Aplicații ale numerelor complexe în geometrie · 2012-02-09 · Clasa a X-a 1) prof.dr.Manuela Prajea, C.N.Traian, Dr.Tr.-Severin, [email protected] (document în lucru) Page

Clasa a X-a

1) prof.dr.Manuela Prajea, C.N.Traian, Dr.Tr.-Severin, [email protected] (document în lucru) Page 1

Aplicații ale numerelor complexe în geometrie

de

Manuela Prajea 1)

Lecția de față iși propune să accesibilizeze metoda numerelor complexe în abordarea problemelor de

geometrie, gradual fiind introduse și aplicațiile ce urmează breviarului teoretic. Lecția se adresează elevilor

ce se pregătesc pentru examenul de bacalaureat sau admitere în învățământul superior în prima parte a ei,

urmând ca în partea a doua gradul de adresabilitate să devină unul excusivist, accesibil și util elevilor care

vizează olimpiadele școlare.

Summary:

În cele ce urmează vom considera reperul cartezian xOy și prin , , ,...a b c vom desemna afixele punctelor

, , ,...A B C .

Distanța dintre două puncte AB a b

Caracterizarea segmentului 0,1 : 1M AB t m t a tb

Caracterizarea dreptei : 1M AB t m t a tb

Caracterizarea semidreptei ( 0 : 1M AB t m t a tb

Afixul unui punct care împarte un segment într-un raport dat

, ,A B M coliniare ; 1

MA a kbk m

kMB

sau, altfel spus : 1

MAt m t a tb

AB

Măsura unui unghi ( ABC este pozitiv orientat) argc b

m ABCa b

Unghiul (pozitiv orientat) a două drepte , arga b

m AB CDc d

Coliniaritate *, ,b a

A B C coliniarec a

Paralelism *, ;a b

AB CD drepte distincte AB CDc d

Clasa a X-a


Perpendicularitate *a bAB CD i

c d

Conciclicitate *, , , :b a b d

A B C D conciclicec a c d

Triunghiuri asemenea (la fel orientate) 2 1 2 11 2 3 1 2 3

3 1 3 1

a a b bA A A B B B

a a b b

Triunghiuri asemenea (invers orientate) 2 1 2 11 2 3 1 2 3

3 1 3 1

a a b bA A A B B B

a a b b

Relația lui Sylvester 2h q a b c

unde ,H Q sunt ortocentrul, respectiv centrul cercului circumscris ABC

Aria unui triunghi

11

, 14

1

ABC

a a

S d d b b

c c

Rotația de centru A și unghi , cos sinAC R B c a b a i

Aplicații

1. a) Arătați că punctele (1 5 ), ( 1 ), ( 2 )A i B i C i sunt coliniare.

b) Precizați natura triunghiului ABC , unde (2 3 ), ( 1 2 ), (1)A i B i C .

c) Precizați natura triunghiului având vârfurile imaginile geometrice ale numerelor complexe

3 4 ,5 3 ,3 2i i i .

d) Mijloacele laturilor unui triunghi au afixele 2 , 1 2 , 2 3i i i . Aflați afixele vârfurilor sale.

e) Aflați aria triunghiului ABC știind că ( 2 3 ), ( 3 5 ), ( 1 )A i B i G i , G fiind centrul de greutate

al triunghiului ABC .

f) Dacă 1,3 , ( 5,1)A B , aflați afixul punctului C , unde , 3B AC CA CB .

g) Determinați m ABC știind că ( 7 4 ), ( 3 4 ), ( 7 8 )A i B i C i .

h) Arătați că AB CD , unde (2 ), ( 1 2 ), ( 1 2 ), ( 2 )A i B i C i D i .

k) Arătați că patrulaterul ABCDeste inscriptibil, unde (3 2 ), (2 ), ( 2 3 ), (1 2 )A i B i C i D i .

Clasa a X-a


2. Reprezentați în plan mulțimea punctelor al căror afix z satisfac:

a) 2 2z i b) 1 3z i c) 1 2z d) 2 3z i e) Re 3z f) Re 2,3z

g) Im 2z h) (Re , Im ) 2,4 2,4z z i)arg ,4

z O

j)3

arg4 2

z .

