17
Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 ´ Areas de superficies planas. 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ ıcita. A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 10, parece razonable la siguiente definici´ on: Definici´ on 12.1 – Sea f :[a, b] -→ IR una funci´on continua y positiva, y consideremos la regi´on R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la gr´afica de f (fig 12.1). Entonces el ´area de la regi´on R est´ a definida por A(R)= Z b a f (x)dx. En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos ofrecen aproximaciones por “defecto” y por “exceso” del ´area encerrado por la curva y = f (x). Si la funci´on es integrable, el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiores coinciden, luego ese valor debe de ser el valor del ´area. R y = f (x) a b Fig. 12.1. Ejemplo 12.2 – Calcular el ´area de la regi´on limitada por la curva f (x)= x 2 3 + 1, los ejes coordenados y la recta x = 3. Soluci´ on: La funci´on es positiva en todo IR. En particular, lo es en el dominio de integraci´ on y, por tanto, el valor del ´area que buscamos vendr´ a dado por A(R)= Z 3 0 f (x)dx. En nuestro caso, como F (x)= x 3 9 + x es una primitiva de f en [0, 3], basta aplicar la regla de Barrow para obtener que A(R)= Z 3 0 ˆ x 2 3 +1 ! dx = ˆ x 3 9 + x !# 3 0 = (3 + 3) - (0 + 0) = 6, nos ofrece el ´area del recinto R de la figura. Integral de una variable. 139

Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

Tema 12

Aplicaciones de la integral.

12.1 Areas de superficies planas.

12.1.1 Funciones dadas de forma explıcita.

A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 10, parece razonable la siguientedefinicion:

Definicion 12.1 – Sea f : [a, b] −→ IR una funcion continua y positiva, y consideremos la regionR del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la graficade f (fig 12.1). Entonces el area de la region R esta definida por

A(R) =∫ b

af(x)dx.

En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nosofrecen aproximaciones por “defecto” y por “exceso” del area encerrado por la curva y = f(x).Si la funcion es integrable, el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiorescoinciden, luego ese valor debe de ser el valor del area.

R

y = f(x)

a b

Fig. 12.1.

Ejemplo 12.2 – Calcular el area de la region limitada por la curva f(x) = x2

3 + 1, los ejescoordenados y la recta x = 3.Solucion:

La funcion es positiva en todo IR. En particular, lo es en el dominio de integracion y, portanto, el valor del area que buscamos vendra dado por

A(R) =∫ 3

0f(x)dx.

En nuestro caso, como F (x) = x3

9 + x es una primitiva de f en [0, 3], basta aplicar la regla deBarrow para obtener que

A(R) =∫ 3

0

(x2

3+ 1

)dx =

(x3

9+ x

)]3

0

= (3 + 3)− (0 + 0) = 6,

nos ofrece el area del recinto R de la figura.

Integral de una variable. 139

Page 2: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.1 Areas de superficies planas.

R

f(x)= x2

3+1

x=3

1

Cuando la funcion f : [a, b] −→ IR que limita R , es continua y negativa, es decir, f(x) ≤ 0,

para todo x ∈ [a, b] , se tiene que∫ b

af(x)dx ≤ 0, por lo que este valor no representa el area de

R como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el area de la region R coincidecon el area de la region R′ determinada por la funcion −f (fig 12.2), por lo que, teniendo en

R

R0

y = f(x)

y = −f(x)

a b

Fig. 12.2.

cuenta las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definicion.

Definicion 12.3 – Sea f : [a, b] −→ IR una funcion continua y negativa. Consideremos la regionR del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisas y la graficade f . Entonces el area de la region R esta definida por

A(R) =∫ b

a−f(x)dx = −

∫ b

af(x)dx.

Observacion 12.4 – Es claro entonces que para calcular el area de regiones planas debe analizarseel signo de la funcion en el intervalo de integracion. De no hacerlo ası, la parte negativa de lafuncion “restara” el area que encierra del area encerrado por la parte positiva.

Contraejemplo.- Hallar el area encerrado por la funcion f(x) = senx , en el intervalo [0, 2π] .

El valor∫ 2π

0sen xdx = − cosx

]2π

0= (− cos(2π))− (− cos 0) = 0, es claro que no representa

el area encerrada por la curva.

π 2ππ 2π

R1

R2

Ahora bien, teniendo en cuenta que la funcion senx es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π] ,el valor real del area encerrado sera por tanto

A(R) = A(R1) + A(R2) =∫ π

0sen xdx +

∫ 2π

π− senxdx = − cosx

0+ cosx

]2π

π= 2 + 2 = 4.

Integral de una variable. 140

Page 3: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.1 Areas de superficies planas.

Ejemplo 12.5 – Hallar el area determinada por la curva f(x) = (x−1)(x−2), las rectas x = 0,x = 5

2 y el eje de abcisas.Solucion:

f(x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en el resto. Luego

1 2 2.5

2

1 2 2.5

2

R1R2

R3

f(x)=(x−1)(x−2)

A(R) =∫ 1

0f(x)dx +

∫ 2

1−f(x)dx +

∫ 52

2f(x)dx.

Como F (x) = x3

3 − 3x2

2 + 2x es una primitiva de f(x) en [0, 52 ] ,

A(R) = (G(1)−G(0))− (G(2)−G(1)) + (G(52)−G(2)) = 5−4+5+5−4

6 = 76 .

