Aplicaii ale formulei Taylor1) n cazul (i) din teorema IV.28, polinoamele Tn(n) aproximeaz punctual funcia f(x), n sensul c: pentru orice > 0 dat, putem n general s determinm un polinom Tn(x) a.. En(x) < pentru toi x din I. n acest caz eroarea En este practic mai puin util deoarece despre En(x) nu avem mai multe informaii dect despre Rn(x). 2) n cazurile (ii) i (iii) din teorema IV.28 polinoamele Tn(x) dau pe intervalul I o aproximare global a funciei f(x) n sensul c: pentru fiecare numr > 0 dat, se poate determina un polinom Tn(x) a.. En(x) < , x I. 3) Tipurile de aproximri ale lui f n condiiile teoremei IV.28 vor fi mai exact precizate n capitolul iruri i Serii de funcii reale. 4) Teorema IV.28 se folosete pentru aproximarea funciilor indefinit derivabile pe un interval I R prin irul corespunztor de polinoame Taylor. Exemple: 1. f ( x ) = e x , x R ; f C ( R ) ; f ((xn) ) = e x , x R i x N ;f ((0n) ) = 1, n N . Avem: e x = 1 +

x x2 xn x n +1 + + ... + + e , x R 1! 2! n ! ( n + 1) !

x n +1 i x R fixat lim e = 0 fiecare x R fixat; n ( n + 1) !

x xn x xn e x = lim 1 + + ... + , x R e x 1 + + ... + . n 1! n! n! 1!1 1 n particular, pentru x = 1: e = lim 1 + + ... + . n n! 1!

267

-

Pentru x [0,1], s determinm n N a.. prin aproximare ex 1 + x xn + ... + = Tn ( x ) eroarea En(x) < 0,125 1! n!

x xn 1 1 En ( x ) = e x 1 + + ... + < e < 0,125 = ( n + 1) ! < 8e 8 n ! ( n + 1) ! 1!

pentru n = 3 e x 1 +

x x 2 x3 + + , x [ 0,1] . 1! 2! 3!

2. f ( x ) = sin x, x R ; f C ( R ) ;x n f((x ) ) = sin x + , x R , x N ; 2

f((0) ) = sinn

n 0 ; n = 2k Avem: = k 2 ( 1) ; n = 2k + 1

x3 x5 x 2 n 1 x 2 n +1 n 1 n sin x = x + + ... + ( 1) + ( 1) cos 3! 5! ( 2n 1)! ( 2n + 1)! x 2 n +1 Pentru fiecare x R fixat: lim Rn ( x ) = lim cos = 0 n n ( 2 n + 1) !

x3 x5 x 2 n 1 n 1 sin x = lim x + + .. + ( 1) , n fiecare x R fixat n 3! 5! ( 2n 1)! x3 x5 x 2 n 1 n 1 sin x x + + .. + ( 1) . 3! 5! ( 2n 1)!

-

x3 x5 x3 < l i cu En ( x ) = sin x x + n particular: sin x x 6 5 3!1 1 . = 5! 120

x [0,1] cu l =1 En ( x ) 0, x V In

i

avem

sign f ( x ) f ( x0 ) = signf((xn )) i rezult cazurile 1) i 2) 0conform definiiei punctelor de extrem local (definiia III.9). (ii) Dac n este impar, ( x x0 ) are semn variabil pe V I i la feln

f ( x ) f ( x0 ) are semn variabil pe V I , deci x0 I nu

este punct de extrem local (definiia III.9). Consecina IV.14. Fie I R interval x0 I punct interior i f : I R o funcie derivabil de dou ori pe I cu f continu n x0 I . Dac f ' ( x0 ) = 0 i f " ( x0 ) > 0

271

(respectiv f " ( x0 ) < 0 ), atunci x0 este punct de minim local strict pentru f (respectiv punct de maxim local strict pentru f). Demonstraia. Rezult din teorema IV.29 pentru n = 2.n Observaie. Condiia f ((x0 )) 0 este esenial n teorema IV.29.

