ESTADISTICA ESPAÑOLANúm. 89, 1980, págs. 139 a 160

Apl^cacián de la metodologia de Box-Jenkins a laprevisión del transporte de pasajeros por Iberia

por JUAN IGNACIfJ PEÑA SANCHEZ DE RIVERA (*)Profesor del Departamento de Estadística

e Investigación OperativaFacultad de Ciencias Económicas UAM

Kjlr^r^^ h^r^-t,^. ^., ^-lr^^rl^^ ^.i t/^ry^ c-a^l bE^ k^l^t^^. thrrl u.re jhdK^^rt^rtt

IG. E. P. Box y G. M. Jenkins«Time Series Anafysis»

RESUMEN

E1 presente trabajo tiene como objetivo el estudic^ de la serie de pasaje-

ros transportados por Iberia, con datos mensuales desde enero de 19b^

hasta diciembre de l y78, med iante la metc^dología de Box y Jenkins y

utilizando los dos primeros niveles de análisis d^ la misma. Se realiza el

análisis univariante y el estudio y mudelización de las anomalías más

significativas mediante el Análisis de Intervención. Finalmente, se generan

previsiones cun los modelos escogidus, comparándolas cun las observacio-

nes reales.

P«lubrus clu ► ^c^: Serie temporal; modelos Box-Jenkins; previsiún.

* EI autur manifiesta su agradec imientu pur sus enseñanzas y colaboración a los profesores

'Timuteu Martínez Aguacfu y Jusé Luis Gascó, así como a Iván Pérez de las Peñas. Así mismu,

yuiere resaltar su prufunda deuda intelectual con 1os profesores Daniel Peña y Arthur B. Tread-

way, y agradecer su cc^nstante enseñanza y estímulo, sin las cuales esta investigación nu hubiera

sidu pc^sible.

140

l. EI_ PROBLEMA EMPIRICU

l . 1. INTRt)DUCCIÓN

ESTrIDiSTICA ESf'AÑOLA

El objeto de nuestro estudío es la serie de «Pasajeros Transportados por Ibería»

( PI}A en adelante) con datas mensuales, durante el período 1/b8- l 2J78, que nos fueron

proporcionados por la Dirección de Investigacián C}peratíva de dicha empresa. El

motivo de escoger esta serie es su interés como representativa del sector del transporte

aéreo, uno de los de mayor crecimiento en los últimos años. Además, creemos que

puede ser un indicador más de la evolución económica general, con especial sensibili-

dad a variaciunes coyunturales, no exclusivamente económicas.

Otro motivo, quizá más secundario, es el interés que despertó en el autor el estudio

de una serie de parecidas caracterísiicas que se realiza en el libro básico de la metudo-

logía Box-Jenkins " y nuestro deseo de comprobar si esta línea de transporte aéreo

seguía pautas similares .

1.2. EL li/^ODELO EST(7CÁSTIC(J I.ĴNIVARIANTE

1.2 .1. Id^nti, f ic•uc•ivn

El análisis visual de la serie original nus señala algunas caracteristicas de interés:

a) La serie es creciente en el tiempo y claramente no estacionaria.

b) Se aprecia un comportamiento estacional muy marcado, con picos en los meses

de verano y descensos a fínales de otoño.

c) Las fluctuaciones de la serie son de mayor amplitud según vamos avanzando en

el tiempo, hecho que nos indica la presencia de heterocedasticidad. E1 diagrama

Rango-Media nos confirma este hecho, por lo que parece adecuado efectuar algún tipo

de transformación Box-Cox-'. En este caso, parece que la más cunveniente puede ser la

logarítmica, esto es ^^ = 0.0. E1 nuevo gráfico de PDA, Fig. 2, no muestra síntamas de

heterocedasticidad y su diagrama Rango-Media, aunque nu nos deja plenamente satisfe-

chos, tampoco muestra evidencias contundentes de heter^cedasticidad, pur 1^ que, con

ciertas precauciones, escogemas esta transfurmación.

Se aprecia una clara falta de estacionariedad, asi cumu un cumportamient^ estacio-nal rnuy marcado.

' Véase Bax y Jenk^ns (197b), págs. 300-329.Z Véase B^x y Cax (1964).

METODOL(XĴiIA DE BOX-JENKINS A L.A PREVISION DEL TRANSF'ORTE POFt IBERtA ^4I

^it^r^nc:ian^l^^ ^il^c.'^u^il^^iCll^.'ntr: t)É^tt'nc'mu^ ^^l tr^ín^t^)rfll^illl?n L'til^i^ll)n^iCl^i `'^^^ . ^.'n

t'[)A.

[^c.̂ t^^tam^^^; un t'utrtc^ v^il^ar anúrn^il^^ ne^ativ^^ c.•n 1 I^ 77. N^^s ^íiri^im^^^ ^i Ihc.^ri^i n^ir^i

^^^m^r^^h^ir I^^^ ^i^^t^^^ y^^: n^^^ ^umuni^ó yti^ n^^ hahí^^ c.^r'r^r^r^^^^ ^n 1^^^ mi^n^^^s. r,c,^r^^ qri^^

es^ m^ti h^ihían cuinc:iciic^u la.^ si^uitnte^ cir^un^tan^ia^:

c^) C^ambiu c1t pintur^i y embltmati ^c: la m;^iy^^ría ^ie lu^ ^ivi^^n^s ^it^ 1a tl^}tti.

h) Huelga de cuatrc^ día^ ciel per^^^nal de ^l^ru^ut^rt^^^ ^^^r m^^tiv«s ^^^I^it'I^ila^, ^^>n

n^^table intlu^n^ia ^n tl tráficu aérc:u.

