Aplicarea instrumentarului matematic n Teoria economic

n ultimii 100 ani matematica a ocupat un loc central n Teoria economic. Dac comparm revistele economice de referin de la nceputul i finele secolului XX, diferena este colosal: n anii 30 nivelul de aplicare al instrumentarului matematic n ele era de 10%, n timp ce n 1980 el a ajuns la 75%. Aceeai tendin caracterizeaz i manualele de Teorie economic de orice nivel.

Matematizarea Teoriei economice: aspect istoric

Metodele matematice au obinut un statut deosebit n Teoria economic n ajunul revoluiei marginaliste, dei primii economiti-matematicieni sunt considerai W.Whewell (O expunere matematic a unor teze ale economiei politice, 1829) i A.Cournot (Principiile matematice ale teoriei bogiilor, 1838).

Preocuprile pentru aplicarea matematicii la cercetarea economic au contribuit la formarea, n ultima treime a secolului al XIX-lea, a colii matematice, care trecea pe planul doi latura calitativ a fenomenelor, fiind interesat cu predilecie de raporturile cantitative. n acest cadru se nscriu lucrrile lui S.Jevons (Teoria economiei politice, 1871), L.Walras (Elemente de economie politic pur, 1874-1877) i V.Pareto (Curs de economie politic, 1896).n acea perioad se considera c teoria economic, ca tiin, trebuie s-i ocupe locul n rndul tiinelor exacte. Modalitate de atingere a acestui scop era considerat aplicarea matematicii. L.Walras meniona c doar matematica permite nelegerea esenei fenomenelor economice, el elabornd un model matematic al echilibrului economic general sub forma unui sistem de ecuaii.

Asemenea abordare a generat unele reacii critice. Reprezentanii colii istorice germane menionau, c teoria economic este bazat pe inducie, adic pe legitile empirice, i nu pe deducie. Pornind de la aceasta ei acordau o atenie deosebit colectrii datelor, i nu formulrii teoriilor abstracte, fie ele exprimate n form matematic sau nu. Teoreticienii colii austriece, n frunte cu C.Menger, dei aplicau abordarea deductiv, evitau matematizarea enunurilor economice, considernd c oamenii sunt fiine creative, comportamentul lor neputnd fi reflectat i descris prin date numerice.

n secolul XX, printre cei mai de seam promotori ai aplicrii metodelor i modelelor matematice n economie se numr J.M.Keynes, R.Frisch, J.Tinbergen, von Neuman, W.Leontief, T.Koopmans, R.Harrod, J.Hicks, etc. Acordarea Premiilor Nobel n economie, n principal economitilor matematicieni, a ncurajat i mai mult aplicarea instrumentarului matematic n economie.

Matematizarea n teoria economic: aspect metodologic

Muli oameni, nu numai studenii nceptori, sunt deranjai de utilizarea matematicii n raionamentul economic, ns patru probleme metodologice pot fi evideniate n aprarea ei.

n primul rnd, ne-am putea ntreba dac putem nelege comportamentul uman destul de bine, astfel nct s fim capabili s construim teorii utile despre el. Aceasta are de-a face cu capacitatea noastr de a cunoate, i nu cu limbajul pe care ar trebui s-l utilizm pentru a exprima cunotinele dobndite.

n al doilea rnd, am putea pune problema dac este posibil s formulm presupuneri despre comportamentul uman n termeni matematici. Matematica este doar un alt limbaj, ca engleza sau franceza, dei mai precis dect orice alt limbaj din vorbirea curent. Orice ipotez despre cum sunt relaionate dou sau mai multe lucruri poate fi exprimat matematic.

n al treilea rnd, ne-am putea ntreba dac complexitatea comportamentului uman face matematica mai puin potrivit dect un limbaj verbal. Exprimarea verbal poate fi uneori att de vag nct s ascund netiina noastr. Exprimarea matematic este mai precis dect exprimarea verbal. Nu doar o relaie ntre dou sau mai multe lucruri poate fi expus matematic, ci i orice condiii pentru aceast relaie pot fi de asemenea stabilite matematic, dac relaia este bine neleas.

n al patrulea rnd, caracteristic a raionamentelor verbale sunt permanentele discuii asupra terminologiei utilizate, care uneori prevaleaz discuiile ce in de obiectul discutat. Economia matematizat, din contra, permite a aplica un limbaj clar al comunicrii tiinifice, comun pentru toate rile; a evita greelile n baza tehnicilor riguroase a demonstrrilor; a utiliza unul i acelai model pentru analiza diferitor fenomene doar prin schimbarea simbolurilor.

