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APÉNDICE A
GRÁFICAS Y TABLAS EMPLEADAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS
MODELOS
149
GRÁFICAS Y TABLAS EMPLEADAS PARA LA DETERMINACIÓN DE LOS
MODELOS
Para determinar el modelo que se ha empleado para las estimaciones, se han utilizado
diversos gráficos así como tablas las cuales se adjuntan a continuación por cada
medicamento.
A.1 Albendazol
En el medicamento Albendazol con clave diferencial 1344 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A1
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Albendazol en el Estado
de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si
se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o
baja del consumo promedio anual.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Ago
-98
Feb-
99
Ago
-99
Feb-
00
Ago
-00
Feb-
01
Ago
-01
Feb-
02
Ago
-02
Feb-
03
Ago
-03
Feb-
04
Ago
-04
Feb-
05
Figura A1 Comportamiento de la Demanda del medicamento Albendazol
Fuente: Elaboración Propia
150
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A1 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Albendazol.
Tabla A1 Media varianza y desviación estándar del medicamento Albendazol
media var desv 4468 20933161 4575.2771658 1904869 1380.171672 1369532 1170.273897 19070897 4367.0242061 6365778 2523.0491482 271160 520.7298
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A2.
0100020003000400050006000700080009000
10000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res
desvmedia
Figura A2 Comportamiento de Media y Varianza
Fuente: Elaboración Propia
151
Tanto media como varianza no se comportan de manera constaPnte. Para volver
estacionaria la varianza se debe de elaborar una transformación, mientras que para volver
estacionaria la media se debe de elaborar una diferenciación. Sin embargo, no se afirmará
nada hasta no visualizar la Función de Autocorrelación Simple y Parcial.
0500
100015002000250030003500400045005000
0 1000 2000 3000 4000 5000
media
desv
Figura A3 Media contra desviación estándar
Fuente: Elaboración Propia
Falta por analizar las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. Los datos arrojados
por las Autocorrelaciones nos indicaron que no se deben de utilizar las observaciones para
emplear el pronóstico, pues no están dentro de los intervalos permitidos.
Como se puede observar en la figura A3 los datos están relacionados, pues tienen tendencia
positiva, así que se elabora una transformación, misma que tampoco es estacionaria,
enseguida se calcula la primera diferencia de la transformación más es necesario elaborar
una segunda diferencia cada 12 periodos tal y como se observa en la Figura A4 y se calcula
la media contra la varianza. No se adjuntan todas las iteraciones utilizadas por falta de
espacio. La transformación que logra una estacionariedad en este medicamento es la raíz
152
cuadrada de las observaciones con doble diferenciación. La siguiente figura muestra el
comportamiento de la serie transformada.
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81
Figura A4 Comportamiento de la nueva serie
Fuente: Elaboración propia
En la siguiente figura se muestra la media contra la varianza de la segunda diferencia de la
transformación.
0
10
20
30
40
50
60
-10 -5 0 5 10media
desv
iaci
ón
Figura A5 Media contra desviación de la segunda diferencia de la transformación
Fuente: Elaboración Propia
Empíricamente se observa que la diferencia de la transformación es estacionaria, sin
embargo, no se puede afirmar nada hasta no analizar la Función de Autocorrelación Simple
así como la Función de Autocorrelación Parcial.
153
Las Funciones de Autocorrelación y Autocorrelación Parcial nos fueron de utilidad para
determinar la estacionariedad en los datos, pues el comportamiento es muy similar a los
modelos de promedio móvil. Lo anterior se muestra en la Figura A6.
171272
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
57.9852.3052.21
52.2151.8245.9628.6224.7923.1122.55
22.5322.5321.8520.8415.7714.5513.87
1.35 0.17 0.01
-0.36 1.47-2.82 1.37-0.93 0.54 0.11
-0.01 0.62-0.76-1.80 0.90 0.68-3.65
0.24 0.03 0.00
-0.07 0.26-0.45 0.21-0.14 0.08 0.02
-0.00 0.09-0.11-0.26 0.13 0.10-0.44
171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A6 Función de Autocorrelación para la transformación del Albendazol
Fuente: Elaboración Propia
La figura A6 muestra claramente el modelo de un AR(1), donde el coeficiente del modelo
AR(1)<0, sin embargo, tanto como en 5 como en 12 se manifiesta un retraso significativo,
por tanto el patrón estacional conveniente sería S=12, o bien S=5, por tanto, se puede
pensar en un modelo ARIMA(1,1,0)*SARIMA(1,1,0) con S=12 o S=5 ahora visualicemos
la Función de Autorcorrelación Parcial
154
2 7 12 17
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617
-0.44-0.12 0.15-0.16-0.40-0.18 0.12
0.10-0.07-0.34 0.16-0.30-0.15-0.14
0.13-0.22 0.08
-3.65-0.97 1.29-1.36-3.31-1.53 0.98
0.88-0.58-2.88 1.37-2.50-1.27-1.13
1.06-1.82 0.64
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A7 Función de Autocorrelación Parcial para la transformación del Albendazol
Fuente: Elaboración Propia
Una vez más se presenta el patrón estacional tanto en 5 como en 12, sin embargo, después
de varias iteraciones, se comprobó que el modelo que mejor se ajusta a la demanda del
medicamento Albendazol es con S=12 y se muestra a continuación el comportamiento. En
la Figura A9 se muestra de color negro el comportamiento de la transformación, mientras
que de rojo se observa el comportamiento del modelo para S=12 y de azul se pueden
apreciar los intervalos de confianza.
155
7872666054484236302418126
100
50
0
-50
Figura A8 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la transformación
Fuente: Elaboración Propia
La siguiente gráfica muestra el comportamiento de las estimaciones para los primeros 6
meses a pronosticar.
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
-50
0
50
100
150
Figura A9 Estimación de la transformación del Albendazol
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
156
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A10 y A11.
3 6 9 12 15
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A10 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
En la Figura A10 continúa manifestándose un alto valor en el quinto retrazo, sin embargo,
esto puede ser debido a outliers. Como se puede observar en la figura A10 y A11, los
residuales se comportan como ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la
prueba de normalidad para confirmar lo anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
157
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Albendazol se tiene:
N=70; r=2, k=7
( )( )∑=
==17
1
2 7.ˆ70i
i arQ 25215 =χ
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
3 6 9 12 15
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A11 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .869
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .869
158
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.869>.757 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
P-Value: 0.869A-Squared: 0.205
Anderson-Darling Normality Test
N: 70StDev: 25.8459Average: 0.0308837
500-50
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A12 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los valores pronosticados así como sus límites inferior y superior para la transformación
del medicamento Albendazol, es el siguiente:
Tabla A2 Pronósticos del medicamento Albendazol así como sus límites inferior y exterior
Periodo Pronóstico Limite Inferior Limite Superior Jiulio 2005 54.4257 3.0069 105.845 Agosto 2005 54.5919 -4.7944 113.978 Septiembre 2005 53.8329 -17.1464 124.812 Octubre 2005 60.7891 -18.3537 139.932 Noviembre 2005 56.2246 -30.9885 143.438 Diciembre 49.2827 -45.0497 143.615
Fuente: Elaboración Propia
Los valores presentados en la Tabla A2 no nos expresan el pronóstico deseado, para
obtener los valores en términos reales es necesario regresar a la serie original e interpretar
los resultados anteriores. Recordemos que a principio del presente Apéndice se determinó
159
elaborar una transformación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora se debe de
elaborar la operación inversa a dicha transformación, es decir, se debe de elevar al
cuadrado los resultados, pues la transformación inversa a la raíz cuadrada es la elevación
de los valores al cuadrado y elaborar la diferencia del valor en zt- zt-1, así como de zt-zt-12.
Los resultados a dichas diferencias así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran
en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto.
A.2 Dicloxacilina
En el medicamento Dicloxacilina con clave diferencial 1928 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A13
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Dicloxacilina en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
02000400060008000
100001200014000160001800020000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A13 Comportamiento de la Demanda del medicamento Dicloxacilina
Fuente: Elaboración Propia
160
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A3 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Dicloxacilina.
Tabla A3 Media varianza y desviación estándar del medicamento Dicloxacilina
media var desv 9623 19886271 4459.4038665 16946890 4116.66
10087 8088970 2844.1119811 11953018 3457.3149464 13990482 3740.3858520 12114298 3480.56
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A14
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
1 2 3 4 5 6
desv
media
Figura A14 Comportamiento de media y desviación
Fuente: Elaboración Propia
161
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. Solo se adjunta una
gráfica empleada para determinar la estacionariedad, las demás no se han anexado por falta
de espacio.
0500
100015002000250030003500400045005000
8000 8500 9000 9500 10000 10500media
desv
iaci
ón
Figura A15 Media contra desviación estándar de las observaciones
Fuente: Elaboración Propia
De manera a priori se puede sospechar estacionariedad en los datos, sin embargo, falta por
analizar las funciones de Autocorrelación Simple y función de Autocorrelación Parcial, nos
indican que se trata de un modelo Autorregresivo de primer orden, que los datos son
estacionarios, es decir, no es necesario elaborar transformación alguna.