T^^ctu r:llu, uniciu a que n^^vi^mhrc^ t^ tl m^^ c:n ^l qu^^ ^e ^t^c^^tú^in I^i^ revi^i^.^nt^

^tnk'r^i^f:S }^ rt ^^iC^ll'll)ntS l^t ^i^^ir^itl)ti, Ct)n rt'l.^Ul`L IUn (jt', tit'I'^'ll I`1, nUti C^lin ^^í t'X j^^ll^i^ 1{,111

c^e la anumalía.

l.^i ^r^^^nc:iti ^i^ un^i ^iistc^r^iún t^ln fuc.^rtc.^ ( - ^i rs ) ^a ^i ^it^^^t^ir ^i I^i ,Jc^.^^ Y .t^^/^uscurr<^ic:nc^u la i^lentifi^aciún, h^^^h^^ ytre hahr^i cí^ tent ►-ti^ c:n ^uc:nt^i.

iUtra ^aract^rístic:a im^vrtantt es yuc.^ el ^t^c:t^^ ^^.i,^ua ^r; manit^ic;^;t^i, ^^^r I^^ mc.'nu^

^n prin^i^iu, en e^ta ^trie y^u^:cte sc,^r ^u^^^^tihl^ i^c.x m^)^lc.°liz^i^ic^n.

` Véase Sanz ( ly7y) y^iuyu y 'I'tr^c^iru ( 1y7^).

F:s^r,^ar^rrc•A r-sr^,q^r^r..^

:^i c)hsc.'r^.fmus ^.•I ^r^il^i^c) ctc.' ^^^^,Y In E'().^l It`i^;. 71, c^'stri ^art^e t•^ta^i^)n^rrí^i. hc:^hu

yil^' ^^^nt`irm^t suti ,,irr., (t`i^. K). Un ^riteri^) ^r^1i^:í^^n^il ^^ira haher ^yl^'^;í^i^) ^*^t^i trantit'^)rma-

^ i^^n c;^ I^r ^ic.' ^^)sc.^c'r mínim^r ^ ^iri^inra ^: ^in c'mh^ir^;^), l^l lit^'r^itllr^i ^^)hrc.' !3 J ti^ne

^^hr,n^^in^c^s ^_^tnl^lt)^ cn ^l)^ ytl^ ^tí tr'^^ntit`^)rmíil'IUn t'^tiil.'ll)níirlít i^^ ) t'.rii ^ii (.^C 1711nt1'Tlíi

varianz^^, Pur Ic) yu^' c:i únicu ^c>'ntr^^^tc.' t`i^h^^' c.'ti ^.'I c.'stucliu c: ui^t^^^1c)tiu clel ^;r`^ífi^c) y I^i

%us `.

+2^

0

-^ 2 c^

12

IIIIIIIIIII^-------_--__-------------------------

„^us In PDAt Frv. 3

+2c^

0

-2r^

^i^^^^i111^n^^^^^^,^^„^12 24 36

,Jus Q^^ ln PC^A^ FtG. 4

0

-2c^

+ 2cs

12-,

i

^us C7 In PDA t F'rG.

^ Véase Ancitrsun ( ly7K).

s Véase Treadwdy et dl (1 y7H).

ME^:T()D()l.(X;IA I)E: f3()X-JFNKIN;S A[.A k'RF:^'ttil(^N C^FI. ^RAN^F^)k"^-F: }^C)R fE3F:RIA

+ 2 c^

0

-2^

Puru lct ^^urtc^ rc^,^^trlur

1rl

3fi^^ ^^ ^

.fus V^^ ` In PDAt F1G. K

143

F 1 examtn de la •/cts^ y,fŭ/^ su^iere un MA ( 1) c«n cuefitiente pu^itivu. l.a e^tructurae interaceión^ dpuya est^.i iciea.

Pctru lu /^urtc^ c^stctc•rc^jtctl

La situarión nu está tan clara cc^mc^ en el puntc^ anteric^r, aunyue lc^s candidatus másplau^ibles tiun, u hien un MA (1 > de c^^eficiente pusitivc^, c^ bien un AR (2) de raíces

cc^mpleja^.

Nuestr^^s canciiciatus para la fase cle estimación sun p^ar tantu:

ct} ARIMA (0, 1. 1} x(0, I, 1},^.

h} ARIMA (0, l, 1) x(?. 1, 0), ,.

-------------- ------_L-l^_ i__ 1 2 _^1^ _ 2a^ T_ - - ---T __ _ -^ T --^ . ._-^

^ Véase Hamiltc^n y Watts (197K) y Peña ( ly7y).

^^a

I.?.^. f-.^^1 ►^^tttc^t^i^t

;1^[c ►^1^'I^^ ct 1

t-^^r.^t^t^rtc^.^ t^s^,^► +.vcyt.A

^'^' , , ln E'I^A, ^ { 1 ^^ .^7I3) { 1 ^^ .7ót3' ' ► tt,( .OK) ( .U5 )

^ ^, '^ I O0 : 4. 3í^

t^ { 3 7} ^^= 21. 7

^^ - 0.0

N1^^^1^I^^ h1

1 1 ^.f^ 1^3'' +. 3?B'^' 1^^^, , ln E'[)Ac 1 I .53B} {r,

{ .()^) { .(ly) ( .()y}

^„ ^^^ I (}{) ^. ^K

{,^ (3(^} I K.f^,

E^ {^U^, il ► ,} .^I

O.(}

+2^r

0

-2^

I . ^__ 24 _ ^

.tu.s ^ V ,: In PDA c F'iG. y

I.?.3. (^^,trt ►-ct.^^tc^.^^ clict,^^ttci.t'tic^^^,ti^

(^'c^n t'^.'s^«;tu ^tl mu^í'Ic^ {cr) hay yuc.' ^c.'ñ^^lit ►': '

--- l.c^^ ^i^^^ rur^^mc:tr^^^ ^itl mi^m^^ r^'^^tlt^in ^^^hra^itrm^nt^ ^;i^nit^i^ativc^s.

---- E: I v^►1 ^^ r^1 c.' C,1 ^ s a^ c.' ^ t a h I t.

- I.a mec^ia c^c° I^^s r^^;iciuus c^^ n^^ ^i^;nit^icativamentt ^iistinta ^1c.' ^c^ru.

METODOL4GIA DE B^X-JENKINS A LA P'REVISION DEL TRANSPORTE PoR IBERIA

-- No aparecen retardos significativos en las ^fŭs y,fu^.