En las definiciones anteriores puede considerarse, que el area calculado esta encerrado porla funcion y = f(x) y la funcion y = 0, cuando la f es positiva, y por la funcion y = 0 y lafuncion y = f(x), cuando la f es negativa. En ambos casos, se tiene que

A(R) =∫ b

af(x)dx−

∫ b

a0dx =

∫ b

a(f(x)−0)dx y A(R) =

∫ b

a0dx−

∫ b

af(x)dx =

∫ b

a(0−f(x))dx,

es decir, que el area encerrado por ambas funciones es la integral de la funcion mayor menos laintegral de la funcion menor. En general, se tiene entonces que

Si f, g : [a, b] −→ IR son funciones continuas, con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] . Entonces,si R es la region del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a , x = b , el eje de abcisasy las graficas de f y g , el area de R se obtiene como

A(R) =∫ b

af(x)dx−

∫ b

ag(x)dx =

∫ b

a

(f(x)− g(x)

)dx.

En efecto, si las funciones verifican que 0 ≤ g(x) ≤ f(x), es claro que el area encerrado por fy g es el area encerrado por f menos el area encerrado por g (fig. 12.3), es decir,

A(Rf−g) = A(Rf )−A(Rg) =∫ b

af(x)dx−

∫ b

ag(x)dx.

Si alguna de ellas toma valores negativos, el area entre ambas, R , es el mismo que si le sumamosa cada funcion una constante C que las haga positivas y, por tanto, el area R es el area R′

encerrado por f + C menos el area encerrado por g + C (fig. 12.3), es decir,

A(Rf−g) = A(Rf+C)−A(Rg+C) =∫ b

a(f(x) + C)dx−

∫ b

a(g(x) + C)dx

=∫ b

af(x)dx +

∫ b

aCdx−

∫ b

ag(x)dx−

∫ b

aCdx =

∫ b

af(x)dx−

∫ b

ag(x)dx.

Observaciones 12.6 –

Integral de una variable. 141

Page 4: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.1 Areas de superficies planas.

R

y = f(x)

y = g(x)a b

R0y = f(x)+C

y = g(x)+C

Fig. 12.3.

? Las definiciones son ampliables para a = −∞ y/o b = +∞ cuando tenga sentido, esdecir, cuando las integrales impropias correspondientes sean convergentes.

? De forma analoga, si la region esta limitada por funciones x = f(y), x = g(y) y lasrectas y = c e y = d , siendo g(y) ≤ f(y) para todo y ∈ [c, d] , el area de la region puedeencontrarse mediante la formula

A(R) =∫ d

c

(f(y)− g(y)

)dy.

Ejemplo.- Calcular el area de la region acotada comprendida entre las parabolas de

ecuaciones y2 + 8x = 16 e y2 − 24x = 48.

R

−√24

√24

x=g(y)

x=f(y)

Las parabolas pueden escribirse como x = g(y) = 16−y2

8 y x = f(y) = y2−4824 . Los puntos

de corte de ambas parabolas son las soluciones de la ecuacion

16− y2

8=

y2 − 4824

=⇒ y = ±√

24.

Como en el intervalo [−√24,√

24] es f(y) ≤ g(y), se tiene que

A(R) =∫ √

24

−√24

16−y2

8dy −

∫ √24

−√24

y2−4824

dy=∫ √

24

−√24

(4− y2

6

)dy=

(4y− y3

18

)]√24

−√24

=163

√24.

Integral de una variable. 142

Page 5: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.1 Areas de superficies planas.

12.1.2 Funciones dadas de forma parametrica.

Estudiaremos ahora el caso en que la curva y = f(x) en [a, b] viene dada por las ecuacionesparametricas. {

x = ϕ(t)y = ψ(t)

.

Si f es positiva (si f es negativa o cambia de signo se escribira lo correspondiente), el areaencerrado por f es

A(R) =∫ b

af(x)dx.

Como x = ϕ(t) e y = ψ(t) tenemos que

y = f(x) = f(ϕ(t)) = ψ(t) y dx = ϕ′(t)dt,

luego usando este cambio de variable en la integral, se tiene que

A(R) =∫ b

af(x)dx =

∫ t2

t1f(ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫ t2

t1ψ(t)ϕ′(t)dt,

donde ϕ(t1) = a y ϕ(t2) = b . En consecuencia, puede calcularse el area encerrado por lacurva dada en parametricas usando estas ecuaciones, –naturalmente teniendo en cuenta el signode y = ψ(t)–.

Observacion:Los extremos de integracion t1 y t2 aparecen al efectuar el cambio de variable, y estan asociadosrespectivamente a a y b , con a ≤ b , por lo que puede ser tanto t1 ≤ t2 como t1 ≥ t2 segun elcaso (de hecho y respectivamente, segun que el signo de x′ = ϕ′(t) sea positivo o negativo en elintervalo).

Ejemplo 12.7 – Hallar el area encerrado por la curva

{x = cos ty = sen t

, con t ∈ [0, 2π] .

