APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN FSICA

En fsica, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de unamagnitudo situacin. Lavelocidad(velocidad instantnea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el clculo) es la derivada, con respecto al tiempo, de la posicin de un objeto.

Laaceleracines la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto.

LaSobreaceleracino el tirn es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleracin de un objeto.

Por ejemplo, si la posicin de un objeto est determinada por la ecuacin:

Entonces la velocidad del objeto es:

La aceleracin del objeto es:

y el tirn del objeto es:

Si lavelocidadde unautoest dada como una funcin deltiempo, entonces la derivada de dicha funcin con respecto al tiempo, describe laaceleracindel auto como una funcin del tiempo.

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (e) y el tiempo transcurrido (t).

Velocidad instantnea

La velocidad instantnea es el lmite de la velocidad media cuando t tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Aceleracin instantnea

La aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Por tanto, la aceleracin es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo.

Aplicacin fsica de la derivadaSupongamos un mvil que se mueve y conocemos el espacio recorrido en funcin del tiempo s(t).La tasa de variacin media (TVM) de la funcins(t)en un intervalo(t0, t1)indica la velocidad media de dicho mvil entre los instantest0yt1.s'(t) es su velocidad en un instante cualquierat .s''(t) es su aceleracin en un instante cualquierat.Velocidad mediaPara encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un mvil entre dos instantes t0yt1= t0+ h(h = t1- t0)se recurre a la velocidad media:Indica la velocidad media de dicho mvil entre los instantest0yt0+ h.En general, esta velocidad media representa la tasa de variacin media (TVM) de la funcins(t)en un intervalo cualquiera.Velocidad instantneaPara encontrar la velocidad de un mvil en un momento determinadot = t0hallamos la velocidad instantnea:En general, v(t) = s'(t) es la velocidad instantnea para cualquier instante:AceleracinPara hallar la aceleracin de un mvil en un momento determinadot = t0:En general, s''(t) = v'(t) es la aceleracin para cualquier instante:Nomenclatura de LeibnizEn fsica es comn usar la siguiente nomenclatura para la derivada:Y para la segunda derivada:Clculo de la velocidad media, velocidad instantnea y aceleracinLa ecuacin del espacio recorrido por un mvil en funcin del tiempo es s(t) = 3t2- t + 3 , donde t se mide en segundos.1)Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .2)Halla la velocidad para t = 3 segundos.3)Demuestra que la aceleracin es constante para cualquier intervalo.

1)Halla la velocidad media en el intervalo [2 , 3] .

2)Halla la velocidad para t = 3 segundos.

Tambin podramos haber hallado la velocidad en t = 3 aplicando las reglas de derivacin:v(t0) = s'(t0) = 32t0- 1 = 6t0- 1y sustituyendo en t = 3 :v(3) = s'(3) = 63 - 1 = 17

3)Demuestra que la aceleracin es constante para cualquier intervalo.Para calcular la aceleracin tenemos que hallar:a = s''(t)s'(t) = 6t - 1s''(t) = 6La segunda derivada es constante igual a 6 , por lo que podemos afirmar que la aceleracin es constante para cualquier intervalo ( a = s''(t) ) .