Aplicatii Ale Numerelor Complexe

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Aplicatii ale Numerelor Complexe

Text of Aplicatii Ale Numerelor Complexe

  • Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt

    site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

    ,

  • 2

    Refereni tiinifici: Profesor metodist Apostol Constantin Colegiul Naional Alexandru Vlahu, Rmnicu Srat Profesor grad I Stanciu Neculai director Grupul colar TehnicSf. Mc. SAVA,Berca

  • 3

    Dedic aceast carte elevilor mei de la Grupul colar Tehnic Sfntul Mucenic Sava, Berca.

  • 4

    A(a+ib)

    A(a-ib)

    O x

    y

    c b

    a

  • 5

    Aplicaii ale numerelor complexe

    n geometrie

    n geometria plan, se poate utiliza ca metod de rezolvare a unor probleme sau teoreme numerele complexe fie sub forma algebric z=x+iy, fie sub forma trigonometric z=r ie unde r= z iar =arg z ntruct fiecrui punct din plan i corespunde un numr complex z=x+iy numit afixul punctului respectiv. De asemenea, fiecrui segment orientat i putem asocia numrul complex corespunztor. Dac 1M , 2M , 3M ,.. nM sunt puncte n plan iar

    nOMOMOMOM ,,.........,, 321 sunt vectorii de poziie

    corespunztori, atunci vectorul OM se scrie ca o combinaie liniar de aceti vectori astfel: OM = nn OMkOMkOMkOMk .........332211 +++ . Pentru a transcrie aceast relaie n complex, considerm

    nzzzz ,....,,, 321 afixele punctelor 1M , 2M , 3M ,.. nM iar z afixul lui M atunci: z= nn zkzkzkzk ++++ ....332211 .

  • 6

    1.Raportul n care un punct mparte un segment Fie 1M , 2M puncte n plan de afixe 21, zz iar punctul M de afix z mparte segmentul orientat 1M 2M n raportul k>0 astfel:

    kkzzzk

    MMMM

    ++==

    121

    2

    1 .Din

    kkzzz

    kzkzzzzzkzzkzz

    zzkMM

    MM

    ++=

    +====

    1

    )(

    21

    21212

    1

    2

    1

    Dac M este mijlocul lui 1M 2M atunci k=1 221 zzz += .

    Dac G este centrul de greutate al triunghiului ABC situat pe mediana AM,

    atunci 2=GMAG k=2 .

    3212 CBAMA

    Gzzzzzz

    ++=++=

    2.Msura unui unghi. Fie )(),( 2211 zMzM . Atunci

    1

    2121212 argargarg)()()( z

    zzzxOMmxOMmMOMm === Pentru punctele )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM ,

    12

    13213 arg)( zz

    zzMMMm = .

    3.Puncte coliniare.

    Punctele )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM sunt coliniare Rzzzz

    12

    13 .

  • 7

    )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM sunt coliniare { },0)( 213 MMMm { }

    ,0arg12

    13

    zzzz

    Rzzzz

    12

    13 .

    )(),(),( 332211 zMzMzM sunt coliniare n aceast ordine

    Rkkkzz

    z ++= ,

    131

    2

    4.Drepte perpendiculare. Dou drepte M1M2, M3M4 perpendiculare:

    0Re,43

    21

    43

    214321 =

    zzzziR

    zzzzMMMM

    Dac dreptele 4321 MMsiMM sunt perpendiculare atunci unghiul dintre ele este

    0Re2

    3,2

    arg2

    3,2 43

    21

    43

    21 =

    =

    zzzz

    zzzzsau .

    5.Patrulater inscriptibil. Fie )(),(),(),( 4321 zDzCzBzA . Patrulaterul ABCD este inscriptibil

    Rzzzz

    zzzz

    24

    14

    23

    13 : .

    ABCD este inscriptibil = )()( ADBmACBm

    =

    42

    41

    32

    31 argargzzzz

    zzzz

    Rzzzz

    zzzz

    24

    14

    23

    13 : .

    =

    42

    41

    32

    31 argargzzzz

    zzzz

    Rzzzz

    zzzz

    24

    14

    23

    13 : .

  • 8

    Patru puncte A,B,C,D sunt conciclice dac i numai dac patrulaterul ABCD este inscriptibil. 6.Triunghiuri asemenea. Dou triunghiuri ABC i ABC cu vrfurile de afixe

    ',',',, 321321 zzzrespectivzzz sunt asemenea dac i numai dac:

    13

    12

    13

    12

    ''''

    zzzz

    zzzz

    =

    .

    Relaia se obine din scrierea asemnrii triunghiurilor:

    =

    =

    =

    13

    12

    13

    12

    13

    12

    13

    12

    ''''

    ''''argarg)'''()(

    zzzz

    zzzz

    si

    zzzz

    zzzzCABmBACm

    ABC ~ ''' CBA ''''

    CABA

    ACAB = i

    13

    12

    13

    12

    ''''

    zzzz

    zzzz

    =

    .

    Relaia se mai poate scrie i astfel:

    321

    321

    '''

    111

    zzz

    zzz =0.

    Astfel putem arta c un triunghi ABC este echilateral ,02 =++ CBA zzz unde este rdcina de ordinul trei a unitii, diferit de 1.

  • 9

    TEOREME I PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

    1. a) S se arate c mijloacele laturilor unui patrulater sunt vrfurile unui paralelogram. b) S se arate c se poate construi un patrulater cu distanele de la un punct T la mijloacele patrulaterului dat . Rezolvare: a) Fie DCBA zzzz ,,, afixele vrfurilor A,B,C,D ale patrulaterului respectiv.