Solucion:El area pedida, es el area del cırculo de radio 1. Cuando y ≥ 0, haciendo el cambio x = cos t ,

para el cual dx = − sen tdt con 1 = cos 0 y −1 = cosπ , tenemos que

A(R+) =∫ 1

−1y(x)dx =

∫ 0

πsen t(− sen t)dt =

∫ π

0sen2 tdt =

∫ π

0

1− cos 2t

2dt =

π

2

Cuando y ≤ 0, con el mismo cambio se obtiene 1 = cos 2π y −1 = cos π , de donde

A(R−) = −∫ 1

−1y(x)dx = −

∫ 2π

πsen t(− sen t)dt =

∫ 2π

πsen2 tdt =

t

2− sen 2t

4

]2π

π=

π

2

Observacion 12.8 – El ejemplo anterior subraya el comentario hecho en la observacion pre-via sobre los extremos de integracion. Si, directamente, decimos que el valor de A(R+) es∫ π

0sen t(− sen t)dt estamos cometiendo un error, pues esta integral se obtiene de

∫ π

0sen t(− sen t)dt =

∫ −1

1y(x)dx

y el valor calculado no es el del area, sino∫ π

0sen t(− sen t)dt =

∫ −1

1y(x)dx = −

∫ 1

−1y(x)dx = −A(R+).

Tengase presente, que si bien en este caso es claro que basta con cambiar el signo para obtenerel valor buscado, en general, pueden aparecer varios terminos en el calculo del area de formaque el resultado final no haga sospechar el error cometido.

Integral de una variable. 143

Page 6: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.1 Areas de superficies planas.

12.1.3 Funciones dadas de forma polar.

Por ultimo estudiaremos el caso de curvas dadas en coordenadas polares.Consideremos una curva dada en coordenadas polares por la ecuacion

r = f(θ)

donde f es continua y sea S el sector comprendido entre los angulos θ = α , θ = β y lagrafica de la funcion. Con un desarrollo analogo al realizado en la construccion de la integraldefinida para funciones dadas explıcitamente, podemos definir sumas superiores e inferiores y laintegrabilidad, a traves de particiones del intervalo angular [α, β] considerando las areas de loscorrespondientes sectores circulares (el area de un sector circular de radio r y angulo θ vienedado por θ

2r2 ), como puede observarse en la figura 12.4.

β α

r=f(θ)

Fig. 12.4.

La expresion del area mediante una integral en funcion del angulo, se obtiene de forma masintuitiva si consideramos las sumas de Riemman asociadas a este proceso de integracion, es decir,dada una particion de [α, β] , P = {α = θ0, θ1, . . . , θn−1, θn = β} , y cualquier eleccion de E ,tenemos que

S(f, Pn, E) =n∑

i=1

(f(ei))24θi

2luego, tomando particiones

cada vez mas finas→

∫ β

α(f(θ))2

2.

Hemos pues, introducido la siguiente definicion:

Definicion 12.9 – Sea f : [α, β] −→ IR continua. El area de la region S del plano limitada porla curva r = f(θ) y las rectas que forman un angulo α y un angulo β con el eje se abcisaspositivo, (fig. 12.5), viene dada por la integral

A(S) =12

∫ β

αf2(θ)dθ. 〈12.1〉

Si r = f(θ) y r = g(θ) son dos curvas dadas en coordenadas polares, donde f, g : [α, β] −→ IRson continuas con g(θ) ≤ f(θ), para todo θ ∈ [α, β] y S es el sector comprendido entre losangulos θ1 = α , θ2 = β y las graficas de las funciones r = f(θ) y r = g(θ) (fig. 12.6), se tendraque

A(S) =12

∫ β

αf2(θ)dθ − 1

2

∫ b

ag2(θ)dθ =

12

∫ β

a

(f2(θ)− g2(θ)

)dθ.

Integral de una variable. 144

Page 7: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.1 Areas de superficies planas.

S

r=f(θ)

α

β

Fig. 12.5.

S

r=f(θ)

r=g(θ)

α

β

Fig. 12.6.

Observacion 12.10 – Tambien puede llegarse a la formula 〈12.1〉 mediante razonamientos geo-metricos y un cambio de variable sobre la integral en coordenadas cartesianas.

Si observamos la figura 12.5 –y supuesto por comodidad que para cada valor de x no ex-iste mas que un valor de y–, en coordenadas cartesianas la funcion r = f(θ), se expresa por{

y = f(θ) sen θx = f(θ) cos θ

, con θ ∈ [α, β] , luego x ∈ [f(β) cosβ, f(α) cos α] .

Ası mismo, la recta de angulo α tiene por expresion yα = (tg α)x , cuando x ∈ [0, f(α) cos α] ,y la recta de angulo β , yβ = (tg β)x , cuando x ∈ [0, f(β) cos β] . Por tanto, el area de S sera elarea encerrado por las graficas de las funciones de x , es decir,

A(S) =∫ f(β) cos β

0yβdx +

∫ f(α) cos α

f(β) cos βydx−

∫ f(α) cos α

0yαdx = I1 + I2 − I3.

Calculando directamente I1 e I3 , se tiene que

I1 =∫ f(β) cos β

0(tg β)xdx = tg β

(x2

2

)]f(β) cos β

0

= tg βf2(β) cos2 β

2=

12f2(β) senβ cosβ,

I3 =∫ f(α) cos α

0(tg α)xdx =

12f2(α) senα cosα.

