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APLICAÇÕES EM
ESCOAMENTOS COM RE<1
• Meios Porosos (Darcy)• Tubo de Seção Variável• Mancais• Hele shaw
MEIOS POROSOSESCOAMENTO DE DARCY
Porosidade (f)
Vs vol. sólidos
VV vol. vazios
Porosidade define a capacidade de armazenamento.
= f Vv / (VV +Vs)
Porosidade: arranjos com esferas arranjo geométrico granulometria
Porosidade não isotrópica
Grãos: Arranjo (tortuosidade) Cimentação (diminuição dos
poros)
Propriedade direcional! Intergranular ou fraturas
Clark, 1969 Clark, 1969
A lei de Darcy (1856)
k PQ A
L,
base de quase todos os métodos para a medição de permeabilidades!!!
Amyx (1960)
http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Darcy
Permeabilidade absoluta, k
Q Lk
A P
Permeabilidade k (m2) (wikipedia)
• Na geologia, a permeabilidade é a medida da capacidade de um material (tipicamente uma rocha) para transmitir fluídos. É de grande importância na determinação das características de fluxo dos hidrocarbonetos em reservatórios de petróleo e gás e da água nos aquíferos. A unidade de permeabilidade é o darcy ou, mais habitualmente, o mili-darcy ou md (1 darcy = 1 x 10-12.m2). A permeabilidade é usada para calcular taxas de fluxo através da lei de Darcy.
• Para que uma rocha seja considerada um reservatório de hidrocarbonetos explorável, a sua permeabilidade deve ser maior que cerca de 100 md (o valor exacto depende da natureza do hidrocarboneto - reservatórios de gás com permeabilidades mais baixas ainda são exploráveis devido à menor viscosidade do gás relativamente ao petróleo). Rochas com permeabilidades significativamente mais baixas que 100 md podem formar selos eficientes (ver geologia do petróleo). Areias não consolidadas podem ter permeabilidades de mais de 5000 md.
Ranges of common intrinsic permeabilities
• Source: wikipedia
Lei de Darcy• A velocidade média por unidade de área através de uma
coluna de material poroso é diretamente proporcional ao gradiente de pressão estabelecido através da coluna e inversamente proporcional a viscosidade do fluido, .
• k é o coef. Permeabilidade; unidades m2 ou Darcy;
• 1 Darcy é equivalente a 9.869233×10−13 m² ou 0.9869233 (µm)².
• Esta conversão é usualmente aproximada por 1 (µm)²
k dpu
dx
Lei de Darcy: um processo de média• Ela informa a velocidade média em um ponto no espaço
mesmo se naquele ponto haja um material sólido. • Ela trata os meios sólido e fluido como se fossem
interpenetrantes. • O resultado da lei de Darcy (empírica) equivale a uma média
na velocidade dentro da matriz porosa.• Na S.C. da figura a velocidade calculada é a média na seção
e não aquela que passa através dos poros.
k dpu
dx u u
Lei de Darcy
• A lei de Darcy (empírica) está fundamentada por escoamentos com ausência de termos inerciais.
• Considere ‘d’ uma dimensão representativa do espaço instersticial do material poroso; U a velocidade média do fluido entre os interstícios; então a razão:
• Onde d é estimado pelo coef. Permeabilidade:
• Desde que Red <<1 a equação que representa o escoamento passa a ser:
2p v r
2
2
Inércia U d Ud~ 1
Viscosos U d
:
d k
Lei de Darcy• Um detalhado conhecimento da distribuição espacial dos
interstícios não é disponível. Consequentemente o conhecimento da velocidade local também não será.
• Considerando o escoamento através de um grande número de poros pode-se tirar uma média espacial da velocidade.
• Se o meio for isotrópico (um gradP aplicado nas 3 direções produz a mesma vazão) pode-se re-escrever a equação q. movimento como:
• p e u representam a pressão e velocidade médias e k é a permeabilidade do meio
u k u kp ou u p desde que 1
k
rr
Flow Straigthner – aplicação em túneis de vento.
k equivalente (meio isotrópico)Leitos paralelos, submetidos a mesma diferença de pressão! hi = altura leito
O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e R=hi/ki
i i ii
p 1Q Q h k
L
k p
Q uh hL
k4, h4
k3, h3
k2, h2
k1, h1
Q1
Q2
Q3
Q4
Q1
Q2
Q3
Q4k, h=
ii i i i
k pQ u h h
L
i i
i
h kk
h
k equivalente (meio isotrópico)
k4h4
k3h3
k2 h2
k1h1q q
k, h
=
Leitos em série todos eles submetidos a mesma vazão!
ii
i
hp u
k
O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e R=hi/ki
ii
i i i
hp p u
k
ii
h p u
k
ii
i
i i
hk
hk
O potencial de Velocidades
• Considerando forças de campo, a velocidade pode ser expressa pelo gradiente da pressão modificada:
• Note que o campo de velocidades é irrotacional:
• e a equação da massa é satisfeita desde que o Laplaciano de seja nulo:
• Portanto é uma função potencial: o gradiente de expressa o campo de velocidades.
ku onde p gy
r r
ku 0
r
2ku 0
rg
Solução do Potencial de Velocidades
• A Equação de Laplace é uma equação elíptica e necessita de informação em todo contorno para ser resolvida:
2 0
n 0 para fronteira impermeáveisc.c. p const em superfícies livres.
