Aplicação de Equação Diferencial

VOL. X, NUM. X 20XX

www.scientiaplena.org.br doi: 10.14808/sci.plena.20XX.XXXXXX

Elementos da Matemática – Aplicação de Equação Diferencial

Elements of Mathematics - Application of Differential Equation

Marcos Vinicius Scholl1*; Bárbara Rodrigues2

1Universidade Federal do Rio Grande, Rio Grande, Brasil1Instituto de Matemática, Estatística e Física,Universidade Federal do Rio Grande, Rio Grande, Brasil

*[email protected]

(Recebido em 30 de novembro de 2015; aceito em 30 de novembro de 2015)

Trabalho sobre aplicação de Equação Diferencial. Foi utilizado a dissertação de mestrado de Tavares (2003)como base de estudo de uma Equação Diferencial utilizada em um contexto de trabalho subaquático, emque a orientação foi realizada pelo Prof. Dr. Sebastião Cícero Pinheiro Gomes, orientador escolhido para omeu trabalho de conclusão, que seguirá com a mesma linha de pesquisa. . Palavras-chave: robótica subaquática, controle, simulação

Work on application Differential Equation. It was used as master's thesis of Tavares (2003) as a study baseof a differential equation used in an underwater working environment, in which the orientation wasconducted by Prof. Dr. Sebastian Cicero Pinheiro Gomes, guiding chosen for my dissertation, which willcontinue with the same line of research

Keywords: underwater robotics, control, simulation

1. INTRODUÇÃO

Veículos subaquáticos não tripulados (Unmanned Underwater Vehicles - UUV) sãofundamentais para operações submersas. Isso estimula pesquisas em diversas áreas como aenergia, comunicações, controle, sensores, localização, planejamento de movimento ehidrodinâmica. Operação autónoma de tais veículos, em especial, é considerado um grandedesafio para a robótica submarina (Button,2009). No entanto, muitos resultados da investigaçãosão teóricos ou verificado por simulação.Há muitas dificuldades para executar pesquisas nesta área, devido à complexidade da operaçãonum ambiente real e os custos envolvidos.

Estes robôs têm sido utilizados principalmente em razão das limitações físicas humanas para arealização de tarefas no ambiente marinho. Neste contexto, os veículos subaquáticos não-tripulados se apresentam como uma solução viável, com grande quantidade de aplicações. Estetipo de veiculo necessita de um controle de posição e orientação, pois em muitas situações énecessário que ele seja levado a uma determinada posição e que lá se mantenha, enquanto estárealizando alguma tarefa ou inspeção. Pelo veículo em um ambiente subaquático possuir características não lineares, principalmente emfunção das forças, hidrodinâmica e distúrbios como ondas e correntes marítimas, além deincertezas matemáticas geradas pela dificuldade de obtenção exata de parâmetros do modelomatemático, como coeficiente de amortecimento e de massa mola, tornam o projeto decontroladores uma tarefa complexa. (Tavares, 2003)

Torna-se necessário uma modelagem Cinemática e Dinâmica entre a estrutura e o Fluido, alémdo desenvolvimento de um Controle.

XXXXXX – 1

http://www.scientiaplena.org.br/

X.X. Scholl et al., Scientia Plena X, XXXXXX (2015) XX

2. MODELAGEM DO VEÍCULO

Na modelagem de veículos subaquáticos é conveniente trabalhar com dois sistemas dereferência. Um sistema é fixo a um ponto na terra e é denominado referencial fixo (XYZ),enquanto o outro referencial é fixo ao veículo e denominado referencial do corpo ou referencialmóvel (X0Y0Z0) . (Tavares, 2003)

Tavares (2003) fala que a origem do referencial do corpo geralmente é posicionado no centrode gravidade, com os eixos coordenados coincidindo com os eixos principais de inercia (Fossen,1994). Já á origem do referencial inércia pode ser posicionado em um ponto da Terra, usualmentecom o eixo X apontado para o pólo Norte, Y para o Leste e Z verticalmente, no sentido do fundodo mar (Bruztman, 1994).

A dinâmica do veículo é modelada no referencial do corpo e em cada passo de integração dasequações diferenciais, efetuam transformações para o referencial inercial.

A redução de ordem necessária para a solução numérica das equações diferenciais ordinárias(EDO) representativas das dinâmicas do veículo já é feita automaticamente durante a modelagem.