Para calcular I2 , hacemos el cambio de variable x = f(θ) cos θ , para el cual se tiene quedx = (f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ)dθ , luego

A(S) = I1 +∫ f(α) cos α

f(β) cos βydx− I3 = (I1 − I3) +

∫ α

βf(θ) sen θ(f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ)dθ

= (I1 − I3)−∫ α

βf2(θ) sen2 θdθ +

∫ α

βf(θ)f ′(θ) sen θ cos θdθ

Integral de una variable. 145

Page 8: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.2 Volumenes de cuerpos solidos.

=

{u = sen θ cos θ

dv = f(θ)f ′(θ)dθ

}→

{du = cos2 θ − sen2 θdθ

v = f2(θ)2

}

= (I1 − I3)−∫ α

βf2(θ) sen2 θdθ +

12f2(θ) sen θ cos θ

β− 1

2

∫ α

βf2(θ)(cos2 θ − sen2 θ)dθ

= (I1 − I3)−∫ α

βf2(θ) sen2 θdθ + (I3 − I1)− 1

2

∫ α

βf2(θ)(1− 2 sen2 θ)dθ

=−∫ α

βf2(θ) sen2 θdθ − 1

2

∫ α

βf2(θ)dθ +

∫ α

βf2(θ) sen2 θdθ

=12

∫ β

αf2(θ)dθ.

Ejemplo 12.11 – Hallar el area encerrada por la cardioide r = a(1 + cos θ).Solucion:

El area encerrada es el area del sector S limitado por la curva r = a(1 + cos θ) cuandoθ ∈ [0, 2π] . Por tanto,

A(S) =12

∫ 2π

0a2(1 + cos θ)2dθ =

a2

2

∫ 2π

0

(1 + 2 cos θ +

1 + cos 2θ2

)dθ

=a2

2

(θ + 2 sen θ +

θ

2+

sen 2θ4

)]2π

0=

a2

2(2π + π) =

3πa2

2.

r=a(1+cos θ)

2a

a

−a

12.2 Volumenes de cuerpos solidos.

Trataremos ahora de calcular el volumen de un solido S . Para ello supongamos que esta colocadoen los ejes coordenados de IR3 y que los extremos del solido en la direccion del eje de abcisas setoman en los valores x = a y x = b . Consideremos para cada x ∈ [a, b] que A(x) representa elarea de la interseccion del cuerpo con un plano perpendicular al eje de abcisas (fig. 12.7).

Entonces, para cada particion P = {a = x0, x1, ..., xn = b} del intervalo [a, b] , sean

mi = inf{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1} y Mi = sup{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1},

el inferior y el superior de los valores de las areas A(x) de las secciones del solido entre xi−1 yxi .

Definimos suma superior e inferior asociadas al solido S y la particion P en la forma

U(A,P ) =n∑

i=1

Mi4xi y L(A,P ) =n∑

i=1

mi4xi,

Integral de una variable. 146

Page 9: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.2 Volumenes de cuerpos solidos.

x=x1 x=x2 x=x3

A(x1)A(x2)

A(x3)

a

b

S

Fig. 12.7. Secciones del solido.

Fig. 12.8. Volumenes por exceso y por defecto.

donde cada termino de las sumas representa el volumen de un cuerpo con area de la base mi oMi y altura xi−xi−1 = 4xi . Por tanto, ambas sumas corresponden a volumenes que aproximanpor exceso y por defecto, respectivamente, al verdadero volumen de S (fig 12.8).

Considerando todas las particiones de [a, b] y razonando de forma analoga a como se hizoen el Tema 2, para la construccion de la integral de Riemann, estamos en condiciones de dar lasiguiente definicion:

Definicion 12.12 – Sea S un solido acotado comprendido entre los planos x = a y x = b . Paracada x ∈ [a, b] , sea A(x) el area de la seccion que produce sobre S el plano perpendicular al ejede abcisas en el punto x . Si A(x) es continua en [a, b] definimos el volumen de S como

V (S) =∫ b

aA(x)dx.

Nota: Podemos dar definiciones analogas si tomamos secciones perpendiculares al eje y o al ejez .

La definicion es ampliable para a = −∞ y/o b = +∞ cuando tenga sentido.

Ejemplo 12.13 – Hallar el volumen del solido S = {(x, y, z) ∈ IR3 : x, y, z ≥ 0; x + y + z ≤ 1} .Solucion:

El solido S es la parte del primer octante limitada por el plano x + y + z = 1, es decir,el tetraedro (piramide de base triangular) cuyas caras son los planos coordenados y el planox + y + z = 1. Las secciones formadas por planos perpendiculares al eje x son triangulos y suarea, para cada x , es A(x) = base(x)×altura(x)

2 .Para cada x de [0, 1], la base del triangulo es la coordenada y de la recta interseccion de

los planos

{x + y + z = 1z = 0

, luego base(x) = y = 1 − x . La altura es la coordenada z de la

Integral de una variable. 147

Page 10: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.2 Volumenes de cuerpos solidos.

z=1−x

A(x)

y=1−x

1

1

1

recta interseccion de los planos

{x + y + z = 1y = 0

, luego altura(x) = z = 1 − x . Por tanto,

A(x) = (1−x)(1−x)2 y

V (S) =∫ 1

0A(x)dx =

∫ 1

0

(1− x)2

2dx =

12

(−(1− x)3

3

)]1

0

=12

13

=16

12.2.1 Volumenes de revolucion.

Un caso particular de gran importancia de la definicion anterior es el de los solidos de rev-olucion. Supongamos dada una funcion f : [a, b] −→ IR y consideremos la region R de lafigura 12.1. La rotacion de esta alrededor del eje de abcisas produce un solido S para el cual,cada seccion es un cırculo y por tanto, su area sera

A(x) = πf2(x).

