

Definida una homología cualquiera y determinando los planos limites como se ha explicado en el punto 2.1, al trazar superficies esférica separadas del Plano Límite se obtienen como superficies homólogas superficies de elipsoides (Fig. 6), cuando las superficies esféricas son secantes al Plano Límite las superficies que se obtienen son de hiperboloides de dos hojas, y si las superficies esféricas son tangentes al Plano Límite la superficies obtenidas son de paraboloides elípticos. Sólo serán cuádricas de revolución en el caso en que la superficie esférica se sitúe con su centro alineada sobre la perpendicular desde O al plano de homología, a la que se llama rayo principal, de forma que este mismo rayo actuará de eje de revolución, sería lo que hemos llamado una homología pseudo-regular. En los restantes casos son superficies de elipsoides escalenos, de hiperboloides de dos hojas elípticos o parabolices elípticos, con ejes principales de distinta longitud, tanto más dispares cuanto más alejemos la superficie esférica de la perpendicular citada.

Figura 6: Superficies cuádricas obtenidas como homólogas de las esféricas. Izquierda: Elipsoides. Derecha arriba:

Hiperboloides Derecha bajo: Paraboloides. Modelando con objetos “línea” meridianos de las esferas.

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Figura 9: Izquierda: Definición de la homología a aplicar al hiperboloide de una hoja para obtener un paraboloide hiperbólico. Se han usado con Homograf 3D los pares de puntos AA’BB’CC’DD’OO’. En este caso se ha optado

por superponer el cubo con el tronco de pirámide con el fin de sacar fuera los planos límite y evitar la superposición con el hiperboloide. Derecha resultado obtenido paraboloide reglado homólogo de un hiperboloide reglado. O es el centro de la homología y las generatrices rojas son las situadas en el plano límite y en el plano

de homología.

Podemos aplicar las mismas transformaciones a poliedros geodésicos modelados con objetos “3Dcara” Obtendremos superficies poliédricas inscritas en elipsoides, hiperboloides y paraboloides (Fig. 7). Siendo de gran utilidad en el diseño de cúpulas. Las cuales podemos deformar según una pirámide oblicua (Fig. 8) . Respecto las superficies cuádricas regladas hemos ejemplificado la obtención del paraboloide hiperbólico como homólogo del hiperboloide de una hoja y viceversa (Fig. 9), basta con situar dos de sus generatrices “q” y “p” sobre el plano límite. En el caso de la figura adjunta se han situado además las dos generatrices diametralmente opuestas “r” y “s” sobre el plano de homología de forma que su punto de intersección F nos dará como homólogo F’ el punto de ensilladura del paraboloide.

3.2. Arquitectura ilusoria y escenografías. El uso de las homologías 3D en el diseño de arquitecturas ilusorias, bajos relieves, escenarios teatrales o decorados cinematográficos, así como habitáculos del tipo cámara Ames, se basan en la ambigüedad de la pirámide visual (Fig. 10), donde se ha modelizado de una forma sencilla el pasaje del palacio Spada de Roma, construido hacia 1638 por el arquitecto Borromini, que se diseñó para dar la sensación de mayor profundidad a un espacio que no la tenía; técnica ampliamente descrita en el artículo del profesor Lluís Villanueva Bartrina: “Arquitectura escenògrafica i geometria.” Se aporta una fotografía frontal con dos figuras humanas (Fig. 11 izquierda), en el plano anterior y posterior de la galería, a fin de poder apreciar el tamaño real de la misma, pues el efecto perspectivo está tan conseguido que engaña al observador si no fuese por las siluetas humanas. Podemos observar similar efecto en la perspectiva (Fig. 11 derecha) obtenida de un modelo simplificado de

Figura 8: Ejemplo constructivo de una cúpula geodésica

transformada a paraboloide. Diseño mediante una transformación oblicua.

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3Dcaras obtenido aplicando Homograf3D para deformar un modelo dibujado sin deformar mediante las típicas herramientas de revolución y matriz de objetos de AutoCAD.