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.47 0.15 0.15 0.11 0.01 0.03 0.01
0.00-0.11-0.19-0.16 0.01-0.07 0.00
0.05 0.03-0.04 0.03 0.01 0.07
4.27 1.15 -0.09
0.78 0.06 0.24 0.07
0.02-0.78-1.41-1.11 0.09-0.46 0.02
0.34 0.24-0.30 0.18 0.07 0.46
18.8720.8622.7323.7223.7223.8323.83
23.8324.9228.5630.9730.9831.4231.42
31.6631.7931.9932.0632.0732.57
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A16 Función de Autocorrelación del medicamento Dicloxacilina
Fuente: Elaboración Propia
162
En la gráfica A17 se puede observar que en el primer retraso tiene la forma de un modelo
autorregresivo que decae rápidamente a cero.
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.47-0.09 0.14-0.02-0.05 0.06-0.05
0.03-0.16-0.11-0.02 0.14-0.13 0.15
-0.04 0.03-0.07 0.07-0.07 0.08
4.27-0.80 1.29-0.15-0.45 0.56-0.48
0.28-1.44-0.99-0.14 1.29-1.19 1.36
-0.34 0.29-0.64 0.63-0.63 0.72
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A17 Función de Autocorrelación Parcial
Fuente: Elaboración Propia
Una vez que se tiene estacionariedad en los datos se comparan las Autocorrelaciones a los
modelos, por tanto se afirma de un modelo AR(1).
El modelo empleado ha sido evaluado antes de realizar el pronóstico para así compararlo
con la serie original, en la siguiente figura se puede observar el comportamiento de la serie
original así como el posible modelo que será utilizado.
163
10 20 30 40 50 60 70 80
0
5000
10000
15000
Figura A18 Modelo propuesto en comparación con los datos reales
Fuente: Elaboración Propia
Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento
Dicloxacilina, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el
pronóstico para el segundo semestre del 2005.
10 20 30 40 50 60 70 80
2000
7000
12000
17000
Time
Figura A19 Estimación de la Demanda de la Dicloxacilina
Fuente: Elaboración Propia
164
El comportamiento de los residuales nos indica que este modelo es adecuado para emplear
los pronósticos, se muestra a continuación la prueba de Anderson-Darling :
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .808
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.808>.757 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
Anderson-Darling Normality TestA-Squared: 0.227P-Value: 0.808
-5000 0 5000 10000
.001.01.05
.20
.50
.80
.95
.99
.999
Prob
abilid
ad
Residuales
Figura A20 Comportamiento de los Residuales del medicamento Dicloxacilina
Fuente: Elaboración Propia
165
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A21 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A21 y A22, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
166
Por tanto para el medicamento Dicloxacilina se tiene:
N=83; r=1, k=20
( )( )∑=
==19
1
2 195.1ˆ80i
i arQ 87.28219 =χ
1.195<28.87
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A22 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
En la figura A22 se aprecia el comportamiento de los residuales, los cuales se encuentran
dentro de los intervalos de confianza. Los resultados así como el modelo y el MAPE
calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto.
A3. Bencilpenicilina Procainica
En el medicamento Bencilpenicilina Procainica con clave diferencial 1924 se mostrará
amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero
que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la
167
Figura A23 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento
Bencilpenicilina Procainica en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues
de manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios
parciales en algunos periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A23 Comportamiento de la Demanda del medicamento Bencilpenicilina Procainica
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A4 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Bencilpenicilina Procainica.
Tabla A4 Media varianza y desviación estándar del medicamento Bencilpenicilina
Procainica
media var desv 19356 55987339 7482.46913276 42022974 6482.51313513 18321099 4280.31514182 30675715 5538.5669500 6595318 2568.1359428 17902848 4231.176
Fuente: Elaboración propia
168
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A24.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A24 Comportamiento de Media y Varianza
Fuente: Elaboración Propia
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 5000 10000 15000 20000 25000media
desv
iaci
ón
Figura A25 Comportamiento de Media y Varianza
Fuente: Elaboración Propia
Tanto media como varianza no se comportan de manera constante. Para volver estacionaria
la varianza se debe de elaborar una transformación, mientras que para volver estacionaria
la media se debe de elaborar una diferencia.
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. De las gráficas
empleadas para determinar la estacionariedad solo se anexan la de la media contra
varianza, así como las autocorrelaciones.
169
8070605040302010
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
335.95327.09322.76321.26321.17320.99320.54316.87310.65304.30295.72285.92272.51260.91255.93
254.95254.40253.52252.46251.71247.07238.91226.64214.53202.26193.45189.53188.97188.90188.83
188.68188.55186.53183.23177.60172.70169.04167.98167.98165.74158.15153.44151.07150.93150.30
148.31144.61141.42137.86136.24136.23134.55125.24117.28110.25107.79107.79107.62106.73106.40
106.30106.13102.37 91.76 72.73 66.43 63.39 63.08 62.97 62.39 61.09 60.99 60.74 57.30 40.08
-0.39-0.29-0.18-0.05-0.07-0.11-0.33-0.45-0.47-0.57-0.63-0.76-0.73-0.49-0.22
0.17 0.22 0.25-0.21-0.54-0.74-0.93-0.95-0.98-0.85-0.58-0.22 0.08 0.08 0.12
-0.11-0.45-0.59-0.78-0.75-0.66-0.36-0.03 0.53 1.00 0.81 0.58 0.14-0.31-0.55
-0.76-0.72-0.77-0.53-0.03 0.55 1.33 1.26 1.22 0.73 0.04-0.20-0.45-0.28-0.15
0.20 0.97 1.70 2.45 1.45 1.03 0.33-0.20-0.46-0.70-0.20 0.32 1.18 2.91 6.22
-0.10-0.07-0.05-0.01-0.02-0.03-0.09-0.11-0.12-0.14-0.16-0.19-0.18-0.12-0.06
0.04 0.05 0.06-0.05-0.13-0.18-0.22-0.23-0.23-0.20-0.14-0.05 0.02 0.02 0.03
-0.03-0.11-0.14-0.18-0.17-0.15-0.08-0.01 0.12 0.22 0.18 0.13 0.03-0.07-0.12
-0.17-0.16-0.17-0.11-0.01 0.12 0.28 0.26 0.25 0.15 0.01-0.04-0.09-0.06-0.03
0.04 0.19 0.32 0.44 0.25 0.18 0.06-0.03-0.08-0.12-0.03 0.05 0.20 0.44 0.68
757473727170696867666564636261
605958575655545352515049484746
454443424140393837363534333231
302928272625242322212019181716
151413121110 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Figura A26 Autocorrelación Simple de las observaciones del medicamento
Bencilpenicilina procainica
Fuente: Elaboración Propia
10 20 30 40 50 60 70 80
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
101112131415
161718192021222324252627282930
313233343536373839404142434445
464748495051525354555657585960
616263646566676869707172737475
0.68-0.04-0.17-0.01-0.02-0.11 0.12 0.03 0.07 0.16 0.06 0.33-0.28-0.09 0.03
0.04 0.00 0.03 0.04 0.02 0.19 0.00-0.03-0.09-0.19 0.02 0.07-0.08 0.02-0.03
-0.08 0.09-0.07-0.02 0.10 0.04-0.03-0.04 0.02-0.10-0.03-0.01 0.01-0.08 0.03
0.01-0.09-0.05-0.03-0.03-0.11 0.02-0.02-0.03-0.04 0.00-0.02 0.09-0.07-0.00
-0.05 0.03 0.01 0.06 0.03-0.05-0.04-0.06 0.01-0.05 0.02-0.00 0.11-0.02-0.01
6.22-0.36-1.55-0.08-0.14-1.01 1.12 0.29 0.66 1.49 0.57 3.05-2.58-0.86 0.27
0.34 0.01 0.26 0.40 0.16 1.77 0.03-0.29-0.84-1.73 0.15 0.64-0.70 0.17-0.28
-0.74 0.79-0.67-0.22 0.94 0.38-0.25-0.35 0.20-0.88-0.26-0.06 0.06-0.71 0.27
0.13-0.80-0.48-0.25-0.27-0.98 0.23-0.17-0.32-0.39 0.03-0.18 0.82-0.60-0.00
-0.44 0.23 0.11 0.54 0.30-0.42-0.32-0.57 0.10-0.48 0.14-0.01 1.01-0.21-0.10
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A27 Autocorrelación Parcial de la demanda de Bencilpenicilina
Fuente: Elaboración Propia
Para lograr estacionariedad se han desarrollado diferentes transformaciones, la que más se
ajusta al modelo es la logarítmica. A continuación se muestran las Funciones de
Autocorrelación Simple y Parcial de la transformación, donde los estadísticos aprueban
dicha transformación. Sin embargo, se puede observar que al elaborar la transformación,
170
tanto media como varianza se vuelven constantes en el tiempo, por tanto no se elaborará
ninguna diferenciación. La Tabla A5 muestra los valores tanto de la media, varianza y
desviación estándar de la transformación logarítmica.
Tabla A5 Media varianza y desviación estándar de la transformación del medicamento
Bencilpenicilina Procainica
media var desv 9.8109 0.121922 0.349174
9.388895 0.230051 0.4796379.473318 0.075857 0.2754229.504666 0.107929 0.3285269.128346 0.064592 0.254159.084312 0.126655 0.355887
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A28.