Por tanto se tendra que

V (S) = π

∫ b

af2(x)dx.

Ejemplo 12.14 – Hallar el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4.Solucion:

La esfera es claramente un solido de revolucion. El circulo maximo, interseccion de la esferacon el plano y = 0, tiene por ecuacion (en el plano xz ) x2 + x2 = 4, luego basta girar lasuperficie encerrada por la semicircunferencia superior, z =

√4− x2 , para obtener la esfera.

Para cada seccion en x ∈ [−2, 2], el area es A(x) = π(√

4− x2)2 = π(4 − x2). Luego elvolumen buscado es

V (S) = π

∫ 2

−2(4− x2)dx = π

(4x− x3

3

)]2

−2

= π323

=43π23,

como ya sabıamos.

Observacion:Si en el ejemplo anterior, giramos la superficie encerrada por toda la circunferencia x2 + z2 = 4,obtendremos como resultado el doble del volumen de la esfera. Es claro, pues si girando elsemicırculo superior engendramos toda la esfera, tambien girando el semicırculo inferior engen-dramos la esfera; en consecuencia, el volumen obtenido es el volumen de dos esferas.

Observaciones 12.15 –

Integral de una variable. 148

Page 11: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.2 Volumenes de cuerpos solidos.

? Analogamente, si tenemos una funcion x = f(y) y hacemos rotar su grafica alrededor deleje de ordenadas, el volumen del solido sera

V (S) = π

∫ d

cf2(y)dy.

donde c y d son los extremos de variacion de y .

? En el caso mas general, los volumenes de los cuerpos engendrados por la rotacion de unafigura limitada por las curvas continuas y = f(x), y = g(x) (donde 0 ≤ g(x) ≤ f(x) of(x) ≤ g(x) ≤ 0) y por las rectas x = a e x = b alrededor del eje de abcisas es

V (S) = π

∫ b

af2(x)dx− π

∫ b

ag2(x)dx = π

∫ b

a

(f2(x)− g2(x)

)dx.

Nota: Si sucede que g(x) ≤ 0 ≤ f(x), al girar alrededor del eje de abcisas la superficie

comprendida entre las graficas, debe tenerse en cuenta unicamente la superficie (por encimao por debajo del eje de giro) de mayor radio de giro, pues el volumen que engendra algirar la parte mayor contiene al volumen engendrado por la parte menor. Es decir, si|g(x)| ≤ |f(x)| se gira solo la parte superior y si |g(x)| ≥ |f(x)| se gira la parte inferior.

Lo que ocurre en este caso, es similar a lo que se apuntaba al final del ejemplo 12.14.

12.2.1.1 Curvas en parametricas.

Si la funcion viene dada por sus ecuaciones parametricas

{x = ϕ(t)y = ψ(t)

, el volumen se obtiene

realizando el correspondiente cambio de variable x = ϕ(t), dx = ϕ′(t)dt .

V (S) = π

∫ b

ay2(x)dx = π

∫ t2

t1ψ2(t)d(ϕ(t)) = π

∫ t2

t1ψ2(t)ϕ′(t)dt

donde ϕ(t1) = a y ϕ(t2) = b .

Ejemplo 12.16 – Hallar el volumen interior de la esfera engendrada al girar alrededor del eje

de abcisas la semicircunferencia

{x = 2 cos 2ty = 2 sen 2t

, con t ∈ [0, π2 ] .

Solucion:

Integral de una variable. 149

Page 12: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.3 Longitudes de arcos.

Haciendo el cambio de variable x = 2 cos 2t , para el cual dx = −4 sen 2tdt , se tiene que

V (S) = π

∫ 2

−2y2(x)dx = π

∫ 0

π2

(2 sen 2t)2(−4 sen 2t)dt = π

∫ π2

024 sen3 2tdt

= 24π

∫ π

0(sen 2t− sen 2t cos2 2t)dt = 24π

(− cos 2t

2+

cos3 2t

6

)]π2

0

= 24π46

= 23π43.

12.2.1.2 Curvas en polares.

Si la curva viene dada en coordenadas polares r = f(θ), el volumen se obtiene girando el sectorlimitado por la curva y las rectas de angulos α y β . Teniendo en cuenta que en coordendascartesianas, las rectas son y = (tg α)x e y = (tg β)x , y la funcion se decribe por y = f(θ) sen θy x = f(θ) cos θ , se calcula el volumen de forma analoga a como se hizo para el area en laobservacion 12.10. Es decir,

V (S) = π

∫ a

0(tg β)2x2dx + π

∫ b

ay2(x)dx− π

∫ b

0(tg α)2x2dx =

3

∫ β

αf3(θ) sen θdθ,

donde f(β) cos β = a y f(α) cos α = b .

