Aplicación del algoritmo de solución paso-a-paso de la ...Leyes de la dinámica del rotor Por la relación existente entre la frecuencia y las revoluciones de giro del rotor, conti-nuamente

Ingeniería Investigación y Tecnología, ISSN 2594-0732, VIII. 3. 135-146, 2007 (artículo arbitrado)DOI: http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2007.08n3.012

Aplicación del algoritmo de soluciónpaso-a-paso de la ecuación que determina la

estabilidad de un generador síncronoH.A. Grajales-Román

División de Ingeniería Eléctrica y Departamento de Ingeniería Eléctrica de PotenciaFacultad de Ingeniería, UNAM

E-mail: [email protected]

(Recibido: marzo de 2006; aceptado: septiembre de 2006)

ResumenLa solución de la ecuación diferencial de orden dos, que representa enforma matemámática la dinámica de máquinas generadoras de corrientealterna, requiere de un algoritmo para su solución. La traducción alenguaje de computadora del método paso-a-paso para la solución de laecuación de oscilación que representa la dinámica del generador, permiteel análisis de redes eléctricas cuando son sometidas a cambios repentinosque provocan oscilaciones de frecuencia, y por lo tanto, de tensión. Elalgoritmo se basa en la consideración del hecho que; se puede calcular unnuevo valor del ángulo δ , si se conoce su valor de cambio en el intervaloante rior y se conoce la potencia acelerante en el nuevo intervalo deestudio. Con el apoyo del programa de computo llamado Matlab, sepueden realizar un sin número de corridas con valores diferentes de losparámetros del sistema, así como de los tiempos de apertura de losinterruptores. Como resultado, el programa despliega la tendencia delrotor conocida como curva de oscilación.

Descriptores: Ecuación diferencial, integración, lenguaje de computadora.

AbstractThe sec ond or der dif fer en tial equa tion so lu tion, which math e mat i cally rep re sentsthe dy namic of altern cur rent gen er at ing ma chines, re quires an al go rithm for itsso lu tion. The com puter ma chine lan guage trans la tion of step-by-step method forthe so lu tion of swing ing equa tion which rep re sents the dy namic gen er a tor, al lowsthe anal y sis of elec tri cal net works when are sub ject to sud den changes that mo tiveos cil la tion of fre quency and there fore ten sion. The al go rithm is based on the fact ofthe pos si bil ity to ob tain a new value of the ä (delta) an gle, as long as its value isknown in the pre ced ing in ter val and its ac cel er at ing power is known in the newstudy in ter val. With the sup port of Mathlab soft ware, it is pos si ble to ac com plishend less num ber of runs with many dif fer ent val ues and sys tem pa ram e ters, as well as time open ing of cir cuit break ers. As a re sult, the pro gram plots a curve thatshows the os cil la tion ten dency.

Keywords: Dif fer en tial equa tion, in te gral, com pu ta tion lan guage.

http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2007.08n3.012

mailto:[email protected]

Introducción

Los sistemas eléctricos de potencia están su-jetos a cambios de cargas, algunas gradualesy otras bruscas, unas por conexión de cargasligeras y otras como fallas en las líneas deconducción, o en sus torres soportes, cau-sando por lo tanto, que la estabilidad delsistema de transmisión de energía eléctricaentre en crisis.

Se define como límite de estabilidad enestado permanente de un generador o de unsistema, a la máxima potencia que puede sertransmitida a cambios de carga que permitanajustes de excitación suficientes como paraque se recupere el valor normal de la tensiónque se tenía antes del cambio.

Si el ajuste de excitación se presenta con oinmediatamente después del cambio de car-ga, el limite de estabilidad en estas condi-ciones es llamado “límite dinámico del es-tado permante”.