    Atunci: afixul mijlocului lui AB este: 2

    BAM

    zzz += ;

    afixul mijlocului lui BC este: 2

    CBN

    zzz

    += ;

    afixul mijlocului lui CD este: 2

    DCP

    zzz += ;

    afixul mijlocului lui DA este: 2AD

    Qzzz += :

    Pentru a fi paralelogram, trebuie artat c mijloacele diagonalelor patrulaterului MNPQ coincid,

    ceea ce este echivalent cu a arta c: 22

    QNPM zzzz +=+ , relaie care este adevrat dac nlocuim relaiile de mai sus. b) Din punctul a) rezult c MNPQ este paralelogram

    +=+ QNPM zzzz 0=+ QPNM zzzz . Fie Tz afixul punctului T

    =+++ 0)()()()( QTTPNTTM zzzzzzzz=+++ 0TQPTTNMT c se poate forma un patrulater cu

    lungimile vectorilor

    QTPTNTTM zzTQzzTPzzTNzzTM ==== ,,, .

  • 10

    2. Fie O punctul de intersecie a diagonalelor unui patrulater ABCD. S se arate c ABCD este paralelogram dac i numai dac

    4DCBA

    Ozzzzz +++= .

    Rezolvare: Dac ABCD este paralelogram atunci diagonalele AC i BD au acelai mijloc , aadar relaia dat este adevrat. Reciproc, fie M respectiv N mijloacele diagonalelor BD respectiv AC. Atunci

    2CA

    Mzz

    z+= i

    2DB

    Nzzz += . Cum

    4DCBA

    Ozzzz

    z+++=

    ONM zzz =+2 O este mijlocul segmentului MN ceea ce se ntmpl numai dac M , N, O sunt identice ABCD este paralelogram. 3. Fie triunghiul ABC cu vrfurile de afixe CBA zzz ,, , i laturile BC, CA, AB, de lungime a, b respectiv c. Dac Iz este afixul centrului cercului nscris n triunghiul ABC atunci s se arate c are loc relaia:

    cba

    zczbzaz CBAI ++

    ++= . Rezolvare: Fie D BC astfel nct AD este bisectoarea unghiului A i E AC astfel nct BE este bisectoarea unghiului B . Notm cu I intersecia dintre AD i BE. Aplicnd Teorema bisectoarei n triunghiul ABC

    Rezult: bc

    DCBD = i de aici rezult

    cbcaBD += .

    Din Teorema bisectoarei n triunghiul ABD

    acb

    cbca

    cIDAI

    BDAB

    IDAI +=

    +== .

    Cum D mparte segmentul orientat BC n raportul bc

    cbzczb

    bc

    zbcz

    z CBCB

    D ++=

    ++

    =1

    .(*)

  • 11

    Punctul I mparte segmentul orientat AD n raportul

    cbazcbza

    acb

    za

    cbzz

    acb DADA

    I ++++=++

    ++=+ )(

    1

    Din (*) cba

    zczbzaz CBAI ++++= .

    A

    B C

    E

    D

    I

    A

    B C

    D

    A

    HO

    4. a) Dac CBA zzz ,, respectiv Hz sunt afixele vrfurilor respectiv ortocentrului triunghiului ABC s se arate c : CBAH zzzz ++= . b) Dac )(),(),( 332211 zGzGzG sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BHC, CHA, AHB, i O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , s se arate c centrul de greutate al triunghiului

    321 GGG este situat pe dreapta OH. Rezolvare: a) Se consider O centrul cercului circumscris triunghiului ABC i D un

    punct n plan astfel nct OCOBOD += . Cum OB =OC rezult c patrulaterul OBCD este romb BCOD .

    OBOCOAODOAOH ++=+= (*) Cum HAAHBCAAsiAAOD ''' se afl i pe nlimile BB, CC.

  • 12

    Dac ntr-un sistem de axe ortogonale lum punctul O drept originea sistemului , atunci din (*) CBAH zzzz ++= . Mai mult

    GH zz 3= adic OH= 3OG b) Fie G( Gz ) centrul de greutate al triunghiului 321 GGG : Gz =

    =++3

    321 zzz

    =+++=++++++++

    HHCBA

    BHACHAHCB

    zzzzz

    zzzzzzzzz

    95

    93)(2

    9

    G aparine lui OH. 5. Fie CBA zzz ,, afixele vrfurilor triunghiului ABC, cu

    0++ CBA zzz . S se arate c dac punctele M,N,P au afixele CABAAM zzzzzz ++= 2 , CBABBN zzzzzz ++= 2 , BCACCP zzzzzz ++= 2

    atunci triunghiurile MNP i ABC sunt asemenea. Rezolvare: Cum ))(( CBABANM zzzzzzz ++= , ))(( CBACBPN zzzzzzz ++= , ++= ))(( CBAACMP zzzzzzz

    ++==

    =

    0CBAAC

    MP

    CB

    PN

    BA

    NM zzzzzzz

    zzzz

    zzzz

    MNP ~ ABC . 6. Dac ABC i MNP sunt dou triunghiuri echilaterale din acelai plan la fel orientate, s se arate c se poate forma un triunghi cu segmentele AM, BN, CP.

  • 13

    Rezolvare:

    ABC ~ =

    PM

    CA

    NM

    BA

    zzzz

    zzzzMNP

    = ))(())(( CANMPMBA zzzzzzzz

    ozzzzzzzzz ABPCANBCM =++ )()()( . Cum ozzzzzzzzz ABCCABBCA =++ )()()( , prin scderea

    celor dou egaliti

    ozzzzzzzzzzzz

    ABCP

    CABNBCAM

    =++

    ))(())(())((

    (*)

    iar prin trecere la modul

    +

    )()(

    )()()()(

    ABCP

    CABNBCAM

    zzzz

    zzzzzzzz