Ejemplo 12.17 – Hallar el volumen interior de la esfera engendrada al girar la semicircunfer-encia r = 2, con θ ∈ [0, π] , alrededor del eje polar.Solucion:

En cartesianas es y = f(θ) sen θ = 2 sen θ y x = f(θ) cos θ = 2 cos θ , luego teniendo encuenta esto y haciendo el cambio de variable x = 2 cos θ , para el cual dx = −2 sen θdθ , se tieneque

V (S) = π

∫ 2

−2y2(x)dx = π

∫ 0

π(2 sen θ)2(−2 sen θ)dθ = 23π

∫ π

0sen3 θdθ = 23π

43.

12.3 Longitudes de arcos.

La integral definida se puede usar tambien para encontrar la longitud de una curva.En este caso, construiremos una formula cuando la funcion viene dada por sus ecuaciones

parametricas y, como casos particulares de esta, obtendremos formulas para las expresiones encartesianas y polares.

12.3.1 Curva dada en parametricas.

Para describir este proceso, llamaremos Pt = (ϕ(t), ψ(t)) al punto de la curva correspondientea cada t de [α, β] , Entonces, si Pc y Pd son dos puntos de la curva denotaremos por PcPd a laparte de la curva entre los puntos Pc y Pd y lo denominaremos arco entre Pc y Pd . Su longitudla representamos por |PcPd| .

Si tomamos una particion P = {α = t0, t1, ..., tn = β} del intervalo [α, β] la recta quebrada,formada por los n segmentos rectilineos Pti−1Pti ,

IP = Pt0Pt1 ∪ Pt1Pt2 ∪ · · · ∪ Ptn−1Ptn ,

es una aproximacion del arco PαPβ y, por tanto, la longitud de IP es una aproximacion pordefecto de la longitud del arco PαPβ . Es decir,

|IP | =n∑

i=1

∣∣∣Pti−1Pti

∣∣∣ =n∑

i=1

√(ϕ(ti)− ϕ(ti−1)

)2+

(ψ(ti)− ψ(ti−1)

)2 ≤∣∣∣PαPβ

∣∣∣ . 〈12.2〉

Integral de una variable. 150

Page 13: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.3 Longitudes de arcos.

Px0

Pxi−1

Pxi

Pxn

a b

Fig. 12.9.

Ademas, si Q es una particion mas fina que P se tiene que |IP | ≤ |IQ| , pues si c es un puntode Q que no esta en P , c ∈ [ti−1, ti] para algun i y, por tanto,

∣∣∣Pti−1Pti

∣∣∣ ≤∣∣∣Pti−1Pc

∣∣∣ +∣∣∣PcPti

∣∣∣(fig. 12.10). Entonces, tomando particiones cada vez mas finas esperamos que ocurra |IP | −→∣∣∣PαPβ

∣∣∣ .Por el teorema del valor medio de Lagrange aplicado a las funciones ϕ(t) y ψ(t) en [ti−1, ti] ,

tenemosϕ(ti)− ϕ(ti−1) = ϕ′(ei)(ti − ti−1) = ϕ′(ci)4ti

para algun ci ∈ (ti−1, ti), y

ψ(ti)− ψ(ti−1) = ψ′(zi)(ti − ti−1) = ψ′(zi)4ti

para algun zi ∈ (ti−1, ti), de donde 〈12.2〉 pasa a ser

|IP | =n∑

i=1

√(ϕ′(ci)4ti)2 + (ψ′(zi)4ti)2 =

n∑

i=1

√(ϕ′(ci))2 + (ψ′(zi))24ti.

Pti−1Pc

PcPti

Pti−1Pti

Pti−1

Pc

Pti

Fig. 12.10.

Por otra parte, como ϕ′ y ψ′ son continuas en [α, β] , la funcion g(t) =√

(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2

es continua y, por tanto, integrable en [α, β] . Es decir, existe∫ β

α

√(ϕ′(t)) + (ψ′(t))2dt . Si

consideramos las sumas de Riemann asociadas a esta funcion, tenemos que

S(g, P,E) =n∑

i=1

√(ϕ′(ei))2 + (ψ′(ei))24ti

tomando particiones

mas finas→

∫ β

α

√(ϕ′(t)) + (ψ′(t))2dt,

por lo que esperamos que se verifique tambien que

|IP | =n∑

i=1

√(ϕ′(ci))2 + (ψ′(zi))24ti

tomando particiones

mas finas−→

∫ β

α

√(ϕ′(t)) + (ψ′(t))2dt.

Integral de una variable. 151

Page 14: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.3 Longitudes de arcos.

Se establece ası la siguiente definicion:

Definicion 12.18 – Si una curva viene dada por sus ecuaciones parametricas,

{x = ϕ(t)y = ψ(t)

, con

t ∈ [α, β] , siendo ϕ(t) y ψ(t) derivables con derivada continua, entonces la longitud de la curvaviene dada por

L =∣∣∣PαPβ

∣∣∣ =∫ β

α

√(ϕ(t))2 + (ψ(t))2dt.

Ejemplo 12.19 – Hallar la longitud de un arco de la cicloide

{x = a(t− sen t)y = a(1− cos t).

