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21
OBJETIVOS
Aplicar correctamente los teoremas relativos a la congruencia.
Reconocer y diferenciar las relaciones que existen entre los
teoremas
1. TEOREMA DE LA BISECTRIZTodo punto que pertenece a la
bisectriz de unngulo equidista de los lados del ngulo
A
P
BO
Segn la figura, OP
: bisectriz
P A P B
Demostracin
A
90-
90-P
B
O
Segn la figura, OP
: bisectriz
OAP OBP Teorema (A.L.A.)
P A P B y A O B O
2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZTodo punto que pertenece a la
mediatriz de unsegmento equidista de los extremos del segmento.
P
L
BM
A
Segn la figura, L
: mediatriz de AB
P A PB
Demostracin
P
L
BM
A
Segn la figura, L
: mediatriz de AB
AMP BMP Teorema (L.A.L.)
P A P B
04
-
22
En todo tringulo issceles, al trazar laaltura relativa a la base
tambin cumplelas funciones de bisectriz, mediana ymediatriz.
C
B
HA
90- 90-
En el tringulo ABC
BH : bisectriz
BH : mediana
BH : mediatriz
Los tringulos que acontinuacin se muestranson issceles
3. TEOREMA DE LA MEDIANARELATIVA A LA HIPOTENUSAEn todo tringulo
rectngulo la longitud de lamediana relativa a la hipotenusa es
igual a lamitad de la longitud de la hipotenusa
C
B
MA
En la figura,
BM : mediana
A CBM
2
Demostracin
C
P
B
MA90
-90-
Se prolonga C B hasta P de manera queCB = BP
P AC : Por el teorema de la mediatriz de
P C.
PA = AC .........., ( )
PCA : Por el teorema de los puntos medios
BM // AP
APBM .............................. ( )
2
( ) en ( )
A CB M
2
-
23
Base Media de un TringuloEs el segmento que une los puntos
medios de doslados de un tringulo, la base media es paraleloal
tercer lado.
C
B
M
A
NM N : Base media
M N // A C
4. TEOREMA DE BASE MEDIAEn todo tringulo la longitud de la base
media esigual a la mitad de la longitud del tercer lado
C
B
QA
P
Si :CP PBCQ QA
PQ : BASE MEDIA
A BPQ
2
Demostracin
C
B
PA
NMn
Se traza NP// AB
AMNP: romboide (MN = AP)
MBN P NC (L.A.L.) MN = PCLuego: AC = AP + PC
AC = MN + MNA C
M N2
b
2b
PROPIEDADES EN LOS TRINGULOSISSCELES Y EQUILTEROS1. La suma de
las distancias de un punto de la base
de un tringulo issceles a los lados congruenteses igual a la
longitud de una de las alturascongruentes
C
B
H
N
P
M
A
Si, A B BC
A H PM P N
2. La suma de las longitudes de las perpendicularestrazadas
desde un punto interior al tringuloequiltero a los lados es igual a
la longitud de laaltura del tringulo equiltero.
C
B
HA
P R
Q
S
Si, AB = BC = AC
B H P Q P R P S
-
24
Si el punto p es exterior a uno de loslados del tringulo
equiltero se cumple:
C
B
HA
P
M
Q
N
Si: AB = BC = AC
BH= PM+PQ PN
TRINGULOS RECTNGULOSNOTABLES EXACTOS
1. DE 30 y 60
k60
k 3
2k
30
m
60
30
2m 33m 3
3
2. DE 45 y 45
k
k
k 2
45
45
45
45
m 22
m 22
m
3. DE 15 y 75
4k
( 6 2)k
75
15
m75
15
(2 3)m
2( 2 3)m( )6 2 k
4. DE 45 135 y2 2
k
k( 2 1)
1352
452
1352
452
m( 2 1)
m
42( 2 m)
4+2( 2 k)
5. DE 36 y 54
4kk( 10 2 5)
36
54
k( 5 1)
6. DE 18 y 72
18
72
4kk( 5 1)
k( 10 2 5 )
-
25
PROPIEDADES
1.