Desta maneira, a dinâmica do veículo com seis graus de liberdade não é modelada por seisEDO's de segunda ordem, mas por doze equações diferenciais de primeira ordem. (Tavares, 2003)

2.1. DINÂMICA

Para Tavares (2003), a modelagem dinâmica do veículo inclui a interação da estruturamecânica com o meio aquático e também as ações dos propulsores sobre o veículo. O veiculo émodelado como sendo um corpo rígido, com seis graus de liberdade, que sofre ação de diversasforças externas. Inicialmente é desconsiderado o efeito das ondas e correntes marítimas e sãomodeladas as seguintes forças:

Força de massa adicional;Forças restauradoras (peso e empuxo)Forças de arrasto e sustentação;Força de propulsão

Se o veículo não é autônomo, existe também a ação das forças de tração do cabo umbilical.

2.2. MODELAGENS NECESSÁRIAS

Dinâmica do corpo rígido. ◦ Movimento do corpo rígido com seis graus de liberdade.

Força de massa adicional.◦ Inércia do volume de fluído que envolve o veículo.

Força de arrasto e sustentação.◦ A força de arrasto é paralela à velocidade do veículo em relação ao fluido.◦ A força de sustentação é ortogonal à velocidade do veículo em relação ao fluído.

Forças restauradoras.◦ As forças de Peso e Empuxo que dependem da massa e volume do veículo, a massa

específica do fluido e a aceleração da gravidade. Modelo do cabo umbilical. Modelo dinâmico sem corrente oceânica

◦ O conhecimento das equações de movimento do corpo rígido e de todas as forças emomentos que atuam sobre ele, permitindo a obtenção de seu modelo dinâmico,expresso no referencial inercial.


Modelo dinâmico com corrente oceânica◦ Durante operações, os veículos sofrem ações de distúrbio, como ondas e correntes.

Modelagem dos Propulsores: Forças de propulsão.

◦ Empuxo e Torque Dinâmica dos atuadores.

Em todos os casos do trabalho de Tavares (2003) a modelagem cinemática é desenvolvida pormeio de ângulos de Euler.


3. ESTRUTURA DE SIMULAÇÃO

Tavares (2003) diz que a interação entre o fluido e estrutura pode ser modelada por duasEDO's, não lineares e de primeira ordem, expressas na forma matricial-vetorial. Essas equaçõesfornecem a aceleração do veículo em relação ao fluído, no referencial do corpo, e a aceleraçãoabsoluta do veículo, no referencial inercial. Uma terceira EDO de primeira ordem, tambémexpressa na forma matricial-vetorial, fornece as aceleração angulares dos propulsores. Sãoequações Problema de Valor Inicial (P.V.I), por possuírem valores iniciais de partida.

As três EDO's ao serem agrupadas, formam uma única equação diferencial, chamada EquaçãoDiferencial de Estado, que possui a seguinte forma:

OBS: Uma equação de estado é uma equação termodinâmicadescrevendo o estado da matéria

sob um dado conjunto de condições físicas. Matriz de Inércia:

◦ É constituída pela massa nos momentos de inércia. Matriz de Coriolis:

◦ Matriz de forças inerciais. Matriz de Arrasto:

◦ Resistência ao movimento de um objeto sólido atravéz do fluído.

No modelo representado por Tavares (2003), as entradas são os troques motores, quedependem da corrente inserida nos propulsores. As velocidades de rotação induzidas nospropulsores à partir dos torques motores determinam o vetor de forças e os momentos dos


propulsores. As saídas do modelo são o vetor velocidade relativa, expresso no referencial docorpo, e o vetor de posições e orientação, expresso pelo referencial inercial.

4. METODOLOGIA

Tavares (2003) diz que para realizar as simulações do sistema, efetua-se a integração daequação diferencial de estado. Devido a sua complexidade, é utilizado métodos numéricos,geralmente, o Metodo de Euler ou algum dos Métodos de Runge-Kutta.

No trabalho escolhido, foi optado pelo desenvolvimento da simulação via MATLAB,modificando a função ode45, de forma a simular um controle discreto. Essa função utiliza umintegrador Runge-Kutta de 4ª e 5ª ordem.

A modificação da função ode45, denominada ode45nn, o tempo de simulação é dividido emintervalos, com a duração equivalente à do passo de discretização que pretendeu-se implementarna prática. Durante cada intervalo a ação de controle é atualizada apenas uma vez, enquanto que adinâmica do sistema permanece evoluindo. Desta forma, simula-se a implementação real de umcontrole discreto (amostrador e segurador de ordem zero), muito embora o projeto tenha sidofeito em contínuo.

A função ODE45 implementa um esquema de solução de sistemas de EDO’s pormétodo de Runge-Kutta de ordem média.

Funciona basicamente assim:

[t,h] = ode45(‘func’,t, [ho vpo],options,[R A Fe]);

Os parâmetros enviados entre parênteses são aqueles que devemos passar para a ODE45.

