APLICAÇÕES DA DERIVADA

5/13/2018 APLICA ES DA DERIVADA - slidepdf.com

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FUNDAÇÃO ESCOLA TÉCNICA LIBERATO SALZANO VIEIRA DA CUNHACURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA TURMA: 8131 1° SEMESTREDISCIPLINA: MATEMÁTICA PROFESSOR: JOSÉ CELMAR ROIR DA SILVA

APLICAÇÃO DA DERIVADA NA FÍSICA

1. VELOCIDADE. Estudando Cinemática observamos que a posição S de um ponto material que sedesloca sobre uma curva pode ser determinada em cada instante t . S é uma função de t .

( )t S → Função horária do movimento → ( ) ( )

t

S

t t

t S t S vm 0

0

∆

∆=

−

−=

Velocidade do móvel em 0t → ( )

( ) (

00

0

0

tS lim

t

S lim

t t t t t

t S t v o

→→∆

−

−=

∆

∆=

CONCLUSÃO. Podemos afirmar que a velocidade v de um ponto móvel em um instante 0t é igual à

derivada da função horária ( )t S no instante em que 0 t t = , ou seja:

( ( 00 t S t v ′=

2. ACELERAÇÃO.

v é uma função de t → ( )t v → Função da velocidade no ponto.

( ) (t

v

t t

t vt va

o

m

0

∆

∆=

−

−=

Aceleração do móvel em 0t →( )

( )

0

0

0

0

t lim

t

lim

t t t

t t

t vvvt ao

→→∆

−

−=

∆

∆=

CONCLUSÃO. Podemos afirmar que a aceleração de um ponto móvel no instante ot é igual à

derivada da função velocidade ( )t v no instante em que 0 t t =

, ou seja:

00 t vt a ′= ou 00

t S t a ′′=

OBSERVAÇÃO. Podemos afirmar, também, que a aceleração de um ponto móvel no instante ot é

igual à derivada segunda da função horária ( )t S no instante em que 0 t t = .

EXEMPLOS

1) Um ponto em movimento obedece à função horária t t S 3 2+= (S em metros e t em segundos).

Determinar a velocidade do móvel no instante st 4 = , aplicando derivada.



t t S 3 2+= ⇒ ( ) 3 2 += t t v → 4 =t ⇒ 3 42 +⋅=v ⇒ smv 11 =

2) Um móvel descreve uma curva segundo a função horária t senS 2 = (S em metros e t em

segundos). Determinar a velocidade do móvel no instante s4

π

=t , aplicando derivada.

t senS 2 = ⇒ ( ) t t v cos2 = →4

π

=t ⇒ 4

cos2 π

=v ⇒ 22

2 ⋅=v ⇒ smv 2 =

3) Um ponto em movimento tem velocidade variável de acordo com a função ( ) t t v = ( t em segundos

e v em metros por segundo). Determinar a sua aceleração no instante st 16 = , aplicando derivada.

( ) t t v = ⇒ ( ) 21 t t v = ⇒ ( ) 21

2

1 −= t t a ⇒ ( )

t t a

2

1 = ⇒ ( )

t

t t a

2 =

16 =t ⇒ 162

16

⋅=a ⇒ 2

8

1 sma =

4) Um móvel se desloca segundo a função horária ( ) 3 5 3 t t t S +−= ( t em segundos e S em metros).

Determinar a aceleração do móvel no instante st 3 = , aplicando derivada.

( ) 3 5 3 t t t S +−= ⇒ ( ) 2 3 5 t t S +−=′ ⇒ ( ) t t S 6 =′′ ⇒ ( ) t t a 6 =

3 =t ⇒ 36 ⋅=a ⇒ 2 18 sma =

EXERCÍCIOS

1) Um ponto móvel se desloca obedecendo a função horária 3 t S = ( t em segundos e S em metros).

Determinar a velocidade do ponto móvel no instante st 5 = .

2) Um ponto se desloca descrevendo uma curva segundo a função horária( )

2

5 1 t t t S +−= ( t em

segundos e S em metros). Determinar a velocidade do ponto no instante st 10 = .

3) Um corpo móvel percorre uma curva obedecendo a função horária ( ) 2 t t t S += ( t em segundos e

S em metros). Determinar a sua velocidade no instante st 4 = .

4) Um móvel percorre uma curva segundo a função horária ( ) t t S cos 2 += ( t em segundos e S em

metros). Determinar sua velocidade no instante st 6

π

= .

5) Determinar a velocidade no instante st 2 = de um móvel que se desloca segundo a função horária( ) t t t t S 2 ln 3

+−= ( t em segundos e S em metros).

2



6) Um móvel se desloca segundo a função horária ( ) 32 4 3 2 9 t t t t S −++= ( t em segundos e S

em metros). Determinar:a) A função velocidade instantânea.

b) A velocidade instantânea desse móvel (em metros por segundo) no instante st 2 = .

7) Um móvel tem velocidade variável segundo a função ( ) t t sent v cos += ( t em segundos e v em

metros por segundo). Determinar a sua aceleração no instante st 3

π

= .

8) Um ponto móvel tem a velocidade variável segundo a função ( ) ln 3 2 t t t v += ( t em segundos e v

em metros por segundo). Determinar sua aceleração no instante st 1 = .

9) Um móvel descreve uma curva segundo a função horária ( ) 32 t t t t S ++= ( t em segundos e S em metros). Determinar a sua aceleração no instante st 1 = .

10) Um ponto móvel se desloca segundo a função horária ( ) t t S cos2 −= ( t em segundos e S em

metros). Determinar a sua velocidade e a sua aceleração no instante st 3

π

= .