3.3. Arquitectura oblicua y estereotomía. Desde los tiempos de Juan Caramuel (1606-1682), que en su tratado “Arquitectura civil recta y oblicua” aporta múltiples detalles constructivos sobre elementos arquitectónicos ajustándolos a disposiciones ortogonales u oblicuas, se vienen empleando procedimientos geométricos basados en afinidades (caso particular de la homología donde el centro es impropio). Esta es otra aplicación para Homograf, como para Homograf3D, de cuya aplicación podemos obtener geometrías oblicuas a partir de las ortogonales y viceversa. Por ejemplo resulta interesante en el diseño de arcos rampantes y balaustres o columnas oblicuas en escaleras o rampas; donde además, si se ejecutan en piedra, podemos obtener el despiece de cada piedra del arco rampante y en general diremos que la aplicación resulta interesante para la estereotomía. Se muestra en las figuras ¿??? un ejemplo de uso encadenado de Homograf y Homograf 3D, consistente en la elaboración de un modelo digital 3D de un balaustre de una barandilla a partir de una fotografía. Eso si, hemos supuesto para conocer la profundidad, que la planta del balaustre es cuadrada, pues de no suponerlo se requeriría un par estereoscópico.

Figura 11: Izquierda: Vista frontal del pasaje del palacio Spada de Roma. Derecha: Perspectiva cónica frontal del modelo deformado con Homograf_3D.

Figura 10: Para la obtención de la figura 11 derecha se ha situado el observador sobre el centro de la

homología empleada para obtener el modelo deformado a partir de un modelo de un pasaje sin deformar.

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4. Conclusiones

Se ha resumido una tesis en la se ha desarrollado el cálculo matricial desde la Geometría Proyectiva para las homografías 3D, a partir de las coordenadas homogéneas de 5 pares de puntos homólogos, implementado un programa Homograf 3D sobre AutoCAD, que las resuelve. Se ha demostrado cono ejemplos su potencia en aplicaciones basadas en la ambigüedad de la pirámide visual y en la arquitectura “oblicua”.

5. Citas y Referencias bibliográficas

[1] Villanueva Bartrina, Lluís. Arquitectura escenògrafica i geometría. Revista D’Art [0211-0768], any: 1994, Vol.:1, núm.:20, Pàg.: 115-154.

[2] Rouché et Comberousse. Traité de Géométrie. Deuxième Partie. Géométrie dans l’espace. Nouvelle Édition 1922.Paris. Ed.: Gauthier-Villars.

[3] Cabanes Ginés, José Luis. Geometría Proyectiva y Representación Técnica. Valencia. Ediciones VJ. 2006.

[4] Maintz, J. B. Antoine and Viergever, Max A. An Overview of Medical Image Registration. In Symposium of the Belgian hospital physicists association (SBPH-BVZF). ISSN: 0924-3275. 1998. http://www.cs.uu.nl/research/techreps/repo/CS-1998/1998-22.pdf

Figura 12: Izquierda: orden oblicuo. Juan Caramuel y Lobkovitz, Arquitectura civil recta y oblicua, tomo III, parte IV, lámina XX. Derecha diseño 3D con AutoCAD de un arco rampante a partir de arco de medio punto. Detalle

del despiece de dos de los sillares.

Figura 13: De izquierda a derecha: balaustres de la baranda de escalera del edificio de Capitanía Militar de Barcelona, resaltamos uno de ellos por mostrarse casi en alzado. Digitalización de contornos de una forma

aproximada con Autocad mediante objetos línea. Aplicación de Homograf para pasar del digitalizado al ortogonal utilizando las tetras de puntos homólogos ABCD y A’B’C’D’. Modelado sólido y conversión a modelo mallado del balaustre ortogonal. Aplicación de Homograf 3D para obtener el balaustre oblicuo a partir del recto, tomando los

cinco pares de puntos AA’ BB’ CC’ DD’ y EE’.