-- No hay problemas de correlación entre los parámetrUS.

Con respecto a1 mode{o (b):

145

--- Todos los parámetros son sobradamente significativos.

- F1 valor de Q es aceptable y menor que en (a).

-- La media de los residuos resulta no significativamente distinta de cero, pero con

escasísimo margen. Habida cuenta de que tratarnos con criterios estadísticos, estas

interpretaciones no pueden considerarse restrictivarnente.

No hay retardos significativos en la fas y fap.

-- La correlación entre los parámetrus estacionales es muy baja y no preocupante.

- La varianza de Ios resid uos es casi un 5 por 100 mayor que en (a ).

Tenernos ahora que decid ir c uál de ios dos modebs escogemos en esta primera fase

para continuar el análisis. Lo cierto es que ia parte estacional del (b) nos recuerda

demasiado a una extensión sobr^eparametrizada del (a), ya que es fácil ver que si

tenemos un proceso MA (1)s como el que sigue,

puede representarse:

esto es,

W^ = ( l - E^Bs) al.

(1 -- HBS)-^ W, = a,,

(1 + f^Bs + H^F3^ + (^`B^ + ...) W = u ,r ^

que nos da una representación no escueta det prcx:es^ simple de media móvii. Comu el

valor de ^2 está demasiado cerca del de ^U ;, y además, la varianza residual es mayor,

optamos por escoger inicialmente el modelo (u), que can menor número de parámetros

nos da una explicación similar del proceso. No obstante, señalamos que esta elección es

provisional, y que según vayamos «limpiando» de anomalías la seríe, pueden aparecer

hechos que nos indiquen la conveniencia de una reformulación del modelo, ya que,

la serie tiene gran cantidad de residuos extremos que están distorsionando fuertemente

la estructura básica de la misma.

Por ello se realizaron análisis únivariantes con la serie truncada y sobreparametriza-

ciones del MA ( l, I) x( l, l) por si la estructura era susceptible de reformulación. Como

146 ESTADISTICA ESPAÑC)LA

Ic^s resultadc^s no fueron satisfactoric^s, nc^ lus reflejamos aqui, remitiendo al lectur

interesadu a la vertiión c^riginal cie este trabajc^^`.

1.3. ANÁLIS[S DE ^NTFRYFNCt(3N

^n este apartado comentamos las distintas intervenciones que se efectúan en el

mudelu cun ubjeto de explicar los valores anómalos yue aparecen en los residuc^s del

MEU (*).

Hemos preferidc^ ir e xpc^nienda paso a paso los resultados, ya que creemos yue es

un buen ejemplo de cómo el análisis cuidadoso de los residuos es la clave en la

elaboración de modelos siguiendu la metc^dulogía B/J .

Veíamus en el resumen de residuos anómalos del modelo univariante que aparecen

varios valores extremc^s y, fundamentalmente, el de ll/77 muy fuertemente negativu

(--4,3 cs). Sin ernbargu, no se aprecian valc^res extremos en las Pascuas, en contra de lo

que el examen de la serie inicial nos había indicado. No obstante, y en una primera

etapa, vamos a intentar modelizar el efecto Pascua separadamente, según sea marzo 0

abril el mes de dicha festividad. Asi pues, nuestro primer paso de Análisis de Interven-

ción será el mudelizar las Pascuas y l l/7? cun un pulso al que Ilamaremos «huelga».

Los resu{tadus de la estirnación están en la hoja de resumen núm. 3(*). Queremos

indicar que lc^s prugramas utilizados en la estimación de los parámetros del modelo notienen incorporadu «back-forecasting», por lo que las varianzas resid^uales no son

comparabies con las de los MEU estimados que si poseen esta cualidad. No obstantes,

y para hacernos una idea de cuál va siendo la reducción de varianza residual que

ocasionan las sucesivas intervenciones, recurdemos que en el Anexo t al apartado

anterior, la varíanza del l^ ►^i E U sin retroprevisión era:

^ á = .0020?

cŝ u x 100 = 4. 5 4.

Asi pues, volviendo a la haja núm. 3, son destacables los siguientes aspectos:

a) Resultan signifrcativos los parámetros de «Pascua abril» y« 1 1/?? Huelga» y no

significativc^ el de «Pascua marzo».

^` Tesina de licenciaiura ciel misrno título. Facultad de CC. Económicas. Universidad Autónomade Madrid (1979),

* Véase Bc^x y Tiao (1975).

(*) Para esta tase hemos utilizado hojas de resumen para reflejar los resultadc^s, según eldiseño de Arthur B. Treadway.

METODOLOGIA DE HOX JENKINS A LA P`REVISION DEL TRANSPORTE POR IBERIA ► 147

b) La disminución de varianza residual con respecto a( I) es de casi el 25 por 100.

c) La media de los residuos resulta nu significativamente distinta de cero, al

contrario de lo que sucedía en el rnodelo univariante.

d) Hay valores significativos en el retardo 24 de las fas y fap que pueden venir

explicadas por el efecto de los residuos anómalos de 3/73 y 3/?5, o por defectos de

formulación del ruido Nt.

P) Aparecen varios residuos fuertemente anómalos y, sobre todo, el de 4/69

(- 3.8 a).

,f) E1 valor del estadístico Q es aceptablemente bajo.

HOJA DE RESUMEN NUM. 3

EST AI: PDS vs. Pascua marzo, P. abril, li/77 (huelga)N = 132 (1 /68 - 12178)

IT = 10 converge

5 tt r

Y

`^ 3t1 t= Pasc ua marzo y 1 t= Pasc ua abril

l+

0 t^ Pascua marzo ^ 2` 0 t^ Pascua abril

In P; : - ^ 0165 ^ r + .046^ 2r - .165^, ^r + N r( .15) ( . 013) ( . 02)

^7^i,Nr = ( 1 - .44B)(1 - .41B'^)ar( .08) ( .09)

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA

a = - .006303 ;

►'^4 (á ) _ - .185 ;

áQ .oo3sbl

s,^,(^) - - .200

RESIDUOS ANOMALOS

6z

1 t = 11 /77

0 t ^ i l/77

_ .001535

cŝ Q x 100 = 3.92

Q(37) = 22.4

µ = 0 .0

2- . 183

119

±

Núm.obs.