RESPOSTAS

1) smv 75 = 2) smv 15 =

3) smv 4

33

= 4) smv 2

1

−=

5) smv 2

27 = 6)a) ( ) 2 12 6 2 t t t v −+=

6)b) smv 34 −= )7 2 2

3 1 sma

−=

)8 2 7 sma = )9 2 8 sma =

)10 smv 3 =

2

1 sma=

VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO

1. FUNÇÃO CRESCENTE. Quando uma função é crescente num intervalo I do seu domínio, o valor de sua derivada num ponto qualquer desse intervalo I é positivo.

(( 111 , x f x P

(( 222 , x f x P

( 0 11 >=′ α tg x f

3



( 0 22 >=′ α tg x f

2. FUNÇÃO DECRESCENTE. Quando uma função é decrescente num intervalo I do seu domínio, ovalor de sua derivada num ponto qualquer desse intervalo I é negativo.

(( 111 , x f x P

(( 222 , x f x P

( 0 11 <=′ α tg x f

( 0 22 <=′ α tg x f

3. MÁXIMO RELATIVO. Seja f uma função derivável num intervalo aberto I e 0 x um ponto desse

intervalo. Temos:

( 0 0 =′ x f

( 0 1 >′ x f ( 01 xdeesquerdaà x

( 0 2

<′ x f

(

02 xdedireitaà x

CONCLUSÃO. ( ) x f ′ passa de positiva para negativa → 0 x é abscissa de PONTO MÁXIMO

RELATIVO.

4. MÍNIMO RELATIVO. Seja f uma função derivável num intervalo aberto I e 0 x um ponto desseintervalo. Temos:

( 0 0 =′ x f

( 0 1 <′ x f → ( 01 xdeesquerdaà x

( 0 2 >′ x f → ( 02 xdedireitaà x

CONCLUSÃO. ( ) x f ′ passa de negativa para positiva → 0 x é abscissa de PONTO MÍNIMORELATIVO.

4



5. PONTO DE INFLEXÃO. Nem máximo, nem mínimo. 0 x é a abscissa de um ponto de inflexão dafunção, quando:

( 0 101 >′⇒< x f x x

( 0 202 >′⇒> x f x x

( ) x f CRESCENTE

( 0 101 <′⇒< x f x x

( 0 202 <′⇒> x f x x

( ) x f DECRESCENTE

CONCLUSÃO. ( ) x f ′ passa de positiva para positiva ou de negativa para negativa.

OBSERVAÇÃO. As raízes (zeros) da ( ) x f ′ são os possíveis extremos de ( ) x f . Essas raízes de( ) x f ′ são denominadas PONTOS CRÍTICOS da função.

EXEMPLOS

1) Determinar o intervalo onde a função a seguir é crescente e o intervalo onde ela é decrescente.

( ) 6 5 2 +−= x x x f

2) Para que valores de x a função ( ) 3 x x f = é crescente.

3) Determinar as coordenadas dos pontos de máximo relativo e de mínimo relativo para a função:

( ) x x x x f 9 6 23 +−=

4) Estudar a variação da função ( ) x x x f 3 3−= e esboçar o seu gráfico.

5) Uma chapa de metal quadrada com cm18 de lado será transformada numa caixa sem tampa. Para isso,é necessário recortar quadradinhos dos cantos da chapa. Descobrir a medida dos lados dessesquadradinhos de modo que o volume seja o máximo possível.

RESPOSTAS

5



1) CRESCENTE → { }5,2 | >∈ x IR x DECRESCENTE → { }5,2 | <∈ x IR x

2) CRESCENTE → IR x ∈ OBSERVAÇÃO: ( )0 , 0 é ponto de inflexão.

3) MÁXIMO RELATIVO → ( )4 , 1 MÍNIMO RELATIVO → ( )0 , 3

4) CRESCENTE → { }1 1 | >−<∈ xou x IR x DECRESCENTE → { } 1 1 | <<−∈ x IR x

MÁXIMO RELATIVO → ( )2 , 1− MÍNIMO RELATIVO → ( )2 , 1 −

RAÍZES → 0 = x , 3 −= x ou 3 = x

5) cm x 3 = deve ser a medida dos lados dos quadradinhos que vão ser recortados, e o volume máximo possível é de 3

432 cm .

EXERCÍCIOS

1) Para cada função, apresentar o conjunto de números reais para os quais ela é crescente e para os quaisela é de decrescente.

a) ( ) 3 6 2 −+= x x x f b) ( ) 1 4 2 ++−= x x x f

c) ( ) 6 9 3 23 +−−= x x x x f d) ( ) 6 3 2 23 ++−= x x x f

2) Para cada função, determinar as coordenadas dos pontos de máximo e de mínimo relativos, casoexistam.

a) ( ) 6 3 3 +−= x x x f b) ( ) 1 3 3 23 ++−= x x x x f

c) ( ) 4 2 24 x x x f −= d) ( ) 3 2 34 ++= x x x f

3) Uma chapa de metal retangular cujos lados medem cm40 e cm60 será transformada num blocoretangular sem tampa, com o máximo volume possível. Para isso, é necessário que se recortemquadradinhos dos cantos da chapa. Descobrir a medida dos lados desses quadradinhos de modo que ovolume seja máximo.

4) Uma folha quadrada de papelão com cm12 de lado será transformada numa caixa (bloco retangular)sem tampa, com o máximo de volume possível. Para isso, é necessário que se recortem quadradinhosdos cantos da folha. Descobrir a medida dos lados desses quadradinhos e o volume máximo possível.

5) Um objeto é lançado obliquamente no espaço. A partir do solo, a sua altura é dada pela fórmula

( ) t t t h 100 10 2 +−= (h em metros e t em segundos). Quanto tempo depois do lançamento o objetoatinge a altura máxima? Qual é essa altura?

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