La bondad, flexibilidad o rigidez de unsistema eléctrico de potencia, dependerá delos elementos que lo conforman para este fin,como son, dispositivos de control, regula-

ción, excitación, protección, elevación y re-ducción, por mencionarlos; de los cuales,algunos permanecen censando, otros envian-do información sobre el estado y otros ope-rando para mantener el sistema dentro de losparámetros de seguridad.

La base de los sistemas, elgenerador

De estos sistemas, el más importante por surazón de ser, es el generador de corrientealterna, también conocido como generadorsíncrono.

La expresión matemática de una fase delgenerador síncrono de polos lisos conforme ala ley de tensiones de Kirchhoff es:

E V r jX IAC A d A= + +( ) [ ]v (1)

y su representación fasorial se muestra en lafigura 1.

En donde:

EA C : tensión inducida en las bobinas de laarmadura

V: tensión en las terminales del generador

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Aplicación del algoritmo de solución paso-a-paso de la ecuación que determina la estabilidad ...

M M AF

M MCF

IA

mI

R e

ACE

V

d AX I

r A AIρ

Figura 1. Representación fasorial de un generador síncrono de polos lisos

DOI: http://dx.doi.org/10.22201/fi.25940732e.2007.08n3.012


IA : corriente de armadurar yX rA d A: : valor de la resistencia de los

conductores que conforman las bobinas de laarmadura y X d: el valor de la característica de magnetización que genera la corriente dearmadura en las laminaciones de acero endonde están alojadas las bobinas.

Esta representación del generador es porfase, siendo los generadores trifásicos.

El resultado de la expresión (1), EAC , es unvector que tiene una dirección determinadapor el ángulo δ. Este ángulo representa engrados eléctricos la desviación que existe en-tre la tensión inducida en las bobinas de laarmadura y la tensión en las terminales de la máquina.

Por otro lado, del desarrollo de la potencia aparente se determina la potencia real oactiva que el generador entrega en sus ter-minales al sistema eléctrico y que resulta ser

P E VX

sen w/faseAC

d

=* [ ]δ (2)

La potencia trifásica es la expresión (2)multiplicada por 3. Como lo muestra laexpresión (2), la potencia que entrega ungenerador es directamente proporcional alproducto de la tensión inducida en lasbobinas de la armadura por la tensión en sus

terminales e inversamente proporcional alvalor de la reactancia que separa estas dostensiones. La representación de la expresión(2) es una senoide como se muestra en lafigura 2, y el valor de generación de potenciamáxima se presenta precisamente cuando elángulo entre la tensión inducida y la tensiónen el extremo final de la reactancia que lassepara, que es la de las terminales, tiene unvalor de 90°.

Cuando d = 90°

P E VX

wMAXAC

d

= * [ ]

El control que se tiene sobre los gene-radores conectados a un sistema o sistemas es entre otros, el de la velocidad de rotación. Siun generador aumenta o disminuye su ve-locidad, lo mismo lo hace la frecuencia degeneración. La frecuencia en México es de 60Hertz y se mantiene en toda la red eléctrica.

f P n Hertz= ×2 60

[ ]

En donde f es la frecuencia, P el número de polos del rotor y n las revoluciones porminuto del rotor. Como se mencionó ante-riormente, la ocurrencia de algún tipo defalla, hace que todo el sistema interconectadoactúe de forma que la sección que circunda la

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H.A. Grajales-Román

Figura 2. Curva Ángulo-Potencia de un generador síncrono de polos lisos



falla pueda ser aislada eléctricamente. Loanterior es de gran trascendencia, puesto queequivale afirmar que en el tiempo más cortoposible después de ocurrida una falla enalgún punto de la red de suministro, elsistema continúe activo, logrando equilibrar-se con las máquinas generadoras que con-tinúan activas y aportando la alimentacióneléctrica lo más estable posible.

