Aplicatii ale marimilor medii in practica

October 5, 2012

Aplicatii ale marimilor medii in practica

Calculul marimilor medii

Consideram o serie de marimi individuale x1, · · · , xn care caracterizeaza evolutiaunui fenomen economic, tehnic sau de orice alta natura. Cu ajutorul acestormarimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu:

media aritmetica simpla:

ma =x1 + x2 + · · ·+ xn

n

Exemplu: in cinci ani consecutivi o �rma a vandut respectiv 1500,1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare. Se cere numarul mediuanual de calculatoare vandute.

media aritmetica ponderata se foloseste in cazul in care inseria de marimi date unele dintre ele se repeta de mai multeori (ponderea mi arata ca marimea xi se repeta de mi ori):

map =m1x1 + m2x2 + · · ·+ mnxn

m1 + · · ·+ mn, mi > 0, i ∈ 1, n

Exemplu: un grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu laolimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei. Se cere sumade bani medie care revine �ecarui elev.

Calculul marimilor medii

Consideram o serie de marimi individuale x1, · · · , xn care caracterizeaza evolutiaunui fenomen economic, tehnic sau de orice alta natura. Cu ajutorul acestormarimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu:

media aritmetica simpla:

ma =x1 + x2 + · · ·+ xn

n

Exemplu: in cinci ani consecutivi o �rma a vandut respectiv 1500,1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare. Se cere numarul mediuanual de calculatoare vandute.

media aritmetica ponderata se foloseste in cazul in care inseria de marimi date unele dintre ele se repeta de mai multeori (ponderea mi arata ca marimea xi se repeta de mi ori):

map =m1x1 + m2x2 + · · ·+ mnxn

m1 + · · ·+ mn, mi > 0, i ∈ 1, n

Exemplu: un grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu laolimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei. Se cere sumade bani medie care revine �ecarui elev.

Calculul marimilor medii

Consideram o serie de marimi individuale x1, · · · , xn care caracterizeaza evolutiaunui fenomen economic, tehnic sau de orice alta natura. Cu ajutorul acestormarimi putem calcula mai multe tipuri de marimi medii, de exemplu:

media aritmetica simpla:

ma =x1 + x2 + · · ·+ xn

n

Exemplu: in cinci ani consecutivi o �rma a vandut respectiv 1500,1900, 2400, 3200 si 4000 calculatoare. Se cere numarul mediuanual de calculatoare vandute.

media aritmetica ponderata se foloseste in cazul in care inseria de marimi date unele dintre ele se repeta de mai multeori (ponderea mi arata ca marimea xi se repeta de mi ori):

map =m1x1 + m2x2 + · · ·+ mnxn

m1 + · · ·+ mn, mi > 0, i ∈ 1, n

Exemplu: un grup de 40, 20, 60 elevi au primit ca premiu laolimpiada de matematica respectiv 300, 200, 100 lei. Se cere sumade bani medie care revine �ecarui elev.

Ponderarea se poate face si cu raportul procentual al �ecarei ponderi fata desuma lor:

map =x1

m1Pn

i=1 mi

· 100 + x2m2Pn

i=1 mi

· 100 + · · ·+ xnmnPn

i=1 mi

· 100100

.

Numerele pk = mmPn

i=1mi· 100 se numesc ponderi procentuale si ele sunt in

general numere de doua, trei cifre.

media armonica simpla

mh =n

1

x1+ 1

x2+ · · ·+ 1

xn

Exemplu: Pretul de cost al unui produs similar la trei fabrici diferitea fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata. (El difera de la ointreprindere la alta deoarece depinde de modul de organizare alproductiei, de gradul de mecanizare al productiei, de randamentulmasinilor folosite, de gradul de cali�care al muncitorilor, etc.)Totalul cheltuielilor efectuate pentru realizarea acelei productii la�ecare din cele trei fabrici a fost acelasi. Care este pretul de costmediu al acelui produs la cele trei fabrici?

Ponderarea se poate face si cu raportul procentual al �ecarei ponderi fata desuma lor:

map =x1

m1Pn

i=1 mi

· 100 + x2m2Pn

i=1 mi

· 100 + · · ·+ xnmnPn

i=1 mi

· 100100

.

