Aplicaciones de la Integral - myfaculty.metro.inter.edumyfaculty.metro.inter.edu/jahumada/mate3031/unidad4/Lecci%F3n%20… · • Se basa en que el volumen V de un disco o cilindro

Aplicaciones de la Integral

Cálculo

16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

dxxgxfA

b

a

)()(

dxA

b

a

abajo gráfica-arriba gráfica

Sea f, g dos funciones tal que

para todo valor x en [a, b]. Entonces, el área

A entre sus gráficas en el intervalo [a, b] es:

𝑖=1

𝑛

𝐴 = lim𝑛→∞

𝑓𝑖 𝑥 − 𝑔𝑖(𝑥) ∆𝑥𝑖

2 de 20

Ejemplo 1

• Calcule el área entre y .

• Solución:

• Paso 1 – Grafique ambas funciones e identifique cuál

es la función que está por encima.

2xy xy


Ejemplo 1 …

• Paso 2: Determine puntos de intersección

• Evalúe el integral definido:

2xy

xy

2xx 1,0x

dxxxA

1

0

2

1

0

3

3

1

3

2

xxx

3

1

3

2

3

1


Ejemplo 2

• Aproxime el área entre , y por la rectas

verticales x = 0 y x = 1 a la diez milésima más

cercana.

• Solución:

xey xy

dxxeA x

1

0

1

0

2

2

1xex

2

3 e

218281828.1


2183.1

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Ejercicio #1


• Solución:

22 xy xy


Ejercicio #1


• Solución:

22 xy xy 22 xx

1,2x

022 xx

0)1)(2( xx

dxxxA 2

1

2

2

1

2

23

232

xx

x

2

4

3

84

2

1

3

12

2

9


Ejemplo 4

• Calcule el área entre y

• Solución:

xxxxf 103)( 23 xxxg 2)( 2

xxxxx 2103 223

2,0,2x

0123 3 xx

0)2)(2(3 xxx

dxxfxgdxxgxfA )()( )()(

2

0

0

2

dxxxdxxxA 123 123

2

0

3

0

2

3

0

2

24

64

3

xx

2

0

24

64

3x

x

2412)12(


VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE

REVOLUCIÓN


Si A(x) representa el área de la

sección transversal, entonces el

volumen V está dado por:

b

a

dxxAV )(

𝑖=1

𝑛

𝑉 = lim𝑛→∞

𝐴𝑖 𝑥 ∆𝑥𝑖

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Método por Discos

• Se basa en que el volumen V de un disco o cilindro circular con

radio r y ancho h es:

• Por tanto, si un sólido se puede dividir en cilindros circulares (no

necesariamente del mismo grueso), su volumen:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014

altura círculo del Área V

hrV 2

b

a

dxxAV )( b

a

dxxr 2)]([

b

a

dxxr 2)]([

b

a

dxxrV 2)]([

10 de 20

Ejemplo 5

• Encuentre el el volumen del sólido formado al girar

alrededor del eje de x la gráfica de

para los valores de x entre x = 1 y x = 4

• Solución:


54)( 2 xxxf

Paso 1 – Bosqueje la

gráfica.

Paso 2 –Visualice la

región que se crea

cuando la región se

gira.

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Ejemplo 5 …

•


Paso 3 –

Visualice una

sección

transversal de la

región.

54)( 2 xxxr

Paso 4 –

Identifique la

función que

define el radio

r(x).

b

a

dxxrV 2)]([

4

1

22 ]54[ dxxx

4

1

234 ]2540268[ dxxxxx

4

1

2345 25203

262

5

1

xxxxx

5

78

12 de 20

Ejercicio #1


alrededor del eje de x la gráfica de para

valores de


xxf sin)(

x0

xy sin

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Ejercicio #1


alrededor del eje de x la gráfica de para

valores de

• Solución:


xxf sin)(

x0

b

a

dxxrV 2)]([

0

2]sin[ dxxV

0

][sin dxx

0cos x 0coscos 2

xy sin

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Método por Arandelas

• Se basa en que el volumen V de un sólido se puede dividir por

arandelas con radio interior r(x) y radio exterior R(x) de ancho.

• El volumen de una arandela sería:

• Por consiguiente, el volumen del sólido se determinaría por:


hxrhxRV 22 )()(

b

a

dxxrxRV 22 )]([)]([

15 de 20

Ejemplo 6


alrededor del eje de y la región en el cuadrante I,

encerrada por la gráficas de y

• Solución:


3)( xxf 4

xy

3 xy

4

xy

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Ejemplo 6 …


3 xy

4

xy

b

adyyyV

2324

dyyyb

a 6216

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Ejemplo 6 …


• Determine los puntos de intersección para determinar los límites

del integral.

3 xy

4

xy

4

3 xx

64

3xx

8,0 x2,0,2y

dyyyV 2

0

6216

• Los valores de y que interesan son aquellos que definen la

región del cuadrante 1. Estos son: 0 y 2.

640 2 xx

2

0

73

73

16

yy

7

)2(

3

)2(16 73

7

128

3

128

21

512

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TRABAJO


Trabajo es igual a fuerza por distancia

b

a

dxxfW )(

Trabajo se mide en joules o newton-metros.

Un newton es la fuerza que requiere darle una masa de 1 kg una

aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Si f(x) representa la fuerza que requiere

mover un objeto a lo largo de una línea,

entonces el trabajo W está dado por:

𝑖=1

𝑛

𝑊 = lim𝑛→∞

𝑓𝑖 𝑥 ∆𝑥𝑖

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Ejemplo 7

• Si la fuerza (en newtons)

requerida para mantener un

resorte estirado 𝑥 pulgadas

está dado por 𝐹(𝑥) = 300𝑥, determine el trabajo que se

necesita para estirar el resorte

0.3 metros de su posición

normal.

• Solución:


𝑊 = 0

0.3

300𝑥𝑑𝑥

= 150𝑥2|0.30

= 150(0.3)2−150(0)2

= 13.5 joules

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