Leyes de la dinámica del rotor

Por la relación existente entre la frecuenciay las revoluciones de giro del rotor, conti-nuamente se hacen ejercicios y pruebas aciertas partes de los sistemas eléctricos. Elmás riguroso es precisamente la simulaciónde la estabilidad de los generadores inter-conectados. Con el apoyo de programas decomputo se simula el comportamientodinámico de los generadores, ya sea indivi-dualmente o interconectados, y se analizansus resultados para posibles prevenciones.

La transformación de la energía se realiza através del rotor del generador. La máquinaprimaria aporta su potencia al rotor delgenerador y éste, en su rotación alrededor delas bobinas del estator, induce una tensióneléctrica que debe ser igual en unidades depotencia a la aplicada al rotor. La corriente quedemanda la carga es suministrada por el valorde la excitación de los polos del rotor y de lapotencia de la máquina impulsora. Las trescorrientes monofásicas generan en el núcleodel estator un campo magnético giratorio.

Al presentarse una falla en el sistema, lapotencia eléctrica que aporta el generadorsufre un cambio en el campo magnético gira-torio y éste como se separa del eje del rotor,acciona a favor o en contra del par aplicadopor la máquina impulsora, dependiendo dela característica de la falla.

Durante el corto tiempo que dura la res-puesta de control sobre el rotor, éste pierdesincronismo y se va separando del eje magné- tico del campo giratorio.

La diferencia de potencia entre la entraday la salida presenta un desequilibrio. Estadiferencia es, naturalmente, una potenciaacelerante o desacelerante, según sea la mag-nitud de la potencia de salida. Así

P P P wa m ec eléc= − [ ] (3)

Cuando la potencia eléctrica es mayor a lamecánica, la potencia eléctrica está frenandoa la máquina impulsora, por lo tanto, es unapotencia desacelerante. Lo contrario a loanterior, es una potencia acelerante.

La ecuación matemática que resuelve laexpresión 3, se deriva de los principios de lacinemática. Sabemos que el trabajo es igual afuerza por distancia o en fórmula para trabajo circular.

T F r Kg m rad= × × − −θ [ ]

La diferencial en el tiempo del trabajo es

d T ddt

Joules( ) [ ]= =τ θ τω

? es el desplazamiento circular del rotor.

Por otro lado, la energía cinética de uncilindro macizo es

ECm r

gJoules=

×12

22ω [ ]

En donde m es la masa del cilindro en Kg.y r su radio en metros.

Cuando la velocidad angular aumenta endω, el incremento de energ ía cinética es





d EC m rg

ddt

Joules( ) [ ]= × 2ω ω

Puesto que el trabajo realizado es igual alincremento de energía cinética, podemosescribir

d T d EC( ) ( )=

τθ

ωωd

dtm r

gddt

=× 2

(4)

yτ ω ω

θα= = −I d

dI Newtons m[ ] (5)

En donde

I m rg

=× 2

momento de inercia de la masa m Kg m[ ]− 2

α ωθω

=dd

aceleración angular [ ]rad seg−2

M I= ω momento angular [ / ]Joules seg rad−

Multiplicando la expresión (5) por lavelocidad angular ? , tendremos la potencia.

Entonces:

τ ω = ωα αPa I M watts= = [ ]

Pa M Mddt

watts= =αθ2

2 [ ] (6)

(6) representa el valor de la expresión (3),por lo que reescribiendo

Pa M P P wattsmec eléc= = −α [ ] (7)

θ es en grados geométricos, la posiciónque guarda el polo al estar girando con

respecto a una referencia en el estator. Estosgrados irán en aumento a manera que trans-curre el tiempo. Sin embargo, la corriente dearmadura genera un campo magnético quegira en el estator y es estacionario conrelación al rotor; sin embargo, siguen tenien-do distintas referencias.

Idealmente instalaremos una tercera refe-rencia en la que las otras dos coincidan(Figura 3).