0123456789
1011
1 2 3 4 5 6media
desv
iaci
ón
desv
media
Figura A28 Comportamiento de media y desviación de la transformación
Fuente: Elaboración Propia
171
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
9 9.2 9.4 9.6 9.8 10media
desv
iaci
ón
Figura A29 Media contra desviación estándar de la transformación logarítmica
Fuente: Elaboración Propia
De manera a priori se tiene que la transformación logarítmica ofrece estacionariedad tanto
en media como en varianza. Ahora será necesario visualizar las Funciones de
Autocorrelación Simple y Parcial.
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.75 0.49 0.26 0.08-0.02-0.09-0.04
0.02 0.12 0.22 0.32 0.45 0.35 0.22
0.08 0.00-0.04-0.06-0.01 0.04
6.80 3.10 1.46 0.42-0.10-0.51-0.21
0.10 0.64 1.22 1.73 2.34 1.70 1.02
0.37 0.00-0.16-0.30-0.06 0.16
47.93 69.18 75.05 75.58 75.61 76.40 76.53
76.56 77.86 82.73 92.95
113.30125.61130.38
131.04131.04131.17131.62131.64131.78
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A30 Autocorrelación Parcial de la transformación de Bencilpenicilina
Fuente: Elaboración Propia
La transformación logarítmica ofrece estacionariedad en la serie, pues los primeros 3
retrasos en el estadístico T son mayores a 1.25. En la función de Autocorrelación se
observa un patrón estacional cada 12, y se observa que la transformación se comporta
172
como un AR(1). Ahora se visualizará la Función de Autocorrelación Parcial para poder
determinar el modelo.
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.75-0.14-0.13-0.06 0.02-0.08 0.19
-0.00 0.13 0.12 0.14 0.24-0.31-0.02
0.01 0.08-0.02 0.01 0.01 0.02
6.80-1.30-1.20-0.53 0.21-0.70 1.73
-0.04 1.17 1.05 1.32 2.15-2.82-0.16
0.14 0.77-0.19 0.11 0.11 0.22
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A31 Autocorrelación Parcial de la transformación de Bencilpenicilina
Fuente: Elaboración Propia
En la Función de Autocorrelación Parcial se puede observar que los retrasos decaen
rápidamente a cero, por tanto es conveniente utilizar dicha transformación. Ahora bien, es
necesario visualizar el comportamiento del modelo sugerido. Sin embargo, después de
varias iteraciones, el mejor modelo para este medicamento no contiene un patrón estacional
de 12 sino de 24. Pese a que cada 12 se observa un comportamiento similar, cada 24 dicho
comportamiento es aún más palpable. El primer retrazo positivo sugiere un modelo AR(1),
ahora bien, el retrazo negativo en 12 sugería un modelo MA, no se debe de olvidar que en
diversas ocasiones un modelo AR se puede ajustar al comportamiento ofrecido por los
MA, es decir, puede ser explicado. Después de varias iteraciones para inferir el modelo
adecuado, se ha logrado determinar un modelo ARIMA(1,0,1)*SARIMA(1,0,1)24
A continuación se aprecia el comportamiento de la transformación así como el modelo
sugerido.
173
10 20 30 40 50 60 70 80
8.5
9.5
10.5
Figura A32 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la
transformación
Fuente: Elaboración Propia
Una vez que se ha determinado que el modelo es el adecuado, se deben de elaborar las
estimaciones pertinentes así como calcular el error del modelo que no se ajusta
perfectamente al comportamiento de la transformación.
10 20 30 40 50 60 70 80
8.5
9.5
10.5
Figura A33 Estimación de la transformación del medicamento Bencilpenicilina
Fuente: Elaboración Propia
174
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A34 y A35.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A34 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A34 y A35, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
175
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Dicloxacilina se tiene:
N=83; r=1, k=20
( )( )∑=
==19
1
2 169.3ˆ80i
i arQ 87.28219 =χ
3.169<28.87
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A35 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .735
176
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .752
Valor en Tabla es .735 para un α = .1
.752>.735 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
Average: -0.0110243StDev: 0.198947N: 83
Anderson-Darling Normality TestA-Squared: 0.251P-Value: 0.752
-0.5 0.0 0.5
.001.01.05
.20
.50
.80
.95
.99
.999
Figura A36 Prueba de Normalidad en los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los valores pronosticados así como sus límites inferior y superior para la transformación
del medicamento Bencilpenicilina, es el que se aprecia en Tabla A6 que se encuentra a
continuación.
Tabla A6 Pronósticos del medicamento Bencilpenicilina así como sus límites
Periodo Pronóstico Limite Inferior Limite Superior Jiulio 2005 8.94600 8.54549 9.3465
Agosto 2005 8.80797 8.29933 9.3166 Septiembre 2005 9.00516 8.42947 9.5808
Octubre 2005 8.95161 8.33100 9.5722 Noviembre 2005 9.37727 8.72542 10.0291
Diciembre 9.93826 9.26425 10.6123 Fuente: Elaboración Propia
177
Los valores presentados en la Tabla A6 no nos expresan el pronóstico deseado, para
obtener los valores en términos reales es necesario regresar a la serie original e interpretar
los resultados anteriores. Recordemos que a para el presente medicamento se determinó
elaborar una transformación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora se debe de
elaborar la operación inversa a dicha transformación, es decir, se debe de obtener ex donde
x serán los resultados de las estimaciones, pues la transformación inversa a la logarítmica
es la elevación de e. Los resultados en términos reales así como el modelo y el MAPE
calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto.
A.4 Amikacina
En el medicamento Amikacina con clave diferencial 1928 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A37
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Amikacina en el Estado
de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si
se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o
baja del consumo promedio anual.
178
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A37 Comportamiento de la Demanda del medicamento Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A7 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Amikacina.
Tabla A7 Media varianza y desviación estándar del medicamento Amikacina
media var desv 3750 306916 5543418 400689 6333760 315844 5623801 360000 6003115 250000 5003300 240100 490
.
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A38.
179
0500
1000
15002000250030003500
400045005000
1 2 3 4 5 6
grupos
valo
res desv
media
Figura A38 Comportamiento de media y desviación del medicamento Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
450
470
490
510
530
550
570
590
610
630
650
3000 3200 3400 3600 3800 4000media
desv
iaci
ón
Figura A39 Comportamiento de media y desviación del medicamento Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
180
2015105
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
50.4650.2350.2350.2350.0350.02
50.0249.7649.4849.4348.9047.9347.93
47.9147.6847.6847.5546.5242.1927.04
-0.28 0.01-0.04 0.27 0.05-0.03
-0.31-0.33 0.13-0.46-0.63 0.01 0.09
0.31-0.02 0.24 0.68 1.43 2.98 5.11
-0.05 0.00
-0.21 0.04 0.01-0.01
-0.05-0.05 0.02-0.07-0.10 0.00 0.01
0.05-0.00 0.04 0.11
0.00 0.42 0.56
201918171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A40 Función de Autocorrelación de la demanda de la Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
El estadístico T es superior a 1.25 para los primeros 3 retrasos, por tanto se tiene que la
serie es estacionaria. Es importante recalcar que en el retraso 18 se observa un
comportamiento clásico de un MA con un patrón estacional de 18.
2015105
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
TPACLagTPACLagTPACLag
-0.48-0.37-0.73 0.58 0.10 0.91
-0.63-1.32 1.56 0.45-1.27-0.36-0.39
0.91-0.12-0.05-0.42-0.83 1.36 5.11
-0.05-0.04-0.08 0.06 0.01 0.10
-0.07-0.14 0.17 0.05-0.14-0.04-0.04
0.10-0.01-0.01-0.05-0.09 0.15 0.56
201918171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A41 Función de Autocorrelación Parcial de la demanda de Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
181
Al analizar las funciones de Autocorrelación Simple y Función de Autocorrelación Parcial,
nos indican que los datos son estacionarios, es decir, no es necesario elaborar
transformación alguna.
El modelo empleado ha sido evaluado antes de realizar el pronóstico para así compararlo
con la serie original, en la siguiente figura se puede observar el comportamiento de la serie
original así como el posible modelo que será utilizado. El modelo que mejor se ajusta al
comportamiento de la serie es el ARIMA(1,0,1)*SARIMA(1,0,1)18 el patrón estacional
para S=18 es el que mejor se ajusta al comportamiento de la serie.
8070605040302010
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
Time
Figura A42 Modelo propuesto en comparación con los datos reales
Fuente: Elaboración Propia
Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento
Amikacina, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el
pronóstico para el segundo semestre del 2005.
182
Figura A43 Estimación de la Demanda de Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
El comportamiento de los residuales nos indica que este modelo es adecuado para emplear
los pronósticos, pues la prueba de Anderson-Darling fue de .89
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .89
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.89>.757 por tanto:
Rechazo Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal
10 20 30 40 50 60 70 80
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
183
P-Value: 0.890A-Squared: 0.194
Anderson-Darling Normality Test
N: 83StDev: 711.854Average: -0.46932
10000-1000-2000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A44 Comportamiento de los Residuales del medicamento Amikacina
Fuente: Elaboración Propia
Ahora es importante ver que los residuales se encuentren dentro de los parámetros
estipulados, es decir, dentro de los intervalos de confianza tal y como se observa en la
siguiente figura.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A45 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
184
Como se puede observar en la figura A45 y A46, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Dicloxacilina se tiene:
N=83; r=3, k=20
( )( )∑=
==17
1
2 004.1ˆ80i
i arQ 26217 =χ
1.004<26
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
185
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A46 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los resultados así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5
del presente proyecto.