Solucion:En un arco de la cicloide, t ∈ [0, 2π] , luego y′ = a sen t y x′ = a(1− cos t), luego

L =∫ 2π

0

√(a(1− cos t))2 + (a sen t)2dt =

∫ 2π

0a√

2(1− cos t)dt =∫ 2π

0a

√sen2

t

2dt

= a

∫ 2π

0| sen t

2|dt = 2a

∫ π

0sen

t

2dt = 2a

(−2 cos

t

2

)]π

0= 4a.

12.3.2 Curva dada en explıcitas.

Si en polares una curva tiene por ecuacion explıcita y = f(x), donde f tiene derivada continuay esta definida en [a, b] . dicha curva se expresa en coordenadas parametricas de la forma{

x = t = ϕ(t)y = f(t) = ψ(t)

, con lo que ϕ′(t) = 1 y ψ′(t) = f ′(t), luego

L =∣∣∣PaPb

∣∣∣ =∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx.

Ejemplo 12.20 – Determinar la longitud del arco de la grafica de f(x) = x32 sobre el intervalo

[0, 4].Solucion:

f es continua en [0, 4] y f ′(x) = 32x

12 es tambien continua en [0, 4], luego

L =∫ 4

0

√1 +

(32x

12

)2dx =

∫ 4

0

12√

4 + 9xdx =(4 + 9x)

32

27

]4

0

=40

32 − 4

32

27.

12.3.3 Curva dada en polares.

Si en coordenadas polares una curva tiene por ecuacion r = f(θ), donde f tiene derivadacontinua y esta definida entre los valores extremos α y β del angulo polar, dicha curva seexpresa en coordenadas parametricas de la forma

{x = f(θ) cos θ = ϕ(θ)y = f(θ) sen θ = ψ(θ)

, con

{ϕ′(θ) = f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θψ′(θ) = f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ

,

luego

L =∫ β

α

√(f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ)2 + (f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ)2dθ =

∫ β

α

√(f ′(θ))2 + (f(θ))2dθ.

Integral de una variable. 152

Page 15: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.4 Area de una superficie de revolucion.

Ejemplo 12.21 – Hallar la longitud total de la curva r = a sen3 θ3 , con a > 0.

Solucion:Como r = a sen3 θ

3 y el seno es periodico de periodo 2π , basta para recorrer la curvacon tomar un periodo (si tomamos mas se sobre escribe la curva), es decir θ

3 ∈ [0, 2π] , luegoθ ∈ [0, 6π] . Ahora bien, como r es siempre positivo la funcion no tiene sentido si a sen3 θ

3 < 0por lo que ha de ser sen θ

3 ≥ 0, es decir, θ ∈ [0, 3π] . En consecuencia, toda la curva quedadescrita al variar θ de 0 a 3π . Entonces, como f(θ) = a sen3 θ

3 y f ′(θ) = a sen2 θ3 cos θ

3 , se tiene

que

L =∫ 3π

0

√a2 sen4 θ

3 cos2 θ3 + a2 sen6 θ

3dθ =∫ 3π

0

√a2 sen4 θ

3dθ =∫ 3π

0a sen2 θ

3dθ

=a

2

∫ 3π

0

(1− cos 2θ

3

)dθ =

a

2

(θ − 3

2 sen 2θ3

)]3π

0=

3aπ

2.

12.4 Area de una superficie de revolucion.

El area de una superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje de abcisas del arco decurva f(x) entre x = a y x = b , donde f admite derivada continua, se expresa por la formula

S = 2π

∫ b

af(x)

√1 + (f ′(x))2dx.

Cuando la ecuacion de la curva se da de otra forma, el area de la superficie se obtiene apartir de la ecuacion anterior efectuando los correspondientes cambios de variable (comentadosen el calculo de los volumenes de revolucion), obteniendose:

S = 2π

∫ β

αψ(x)

√(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2dt,

cuando

{x = ϕ(t)y = ψ(t)

, con t ∈ [α, β] . Y

S = 2π

∫ β

αf(θ) sen θ

√(f(θ))2 + (f ′(θ))2dθ,

cuando r = f(θ), con θ ∈ [α, β] .

Ejemplo 12.22 – Calcular el area de la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4.Solucion:

La esfera es una superficie de revolucion obtenida al girar el arco de curva y =√

4− x2 enel intervalo [−2, 2]. Luego

S = 2π

∫ 2

−2

√4− x2

√1 +

( −x√4− x2

)2

dx = 2π

∫ 2

−22dx = 16π.

Integral de una variable. 153

Page 16: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.5 Ejercicios.

Ejemplo 12.23 – Calcular el area de la superficie esferica engendrada al girar alrededor del eje

OX la curva dada por

{x = 2 cos ty = 2 sen t

, con t ∈ [0, π] .

Solucion:

S = 2π

∫ π

02 sen t

√(−2 sen t)2 + (2 cos t)2dt = 2π

∫ π

04 sen tdt = 16π.

Ejemplo 12.24 – Calcular el area de la superficie esferica engendrada al girar alrededor del ejeOX la curva en polares dada por r = 2, con θ ∈ [0, π] .Solucion:

S = 2π

∫ π

02 sen θ

√22 + 0dθ = 2π

∫ π

04 sen θdθ = 16π.