θ ω δ [ ]= +st grados

Derivando dos veces

ddt

ddt

sθ

ωδ

= +

ddt

ddt

2

2

2

2θ δ α= =

Entonces podemos escribir (7)

M ddt

P P P wattsa mec elé c

2

2δ = = − [ ] (8)

Que es la ecuación diferencial que repre-senta al generador síncrono para un estudiode estabilidad.

Para diferenciarlos entre varios generado-res, al momento angular o constante de



Figura 3. Determinación del ángulo δ



inercia M, hay que definirla con las carac-terísticas individuales de los generadores.

H energía almacenadaa vel sín cronapoten cia nominal

= .

HEnergía cinética

S

I

SN N

= =

12

2ω

como

S H MN S=12

ω

momento cinético en donde ωs es la velocidad síncrona, despejando

M H Smega Joules

rads mecSN=

2ω

[.

]

Sustituyendo en (8)

2 12

2

H ddt

PS S

P P puS

a

N Nm ec e lécω

δ= = −( ) [ ]

finalmente si

ω πS f f Eléc= = ° °2 360 [ ]

y

M H

S

=2ω

en [ ]mega Joules segEléctricos

−

°

entonces

Hf

ddt

P P wattsm ec eléc180

2

2δ

= − [ ] (7)

El presente trabajo muestra la solución dela ecuación de oscilación de un generadorsíncrono en un sistema de dos líneas co-

nectadas en paralelo, a una carga que de-manda la energía que envía el generador,como se muestra en la figura 5. Apoyándoseen el programa Matlab, se muestra comoresultado la trayectoria del ángulo δ a laaplicación de una falla sostenida. Traducido a lenguaje de computadora el algoritmo desolución paso-a-paso, se pueden realizarnumerosos ensayos en donde se puedencambiar los valores de los parámetros invo-lucrados como la potencia que se transfiereen el momento de la falla, características delgenerador, características de las líneas ytransformadores, tiempos de apertura de losinterruptores que limpian la falla, parámetros de la carga, etc.

En el estudio de la dinámica del rotor, lapotencia mecánica es considerada constante,puesto que es la potencia real aplicada alrotor proveniente de la máquina impulsora yque éste transforma en energía eléctrica pormedio de la excitación principal y el campomagnético giratorio. Durante el tiempo derespuesta del sistema de control de la má-quina impulsora, el rotor del generador sedesliza a valores peligrosos, y es aquí dondeentran en juego las características del sistemaeléctrico en su totalidad.

Una disminución en el par electromagné-tico, el par acelerante aumenta. En el tiempoque tardan los mecanismos de control paraajustar a la velocidad síncrona, el rotor sedesliza de su posición hacia valores mayoresy alcanzará valores que ponen en crisis laestabilidad del sistema eléctrico. La soluciónde la ecuación dinámica del generador, con-siste en calcular el ángulo δ en función deltiempo, durante un período suficiente paradeterminar si δ crecerá sin límite o alcanza un máximo y tiende a regresar.





Análisis del método

En el método de integración paso-a-paso para resolver la ecuación diferencial, que es unmétodo entre varios existentes, se declara elmás práctico y de buena exactitud, el cualmanifiesta las siguientes suposiciones:

1. La potencia acelerante Pa calcu-lada al principio de un intervalo es constantedesde la mitad del intervalo anterior hasta lamitad del intervalo en estudio.

2. La velocidad angular ω, es cons-tante durante cualquier intervalo calculado ala mitad del intervalo.

Naturalmente, estas suposiciones no secumplen, puesto que δ cambia continua-mente, y por lo tanto, también lo hacen P a y? . Si embargo, si los tiempos son lo sufi-cientemente pequeños, estas consideracionesson bastante aceptables (Figura 4).

La potencia acelerante es calculada paralos puntos 3, 2 y 1 que son los fines de losintervalos n-1, n, n+1. La curva de Pa ,representa la suposición de que Pa es cons-tante en puntos medios de los intervalos(Figura 4a).

