Aplica o de Controladores Ressonantes e Repetitivos para ... · elevadores de alta velocidade. Esses roletes de guias têm como função rejeitar vibrações laterais provenientes

Joo Ferreira de Borba Junior

Aplicao de Controladores Ressonantes e

Repetitivos para Estabilizao Lateral em

Elevadores de Alta Velocidade

Porto Alegre - RS, Brasil

2014

Joo Ferreira de Borba Junior

Aplicao de Controladores Ressonantes e Repetitivos

para Estabilizao Lateral em Elevadores de Alta

Velocidade

Dissertao de mestrado apresentada ao Pro-grama de Ps-Graduao em EngenhariaEltrica da Pontifcia Universidade Catlicado Rio Grande do Sul, como parte dos requi-sitos para a obteno do ttulo de Mestre emEngenharia Eltrica.rea de concentrao: Sinais, Sistemas e Tec-nologia da InformaoLinha de Pesquisa: Automao e Sistemas.

Pontifcia Universidade do Rio Grande do Sul PUCRS

Faculdade de Engenharia

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica

Orientador: Aurlio Tergolina Salton

Porto Alegre - RS, Brasil

2014

Dedico esse trabalho primeiramente a Deus e a Maria Nossa Senhora fontes de f

onde alimento minha alma e minha mente, dedico tambm aos meus filhos Thiago e Ana

Carolina que so os verdadeiros motivos por eu ter lutado para chegar at aqui, a minha

amada Lucilene Piva por estar sempre ao meu lado e ser o meu porto seguro em todos os

momentos, a minha me Dona Neyde, ao meu pai Seu Joo e aos meus irmos Rogrio,

Paulinho, Marcelo e Rodrigo pelo apoio, compreenso e carinho em todos os momentos

ao longo desta jornada.

Agradecimentos

Primeiramente gostaria de agradecer ao Prof. Dr. Jeferson Vieira Flores por ter

tornado possvel a realizao deste trabalho atravs da sua disposio e profundo conhe-

cimento na rea de controle, agradecer tambm ao meu orientador, o Prof. Dr. Aurlio

Tergolina Salton, pelo apoio, pacincia, dedicao e ajuda ao longo do curso de mestrado

e a toda a comisso coordenadora e equipe administrativa do PPGEE.

Agradeo a minha famlia pelo apoio, incentivo e dedicao para tornar este sonho

uma realidade. Aos meus sogros seu Luis e dona Anair e meu enteado Victor Piva por

todos os momentos que me acompanharam enquanto escrevia a dissertao, e tambm

a minha cunhada Dilmara e meu sobrinhos Gustavo e Fernanda que sempre me deram

amor, carinho e apoio, imprescindveis para a concluso desse trabalho.

Um agradecimento especial ao Mestre Eng. Nelso Biden, Eng. Carlos Eduardo

Rambo, Eng. Igor Luiz Guisso, pelos conselhos, ajuda, parceria e pelo tempo em que

estivemos compartilhando as mesmas aulas e tarefas durante o curso. Aos Eng. Ricardo

Rieck, Mestre Eng. Leoci Rudi Galle e demais colegas da ThyssenKrupp Elevadores S/A

pelas informaes e contedo tcnico sobre elevadores contidos neste trabalho.

E finalmente agradeo aos mestrandos, bolsistas e voluntrios os quais tive o prazer

de trabalhar no Grupo de Automao e Controle de Sistemas - GACS.

D ao mundo o melhor de voc.

Mas isso pode no ser o bastante.

D o melhor de voc assim mesmo.

Veja voc que, no final das contas,

tudo entre voc e DEUS.

Nunca foi entre voc e os outros.

(Madre Teresa de Calcut)

Resumo

Este trabalho apresenta a aplicao de controladores ressonantes e repetitivos em con-

junto com a formulao baseada em desigualdades matriciais lineares (do ingls, Linear

Matrix Inequalities - LMI ), para controlar um sistema de roletes de guias ativos para

elevadores de alta velocidade. Esses roletes de guias tm como funo rejeitar vibraes

laterais provenientes das irregularidades nas guias de alinhamento. O desenvolvimento dos

controladores baseado no uso de um modelo matemtico linear em espao de estados

que representa a dinmica do sistema em dois planos ortogonais. Um modelo computa-

cional foi construdo e utilizado para a realizao de simulaes computacionais com os

controladores propostos. A eficincia dos controladores propostos ser ilustrada atravs de

exemplos de simulao. O presente trabalho foi alcanado em cooperao com a Hewlett-

Packard Brasil Ltda. e com recursos provenientes da Lei de Informtica (Lei no 8.248, de

1991).

Palavras-chaves: Controlador Repetitivo, Controlador Ressonante, LMI, Ro-

letes de Guias, Elevador.

Abstract

This document addresses the application of resonant and repetitive controllers designed

with the aid of Linear Matrix Inequalities (LMI) to active roller guides for high speed

elevators. The active roller guides are used to reject lateral vibrations arising from irreg-

ularities in the alignment guides. The development of the controllers is based on a linear

mathematical model in state space that represents the dynamics of the system in two or-

thogonal planes. A computational model was constructed and used to conduct computer

simulations with the proposed controllers. The efficiency of the proposed controllers will

be illustrated through simulation examples. This document was achieved in cooperation

with Hewlett-Packard Brasil Ltda. using incentives of Brazilian Informatics Law (Law no

8.2.48 of 1991).

Key-words: Repetitive Controller, Resonant Controller, LMI, Elevator.

Lista de ilustraes

Figura 1 Observador de estados de ordem plena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 2 Sistema em malha fechada - Principio do Modelo Interno - PMI . . . . 30

Figura 3 Magnitude (Diagrama de Bode) do PMI Ressonante (r = 1) . . . . . 32

Figura 4 Configurao bsica do controlador repetitivo. . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 5 Imagens Obtidas da ThyssenKrupp (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 6 Guias Irregulares (ThyssenKrupp, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 7 Teoria do Skyhook Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 8 Conveno dos Eixos Cartesianos para Elevadores . . . . . . . . . . . . 45

Figura 9 Simulao Aerodinmica - fonte: Kiyoshi et al. (2004) . . . . . . . . . . 46

Figura 10 Conexo das Guias s Paredes do Poo - Fonte: ThyssenKrupp (2006). 48

Figura 11 Distrbios inseridos pelas Guias no sistema - Fonte: Monteferro (2014). 49

Figura 12 Distribuio Gaussiana Padronizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 13 Distrbios inseridos pelas Conexes entre Guias - Fonte: Monteferro

(2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 14 Sistema de Roletes Passivo de um Elevador (ThyssenKrupp, 2006) . . . 52

Figura 15 Vista do Sistema Completo dos Roletes Ativos (ThyssenKrupp, 2006) . 52

Figura 16 Vista de um dos Roletes de Guias Ativos (ThyssenKrupp, 2006) . . . . 53

Figura 17 Representao da Cabina no Plano Y Z mais os Roletes de Guias Ativos 54

Figura 18 Primeira Aproximao no plano Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 19 Sistema Equivalente Simplificado no plano Y Z . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 20 Diagrama de deslocamento no plano Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 21 Diagrama simplificado para pequenos deslocamento no plano Y Z . . . 58

Figura 22 Diagrama de deslocamento no plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 23 Diagrama de deslocamento Simplificado no plano XY . . . . . . . . . . 63

Figura 24 Modelamento de 1/2 Suspeno de um Carro . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 25 Regio do plano complexo associada ao CP2 . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 26 Controlador Ressonante com os ganhos por LMI . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 27 Sistema Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 28 Sistema Observado e Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 29 Distrbios Intrnsecos ao Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 30 Distrbios de Ensaio para Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 31 FFT dos Distrbios Inseridos no Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 32 Comparativo entre o Deslocamento de Cabina e a Perturbao Inserida

no Sistema Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Figura 33 Sada do sistema considerando diferentes configuraes do controlador

Mltiplo Ressonante para um distrbio do tipo S1 . . . . . . . . . . . 82










no Sistema XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89











Figura 44 Controlador Repetitivo com os ganhos por LMI . . . . . . . . . . . . . 101


no Sistema Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Figura 46 Sada do sistema com controlador Repetitivo para um distrbio do tipo

S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105


S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106


S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Figura 49 Sada do sistema com controlador repetitivo para um distrbio do tipo

S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Figura 50 Sada do sistema com controlador repetitivo para um distrbio do tipo

S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


no Sistema XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Figura 57 Comparativo do Deslocamento da Cabina no Plano Y Z - Distrbio do

tipo S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Figura 58 Comparativo do Sinal de Controle no Plano Y Z - Distrbio do tipo S1 120


tipo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


tipo S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Figura 61 Comparativo do Deslocamento da Cabina no Plano XY - Distrbio do

tipo S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Figura 62 Comparativo do Sinal de Controle no Plano XY - Distrbio do tipo S1 122


tipo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


tipo S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Lista de tabelas

Tabela 1 Parmetros do Elevador para as Simulaes . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tabela 2 Deslocamento da Cabina para Diferentes Harmnicas . . . . . . . . . . 81

Lista de abreviaturas e siglas

ISO International Organization for Standardization

PID Proporcional-Integral-Derivativo

PI Proporcional-Integral

PD Proporcional-Derivativo

MPC Model Predictive Control

SMC Sliding Mode Controllers

LTI Linear e Invariante no Tempo

BIBO Entrada limitada Sada Limitada

PMI Princpio do Modelo Interno

SISO Single Input - Single Output

MIMO Multiple Input - Multiple Output

FFT Fast Fourier Transform

LMI Linear Matrix Inequalities

LQR Linear Quadratic Regulator

ASMC Adaptive Sliding Mode Controller

SCR Silicon-Controlled Rectifier

MGVC Motor Generator Velocity Control

VSC Variable Structure Control

ARC Adaptative Robust Control

LQC Linear Quadratic Control

SAS Stability Augmentation System

Lista de smbolos

t0 tempo no instante 0

n ensima

N conjunto de nmeros naturais

R conjunto dos nmeros reais

Rn espao euclidiano de ordem n

Rnm espao das matrizes reais de dimenso n m

AT transposta da matriz A

I matriz identidade

t tempo tendendo ao infinito.

norma de no espao vetorial.