3. a) Dacă ( 1 2 ), (1 4 ), (5 )A i B i C i , aflați afixul vârfului D al paralelogramului ABCD .

b) Dacă , , ,A B C D sunt vârfurile unui paralelogram și (2 ), (1 5 ), ( 3 2 )A i B i C i , determinați

afixul celui de-al patrulea vârf D .

c) Dacă ( 2 ), (1 3 )A i B i , aflați afixele vârfurilor ,C D ale pătratului ABCD .

d) Dacă (3 4 ), (7 2 )A i C i , determinați afixele vârfurilor ,B D ale pătratului ABCD .

e) Dacă (1 ), ( 2 )A i B i , aflați afixul vârfului C al triunghiului echilateral ABC .

f) Determinați știind că imaginile geometrice ale numerelor complexe 3 2 , 1 2 ,1i i i

sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

g) Demonstrați că patrulaterul având afixele vârfurilor 2 4 , 1 5 , 2 , 3i i i i este dreptunghi.

h) Un pătrat are centrul în origine și un vârf de afix 1+2i. Aflați afixele celorlaltor vârfuri.

i) Determinați afixele centrului cercului circumscris respectiv ortocentrului unui triunghi ale cărui

vârfuri sunt imaginile geometrice ale numerelor: 2 2 , 2 6 , 7i i i .

j) Fie *,a b și 1 3

2 2i . Arătați că triunghiul având afixele vârfurilor 2, ,a b a b a b

este echilateral.

4. Aflați afixele vârfurilor triunghiului ABC știind că mijlocul laturii ( )BC are afixul 15i și centrul de

greutatea al triunghiului are afixul 5 22 .i

5. Fie ABCDE un pentagon convex și , , ,M N P Q mijloacele laturilor , , ,AB BC CD DA . Să se

arate că dreapta determinată de mijloacele segmentelor MP și NQ este paralelă cu dreapta

AE .

6. Să se determine valoarea minimă a modului numărului complex z a.î. 3 4 5z i z . (OJ)

7. Fie , , ,a b c d numere complexe distincte. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) a c b d

Clasa a X-a


(ii) a b c d b c d a

a b c d b c d a

. ( Concurs Interjudețean)

8. a) Dacă , ,a b c sunt numere complexe nenule și distincte a.î. a b c și 0a b c , arătați că

imaginile lor geometrice sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

b) Dacă , , ,a b c d sunt numere complexe nenule și distincte, având același modul si 0a b c d ,

arătați că ele sunt afixele vârfurilor unui dreptunghi.

9. Pe laturile ,AB AC ale ABC se consideră punctele ,M N a.î. 1MB NC

MA NA . Arătați că dreapta

MN conține centrul de greutate al ABC .

10. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD și , , ,A B C DH H H H ortocentrele triunghiurilor

, , ,BCD CDA DAB ABC . Arătați că patrulaterele , , ,A B C DH H H H și ABCD sunt congruente.

11. Fie ABCDpatrulater convex, punctele ,E F care împart laturile ,BC AD în același raport și

, ,M N P mijloacele segmentelor , ,AB DC EF . Arătați că , ,M N P sunt coliniare.

12. Pe laturile ,AB BC ale ABC se construiesc pătratele de centre ,D E a.î.punctele ,C D să fie de

aceeași parte a dreptei AB , iar punctele ,A E să fie de o parte și de alta a dreptei BC. Arătați că

0, 45m AC DE .

13. Se consideră un pentagon ABCDE înscris într-un cerc. Arătați că ortocentrele triunghiurilor

, , ,ABC ACD ADE ABE sunt vârfurile unui paralelogram. (Manuela Prajea, OL)

14. Fie ABC ascuțitunghic și ,O H centrul cercului circumscris respectiv ortocentrul său. Dacă

1 1 1, ,A B C sunt simetricele punctului O față de dreptele BC,CA,AB. Arătați că ,H O sunt centrul

cercului circumscris, respectiv ortocentrul 1 1 1.A B C (Manuela Prajea, OL)

15. În exteriorul paralelogramului ABCD se construiesc pătratele , , ,ABFE BCHG CDJI DALK de

centre 1 2 3 4, , ,O O O O . Arătați că:

(i) 1 2 3 4OO O O este pătrat

(ii) BNDM este dreptunghi, unde ,N DH BI M BL DE .

