APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS A AISLANTES CARGADOS

0in

EqAdE

Una de las aplicaciones de la Ley de Gauss se refiere al cálculo del campo eléctrico producido por una distribución de carga que posea un alto grado de simetría.

La estrategia al aplicar ésta ley se basa en seleccionar una superficie Gaussiana cuya alta simetría permita obtener cualquiera de las siguientes condiciones:

1. El valor del campo eléctrico puede considerarse, por simetría, como constante sobre toda la superficie.

2. El producto punto puede expresarse como un producto algebraico simple EdA porque E y dA son paralelos.

3. El producto punto es cero porque E y dA son perpendiculares.

4. Puede decirse que el campo sobre la superficie es cero.

Así, a partir de la ley de Gauss se puede determinar el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q.

CÁLCULO DEL CAMPO PRODUCIDO POR UNA CARGA PUNTUAL +

Para cada punto de la superficie es perpendicular a ellos, es decir, los vectores y son paralelos por lo tanto:

Pero para una esfera A = 4πr2 , luego , el flujo será iguala a:

EE Ad

EAdAEEdAEdAAdEe 0cos

2

220

2

0

0

2

44

:

:),4(

rQKE

rQK

rQErEQ

Entonces

QademásrE

e

e

ee

CAMPO PRODUCIDO POR UNA ESFERA CONDUCTORA

Considere una esfera sólida conductora de radio a que tiene una densidad de carga volumétrica uniforme y lleva una carga positiva total Q. Calcule la magnitud del campo eléctrico en:

a) un punto fuera de la esfera (r a )

b) Un punto sobre la esfera (r = a )

c) Un punto dentro de la esfera (r a )

22

2

4

)4(

rQKErEQ

rEEAdAEEdAAdE

e

o

e

Se entiende que equivale a una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.Si el punto está sobre la superficie entonces el campo se mide por la expresión:

2aQKE e

CAMPO EN UN PUNTO FUERA DE LA ESFERA

CAMPO EN PUNTO DENTRO DE LA ESFERA

En este caso, E = 0 ya que e =0 y la razón es porque los materiales conductores guardan su carga sobre su superficie y por lo tanto l superficie gaussiana considerada no encierra carga alguna luego 00

0

e

¿Qué ocurre si la esfera es no conductora y la carga está distribuida uniformemente en todo su volumen?

R/= Para los casos en donde el punto esta afuera o sobre la superficie de la esfera, las ecuaciones correspondientes para una esfera conductora , funcionan para esos mismos casos si la esfera es no conductora.

Sólo queda por analizar cuando el punto está dentro de la esfera, ya que en tal caso si hay carga contenida dentro de la superficie gaussiana considerada

Sea el volumen de la superficie gaussiana, el cual se expresa por: Además

'V3'

34 rV

3'' 3

4 rVqVq

Al hacer los análisis respectivos se obtiene que

00

3

2

0

2

334

4

4

rEr

rE

qrEdAEEdAAdE

Ahora bien, como por definición

Y dado que

3

34 a

QVQ

ek

41

0

Entonces se tiene que :

ek

ra

Q

E

413

34 3

Al simplificar se obtiene:

3aQrKE e Para r a

Variación del campo producido por una esfera no conductora

Encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una línea de carga positiva de longitud infinita cuya carga por unidad de longitud sea constante.

rlQkE

rlQ

rlQErlEQ

rlEEAAdE

e

e

24

22

2

2

000

Al observar el diagrama se concluye que E y dA son paralelosLuego:

Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor de carga positiva con densidad de carga superficial uniforme .

AQEEA

EAEAEA

e

e

022

2

02E

CAMPO PRODUCIDO POR UN PAR DE PLACAS PLANAS Y PARALELAS

En el centro: E + E = 2E

00222

E

0E