G funo de transferncia das incertezas da planta.

Gr1 funo de transferncia do controlador ressonante de 1a harmnica.

r frequncia de ressonncia com ganho infinito.

Gk funo de transferncia do controlador ressonante de k harmnicas.

Gfrc funo de transferncia do controlador ressonante com filtro.

Rm conjunto dos nmeros reais de ordem m.

H matriz hessiana.

Nh nmero de harmnicas.

Coeficiente de amortecimento.

Sumrio

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Organizao do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Sistema no Espao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Formulao Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2 Controlabilidade e Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 Controle por Realimentao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.4 Mtodo de Alocao de Plos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.5 Observadores de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.5.1 Observador de Distrbios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Segmento de Referncias de Perturbaes Peridicas . . . . . . . . 29

1.5.1 Princpio do Modelo Interno - PMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2 Controlador PMI - Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.3 Controlador PMI - Repetitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Sntese por LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.1 Critrio - Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.2 Critrio - Realimentao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.3 Critrio - H2 Custo Garantido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 Elevadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7.1 Fontes de Vibraes nos Elevadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.7.1.1 Fontes de Perturbao de Alta Frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.7.1.2 Foras de Perturbao de Baixa Frequncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.7.1.3 Perturbaes Intrnsecas ao Sistema Elevador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.7.1.4 Perturbaes de Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.7.2 Roletes de Guias Ativos e Passivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 MODELAGEM MATEMTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1 Equacionamentos das Foras que Atuam na Cabina do Elevador . . 53

2.2 Modelagem Matemtica da Cabina no Plano Y Z . . . . . . . . . . . 54

2.3 Representao por Espao de Estados do Plano Y Z . . . . . . . . . 58

2.4 Modelamento da Cabina no Plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.5 Representao por Espao de Estados do Plano XY . . . . . . . . . 64

3 CONTROLADORES MLTIPLOS RESSONANTES . . . . . . . . . 68

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Formulao Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Condies LMI para Anlise do Ganho F . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Observador de Estados no Controlador Ressonante . . . . . . . . . . 72

3.5 Parmetros Utilizados nas Simulaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5.1 Situaes de Distrbios Utilizadas nas Simulaes . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Simulaes para o Plano Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6.1 Situaes Intrnsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6.1.1 Perturbao S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6.1.2 Perturbao S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.1.3 Perturbao S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.2 Situaes de Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6.2.1 Perturbao S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6.2.2 Perturbao S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7 Simulaes para o Plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


3.7.1.1 Perturbao S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.7.1.2 Perturbao S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.7.1.3 Perturbao S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


3.7.2.1 Perturbao S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.7.2.2 Perturbao S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.8 Consideraes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97



4 CONTROLADORES REPETITIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Formulao Bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Condies LMI para Anlise do Ganho F . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Observador de Estados no Controlador Repetitivo . . . . . . . . . . . 101

4.5 Parmetros Utilizados nas Simulaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Simulaes para o Plano Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


4.6.1.1 Perturbao S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.1.2 Perturbao S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.6.1.3 Perturbao S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


4.6.2.1 Perturbao S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.6.2.2 Perturbao S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7 Simulaes para o Plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


4.7.1.1 Perturbao S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.7.1.2 Perturbao S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.7.1.3 Perturbao S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


4.7.2.1 Perturbao S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.7.2.2 Perturbao S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.8 Consideraes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118



4.9 Comparao entre os Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.9.1 Comparao no Plano Y Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.9.2 Comparao no Plano XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

17

1 Introduo

Neste captulo sero descritos os motivos e objetivos que serviram de ponto de

partida para a elaborao desse trabalho. Tambm faz parte deste captulo uma fun-

damentao terica sobre conceitos e tcnicas de controle de sistemas modernos. Estes

temas serviro como base para a elaborao dos controladores ressonantes e repetitivos

que so o foco principal deste trabalho e sero aplicados para a estabilizao lateral de

elevadores de alta velocidade. Ainda dentro deste captulo ser realizada uma descrio

sobre o elevador, suas partes e as perturbaes que esto associadas a este sistema.

1.1 Motivao

Em elevadores modernos, devido as necessidades atuais de prdios cada vez mais

altos e com fluxo intenso de passageiros, a velocidade com que a cabina percorre a caixa

de corrida cada vez mais maior. At o final dos anos 80, no era comum existirem

elevadores com velocidade acima de 2 m/s ou 3 m/s, pois as tecnologias dos motores

da poca somente disponham de velocidades rotacionais elevadas e consequentemente

necessitavam de um sistema de engrenagens e sem fim acoplados a uma polia. Por essa

polia eram passados os cabos que consequentemente tracionava a cabina.

Com o passar do tempo foram desenvolvidos motores de rotaes menores e assim

passou-se a utilizar esses motores diretamente acoplados aos cabos de trao da cabina,

sem a necessidade da utilizao de engrenagens e polias e possibilitando ento o surgi-

mento dos elevadores com velocidades acima de 3 m/s ou tambm denominados de alta

velocidade.

A partir do desenvolvimento de elevadores de alta velocidade, a exposio do

corpo humano vibrao passou a estar presente em inmeras situaes, podendo ser

fonte de desconforto e causa de problemas de sade. Particularmente no caso da vibrao

transmitida ao corpo inteiro, isso pode ocasionar problemas como indisposio seguida

de enjoos, tonturas e vmitos. Sendo assim, sua investigao de extrema importncia.

Especificaes sobre vibraes transmitidas ao corpo como um todo atravs de superfcies

de sustentao so referenciadas pela norma ISO2631-1 (1997) Mechanical vibration and

shock Evaluation of human exposure to whole-body vibration. Os procedimentos para

verificar e validar essas medies so realizadas de acordo com os requisitos indicados

pela norma ISO18738 (2003), Measurement of Lift Ride Quality e atendendo aos critrios

da norma ISO8041 (2005) Human response to vibration Measuring instrumentation.

Captulo 1. Introduo 18

Segundo Roger (2007) entende-se que o conforto e a qualidade de uma viagem

de elevador so dois conceitos distintos e independentes, definidos pela percepo dos

passageiros, consultores e fabricantes de elevadores. Para os elevadores que possuem velo-

cidades pequenas e consequentemente de baixa acelerao, sistemas de amortecimento de

vibraes passivos convencionais so suficientes para atingir as especificaes de conforto

e qualidade. Porm para elevadores de alta velocidade o sistema de roletes de guias ativos

proporciona um conforto maior nas viagens e assim possvel atender as especificaes

exigidas pelas normas citadas anteriormente.

O conceito de roletes de guias ativos, ou em alguns casos denominado de suspen-

so ativa, no tem sido aplicado em elevadores de baixa velocidade que so comumente

utilizados nos prdios comerciais de pequeno porte e residncias. Porm, a aplicao deste

conceito largamente aplicada no caso de prdios comerciais de alto fluxo bem como

os empreendimentos do tipo arranha-cu, tambm conhecidos como skyscrapers, que de-

vido ao volume de passageiros e nmero de pavimentos necessitam de elevadores de alta

velocidade que devem ter desempenho superiores. Nesses tipos de empreendimentos so

exigidos atravs de normativas, patamares maiores de segurana e conforto, que sejam

suficientes para atingir as expectativas dos seus usurios, de forma a tornar o elevador um

meio de transporte confortvel e seguro. Sendo assim, espera-se que com a utilizao do

sistema de roletes de guias ativos possa se atingir os padres especificados pelas normas

e o conforto almejado pelos usurios.

No caso especfico de elevadores, a bibliografia sobre os conceitos e desenvolvimen-

tos na rea de controle de vibraes na cabina so restritos pois a competitividade entre

as empresas desta rea muito alta, sendo que poucos artigos sobre o controle do nvel de

vibraes em elevadores foram encontrados. Alguns exemplos mais recentes que podem

ser citados so os trabalhos de Perondi e Rivas (2008) e Perondi, Rivas e Roland (2010).

1.2 Objetivos do trabalho

Este trabalho tem por objetivo estudar a viabilidade da aplicao dos controladores

ressonantes e repetitivos a um sistema de roletes de guias ativos acoplados a base da

estrutura da cabina de um elevador para rejeitar vibraes e oscilaes laterais.

O modelo matemtico do elevador baseado no modelo linearizado apresentado

em Perondi, Rivas e Roland (2010). A sntese dos controladores ser realizada atravs da

soluo de um problema de otimizao com restries na forma de Desigualdades Lineares

Matriciais (do ingls Linear Matrix Inequalities - LMIs) que garantem a estabilidade e

desempenho do sistema em malha fechada. Resultados de simulao sero utilizados com

o objetivo de comparar o desempenho do dois controladores propostos.


Vale salientar que os alguns dos conceitos e mtodos empregados no desenvolvi-

mento dos equacionamentos matemticos das foras que atuam na cabina do elevador

tambm so aplicadas no projeto de sistemas de controle de veculos automotivos que

em alguns casos possuem suspenses ativas o que nos permite alcanar o objetivo de

equacionar as as foras que atuam no elevador aplicando esses mesmos conceitos.