Prin urmare, matematica nu este nici creatoarea, nici distrugtoarea Teoriei economice. Ea este doar un mod de exprimare precis i concis i un instrument eficient pentru deducerea concluziilor din ipoteze. Ipotezele nerelevante i incorecte faptic vor conduce la concluzii nerelevante sau incorecte faptic, oricare ar fi instrumentele logice utilizate pentru a le deduce. Dup cum meniona M.Allais, eroarea adversarilor utilizrii instrumentarului matematic n tiina economic este de a nu cunoate posibilitile vaste pe care el le ofer; eroarea unor matematicieni const n a lua drept scop ceea ce nu este i nu poate fi dect un mijloc.

ANEXE MATEMATICE

Variabilele i interpretarea graficelor Anumite concepte matematice i reprezentri grafice sunt ntlnite frecvent n analiza economic. n anexele ce urmeaz le vom aborda pe scurt pe cele mai frecvent folosite n acest manual. Fiecare student trebuie s stpneasc tehnicile elementare descrise n ele nainte de a finisa studierea cursului introductiv de Teorie economic. Cei care au avut dificulti cu matematicile la coal, trebuie s studieze anexele propuse cu mare atenie i s revin la ele ori de cte ori va fi necesar.

Grafice i variabileGraficul este o diagram care reflect legtura existent ntre dou sau mai multe variabile. Linia orizontal a graficului este cunoscut sub denumirea de axa absciselor (axa Ox), linia vertical sub denumirea de axa ordonatelor (axa Oy), iar punctul unde se unesc ele se numete origine.

O variabil este ceva ce poate fi definit i msurat. Cele mai importante variabile studiate n Teoria economic sunt preul, cantitatea, venitul, costurile de producie .a. Cnd dou variabile, x i y, sunt corelate ntr-un anumit fel, matematicienii spun c exist o coresponden, sau relaie ntre ele. Cnd relaia este n aa fel nct fiecrei valori a variabilei x (argument) i corespunde o valoare, i numai una, a variabilei y, atunci se spune c y este o funcie de x. De exemplu, n relaia:

y = a + bx + cx2y este funcie de x deoarece fiecare valoare a lui x d natere la o valoare, i numai una, a lui y. Variabila din partea stng a ecuaiei este numit variabila dependent, de vreme ce valoarea sa depinde de valoarea variabilei din partea dreapt. Variabila din dreapta este numit variabil independent, de vreme ce poate lua orice valoare.

Atunci cnd scriem relaia dintre y i x, exprimm o relaie funcional ntre cele dou variabile:

y = f (x)Litera f ne spune c o cunoatere a valorii variabilei (sau variabilelor) din partea dreapt ne permite s determinm valoarea variabilei din partea stnga. Dei, n acest caz, a fost utilizat litera f (care vine de la funcie), orice simbol convenabil poate fi utilizat pentru a desemna existena unei relaii funcionale (adesea sunt utilizate (literele greceti).

Relaiile dintre variabilele economice se reprezint, grafic, sub forma unor linii drepte sau curbe. Acest lucru se poate observa chiar n primul grafic pe care l-ai ntlnit n acest manual aa-numita curb a posibilitilor de producie (CPP).

Figura 1.1. Curba posibilitilor de producieFigura 1 evideniaz relaia dintre producia maxim de gru i producia maxim de porumb, care poate fi obinut cu resursele economice i tehnologiile disponibile. Relaia dintre cele dou variabile poate fi pus n eviden i cu ajutorul pantei graficului.

PantePanta unei linii reflect schimbarea mrimii unei variabile n momentul modificrii celeilalte variabile. Mai precis, ea reflect schimbarea mrimii variabilei y de pe axa vertical n momentul n care variabile x de pe axa orizontal i modific mrimea cu o unitate.

Putem folosi figura 2 pentru a arta cum se msoar panta unei linii drepte (de exemplu, panta liniei care unete punctele B i D).

a) relaie invers

Figura 1.2. Calculul pantei unei linii drepte S ne nchipuim c deplasarea din punctul B n punctul D se realizeaz n dou etape. Iniial are loc o deplasare pe orizontal, de la punctul B la punctul C, care corespunde creterii cu o unitate a valorii lui x (valoarea lui y nu se schimb). Apoi are loc o deplasare pe vertical, n sus sau n jos (vezi sgeata marcat cu s din figura 1.2). Astfel, am ajuns dintr-un punct situat pe dreapta respectiv n alt punct situat pe aceeai dreapt.