Numerele pk = mmPn

i=1mi· 100 se numesc ponderi procentuale si ele sunt in

general numere de doua, trei cifre.

media armonica simpla

mh =n

1

x1+ 1

x2+ · · ·+ 1

xn

Exemplu: Pretul de cost al unui produs similar la trei fabrici diferitea fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata. (El difera de la ointreprindere la alta deoarece depinde de modul de organizare alproductiei, de gradul de mecanizare al productiei, de randamentulmasinilor folosite, de gradul de cali�care al muncitorilor, etc.)Totalul cheltuielilor efectuate pentru realizarea acelei productii la�ecare din cele trei fabrici a fost acelasi. Care este pretul de costmediu al acelui produs la cele trei fabrici?

Ponderarea se poate face si cu raportul procentual al �ecarei ponderi fata desuma lor:

map =x1

m1Pn

i=1 mi

· 100 + x2m2Pn

i=1 mi

· 100 + · · ·+ xnmnPn

i=1 mi

· 100100

.

Numerele pk = mmPn

i=1mi· 100 se numesc ponderi procentuale si ele sunt in

general numere de doua, trei cifre.

media armonica simpla

mh =n

1

x1+ 1

x2+ · · ·+ 1

xn

Exemplu: Pretul de cost al unui produs similar la trei fabrici diferitea fost de 400, 500, respectiv 600 lei pe bucata. (El difera de la ointreprindere la alta deoarece depinde de modul de organizare alproductiei, de gradul de mecanizare al productiei, de randamentulmasinilor folosite, de gradul de cali�care al muncitorilor, etc.)Totalul cheltuielilor efectuate pentru realizarea acelei productii la�ecare din cele trei fabrici a fost acelasi. Care este pretul de costmediu al acelui produs la cele trei fabrici?

media armonica ponderata (ponderile mi > 0,i ∈ 1, n)

mhp =m1 + m2 + · · ·+ mnm1

x1+ m2

x2+ · · · mn

xn

.

Exemplu: Retributia medie lunara a unei categorii de angajati ai unei �rme pecele trei trimestre ale unui an a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe luna.Fondul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de 600000, 720000,respectiv 900000 lei pe trimestru. Care a fost salariul mediu lunar al unuiangajat de la acea �rma in cursul acelui an?

ponderarea se poate face si cu raportul procentual al �ecareiponderi fata de suma lor: pk = 100mkP

n

i=1 mi

:

mhp =100

p1x1

+ p2x2

+ · · · pnxn

.

Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel:pe 60% din suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de plan,pe 30,5% din suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restulsuprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub plan. Care esteprocentul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la aceaferma agricola?

media armonica ponderata (ponderile mi > 0,i ∈ 1, n)

mhp =m1 + m2 + · · ·+ mnm1

x1+ m2

x2+ · · · mn

xn

.

Exemplu: Retributia medie lunara a unei categorii de angajati ai unei �rme pecele trei trimestre ale unui an a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe luna.Fondul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de 600000, 720000,respectiv 900000 lei pe trimestru. Care a fost salariul mediu lunar al unuiangajat de la acea �rma in cursul acelui an?

ponderarea se poate face si cu raportul procentual al �ecareiponderi fata de suma lor: pk = 100mkP

n

i=1 mi

:

mhp =100

p1x1

+ p2x2

+ · · · pnxn

.

Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel:pe 60% din suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de plan,pe 30,5% din suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restulsuprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub plan. Care esteprocentul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la aceaferma agricola?

media armonica ponderata (ponderile mi > 0,i ∈ 1, n)

mhp =m1 + m2 + · · ·+ mnm1

x1+ m2

x2+ · · · mn

xn

.

Exemplu: Retributia medie lunara a unei categorii de angajati ai unei �rme pecele trei trimestre ale unui an a fost 2400, 2580 si respectiv 2700 lei pe luna.Fondul de retributii efectiv pe cele trei trimestre a fost de 600000, 720000,respectiv 900000 lei pe trimestru. Care a fost salariul mediu lunar al unuiangajat de la acea �rma in cursul acelui an?

ponderarea se poate face si cu raportul procentual al �ecareiponderi fata de suma lor: pk = 100mkP

n

i=1 mi

:

mhp =100

p1x1

+ p2x2

+ · · · pnxn

.