A partir dos resultados das simulaes ser possvel concluir que os controladores

utilizados neste trabalho podem ser aplicados no controle de sistemas de roletes de guias

com um desempenho satisfatrio e tambm que esses mtodos so eficazes na neutralizao

de vibraes na cabina do elevador oriundas de perturbaes provenientes das guias do

poo que servem como referncia para o deslocamento do sistema.

1.3 Organizao do texto

Para permitir a visualizao geral da estrutura deste trabalho, feita a seguir uma

descrio sucinta de cada assunto descrito no restante deste documento.

Na Captulo 1 so includos os conceitos bsicos que serviro de referncia para

descrever as implantaes e nortear o desenvolvimento desse trabalho. Tambm feita

uma reviso bibliogrfica dos principais artigos e livros que abordam os assuntos relaci-

onados a este trabalho, como o desenvolvimento de modelos tericos, o levantamento de

propriedades experimentais e projetos de suspenses, dentre outros.

A Seo 1.7.1 relata as possveis fontes de vibraes que podem afetar um elevador e nas

Sees 1.7.1.3 e 1.7.1.4 so apresentadas as perturbaes que sero inseridas no sistema

elevador e iro ser utilizadas como base para as simulaes, bem como para a avaliao

do desempenho dos controladores que so o foco deste trabalho.

Tambm neste captulo a Seo 1.7.2 apresenta uma breve introduo aos componentes

bsicos que constituem um elevador e o sistema de roletes de guias ativos e passivos.

No Captulo 2 apresentado o desenvolvimento terico dos modelos dinmicos

e descrito o modelamento matemtico da cabina do elevador e seus graus de liberdade.

A partir da definio de variveis bsicas, graus de liberdade e movimentos relativos de

componentes, como molas e amortecedores, determina-se o modelo dinmico do elevador

em dois planos ortogonais de interesse. Os sistemas de equaes diferenciais dos modelos

tericos so obtidos pela aplicao da equao de equilbrio dinmico de Newton. O modelo

final do sistema colocado na forma de variveis de estado.


No Captulo 3 apresentado o projeto do sistema de roletes de guias ativos do

elevador com a aplicao do controlador mltiplo ressonante e demonstrado os resulta-

dos obtidos para os dois planos ortogonais de interesse atravs de simulaes realizadas

para este controle onde so descritas perturbaes conhecidas do sistema que so inseridas

atravs das guias de referncia do elevador. Neste captulo essas perturbaes so demons-

tradas atravs de catlogos dos fabricantes de guias e realizada a anlise matemtica das

frequncias que compem esses distrbios.

No Capitulo 4 apresentado o controlador repetitivo como opo de controle

para o projeto do sistema de roletes de guias ativos do elevador e tambm demonstrado

os resultados obtidos para os dois planos ortogonais de interesse atravs de simulaes

realizadas para este controle com as perturbaes descritas no captulo anterior.

No Captulo 5 so apresentadas as concluses, enfatizando os principais resultados,

pontos em aberto e observaes do presente trabalho, tambm sendo propostas sugestes

para o desenvolvimento de trabalhos futuros.

1.4 Sistema no Espao de Estados

Segundo Ogata (1996) os sistemas complexos modernos podem ter muitas entra-

das e muitas sadas e elas podem ser inter-relacionadas de maneiras complicadas. Para

analisar esse sistema essencial reduzir a complexidade das expresses matemticas, bem

como recorrer aos computadores para a maioria dos processamentos tediosos necessrios

anlise. A abordagem com base no espao de estados a mais apropriada para analisar

um sistema por esse ponto de vista.

Conforme descrito por Chen (1970), o estado de um sistema no instante t0 o

conjunto de informaes adicionais que, junto com a entrada u(t), para t t0, determina

completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0, ou seja,

t t0.

Enquanto a teoria de controle clssico fundamentada na descrio da relao do

sistema entrada-sada, como por exemplo a funo de transferncia, a teoria de controle

moderno fundamentada na descrio de um sistema de equaes em termos de n equaes

diferenciais de primeira ordem, que podem ser combinadas em uma equao diferencial

matricial de primeira ordem.


1.4.1 Formulao Bsica

Todo o sistema linear de dimenso finita pode ser descrito por um conjunto de

equaes diferenciais de primeira ordem na seguinte forma matricial.

x1(t)...

xn(t)

=

a11(t) a1n(t)...

. . ....

an1(t) ann(t)

x1(t)...

xn(t)

+

b11(t) b1m(t)...

. . ....

bn1(t) bnm(t)

u1(t)...

um(t)

y1(t)...

yp(t)

=

c11(t) c1n(t)...

. . ....

cp1(t) cpn(t)

x1(t)...

xn(t)

+

d11(t) d1m(t)...

. . ....

dp1(t) dpm(t)

u1(t)...

um(t)

Tambm pode-se representar um sistema linear na seguinte forma compacta:

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t),

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t). (1)

Onde:

x := dx(t)/dt;

x(t) Rn1 : Vetor de estados do sistema n dimenses do sistema;

u(t) Rm1 : Vetor de entradas do sistema;

y(t) Rp1 : Vetor de sadas do sistema;

A(t) a matriz de transio dos estados de dimenso n n;

B(t) a matriz de entrada de dimenso n m;

C(t) a matriz de sada ou matriz dos sensores de dimenso p n;

D(t) a matriz de alimentao direta de dimenso p m;

Qualquer sistema dinmico Linear Invariante no Tempo (LIT ) pode ser escrito na

forma de espao de estados. Um sistema dinmico de ordem n representado usando n

equaes diferenciais de primeira ordem. Considerando a formulao apresentada em 1,

este sistema pode ser representado por matrizes constantes:

A = A(t), B = B(t), C = C(t), e D = D(t)

Sendo assim a representao no espao de estados fica conforme a equao abaixo:

x(t) = Ax(t) + Bu(t),

y(t) = Cx(t) + Du(t). (2)


Em um sistema com somente uma entrada e uma sada (do ingls Single Input

Single Output - SISO) tem-se (m = p = 1) e a representao no espao de estados

descrito pelas matrizes:

x1(t)...

xn(t)

=

a11 a1n...

. . ....

an1 ann

x1(t)...

xn(t)

+

b1...

bn

u(t)

y(t) =[

c1 cn]

x1(t)...

xn(t)

+[

d1]

u(t)

A Rnn, B Rn1, C R1n e D R11

Vrias tcnicas podem ser utilizadas para a obteno da representao no espao

de estados a partir de funes de transferncia, entre elas podemos citar as representaes

nas formas controlvel, observvel, diagonal ou na forma cannica de Jordan (Ogata,

1996).

1.4.2 Controlabilidade e Observabilidade

A controlabilidade de um sistema dinmico se refere capacidade do sinal de

entrada u(t) deste sistema de influenciar ou no diretamente no comportamento de cada

um dos seus estados. De forma geral significa que o sistema pode ou no ser controlado.

A ideia de controlabilidade foi introduzidas por Kalman (1960), Kalman, em me-

ados da dcada de 60, como uma forma de explicar porque o projeto de controladores

para sistemas instveis cancelando os polos instveis com zeros estava condenado ao fra-

casso, embora o cancelamento fosse perfeito, na prtica este mtodo no vivel, pois o

cancelamento perfeito de um sistema real no possvel.

Segundo Ogata (1996), um sistema considerado controlvel no tempo t0 se

possvel transferi-lo desde qualquer estado inicial x(t0) at qualquer outro estado x(t),

mediante um vetor de controle sem restries em um intervalo de tempo finito.

Existem dois tipos de sistema no controlveis, aqueles cuja parte no controlvel

estvel e aqueles cuja parte no controlvel instvel. Um sistema do primeiro tipo

chamado de estabilizvel e a sua matriz de controlabilidade C definida como:

C = [B AB An1B]nn

Onde as matrizes A e B so definidas de acordo com a equao (2).


Para que um sistema seja completamente controlvel necessrio que o rank da

matriz

[B AB An1B]nn

seja igual a n, o que significa dizer que um sistema representado de acordo com a equao

(2) completamente controlvel se, e somente se, os vetores B, AB, , An1B sejam

linearmente independentes, ou seja, a matriz C tenha rank igual a n.

Nesta seo tambm discute-se outro conceito apresentado por Ogata (1996), a

observabilidade de sistemas lineares. Segundo o autor, um sistema completamente ob-

servvel se o vetor de estados x(t0) pode ser determinado a partir da medio de y(t)

durante um tempo finito, t0 t t1. Portanto, o sistema completamente observvel se

todas as mudanas de estados afetam a todos os elementos do vetor de sada.

Similarmente, existem sistemas no observveis cuja parcela no observvel es-

tvel e sistemas cujas parcelas no observveis so instveis. Aqueles que a sua parcela

no observvel estvel so definidos como sistemas detectveis.

Para que o sistema definido pela equao (2) seja completamente observvel

necessrio e suficiente que a matriz

O = [CT AT CT (AT )n1CT ]

tenha rank n ou n vetores colunas linearmente independentes.

1.4.3 Controle por Realimentao de Estados

Uma das maneiras mais usuais de controlar um sistema dinmico no espao dos

estados realizada por meio da realimentao dos estados do sistema de forma a gerar

um sinal de entrada, u(t), que produza o sinal de sada, y(t), desejado. Contudo, o grande

problema do controle por realimentao dos estados exigir que os estados do sistema

estejam disponveis para serem realimentados, ou seja, necessrio medir todos os estados

do sistema, ou pelo menos estim-los por meio de um observador de estados.