Escoamento em um Poço Radial
2 1r 0
r r r
r A ln r B
r
P
Pw
Leitos em sérieLeitos paralelos
Calcule k p/ geometrias cilíndricas: série e paralelo.
i o
k pQ 2
ln r r
ri
ro
Considere a equação de Darcy dada por:
Aplicação em barragens
Extensão Lei de Darcy: Forchheimer (1901)
• Relação quadrática entre o gradiente de pressão e a velocidade. A forma mais comum é:
• O termo de Darcy e Forchheimer estão associados ao arrasto (ou resistência) que o meio poroso causa a passagem do fluido. A extensão de Forchheimer está associada ao arrasto de forma interno a matriz porosa e ajustada por meio do coeficiente da matriz, CF.
• Tanto a relação de Darcy quanto Forchheimer não possuem embasamento matemático/teórico, são relações empíricas.
F
U Uup C
k k
Tubo de Seção Variável (Batchelor)
Considere um tubo circular cujo raio ‘a’ varia lentamente ao longo da direção axial.
O escoamento ocorre em Regime Permanente. As extremidades do tubo estão a pressão constante. Como o raio do tubo varia com a posição axial, a = a(z), então o gradiente de pressão também varia com z.
ar
z
Análise de Ordem de Magnitude
O problema simplifica se pudermos desprezar os termos de inércia. Neste caso a solução reduz para a solução de Poiseuille. A questão é: quando a aproximação é válida?
1. Sabemos que se o raio ‘a’ for constante a solução de Poiseuilli é exata.
2. Queremos saber para qual taxa de variação de ‘a’ com ‘z’ ainda é válida a aproximação de inércia desprezível.
3. Para isto temos que determinar escalas para as velocidades axial e radial, W e V.
ar
z
Escalas de W e V
Tana=r/z << 1 ~ a
Dz
a-Dra
aW0
Escala da velocidade z : W0
Balanço de massa na direção z:
220 0
WW a W z a r
z
0
0
2 WWescala taxa de W em z:
z a
WWescala taxa de W em z:
r a
tan
Balanço de massa na direção r:
220 0W a a r V a r z
0 0escala de V : V 2 W tan
Escala da velocidade y: ?
Avaliação do Termo InercialO termo de inércia e viscoso eq. q. mov. na direção z:
Os termos inerciais são desprezíveis desde que .a Rea<<1 e << 1. A eq. q. movimento reduz para:
20
022
0
2 Wwescala de v
Wr a
a2 Wwescala de w
z a
tan
tan
2
2
w w 1 w w pv w r -
r z r r r zz
p 1 wr Poiseuille
z r r r
(desde que << 1)
Perfil de Velocidades (Batchelor)
Desprezando os termos de inércia, vamos encontrar a solução de Poiseuille:
ar
x
V V
2 2a rdp
w z rdz 4
,
A vazão é constante em qualquer seção do tubo:
4a
0
dp dz aQ w z r 2 rdr
8,
4dp 8
Qdz a z
Perfil de Velocidades (Batchelor)
Substituindo a definição de dp/dz no perfil de velocidade:
2 2
2a rW z r W z onde W z 2Q a z
4,
As linhas de corrente não são exatamente paralelas a z mas inclinadas pelo ângulo a. Existe uma componente radial v ~ aw, conhecendo-se w a velocidade v é estimada.
A queda de pressão vem do gradiente:
4dp 8
Qdx a x
2
1
z
1 2 4z
8 Q dzp p
a z
Influência do perfil a(z)A solução proposta é válida desde
que << 1 e tan( ).a Rea<<1.
Considere, por exemplo, um perfil linear em z, r(z) = a0 – a1.z; a1 = a0/10
2
1
z1 2
4z
p p dz
8 Qa z
O ut[4 3 ]=
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.00
0.50
0.20
0.30
0.15
0.70 2
1
z40 4
z
dza
a z
Z
A figura mostra que a diferença de pressão varia de forma não linear
arx
ESCOAMENTOS EM MANCAIS
EQUAÇÃO DE REYNOLDS
Equações de Reynolds e o Mancal de Deslizamento
Dedução a partir da aproximação por um escoamento de Couette + Poiseuille para Re << 1
• Perfil de velocidades adimensional para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas, placa superior movendo-se com velocidade U. Solução: superposição linear:
22u y y 1 dp a y y
U a U dx 2 a a
0 1 2 3
(y/a)
1
(u/U)
0dx
dp
0dx
dp
0dx
dp
Escoamento Plano: Superposição Linear E.D.O.