Exemplu: La o ferma agricola productia de grau la hectar a fost realizata astfel:pe 60% din suprafata cultivata, productia a fost depasita cu 20% fata de plan,pe 30,5% din suprafata productia a fost depasita cu 25%, iar pe restulsuprafetei cultivate productia a fost realizata cu 5% sub plan. Care esteprocentul mediu cu care a fost depasita productia de grau la hectar la aceaferma agricola?

media geometrica simpla se calculeaza atunci cand se dau oserie de marimi pozitive ai , i ∈ 0, n �ecare din ele reprezentandin general o majorare sau o reducere fata de marimeaprecedenta (in unele cazuri unele dintre aceste marimi pot �egale intre ele). Notam cu xi = ai

ai−1, i ∈ 1, n raportul dintre o

marime si cea precedenta. Obtinem x1 · x2 · · · · · xn = ana0.

Presupunem ca variatia acestor marimi este uniforma si egala cu x̄

(marime numita coe�cientul mediu de variatie). Atunci x̄n = ana0.

Notam cumg = x̄ = n

√x1 · x2 · · · · · xn.

Deci coe�cientul mediu de variatie a marimilor a0, · · · , an este egalcu media geometrica a coe�cientilor de variatie a �ecarei marimifata de cea precedenta. Pentru calculul efectiv al mediei geometricese folosesc logaritmii: lnmg = (ln x1 + · · · ln xn) : n.

Exemplu: Productia de imprimante pe o perioada de cinci ani estedata in tabelul de mai jos.

Anul I II III IV V

Nr. bucati 4000 6000 7500 9000 11700

Coe�cientul de variatie 1 1,5 1,25 1,20 1,30Care este procentul mediu de crestere a numarului de imprimante inacest interval de timp?

media geometrica ponderata

(ponderile ri > 0, i ∈ 1, n, r = r1 + · · ·+ rn)

mgp = r

√x r11· x r2

2· · · x rnn .

Exemplu: Productia de imprimante pe o perioada de cinci ani estedata in tabelul de mai jos.

Anul I II III IV V

Nr. bucati 4000 6000 7500 9000 11700

Coe�cientul de variatie 1 1,5 1,25 1,20 1,30Care este procentul mediu de crestere a numarului de imprimante inacest interval de timp?

media geometrica ponderata

(ponderile ri > 0, i ∈ 1, n, r = r1 + · · ·+ rn)

mgp = r

√x r11· x r2

2· · · x rnn .

media simpla de ordinul r ∈ N :

mr =r

√x r1

+ · · · x rnn

media ponderata de ordinul r:

mrp=r

√m1x

r1

+ · · ·mnx rnm1 + · · ·mn

Pentru r = 2 obtinem media patratica (simpla, respectivponderata):

mp =

√x21

+ · · · x2nn

, mpp =

√m1x

2

1+ · · ·mnx2n

m1 + · · ·mn

Media patratica este utilizata in statistica. O colectivitate statisticareprezinta o multime de obiecte, �inte, fenomene, etc care posedaunele caracteristici comune.Fie x1, · · · , xn elementele unei colectivitati statistice si x̄ media loraritmetica. Atunci diferentele x1 − x̄ , · · · , xn − x̄ dintre �ecareelement si media lor aritmetica se numesc abateri de la media loraritmetica. Deoarece media aritmetica a acestor abateri este nula,pentru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica apatratelor abaterilor, numita dispersie:

D(x̄) =(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2

n.

Abaterea medie patratica este egala cu radacina patrata a dispersiei

σ =

√(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2

n.

Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elementelor xi din colectivitatea

statistica pe care o studiem. (Daca abaterile | xi − x̄ |sunt mici, inseamna ca

marimile xi difera putin de la media lor aritmetica. In acest caz si dispersia cat

si abaterea medie patratica vor � mici. Daca abaterile | xi − x̄ | sunt mari,

atunci si D si σ vor � mari.)

Media patratica este utilizata in statistica. O colectivitate statisticareprezinta o multime de obiecte, �inte, fenomene, etc care posedaunele caracteristici comune.Fie x1, · · · , xn elementele unei colectivitati statistice si x̄ media loraritmetica. Atunci diferentele x1 − x̄ , · · · , xn − x̄ dintre �ecareelement si media lor aritmetica se numesc abateri de la media loraritmetica. Deoarece media aritmetica a acestor abateri este nula,pentru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica apatratelor abaterilor, numita dispersie:

D(x̄) =(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2

n.

