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Aplicações de Integral
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www.engenhariafacil.weebly.com
Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
Aplicações da Integral
(I) Área
(II) Volume de sólidos de Revolução
(III) Comprimento de Arco
(I) Área
Dada uma função positiva f(x), a área A entre o gráfico de f e o eixo x e as retas
x=a e x=b é dada por:
𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Generalizando, suponha que tem-se duas funções, e que 𝐹(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥),∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .
A área A entre o gráfico de g e as retas verticais x=a e x=b é dada por:
𝐴 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Sendo f(x) a função que está por cima durante o intervalo [a,b] e g(x) a função que está embaixo.
Exemplo 1: Calcule a área entre os gráficos das funções y=x² e y =2x-x².
Resposta:
Note que o enunciado não nos dá o intervalo, logo temos que a área entre os gráficos é
justamente a área gerada por duas interseções seguidas, logo,vamos resolver por passos para
você se habituar com a resolução destes tipo de questões.
Passo 1: Encontrar os pontos de interseção,achando a solução ao igualar uma das
componentes das funções (neste caso o y).
𝑦 = 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥²
2𝑥² = 2𝑥, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1
Passo 2: Encontrar qual função é maior entre os dois pontos de interseção,
substituindo valores na função entre os dois pontos (Neste caso, um valor possível
seria x=1/2 pois está entre 0 e 1).
𝑥 =1
2
𝑓 𝑥 = 𝑦 = 1
2 ² =
1
4
𝑔 𝑥 = 𝑦 = 2.1
2−
1
2 ² =
3
4
Logo, 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 ≥ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0,1
Passo 3: Integrar as funções de acordo com a definição dada anteriormente para
encontrar a área.
𝐴 = 2𝑥 − 𝑥2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1
0
(2𝑥 − 2𝑥²)𝑑𝑥1
0
=1
3
Dependendo da situação, pode ser melhor integrar com relação ao eixo y.
Exemplo 2:Encontre a área delimitada pelo gráfico das curvas 𝑦² = 2𝑥 + 6 𝑒 𝑦 = 𝑥 − 1.
Resposta:
→Percebe-se que é mais vantajoso integral a curva y²=2x+6 com relação ao eixo y(se
fossemos isolar o y,encontraríamos uma raiz quadrada,que é mais trabalhoso do que
um polinômio normal) ,então, a curva y=x-1 também deve ser integrada a esse mesmo
eixo.
Passo 1: Alterar as equações de y(x) para x(y) isolando o x ,e encontrar os pontos de
interseção em y.
𝑦² = 2𝑥 + 6 , 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 = 𝑦²
2− 3
𝑦 = 𝑥 − 1, 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑥, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 = 𝑦 + 1
A interseção é dada por:
𝑦2
2− 3 = 𝑦 + 1
Logo encontramos as raízes y=4 ou y=-2
Passo 2:Segue o mesmo procedimento do exemplo anterior.
Temos y=0 um valor intermediário entre [-2,4].
𝑥 𝑦 =𝑦2
2− 3, 𝑥 0 = −3
𝑥 𝑦 = 𝑦 + 1, 𝑥 0 = 1
Logo, durante o intervalo [-2,4], é válida a equação 𝑦 + 1 ≥𝑦2
2− 3
Passo 3:Integramos( função maior) –( função menor), como no exemplo anterior.
𝒚 + 𝟏 − 𝒚𝟐
𝟐− 𝟑 𝒅𝒚 = (−
𝒚𝟐
𝟐+ 𝒚 + 𝟒)
𝟒
−𝟐
𝟒
−𝟐
𝒅𝒚
Exercícios Recomendados:
1) (UFRJ-2013.2)
2) (UFRJ-2011.2)
3) Encontre a área delimitada pelas curvas indicadas:
a) 𝑦 = 12 − 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝑥2 − 6
b) 𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 𝑒 𝑥 = 0
c) 𝑦 = cos 𝜋𝑥 𝑒 𝑦 = 4𝑥2 − 1
d) 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑥 =𝜋
2
(II) Volume e de sólidos de Revolução
Neste capítulo estudaremos como utilizar integrais para calcular volume de superfícies
planas. Podemos calcular o Volume V, como:
𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Onde A(x) é a área de interseção do sólido com os planos perpendiculares que cruzam
o eixo no ponto x (seção transversal).
