Aplicatii ale integralei definite

Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann

Aplicaii ale integralei definite La baza dezvoltrii calculului integral a stat calculul ariilor unor suprafee plane i de rotaie sau al volumelor unor corpuri de rotaie. Primele metode ce permit calculul ariilor unor suprafee plane au fost date de Arhimede, ns progrese n aceast direcie s-au fcut mult mai trziu, dup ce Newton i Leibniz au pus bazele calculului diferenial i integral. Cauchy i Riemann au fost cei care au fundamentat teoria clasic a integralei pentru o funcie real de o variabil real. Apoi, Lebesgue, n lucrarea sa de doctorat, aprut n 1902, iniiaz teoria modern a noiunilor de integral, lungime i arie.1. Calculul ariilor mulimilor cuprinse ntre dou curbe Fie i dou numere reale, . S considerm n planul xOy mulimea mrginit de axa Ox, dreptele de ecuaii i graficul unei funcii continue i pozitive .Din punct de vedere analitic, . Mulimea se numete subgraficul funciei .O prim problem se pune n calculul ariei mulimii . Un mod intuitiv de rezolvare este urmtorul:fie o diviziune oarecare a intervalului i puncte luate aleator, .Vom nota cu dreptunghiurile ce au ca baz intervalul i nlimile :

Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann

Atunci, din punct de vedere geometric, suma reprezint suma ariilor dreptunghiurilor . Intuitiv, considernd diviziuni de norm din ce n ce mai mic, sumele aproximeaz cu o eroare din ce n ce mai mic aria mulimii . Cum reprezint o sum Riemann, iar este continu, deci integrabil, cele prezentate arat c aria mulimii se calculeaz cu formula Pentru o demonstraie riguroas a formulei de mai sus avem nevoie de anumite pregtiri:Vom nota cu submulimea planului ce are ca elemente mulimi plane care sunt reuniuni finite de dreptunghiuri pline cu laturile paralele cu axele de coordonate, dreptunghiuri care au dou cte dou n comun cel mult o latur. Mulimea vid se consider o mulime din , ea identificndu-se practic cu dreptunghiul de arie nul. Dac mulimea este din , vom scrie , prin aceasta nelegnd c sunt dreptunghiuri pline ce au proprietile de mai sus.Definiia 1. Fie o mulime din . Se definete aria mulimii prin egalitatea .Observaii: Fie i dou submulimi din .1. Aria lui nu depinde de scrierea , n sensul c dac are o alt scriere, de forma , atunci .2. dac i numai dac mulimile i au cel mult n comun laturi ale unor dreptunghiuri care le definesc.3. Dac , atunci i .Calculul ariilor multimilor cuprinse intre doua curbe: definirea ariei unei multimi din plan ca limita unui sir de arii de reuniuni finite de dreptunghiuri, aria subgraficului unei functii continue si pozitive este egala cu integrala Riemann a acelei functii, demonstratie; aria multimii determinate de graficele a doua functii continue egala cu integrala Riemann a modulului diferentei celor doua functii, exemple. Volumul corpurilor de rotatie: definirea volumului unui corp de rotatie ca limita unui sir de volume de reuniuni finite de cilindrii plini; volumul unui corp de rotatie determinat de o functie continua este egal cu integrala Riemann a patratului acelei functii inmultita cu constanta pi, demonstratie; volumul unui corp de rotatie marginit de suprafetele obtinute prin rotatia graficelor a doua functii continue este egal cu integrala Riemann a diferentei patratelor celor doua functii inmultita cu constanta pi, exemple. Lungimea graficului unei functii derivabile cu derivate continua: definirea lungimii graficului unei functii derivabile cu derivate continua ca limita a lungimilor liniilor poligonale ce au varfurile pe grafic si teorema de calcul al acestei lungimi cu demonstratie; exemple. Aria suprafetelor de rotatie: definirea ariei suprafetei de rotatie a graficului unei functii continue si pozitive ca limita unui sir de arii ale suprafetelor de rotatie a liniilor poligonale corespunzatoare si teorema de calcul a acestei arii cu demonstratie, exemple.Domenii: Aplicatii ale integrabilei Riemann

Definiia 2. Spunem c o mulime mrginit din plan are arie dac exist dou iruri i de elemente din astfel nct:1) , pentru orice ;2) irurile , sunt convergente i . n acest caz, definim aria mulimii astfel:.Observaii: Fie i dou mulimi mrginite din plan.1. Definiia ariei mulimii nu depinde de irurile i . Mai exact, dac i sunt alte dou iruri cu elemente din ce satisfac condiiile 1) i 2) din definiia 2., atunci .2. Dac i au arie, atunci i au arie. n plus, dac , atunci i .Teorema 1: Fie o funcie continu i pozitiv, unde cu .Atunci , subgraficul funciei , are arie i .