Existem dois tipos bsicos de controladores por realimentao dos estados:

Regulador de estados esse tipo tem o objetivo de manter o sistema em uma

condio fixa de operao;

Sistema servo j esse tem o objetivo de fazer com que as sadas do sistema sigam

um comando desejado.


Dado um sistema dinmico LIT definido pelas matrizes A, B e C, controlvel e

observvel e sendo a lei de controle dada por:

u(t) = Kx(t) (3)

onde K a matriz de ganhos do controlador com dimenso m n, ou seja:

K =

k11 k12 k1n

k21 k22 k2n...

.... . .

...

km1 km2 kmn

A representao do sistema em malha fechada do regulador obtida substituindo

a equao (3) em 2, obtendo-se:

x(t) = Ax(t) + BKx(t) (4)

ou

x(t) = [A + BK] x(t) = Amfx(t)

y(t) = Cx(t)

onde Amf a matriz da dinmica do sistema em malha fechada.

O projeto do controlador com realimentao de estados consiste em determinar a

matriz de ganhos K de forma que a matriz da malha fechada (Amf ) tenha as propriedades

desejadas. O mais usual escolher os ganhos do controlador de forma a localizar os polos

da malha fechada em posies desejadas no plano s.

1.4.4 Mtodo de Alocao de Plos

Como visto na Seo 1.4.3, atravs da realimentao de estados e a escolha de

uma matriz de ganhos apropriada, possvel forar o sistema a ter polos nas localizaes

desejadas. Existem, todavia, custos associados alocao de todos os polos em malha

fechada, uma vez que tal realocao requer a possibilidade de conhecimento dos valores

de todas as variveis de estado ao longo do tempo ou, ento, a incluso de um observador

de estados no sistema. Alm disso, h necessidade que os atuadores imponham a dinmica

desejada.

Neste trabalho, o objetivo do controle fazer com que a cabina do elevador rejeite,

tanto quanto possvel, os efeitos de perturbaes. Isso caracteriza um problema clssico

de controle, ou seja, as aes devem ser tais que, a partir de um estado de equilbrio, a

sada de interesse deve ser mantida prxima a zero, mesmo que o sistema seja sujeito a

perturbaes que em determinados momentos desviem a sada do ponto de equilbrio.


Os autovalores da matriz (A + BK) so denominados polos do sistema regulador.

Se os autovalores so adequados, a matriz (A + BK) ser estvel e, para qualquer valor

de x(0) diferente de zero, possvel fazer com que x(t) tenda a zero com t tendendo ao

infinito. Segundo Ogata (2003), antes de tentar alocar os polos em posies arbitrarias,

necessrio estudar o sistema para verificar se ele completamente controlvel. Isso resulta

do fato de que a condio necessria e suficiente para a alocao arbitrria dos polos

que o sistema seja completamente controlvel.

1.4.5 Observadores de Estados

Na realimentao de estados apresentada na Seo 1.4.4, foi suposto que todas

as variveis de estado estivessem disponveis para sua realimentao. Porm, na prtica

muitas vezes nem todas as variveis de estado so acessveis.

A estimao de variveis de estado denominada normalmente de observao e o

sistema que estima ou observa as variveis de estado chamado de observador de estados.

Um observador de estados estima as variveis de estado baseado na medio das

variveis de sada e usado para reconstruir os estados do sistema, que por algum motivo,

no podem ser medidos. Se o observador de estados estima todas as variveis do sistema,

sem considerar que alguma delas possa ser medida diretamente, este sistema chamado

de observador de estado de ordem plena.

Em algumas situaes, no necessrio estimar todas as variveis do sistema,

apenas aquelas que no se obtm diretamente suas medidas. Sendo assim, o observador

que estima um nmero menor que as n variveis do sistema chamado de observador de

estado de ordem reduzida, onde n a dimenso do vetor de estado.

Neste trabalho ser considerado a necessidade de ser estimadas todas as vari-

veis de estados utilizando assim um observador de estados pleno para implementao do

controle de roletes de guias ativos.

Outro fator importante a ser considerado no projeto do observador o conceito de

observabilidade, pois um observador de estados pode ser projetado somente se a condio

de observabilidade satisfeita.

O modelo matemtico do observador de estados apresentado por Ogata (1996)

considera que sendo um sistema representado pela equao (2) e a matriz D = 0, suas

expresses tornam-se basicamente as mesmas que a do modelo da planta, contendo, porm,

um termo a mais para compensar as imprecises nas matrizes A e B e o erro de estimativa

do estado inicial x(0).


Sendo assim, o observador de estados de ordem plena definido pelas expresses:

x = Ax + Bu + L(y y) (5)

y = Cx (6)

Onde x o estado estimado e Cx a sada estimada y.

Substituindo-se a expresso da sada estimada dentro da equao do observador

de estados obtm-se:

x = Ax + Bu + L(y Cx) (7)

= Aobsx + Bu + L(y) (8)

Sendo Aobs = A LC. As entradas do observador de estados so a sada y do sistema e

a entrada de controle u.

A matriz L o vetor de ganhos do observador de estados que contm os termos de

ponderao cuja sua finalidade minimizar o erro entre as variveis do sistema real e as

observadas. A matriz de ponderao L deve basicamente satisfazer a dois critrios: tornar

a matriz (A LC) negativa definida e possuir uma velocidade de resposta satisfatria.

Estes termos de ponderao corrigem de maneira contnua a sada do modelo e determina

o comportamento do sistema.

A Figura 1 apresenta o diagrama de blocos que representa um sistema que imple-

menta um observador de estados de ordem plena.

Figura 1 Observador de estados de ordem plena

Sendo o erro do observador a diferena entre a sada medida e a sada estimada,

para obter-se a equao de erro de estimao do observador de estados pode-se substituir

(7) em (2) como apresentado abaixo:

x x = Ax Ax L(Cx Cx) = (A LC)(x x) (9)


Define-se a diferena entre x e x como o vetor erro e = x x. Substituindo-se

assim o erro e na equao (9) tem-se:

e = (A LC)e (10)

A partir da equao (10) pode-se concluir que o comportamento dinmico do erro

de estimao determinado pelos autovalores da matriz Aobs. Se os autovalores desta

matriz esto posicionados no semi plano esquerdo do plano complexo, e converge para

zero a partir de qualquer vetor de erros inicial e(0), ou seja, x(t) converge para x(t)

independentemente dos valores de x(0) e x(0).

Se o sistema completamente observvel, possvel escolher uma matriz L, tal

que, Aobs tenha autovalores arbitrrios. Determina-se a matriz de ganhos do observador

L de maneira tal que a dinmica do erro definida pela equao (10) seja assintoticamente

estvel, com uma velocidade de resposta suficiente para executar o controle do sistema

atravs da realimentao dos estados. Dessa forma, o projeto do observador de estados,

compreende-se na determinao de uma matriz de ponderao L que possua autovalores

especificados pelo projetista atravs da definio da dinmica do sistema.

1.4.5.1 Observador de Distrbios

Distrbios externos ao sistema podem provocar efeitos indesejveis no desempenho

do controle de uma planta que possua um observador de estados.

Segundo Hendrik et al. (2000) esses distrbios podem ser descritos como uma sada de

um sistema autnomo descrito por:

xw = Awxw

w = Cwxw

Originalmente apresentado em Ohnishi (1987), o observador de distrbios (do in-

gls Disturbance Observer - DOB), tem sido aplicado com sucesso em muitos problemas

prticos em diversas reas, tais como sistemas servo motores, robtica, unidades de disco

tico, e veculos automotores (Umeno; Hori, 1991; Umeno; Kaneko; Hori, 1993; Eom; Suh;

Chung, 1997; Huang; Messner, 1998; Ryoo; Doh; Chung, 2002).

A observao de distrbios fornece uma estimativa da perturbao d(t), a qual

utilizada para realizar uma compensao atravs de um realimentao negativa. Segundo

Francis e Wonham (1976), uma componente de realimentao deve ser includa na din-

mica da planta para tenta atenuar o distrbio. A estrutura do controlador que inclui esse

tal modelo o observador de distrbio Johnson (1971).


O controlador deve ser projetado de maneira que a sada da malha fechada acom-

panhe a sua entrada de referncia, ento o sinal na entrada do modelo deve ser aproxi-

madamente igual entrada da planta adicionada do distrbio e, como se supe que a

entrada conhecida, pode-se estimar o distrbio.

Os conceitos gerais da teoria do observador de estados j foram descritos na Seo

1.4.5. Estes mesmos conceitos tambm se aplicam ao observador de distrbios e para

avaliar os efeitos dos sinais de distrbios na dinmica do sistema, pode-se considerar um

sistema linear SISO com distrbio descrito por:

x(t) = Ax(t) + Buu(t) + Bdd(t)

y(t) = Cx(t)

Onde d(t) Rn o vetor de distrbios externos. E a expresso da estimativa de erro

sendo:

x(t) = (A LC)x(t) + Buu(t) + Ly(t)

A presena do sinal de distrbio d(t) no muda a dinmica do sistema e seus

autovalores. Como o sistema projetado para ser estvel, conclui-se que os sinais de

distrbios funcionaram como referncias indesejadas que o sistema em malha fechada

ser forado a seguir.

O observador de distrbios inclu na formulao do observador de estados a equao

dos sinais de perturbao para compensar o efeito desses sinais no sistema e para aumentar

o grau de liberdade do observador.

