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ANSYS – ANÁLISIS MODAL
MATERIAL DE ENTRENAMIENTO
APÉNDICE B
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PAGE 2
Análisis ModalAnálisis Modal
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PAGE 3ANÁLISIS MODAL
El análisis modal es la metodología numérica para
determinar, entre otras cosas, las frecuencias naturales
de vibración de una estructura de acuerdo con las
características de distribución de masa y de rigidez.
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PAGE 4ANÁLISIS MODAL
Sistema no-amortiguado
Considerando que el objetivo es determinar las frecuencias naturales del
sistema, entonces su comportamiento debe ser independiente de cualquier
carga externa, así conforme lo visto en el capítulo introductorio, la ecuación
que describe el equilibrio de energía para un sistema no amortiguado puede
ser escrito de la siguiente forma:
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PAGE 5ANÁLISIS MODAL
El vector de desplazamiento es definido por un vector que indica la
amplitud de desplazamiento y su variación temporal, o sea:
Por lo tanto la ecuación de equilibrio puede ser reescrita como:
Considerando que el sistema debe estar en equilibrio
independientemente de la variación temporal, entonces:
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PAGE 6ANÁLISIS MODAL
Pré-multiplicando la equación por el vector transpuesto {Φ}T:
En este caso, para una frecuencia específica, se tiene:
Entonces:
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PAGE 7ANÁLISIS MODAL
Para diversas frecuencias, ω² asume forma de vector, o sea, {ω²} y el vector
{Φ} pasa a ser una matriz [Φ]. En este caso, se considera de que solamente los
valores de la diagonal principal de la matriz resultante presenta valores iguales
a uno, y los demás presentan valores iguales a cero, esto es la matriz identidad.
De esta forma el vector de las frecuencias naturales del sistema esta dado por:
Con esta consideración, para determinar las frecuencias naturales de un
sistema no-amortiguado, bastaría con determinar la matriz [Φ] que establece la
relación:
A través del algoritmo de Block Lanczos , la resolución de este sistema es
realizado determinando los autovalores (que definen las frecuencias naturales)
y autovectores (que definen los modos de vibración) que satisfacen tales
condiciones.
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PAGE 8ANÁLISIS MODAL
Sistema amortiguado
Para la gran mayoría de los casos, el amortiguamiento existente en el sistema
es relativamente pequeño, proporcionando un pequeño valor de razón de
amortiguamiento.
Como se verificó en el capítulo sobre amortiguamiento, la relación entre
frecuencia natural no-amortiguada y frecuencia natural amortiguada es:
Si la razón de amortiguamiento es un valor bastante pequeño, la frecuencia
natural amortiguada es prácticamente igual a la frecuencia natural no
amortiguada, de esta forma, realizar un análisis modal no-amortiguado
presentara resultados bastante satisfactorios.
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PAGE 9ANÁLISIS MODAL
Cuando un sistema posee elevado amortiguamiento, como una estrutura
montado sobre un sistema en suspensión como resortes y amortiguadores, o
en sistemas donde existe iteracción fluido-estrutura, en estes casos el sistema
matemático debe obedecer la siguiente relación:
La cual nuevamente puede ser reescrita en función de una amplitud variación
armónica en el tiempo:
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PAGE 10ANÁLISIS MODAL
En el caso de estructuras no-amortiguadas, se obtiene la respuesta a través de
la resolución de un ecuación de primer grado, donde el autovalor es igual al
cuadrado de la frecuencia natural circular (λ = ω2). Para el caso de estructuras
amortiguadas, la respuesta es obtenida a través de una ecuación de segundo
grado, donde el autovalor es igual a la frecuencia natural circular (λ = ω).
Para transformar el sistema anterior en un problema lineal de autovalor, se
suma una segunda ecuación:
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PAGE 11ANÁLISIS MODAL
Combinando las dos ecuaciones, en un sistema matricial, se obtiene:
Se define:
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PAGE 12ANÁLISIS MODAL
Por lo tanto el sistema matricial puede ser reescrito de la forma:
Semejante al sistema de equación del caso no-amotiguado, pero en este caso
tanto los autovalores como los autovectores resultantes son complejos, o sea:
El algoritmo Block Lanczos utilizado en sistemas no-amotiguados no consigue
lidiar con las matrices complejas generadas en estes casos. Los algoritmos para
resolver problemas amortiguados son Damp, QRDamp o Unsym.
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PAGE 13ANÁLISIS MODAL
Algorítmo de Autovalores
Conforme a lo comentado en anteriormente, existen diversos algoritmos para
la determinación/extracción de autovalores y autovectores, cada cual con sus
ventajas. En ANSYS:
o Sistemas no-amortiguados, los algoritmos son:
• Block Lanczos
• PCG Lanczos
• Householder (Reduced)
• Supernode;
o Sistemas amortiguados, están disponibles:
• Unsymmetric
• Damped
• QR Damped.
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PAGE 14ANÁLISIS MODAL
Método de Block Lanczos (LANB)
Método empleado en sistemas no-amortiguados, en que el «solver» de Block
Lanczos utiliza algoritmo de Lanczos donde este recurso es realizado con
bloques de vectores, donde la resolución del sistema matricial generado es
realizada por el método sparse.
Este método es especialmente útil para determinar autovalores dentro de un
determinado rango de espectro de un sistema, porque presenta una tasa de
convergencia semejante en la extracción de autovalores al inicio, medio o final
del espectro de interés.
