1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Mediante la observación de cómo se presta el servicio de impresiones que ofrece la empresa Last Minute ubicada en Plaza Futeca, se notó que se genera una larga línea de espera de clientes que buscan imprimir determinados documentos en el punto de impresión antes mencionado.

La larga cola presente a la hora de obtener el servicio de impresión genera descontento de parte de los clientes ya que en dadas ocasiones para imprimir tienen que esperar largo tiempo el cual es valioso debido a que es tiempo de estudio y al tener que imprimir implica sacrificar minutos de clase las cuales repercuten en su aprendizaje y en su economía; en el aprendizaje porque se pierden de los conocimientos transmitidos de parte del docente, ahora bien, hablando de economía los estudiantes pierden minutos de clase que de una u otra manera están pagando para poder recibirlas.

Además de repercutir en el aprendizaje del estudiantado, los largos tiempos de espera para poder obtener el servicio generan que en algunos casos los estudiantes no puedan entregar sus trabajos (planos, informes, proyectos, etc.).

Por otro lado las largas líneas de espera generan que estudiantes decidan abandonar las mismas y con esto la empresa tiene perdidas, ya que pierden clientes que buscan utilizar los servicios que la misma ofrece.

Por lo que en resumen el problema de largas colas de espera para poder imprimir genera inconformidad en los clientes, y además, pérdidas económicas para la empresa Last Minute.

MARCO TEÓRICOEl origen de la Teoría de Colas se da a través de estudios de A. K. Erlang en el año de 1905 en Dinamarca, para ello estudió el problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas.

La teoría de colas es un estudio matemático sobre el comportamiento de líneas de espera. Esto se da cuando los “clientes” llegan a un “lugar” requiriendo un servicio a un “servidor”, pero que éste tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no se encuentra disponible inmediatamente el cliente decide esperar, entonces se crea la cola.

La teoría de colas es una técnica matemática, estadística y económica, la cual tiene como objetivo disminuir los tiempos de permanencia en cola de los clientes a niveles soportables o permisibles en un caso óptimo que la cola sea igual a cero.

Una cola se puede definir como una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que ayudan a describir los sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos permiten encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Clientes en cola: Se dan en

Institución financiera

Transito

Supermercados

Servicios básicos

Empresa de producción

ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COLA

1. Fuente de entrada.- Población potencial de clientes que requiere o podría requerir servicio.

Característica: Los parámetros pueden ser finitos o infinitos (N,); cuando son infinitos su formulación matemática resulta sencilla.

2. Cola: Es el número de clientes en espera de servicio

Característica: Los parámetros pueden ser finitos o infinitos (N,); cuando son infinitos su formulación matemática resulta sencilla.

3. Disciplina de la Cola: Es el orden (política del servicio) mediante el cual se seleccionan a los clientes para ser atendidos, estos pueden ser: FIFO, LIFO, GD, SIRO, Servicios con Prioridades, etc.

4. Servidor.- Es el mecanismo implementado para brindar servicio (en paralelo).

CAUSAS DE LOS FENÓMENOS DE ESPERA

Tasa de arribo < Tasa de servicio

COEFICIENTE DE USO DEL SERVICIO ( )

= Tiempo esperado que el servidor está ocupado.

Si: 1 Indica origen de cola

Observación: para ciertos modelos de cola el coeficiente de servicio puede ser >< = 1

Notación de Kendall

Viene a ser la descripción resumida de los principales parámetros de un modelo de cola con servicios en paralelo.

=

(a /b /c):(d /e /f)

Donde:

a: Distribución de probabilidad de los tiempos entre arribos de los clientes al sistema

b: Distribución de probabilidad de los tiempos de servicios de los clientes al sistema.

c: Numero de servidores (s : servidor; s 1)

d. Disciplina del servicio (FIFO, LIFO, GD, Prioridad, etcétera)

e: Tamaño del sistema (N, +)

f: Tamaño de la fuente de entrada (N,+)

Observación:

Si el patrón estadístico:

Arribos : Poisson Ta Poisson, se denota por M

Servicio: Exponencial Ts Exponencial ( ), se denota por M

EL PROCESO NACIMIENTO – MUERTE

Ingreso MODELO DE COLA Salida

Para la construcción de los modelos de colas es necesario que ocurra el proceso entrada– salida (donde un arribo se considera una entrada para el modelo y una salida de un cliente del sistema es considerado como des arribo).

Según este principio:

De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:

Tasa de Entrada = Tasa de Salida

SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo

que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λn(n=0,1,2,….).

SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con

parámetro μn (n=1,2,….).

SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Como consecuencia de las suposiciones 1 y 2, el proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo. Los modelos de colas que se pueden representar por una cadena de Markov de tiempo continuo son mucho más manejables analíticamente que cualquier otro.

Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla).

Diagrama de Transición de Estados:

DEFINICIONES IMPORTANTES

N: Numero de clientes que soporta el sistema en el instante t.

Pn: Probabilidad que en el sistema se hallen n clientes en el instante t.

n: Tasa promedio de arribos (n =0, 1, 2,…)

n: Tasa de promedio de servicios (n = 1, 2, 3,…).

S: Numero de servidores (S 1)

Ls: Numero esperado de clientes en el sistema en el instante t.

Lq: Numero esperado de clientes en cola en espera de servicio en el instante t.

Ws: Tiempo promedio esperado que pasa un clientes en el sistema.

Wq: Tiempo promedio esperado que pasa un cliente en cola.

: Tasa efectiva de llegada de clientes al sistema.

: Numero esperado de servidores ociosos (no operativos)