Abaterea medie patratica este egala cu radacina patrata a dispersiei

σ =

√(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2

n.

Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elementelor xi din colectivitatea

statistica pe care o studiem. (Daca abaterile | xi − x̄ |sunt mici, inseamna ca

marimile xi difera putin de la media lor aritmetica. In acest caz si dispersia cat

si abaterea medie patratica vor � mici. Daca abaterile | xi − x̄ | sunt mari,

atunci si D si σ vor � mari.)

Media patratica este utilizata in statistica. O colectivitate statisticareprezinta o multime de obiecte, �inte, fenomene, etc care posedaunele caracteristici comune.Fie x1, · · · , xn elementele unei colectivitati statistice si x̄ media loraritmetica. Atunci diferentele x1 − x̄ , · · · , xn − x̄ dintre �ecareelement si media lor aritmetica se numesc abateri de la media loraritmetica. Deoarece media aritmetica a acestor abateri este nula,pentru a calcula media abaterilor se foloseste media aritmetica apatratelor abaterilor, numita dispersie:

D(x̄) =(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2

n.

Abaterea medie patratica este egala cu radacina patrata a dispersiei

σ =

√(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2

n.

Ea arata oscilatia sau diversitatea distributiei elementelor xi din colectivitatea

statistica pe care o studiem. (Daca abaterile | xi − x̄ |sunt mici, inseamna ca

marimile xi difera putin de la media lor aritmetica. In acest caz si dispersia cat

si abaterea medie patratica vor � mici. Daca abaterile | xi − x̄ | sunt mari,

atunci si D si σ vor � mari.)

Criteriu pentru aplicarea in practica a marimilor medii

Cum ne dam seama ce tip de medie vom folosi intr-o anumitaproblema?Teoria Chissini-Boiarschi :

o colectivitate statistica poate avea diferite proprietati, o partedintre ele putand � exprimate numeric;

o proprietate se numeste determinanta pentru o colectivitatestatistica daca ea ramane neschimbata cand variabila x iatoate valorile posibile x1, · · · , xn;proprietatea determinanta se exprima ca o functie devariabilele xi ; F (x1, · · · , xn);

se numeste valoare medie a variabilei x , dupa proprietateadeterminanta, acea valoare x̄ care, prin substitutiaxi = x̄ , i ∈ 1, n, nu modi�ca proprietatea determinanta:F (x̄ , · · · , x̄) = F (x1, · · · , xn).Exempli�cam in continuare aplicarea aceastei teorii.

Problema 1

Titlul unui aliaj reprezinta cantitatea de aur pur continut intr-ungram de aliaj. Se topesc impreuna n aliaje de aur A1, A2, · · · , An

care au respectiv titlurile t1, t2, · · · , tn si masele m1, m2, · · · ,mn.Se cere titlul noului aliaj.SolutieProprietatea determinanta a tuturor aliajelor este cantitatea de aurpur continuta in intregul aliaj.Cantitatea de aur Gi continuta in aliajul Ai esteGi = mi ti , i ∈ 1, n. Deci cantitatea de aur pur continuta inintregul aliaj se calculeaza prin

F (t1, · · · , tn) = m1t1 + m2t2 + · · ·mntn.

Notam cu t̄ valoarea medie a titlului noului aliaj rezultat dupatopirea celor n aliaje initiale. Atunci F (t̄, t̄, · · · , t̄) = F (t1, · · · , tn),deci

t̄ =m1t1 + · · ·mntn

m1 + · · ·mn,

deci in acest exemplu folosim media aritmetica ponderata.

Problema 1

Titlul unui aliaj reprezinta cantitatea de aur pur continut intr-ungram de aliaj. Se topesc impreuna n aliaje de aur A1, A2, · · · , An

care au respectiv titlurile t1, t2, · · · , tn si masele m1, m2, · · · ,mn.Se cere titlul noului aliaj.SolutieProprietatea determinanta a tuturor aliajelor este cantitatea de aurpur continuta in intregul aliaj.Cantitatea de aur Gi continuta in aliajul Ai esteGi = mi ti , i ∈ 1, n. Deci cantitatea de aur pur continuta inintregul aliaj se calculeaza prin

F (t1, · · · , tn) = m1t1 + m2t2 + · · ·mntn.