Poiseuille + Couette P + C
y = 0 u = 0 + u = 0 u = 0
y = a u = 0 + u = U u = U
c -dp/dx + 0 -dp/dx
u(y) +
Q +
2dP a y y1
dx 2 a a
a
yU
a
y
a
y
2
ac
a
yU
22
0dx
dP
dy
du
dy
d
aU
2
3dp a
dx 12
3dp a aU
dx 12 2
1. A figura representa um bloco estacionário com uma parede deslizante.
2. O contrário é possível, porém o problema passa a ser transiente. Neste caso é aconselhável fixar um referencial no bloco e a parede que se movimenta. Nesta configuração coincide com aquela proposta no 1º caso.
Man
cal d
e D
esliz
amen
to
A vazão por unidade de comprimento z:
3d
00
dp h 1Q udy U h
dx 12 2
Como a vazão independe de x isto requer que:
02 3
Udp 2Q6
dx h h
Mancal de Deslizamento
Aproximações:(i) d/L << 1, garante ausência de
efeitos de borda e que d2u/dy2 >> d2u/dx2;
(ii) Red.(d/L) << 1 garante inércia desprezível, sol. Poiseuille
Integrando a pressão em x teremos:
x x
0 0 2 30 0
dx dxp x p 6 U 12Q
h h
p0 é a pressão em x=0
Mancal de Deslizamento
02 3
Udp 2Q6
dx h h
Mancal de DeslizamentoVamos considerar uma variação linear de d com x
1 1 2h x h x onde = h -h L
A variação de pressão entre a entrada e saída passa a ser:
Considerando que a pressão em x = L também seja p0, então a vazão Q é dada por:
0 0 2 21 1
6 1 1 1 1p x p U Q
h h h h
1 20
1 2
h hQ U
h h
Mancal de DeslizamentoA variação de pressão passa a ser:
Note que p-p0>0 somente quando h1>h2.
1 200 2
1 2
h h h h6 Up x p
h h h
A pressão é gerada somente quando o movimento relativo entre as placas é capaz de arrastar fluido por meio das tensões viscosas da abertura mais larga para a mais estreita.
distribuição pressão
Note que p é inversamente proporcional a h2. Quanto menor for a folga maior será a pressão gerada.
Mancal de Deslizamento
A força normal exercida no bloco por unidade de largura
A força tangencial:
L1 20 1
0 22 1 20
d d6 U dp x p dx 2
d d dlog
L1 20 1
1 2 20 y d
d d2 U dudx 3
y d d dlog
hh L 1 e Re h L 1
Equ
ação
de
Rey
nold
s (1
886)
Condições de contorno u(0) = u0 e w(0) = 0u(h) = 0 e w(h) = 0
Equação de ReynoldsA equação da continuidade pode ser re-escrita termo a termo:
h h
0 00
h h
0 0
h
0
d du dhudy dy U h (T. Leibiniz)
dx dx dx
d dwwdy dy
dz dz
dvdy v h v 0 0
dy
h h
0 0
d dudy wdy 0
dx dz
Para bloco estacionário, a equação integral do volume na seção transversal (y) do mancal passa a ser:
Equação de ReynoldsObserve que os termos da integral representam as vazões na direção x e z, b é a largura do mancal na dir. Z
3 30
HidrodinâmicaHidrostática
d p d p dhh h 6 U
dx x dz z dx
Dependendo da ordem de magnitude dos termos o mancal pode ser governado por forças hidrostáticas ou hidrodinâmicas ou misto.
h h
x z0 0
d d d dubdy wbdy 0 Q Q 0
dx dz dx dz
Qx advém da superposição de Couette + Poiseuille dir X
3
x 0dP h h
Q b U bdx 12 2
Qz advém de Poiseuille dir. Z3
zdP h
Q bdz 12
• Esta é a Eq. de Reynolds (1886) para lubrificação em um canal variável h(x) com a parede inferior movendo-se com velocidade U0. Este é um modelo básico em lubrificação. • . A distribuição de pressão pode ser determinada
conhecendo-se a geometria e o movimento das paredes.
• A essência do fenômeno de lubrificação está na pequena espessura do filme que gera altas tensões no fluido que por sua vez gera elevadas pressões.
• A força motriz do escoamento é o movimento relativo entre as paredes.
HELESHAW FLOW
O aparato Hele-Shaw gera um escoamento dominado pela viscosidade que pode ser
visualizado como irrotacional (Potencial) em uma direção preferencial.
How to build• The cell consists primarily of two
transparent plates separated by a narrow gap. A thin spacer runs along the internal edges of the plates to maintain their separation and keep the fluid from leaking out. Air bubbles are introduced into the cell through a port along one of the edges. The fluid can be pushed or pulled through the cell by a pump connected to other ports. Alternatively, the cell can simply be propped up at a slant or mounted vertically so that gravity and buoyancy move the fluid and the bubbles.
FIM