FechaValor

unidadesc^^

Distorsionporcentual

de r"saDistorsiones fas

16 4/69 - 3. 8 12 ,1b3 3i73 - 2. 3 4.476 4/74 - 3.0 7.677 5/74 - 2.4 4. S ( 24} -- -.03587 3/75 1. 8 2.794 10/75 - 2.1 3.796 12/75 3. 3 9.2 r

Total: 44.5

148 ESTADIS'rfCA ESPAÑOLA

Parece, pues, que e1 siguiente pasu sería cc^nu^er qué oc:urrió en 4/651 y efectuar la

mudelización currespondiente, ya yue el etiectuar <tintervencíones empíricas» es muy

peligrc^so al nu cunc^ ►cer «a pric^ri» si el tenámenc^ acdecidc^ es de tipo pulsc^, escalón,

rampa, etc., pc^r lo que una mocielización equivc^cada puecie tener desagradables conse-

c uenc ias en el mudelo.

Asi pues, nos dirigimos a Iberia de nuevc^ en busca de alguna información acerca de

esta fecha. Sin embargc^, nada ancarmal había ocurridc^ en ella, según las fuentesconsultadas en la empresa.

Descartada la hipátesis de error en los datus, una vía alternativa era suponer que el

residuu ancímalo podía ser efecto de una causa anterior, ya que, al tomar diferencias enla serie para cunseguir estaciunariedad, las alteraciunes de hechos impc^rtantes se

transmiten a las ubservaciones vecinas y a las posteriores separadas por duce meses.

Puestu de nuevu en contacto con Iberia nus indicarun que en el año 1968 fue cuandola compañía empezó a util izar 1os aviones de gran capacidad DC-8, y que fue precisa-mente a principius de abril cuando ést^s entraron en servicio. Hay que destacar queeste hecho constituyó un auténtico «salto» en el númeru de pasajeros transportados, yaque su gran capacidad (en comparación con los hasta entonces utilizados) y su radio deacción permitía la apertura de nuevas líneas transuceánicas y el reforzamiento de las yaexistentes. Todo lo anteriur indicaba la conveniencia cíe cc^nsiderar un cambio de nivelen la serie a partir de 4^/b8.

Con esta información en nuestro poder, decidimos mudelizar un escalón en 4/b8 alque denominamos «DC_8» .

Los resultados de la estimación están en la huĵa de resumen núm. 4. Hay que señalar

que no eliminamos de momento el efecto «Pascua de marzo» por si con la nueva

intervención puecia verse mcx^ificado en algún sentido.

Con respecto a la hc^ja de resumen núm. 4 destacamos:

u) Todos los parámetros son ampliamente significativos, excepto el de «Pascuamarzu» , que se revela definitivamente no aceptable.

6) Disminuye la varianza residual con respectu a la intervención anterior casi un 14por 100.

c•) L.a media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de eero.

d) Hay valores significativus en el retardu 24 de las fus y fu^ que pueden venirexplicados por el efecto de los residuos anómalos de 3/73, 3/75, 4173 y 4/75, c^ purdefectos en N,.

METODOLOOIA DE BOX-IENK[NS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR IHER[A 1^i9

HOJA DE RESUMEN NUM. 4

EST AI: PDA vs. Pascua marzu, Pascua abril, 11/77 (huelga), 4/68 (DC-8)

^, 2r

1 t = Pascua marzo

0 t ^ Pascua marzo

1 t = Pascua abril

0 t ^ Pascua abril

ln PDAr = .013 ; Ir + .041^,2r - . 1ó8^3^ + .123^,ar +( . 015 ) ( . 013 ) ( . 020) ( . 020)

V^i^Nr = ( 1 - .42B){1 - .60B'`)ur(.08) (.08)

ĉs `_ .001341; ^s a x 100 ! 3.6ó

N = 132 (1/b8-12/78)

IT = 10 converge

1 t = 11 /77

0 t ^ 11 /77

1 t >_ 4/68

U t ^ 4/68

Q(37} = 23.8

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA

u - - .004575 ; cŝ a = .003351 µ = 0.0

2r44(á) _ - .186; s^4(ú) - - .199 -^- _ .183

^/^ 119

HOJA RESUMEN NUM. 5

EST AI: PDA vs. Pascua abril, 11 /77 (huelga), 4/68 (DC-8}, 10/75 (boicot),

12/75 (coronación), 3/73 (controladores)

. N = 132 (1/68-12/78)

1T = 13 converge

1 t = Pascua abril

0 t^ Pascua abril^ 2t

1 t = 10l75

^ 4r 0 t ^ 10/75y sr

1 t = 11 /77

0 t ^ 11/77

1 t = 12/75

0 t ^ 12/75

{{

1 t ? 4/b8

0 t ^ 4/68

1 t = 3 /73

0 t ^ 3/73

ln PDAr = .0498^ Ir - .1699^zr + .128.^,^r - .Of^11^^r + .0624;sr - . I06^br + Nr(.011) (.024) (.025) (.023) (.024) (.023)

^^ i ^ N r = ( 1 - . 36B) (1 . - .56B `^ )ar

(.09) (.08) .^

c^` -.UOlU^4; ĉsa x 100 = 3.24 Q(37) ^ 32.2

150 ESTA©ISTICA ESPAÑt)LA

SITUACION DE LA ESTIMACION B1EN DEFINIDA

a = - .0035U7; cŝ Q = .002971

x^4 (á) - - .19 l ; s^d (^a ) - - . 215

N = 0.0

.+ 2.1x3

119

e) Aparecen varios residuos fuertemente extremos, destacando 3/73 (- 2.5 a), 4/74

-2.b a), 5174 (-2.7 cs), 10/75 (-2.4 cs) y i?J75 {3.4 cs).

^ EI valor del estadístic o Q es aceptablemente bajo.