A dinmica aumentada do sistema com a incluso do observador de distrbio

descrita como:

x(t) = Aa + Bau(t) (LCa)x(t) + Ly(t)

w = Cwxw

Onde as matrizes de estado so:

Aa =

A BCw

0 Aw

, Ba =

B

0

, Ca =[

C 0]

, La =

L

Ld

No controle utilizado neste trabalho os distrbios considerados no projeto dos

roletes de guias ativos so as imperfeies das guias e as variaes que elas podem causar

no movimento do elevador. Estas caractersticas sero descrita na Seo 1.7.1 com mais

detalhes e como elas podem causar vibraes durante o deslocamento da cabina.


1.5 Segmento de Referncias de Perturbaes Peridicas

O seguimento de referncia, ou tambm conhecido como rastreamento, pode ser

visto como um problema de controle onde se necessita manter as variveis de interesse de

um sistema a ser controlado dentro de patamares pr-estabelecidos rejeitando as pertur-

baes inseridas no sistema, e com isto ajustar o erro em regime permanente na resposta

referncia constante.

Em outras palavras, dado um sinal de referncia, deseja-se encontrar um controla-

dor tal que a sada do processo, ou seja, o sinal a ser controlado, siga o sinal de referncia

em regime permanente, mesmo que haja uma flutuao nos parmetros do processo.

Alguns tipos de controladores podem ser utilizados como seguidores de referncia

e/ou rejeio de distrbios, entre eles pode-se citar os controladores de correo do ganho

esttico (Wang; Chu; Tsao, 2009), os controladores proporcionais integrais - PI e os pro-

porcionais derivativos - PD, controladores preditivos baseados em modelo - MPC (Jiang;

Liu, 2009), controladores de estrutura varivel - SMC (Lu; Hwang, 2009), controladores

ressonantes e repetitivos entre outros.

Nesta seo sero apresentadas as duas principais metodologias de seguimento

e/ou rejeio utilizadas ao longo deste trabalho, o controlador ressonante e o repetitivo,

ambas baseadas no Princpio do Modelo Interno (PMI ) e com um enfoque voltado para

o seguimento e/ou rejeio de sinais peridicos.

1.5.1 Princpio do Modelo Interno - PMI

Proposto inicialmente por Francis e Wonham (1976), o conceito de Princpio do

Modelo Interno - PMI define que para se seguir um determinado sinal com erro nulo em

regime permanente, deve-se inserir na malha de controle do sistema um bloco gerador

com as mesmas caractersticas dos sinais a serem seguidos e/ou rejeitados. Com isso, o

sistema de controle capaz de seguir e/ou rejeitar perturbaes que possuam as mesmas

caractersticas do sinal de referncia.

Segundo Fukuda e Yoda (2001), Chen e Longman (1999), para que um sistema de

controle realimentado possa seguir assintoticamente um sinal de referncia com erro nulo

em regime permanente o seu sinal de referncia deve satisfizer a duas condies:

O sistema em malha fechada deve ser assintoticamente estvel;

o controle e/ou a planta do sistema devem incluir termos que reproduzam matema-

ticamente a representao em frequncia dos sinais a serem seguidos e/ou rejeitados.


Definindo ento um sinal de referncia pela equao:

r(s) =n(s)

(s)e(s)(11)

Analisando as caractersticas deste sinal tem-se que:

(s) representa o polinmio que possui as razes dos modos instveis e marginal-

mente estveis de r(s);

e(s) contm os modos estveis de r(s);

n(s) representa o polinmio correspondente ao numerador de r(s), sendo que suas

razes devem ser diferentes das razes de (s) e e(s).

Pela Transformada de Inversa de Laplace pode-se concluir que apenas os sinais

associados s razes de (s) influenciam em regime permanente, ou seja, as razes de (s)

so os modos instveis de r(s). O que demonstra que o seguimento e/ou rejeio deste

sinal de referncia ser garantido se a funo de transferncia (s) = 1/(s) for inserida

no caminho direto da malha de controle.

Na Figura 2 apresentado um sistema em malha fechada o qual tem a funo

de garantir a estabilidade e as especificaes de desempenho transitrio. Os blocos que

Figura 2 Sistema em malha fechada - Principio do Modelo Interno - PMI

compes este sistema so:

G(s) a planta a ser controlada;

(s) o mdulo PMI que garante o seguimento e/ou rejeio do sinal de referncia;

C(s) o controlador que dar a estabilidade do sistema em malha fechada.

Assume-se que no deve haver cancelamento dos polos bloco PMI ((s)) com os

zeros do controlador (C(s)).

Considerando que a planta e o controlador da figura 2 sejam descritos como G(s) =NPDP

e C(s) = NCDC

onde NP e NC so os numeradores e DP e DP so os denominadores em

funo dos polinmios em s.


Sendo assim a funo de transferncia do sistema em malha fechada ser dada por:

MF (s) =(s)C(s)G(s)

1 + (s)C(s)G(s)

=NC(s)NP (s)

(s)DCDP + NC(s)NP (s)(12)

Observando a equao do sistema em malha fechada 12 pode-se concluir que se as

razes dos polinmios que compem o denominador desta equao estiverem no semiplano

esquerdo do plano complexo o sistema ser estvel.

A funo de transferncia do sinal de erro do sistema apresentado na Figura 2

descrita como:

eMF (s) =1

1 + (s)C(s)G(s)r(s)

=(s)DC(s)DP (s)

(s)DCDP + NC(s)NP (s)r(s) (13)

Substituindo-se 11 em 13 obtm-se ento:

eMF (s) =(s)DC(s)DP (s)

(s)DCDP + NC(s)NP (s)ne

(s) (14)

Aplicando o Teorema do valor final descrito por Haykin e Van Veen (2002) na

equao 14 tem-se o seguinte erro em regime permanente para o sistema em malha fechada:

e() = lims

s eMF (s) = lims s(s)DC(s)DP (s)

(s)DCDP + NC(s)NP (s)ne

(s) = 0. (15)

A partir do descrito pode-se verificar que o PMI ser insensvel aos distrbios

inseridos no sistema, fazendo com que tenha-se erro nulo em regime permanente e rejeio

de perturbaes de maneira robusta.

1.5.2 Controlador PMI - Ressonante

Baseado nos conceitos do controlador PMI, estes controladores se caracterizam

por possurem na sua estrutura um modelo que obtenha erro nulo em regime permanente

e seguimento e/ou rejeio de distrbios para sinais senoidais. Ao ser submetida a um

sinal de erro peridico com frequncia definida apresenta uma dinmica semelhante ao do

controlador PI para um sinal de erro constante.

Essa implementao produz um ganho infinito sempre que o erro possui uma

frequncia r, porm para pequenas variaes de frequncia o valor da ao de controle

decai drasticamente, praticamente no exercendo nenhuma ao sobre o sinal de erro.


Sabendo-se que atravs da Srie de Fourier pode-se representar qualquer sinal pe-

ridico a partir da soma ponderada de senoides, pode-se considerar um sinal de referncia

e um sinal de distrbio descrito como segue:

r(t) =nr

i=1

ari sin(ri + ri)

d(t) =nd

i=1

adi sin(di + di)

Sendo que cada senoide contribui com s2 + 2i tem-se:

r(s) =nr

i=1

(s2 + 2ri) , d(s) =nd

i=1

(s2 + 2di)

Caracterizando um controlador ressonante pelo seu ganho infinito em uma determinada

frequncia de ressonncia r que, por exemplo, pode ser igual frequncia do sinal de

referncia peridica. Sendo ento, o modo do PMI para um sinal de referncia:

(s) =1

=1

s2 + 2r(16)

A Figura 3 apresenta a magnitude do sinal de sada em relao a variao de

frequncia de um PMI ressonante onde se pode observar a tendncia de ganho infinito na

frequncia r que tambm denominada frequncia de ressonncia. O mesmo raciocnio

101

100

101

40

20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

PMI Ressonante

Figura 3 Magnitude (Diagrama de Bode) do PMI Ressonante (r = 1)

utilizado para o controlador ressonante com um nico sinal de referncia pode ser apli-

cado para manipular sinais peridicos de referncia mais complexos tendo n componentes

senoidais em diferentes frequncias. Neste caso, o problema de seguimento da referncia

pode ser tratada por meio de n controladores ressonantes que conduzem a um controlador

de ressonncias mltiplas ou Mltiplo Ressonante.


A ideia principal gerar uma dinmica oscilante (modo senoidal) correspondente

a frequncia fundamental do sinal de interesse e suas respectivas harmnicas mais sig-

nificativas (Pereira et al., 2014). De acordo com o Princpio do Modelo Interno (CHEN,

1970), o seguimento e a rejeio ser garantido, assumindo o sistema em malha fechada

estvel, se o controlador

xmr(t) = Amrx(t) + Bmre(t) (17)

for inserido na malha de controle onde diag{ A , B } denota a matriz bloco diagonal

obtida a partir dos elementos A e B:

Amr = diag{(1), (2), , (N)}

Bmr =[

]

(h) =

0 1

2h 0

, =

0

1

Note que os termos em Amr representam a combinao dos modos ressonantes dos

sinais de referncia e perturbao i, i = 1, 2, . . . , Nh, onde Nh determina o nmero de

harmnicas significativas a serem compensadas. Alm disso, importante ressaltar que

o espectro de um sinal contnuo tem infinitas componentes de frequncia e, neste caso,

existe um erro de seguimento que diminui conforme Nh aumenta.