16. Fie triunghiul ABC și , ,a b c afixele vârfurilor sale. Arătați că următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) ABC este echilateral

(ii) a b b c c a

Clasa a X-a


(iii) 2 2 2a b c ab bc ca

17. Fie triunghiul ABC pozitiv orientat și , ,a b c afixele vârfurilor sale. Arătați că următoarele afirmații

sunt echivalente:

(i) ABC este echilateral

(ii) 2 2 20, cos sin

3 3a b c i

(iii) 2 2 2a b c ab bc ca

18. ( Teorema lui Pappus ) Dacă punctele , ,M N P împart laturile ABC în același raport 1k ,

atunci ABC și MNP au același centru de greutate.

19 . În exteriorul ABC se construiesc triunghiurile , ,AMB BPC CQA a.î. AM BP CQ

BM CP AQ și

AMB BPC CQA . Arătați că mijloacele segmentelor , , ,AC MC BC PQ sunt vârfurile unui

paralelogram.

20. Dacă , ,a b c sunt numere complexe, demonstrați că următoarele afirmații sunt echivalente :

(i) a b b c c a (ii) 2 2 2a b c b c a c a b

21. Arătați că, oricare ar fi ,u v avem : arg argu v u v u v

22. Fie , , ,a b c d numere complexe de același modul a.î. .a b c d Să se arate că unul din numerele

, ,a b c este egal cu .d (OJ)

23. a) Fie *,a b a.î. a b a b . Să se determine n cu proprietatea că n na b .

b) Fie *,a b a.î. a b a b . Să se determine n cu proprietatea că n na b . (OJ)

24. Fie *, ,a b c distincte două câte două a.î. ab bc ca . Arătați că , ,a b c sunt afixele vârfurilor unui

triunghi echilateral.

25. Fie , ,a b c afixele vârfurilor triunghiurilor ABC și ,k k a b c . Dacă punctele , ,A B C au

afixele 2 2 2, ,a ka bc b kb ca c kc ab , atunci ABC A B C . (OJ)

26. Fie *, ,a b c a.î. a b c și 0a b c . Arătați că 3a b b c c a a . (OJ)

Clasa a X-a


27. Se consideră triunghiurile echilaterale , ,OAB OCD OEF și , ,M N P mijloacele segmentelor

, ,BC DE FA . Arătați că triunghiul MNP este echilateral.

28. În exteriorul ABC se construiesc triunghiurile echilaterale ABP și ACQ .Dacă , ,X Y Z sunt respectiv

mijloacele segmentelor , ,BC AP AQ , arătați că XYZ este echilateral.

29. Fie ABCDpatrulater convex a.î. AB BC AD și fie M mijlocul lui CD . Dacă MA MB arătați că

ABCDeste trapez. (OJ)

30. Fie , , ,M N P Q centrele celor patru pătrate construite pe laturile unui paralelogram în exteriorul

acestuia. Arătați că MNPQ este pătrat.

31. Fie ,ABCD AEFG două pătrate la fel orientate având interioarele disjuncte și fie ,P Q mijlocul

segmentului DE respectiv piciorul perpendicularei din A pe dreapta BG . Să se arate că punctele

, ,A P Q sunt coliniare.

32. Fie , , ,M N P Q centrele a patru pătrate construite pe laturile , , ,AB BC CD DA ale

patrulaterului convex ABCD . Arătați că diagonalele patrulaterului MNPQ sunt congruente și

perpendiculare.

33. Fie ABCDEF un hexagon având AB CD EF r și care este înscris în cercul de rază r . Arătați că

XYZ este echilateral , unde , ,X Y Z sunt mijloacele laturilor , ,BC DE FA .

34. Fie , , , , ,M N P Q R S puncte situate pe laturile , ,AB BC CA și care împart aceste laturi în câte trei

segmente congruente. În exteriorul ABC se construiesc triunghiurile echilaterale , ,MNX PQY RSZ .

Arătați că XYZ este echilateral.

35. Se consideră punctele coliniare , ,A B C în această ordine. De aceeași parte a dreptei AB construim

triunghiurile echilaterale ,ABP BCQ . Dacă ,E F sunt mijloacele segmentelor ,AQ CP , arătați că

EBF este echilateral.