Siguiend© con la modelización de residuos anómalos centramos nuestra atención en

los tres que, en principio, nos parecieron de mayor entidad, los de 3/73, l0/?5 y 12/75.

Nuestras consultas en Iberia y en la Hemeroteca Nacional dieron los siguientes

resultados:

a) Can respectc^ a 3I73: E1 día 20 de febrero comienza una huelga de controladoresaéreos de casi todo el continente europeo (franceses, belgas, etc.). Iberia reduce sus

vuelos europeos aJ 22 por 1QU de lo normal, E1 día 5 de marzo chocan en el aire sobre

la ciudad francesa de Nantes dos aviones españoles, de las compañías Iberia y Span-

tax, ocasionando Ia muerte de 48 pasajeros. A1 día siguiente Iberia suspende todos sus

vuelos con Europa hasta que finalice la huelga de controladores, verdadera responsable

de la catástrofe aérea. E1 día 20 de marzo finaliza la huelga, y el 21 se reanudan los

vuelos europeos de lberia. Parece, pues, justificada una intervencic^n de tipo pulso

negativo a la que llamaremos «CONTROLADORES» .

b) Con respectc^ a 10/75: Al producirse los fusilamientos de Hoyo de Manzanares

de miembros de ETA y FRAP a finales del mes de septiembre de 1975, se produce una

generalizada campaña exterior contra el régimen del general Franco. Durante todo el

mes de octubre, Iberia ve sistemáticamente boicoteados todos sus vuelos internaciona-

les, a los que no acuden pasajeros, problemas en los aeropuertos, etc. Unas declaracio-

nes del entonces presidente de Méjico, señor Echevarría, hacen que Iberia suspenda

todos sus servicios con este país. Durante todo el mes, los efectos de la campaña

internacional se hacen sentir muy fuertemente sobre el número de pasajeros transporta-

dos por Iberia, hecho éste que incluso es destacado en la mernoria que la compañía

publica a final de ejercicio. (Los ejercicios de Iberia no siguen el año natural, sino que

van desde el 1 de noviembre a 3i de octubre del año siguiente.)

Toda ello justifica la introducción de un pulso negativo al que denominaremos«BOICOT» .

MET©DOLOGIA DE BOX,IENKINS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR 1BERtA 151

c^) ^c^n respec^tu u 12/75: Fuentes de lberia nos indicarun que ese mes se produjo

un inusitado incrementa det tráfico aéreo, debida a la situación ucasiunada por el

cambio de régimen en España.

Políticos, diplomáticos, exil iados políticos, hombres cie negoc ios, ocdsionan un in-

cremento en el total de pasajeros que Iberia atiende. Por ello, hemos denominado a esta

intervención, en la forma de pulso positivo, como «COR^JNACI+C^N>>.

Queremas destacar que los efectos de 10/7S y 12/75 se mani^estan en algunas otras

series temporales de la economía española, tal como ha puesto de manifiesto J. Alma-

gro én sus estudios sobre las entradas de turistas en España`'.

Visto lo anterior, pasamos a estimar un nuevo modelo que cantenga la información

comentada líneas arriba. Los resultados de la estimación están en la hoja de resumen

núm. 5(se ha suprimido en la estimación la variable «Pascua marzo» al resultar

claramente no significativa).

Puntos destacables de la misma son:

a) Tados los parámetros son significativos.

b) Disminuye la varianza residual can respecto al modelo anterior del orden de un

20 por l0U y más del 50 por l0U con respecta a(I).

c) La media de los residuos sigue siendo na signifícativamente diferente de cero.

d) Hay valores significativos en el retardo 24 de las fas y fap que pueden venir

explicadas por el efecto de los residuos anómalos de 12/76 y 12/^8 o por defectos en Nr.

e) Los principales residuos extremos son el de 5/69 (+2.2 a) y el preocupante

bache negativo de la primavera de l 974: 3/74 ^- 2.0 a), 4/74 (- 2.4 a), S/75 (- 2.3 cs ).

,fl El valor del estadístico Q ha aumentada con respecto a modelos anteriores, pero

sigue siendo aceptable.

Llegados a este punto de la modelización queremos llamar la atención sobre un

problema que nos ha ido preocupando de forma creciente, y es el de la presencia de

retardos significativos en 24 de las fas y,fap de todos los modelos de intervención que,

si bien en un principio pudieron justificarse por la influencia de residuos anómalos, a

este nivel del análisis más bien nos indican que nuestro madelo del ruido Nr necesita

una reformulación; así pues, antes de seguir adelante, vamos a estudiar las posibles vías

de actuación en este sentido.

`' Véase Almagro (1979).

ESTADISTICA ESPAÑOLA

La parte regular no parece presentar problemas, por lo que la dejamos como está.

En la parte estacional la hipátesis más plausible es la de un AR (2) con raíces cumple-

jas, que es la que adoptamos. Pasamos pues a estimar nuestro modelo de intervención,

pero con esta modificación en el ruido N^.

Los resultados de la estimación están en la hoja de resumen núm. 6. Puntos

destacables:

a) Todos los parámetros, tanto del ruido como de las intervenciones, son significa-

tivos holgadamente, excepto el «DC-^3», que está justo en el límite, pero que conside-

ramos aceptable.

b) La varianza residual es ligeramente menor que en cl modelo anterior.

c) La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.

d) Nca hay valores signíficativos ni en las fas ni en tas fup.

^) Hay muy pocos residuos extremos y el más importante es el de 4/74 (-2.5 cr).

fĵ El valor del estadístico Q es inferior al del modelo anterior.

g) No hay problemas de correlación entre los parámetros.

A la vista de los resultados anteriores, parece claro que esta reformulación del

ruido ha sido adecuada y, por tanto, proseguimos el análisis de los residuos extremos.

