APLICACIONES DE DERIVADAS

La compañía Colombiana de Autopartes fabrica baterías a un costo de $2.000 cada una. El departamento de Planeación calcula que si el precio de ventas es de x pesos la unidad, Los vendedores podrán ubicar en el mercado (2.500−x) baterías por mes. Con base en esta información, el Director del Departamento de Mercadeo necesita calcular:

a) El ingreso Total I (x)b) El costo total C(x)c) La utilidad total U(x)d) El precio por unidad que permite lograr una utilidad máxima.

SOLUCIÓN:

a) I(x)= ingreso total = (N° de unidades)*(precio por unidad) = (2.500−x )∗x

b) C(x)= costo total = (N° de unidades)*(Costo por unidad) = (2.500−x )∗(2.000)

c) U(x)= Utilidad total = I(x)-C(x) = (2.500−x ) x−(2.500 )2.000

= 2.500 x−x2−5.000 .000+2.000 x = −x2+4.500 x−5.000 .000

d) Para determinar el máximo valor de U(x) hallamos primero la derivada de U(x):

U’(x)= −2 x+4.500

Igualamos la derivada a cero

U’(x)=0

−2 x+4.500=0

−2 x=−4.500

x=4.5002

x=2.250

Entonces, un precio de $2.250 garantizará una utilidad máxima igual a U(x)máxima= 62.500

Este valor se obtiene de reemplazar el valor de X en la función U(x).

U(x)= −¿

U(x)= 62.500.

REALIZAR

Un pequeño fabricante de corbatas se ha percatado de que para vender x unidades de corbatas con un nuevo diseño, su precio unitario debe ser:

I ( x )=1.500−x

También ha determinado que el costo total de producción de x unidades es:

C ( x )=4.000+200 x

¿Cuántas corbatas deben producirse y venderse para que el fabricante obtenga la máxima utilidad?

2. La población inicial de una colmena es de 5.000 abejas. Si el técnico apícola nos ha informado que el crecimiento de la población. P(t), esta dado por:

P ( t )=5.000 (1+0,85 t+t 2 )

a) Halle cual será el numero de abejas a los 5 añosb) Halle la razón de cambio instantánea de la población de la colmena con respecto al

tiempo.c) Halle la razón de crecimiento en el quinto año.

SOLUCIÓN:

Primero encontramos la ecuación de P(t)

P ( t )=5.000 (1+0,85 t+t 2 )

P ( t )=5.000+4.250 t+5.000 t2

P ( t )=5.000 t2+4.250 t+5.000

a) Se determina la población de la colmena cuando t= 5, este valor se reemplaza en la ecuación de P(t).

P (5 )=5.000¿

P (5 )=125.000+21.250+5.000

P (5 )=151.250

Lo que quiere decir que en el quinto año se tendrá 151.250 abejas.

b) Se halla la derivada de P(t)

P ( t )=5.000 t2+4.250 t+5.000

P' (t )=10.000 t+4.250

c) Para hallar la relación de crecimiento cuando t=5, reemplazamos este valor en la derivada de la función.

P' (5 )=10.000 (5 )+4.250

P (5 )=54.250abejas /año

Es decir que la población de la colmena está creciendo a razón de 54.250 abejas por año.