De manera semejante, ? que representa elexceso de velocidad síncrona ?s, se muestracomo un escalón que es constante durante elintervalo con valor determinado a la mitaddel mismo. Entre las ordenadas n–3/2 y n–1/2existe un cambio de velocidad causada por elvalor constante de Pa (Figura 4b).

El cambio de velocidad es igual alproducto de la potencia acelerante por elvalor del intervalo. Así

ω ωδ' '/ /

( )n n

a nddt

tP

Mt− −

−− = =1 2 3 2

2

21∆ ∆

El cambio de δ en cualquier intervalo, es elproducto de ω por el intervalo y el tiempo deduración del mismo.

El cambio de δ durante el intervalo n-1(Figura 4c) es

∆ ∆ ∆ ∆δ δ δ ωn n n s tn− = − − − = −1 1 2 3 2/

∆ ∆ ∆δ δn nPa

Mtn

= − +−1 1 2( ) ( ) (8)

La expresión (8) calcula el cambio de ddurante un intervalo si se conoce su valor enel intervalo anterior, y la potencia aceleranteen el intervalo precedente. Así, la potenciaacelerante debe calcularse al principio decada intervalo para obtener suficientes pun-tos de la curva de oscilación.

Estas instrucciones se repiten durante elproceso de cálculo acomodando la instruc-ción correspondiente, según sea el tiempo deabertura de dos interruptores a la vez o dedos con diferentes tiempos de operación.

El programa anexo, desarrolla los cálculosy presenta la respuesta en forma gráfica deun generador síncrono aportando su potencia a una carga conectada al final de dos líneasparalelas, como se muestra la figura 5.







� ∈n

�∈n-1

tn-1n-2 n

�

� t�t

calc ulada

supuesta

�(n-1/2)

�(n-3/2)

�

t

� (n-1/2) � (n-3/2)

n-3/2 n-1/2

s upuesta

calculad aPa(n-2)

Pa(n)

Pa(n-1)

P a

n-2 n -1 n t

3

1

2

a

b

cFigura 4. Valores reales y supuestos de de ω, δ y Pa

ω (n-1/2) -ω(n-3/2)ω (n-1/2)

ω (n-3/2)

ω

∆t ∆t

δ∆δn

∆δ n-1



Cada una de las líneas tiene un transfor-mador elevador y uno reductor en cadaextremo, así como un interruptor que separaa cada línea de la carga y del generador. Losparámetros por conveniencia están dados por unidad, como todos, en base al generador.

Conclusiones

El problema de estabilidad de un generadorsíncrono, implica entre varios objetivos, elanálisis del comportamiento de los elementos físicos que componen una red eléctrica, comocables que transmiten potencia eléctrica, trans-formadores de potencia, características de lacarga eléctrica, así como la cantidad de po-tencia transferida del generador a la carga enel instante de la falla. Por otro lado, la ob-servación y determinación del ángulo depotencia que alcanza el rotor, debido a la falla que determina si el generador pierde sincro-nismo, y por tal razón, se desconecta delsistema. El análisis del deslizamiento del án-gulo delta versus tiempo, determina la velo-cidad de respuesta del equipo de control de la máquina impulsora, así como de los releva-dores de protección de los interruptores delas líneas y los del generador. Por último, segenera la intención de dar a conocer un algo-ritmo a los interesados en estudios de dinámica.

Información del sistema

El sistema consiste de un generador conec-tado a una carga por el extremo de dos líneas

paralelas. Es decir, las líneas son conectadasen sus extremos por dos barras de donde seunen, por un lado, el generador y por elextremo opuesto una carga que demanda laenergía de éste.

Las líneas como protección, cuentan conun interruptor en sus extremos que las separa con sus respectivos transformadores de lasbarras, en el caso de una falla en ellas.

El generador transfiere, por la diferenciade potenciales entre la barra del transmisor yla barra del receptor, un porcentaje de supotencia, pudiendo ser también el 100%.