Volviendo al resumen de residuos anómalos observamos que las anomalías más preocu-

pantes siguen situándose d urante la primavera de 1974. La informac ión de que dispo-

nemos al respecto (fuente Hemeroteca e lberia) es que desde enero a abril, inclusive,

se produjeron unas fueries alzas de precios en todas las líneas de la compañía, como

consecuencia de la crisis energética y económica, que entonces se agudizaba. Los

incrementos oscilaron del 12 por 100 al 30 por 100 según las líneas y fueron, según la

propia «Memoria 1973174» de Iberia, las más considerables de toda la historia del

transporte aéreo. Hay que añadir que este alza fue general en todas las líneas aéreas del

mundo, con pequeñas diferencias en los porcentajes.

No obstante, el modelizar estos hechos mediante variables de intervención no

parece correcto, ya que sería mucho más fructífera elaborar una función de transferen-cia PRECIOS -► PASAJER(JS que, además^ de tener un evidente sentido económico,

podría ser de indudable interés para comprender los mecanismos de relación de ambasseries. Desgraciadamente, no disponemos de una serie de índices de precios globales de

transporte aéreo de [beria, ya que no está elaborada, por lo que renunciamos a este

camino, que queda como futura línea de investigación.

METODOLOGIA DE BOX-JENKlNS A LA PREVlS10N DEL TRANSPORTE POR 181:R1A 153

Por ello, damos por terminada esta etapa de modelización de intervenciunes y

pasamos a la de construcción del mudelo final sobre la serie cc^rregida.

Como !os prc^gramas que hemos utilizado para todo el A1 carecen de retroprevisión,

consideramos interesante modificar la serie con tas intervenciones halladas y efectuar la

estimación univariantes, ya con retroprevisión, de gran interés sobre todo de cara a la

previsión.

Así pues, una vez corregidos los valores correspondientes, he^nos estimadó el MEU

resultante (esto es, el ruido N^) que presentamos a continuación en la h^ja de resurnen

nŭm. 7.

HOJA DE RESUMEN NUM. b

EST A 1: PDA vs. Pascua abril, 1 l i77 (huelga), 4J68 (D^-8), 10/75 (boicot),

12l7S (coronación), 3l73 (controladores)

N = 132 ( l /68-12/78)

1 T = 13 converge

1 t= Pasc ua abril

0 t^ Pasc ua abril

1 t = 10/75

0 t ^ 10/75`^ S r

1 i = II /77

0 t ^ I1 /77

( I ^ - 12 /75

^ 0 r ^ 12/75

1 t >_ 4/68

0 t < 4/68

( 1 1 = 3/73

^ 0 t ^ 3/73

ln PDA, _ .454.^,lt - .183^2r + .163^^^ - .049^^^ + .Ob7^gr - .092^6r + Nr(.01) (.02) (.08) (.02) (.02) (.02)

(1 + .28812 + .37B```)QO,^Nr = ( 1 - .34B^u,(.11) (.11) (.11)

.001042; c^^ x lUO = 3.22 Q(37) = 2b.6

S[TUACION DE LA FSTIMACION BIEN DEFIN IDA

z^ = -- .0025K4; ^^ _ .003320 -♦ µ = 0.0

154 ESTADISTlCA F.SPAÑCI►LA

HC}JA DE RES[.JMEN NUM. 7

EST MEU: PDA curregidc^ cun intervenciones = PDA'

N = 132 { 1 /ó8-12/7g)

1 T= 7 c un v^e rge

(1 + ,43B' ` + ,40BZ`' )VC7 ^ ^ In PDAr = { 1 - .3oB)ar .(. os) c.os^ (.09)

ĉs `_. OOC^95 47 ; rs a x 100 = 3. 08 Q(36) = 37.ó

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA p{^r, ^^) =•3?

á = -- . oQ200ó5 ; ĉs =- .002816 µ = 0.0

r^^,(ú) - - .251; s;^,(á} - - .157 ^ 2 - .183. -^^ 119

+e+

P^ri{^do, fr^cuenc•ia y fact^^r d^ amvrti^^c^amiE^ntc, cl^l up^radc^r AR (2)

OPERADOR : ( l + .43B t2 + .40B24)

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO ► : .b3

FREC UEN+G IA : .305

PERIODO : 39.30? = 3.25 AÑOS

Puntos destacables:

a) Todos los parámetros sun significativos y sin problemas de autocorrelación.

b) La varian^za residual ha disminuido, como era de esperarar, con respecto al

modelo con intervenciones en casi un 14 por lUO.

c•} La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.

d) E1 valor del estadístico Q ► es muy alto y preocupante.

e) Hay un fuerte retardo significativo, el 36 en la fas.

,fl El operadur AR {2) genera un ciclo de 3.25 años.

La situación es delicada, ya que nos han surgido problemas en la fas y con Q quenos señalan que hay que refurmular la estructura de nuestro MEU.

La hipótesis más plausibies son, o bien un AR ( 3) o un ARMA (2, 1). Estimamos enprimer fugar el AR (3}.

Los resultadus de esta operación están en la hoja de resumen núm. 8.

METODOLOGU DE R+DX JENKINS A LA PREVISION DEL TRANSPORTE POR 18ERIA 1SS

Puntos destacables:

a) Todos los parámetros son significativos y sin problemas de autacorrelación.

b) La varianza residual ha descendido ligeramente con respecto al modelo anterior.

c) La media de los residuos sigue siendo no significativamente distinta de cero.

d) E1 valor del estadístico Q es bajo y aceptable.

e) Hay un retardo significativo en las fas y fup de orden 3 que no nos preocupa

excesivamente, ya que puede ser el fruto de la relación entre los residuos del bac he en la

primavera del 74, o, simplemente, al trabajar con unos intervalos del 95 por 100 de

confianza, un error muestral.

,f^ El operador AR (3) genera un eiclo largo de 4.25 años de un tipo muy común en

series económicas espa.ñol as ^ .

g) Los únicos residuos significativos, aparte de los de primavera 1974, son los de

3/76, 9/76 y 3/78 (Semana Santa). En este último podría haberse hecho un AI y corregir

el^dato, pero el hec ho de que el efecto « Pasc ua marzo» haya sal ido no significati vo, nos

frena en ese sentido y preferimos dejar esta labor para posteríores investigaciones con

funciones de transferencia.