O 1º argumento da ode45 é uma string contendo o nome do arquivo .m com as equações diferenciais.

O 2º argumento é um vetor que pode conter (I) dois elementos: os tempos inicial e final da integração, ou(II) todos os valores de tempo para os quais deseja-se conhecer o valor da variável integrada.

O 3º argumento é o vetor contendo as condições iniciais das variáveis dependentes das EDO’s. Os valoresdos elementos do vetor de condições iniciais precisam estar na mesma ordem em que as variáveiscorrespondentes são calculadas na função passada como 1º argumento para ode45.

O 4º argumento é o vetor de opções da ode45. Há várias opções do método que podem ser ajustadas.Entretanto, se não deseja-se alterar os valores-padrão é passado um vetor vazio ([]), apenas para marcar olugar das opções.

Do 5º argumento em diante são os parâmetros de entrada para a função. Observe que a função .m deve leresses parâmetros na ordem correta. (AMARO, 2010)

5. SEGUIMENTO DE TRAJETÓRIA COM CONTROLE PID

Para o Controle do veículo, segundo Tavares (2003), foi desenvolvido um controlador do tipoproporcional, integral e derivativo (PID) para o seguimento da trajetória de referência.


Com a lei de controle que foi estabelecida por Tavares (2003) e descrita por (7.10), quedetermina que a aceleração do veículo no referencial inercial seja igual a aceleração comandadano referencial inercial

Assim, de (7.17) o autor concluiu que:

Das duas equações anteriores obtém-se a aceleração comandada no referencial inercial, sob aforma:

Como o modelo dinâmico do veículo está expresso no referencial do corpo, a aceleraçãocomanda no referencial inercial aη deve ser transformada para o referencial do corpo. Estatransformação é efetuada isolando-se aν (aceleração comandada, expressa no referencial docorpo), que resulta na seguinte expressão:

A figura 7.1 resume, de forma esquemática, a seqüência utilizada na estrutura de controle.


Figura 7.1 – Seqüência de ação do controlador.

Segundo Tavares (2003) o erro de posição e a derivada do erro são facilmente determinados, pois todo o estado do sistema é suposto conhecido. A integral do erro é determinada pelo processoproposto por Gomes e Bier (1998), o qual utiliza uma “janela de esquecimento”. Trata-se da consideração de um número fixo de valores de erros para comporem o somatório que substitui a integral na implementação prática da lei de controle, na forma primeiro que entra corresponde ao último que sai.

6. SIMULAÇÃO

As simulações providas por Tavares (2003) ilustram o comportamento do veículo com o sistema de controle que foi desenvolvido. A simulação conta com a presença de distúrbios providos pelo ambiente marinho. Nas curvas decorrentes das simulações, as linhas vermelhas tracejadas representam a trajetória desejada (referência), enquanto que as linhas pretas representam a trajetória desenvolvida.

No modelo de cabo umbilical adotado considera-se que o início do cabo está conectado na origem do referencial inercial e o final do cabo está conectado na parte traseira do veículo, e que avelocidade da corrente marinha está no sentido negativo do eixo Y do referencial inercial. A simulação é executada com os parâmetros conhecidos do veículo ROV Tatuí (Dominguez, 1989; Cunha, 1992; Hsu et al., 2000).

corrente marinha de 0,5 m/s, que corresponde à metade da velocidade de cruzeiro do Tatuí;

posição inicial igual a (30 m, 30 m, 30 m), com ângulo de guinada igual a 90° e os demais ângulos nulos;

posição final desejada igual a (40 m, 40 m, 40 m), com ângulos de orientação nulos; cabo com comprimento de 100 m.


Os distúrbios também fizeram com que a velocidade do Tatuí (fig.7.6) apresentasse maiores oscilações do que as verificadas na primeira simulação.

Inicialmente, houve dificuldade no seguimento da trajetória de referência (fig.7.7), principalmente no ângulo de guinada. Porém, a configuração final desejada foi atingida e no tempo previsto, praticamente sem erro de estado estacionário.


As curvas mostram que os propulsores foram bastante exigidos, permanecendo saturados durante bastante tempo, principalmente nos momentos iniciais (fig.7.8).

7. CONCLUSÃO

O autor concluiu que a descrição sobre modelagem cinemática, mostrou que o método dosparâmetros de Euler é o único que não apresenta singularidade alguma. Além disto, este método éo que possui maior exatidão para simulação numérica. Por outro lado, o método de ângulos deEuler é mais intuitivo, permitindo fácil visualização da orientação do veículo. Contudo, eleapresenta duas situações de singularidade, para ângulos de arfagem iguais a 90° e a 270°.