36. În exteriorul paralelogramului ABCD se construiesc triunghiurile echilaterale ,ABE CDF și tot în

exterior, pe laturile ,AD BC se construiesc pătratele de centre ,G H . Arătați că patrulaterul

EHFG este paralelogram.

37. Fie ABC dreptunghic și AD înălțimea corespunzătoare ipotenuzei BC . Arătați că BE AF ,

unde ,E F sunt mijloacele ,AD CD .

Clasa a X-a


38. Fie ABCDun pătrat de centru O și ,E F mijloacele segmentelor ,BO CD . Arătați că AEF este

dreptunghic și isoscel.

39. Fie ABC ascuțitunghic și triunghiurile dreptunghice isoscele , ,ABX BCY CAZ având unghiurile drepte

în , ,X Y Z a.î. , ,A C Z sunt în semiplanul determinat de AC care conține punctul B . Arătați că punctele

, ,X Y Z sunt coliniare.

40. Fie ABC și pătratele ,BCKL ACMN construite în exteriorul ABC . Arătați că , / 2CP AB CP AB ,

unde P este mijlocul segmentului KM .

41. Pe laturile ABC se construiesc în exterior două pătrate având centrele în ,P Q și fie S mijlocul laturii

BC .Arătați că SPQ este dreptunghic isoscel.

42. Dacă ABCDeste un paralelogram și MNPQ un paralelogram înscris în paralelogramul dat ( adică

vârfurile acestuia se găsesc respectiv pe laturile paralelogramului inițial ), arătați că cele două

paralelograme au același centru.

43. Fie M un punct situat pe cercul circumscris ABC echilateral . Dacă R este raza cercului circumscris,

arătați că 2 2 2 26MA MB MC R .

44. (Problema piesei de 5 lei- Gh.Țițeica) Trei cercuri congruente și secante două câte două au un punct

comun și se mai intersectează două câte două în punctele , ,A B C . Arătați că cercul circumscris

ABC este congruent cu cercurile date.

45. Fie patrulaterul ABCD , G centrul de greutate al BCD și H ortocentrul ACD . Arătați că

ABGH este paralelogram d.n.d. G este centrul cercului circumscris ACD . (OJ)

46. Fie ABCDun patrulater convex a.î. ,BC CD M situat de aceeați parte a dreptei AB ca și punctul D

a.î. , .MA MB AMB BCD Dacă 3 / 3MC AD , determinați măsura BCD . (OJ)

47. În exteriorul ABC se construiesc triunghiurile echilaterale , ,ABM BCN ACP și fie Q simetricul lui

N fața de A . Arătați că QMP este echilateral.

48. Pe laturile ABC se construiesc ,ABM BCN echilaterale a.î. ,M C sunt situate de aceeași parte a

dreptei AB iar ,A N sunt de de o parte și de alta a dreptei BC . Arătați că dreptele ,MN AC formează

un unghi de măsură 0

60 .

49. În exteriorul patrulaterului convex ABCD se construiesc triunghiurile echilaterale

, , ,ABM BCN CDP DAQ . Să se arate că patrulaterele ABCD și MNPQ au același centru de greutate.

50. În exteriorul ABC se construiesc triunghiurile , ,ABX BCY CAZ a.î.

Clasa a X-a


0 0 045 , 30 , 15 .m YBC m CAZ m BCY m ZCA m ABX m XAB

Arătați că 090m ZXY și XZ XY .

51. Dacă PA și PB sunt tangentele duse la cercul unitate din punctul P , arătați că 2ab

pa b

, unde

, ,a b p sunt afixele punctelor considerate. (OJ)

52. Se consideră pentagonul inscriptibil .ABCDE Notăm cu 1 2 3 4 5, , , ,H H H H H ortocentrele triunghiurilor

, , , ,ABC BCD CDE DEA EAB și cu 1 2 3 4 5, , , ,M M M M M mijloacele laturilor , , ,DE EA AB BC și respectiv

.CD Arătați că dreptele 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5, , , ,H M H M H M H M H M sunt concurente. (Dinu Șerbănescu, ON)

53. a) Arătați că: 0z a b c z b c a z c a b , , , .a b z

b) ( Teorema lui Pompeiu ) Dacă ABC este echilateral și M este un punct nesituat pe cercul său

circumscris, atunci există un triunghi având lungimile laturilor egale cu , , .MA MB MC

54. Se consideră triunghiul ABC având , ,BC a CA b AB c și fie , ,A B Cz z z afixele vârfurilor , , .A B C

Arătați că ABC este echilateral d.n.d. 0.A B B C C Aab z z bc z z ca z z

(Manuela Prajea,Petre Sergescu)

55. (Teorema lui Miquel ) Dacă , ,M N P sunt puncte arbitrare pe laturile , ,BC CA AB ale ABC ,

atunci cercurile circumscrise triunghiurilor , ,ANP BPM CMN au un punct comun.