Los resultados de la estimación del ARMA (2, 1) estacional están en la hoja de

resumen núm. 9.

Puntos destacables:

a) Todos los parámetros son signi^icativos y sin problemas de autocorrelación.

b) La varianza residual es menor que en AR (3).

c) La media de los residuos sigue siendo no signi^cativamente distinta de cero.

d) El valor de Q es aceptable.

^) Hay retardos significativos en las fas y fap de orden 3 y 11, explicables por

anomalías.

fĵ El opera.dor AR (2) genera un ciclo de cinco años.

g) Los residuos significativos son similares al modelo anterior.

Lo cierto es que ambos modelos son muy parecidos y la razón más fuerte para optar

por uno o por otro, en este caso, es la diferencia en la varianza residual, que es menor

en e1 segundo. Escogemos, pues, como modelo definitivo el ARIMA (0, 1, 1) x

X (2^ 1, 1)^^•

Hasta aquí la fase de model izac ión de la serie. En el siguiente apartado comentamos

los resultados de las previsiones para 1979 de los modelos univariantes y de interven-

c ión * .

x Véase Sanz (1979).

15b E5TA©ISTICA ESPAÑnL..A

1.4, PREVISIONES GENERADAS Y CC)MPARAC tC^N DE LAS MISMAS

En este punt^^ cc^mentaremos las previsiones yue nos han generado lus modelos

MEU y AI (final) para It^s datas más recientes de yue disponemos, desde enero a julio

de 1979, y tamando como origen único el último dato utilizado para la estimación de los

modelos (diciembre 1978).

En el cuadra adjunto se muestra la previsión puntual de cada modelo junto con sus

intervalas de confan,za del 90 par 100, así como el tanto por ciento de error en laprevisión.

Hay que indicar que en febnera y marzo los valores están fuera de los intervalos de

confianza, posiblemente por algún fenómeno anómalo, cuyas causas desconocemos demomento.

Finalmente, hay que indicar que las previsiones que genera el modelo AI sun, en

general, más precisas que las del MEU, que suele pecar por exceso, como se comprobó

en una simulación dinámica realizada por el autor y cuyos resultados no presentamos.

aqul.

HOJA DE IZESUMEN NUM. 8

EST ME U: PDA (corregido con intervenciones) = PDA`

N = 132 (1/68-12/78)

I T = 14 converge

(1 + .47B' 2 + . S 1 B2`' + .38B3b) oo ^ ^In PDAI' _ (1 - .24B) a f( .08) ( .08) ( .O8) { .09)

. O()09014 ; cŝu x 100 = 3.00 Q( 3 5)= 28 . 2

SITUACION DE LA ESTIINIACION BIEN DEFINIDA

u = - .002336

r; (á) _ - .199

P (^, , ^z) _ .38

a (^2, ^;) _ .33

P (^, , ^;) _ .33

áa = .002718

s ^ (á ) _ - .199 ± 2

µ = 0.0

.183119

METODOLOGU DE IX?X,JENKINS A LA PREVISI4N DEL TRANSPORTE P'C}R 1BERIA

P^ertc^du, fr^cucnc•ia y fuc•t^^r dc amc^rtikuamiento de! np^rudc^r AR (31

OPERADOR: ( 1 - . lóB'` + .61 Bz^)

FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO: .78

FRECUENCIA: .234

PERIODO: S 1.384 = 4.25 AÑOS

HOJA DE RESUMEN NUM. 9

EST MEU : PDA (corregido con intervenciones) = PDA'

N = 132 ( l/68-12/78)

1T = 7 conver^e

(1 - .29B' 2 + . 21 B``' } VV , ^.ln PDA^ = ( I - .25B} (1 - .87B' `) c^(.10) (.09) (.09) (.04)

ĉ̂ a =.0()081339 ; áp x 100 = 2.8b Q(35) = 30.0

SITUACION DE LA ESTIMACION BIEN DEFINIDA

^ _ - .00155 2

fas : r; (á) = - .20ó

cŝ a= . 002551 µ= 0.0

------♦ r , , ( á ) = .197;

fap : .s; (á) _ - .208 ; s, , (U) _ . 1892^.

ti^' 119

Período, frecuencia _y factor de amc^rtiguamientr^ dc^l upcrador AR (2)

OPERADOR: (1 - .29B'^ + .21B^`')

FACTOR DE AMORTIGUAM IENTO: .46

FRECUENCIA: .199

PE R I O DO : 60 . 442 -= 5 A Ñ O S

PREV ISION ES DEL ME U

.183

1S7

1979 Valor Real ^--im. Inf.90 ^^

^-evisión Lim. Sup.90 ^o ^^ error

E 1.001.709 993.ó 14 1.07ó.780 1. l 66.910 7,5F** 831,839 926.826 1.012.81U 1. lOb.760 21,8M** 1.103.217 1.127.280 1.241.270 1.366.790 12,5A 1.322.247 1.223.350 1.356.590 1.504.340 2,6M 1.232.983 1.206.040 1.346.260 1.502.770 9,2J 1.263.485 1.231.170 1.382.890 1.553.310 9,4J l.489.292 1.485 . 370 l.ó78. 300 1.896. 300 12,7

158 ESTrRD1STICA ESPAÑOI..A

PREVISIUNFS I)^.L AI

1979 Valur RealLim. lnf.

9t} ^lprevisián Lim. Sup.

90 °h^QI, errur

E 1.001.709 957. ?62 1.004. 320 1.052. 290 0, 3F* * 831.839 894. 897 949. 712 1.006.ó20 l 4,2M** 1.103.217 1,123.5 l0 1.204.330 1.288.730 9,2A 1.322.247 1.224.783* 1.324.449 1.429.092 0,2M 1.232.983 1.209.320 1.318.130 1.432.940 6,9J 1.2b3.485 1, 234.130 1.355 .000 1.483 .100 7, 2J 1.489.292 1.469.4G10 1.b24.270 !.789.090 9,1

• Corr^egido por efecto pascua." Fuera de los intervalos de confianza dtl 90 por IUO.