Deoarece deplasarea din B n C corespunde creterii cu o unitate a lui x, lungimea vectorului CD din figura 1.2 indic variaia lui y produs de modificarea cu o unitate a lui x. Din punct de vedere grafic, aceast variaie poart denumirea de pant a liniei ABDE.

Adeseori, panta este definit drept raportul dintre nlime i baz. nlimea reprezint distana msurat pe vertical; n figura 1.2 ea este dat de distana dintre punctul C i punctul D. Baza reprezint distana msurat pe orizontal, respectiv lungimea vectorului BC din figura 1.2. Respectiv, panta segmentului BD este dat de raportul CD / BC.

Referitor la panta unei drepte, trebuie de reinut urmtoarele:

1. Ea indic natura relaiei dintre x i y (direct sau invers proporional). Ea este direct cnd ambele variabile se mic n acelai sens (cresc sau scad, fig.1.2b) i invers cnd variabilele se mic n sensuri opuse (o variabil crete i cealalt scade, fig.1.2a).

2. Dac o mare modificare a valorii variabilei y corespunde unei slabe modificri a valorii variabilei x, panta liniei devine abrupt; dac o mic modificare a valorii variabilei y corespunde unei importante modificri a valorii variabilei x, panta liniei devine plat.

Figura 1.3. Pante drepte i plate 3. Dac, la modificarea cu o unitate a lui x valoarea lui y rmne constant, se spune c dreapta are o pant nul, iar dac unei valori date a lui x i corespunde un numr extrem de mare a valorilor lui y, panta dreptei tinde spre infinit (figura 1.4).

4. Panta unei linii drepte este aceeai n orice punct de pe dreapt.

Figura 1.4. Pante atipice ale dependenelor lineare n viaa real, dependenele ntre variabilele economice poart un caracter mult mai complex, nonliniar, ele fiind reprezentate, grafic, prin linii curbe, mai des hiperbole rectangulare (figura 1.5) i parabole (figura 1.8).

Pentru a determina panta unei curbe ntr-un punct oarecare al acesteia, trebuie s determinm panta unei drepte care atinge curba n punctul respectiv, fr s-o intersecteze. Aceast dreapt este cunoscut sub denumirea de tangent.

a) relaie pozitivb) relaie negativ

Figura 1.5. Determinarea pantei unei linii curbe de tip hiperbol Pentru a determina panta n punctul B din figura 1.5a, construim n acel punct tangenta E. Apoi calculm panta tangentei folosind tehnica unghiului drept descris anterior, ea fiind raportul FB / GF. n mod similar, tangenta E din figura 1.4b ne ajut s determinm panta curbei n punctul B pentru o relaie invers dintre variabilele x i y.

Pantele curbelor pot fi cresctoare i descresctoare. n cazul cnd la o modificare constant a valorii lui x valoarea lui y se modific n ritmuri sporite, avem o pant cresctoare. i invers, n cazul cnd la o modificare constant a valorii lui x valoarea lui y se modific cu ritmuri din ce n ce mai mici, avem o pant descresctoare.

Figura 1.6. Tipul pantelor n cazul dependenelor directe ntre variabilele economice

Figura 1.7. Tipul pantelor n cazul dependenelor inverse ntre variabilele economice

Un alt exemplu de pant al unui grafic neliniar este prezentat n figura 1.8. Aici putem observa curbe tipice pentru studiul microeconomic: ele au forma unui clopot cu maximul sau minimul n punctul C.

Figura 1.8. Pantele curbelor de tip parabolPutem folosi metoda tangentei pentru a vedea c panta curbei este ntotdeauna pozitiv n zona ascendent a acesteia i negativ n zona descendent. n punctul maxim sau minim al curbei panta este nul. Aceasta nseamn c o deplasare foarte mic a variabilei x n jurul punctului de maxim/minim nu afecteaz valoarea variabilei y.

Panta liniilor drepte sau curbe poate fi exprimat sub form numeric. Variaia (modificrile) variabilelor x i y sunt reflectate prin litera greac ( (delta). Astfel, (y semnific variaia valorii variabilei msurate pe axa ordonatelor, iar (x variaia valorii variabilei msurate pe axa absciselor. Ca urmare, panta (m) relaiei dintre variabilele x i y poate fi calculat cu ajutorul urmtoarei ecuaii:

pentru o dependen direct ;

pentru o dependen invers.