12.5 Ejercicios.

12.1 Comprobar que el area encerrado por la curva f(x) = pxn , con x ∈ [0, a] y n ∈ IN, esaf(a)n+1 .

12.2 Calcular el area de la region del primer cuadrante limitada por las curvas x2 + y2 = 3,y = 1

2x2 y x = 12y2 .

12.3 Calcular el area de la region del semiplano x ≥ 0 limitada por las curvas f(x) = ex

1+ex ,g(x) = 1

2(x2+x+1)y la recta x = 1.

12.4 Hallar el area encerrado por la elipse x2

a2 + y2

b2= 1.

12.5 Calcular el area encerrada por la curva y =√

1− x2 + arcsen√

x y el eje de abcisas.

12.6 Hallar el area contenida en el interior de la astroide x = a cos3 t , y = b sen3 t .

12.7 Hallar el area de la superficie comprendida entre el eje OX y un arco de la cicloidex = a(t− sen t), y = a(1− cos t).

12.8 Hallar el area encerrado por la curva, en polares, r = a cos 2θ .

12.9 Dadas las curvas en polares r = 3 cos θ y r = 1 + cos θ . Hallar el area del recinto comuna ambas.

12.10 Hallar el area de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y = a3

x2+a2 y el eje deabscisas.

12.11 Hallar el area que determinan las graficas de las funciones f(x) = chx y g(x) = | shx| .Hallar el volumen que genera el area limitada por las funciones anteriores entre x = 0 yx = 1 al girar alrededor del eje de abscisas.

12.12 La recta x = 2 divide al cırculo (x− 1)2 + y2 ≤ 4 en dos partes. Calcular el volumen delsolido generado al girar alrededor de la recta x = 2 la parte de mayor area.

12.13 Dada la curva y =√

x3

1−x , plantear mediante integrales dos formas distintas de calcular elarea comprendida entre la curva, la recta x = 1 y el eje de abscisas. Hacer lo mismo para elvolumen del solido que se obtiene al girar la superficie sobre la recta x = 1. Resolver esasintegrales utilizando las ecuaciones parametricas de la curva: x = sen2 t , y = sen2 t tg t ,con t ∈ [0, π

2 ).

Integral de una variable. 154

Page 17: Aplicaciones de la integral. - ma.uva.es · Tema 12 Aplicaciones de la integral. 12.1 Areas de superficies planas.´ 12.1.1 Funciones dadas de forma expl´ıcita. A la vista del

12.5 Ejercicios.

12.14 Hallar el volumen del elipsoide x2

a2 + y2

b2+ z2

c2= 1.

12.15 Hallar el volumen del segmento del paraboloide elıptico y2

2p + z2

2q = x interceptado por elplano x = a .

12.16 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja x2

a2 + y2

b2− z2

c2= 1 y

los planos z = 0 y z = h .

12.17 Hallar el volumen del cuerpo limitado por los cilindros: x2 + z2 = a2 e y2 + z2 = a2 .

12.18 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies z = x2 y z = 1− y2 a partir delarea de las secciones del cuerpo por planos paralelos al plano z = 0.

12.19 Calcular el volumen de cada una de las partes en que queda dividido un cilindro circularrecto de radio 2 y de altura 8 por un plano que, conteniendo un diametro de una de lasbases, es tangente a la otra base.

12.20 Sobre las cuerdas de la astroide x2/3 +y2/3 = 22/3 , paralelas al eje OX , se han construidounos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las cuerdas y los planos en quese encuentran son perpendiculares al plano XY . Hallar el volumen del cuerpo que formanestos cuadrados.

12.21 Un cırculo deformable se desplaza paralelamente al plano XZ de tal forma, que uno delos puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY y el centro recorre la elipsex2

a2 + y2

b2= 1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por el desplazamiento de dicho

cırculo.

12.22 El plano de un triangulo movil permanece perpendicular al diametro fijo de un cırculo deradio a . La base del triangulo es la cuerda correspondiente de dicho cırculo, mientras quesu vertice resbala por una recta paralela al diametro fijo que se encuentra a una distanciah del plano del cırculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado porel movimiento de este triangulo desde un extremo del diametro hasta el otro.

12.23 Sea S el recinto del plano limitado por la parabola y = 4 − x2 y el eje de abscisas.Para cada p > 0 consideramos los dos recintos en que la parabola y = px2 divide a S ,A(p) = {(x, y) ∈ S : y ≥ px2} y B(p) = {(x, y) ∈ S : y ≤ px2} .

a) Hallar p para que las areas de A(p) y B(p) sean iguales.

b) Hallar p para que al girar A(p) y B(P ) alrededor del eje de ordenadas obtengamossolidos de igual volumen.

12.24 Hallar el perımetro de uno de los triangulos curvilıneos limitado por el eje de abscisas ylas curvas y = ln | cosx| e y = ln | sen x| .

12.25 Hallar la longitud del arco de la curva x = a(t− sen t), y = a(1− cos t).

12.26 Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arquımedes r = aθ .

12.27 Hallar el area de la superficie del toro engendrado por la rotacion del cırculo (x−b)2+y2 =a2 , con b > a , alrededor del eje OY .

12.28 Hallar el area de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x =a(t− sen t), y = a(1− cos t) alrededor:a) del eje OX ; b) del eje OY ; c) de la tangente a la cicloide en su punto superior.

Integral de una variable. 155