1.5. CONCLUSIONES

En las páginas anteriores se ha procedido al estudio univariante y posteriormente

con AI de la serie PDA. Creemos que puede ser un interesante ejercicio en el que

mostramos, tanto el pc^der del anáJisis univariante sencillo, como las indudables mejoras

que las intervenciones han aportado.

Comu ejemplo de ello veamos el siguiente cuadro:

E rror

estándar

°h Mejorarespecto al anterior

% Mejorarespecto a serie univar.

Modelo un ivariante 4,38

Modeto con 3 intervenciones 3. 92 10,5 10,5

Mudeto finat t3,22) * { 17,9)* t2ó,5) *2,Hó 9,7 57,2

` Sin Back-Forecasting.

Utros aspectos de interés son:

u) Según la evidencia disp^nible, parece que el efecta Pascua solamente genera

pasajeros cuandc^ coincide con el mes de- abril, y en un porcentaje alrededor del 5 por

* Por razones de puhlicac ic5n, no hemos pudido incluir en este artículo todo el material gráfic^de fus, fup grá^cos de residuos. AI lector interesadu le remitimus a la Memoria de Licenciatura delmisma título, Universidad Autónuma de Madrid, Facultad de Ciencias 1~^conómicas (1979), quecontiene toda la informac ión complementaria.

METODC3LOGIA DE BOX-JENKINS A LA FREVISION DEL TRAN5PORTE POR IBER[A iS9

100 sobre lo que sería normal e n esas fec has. Una explicac ián de este hecho seria la de

que las expectativas de buen tiempo, dias más largos, etc., pueden ser factores que

refuercen el deseo de viajar, facilitado, en este caso, pc^r la presencia de vacaciones.

Además, hay que tener en cuenta que aunque la Pascua sea en rnarzo, como suele

coincidir con la última semana del mes, los vuelos de regreso se realizarán, normal-

mente, en el mes de abril, por lo que el efecto Pascua marzo se disuelve entre ambos

meses, dificultando la medición del mismo.

Debido a este problema de medida, hemos optado por considerar significativo

solamente el efecto Pascua abril, aunque teniendo presente el hecho de que Pascua

marzo puede, en determinadas circunstancias, ser tomado en consideración.

b) Los efectos de huelgas, catástrofes, etc., son perfectamente detectables y rnedi-

bles, como lo demuestra el trabajo realizado.

c•) Resulta interesante comprobar el efecto de cambio de nivel que supuso para

Iberia la adquisicián de los DC-8, ya que sería esp^erable que hechos como la puesta en

servicio de los Jumba o el puente aéreo Madrid-Barcelona produjesen efectos simila-

res; sin embargo, nosotros no hemos captado esos supuestos efectos, en el caso de que

hayan existido.

d} El modelo final escogido nos muestra con claridad la evolucián ciclica del

número de pasajeros transportados en unos períodos relativamente amplios (cinco años)

si los comparamos con otros más comunes en series españolas.

BIBLIOGRAFIA

ALMAGRO, .I.: Aplicacivnes del Enfoque Bvx-Jenkins a Series Tempvrales del Turismc^ Español.

Comunicación presentada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos enfoques en el análisis de

Series Temporales. Escuela de Organizacíón Industrial. Madrid (1979).

ANDERSON, ^. D.: Time Series Analysis and Forecasting; The B^x Jenkins Apr^ach. Londan:

Butterworths (1976).

Box, G. E. P., and Cox, D. R.: An Analysis of Transformations. J. Rc^yal Statist. Soc., B. 26 (2):

211-242 (1964). d

Box, G. E. P., and JEN[c^NS, G. M.: Time Series Analysis: Fc^recasting and Contrul. Revised

Edition. San Francisca: Holdenday (I.^ edición, 1970) (1976}. ^

Box, G. E. P., and TIAO, G. C.: Intervention Analysis with Applicatians to Economic and

Environmental Problems. J. Amer Statist. Assoc•., 70 (349)^70-79 (1975).

HAMILTC^N, D., and WATTS, D.: Interpreting Parcial Autocorrelatian Functions of Seasonal Time

Series Models. Bic^metrika, 65, 1, 135-40 (1978).

ló0 ESTADISTICA E5PAI^IOLw

HoYO, J. del, y TERCE[RO, J.: Relación Dinámicu entre el Indir•P de Prnduc•cir^n Industriul y

Dispcanibilidaries L^yuidas. Comunicacián presentada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos

Enfoques en el Análisis de Series Temporales. Escuela de t)rganización Industrial. Madrid

(1 979)

P'E1^A, D.: Interacción en la Identifieaci©n de Modelr^s ARIMA LJni^-ariantes. Comunicac ión pnesen-

tada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos Enfoques en el Análisis de Series Temporales.

Escueta de Organizac ión Industrial. Madrid (1979).

Swxz, R.: Modelización del índice de Prvduc'ción Industrial y su Retación con el Cr^nsumo de

Energia Eléctrica. Comunica^c ión presentada a las Jornadas de Estudio sobre: Nuevos Enfoques

en el Análisis de Series Temporales. Escuela de tJrganización Industrial. Madrid (1979).

TREADWAY, A. B.: Sobre la Modelización Estadística de la Balanza de Pagos Española. Informa-

ción Comercial Españula, abril, 24-26 { 1978).

TREADwwY, A. B., GARCtw-PwRDO, J., y CwRB,tvo Isl_w, A.: Efec.•tr^.r sobre la Econumía Españc^la de

una Deti^aluación de la Peseta. Fundación Ramón Areces. Madrid (1978).

SUMMAR^

This paper aims to study the series of Iberia transported passengers,

with the aid of monthly information from January I9ó8 to December 1978

and applying the first two analysis levels of the Box-Jenkins method. The

Intervention Analysis is used to achieve the univariate analysis as well as

the study and modelization of the most important anornalies. Finally, the

selected models give rise to forecastings while comparing them with actual

observations.

Key words: Time-series; Box Jenkins models; forecasting.

AMS, 1970. Subjeet classification: 90A20.