Noiunea de funcie i prezentarea ei grafic

Dependena valorii y de valoarea x se numete funcional, dac fiecrei valori analizate a mrimii x i corespunde anumit valoare mrimii y:

y = f (x)

Funcia poate fi definit prin cteva modaliti: grafic, analitic, prin tabel i alte. Pentru prezentarea vizuala a funciei se folosete modalitatea grafic, datorit creia materialul studiat devine mai disponibil i clar. Graficul funciei y = f (x) aceasta e o mulime de puncte pe suprafaa coordonatei (xi, yi).

Sub sistemul coordonatelor din plan se nelege posibilitatea care permite descrierea numeric a locului punctului pe plan. Unul dintre aceste sisteme reprezint sistemul de coordonate dreptunghiular (cartezian).

Figura 1.9. Sistemul cartezian de coordonate

Sistemul de coordonate dreptunghiular este definit n doua drepte perpendiculare una pe cealalt axe, la care la fiecare dintre ele sunt alese valorile pozitive i unitatea de lungime. Una din axe se numete abscisa(axa Ox), cealalt ordonata (axa Oy). Axa abscisa este plasata de obicei orizontal i orientat spre dreapta, iar axa ordonata vertical i orientat n sus. Punctul de intersecie a axelor se numete origine. (des. 11.1) Axele coordonatelor mpart planul n patru regiuni sferturi (sau cadrane). Fiecrui punct din sistemul coordonatelor i corespunde o pereche de coordonate (x, y), i invers, fiecrei perechi de coordonate i corespunde un punct din sistem.

Dac variabilele y i x sunt direct proporionale, adic la cretere (sau micorare) valorii x valoarea y de asemenea crete (sau se micoreaz), atunci dependena funcionala ntre dnsele se poate exprimat prin ecuaia urmtoare:

y = a x, a>0 (a 0, dreapta creeaz un unghi ascuit cu axa abscisa.

Dac k < 0, dreapta creeaz un unghi obtuz cu axa abscisa.

Dac k = 0, dreapta e paralel axei abscisa.

Dac b = 0, dreapta trece prin originea coordinatelor.

Toate graficele funciilor liniare care au acelai coeficient unghiular sunt paralele. Graficul funciei liniare poate fi construit prin mai multe metode.

Prin doua puncte. Pentru aceasta se aleg arbitrare (comode pentru construire) valorilor abscisa x1 i x2, si se gsesc ordonatele corespunztoare:

y1 = kx1 + b, y2 = kx2 + bPe planul coordonatelor se determin punctele (x1, y1), (x2, y2) i prin ele se trage o dreapt. Aceasta i va fi graficul dorit linie dreapt.

Prin intersectarea cu axele. In ecuaie: y = k x + b nlocuiesc x1 = 0, iar pe urma y2 = 0. Se obin doua puncte (0; y1) , (x2; 0). Se gsesc pe axele coordonatelor i se trage prin ele linia dreapt.

Prin coeficientul unghiular. Pe planul coordonatelor se construiete punct necondiionat al dreptei. Prin punctul acesta tragem o dreapt care creeaz un unghi cu axa OX, tangenta cruia e egal cu a.

Prin orice punct (x1, y1) pe planul trece numai o dreapt cu coeficientul unghiular k. Aceast dreapt se exprim prin ecuaia:

y = k (x x1) + y1De exemplu, prin punctul (5, -2) trece dreapta

Y = k (x 5) 2Pentru determinarea coeficientului unghiular al dreptei trebuie sa tim dou puncte pe planul coordonatelor prin care trece dreapta. Dac graficul funciei liniare trece prin punctele (x1, y1) si (x2, y2), atunci coeficientul unghiular al dreptei se determin prin formul:

De exemplu, pentru dreapta care trece prin punctele (5, -2) i (10, 4) coeficientul unghiular k se determin n felul urmtor:

Coeficientul unghiular al dreptei reprezint tangenta unghiului creat cu aceast dreapt si orientarea pozitiv a axei OX. De exemplu, se d o funcie liniar:

y = -5x + 10S artm graficul acestei funcii pe planul coordonatelor. Cea mai simpl metod e gsirea punctelor intersectrii dreptei cu axele coordonatelor. (des. 11.3.):

x = 0 y = 10,

y = 0 x = 2.

Figura 1.11. Graficul funciei liniare y = -5x + 10

Din rezultatul pe planul triunghiului se observ c

Prin urmare, unghiul e egal cu: k= tg = -5.