No exemplo do cilindro, calculamos 𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 sendo A(x)= Área do círculo
(seção transversal) que é constante durante todo o intervalo [a,b].
Exemplo 1: Calcule o volume da esfera de raio R.
Resposta:
Percebemos que a seção transversal (área de interseção do sólido com o plano perpendicular que cruza o
eixo no ponto x ) é:
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝜋𝑦², mas, y = 𝑅² − 𝑥²
Logo, A(x)=𝜋(𝑅2 − 𝑥2)
E o volume pode ser calculado por:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∶ 𝑉 = 𝜋 𝑅2 − 𝑥2 𝑑𝑥𝑅
−𝑅
=4
3𝜋𝑅³
Sólidos de Revolução
Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área
plana A ao redor de um eixo qualquer, como no exemplo abaixo.
A área plana A que temos é uma circunferência, e está sendo rotacionada no eixo y.
Exemplo 1:Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x
da região sob a curva y= 𝑥 ,o eixo x e as retas x=0 e x=1.
Curva y y rotacionada
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴(𝑥) = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝑦2 = 𝜋 𝑥 2
= 𝜋𝑥
Para determinar o volume, temos:
𝐴 𝑥 𝑑𝑥1
0
𝜋𝑥𝑑𝑥1
0
=𝜋
2
Sólidos que não são de revolução:
São sólidos como pirâmides, cubos, esferas, entre outros sólidos que não são gerados
por rotação em um eixo.
Exemplo 1: Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrada e lado l e altura h.
Resposta:
Utilizando a equação da reta y=ax como uma aresta da face lateral da pirâmide,
podemos desenhar a seguinte figura.
Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao
eixo y com alturas infinitesimais dx:
O volume dessa Área infinitesimal é V=l²dx
Tendo y=l/2 e substituindo na equação anterior, temos:
V=(4y²)dx
A soma dos infinitesimais volumes é dada por:
4𝑦²𝑑𝑥
0
= 4 𝑦²𝑑𝑥 =
0
4 𝑎²𝑥²𝑑𝑥 =4𝑎23
3
𝑥
0
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 =𝑦
=
𝑙
2, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑉 =4𝑎23
3=
4
3
𝑙2
4².³ =
𝑙2
3
𝑉 =𝑙2
3
Cálculo de Volume pelas Cascas Cilíndricas
O método de Cascas Cilíndricas é outra maneira para calcular volumes. Muitas vezes
calcular o volume pelo método anterior não é fácil e algumas vezes nem é possível.
Este método tem o objetivo de calcular o volume de sólidos somando cascas cilíndricas
finas que crescem de dentro pra fora do eixo de revolução.
Seguindo um rápido passo a passo você consegue resolver problemas desse tema:
Temos:
1° Passo: Desenhe a região e esboce um segmento de reta identificando o corte
paralelo ao eixo de rotação. Encontre o raio e altura da casca cilíndrica.
2° Passo: Determine os limites de integração para a variável em questão.
3° Passo: Integre o produto de 2π ⋅ raio ⋅ altura em relação a variável do problema.
A fórmula geral deste método é:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2𝜋𝑅𝐹 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Onde o R será o raio da rotação e o F(x) será a altura, isso ficará mais claro nos exemplos.
Exemplo 1:Encontre o volume do sólido obtido ao girar a região delimitada por y = f(x)
= 3x – x² gira em torno da reta x = -1.