En cierto instante, una de las líneas sufreun desperfecto en el punto F y durante el cor-to tiempo que el dispositivo censor instruyeal mecanismo de control de la máquinaimpulsora, tal como compuertas o válvulas,el rotor no tiene freno, que es en sí, la propiacarga eléctrica, por lo que se sale de sin-cronismo.

La falla es de las llamadas sostenidas, detal manera que la malla eléctrica se vemodificada por la reestructuración que sedio al aislar la falla y la sobrante continúaactiva sin aislar al generador. La fallaocurre a la mitad de la línea que une losinterruptores C y D.

El problema que se presenta es un ejem-plo de muchos, en donde los parámetros son



F

P

A

C D

B

T1 T2

T3 T4

GX’d

Xr

Figura 5. Diagrama unifilar del Sistema Eléctrico de Potencia



tales que el rotor no se desliza, sino queretoma en cierto tiempo su posición original.

El interesado puede variar los parámetrossugeridos en este trabajo y comprobar por sucuenta, con datos propios.

Datos del problema

S: potencia aparente nominal del gene-rador: 100000000 VA V: tensión nominal del generador:13800volts. X´d: reactancia transitoria del genera-dor: 0.476 pu fp: factor de potencia: 0.9 f: frecuencia: 60 HertzH: constante de inercia: 7.0 mega-Jouls/MVAp: potencia transferida: 0.95 puXL: reactancias de las líneas: 0.3465 puXT: reactancias de los transformadores:0.293 pu%V: tensión en por ciento del nodo de lacarga: 0.9 puXr: reactancia en el nodo de carga: 0.476 pu

t1: 1er tiempo de abertura:0.08 seg t2: 2º tiempo de abertura: 0.12 segtf: tiempo de duración :0.20 seg

Curva de oscilación del rotor deun generador de polos lisos como

respuesta a una falla de unsistema eléctrico de potencia

Con la información solicitada por el pro-grama y ya aplicado “enter” en la pantalla detrabajo, aparecen en el orden siguiente losvalores calculados de: Vn, In, Ia, fp, Xe1, Eac,delta y P11, tensión nominal, corriente no-minal, corriente de armadura, factor depotencia, reactancia equivalente antes de lafalla, tensión inducida, ángulo de fase ypotencia eléctrica antes de la falla. Xe2 y P22reactancia equivalente y potencia eléctricadurante la falla y Xe3 y P33, reactancia ypotencia eléctrica después de la falla. Lostiempos de apertura de los interruptoresdeben ser mayores a 0.01 y además múltiplosa éste. Se estima que el valor final del estudioes suficiente (Gráfica 1).



Gráfica 1



Programa de cómputo





Referencias

Luthe A., Olivera A., Schutz F. (1985).Métodos numéricos. Limusa, México,pp. 215-220.

Stevenson W.D. Jr. (1982). Elements ofPower System Anal ysis. Inter na tionalStudent Edition, México, pp. 409-416.

Enriquez H.G.(1982). Sistemas eléctricos depotencia. Limusa, México, pp. 184-191.



Semblanza del autorHugo Alfredo Grajales-Román. Obtuvo la licenciatura en ingeniería mecánica eléctrica en la Facultad de Ingeniería

de la UNAM. Realizó estudios de posgrado en la Universidad de Houston Texas, EE.UU. y en la entoncesDivisión de Estudios Superiores de la FI, UNAM. En México, dentro de la Comisión Federal de Electricidadlaboró como ingeniero de puestas en servicio de plantas, así como asesor en la adquisición de equipo paraplantas. Fue investigador comisionado en el Instituto de Ingeniería, UNAM con la realización de un proyectopara Centro Nacional de Control de Energía, CENACE. Fue gerente de operación y planeación de plantas enTabacos Mexicanos. Ha sido profesor durante 31 años en la Facultad de Ingeniería, UNAM.



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