Dac dreapta este paralel axei OX, atunci unghiul creat de aceast dreapt cu orientare pozitiv a axei OX e egal cu zero. nseamn c,

Adic coeficientul unghiular e egal cu zero.

Figura 1.12. Graficul funciei liniare y = ADac graficul funciei liniare e dreapt perpendicular axei OX, atunci n cazul acesta ea constituie un unghi drept cu axa OX i prin urmare, k = tag = .

Figura 1.13. Graficul funciei liniare x = Atiind coordinatele a dou puncte putem determina nu numai coeficientul unghiului graficului funciei liniare, dar i sa compunem ecuaia ei. Dac funcia liniar trece prin punctele (x1, y1) i (x2, y2), atunci ecuaia arat n felul urmtor:

De exemplu, sunt date coordonatele (5, 1) i (3, 6). Atunci dup substituirea coordonatelor punctelor n ecuaie obinem:

Dup substituire obinem:

Funciile analizate pn acum sunt drepte liniare adic funcii de exemplu: y = kx+b. ns dac variabilele y i x sunt invers proporionale, adic la creterea lui x se micoreaz y, iar la micorarea lui x crete y, atunci dependena funcional ntre ei se exprim prin funcia urmtoare: y = k / x.

Proprietile principale ale funciei y = k/x sunt:

Regiunea determinrii mulimea tuturor numerelor reale n afara de zero.

y = k/x e o funcie impar (deoarece f(-x) = k/(-x) = -k/x = -f(x)).

Dac k > 0, atunci funcia y = k/x se micoreaz (-; 0) i (0; +). Dac k < 0, atunci funcia y = k/x crete (- ; 0) i (0; +).

Graficul funciei y = k/x se numete hiperbola. Cnd k > 0 ramurile graficului invers proporionale se afl n cadranele I i III ale planului.

Figura 1.14. Graficul funciei y = k/x pentru k > 0Dac k < 0 atunci ramurile graficului invers proporionale se afl n cadranele II i IV ale planului.

Figura 1.15. Graficul funciei y = k/x pentru k < 0 nclinarea funciei liniare e constant n timp ce nclinarea funciei neliniare se schimba din punct n punct. De aceea nclinarea curbei se msoar n punctul. Pentru aceasta se folosete noiunea de tangent.Tangent e o linie care atinge curba la un punct unic i nu intersecteaz curba (des. 11.8).

Figura 1.16. Tangent la curb n punctul ADerivata i proprietile ei

Se presupune c funcia y = f(x) e definit n intervalul X i sunt date dou valori ale argumentului: x1 i x2. Lor le corespund doua valori ale funciei: y1 = f(x1)i Y2 =f(x2). Diferena x = x2 x1 nseamn variaia argumentului, iar y = y2 y1 = f = f(x2) f(x1) variaia funciei. Determinnd raportul y/x se poate de msurat gradul sensibilitii absolute variabilei y la schimbarea variabilei x sau viteza schimbrii funciei n cteva puncte.Derivata unei funcii ntr-un punct semnific rata modificrii valorii funciei. Procesul stabilirii derivatei se numete difereniere, iar procesul opus integrare. Derivarea funciei y = f(x) n punctul x se numete limit (dac exist) raportului dintre creterea funciei i creterea argumentului y/x n punctul acesta, cnd creterea variabilei tinde ctre zero x 0. Aceasta poate fi notat n felul urmtor:

Dac aceast limit e final atunci funcia f(x) se numete difereniat n punctul x0 i n acelai timp n acest punct ea e neaprat continua.

Derivata este simbolizat prin y, f(x0), df/dx. Geometric derivata funciei dy e creterea ordinatei tangentei graficul funciei n punctul dat la schimbarea valorii abscise ctre dx.

Sensul geometric derivatei const n aceea c derivata e coeficientul unghiular al tangentei n raport cu curba y=f(x) n punctul dat x0. Dac derivata y(x) este o funcie difereniat atunci derivata de la y(x) se numete a dou derivata: y''(x) = (y'(x))'

A doua derivata reflect viteza schimbrii primii derivate sau cum se mai spune accelerarea schimbrii funciei date.Regulile simple gsirii derivatelor:

1. Derivata constantei e egal cu zero.

y = c (c - constanta)y' =0

Exemplu: y = 10, y' = 02. Derivata sumei (diferenei) e egal sumei (diferenei) derivatelor.y = u v

y = u v

Exemplu: y = 7x + 2, u = 7x, v =2.