1.5.3 Controlador PMI - Repetitivo

O controlador repetitivo foi inicialmente proposto em (Inoue; S.; Nakano, 1981)

para a garantia de seguimento e rejeio de sinais peridicos. Para isto, um elemento de

atraso temporal de segundos inserido na malha de controle em um lao de realimenta-

o positiva como ilustrado na Figura 4. Neste caso, o perodo fundamental dos sinais

a serem seguidos e/ou rejeitados. Note que a funo de transferncia do sinal de erro para

a sada dada por:

Grc(s) :=Yrc(s)E(s)

=1

1 e s(18)

a qual tem ganho infinito para todas as frequncias k = k0 [rad/sec], k = 1, 2, , e

0 = 2/ [rad/sec].

Assumindo que o sistema em malha fechada estvel, ento o ganho infinito nessas

frequncias garante o seguimento e a rejeio com erro nulo. Na Figura 4 demonstrada

a configurao bsica de um controlador repetitivo.


Figura 4 Configurao bsica do controlador repetitivo.

Devido a uma srie de problemas de implementao (Flores et al., 2011), este

controlador no pode ser estabilizado por um controlador racional. Portanto, (Hara et al.,

1988) sugere a introduo de um filtro passa baixas c/(s + c) em srie com o elemento

de atraso, resultando em:

Grc(s) =1

1 cs+c

es(19)

onde c a frequncia de corte do filtro.

1.6 Sntese por LMI

A formulao por desigualdades matriciais lineares (do ingls - Linear Matrix Ine-

qualities - LMI ) tem como objetivo descrever matematicamente as condies necessrias

para o sistema ser estvel e apresentar a resposta dinmica especificada.

A formulao de uma LMI dada por:

F (): = F0 +m

i=1

iFi > 0 (20)

onde Rn a varivel de deciso e Fi = F Ti Rnn, so as matrizes conhecidas. A

matriz F () definida positiva, se for encontrada uma soluo factvel para .

As LMIs apresentam importantes propriedades que motivam sua utilizao em

projetos de controladores. Entre essas propriedades destacam-se:

Restrio convexa em geram Solues numricas eficientes;

Vrias restries na forma LMI podem ser reescritas como uma nica restrio LMI;

Todas as especificaes do projeto podem ser descritas em LMIs e solucionadas

simultaneamente;

Vrios pacotes computacionais eficientes dedicados a edio e resoluo de problemas

na forma LMI.


A soluo de um problema LMI pode ser caracterizado por um problema de fac-

tibilidade (que busca uma soluo qualquer que satisfaa um conjunto de restries na

forma LMI) ou por um problema de otimizao (que determina a soluo tima de uma

funo custo linear sujeita a um conjunto de restries na forma LMI).

Os problemas de otimizao com restries na forma de LMI, so resolvidos nume-

ricamente atravs de softwares matemticos. Um Analisador Sinttico (do ingls - Parser)

traduz o problema LMI para a formulao genrica e serve de interface para os softwares

que encontram a soluo para problemas LMI chamados de solvers como exemplo destes

softwares temos o SeDuMi (Sturm, 1998) ou LMILab (Gahinet; Nemirovskii, 1993) ou

SDPT3.

1.6.1 Critrio - Estabilidade

Intuitivamente a estabilidade de um sistema dinmico est associada a funo

energia deste sistema (Trofino, 2000). A teoria de Lyapunov nos diz que a estabilidade de

um sistema no-linear est vinculada a um ponte de equilbrio deste sistema e sendo assim

as derivadas dos estados neste ponto so iguais a zero. A origem pode ser considerado um

exemplo de ponto de equilbrio de um sistema no-linear.

Lyapunov apresenta uma funo que mede a energia de um sistema, e se essa

energia decresce em relao ao tempo, ento este sistema tende a um dado ponto de

equilbrio ou seja suas trajetrias tendem a origem.

Para sistemas LIT o ponto de equilbrio estvel em uma regio B(x) se existe

uma funo V (x) tal que:

- V (x) > 0, x 6= 0 B(x);

- V (x) < 0, x 6= 0 B(x);

Se V (x) no for negativa, ainda no se pode afirmar que o sistema no estvel, ou seja,

essa condio apenas suficiente pois depende da escolha de V (x). Se B(x) = Rn ento

pode-se afirmar que o sistema globalmente estvel.

A funo clssica de Lyapunov a funo quadrtica descrita por:

V (x) = x(t)P x(t) (21)

Suas caractersticas so:

- Definio em sinal da funo depende somente da matriz P ;

- Funo tem apenas um mnimo global;

- Suas curvas de nvel so conjuntos elipsoidais;


- Pode ser facilmente convertida em LMI uma vez que V (x) > 0 para P positiva

definida ou seja P > 0.

O ponto de equilbrio do sistema x(t) = Ax(t) estvel em uma regio B(x) se

existe uma matriz simtrica positiva (que possui autovalores positivos) definida por P tal

que:

AP + P A < 0

A estabilidade quadrtica para sistemas variantes no tempo ser verdadeira se o

ponto de equilbrio do sistema x(t) = A((t))x(t) estvel em uma regio B(x) se existe

uma matriz simtrica positiva definida por P tal que:

A()P + P A() < 0

Desde que seja satisfeita a condio (t) B(). (Trofino, 2000)

1.6.2 Critrio - Realimentao de Estados

Nesta Seo ser discutido a aplicao de LMI para o clculo do ganho K da

realimentao de estados para que o sistema seja estvel.

Supondo que o sistema em malha fechada resultante seja:

x(t) = (A + BK)x(t)

z(t) = (Cz + DzK)x(t)

O problema a ser resolvido por LMI ser determinar o ganho K tal que o sistema

seja estvel, e para que isto ocorra deve existir uma matriz P = P > 0 e um ganho K

tal que:

(A + BK)P + P (A + BK) < 0 (22)

Observa-se que o produto P BK no permite a utilizao de LMI pois no-linear

em P e K. A soluo para essa situao multiplicar a equao (22) por P 1 em ambos

os lados. Ao executar essa multiplicao obtm-se:

P 1A + AP 1 + P 1K B + BKP 1 < 0

Considera-se ento a mudana de variveis Q = P 1 e Y = KP 1 = KQ passando

o critrio de desempenho a ser:

QA + AQ + Y B + BY < 0

Com essa mudana de variveis pode-se calcular indiretamente o ganho K atravs da

soluo de LMI para as variveis Q e Y e posteriormente obtendo o ganho K pela equao:

K = Y Q1


1.6.3 Critrio - H2 Custo Garantido

Um dos principais objetivos quando se desenvolve um controlador atingir certas

especificaes de performance pr-determinadas, alm de garantir a estabilidade interna

do sistema. Uma das tcnica utilizadas para atingir esses objetivos a determinao da

quantidade de energia dos estados do sistema, onde podemos ter uma ideia do grau de

influncia das perturbaes externas sobre o estado de interesse ou tambm denominadas

variveis de performance.

Sendo as perturbaes sinais de distrbio externos e os estados de interesse os

sinais que se deseja controlar, o objetivo verificar se a quantidade de energia da varivel

de performance se mantm pequena na presena de sinais de perturbao externa gerados

por distrbios inseridos aleatoriamente ao sistema.

Tomando como exemplo um sistema LIT definido por:

x = Ax + Bww

z = Cx + Dww (23)

Sendo:

x Rn sendo o vetor dos estados do sistema,

w Rr sendo a entradas de perturbaes e

z(t) Rq sendo as sadas de interesse.

Tem-se que, para o sistema descrito, a relao entre a perturbao e a sada de

interesse dada por:

Gwz = C(sl A)1 + Bw + Dw

Portanto, a performance do sistema depende diretamente da relao entre w(t) e z(t).

Quando as perturbaes que afetam o sistema so sinais conhecidos, possvel

represent-las como um sistema dinmico excitado por um impulso, logo esta dinmica

pode ser incorporada a relao Gwz(s). Desta forma, pode-se considerar que o sistema

Gwz(s) excitado por sinais w(t) com formato de impulsos e definir que a energia da

resposta ao impulso, que a energia do sinal de sada z(t), que ser finita se a matriz A

do sistema possuir todas todas as suas razes no semi plano esquerdo (Hurwitz) e a matriz

Dw foi equivalente a zero.

A norma H2 de Gwz(s) definida como sendo:

Gwz 22=

0trao[g(t)g(t)]dt (24)

onde g(t) a resposta impulsiva do sistema 23 com A Hurwitz, Dw 0 e g(t) = 0 para

< t < 0.

A norma H2 do sistema esta relacionada com a teoria de estabilidade de Lyapunov

e essa relao nos permite calcular a norma Gwz 2 atravs de LMIs.


A partir do descrito at aqui, optou-se por uma formulao H2 nos critrios das

LMIs que iro determinar os ganhos dos controladores repetitivo e ressonante deste traba-

lho, de forma a minimizar os efeitos das perturbaes externas na varivel de performance

que nos caso deste trabalho o deslocamento da cabina do elevador e tambm para ga-

rantir a estabilidade interna do sistema.

O Custo Garantido do sistema, que determinado pela minimizao da norma H2,

tem como objetivo reduzir a energia de transferncia da entrada do sistema para a sada

provocada pelos distrbios externos. Sua descrio temporal representada pela rea da

curva de resposta ao impulso.

A partir de um estado inicial x0, tem-se o objetivo de garantir o menor valor de

energia da resposta do sistema para este estado inicial, ou seja, encontrar uma constante

J ou o Custo Garantido do sistema definido pela equao:

J =

0zzdt

Supondo que exista uma funo quadrtica de Lyapunov v() = P tal que:

P > 0

v(x) zz (25)

Para todo x e z que satisfaam o sistema. Integrando-se a equao (25) em ambos os lados

de 0 a T tem-se ento que:

v(x(T )) V (x(0)) T

0zzdt

Para todo T 0. Como v(x(T )) 0, pode-se concluir que V (x(0)) = x0P x0 J ,

portanto V (x(0)) um limitante superior para energia da sada z na condio inicial x0.