A5. Paracetamol
En el medicamento Paracetamol con clave diferencial 0104 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A47
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Paracetamol en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
186
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A47 Comportamiento de la Demanda del medicamento Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria en varianza, para
ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de 12 elementos, pues la
información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene la media, varianza y
desviación estándar de cada grupo. La Tabla A8 muestra la media varianza y desviación
estándar para el medicamento Paracetamol.
Tabla A8 Media varianza y desviación estándar del medicamento Paracetamol
media var desv 16214 4367595 2089.87922512876 12338381 3512.60309714459 4395066 2096.44133414508 7700911 2775.05149314047 2838479 1684.77867413719 4015173 2003.789614
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A48.
187
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A48 Comportamiento de Media y Varianza
Fuente: Elaboración Propia
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 5000 10000 15000 20000grupos
valo
res
Figura A49 Comportamiento de Media y Varianza
Fuente: Elaboración Propia
Tanto media como varianza no se comportan de manera constante. Para volver estacionaria
la varianza se debe de elaborar una diferenciación, mientras que para volver estacionaria la
media se debe de elaborar una transformación.
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial. Los datos arrojados
por las Autocorrelaciones nos indicaron que no se deben de utilizar las observaciones para
emplear el pronóstico, pues no están dentro de los intervalos permitidos. A continuación se
muestran las funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
188
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.26-0.00 0.08 0.10-0.08-0.11-0.05
-0.14-0.13-0.21-0.16 0.03-0.08-0.12
-0.08 0.08 0.03-0.06 0.07 0.13
2.40-0.04 0.69 0.88-0.71-0.95-0.42
-1.15-1.04-1.69-1.23 0.21-0.64-0.94
-0.59 0.60 0.24-0.47 0.55 0.93
5.96 5.96 6.54 7.50 8.15 9.32 9.56
11.3712.9417.2319.6919.7720.4922.07
22.7123.3823.4923.9224.5326.31
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A50 Autocorrelación Simple del medicamento Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.26-0.08 0.11 0.05-0.13-0.06-0.03
-0.13-0.03-0.19-0.07 0.10-0.15-0.05
-0.10 0.03-0.00-0.13 0.05 0.02
2.40-0.72 1.02 0.50-1.20-0.51-0.28
-1.22-0.27-1.77-0.64 0.93-1.37-0.50
-0.87 0.31-0.03-1.17 0.47 0.18
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A51 Autocorrelación Parcial de la demanda del Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
La figura A50 y A51 que representan las Funciones de Autocorrelación tanto simple como
parcial manifiestan un comportamiento similar al que se observa con el modelo
ARIMA(1,1,1), pues ambas funciones decáen rápidamente a cero.
189
Como se puede observar en las gráficas A43, A44, A45 y A46 se observa que no se puede
trabajar con esos datos, así que se elabora una transformación, misma que tampoco es
estacionaria, enseguida se calcula la media contra la varianza. No se adjuntan todas las
iteraciones utilizadas por falta de espacio. La transformación que logra una estacionariedad
en este medicamento es el logaritmo natural de las observaciones, lo cual vuelve a la serie
estacionaria en varianza, para volverla estacionaria en media se elaboró una diferenciación,
la cual no fue suficiente, pues se observaba un patrón estacional que se pudo eliminar con
otras 2 diferencias. La Tabla A9 muestra los valores tanto de la media, varianza y
desviación estándar de las diferencias de la transformación logarítmica
Tabla A9 Media varianza y desviación estándar de la transformación del Paracetamol
Media varianza desviacion -0.20941250 0.08786907 0.29642718 0.04479167 0.08003346 0.28290186 0.06471083 0.26521407 0.51498939 -0.08669583 0.15167149 0.38945024
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A52.
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
1 2 3 4
grupos
valo
res desviacion
media
Figura A52 Comportamiento de media y desviación de la transformación
Fuente: Elaboración Propia
190
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1media
desv
iaci
ón
Figura A53 Media contra desviación estándar de la transformación logarítmica
Fuente: Elaboración Propia
De manera a priori se tiene que la transformación logarítmica ofrece estacionariedad tanto
en media como en varianza. Ahora será necesario visualizar las Funciones de
Autocorrelación Simple y Parcial.
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.26-0.00 0.08 0.10-0.08-0.11-0.05
-0.14-0.13-0.21-0.16 0.03-0.08-0.12
-0.08 0.08 0.03-0.06 0.07 0.13
2.40-0.04 0.69 0.88-0.71-0.95-0.42
-1.15-1.04-1.69-1.23 0.21-0.64-0.94
-0.59 0.60 0.24-0.47 0.55 0.93
5.96 5.96 6.54 7.50 8.15 9.32 9.56
11.3712.9417.2319.6919.7720.4922.07
22.7123.3823.4923.9224.5326.31
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A54 Autocorrelación Simple de la transformación de Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
Claramente se observa que la Función de Autocorrelación decae rápidamente a cero, ahora
bien será necesario analizar la Función de Autocorrelación Parcial para este medicamento,
y así poder determinar el modelo
191
2015105
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
TPACLagTPACLagTPACLag
0.18 0.47-1.17-0.03 0.31-0.87
-0.50-1.37 0.93-0.64-1.77-0.27-1.22
-0.28-0.51-1.20 0.50 1.02-0.72 2.40
0.02 0.05-0.13-0.00 0.03-0.10
-0.05-0.15
0.19-0.07-0.19-0.03-0.13
-0.03-0.06-0.13 0.05 0.11-0.08 0.26
201918171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A55 Autocorrelación Parcial de la transformación de Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
En la figura A54 y A55 se aprecia que las Funciones tanto de Autocorrelación Simple
como Parcial se van rápidamente a cero, por tanto se comienza a sospechar de un modelo
ARIMA(1,1,1). Ahora bien, es necesario visualizar el comportamiento del modelo
sugerido. El mejor modelo para este medicamento contiene un patrón estacional de 12 esto
puede ser debido a que la información es anual. El primer retrazo positivo sugiere un
modelo AR(1), ahora bien, el retrazo negativo en 12 sugería un modelo MA, no se debe de
olvidar que en diversas ocasiones un modelo AR se puede ajustar al comportamiento
ofrecido por los MA, es decir, puede ser explicado. Después de varias iteraciones para
inferir el modelo adecuado, se ha logrado determinar un modelo
ARIMA(1,1,1)*SARIMA(1,2,1)12 no debemos olvidar que al elaborar diferenciaciones
para volver estacionaria la media, se puede caer en una sobrediferenciación. Para evitar la
sobrediferenciación se debe de calcular la varianza, si ésta aumenta al incrementar las
diferenciaciones, entonces se cuenta con una sobrediferenciación.
192
A continuación se aprecia el comportamiento de la transformación así como el modelo
sugerido.
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
8.8
9.3
9.8
10.3
Figura A56 Modelo propuesto en comparación con los datos reales
Fuente: Elaboración Propia
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
8.5
9.0
9.5
10.0
Figura A57 Estimación de la transformación de la demanda del Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
193
Una vez que se ha determinado que el modelo es el adecuado, se deben de elaborar las
estimaciones pertinentes así como calcular el error del modelo que no se ajusta
perfectamente al comportamiento de la transformación.
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .757
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .760
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.760>.757 por tanto:
Se rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal
P-Value: 0.76A-Squared: 0.307
Anderson-Darling Normality Test
N: 58StDev: 0.238100Average: 0.0199900
0.50.0-0.5
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A58 Comportamiento de los Residuales del medicamento Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
194
Los valores pronosticados así como sus límites inferior y superior para la transformación
del medicamento Paracetamol, es el siguiente:
Tabla A10 Pronósticos del medicamento Paracetamol así como sus límites inferior y
exterior
Periodo Pronóstico Limite Inferior Limite Superior Jiulio 2005 9.25661 8.77082 9.7424
Agosto 2005 9.36941 8.84976 9.8891 Septiembre 2005 9.12615 8.60096 9.6513
Octubre 2005 9.02571 8.49922 9.5522 Noviembre 2005 9.58710 9.06010 10.1141
Diciembre 9.55658 9.02928 10.0839
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A59 y A60.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A59 Función de Autocorrelación de los residuales para el Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
195
Como se puede observar en la figura A59 y A60, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Paracetamol se tiene:
N=58; r=4, k=214
( )( )∑=
==10
1
2 94.7ˆ58i
i arQ 3.18219 =χ
7.94<18.3
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
196
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A60 Función de Autocorrelación Parcial de los residuales para el Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
Los valores presentados en la Tabla A11 no expresan el pronóstico deseado, para obtener
los valores en términos reales es necesario regresar a la serie original e interpretar los
resultados anteriores. Recordemos que a principio del presente medicamento se determinó
elaborar una transformación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora se debe de
elaborar la operación inversa a dicha transformación, es decir, se debe de obtener ex donde
x serán los resultados de las estimaciones, pues la transformación inversa a la logarítmica
es la elevación de e y elaborar la diferencia del valor en zt- zt-1, así como de zt-zt-12. Los
resultados en términos reales así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el
capítulo 4 y 5 del presente proyecto.
A6. Cloruro de Sodio
En el medicamento Cloruro de Sodio con clave diferencial 3608 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A61
197
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Cloruro de Sodio en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
Ago
-98
Feb-
99
Ago
-99
Feb-
00
Ago
-00
Feb-
01
Ago
-01
Feb-
02
Ago
-02
Feb-
03
Ago
-03
Feb-
04
Ago
-04
Feb-
05
Figura A61 Comportamiento de la Demanda del medicamento Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A11 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Cloruro de Sodio.