y= (7x) + (2) = 7

3. Derivata . a dou funcii difereniate u(x) i v(x) n punctul dat e egaly = u * v

y = uv + u v

Exemplu:y = 5x, u = 5, v = x

y = (5)x + 5 (x) = 0*x + 5*1 = 54. Derivata parial a dou funcii:

Exemplu: , u = 5x, v = 3 4x

5. Radicalul derivatei:

y = xn

y = n xn-1Exemplu: y = x10y = 10 x9tiind cum s gsim derivata funciei y = f (x) se poate de determinat valoarea x care maximizeaz sau minimizeaz y. n punctul maxim (minim) al funciei y = f (x) valoarea primei derivate pe x e egal cu zero i respectiv panta funciei y e egala cu zero. Folosind a doua derivata se poate determina dac punctul acesta al determinrii este punctul limit. De exemplu, este dat urmtoare funcie:

y = -100 + 200x 10x2cnd y = 200 20x

Egalm derivata cu zero si atunci: 200 20x = 0 x = 100.Urmtorul pas e determinarea derivatei a dou a funciei y pe x care arat dac limita e maxim sau minim. A doua derivata e ntotdeauna negativ n punctul maxim i minim. Pentru funcia menionat mai sus derivata e egal cu -20. n aa fel cnd x =10, funcia y va avea valoarea maxim.

Integral nedefinitn multe cazuri nu trebuie sa cutm derivata funciei date F(x), ci invers, trebuie s gsim funcia F(x) tiind derivata ei F'(x) = f(x) (sau difereniala). Funcia cutat F(x) se numete primitiva funciei f(x). Se d la un interval (a, b) continu a funciei f(x). Trebuie s gsim aa funcie F(x) la care derivata ei F'(x) sau difereniala s fie legate cu relaii corespunztoare: F'(x) = f(x); dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx n intervalul (a, b).De exemplu, funcia F(x) = x2/2 este primitiva pentru funcia f(x) = x pentru c (x2/2)' = x.Funcia f(x) poate avea diferite primitive, dar toate ele se difereniaz una de cealalt numai prin constanta C; adic dac F(x) e primitiva pentru f(x) atunci F(x) + C tot e primitiva pentru f(x). Toate primitivele funciei f(x) sunt cuprinse n expresia F(x) + C care se numete integrala nedefinit a funciei f(x) i se exprim prin simbolul f(x) dx.n aa fel dup definiie f(x)dx= F(x)+C, unde F'(x) = f(x).Aici f(x) se numete funcie (), f(x)dx exprexie (), x ( ), - semnul integralei nedefinite.Procesul determinrii a unei integrale nedefinite se numete integrare. Din punct de vedere geometric integrala nedefinit prezint o familie curbelor fiecare dintre care se primete n rezultatul micrii unei din curbe paralel nsuii ei pe axa Oy.Proprietile principale ale integralei nedefinite

1. Numrul constant poate fi scos n afara semnului de integral.Dac funcia f(x) are primitiva la intervalul X i k numr, atunci:

2. Suma integralului este egala sumei integralelor.

Dac funcia f(x) i g(x) au primitive la intervalul X, atunci:

3. Derivata de la integrala e egal cu funcia ()

4. Integrala de la difereniala funciei e egal acestei funcii plus o constant.

Dac funcia f(x) e nentrerupt pe intervalul X i se difereniaz n punctele interioare acestui interval, atunci:

y

x

A

B

(

( C

D

y

x

s

A

B

1 C

D

E

y

x

s

A

B

1 C

D

E

y

x

linie

plat

linie

abrupt

y

x

linie plat

linie

abrupt

y

x

panta = 0

y

x

panta ( (

y

x

G

A

B

C

F

E

y

x

A

B

G

F

E

C

y

x

pant cresctoare

y

x

pant descresctoare

y

x

pant cresctoare

y

x

pant descresctoare

y

x

pant

pozitiv

pant

negativ

pant nul

C

max

A

( B

( D

E

y

x

pant

pozitiv

pant

negativ

C

pant nul

min

A

( B

D (

E

Berliant M.,Foreword //Schofield N. Mathematical Methods in Economics and Social Choice. Berlin and Heidelberg: Springer, 2004

Lipsey R.G., Chrystal K.A. Economia pozitiv, Buc., Economica, 1999

Allais M. Traite deconomie pure. Paris, 1952

_1358598424.unknown

_1358598465.unknown