As condies x0P x0 J e v(x) zz podem ser descritas na forma da seguinte LMI:

x0P x0 J,

AP + P A C

C I

< 0

Sendo assim, estas condies de LMIs, includas nos clculos das simulaes utilizadas

para a determinao dos ganhos dos controladores ressonante e repetitivo descritos neste

trabalho.


1.7 Elevadores

Nesta seo sero descritos alguns detalhes sobre o elevador e as perturbaes que

este sistema pode conter. Esses conhecimentos so necessrios para o desenvolvimento do

presente trabalho sendo apresentados atravs da reviso bibliogrfica de diversos temas

que contribuem para a compreenso do sistema de transporte, metodologias de controle

normalmente aplicadas a esses sistemas e a modelagem dinmica do elevador.

As principais partes de um elevador esto representadas na Figura 5 onde pode-se

observar os componentes bsicos que compem este equipamento.

(a) Elevador com Casa de Mquinas(b) Elevador sem Casa de Mquinas

Figura 5 Imagens Obtidas da ThyssenKrupp (2006)

Como j foi descrito em captulos anteriores, o presente trabalho trata sobre o de-

senvolvimento de um sistema de roletes de guias ativos para elevadores de alta velocidade

e desempenho visando reduzir as vibraes laterais na base da cabine do elevador.


As oscilaes so causadas principalmente pelas perturbaes durante o movimento

do elevador que vm do contato dos roletes presos na estrutura da cabina com as guias

de alinhamento que so fixadas nas paredes do poo do elevador em edifcios de grande

porte.

Para exemplificar essas possibilidades de vibraes a Figura 6 representa uma

situao que caracteriza uma cabina de elevador se movimentando por um conjunto de

guias com irregularidades no seu alinhamento.

As guias, apesar dos modernos processos de manufatura e instalao, apresen-

tam sempre pequenos desalinhamentos e tores que so causados, normalmente, por

problemas nos processos de transporte, instalao, dilataes trmicas e efeitos de enve-

lhecimento dos materiais, entre outros.

Figura 6 Guias Irregulares (ThyssenKrupp, 2006)

Os movimentos ou vibraes causados por esses desajustes, fundamentalmente em

elevadores de alta velocidade instalados em edifcios de alto padro, podem comprome-

ter a estabilidade da viajem dos usurios de elevadores, bem como contriburem para

o no cumprimento das exigncias estabelecidas pelas normas de segurana e conforto

estabelecidas pelos rgos internacionais competentes.

Consequentemente, as empresas fabricantes de elevadores que possuem produtos de

alta tecnologia realizam grandes investimentos no desenvolvimento de sistemas modernos,

como o controle de roletes de guias ativos, para melhorar o desempenho dos elevadores,

em relao ao conforto dos usurios, sem aumentar seu tamanho e peso. Esta situao

pode ser comprovada pelo nmero elevado de patentes que tm sido apresentadas nessa

rea desde do incio do novo sculo. Por exemplo. Peng, Winston e Finn (2006), usam

um sistema de suspenso baseado no controle das foras repulsivas de eletro-ims para

cancelar perturbaes laterais.


Em suas solicitaes, Utsunomiya, Okamoto e Yumura (2004) e Utsunomiya, Oka-

moto e Yumura (2006), patentearam um sistema ativo de suspenso que usa as aceleraes

medidas (com o uso de acelermetros situados no centro do elevador) para comparar as

vibraes da cabine com os valores desejados e assim aplicar foras laterais por meio de

atuadores eletromagnticos.

Husmann (2005), descreve um sistema ativo de amortecimento da cabina baseado

na medida das deformaes da estrutura do elevador. A acelerao medida com sensores

eletro-resistivos fixados a essa estrutura, no sentido perpendicular ao movimento. Motores

eltricos lineares aplicam as foras solicitadas pelo sistema de controle.

Em relao aos controladores de sistemas de amortecimento, a tcnica de con-

trole mais utilizada pelas indstrias so os clssicos controladores PID. Como descrito

em Ogata (2003), esses controladores possuem vasta literatura, implementao simples e

basicamente necessitam do ajuste dos seus parmetros P, I e D, porm, essa tcnica de

controle no se mostra apropriada para o seguimento e/ou rejeio de sinais peridicos,

sendo adequada para o uso em sistemas onde os sinais envolvidos so constantes.

Algumas tcnicas desenvolvidas em trabalhos para suspenso ativa e semi-ativa

para veculos pesados utilizam o conceito de "gancho para o cu"(do ingls "Skyhook"),

como citado por S (2006). Seu conceito foi introduzido por Karnopp, Crosby e Harwood

(1974) que considerou que atravs de um amortecedor fictcio, uma massa suspensa po-

deria ser ligada a uma referncia inercial posicionada no cu. O objetivo principal desta

teoria isolar a massa suspensa da vibrao proveniente do ponto de contato da massa

com a fonte de vibrao, que no caso dos veculos, este ponto de contato a via.

J no caso deste trabalho, o ponto de contato so as guias do elevador. Uma vez

que este tipo de referencial no possvel de existir, o que se faz na prtica calcular o

coeficiente de amortecimento da suspenso de modo que a fora gerada seja equivalente

a fora gerada por este amortecedor fictcio. A Figura 7 ilustra a estratgia do controle

Skyhook.

(a) Suspenso Passiva (b) Skyhook Ideal (c) Skyhook Real

Figura 7 Teoria do Skyhook Control


Observa-se que o controle Skyhook ideal tem seu foco principal na massa suspensa.

A medida que o coeficiente de amortecimento do amortecedor fictcio Csky aumenta, a

isolao desta massa melhora em relao aos distrbios provenientes do ponto de contato.

Em Schneider, Huck e Schwarz (2001) so obtidos modelos da dinmica de um elevador

visando aplicao de tcnicas de redes neurais para controle da acelerao e desacelerao

do elevador.

Encontraram-se na bibliografia alguns poucos artigos especficos sobre o controle

ativo de suspenso de elevadores comerciais. Por exemplo, em Istif, Sagirli e Kutlu (2002),

utilizada uma representao por grficos (Bond Graphs) para construir um modelo em

espao de estados de um sistema ativo de suspenso. O projeto do controlador baseia-se em

um esquema proporcional-derivativo (PD) aplicado para comandar um sistema hidrulico

no sentido vertical do deslocamento do elevador. O sistema ativo usado para controlar

a acelerao e a desacelerao do elevador.

Nai, Forsythe e Goodall (1994), desenvolveram um modelo do elevador expresso

por um conjunto de 20 equaes de 2a ordem. A dinmica invariante no tempo e depende

da posio, da quantidade de passageiros e do eixo que est sendo considerado. So usadas

duas estratgias diferentes para o controle, uma baseada na variao da velocidade para

controlar as vibraes dos cabos e dos isoladores do elevador (baixas frequncias), e outra

baseada no uso de atuadores no sistema de suspenso para controlar as ressonncias nos

cabos e nos isoladores com o uso do mtodo da alocao de polos.

Sha, Bajic e Yang (2002) apresentam um modelo dinmico de um elevador acio-

nado por um sistema hidrulico usando as equaes de Newton e leis da continuidade.

Os diferentes mecanismos de atrito envolvidos no sistema tambm so levados em conta.

A soluo proposta para o controle por modos deslizantes (do ingls Adaptive Sliding

Mode Controller - ASMC ) para sistemas discretos do tipo SISO, ou seja, uma entrada e

uma sada. Esta estratgia de controle combina o controle realimentado no-linear base-

ado no mtodo direto de Lyapunov com um esquema de controle por modos deslizantes

adaptativo. A dinmica de referncia para o sistema especificada com o uso do mtodo

de alocao de polos. A estratgia de controle proposta comparada com um PID (Pro-

porcional, Integral e Derivativo) clssico e os resultados mostram melhor comportamento

com a tcnica de controle proposta.

Skalski (1984) apresenta e compara dois mtodos usados atualmente para o con-

trole da velocidade, acelerao e desacelerao de elevadores. Os mtodos so a Velocidade

Controlada por Retificador (do ingls Silicon Controlled Rectifier - SCR) e a a Velocidade

Controlada por Motor Gerador (do ingls Motor Generator Velocity Control - MGVC ).


Ambos envolvem basicamente um controle PI (Proporcional e Integral) que age

diretamente no motor do elevador. Os resultados experimentais e das simulaes mostram

que ambos os sistemas conseguiram bons resultados, sendo que com o SCR obtm-se os

melhores desempenhos.

No campo do desenvolvimento de suspenses automotivas, por exemplo, Kruczek

e Stribrsky (2004) e Sammier, Sename e Dugard (2003) discutem as vantagens e desvan-

tagens dos sistemas passivos, semi-ativos e ativos, desenvolvendo uma modelagem para o

caso de suspenso ativa de veculos e mostrando diferenas entre a alocao dos atuadores

em srie ou paralelo com o sistema passivo (molas-amortecedores).

Giua, Melasa e Seatzu (2004) apresentam um sistema de suspenso que usa um

atuador magneto-reolgico que aumenta ou diminui a constante de amortecimento, de

acordo com as perturbaes da estrada.