56. Fie A o mulțime având proprietățile: (i) dacă 1 2,z z A , atunci 1 2z z A

(ii) dacă 1z , atunci z A Arătați că A . (Marcel Țena,ON)

57. În exteriorul triunghiului neechilateral ABC se consideră triunghiurile asemenea , ,ABM BCN CAP

a.î. MPN să fie echilateral. Să se determine măsurile unghiurilor , , .ABM BCN CAP

(Nicolae Bourbăcuț, ON)

58. Fie , 1,5iz i numere complexe nenule de același modul și 5 5

2

1 1

0.i i

i i

z z

Demonstrați că 1 5,...,z z

sunt afixele vârfurilor unui pentagon regulat. (Daniel Jinga,ON)

59. Fie triunghiul ascuțitunghic ,ABC AA înălțime și , .B AC C AB Să se arate că A A este

bisectoarea B A C d.n.d.dreptele , ,AA BB CC sunt concurente. (Manuela Prajea, GM)

Clasa a X-a


60. Pe laturile patrulaterului convex ABCD se construiesc triunghiurile echilaterale

, , ,ABE BCG CDF ADH a.î. doar triunghiurile ,BCG ADH să nu aibă puncte comune cu interiorul

patrulaterului. Să se arate că:

(i) patrulaterul EFGH este paralelogram, eventual degenerat.

(ii) EFGH dreptunghi d.n.d. , .6

AC BD

(Manuela Prajea)

61. Fie hexagonul regulat ABCDEF și ,M AC N CE a.î. .AM CN

kAC CE

Determinați k a.î. punctele

, ,B M N să fie coliniare. (OIM)

62. Fie P un punct situat în interiorul triunghiului ABC și fie , ,A B C intersecțiile dreptelor , ,AP BP CP cu

dreptele , ,BC AC AB respectiv. Dacă P este centrul cercului înscris triunghiului A B C atunci P este

ortocentrul triunghiului .ABC (Manuela Prajea, Concursul GM-etapa finală)

63. Fie ABC , P Int ABC a.î. PAC PBC și ,L M proiecțiile punctului P pe ,BC CA . Dacă D

este mijlocul lui AB , să se arate că DL DM . (Short List OIM)

64. Fie ABCDE un pentagon convex și , , , ,M N P Q R mijloacele , , , ,AB BC CD DE EA respectiv.

Dacă segmentele , , ,AP BQ CR DM au un punct comun, arătați că acest punct aparține și

segmentului EN . (Short List OIM)

65. a)Fie *

1 2 3 1 2 3, , ,z z z z z z a.î. 1 2 3 0.z z z Să se arate că punctele 1 1 2 2 3 3, ( ), ( )A z A z A z

sunt vârfurile unui triunghi echilateral.

b)Fie , 3n n și fie 1n

nU z z mulțimea rădăcinilor de ordinul n ale unității. Să se

determine numărul maxim de elemente ale unei mulțimi nA U cu proprietatea că 1 2 3 0z z z pentru

orice 1 2 3, , .z z z A (Vasile Pop,ON)

66. Dacă 1 2, ,..., na a a sunt afixele vârfurilor unui poligon convex pozitiv orientat, atunci aria sa este:

1 1 1

1

1Im , .

2

n

k k n

i

S a a a a

67. Fie ABCDpatrulater convex și .E AD BC Dacă ,P Q sunt mijloacele diagonalelor ,BD AC

arătați că 1

.4

PEQ ABCDS S

Documents

Aplicații ale numerelor complexe în geometrie · 2012-02-09 · Clasa a X-a 1) prof.dr.Manuela Prajea, C.N.Traian, Dr.Tr.-Severin, [email protected] (document în lucru) Page