Tabla A11 Media varianza y desviación estándar del medicamento Cloruro de Sodio
media var desv 31261 12629186 3553.75723660 47967429 6925.85224092 23995001 4898.46923786 106727182 10330.8821405 49606457 7043.18520674 34454644 5869.808
Fuente: Elaboración propia
198
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A62
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A62 Comportamiento de media y desviación del medicamento Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 10000 20000 30000 40000media
desv
iaci
ón
Figura A63 Comportamiento de media y desviación del medicamento Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
199
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.19 0.15 0.01
0.18 0.05 0.01 0.15
0.18 0.06 0.09 0.09 0.23 0.00-0.03
0.03 0.03 0.11 0.11 0.07 0.02
1.74 1.34 0.86 1.57 0.39 0.09 1.22
1.47 0.45 0.73 0.73 1.81 0.02-0.19
0.23 0.23 0.81 0.79 0.55 0.12
3.12 5.14 6.02 9.05 9.25 9.26
11.28
14.3414.6415.4616.2921.6021.6021.67
21.7621.8623.1124.3424.9424.97
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A64 Autocorrelación Simple para el medicamento Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.19 0.05 0.12
0.15-0.03-0.04 0.14
0.12-0.02 0.05 0.02 0.17-0.07-0.10
-0.00-0.03 0.13 0.09-0.06-0.08
1.74 1.10 0.49 1.36-0.23-0.35 1.28
1.13-0.21 0.48 0.16 1.56-0.67-0.90
-0.04-0.24 1.20 0.86-0.50-0.75
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A65 Autocorrelación Parcial para el Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
Las Funciones de Autocorrelación tanto simple como parcial mostradas en las Figuras A66
y A63, manifiestan un comportamiento similar al modelo ARIMA(1,1,0), pues la Función
de Autocorrelación simple se va rápidamente a cero, mientras que la Función de
Autocorrelación parcial se corta después del primer rezago. Pese a que también la Función
200
de Autocorrelación tanto simple como parcial se comportan como los modelos de
promedio móvil, al momento de elaborar el pronóstico y verificar el comportamiento de los
residuales se puede observar que el promedio móvil no se ajusta para el presente
medicamento, es ahora cuando no se debe de olvidar que un modelo autorregresivo en
ciertas ocasiones se puede ajustar a los promedios móviles, por tanto, después de diversas
iteraciones, se ha encontrado el modelo que mejor se ajusta al comportamiento de los
datos. Tal modelo es el ARIMA(1,1,0)*SARIMA(1,0,0)12. A continuación se observa el
modelo sugerido en comparación con las observaciones.
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
Figura A66 Modelo propuesto en comparación con los datos reales
Fuente: Elaboración Propia
Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento Cloruro
de Sodio, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el
pronóstico para el segundo semestre del 2005.
201
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
Figura A67 Estimación de la Demanda del Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
Un buen pronóstico se mide a partir de los residuales, por tanto, ahora se debe analizar el
comportamiento de los residuales. Se desea que los residuales se comporten de manera
normal.
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .867
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.867>.757 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
202
Average: 0.051StDev: 8189.69N: 82
Anderson-Darling Normality TestA-Squared: 0.206
P-Value: 0.867
-20000 -10000 0 10000 20000
.001.01.05
.20
.50
.80
.95
.99
.999
Figura A68 Comportamiento de los Residuales del medicamento Cloruro de Sodio
Fuente: Elaboración Propia
Las Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial de los residuales deben de ser
analizadas el comportamiento de estas debe permanecer dentro de los límites de confianza.
La figura A69 y A70 que se muestran a continuación muestran un alto rezago en el
doceavo retraso, por tanto, se recomienda un patrón estacional de 12.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A69 ACF de Residuales
Fuente: Elaboración Propia
203
Como se puede observar en la figura A69 y A70, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Cloruro de Sodio se tiene:
N=82; r=2, k=20
( )( )∑=
==18
1
2 1056.0ˆ82i
i arQ 87.28219 =χ
0.1056<28.87
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
204
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A70 PACF Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los valores presentados con anterioridad expresan el pronóstico en términos reales.
Recordemos que a principio del presente medicamento se determinó elaborar una
diferenciación para volver estacionaria la serie, por tanto, ahora la ecuación contiene dicha
diferencia, es decir, zt - zt-1. Los resultados en términos reales así como el modelo y el
MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del presente proyecto.
A7. Naproxeno
En el medicamento Naproxeno con clave diferencial 3407 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A71
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Naproxeno en el Estado
de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si
205
se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o
baja del consumo promedio anual.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A71 Comportamiento de la Demanda del medicamento Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A12 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Naproxeno.
Tabla A12 Media varianza y desviación estándar del medicamento Naproxeno
media var desv 7723 1123190 1059.8075288 2515289 1585.9666353 1634261 1278.3826199 894642 945.85525335 581922 762.83834927 564122 751.0805
Fuente: Elaboración propia
206
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A72.
-1000
1000
3000
5000
7000
9000
11000
13000
15000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A72 Comportamiento de media y desviación del medicamento Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 2000 4000 6000 8000 10000media
desv
iaci
ón
Figura A73 Comportamiento de media y desviación del medicamento Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
207
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.54 0.41 0.03
0.27 0.17 0.15 0.18
0.16 0.14 0.06-0.01 0.09-0.06-0.05
-0.07 0.10 0.15 0.17 0.17 0.15
4.93 2.94 2.10 1.69 1.03 0.89 1.06
0.94 0.84 0.36-0.03 0.54-0.32-0.29
-0.41 0.55 0.84 0.94 0.94 0.82
25.1839.5448.5155.0557.6659.6962.64
65.1067.1067.4967.4968.3768.6968.95
69.4870.4672.8075.8278.9581.45
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A74 Autocorrelación del medicamento Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
2015105
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
TPACLagTPACLagTPACLag
-0.17-0.02 0.38 1.35 2.00-0.32
0.10-1.79 1.53-0.86-0.86 0.16 0.21
0.87 0.27-0.49 0.52 0.63 1.46 4.93
-0.02-0.00 0.04 0.15 0.22-0.04
0.01-0.20 0.17-0.09-0.09 0.02 0.02
0.10 0.03-0.05 0.06 0.07 0.16 0.54
201918171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A75 Autocorrelación Parcial del medicamento Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
En la gráfica 74 y 75 se puede observar que los valores caen rápidamente a cero, por tanto,
es conveniente utilizar dicha serie sin elaborar transformación alguna. Sin embargo,
después de diversas iteraciones, se ha comprobado que al elaborar una diferenciación con
un patrón estacional de S=12, las estimaciones se acercan más a los reales. Esto puede ser
208
debido a que los datos se han registrado de manera mensual, y no se debe olvidar que el
presente proyecto trata de medicamentos, los cuales dependen de enfermedades, mismas
que a su vez en ocasiones dependen del clima particular de algún mes en específico, es por
ello, que no nos debe sorprender que cada enero se manifieste una demanda en especial de
cierto medicamento.
En la figura que se muestra a continuación se aprecia el comportamiento del medicamento
en comparación del modelo propuesto.
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
2000
4000
6000
8000
10000
Figura A76 Modelo propuesto en comparación con los datos reales
Fuente: Elaboración Propia
En la figura A77 se observa el comportamiento de las estimaciones para el segundo
semestre del año 2005.
209
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
0
5000
10000
Figura A77 Estimación de la Demanda del Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A78 y A79.
3 6 9 12 15 18
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A78 ACF de Residuales
Fuente: Elaboración Propia
210
Como se puede observar en la figura A78 y A79, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Naproxeno se tiene:
N=71; r=2, k=17
( )( )∑=
==15
1
2 9.5ˆ71i
i arQ 25215 =χ
5.9<26
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
211
3 6 9 12 15 18
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A79 PACF Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Tanto en la Figura A78 como A79 se manifiesta un alto valor en el quinceavo retrazo, sin
embargo, esto puede ser debido a outliers.
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .874
P-Value: 0.874A-Squared: 0.202
Anderson-Darling Normality Test
N: 71StDev: 1207.54Average: 0.0793
3000200010000-1000-2000-3000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A80 Comportamiento de los Residuales del medicamento Naproxeno
Fuente: Elaboración Propia
212
Estadísticamente hablando, se tienen las siguientes hipótesis:
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .874
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.874>.757 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
A8. Glibenclamida
En el medicamento Glibencalmida con clave diferencial 0574 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A81
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Glibenclamida en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual
213
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A81 Comportamiento de la Demanda del medicamento Glibenclamida
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A13 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Glibenclamida
Tabla A13 Media, varianza y desviación estándar del medicamento Glibenclamida
media var desv 9889 1186852 1089.4278575 6107271 2471.2899356 1391016 1179.4139426 1269818 1126.8627798 473313 687.97767045 430762 656.3244
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A82.