Chellaboina, Haddad e Jin-Hyoung (1999), desenvolveram um controlador baseado

em uma unidade micro controlada para uma suspenso ativa hidro-pneumtica com 2

graus de liberdade. A estratgia de controle consiste em uma combinao de um controle

com estrutura varivel (do ingls Variable Structure Control - VSC ) com um esquema

PID. Os resultados apresentados foram considerados bons.

Ikenaga et al. (2000) e Campos et al. (1999) usam uma estratgia de controle

baseada no chamado sistema de aumento de estabilidade (do ingls Stability Augmentation

System - SAS), usado classicamente no controle de avies. Neste mtodo, o problema

dividido em duas partes: uma isola o corpo do carro das vibraes da estrada e a outra

parte controla as manobras do veiculo.

Ben Gaid, Cela e Kocik (2004), apresentam um regulador quadrtico linear (LQR)

que isola a massa do veiculo das perturbaes externas e otimiza a dirigibilidade do carro.

O modelo do carro baseado em um sistema de 7 graus de liberdade introduzido por

Ikenaga et al. (2000). Os resultados so obtidos atravs de simulao com Matlab/Simulink

e comparados com os resultados de um modelo da suspenso passiva.

Chantranuwathana e Peng (2004) usam o modelo de um quarto de carro com

um atuador em paralelo com o sistema passivo para o sistema da suspenso. O atuador

utilizado na parte ativa do sistema hidrulico. Primeiramente foi suposto que todos os

estados esto disponveis e que inclusive a fora, ou seja, o sinal de entrada medido. Nesta

situao foram simulados os casos passivos, ativo com controlador adaptativo robusto (do

ingls Adaptative Robust Control - ARC ), ativo com um controlador PID e, finalmente,

com um Controlador timo Linear Quadrtico (do ingls Linear Quadratic Control -

LQC ).


Posteriormente, foi suposto que a fora no podia ser medida e se construiu um

observador de estados. Nesta situao foram repetidas as simulaes substituindo-se o

controlador ARC por um controlador robusto adaptativo com realimentao da sada. As

simulaes mostram os melhores resultados para o controlador ARC com o observador.

Neste trabalho, diferente dos projetos descritos at aqui, foram aplicados os con-

ceitos dos controladores ressonante e repetitivo aplicados no desenvolvimento de um algo-

ritmo de controle para um sistema de roletes de guias ativos em elevadores de alta veloci-

dade. A utilizao destes controladores tem por objetivo aplicar conceitos mais modernos

de controle com caractersticas mais apropriadas aos tipos de perturbaes existentes no

sistema elevador em particular aquelas vinculadas a estrutura e o movimento da cabina.

Foram desenvolvidos modelos mais simplificados para descrever as foras que

atuam durante o movimento da cabina do elevador utilizando-se mtodos clssicos da

dinmica de corpos rgidos. Tendo o deslocamento da cabina similaridades ao compor-

tamento de uma veiculo em movimento, tambm foram aplicados alguns conceitos am-

plamente utilizados no projeto de sistemas de controle de suspenses ativas de veculos

automotivos para descrever o modelo matemtico do elevador.

No desenvolvimento que ser apresentado no Captulo 2, pode-se observar que o

modelo considerado para o elevador similar ao modelo clssico de meio carro, j estudado

extensamente e com ampla bibliografia disponvel. Sendo assim, as consideraes tericas

encontradas em livros, patentes e artigos para estes sistemas podem ser, em sua maioria,

extrapoladas para o caso de elevadores sem perdas considerveis no modelamento.

1.7.1 Fontes de Vibraes nos Elevadores

As vibraes sentidas pelos passageiros dentro de uma cabina do elevador so

aquelas relacionadas cabina como sendo um corpo rgido. As vibraes podem ocorrer

em seis graus de liberdade em relao ao seu sistema de coordenadas fixo.

Neste trabalho so consideradas basicamente as vibraes de translao ao longo

das direes X e Y , ou seja, o plano paralelo ao piso da cabina (frente-fundo e esquerda-

direita respectivamente), assumindo que o elevador tem seu deslocamento vertical na

direo do eixo Z, bem como os graus de liberdade rotacionais em torno dos mesmos

eixos.

As principais fontes de vibraes na direo da viagem do elevador, eixo Z, so

originadas no controle do motor e nos cabos de trao e portanto, so de natureza di-

ferente das descritas anteriormente. Para a atenuao dessas vibraes so necessrios

equipamentos e tcnicas de controle atuando junto as suas fontes. Este no o prop-

sito do sistema de roletes de guias ativos e consequentemente essas vibraes no sero

analisadas neste trabalho pois no afetam diretamente o desempenho do sistema.


A Figura 8 demonstra a conveno utilizada neste trabalho para os eixos cartesi-

anos em relao aos movimentos da cabina de um elevador.

Figura 8 Conveno dos Eixos Cartesianos para Elevadores

As fontes de vibraes na cabina durante o movimento do elevador podem ser

oriundas de focos de alta frequncia e de baixa frequncia que podemos descrever como

segue:

1.7.1.1 Fontes de Perturbao de Alta Frequncia

Irregularidade nas guias:

Fornecidas pelos fabricantes de ao, as guias normalmente no so perfiladas com-

pletamente em linha reta. Tambm devido montagem imprecisa dessas guias nas

paredes da caixa de corrida e os diferentes coeficientes de expanso trmica da pa-

rede e das guias, so fatores que contribuem com oscilaes da cabina dos elevadores.

A qualidade das caixas de corrida variam muito de um prdio para outro. Segundo

Ayman (1997), pode se esperar um espectro de oscilaes oriundo das guias dos

elevadores na faixa de at 10 Hz. Na Figura 6, apresentada no incio deste captulo,

foi dada uma ideia de como essas irregularidades influenciam no deslocamento da

cabina do elevador.

Foras aerodinmicas:

O movimento da cabina no interior do poo do elevador resulta em foras aerodi-

nmicas que tambm afetam a estabilidade do elevador bem como podem tambm

influenciar o conforto de outros elevadores que estejam funcionando em um poo

prximo. A magnitude e as componentes em frequncia dessas foras so dependen-

tes da velocidade de deslocamento da cabina dentro do poo.


Essas foras tambm so influenciadas pelas dimenses e a forma do interior do

poo do elevador, o nmero de elevadores que existem no mesmo poo, bem como

o nmero de contra-pesos e as suas localizaes.

O mecanismo que gera estas foras , portanto, bastante complexo. Enquanto no

h informao suficiente disponvel sobre os seus espectros de excitao, razovel

assumir que elas no so maiores do que as geradas pelas irregularidades do poo

do elevador sobre as guias (Ayman, 1997).

A Figura 9 apresenta o modelamento aerodinmico de uma cabina de elevador

(9a) e tambm os resultados para uma simulao do fluxo de deslocamento do ar

contido em um poo para dois elevadores (9b). A simulao demonstra as foras

aerodinmicas geradas quando o elevador est em deslocamento.

Nesta simulao so apresentadas duas situaes importantes, uma o fluxo de

ar com a passagem de uma cabina por outra em sentidos opostos. J na segunda

situao apresentada o fluxo resultante quando as duas cabinas viajam lado a lado

no mesmo sentido.

(a) Modelo Aerodinmico (b) Resultados Aerodinmicos

Figura 9 Simulao Aerodinmica - fonte: Kiyoshi et al. (2004)

Outras fontes de distrbios em alta frequncia:

O movimento dos passageiros no interior da cabina e as foras exercidas pelo meca-

nismo de abertura e fechamento da porta tambm podem ser fontes, relativamente

menores, de distrbios internos de alta frequncia que atuam diretamente sobre a

cabina do elevador.


1.7.1.2 Foras de Perturbao de Baixa Frequncia

Carga assimtrica da cabine:

A presena de uma grande carga no interior da cabina do elevador, concentrada em

um ponto que no seja sobre a linha que une o centro de gravidade com o ponto

de suspenso dos cabos de trao, podem causar momentos que consequentemente

acabam mudando o sentido de orientao da viagem da cabina.

Cabos de trao:

Os cabos de trao representam outra fonte de foras que podem agir mudando

lentamente a direo da cabina. As magnitudes dessas foras so proporcionais ao

comprimento dos cabos e, consequentemente, a posio da cabina ao longo da caixa

de corrida.

Outra classificao importante das fontes de perturbao nos elevadores quanto

ao ponto de ocorrncia dessa perturbao. Os distrbios nas guias afetam a cabina atravs

das conexes com os roletes, enquanto as outras fontes afetam a estrutura da cabine ou a

cabine diretamente. As vibraes nas guias so as fontes de perturbao mais importantes

e que sero descritas neste trabalho.

Distrbios que variam lentamente, abaixo de 0,01 Hz, no produzem vibraes que

sero detectadas pelos passageiros. No entanto, como elas afetam o sistema de amorteci-

mento ativo a ser instalado na cabina do elevador, devem ser levadas em considerao.

Cada uma das fontes de vibraes descritas nesta seo, podem ser uma nica

fonte de perturbao ao sistema ou ocorrerem simultaneamente, e sendo que em alguns

casos essas vibraes podem permanecer durante parte de um deslocamento da cabina

ou serem incorporadas permanentemente ao sistema. Consequentemente influenciam na

estabilidade da cabina durante o deslocamento do elevador.

Sendo assim, pode-se considerar essas vibraes como perturbaes peridicas e

que se repetem a medida que o elevador passa pela estrutura interna do poo, o que jus-

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Aplica o de Controladores Ressonantes e Repetitivos para ... · elevadores de alta velocidade. Esses roletes de guias têm como função rejeitar vibrações laterais provenientes