h
75 154h
2.
h
302h
75
APROXIMADOS
1. DE 37 y 53
3k
4k
5k
53
37
2. DE 37 143 y2 2
k
3k
k 10
372
1432
3. DE 12753 y2 2
k
2k
532
1272 k 5
4. DE 8 y 82
k
7k
5 k 282
8
5. DE 16 y 74
7k
24k
74
16
25 k
6. DE 14 y 76
-
26
1. En la figura: AB = BC.
Demostrar que: AH = ME + MF
M C
F
H
B
E
A
Demostracin:
Q
M C
F
H
B
E
A
Se prolonga FM, luego se traza: AQ MF
En la figura: MA: bisectriz del EMQ
Por teorema de la bisectriz: ME = MQ
En la figura: AH = QF AH = ME + MF
2. ProblemaEn la figura: AB = BC .
Demostrar: AH = PQ PR
C
H
B
Q
A P
R
Resolucin:
A H
Q
P
B
1. En la figura, si:AB = 13,AH = 7.Calcular QP.
Rpta.:
............................................................
xB C
x
A 75
L2 L1L y L1 22. En la figura:son mediatrices de
AB y BC respectivamente.Calcule x.
Rpta.:
............................................................
3. En la figura, DB//AC , BC = 16, DE = EC.Calcule AE.
A C
E
BD
Rpta.:
............................................................
-
27
4. En la figura, AT = TM, BM = 6 y TN = 5.Calcule x.
902A N
C
M
B
T x
Rpta.:
............................................................
5. En la figura, AP = PM y los tringulos APQ yBMC son
congruentes. Calcule .
A BMP
Q
C
Rpta.:
............................................................
6. En la figura, AE = 7 t DC = 2. Calcule AB
A B
E D C
Rpta.:
............................................................
7. En un tringulo ABC se traza la mediana AQ ,
luego se traza BH AQ . Si AB = 2(HQ) y
m ABH 3 m QAC . Calcule la m CAQ.
Rpta.:
............................................................
8. Segn el grfico:
AB BC y AD=CD+ 2 AB , calcule x.
A D
B
45
C
Rpta.:
............................................................
9. En la figura calcule x.
x 23
Rpta.:
............................................................
10. En un tringulo issceles ABC (AB = BC) se
traza la mediana de BC , la cual interseca a
AC en el punto M, luego se traza la mediatriz
de MA , la cual interseca a AB en el punto E.Si MC = 6, calcule
la cantidad de valores ente-ros que puede tomar BE.
Rpta.:
............................................................
-
28
1. En la figura, AD = 2 (DB). Calcule la m FPE .
A CF
B
E
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
2. En la figura, AB si AC PQ = 8. Calcule AB.
A C
Q
B
P
D
2
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
3. En la figura, AH = HQ, 1 2L y L
son media-
trices de BD y QC respectivamente,
m ABC=100 . Calcule x.
A
B
CH
M
Q N
D
L1L2
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
4. En la figura, AB = 7, AC = 15 y BM = MC.
Calcule PM.
A C
B
MP
A) 3B) 4C) 6D) 7E) 8
5. En la figura AM = MC = MP. Calcule x.
A
B
CM
x
P
A) 53B) 60C) 45D) 30
53E)2
6. En la figura AC = BD y BC = CD. Calcule x.
C
A
x
D
B
A) 30B) 45C) 37D) 53E) 60
7. Se tiene un tringulo ABC donde se traza la
mediana BM , luego la perpendicular AH a
dicha mediana H en BM , BC = 2 (AH).Calcule la m MBC .
A) 10 B) 30 C) 15D) 20 E) 45
8. Segn el grfico: AB = BC
-
29
y 6AD CD AB5 , calcule x .
A D
CB
53
x
A) 135 B) 120 C) 115D) 127 E) 118
9. En la figura, AB = BC = CD.
Calcule la m CDA
A7x
D
B C
5x
10xA) 8B) 10C) 12D) 15E) 20
10. En la figura calcule x.
x 7
A) 45 B) 30 C) 37D) 53 E) 60