214
-1000
1000
3000
5000
7000
9000
11000
13000
15000
17000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A82 Comportamiento de Media y Varianza
Fuente: Elaboración Propia
Tanto media como varianza se comportan de manera constante. Sin embargo, no se
afirmará nada hasta no visualizar la Función de Autocorrelación Simple y Parcial.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000media
desv
iaci
ón
Figura A83 Media contra desviación estándar
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación
215
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.49 0.42 0.23 0.17 0.08-0.04 0.10
0.06-0.01-0.06-0.12 0.17
-0.10-0.05
-0.09 0.08 0.10 0.04 0.08 0.04
4.44 3.12 1.52 1.14 0.52-0.23 0.65
0.36-0.09-0.41-0.74 0.41-0.64-0.29
-0.58 0.53 0.62 0.22 0.52 0.23
20.4835.5840.0842.7543.3443.4544.39
44.6944.7145.1046.4246.8447.8848.10
48.9949.7450.7850.9251.6851.83
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A84 Autocorrelación del medicamento Glibenclamida
Fuente: Elaboración Propia
2015105
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
TPACLagTPACLagTPACLag
-0.47-0.94-0.73 1.02 2.09-0.40
-0.64-1.24 2.18-0.69-0.41-1.47 0.14
1.90-1.17-0.28 0.10-0.55 2.13 4.44
-0.05-0.10-0.08 0.11 0.23-0.04
-0.07-0.14 0.24-0.08-0.05-0.16 0.02
0.21-0.13-0.03 0.01-0.06 0.23 0.49
201918171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A85 Autocorrelación Parcial del medicamento Glibenclamida
Fuente: Elaboración Propia
La gráfica A84 y A85 manifiestan un alto valor en el retraso 12, por tanto se considera
recomendable elaborar una diferencia, después de varias iteraciones, se ha comprobado que
dos diferencias resulten dicho problema, por tanto D=2, una tercera diferenciación no es
216
conveniente, puesto que la varianza se incrementa. En la gráfica A86 y A87 se pueden
observar la Función de Autocorrelación Simple y Parcial de la segunda diferencia de los
datos.
4 9 14
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
0.65 0.53 0.34 0.10-0.06-0.11-0.10
-0.12-0.19-0.18-0.24-0.38-0.14-0.19
5.02 2.97 1.67 0.48-0.29-0.50-0.45
-0.57-0.88-0.82-1.08-1.71-0.59-0.79
26.5043.9951.3151.9952.2553.0253.65
54.7257.3259.6563.9575.2376.7579.55
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A86 Función de Autocorrelación para D=2
Fuente: Elaboración propia
4 9 14
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
0.65 0.17-0.11-0.25-0.13 0.10 0.15
-0.09-0.29-0.06-0.01-0.24 0.49-0.22
5.02 1.33-0.83-1.93-1.00 0.78 1.12
-0.69-2.23-0.45-0.10-1.87 3.74-1.69
Lag PAC T Lag PAC T
Figura A87 Función de Autocorrelación Parcial para D=2
Fuente: Elaboración propia
217
La Función de Autocorrelación tanto simple como parcial se comportan como los modelos
autorregresivos, al momento de elaborar el pronóstico y verificar el comportamiento de los
residuales se puede observar que el promedio móvil se ajusta para el presente
medicamento, después de diversas iteraciones, se ha encontrado el modelo que mejor se
ajusta al comportamiento de los datos. Tal modelo es el ARMA(1,0,1)*SARIMA(1,2,1)12.
A continuación se observa el modelo sugerido en comparación con las observaciones.
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
2500
3500
4500
5500
6500
7500
8500
Figura A88 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la
transformación
Fuente: Elaboración Propia
Ahora que se ha decidido el modelo que se ajusta a la demanda del medicamento
Glibenclamida, es necesario elaborar el pronóstico. En la siguiente figura se muestra el
pronóstico para el segundo semestre del 2005.
218
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Time
Figura A89 Estimación de la transformación del medicamento Glibenclamida
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza, de lo contrario, no se
hablaría de ruido blanco. Tal resultado se aprecia en las Figuras A90 y A91.
151413121110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A90 Función de Autocorrelación Simple de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
219
Como se puede observar en la figura A90 y A91, los residuales se comportan como ruido
blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para confirmar lo
anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Glibenclamida se tiene:
N=59; r=3, k=14
( )( )∑=
==11
1
2 51.1ˆ59i
i arQ 19215 =χ
1.51<18
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
220
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A91 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .872
P-Value: 0.872A-Squared: 0.203
Anderson-Darling Normality Test
N: 59StDev: 944.144Average: 0.7861
200010000-1000-2000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A92 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
221
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .872
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.872>.757 por tanto:
Se rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal
A9. Captopril
En el medicamento Captopril con clave diferencial 0574 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura A93
se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Captopril en el Estado
de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede determinar si
se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos ya sea en alta o
baja del consumo promedio anual.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A93 Comportamiento de la Demanda del medicamento Captopril
Fuente: Elaboración Propia
222
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A14 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Captopril
Tabla A14 Media varianza y desviación estándar del medicamento Captopril
media var desv 9889 1186852 1089.4278575 6107271 2471.2899356 1391016 1179.4139426 1269818 1126.8627798 473313 687.97767045 430762 656.3244
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A94.
0
5000
10000
15000
20000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A94 Comportamiento de media y desviación del medicamento Captopril
Fuente: Elaboración Propia
223
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000media
desv
iaci
ón
Figura A95 Media contra desviación estándar
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.510.520.03
0.370.300.180.29
0.250.180.180.120.300.140.21
0.120.280.230.200.200.14
4.623.882.452.181.691.001.56
1.310.920.930.601.480.671.03
0.591.351.081.91
0.900.65
22.17 46.10 59.23 71.35 79.52 82.61 90.47
96.44 99.54
102.80104.22112.98114.88119.51
121.08129.52135.23139.47143.78146.09
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A96 Función de Autocorrelación para el Captopril
Fuente: Elaboración Propia
224
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.51 0.36 0.05 0.07 0.02-0.12 0.19
0.10-0.12 0.03-0.05 0.25-0.05 0.00
-0.09 0.24 0.06-0.02-0.10-0.11
4.62 3.27 0.47 0.63 0.21-1.10 1.72
0.90-1.08 0.23-0.42 2.31-0.48 0.04
-0.85 2.22 0.53-0.14-0.89-0.97
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A97 Autocorrelación Parcial del Captopril
Fuente: Elaboración Propia
En la gráfica 96 y 97 se puede observar que los valores caen rápidamente a cero, por tanto,
es conveniente utilizar dicha serie sin elaborar transformación alguna. Sin embargo,
después de diversas iteraciones, se ha comprobado que al elaborar una diferenciación con
un patrón estacional de S=18, las estimaciones se acercan más a los reales.
10 20 30 40 50 60 70 80
5000
7500
10000
12500
Time
Figura A98 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento serie
Fuente: Elaboración Propia
225
En la figura A99 se observa el comportamiento de las estimaciones para el segundo
semestre del año 2005.
10 20 30 40 50 60 70 80
2000
7000
12000
Figura A99 Estimación de la transformación del Captopril
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A100 y A101.
226
2 4 6 8 10 12 14 16
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A100 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A100 y A101, los residuales se comportan como
ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para
confirmar lo anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Captopril se tiene:
227
N=64; r=4, k=16
( )( )∑=
==16
1
2 0576.0ˆ64i
i arQ 12212 =χ
0.0576<12
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A101 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que los residuales se comportan de manera normal, pues el P-
Value es de .856
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .856
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.856>.757 por tanto:
228
Se Rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal
P-Value: 0.856A-Squared: 0.210
Anderson-Darling Normality Test
N: 65StDev: 1071.88Average: 0.611
20000-2000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A102 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los resultados así como el modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5
del presente proyecto
A10. Glucosa
En el medicamento Glucosa con clave diferencial 3603 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura
A103 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Glucosa en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
229
0
5000
10000
15000
20000
25000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A103 Comportamiento de la Demanda de la Glucosa
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A15 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Glucosa.
Tabla A15 Media varianza y desviación estándar del medicamento Glucosa
media var desv 17323 4424879 2103.5395812915 4995093 2234.9705613784 6587906 2566.6916712950 23759169 4874.3378312548 17555580 4189.9378912514 15013152 3874.68092
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A104.
230
0
5000
10000
15000
20000
25000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A104 Comportamiento de media y desviación del medicamento Glucosa
Fuente: Elaboración Propia
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
10000 12000 14000 16000 18000media
desv
iaci
ón
Figura A105 Comportamiento de media y desviación del medicamento Glucosa
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
231
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.28
0.09 0.17 0.27 0.08 0.02 0.10
0.07 0.07-0.03 0.02 0.19 0.01-0.08
0.01 0.07 0.01 0.24
0.09 0.07
1.60 0.80 1.45 2.28 0.68 0.19 0.81
0.58 0.58-0.24 0.14 1.49 0.06-0.64
0.06 0.56 0.09 0.28 0.66 0.55
2.67 3.37 5.79
12.1512.7812.8413.78
14.2814.7914.8814.9118.4518.4619.16
19.1619.7219.7419.8820.7221.30
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A106 Función de Autocorrelación para la Glucosa
Fuente: Elaboración Propia
2015105
1.00.80.60.40.20.0
-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0
TPACLagTPACLagTPACLag
0.30 0.51 0.77 0.33-0.04-0.03
-0.80-0.54 1.68-0.11-0.60 0.45-0.12
0.34-0.33-0.03 2.04 1.32 0.55 1.60
0.03 0.06 0.08 0.04-0.00-0.00
-0.09-0.06 0.18-0.01-0.07 0.05-0.01
0.04-0.04-0.00 0.22 0.14 0.06 0.18
201918171615
1413121110 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Figura A107 Función de Autocorrelación Parcial de la Glucosa
Fuente: Elaboración Propia
232
10 20 30 40 50 60 70 80
-10000
0
10000
20000
Figura A108 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la serie
Fuente: Elaboración Propia
10 20 30 40 50 60 70 80
0
10000
20000
30000
Figura A109 Estimación de la transformación de la Glucosa
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A110 y A111.