Corte uma fatia cilíndrica (paralelamente ao eixo de revolução) na parte interna do sólido.Depois corte outra fatia em torno do primeiro corte, e assim por diante. Cada cilindro encontrado terá raio de aproximadamente 1+𝑥𝑘 , altura 3𝑥𝑘 -𝑥𝑘² e espessura dx.
Se desenrolássemos o cilindro em 𝑥𝑘 teriamos uma fatia retangular de espessura dx. O comprimento da circunferência interna do cilindro será 2π . R = 2 π ( 1+𝑥𝑘 ).Portanto, o volume do sólido retangular é:
∆V ≈ largura X altura X espessura ≈ 2 𝜋 ( 1 + 𝑥𝑘 ) . ( 3𝑥𝑘 − 𝑥𝑘²).𝑑𝑥
Somando todos os volumes ao longo de todo o intervalo de x obtemos uma soma de Riemann. Basta então aplicar o limite para dx tendendo a zero e obtemos a integral.
Os limites de integração são as interseções entre as duas curvas dadas(de onde até onde a será integral), nesse caso y=0 e y= 3x-x², logo os limites são 0 e 3.
Generalizando para x, temos:
2𝜋𝑅𝐹 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎
2 𝜋 ( 1 + 𝑥 ) . ( 3𝑥 − 𝑥²).𝑑𝑥3
0
Exemplo 2:Encontre o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região limitada por y=x-x² e y=0 em torno da reta x=2.
Temos a seguinte curva:
Vemos que o limite de integração entre y=x-x² e y=0 são 0 e 1.
Fazendo a rotação na reta vertical x=2, temos:
Neste caso , vemos que ao escolher um x arbitrário, o raio da rotação passa a ser 2-x e a altura a própria função x-x²-0 = x-x², aplicando na fórmula, temos:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2𝜋 2 − 𝑥 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥1
0
Exercícios:
4) (UFRJ-2013.2)
5) (UFRJ-2013.1)
6) (UFRJ-2012.2)
7) (UFRJ-2012.1)
8) (UFRJ-2011.2)
Comprimento de Arco
Vamos supor que uma curva f(x) qualquer seja uma linha. Se esticássemos esta linha e medíssemos com uma régua, encontraríamos o comprimento desta curva. Para determinar este comprimento, costumamos (no Cálculo I , apenas) utilizar a seguinte equação:
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐿 = 1 + (𝑓 ′ 𝑥 )²𝑑𝑥𝑏
𝑎
Exemplo 1: Calcule o comprimento da parábola x= y² do ponto (0,0) ao ponto (1,1). Logo, deve-se integrar com relação a y. F(y) = x= y² Aplicando na fórmula, temos:
𝐿 = 1 + 𝐹′ 𝑦 2𝑑𝑦 ,
1
0
𝐹 𝑦 = 2𝑦
𝐿 = 1 + 2𝑦 2𝑑𝑦 = 1 + 4𝑦²𝑑𝑦1
0
1
0
Exercícios: 9)(UFRJ-2013.2)
10)Encontre o comprimento exato das curvas:
a)y = 1 + 6x3
2 0 ≤ x ≤ 1
b)x =1
3 y y − 3 1 ≤ x ≤ 9
c)y = ln 1 − x2 ,0 ≤ x ≤1
2
Gabaritos:
Se tentarmos integrar com relação à x a
função seria y= 𝑥 ,e veríamos que não seria
possível esta integração por esta fórmula (essa
fórmula não é valida para qualquer função,veja
qual eixo é melhor para fazer a integral (x ou y)).
1)a) b) =4/3
2)1
2ln3 3)a) 72 b) e-2 c)
2
𝜋+
2
3 d)=
1
2 4)
𝜋
252 5)
𝜋2−𝜋
6 6)
4𝜋
15 7)2𝜋 8)±
1
𝜋+2
9) ln( 3 + 2) 10)a)2
243(82 82 − 1) b)
32
3 c) ln3 −
1
2
Bons Estudos!!
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