O veículo subaquático sofre a ação de diversas forças: força de massa adicional, forças deCoriolis e centrípetas, forças restauradoras (peso e empuxo), forças de propulsão e forças dearrasto e sustentação. Se o veículo é um ROV, existe ainda o efeito da tração do cabo umbilical.Todas as forças citadas, incluindo os momentos associados a elas, são de difícil modelagem.

O controle do veículo mostrou ser uma tarefa complexa. O modelo do veículo é não linear,acoplado e multivariável. Além disso, os parâmetros do modelo são de difícil identificação. Outroproblema é a existência de distúrbios ambientais, como ondas e correntes marinhas, quedificultam o controle.

Mesmo com todas estas adversidades, o controladores projetado e simulado apresentara umcomportamento satisfatório. O maior problema foi a corrente oceânica, mas mesmo assim ocontrolador conseguiu fazer com que o veículo permanecesse próximo às trajetórias de referênciaem posição e orientação.

Os resultados das simulações mostraram que o sistema comportou-se relativamente bem emrelação às variações paramétricas.

8. CONCLUSÃO SOBRE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Segundo Thomas (2013) equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas paracalcular evolução de sistemas. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equaçõesdiferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, permite extrair informaçõesrelevantes sobre os mesmos e, possivelmente, prever o seu comportamento.


“Uma vez definido o conjunto de equações diferenciais que descrevema dinâmica do sistema, é necessário resolver as equações, ou seja,encontrar suas soluções. Algumas equações diferenciais possuemsoluções analíticas, isto é, podem ser resolvidas “a mão”. Porém, emmuitos casos, a complexidade dos sistemas modelados implica emequações complicadas, impossíveis de resolver analiticamente. Nessescasos, é necessário lançar mão de técnicas computacionais (numéricas)para a solução do problema.” (Thomas L. R., 2013)

É possivel então, a partir de equações diferenciais construir modelos matemáticos que resolvempraticamente qualquer problema. A solução pode se utilizar de uma abordagem analítica,numérica e gráfica, e se utilizar por meio de recursos computacionais que auxiliem e agilizem oprocesso em busca de solução, dessa maneira se fazendo muito importante a modelagemcomputacional dessa equação.

9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. BRUTZMAN, D. A Virtual World for an Autonomous Underwater Vehicle. Monterey, USA,1994. 170p. Tese (Doutorado em Ciência da computação), Naval Postgraduate School.

2. BUTTON, R. W. at al. Survey of Missions for Unmanned Undersea Vehicles. Arlington:RAND Corporation, 2009.

3. AMARO C., Resolvendo EDO's com ode45, Artigo (Online). Condição Inicial. Disponível em<http://www.condicaoinicial.com/2010/05/resolvendo-edos-com-ode45.html/2>, Maio 2010.

4. CUNHA, J. P. V. S. Projeto e Estudo de Simulação de um Sistema de Controle a EstruturaVariável de um Veículo Submarino de Operação Remota. Rio de Janeiro, 1992. 135 p.Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica), COPEE, Universidade Federal do Rio deJaneiro.

5. DOMINGUEZ, R. B. Simulação e Controle de um Veículo Submarino de Operação Remota.Rio de Janeiro, 1989. 206 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica), COPEE,Universidade Federal do Rio de Janeiro.

6. FOSSEN, T. I. Guidance and Control of Ocean Vehicles. Chichester: John Wiley & Sons, 1994. 480 p.ISBN 0-471-94113-1.

7. GOMES, S. C. P., BIER, C. C. Estudo sobre trajetórias de controle para robôs manipuladores. In:CONGRESSO BRASILEIRO DE AUTOMÁTICA, XII, 1998, Uberlândia, MG. Anais do XIICongresso Brasileiro de Automática. 1998.

8. HSU, L., CUNHA, J. P. V. S., LIZARRALDE, F., COSTA, R. R. Avaliação Experimental e Simulaçãoda Dinâmica de um Veículo Submarino de Operação Remota. Revista Controle & Automação, vol.11,no 2, p.82-93, Maio, Junho, Julho, Agosto 2000.

9. TAVARES, A. M., 2003. Um estudo sobre a modelagem e o controle de veículos subaquáticosnão tripulados. Dissertação de Mestrado, Programa de Pós-Graduação em EngenhariaOceânica, FURG.

10. THOMAS L. R., 2013. O Uso De Equações Diferenciais Na Modelagem De SistemasNaturais E Outros. UNB.

Documents

Aplicação de Equação Diferencial