Notam cu t̄ valoarea medie a titlului noului aliaj rezultat dupatopirea celor n aliaje initiale. Atunci F (t̄, t̄, · · · , t̄) = F (t1, · · · , tn),deci

t̄ =m1t1 + · · ·mntn

m1 + · · ·mn,

deci in acest exemplu folosim media aritmetica ponderata.

Problema 2

Preturile de cost ale unui produs similar la n fabrici sunt respectivc1, c2, · · · , cn lei/unitate de produs. Totalul cheltuielolor efectivepentru realizarea productiei la �ecare din cele n fabrici a fost acelasi,C lei. Se cere pretul de cost mediu al acelui produs la cele n fabrici.SolutieProprietatea determinanta este cantitatea totala a productieirealizata la cele n fabrici. Productia realizata la fabrica i, i ∈ 1, n secalculeaza prin C

ci. Functia determinanta va � egala cu

F (c1, · · · , cn) = Cc1

+ Cc2

+ · · ·+ Ccn. Fie c̄ pretul de cost mediu

realizat la cele n fabrici. Rezulta F (c̄, · · · c̄) = F (c1, · · · , cn), deci

c̄ =n

1

c1+ 1

c2+ · · ·+ 1

cn

.

In aceasta problema se foloseste media armonica simpla.

Problema 2

Preturile de cost ale unui produs similar la n fabrici sunt respectivc1, c2, · · · , cn lei/unitate de produs. Totalul cheltuielolor efectivepentru realizarea productiei la �ecare din cele n fabrici a fost acelasi,C lei. Se cere pretul de cost mediu al acelui produs la cele n fabrici.SolutieProprietatea determinanta este cantitatea totala a productieirealizata la cele n fabrici. Productia realizata la fabrica i, i ∈ 1, n secalculeaza prin C

ci. Functia determinanta va � egala cu

F (c1, · · · , cn) = Cc1

+ Cc2

+ · · ·+ Ccn. Fie c̄ pretul de cost mediu

realizat la cele n fabrici. Rezulta F (c̄, · · · c̄) = F (c1, · · · , cn), deci

c̄ =n

1

c1+ 1

c2+ · · ·+ 1

cn

.

In aceasta problema se foloseste media armonica simpla.

Problema 3

In n perioade de timp consecutive pretul de cost al unui produs la ointreprindere industriala a fost de c1, · · · , cn lei/unitate de produs.Stiind ca totalul cheltuielilor efective realizate pe cele n perioade detimp a fost respectiv de S1, · · · , Sn lei, se cere pretul de cost mediual acelui produs pe intreaga perioada de timp luata in considerare.SolutieCa si in problema anterioara proprietatea determinanta esteintreaga cantitate de produse realizata in cele n perioade de timp sise calculeaza prin F (c1, · · · , cn) = S1

c1+ S2

c2+ · · ·+ Sn

cn. Se obtine

c̄ =S1 + S2 + · · · Sn

S1c1

+ S2c2

+ · · ·+ Sncn

,

deci folosim media armonica ponderata.

Problema 3

In n perioade de timp consecutive pretul de cost al unui produs la ointreprindere industriala a fost de c1, · · · , cn lei/unitate de produs.Stiind ca totalul cheltuielilor efective realizate pe cele n perioade detimp a fost respectiv de S1, · · · , Sn lei, se cere pretul de cost mediual acelui produs pe intreaga perioada de timp luata in considerare.SolutieCa si in problema anterioara proprietatea determinanta esteintreaga cantitate de produse realizata in cele n perioade de timp sise calculeaza prin F (c1, · · · , cn) = S1

c1+ S2

c2+ · · ·+ Sn

cn. Se obtine

c̄ =S1 + S2 + · · · Sn

S1c1

+ S2c2

+ · · ·+ Sncn

,

deci folosim media armonica ponderata.