El método sparse para la resolución matricial, es más adecuado para
determinar pocos autovalores (cerca de 40) en modelos pequeños y
medianos conteniendo elementos de viga, cascara y/o sólidos.
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PAGE 15ANÁLISIS MODAL
Método PCG Lanczos (LANPCG)
Método también empleado en sistemas no-amortiguados, y que utiliza
internamente algoritmo de Lanczos para la determinación de los autovalores,
siendo la resolución del sistema matricial realizada por método iterativo de
gradiente pre-condicionado (PCG).
Por el hecho de utilizar un método iterativo, consigue lidiar con problemas
mayores en comparación a Block Lanczos, pero requiere que las matrices
estén bien condicionadas, es decir, presente elementos con formas adecuadas.
Así como en Block Lanczos, es utilizado para determinar pocos autovalores
(hasta 100). Este método siempre calcula los menores autovalores, por lo
tanto si el primer autovalor de interés esta bastante distante del primer
autovalor existente en el sistema, entonces la metodología se torna poco
eficiente.
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PAGE 16ANÁLISIS MODAL
Método Supernode (SNODE)
La metodología de Supernode es utilizada en problemas de autovalores simétricos
(sistema no-amortiguado) de modelos grandes cuando es necesario determinar
una cantidad elevada de autovalores (hasta 10 mil). Esta necesidad ocurre
generalmente en análisis armónicos, transiente lineal o espectral, donde se utiliza la
técnica de superposición modal o combinación modal, cuando hay interés en
verificar la respuesta del sistema en frecuencias elevadas.
Este método presenta la capacidad de lidiar con grande cantidades de autovalores,
por generar grupos de nodos de grupos de elementos (denominados de
supernodes). Estos son generados automáticamente por el algoritmo, siendo
calculados inicialmente los autovalores para cada supernode en el rango cero hasta
la mayor frecuencia de interés multiplicado por un factor. En un segundo paso, los
autovalores globales son determinados en base a los autovalores determinados
para los supernodes.
Por lo general es una metodología más rápida que los basados en Lanczos si el
número de autovalores de interés es superior a 200.
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PAGE 17ANÁLISIS MODAL
Método Householder (REDUC)
El método de Householder o Reduced, es un método bastante rápido para
trabajar con un subconjunto de los grados de libertad, denominados de
grados de libertad maestros (MDOF).
La utilización de MDOFs lleva a una matriz rigidez exacta, pero utiliza una
matriz masa aproximada, por lo tanto la calidad de los resultados es bastante
dependiente de la correcta definición de la localización de los grados de
libertad maestros.
Esta metodología solamente es empleado en análisis de sistemas no-
amortiguados de modelos grandes, donde la necesidad de reducir el número
de grados de libertad del sistema, sin alterar la malla empleada en el modelo
de elementos finitos es requerida.
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PAGE 18ANÁLISIS MODAL
Método Unsymmetric (UNSYM)
El método Unsymmetric, utiliza la matriz [K] y [M] completa. Este método es
utilizado en problemas donde las matrices rigidez y massa son no-simétricas,
como en análisis con interacción fluido-estructura. Como resultados, se
obtienen autovalores complejos, cuya parte real representa la frecuencia
natural del sistema y la parte imaginaria representa a su estabilidad, esto es,
si la parte imaginaria presentar un valor negativo, entonces el sistema es
considerado estable, en cambio si presenta un valor positivo, significa que el
sistema es inestable.
Para esta metodología, el algoritmo de verificación de los autovalores
determinados (Sturm Sequence) no es aplicable, por lo cual existe la
posibilidad de que algunos de los autovalores más elevados no sean
determinados.
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PAGE 19ANÁLISIS MODAL
Método Damped (DAMP)
Para problemas donde el amortiguamiento no puede ser ignorado, como en
aplicaciones de dinámica de rotores, se utiliza el método Damped. En este, son
utilizadas las matrices completas de masa, rigidez y amortiguamiento. Así
como en el caso del método Unsymmetric, no es posible utilizar el algoritmo
Sturm Sequence para verificar si todos los autovalores más elevados fueron
determinados.
Los autovalores determinados por este método son valores complejos, donde
a parte imaginaria representa a frecuencia natural del sistema, y la parte real
representa la estabilidad.
Si la parte real es un valor negativo, entonces la amplitud de desplazamiento
decaerá exponencialmente, es decir el sistema será estable, por otro lado, si
es un valor positivo la amplitud de desplazamiento será aumentara
exponencialmente, generando un sistema inestable.
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PAGE 20ANÁLISIS MODAL
Método QRDamped (QRDAMP)
En este método inicialmente son determinados los autovalores de un sistema
no-amortiguado utilizando el método de Block Lanczos. Después, se
determinan los primeros autovalores amortiguados por una transformación
modal de los autovalores reales.
Utilizando el algoritmo QR en un problema menor de autovalor es resolvido en
un subespacio modal, con esta metodología se obtienen buenos resultados
para sistemas poco amortiguados, siendo aplicable para cualquier tipo de
amortiguamiento (proporcional, no-proporcional o giroscópico).
Con tales características el método QRDamp puede ser utilizado en modelos
que presentan una matriz rigidez global no-simétrica donde pocos elementos
contribuye para la no simetría, tales como sistemas con fricción o sistemas
rotativos. Pero no es un método indicado para sistema con amortiguamiento
crítico o sobre-amortiguado.
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PAGE 21ANÁLISIS MODAL
Block Lanczos
PCG Lanczos
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PAGE 22ANÁLISIS MODAL
modopt, method