233
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A110 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A110 y A111, los residuales se comportan como
ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para
confirmar lo anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
234
Por tanto para el medicamento Glucosa se tiene:
N=47; r=2, k=11
( )( )∑=
==11
1
2 70.2ˆ47i
i arQ 1629 =χ
2.70<16
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A111 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .1 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .834
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
P-Value = .834
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
235
.834>.757 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
P-Value: 0.834A-Squared: 0.217
Anderson-Darling Normality Test
N: 47StDev: 4367.16Average: 0.109
100000-10000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A112 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
A11. Ranitidina
En el medicamento Ranitidina con clave diferencial 1233 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura
A113 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Ranitidina en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
236
02000400060008000
100001200014000160001800020000
Aug
-98
Feb-
99
Aug
-99
Feb-
00
Aug
-00
Feb-
01
Aug
-01
Feb-
02
Aug
-02
Feb-
03
Aug
-03
Feb-
04
Aug
-04
Feb-
05
Figura A113 Comportamiento de la Demanda del medicamento Ranitidinna
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A16 muestra la media
varianza y desviación estándar para el medicamento Ranitidina.
Tabla A16 Media varianza y desviación estándar del medicamento Ranitidina
media var desv 13574 3193086 1786.9208811614 9273773 3045.2870611939 2929894 1711.6932811532 12530646 3539.865311589 3668797 1915.4105211388 5070643 2251.8088
Fuente: Elaboración propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A114.
237
02000
40006000
8000
1000012000
14000
16000
18000
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res desv
media
Figura A114 Comportamiento de media y desviación del medicamento Ranitidina
Fuente: Elaboración Propia
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
11000 11500 12000 12500 13000 13500 14000media
desv
iaci
ón
Figura A115 Comportamiento de media y desviación del medicamento Ranitidna
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
238
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.26
0.16-0.04 0.08 0.05 0.05 0.10
0.03-0.02-0.03-0.04 0.10-0.09-0.01
-0.16 0.06 0.08 0.01 0.10 0.00
1.48 1.41-0.35 0.71 0.39 0.47 0.89
0.22-0.13-0.21-0.33 0.86-0.76-0.06
-1.31 0.48 0.69 0.08 0.81 0.03
2.26 4.44 4.58 5.19 5.37 5.64 6.65
6.72 6.74 6.80 6.95 7.96 8.78 8.79
11.3411.7112.4812.4913.5813.59
Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ
Figura A116 Función de Autocorrelación para la Ranitidina
Fuente: Elaboración Propia
5 10 15 20
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
1 2 3 4 5 6 7
8 9
1011121314
151617181920
0.16 0.14-0.09 0.08 0.04 0.01 0.10
-0.02-0.05-0.01-0.04 0.11-0.12-0.02
-0.11 0.09 0.13-0.06 0.11 0.00
1.48 1.23-0.80 0.76 0.39 0.12 0.90
-0.14-0.46-0.06-0.40 1.03-1.13-0.17
-0.97 0.81 1.17-0.58 0.97 0.01
Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T
Figura A117 Función de Autocorrelación Parcial para la Ranitidina
Fuente: Elaboración Propia
La figura A116 y A117 que representan las Funciones de Autocorrelación tanto simple
como parcial manifiestan un comportamiento similar al que se observa con el modelo
ARIMA(1,1,1), pues ambas funciones decaen rápidamente a cero.
239
Time
ln
80706050403020101
10.5
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
Figura A118 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la
transformación
Fuente: Elaboración Propia
10 20 30 40 50 60 70 80
4000
9000
14000
19000
Figura A119 Estimación de la transformación del Ranitidina
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
240
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A120 y A121
2 4 6 8 10 12 14 16
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A120 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A120 y A121, los residuales se comportan como
ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para
confirmar lo anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
241
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Ranitidina se tiene:
N=50; r=3, k=12
( )( )∑=
==12
1
2 02.0ˆ50i
i arQ 1629 =χ
0.02<16
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
2 4 6 8 10 12 14 16
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura A121 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .1 se tiene que la diferencia de la transformación se comporta de manera
normal, pues el P-Value es de .821
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
242
P-Value = .82
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.82>.757 por tanto:
Rechazo Ho y concluyo que los residuales se distribuyen normal
P-Value: 0.821A-Squared: 0.223
Anderson-Darling Normality Test
N: 66StDev: 3146.89Average: .245796
50000-5000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A122 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los resultados del modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del
presente proyecto.
A12. Caseinato de Calcio
En el medicamento Caseinato de Calcio con clave diferencial 0022 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura
A123 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Caseinato de
Calcio en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se
243
puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos
periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
80726456484032241681
600
500
400
300
200
100
Figura A123 Comportamiento de la demanda del medicamento Caseinato de Calcio
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A17 muestra la media,
varianza y desviación estándar para el medicamento Caseinato de Calcio.
Tabla A17 Media, varianza y desviación estándar del medicamento Caseinato de Calcio
media var desv 329 4290 65.4998728340 9099 95.3911803377 9251 96.1819614295 11896 109.066563240 2412 49.1111114318 16078 126.797948
Fuente: Elaboración propia
244
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A124.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res media
desv
Figura A124 Comportamiento de media y desviación del medicamento Caseinato de Calcio
Fuente: Elaboración propia
0
20
40
60
80
100
120
140
0 100 200 300 400media
desv
iaci
ón
Figura A125 Comportamiento de media y desviación del medicamento Caseinato de Calcio
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
245
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A126 Función de Autocorrelación para el Caseinato de Calcio
Fuente: Elaboración Propia
No se elaboró diferenciación entre ellos, pues si la Función de Autocorrelación Simple de
la serie de datos originales desciende rápidamente a cero, entonces los datos son
estacionarios en media y no es necesario elaborar ninguna diferenciación, sin embargo, si
se tiene duda sobre si se debe o no de hacer alguna diferenciación , un buen parámetro a
considerar es la desviación estándar, que en el caso del medicamento Caseinato de Calcio
aumentó considerablemente al establecer la primera diferencia.
La media contra la varianza es graficada para determinar si los datos son estacionarios en
varianza. Si los datos se observan con tendencia positiva o negativa, entonces no son
estacionarios. Sin embargo, si se presentan estables entonces los datos son estacionarios en
varianza.
Para el medicamento Caseinato de Calcio, la gráfica de la media contra varianza se observa
un comportamiento sin tendencia alguna, es decir, los valores se ven repartidos dentro de
sus límites, por tanto se dice que los datos presentan estacionariedad, es decir, tienen media
y varianza constante.
246
Las Funciones de Autocorrelación mostrarán tanto estadística como empíricamente el
comportamiento de las observaciones.
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A127 Función de Autocorrelación Parcial para el Caseinato de Calcio
Fuente: Elaboración Propia
Empíricamente se presentan dos situaciones: En la función de autocorrelación se muestra
que los retrasos caen rápidamente a cero; mientras que en la función de Autocorrelación
Parcial se muestra que el primer retraso es mayor que todos y no se encuentra dentro de las
barras de significación; por tanto se podría tener como Modelo Tentativo un Modelo
Autorregresivo de Orden uno, pues dichas propiedades sin características de dicho modelo,
pero no se afirmará nada hasta no elaborar las pruebas estadísticas necesarias.
En la Figura A127 se pueden apreciar la estacionariedad en media, pues el estadístico T
mencionado en el capítulo 2 dice que si el valor absoluto del estadístico en mayor que 1.25
para los primeros 3 retrasos ó mayor a 2 para los retrasos del 4 en adelante, entonces el
retraso no es igual a cero. En este caso los primeros 2 retrasos presentaron valores mayores
absoluto de 1.25, y el tercero es de 1.06, por tanto, el retraso no es igual a cero.
247
78726660544842363024181261
600
500
400
300
200
100
Figura A128 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la serie
Fuente: Elaboración Propia
8478726660544842363024181261
600
500
400
300
200
100
Figura A129 Estimación del Caseinato de Calcio
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A130 y A131.
248
21181512963
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A130 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A130 y A 131, los residuales se comportan como
ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para
confirmar lo anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Caseinato de Calcio se tiene:
N=83; r=1, k=20
249
( )( )∑=
==20
1
2 507.6ˆ83i
i arQ 28219 =χ
6.507 < 28
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
21181512963
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A131 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen propósito implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .05 se tiene que la serie se comporta de manera normal, pues el P- Value es de
.990
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
Valor en Tabla es .757 para un α = .05
.99>.757 por tanto:
Se rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal.
250
4003002001000-100-200-300-400
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Figura A132 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los resultados del modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del
presente proyecto.
Paracetamol (supositorios)
En el medicamento Paracetamol (supositorios) con clave diferencial 0105 se mostrará
amplia y detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero
que nada será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas . En la
Figura A133 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento
Paracetamol (supositorios) en el Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de
manera a priori se puede determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios
parciales periodos ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
251
80726456484032241681
2000
1500
1000
500
0
Figura A133 Comportamiento de la Demanda del medicamento Paracetamol (supositorios)
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A18 muestra la media,
varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A18 muestra la media, varianza y
desviación estándar para el medicamento Paracetamol (supositorios).