Problema 4

Pretul de cost al unui produs oarecare in valoare de C0 lei a suferit nvariatii cu procentele p1, · · · , pn in n perioade de timp consecutive.Se cere procentul mediu de variatie a pretului de cost la acel produssi costul �nal Cn al produsului, dupa cele n variatii succesive.SolutieFunctia determinanta este pretul de cost al produsului dupa cele nvariatii, adica F (p1, · · · , pn) = C0(1 + p1

100) · · · (1 + pn

100). Notam cu

p̄ procentul mediu de variatie a pretului de cost. AtunciF (p̄, · · · , p̄) = F (p1, · · · , pn) si rezulta

C0(1 +p̄

100) · · · (1 +

p̄

100) = C0(1 +

p1

100) · · · (1 +

pn

100),

deci

p̄ = 100

[n

√(1 +

p1

100) · · · (1 +

pn

100)− 1

].

Notam cu c̄ = 1 + p̄100

si ci = 1 + pi100, i ∈ 1, n. Atunci

c̄ = n√c1c2 · · · cn.

Folosim asadar media geometrica simpla.

Problema 4

Pretul de cost al unui produs oarecare in valoare de C0 lei a suferit nvariatii cu procentele p1, · · · , pn in n perioade de timp consecutive.Se cere procentul mediu de variatie a pretului de cost la acel produssi costul �nal Cn al produsului, dupa cele n variatii succesive.SolutieFunctia determinanta este pretul de cost al produsului dupa cele nvariatii, adica F (p1, · · · , pn) = C0(1 + p1

100) · · · (1 + pn

100). Notam cu

p̄ procentul mediu de variatie a pretului de cost. AtunciF (p̄, · · · , p̄) = F (p1, · · · , pn) si rezulta

C0(1 +p̄

100) · · · (1 +

p̄

100) = C0(1 +

p1

100) · · · (1 +

pn

100),

deci

p̄ = 100

[n

√(1 +

p1

100) · · · (1 +

pn

100)− 1

].

Notam cu c̄ = 1 + p̄100

si ci = 1 + pi100, i ∈ 1, n. Atunci

c̄ = n√c1c2 · · · cn.

Folosim asadar media geometrica simpla.

Problema 5

Consumul de benzina al unei masini pe ora este proportional cupatratul vitezei acelei masini. Notam cu ti intervalele de timp incare a mers masina, vi vitezele (constante) corespunzatoare acestorintervale, i ∈ 1, n. Se cere viteza medie v̄ cu care va trebui samearga masina pentru ca sa consume in total aceeasi cantitate debenzina.SolutieProprietatea determinanta este cantitatea totala de benzinaconsumata de masina pe intreaga perioada de timp:

F (v1, · · · , vn) = kt1v2

1 + · · · ktnv2n ,

unde k este constanta de proportionalitate. DinF (v̄ , · · · , v̄) = F (v1, · · · , vn) rezulta

v̄ =

√t1v

2

1+ · · · tnv2n

t1 + · · · tn

Folosim astfel media patratica ponderata.

Problema 5

Consumul de benzina al unei masini pe ora este proportional cupatratul vitezei acelei masini. Notam cu ti intervalele de timp incare a mers masina, vi vitezele (constante) corespunzatoare acestorintervale, i ∈ 1, n. Se cere viteza medie v̄ cu care va trebui samearga masina pentru ca sa consume in total aceeasi cantitate debenzina.SolutieProprietatea determinanta este cantitatea totala de benzinaconsumata de masina pe intreaga perioada de timp:

F (v1, · · · , vn) = kt1v2

1 + · · · ktnv2n ,

unde k este constanta de proportionalitate. DinF (v̄ , · · · , v̄) = F (v1, · · · , vn) rezulta

v̄ =

√t1v

2

1+ · · · tnv2n

t1 + · · · tn

Folosim astfel media patratica ponderata.

Teme seminar

Stabiliti relatiile intre marimile medii si interpretarea lorgeometrica.

Teoreme de maxim si minim bazate pe relatiile intre marimilemedii.

Probleme practice de maxim si minim in care folosim marimilemedii.

Bibliogra�e:

M. Cerchez, T. Danet, Probleme pentru aplicarea matematicii

in practica, E.D.P, Bucuresti 1982.

C. Udriste, E. Tanasescu, Minime si maxime ale functiilor reale

de variabile reale, Ed. Tehnica, Bucuresti 1980.