Tabla A18 media, varianza y desviación estándar del medicamento Paracetamol
media var desv 678 552586 743.361614920 51214 226.304836
1110 98188 313.349488912 92626 304.345597786 40927 202.304676
Fuente: Elaboración Propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A134.
252
0
200
400
600
800
1000
1200
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res media
desv
Figura A134 Comportamiento de media y desviación del medicamento Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
0
200
400
600
800
1000
1200
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res media
desv
Figura A135 Comportamiento de media y desviación del medicamento Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
253
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A136 Función de Autocorrelación para el Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
No se elaboró diferenciación entre ellos, pues si la Función de Autocorrelación Simple de
la serie de datos originales desciende rápidamente a cero, entonces los datos son
estacionarios en media y no es necesario elaborar ninguna diferenciación, sin embargo, si
se tiene duda sobre si se debe o no de hacer alguna diferenciación, un buen parámetro a
considerar es la desviación estándar, que en el caso del medicamento Paracetamol aumentó
considerablemente al establecer la primera diferencia.
La media contra la varianza es graficada para determinar si los datos son estacionario s en
varianza. Si los datos se observan con tendencia positiva o negativa entonces no son
estacionarios. Sin embargo, si se presentan estables entonces los datos son estacionarios en
varianza.
Para el medicamento Paracetamol, la gráfica de la media contra la varianza se observa un
comportamiento sin tendencia laguna, es decir, los valores se ven repartidos dentro de sis
límites, por tanto se dice que los datos presentan estacionariedad, es decir, los valores se
ven repartidos dentro dentro de sus límites, por tanto se dice que los datos presentan
estacionariedad, es decir, tienen media y varianza constante.
254
Las Funciones de Autocorrelación mostrarán tanto estadística como empíricamente el
comportamiento de las observaciones.
Lag
Part
ial A
utoc
orre
lati
on
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A137 Función de Autocorrelación Parcial para el Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
Empíricamente se presentan dos situaciones: En la función de autocorrelación se muestra
que los retrasos caen rápidamente a cero; mientras que en la función de Autocorrelación
Parcial se muestra que el primer retraso es mayo que todos y no se encuentra dentro de las
barras de significación; por tanto se podría tener como Modelo Tentativo un Modelo
Autorregresivo de Orden uno, pues dichas propiedades son características de dicho
modelo, pero no se afirmará nada hasta no elaborar las pruebas estadísticas necesarias.
En la Figura A137 se pueden apreciar la estacionariedad en media, pues el estadístico T
mencionado en el capítulo 2 dice que si el valor absoluto del estadístico es mayor que 1.25
mencionado en el capítulo 2 dice que si el valor absoluto del estadístico es mayor que 1.25
para los primeros 3 retrasos ó mayor a 2 para los retrasos del 4 en adelante, entonces el
retraso no es igual a cero. En este caso los primeros 2 retrasos presentaron valores mayores
que el valor absoluto de 1.25, y el tercero es de 1.23, por tanto el retraso no es igual a cero.
255
para
ceta
mol
sup
osit
orio
s
78726660544842363024181261
2000
1500
1000
500
0
Figura A138 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la serie
Fuente: Elaboración Propia
Time8478726660544842363024181261
2000
1500
1000
500
0
Figura A139 Estimación del Paracetamol
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel que en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A140 y A141.
256
21181512963
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A140 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A140 y A141, los residuales se comportan como
ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para
confirmar lo anterior.
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Paracetamol se tiene:
N=83; r=3, k=20
257
( )( )∑=
==20
1
2 95.13ˆ83i
i arQ 26219 =χ
13.95 < 26
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
Lag21181512963
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A141 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba de Anderson Darling, afirmaba que para un nivel de
confianza de 0.05 se tiene que la serie se comporta de manera normal, pues el P- Value es
de 0.767
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
Valor en Tabla es .757 para un a=.05
.767>.757 por tanto
Se rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal
258
P-Value: 0.834A-Squared: 0.217
Anderson-Darling Normality Test
N: 47StDev: 4367.16Average: 0.109
100000-10000
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01.001
Figura A142 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los resultados del modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del
presente proyecto.
Cinarizina
En el medicamento Cinarizina con clave diferencial 5451 se mostrará amplia y
detalladamente cada uno de los pasos de la Metodología Box Jenkins. Primero que nada
será necesario observar el comportamiento de las cantidades consumidas. En la Figura
A143 se muestra la gráfica de los consumos mensuales del medicamento Cinarizina en el
Estado de Puebla. Es importante visualizar la serie pues de manera a priori se puede
determinar si se manifiesta o no alguna tendencia, cambios parciales en algunos periodos
ya sea en alta o baja del consumo promedio anual.
259
80726456484032241681
700
600
500
400
300
200
Figura A143 Comportamiento de la Demanda del medicamento Cinarizina
Fuente: Elaboración Propia
Una vez graficados los datos, se debe analizar si la serie es estacionaria tanto en media
como en varianza, para ello se debe dividir la información en grupos, en este caso fue de
12 elementos, pues la información es mensual. Una vez dividida la información se obtiene
la media, varianza y desviación estándar de cada grupo. La Tabla A19 muestra la media,
varianza y desviación estándar para el medicamento Cinarizina.
Tabla A19 Media, varianza y desviación estándar del medicamento Cinarizina
media var desv 380 5237 77.3697297382 10795 103.899281448 4014 63.3582288454 17226 131.248636461 9214 95.9910504
Fuente: Elaboración Propia
Es necesario graficar la media y la varianza para determinar si éstas se mantienen
constantes con el tiempo, como lo muestra la figura A144.
260
050
100150200250300350400450500
1 2 3 4 5 6grupos
valo
res media
desv
Figura A144 Comportamiento de media y desviación del medicamento Cinarizina
Fuente: Elaboración Propia
0
20
40
60
80
100
120
140
0 100 200 300 400 500media
desv
iaci
ón
Figura A145 Comportamiento de media y desviación del medicamento Cinarizina
Fuente: Elaboración Propia
Se debe analizar si los datos son estacionarios analizando la media contra varianza,
desviación estándar y Funciones de Autocorrelación Simple y Parcial.
Las Funciones de Autocorrelación mostrarán tanto estadística como empíricamente el
comportamiento de las observaciones.
261
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A147 Función de Autocorrelación Parcial para el Cinarizina
Fuente: Elaboración Propia
Empíricamente se presentan dos situaciones: En la función de autocorrelación se muestra
que los retrasos caen rápidamente a cero; mientras que en la función de Autocorrelación
Parcial se muestra que el doceavo retraso es mayo que todos y no se encuentra dentro de
las barras de significación; por tanto se podría tener como Modelo Tentativo un Modelo
Autorregresivo de Orden uno con un patrón estacional de S=12, pues dichas propiedades
son características de dicho modelo, pero no se afirmará nada hasta no elaborar las pruebas
estadísticas necesarias.
78726660544842363024181261
700
600
500
400
300
200
Figura A148 Modelo propuesto en comparación con el comportamiento de la serie
Fuente: Elaboración Propia
262
2018161412108642
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A149 Estimación del Cinarizina
Fuente: Elaboración Propia
Para determinar si el modelo se ajusta al modelo estimado, es necesario analizar el
comportamiento de los residuales. Un buen modelo es aquel en cuyas funciones de sus
residuales se observan los retrasos dentro de los límites de confianza. Tal resultado se
aprecia en las Figuras A150 y A151.
21181512963
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A150 Función de Autocorrelación de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Como se puede observar en la figura A130 y A131, los residuales se comportan como
ruido blanco, ahora se les aplicará el estadístico Q y la prueba de normalidad para
confirmar lo anterior
263
Ho: Los errores no son ruido blanco
Ha: Los errores son ruido blanco
Se rechaza Ho si Q< 2rk =χ
( )( )∑=
=k
ii arNQ
1
2ˆ
Donde:
N = Número de residuales
k = Número de Autocorrelaciones ( )( )2ari
( )( )ari ˆ = La autocorrelación del rezago i para los residuales
r = Número de parámetros en el modelo
Por tanto para el medicamento Cinarizina se tiene:
N=83; r=1, k=20
( )( )∑=
==20
1
2 32.3ˆ83i
i arQ 28219 =χ
3.32 < 28
Por tanto se rechaza Ho y se concluye que los residuales son ruido blanco.
21181512963
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Figura A151 Función de Autocorrelación Parcial de los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
264
Otro parámetro para determinar un buen pronóstico implica normalidad en los residuales.
Estadísticamente hablando, la prueba Anderson Darling, afirma que para un nivel de
confianza de .1 se tiene que la serie se comporta de manera normal, pues el P-Value es de
0.747
Ho: Los residuales no tienen distribución normal
Ha: Los residuales tienen distribución normal
Valor en tabla es .619 para un a=.1
.747> .619 por tanto:
Se Rechaza Ho y se concluye que los residuales se distribuyen normal.
4003002001000-100-200-300-400
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Figura A152 Prueba de Normalidad a los Residuales
Fuente: Elaboración Propia
Los resultados del modelo y el MAPE calculado se encuentran en el capítulo 4 y 5 del
presente proyecto.