7) Formula lui Taylor permite unele precizri n studiul variaiei unei funcii reale de o variabil real. Dac f : [ a, b] R este funcie de clas C 2 f C 2 ([ a, b ]) atunci f este convex pe [a,b] (f este concav pe [a,b] sau f nu ine apa) sau f ine apa, adic: x, x0 [ a, b] avem:

(

)

f ( x ) f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x x0 ) (respectiv: f ( x ) f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x x0 ) ), i graficul lui f este situat deasupratangentei (respectiv sub tangent) n orice punct

( x , f ( x )) G0 0

f

.

Dup formula Taylor cu rest Lagrange de ordin 1 (n=1), avem: f ( x ) = f ( x0 ) + f ' ( x0 ) f " ( ) 2 ( x x0 ) + ( x x0 ) cu situat ntre x i 1! 2!

x0 de unde rezult c: I dac f " 0 pe [ a, b] atunci f este convex i reciproc.

II dac f " 0 pe

[ a, b ]

atunci f este concav i reciproc sau f

concav pe [ a, b] ( f ) este convex pe [ a, b] . 8) Consecina IV.15 Un numr real x0 este o rdcin multipl de ordinul k al unui polinom

Pn ( X ) de grad n k , dac i numai dac,Pn ( x0 ) = P 'n ( x0 ) = ... = Pn(k 1)

( x0 ) = 0 i272

Pn(

k)

( x0 ) 0 .

Demonstraie: Dac x0 R este rdcin multipl de ordinul k al polinomului Pn ( X ) , avem:Pn ( x ) = ( x x0 ) Q1 ( x ) cu Q1 ( x0 ) 0, x R i prin derivare se obink

condiiile din enun. Dac au loc condiiile din enun, dup formula lui Taylor, avem: Pn ( x )

( x x0 ) =k!

k

Pn

(k )

( x0 )

( x x0 ) + ... +m!

m

Pn(

m)

( x0 ) = ( x x0 )

k

Q1 ( x ) cu

Q1 ( x0 ) 0 i rezult c x0 este rdcin multipl de ordin k.Exemple: 1. Pentru determinarea punctelor de extrem local ale funciei1 f ( x ) = sin x sin 2 x, x R este suficient s le determinm pe cele 2

din I = [ 0, 2 ] R , restul se obin adaugnd perioada 2 .

f ' ( x ) = cos x cos 2 x = 0 cos x + 1 2 cos 2 x = 0 i cos x = y [ 1,1] 2 y 2 + y + 1 = 0 cu y1 = 1 , y2 = critice sunt: x1 = 0 , x2 =2 4 , x3 = , x4 = 2 . Avem: 3 3 1 punctele 2

f ( x ) = sin x + 2sin 2 x f ( 4) ( x ) = sin x 8sin 2 x f ( x ) = cos x + 4 cos 2 x I

x1 = 0 : f ' ( 0 ) = 0 , f '' ( 0 ) = 0 , f '" ( 0 ) = 3 0 x1 = 0 nu este x4 = 2 : f ' ( 2 ) = 0 , f '' ( 2 ) = 0 , f '" ( 2 ) = 3 0 x4 = 2 nu

punct de extrem local. II

este punct de extrem local. 273

III x2 =

2 2 : f ' 3 3

2 = 0 , f '' 3

3 2 < 0 x2 = = 3 2 3

este

2 3 punct de maxim local i f = este valoarea maxim a lui f. 3 4

IV x3 =

4 : 3

4 f ' 3

= 0,

4 f '' 3

3 4 > 0 x3 = =2 2 3

este

3 4 punct de minim local i f = este valoarea minim a lui f. 4 3

Cum avem f ( 0 ) = f ( 2 ) = 0 obinem:

3 1 3 f ( x ) = sin x sin 2 x , 4 2 4

x R , adic

x2 =

2 4 este punct de maxim absolut i x3 = este 3 3

punct de minim absolut pentru f. 2. f ( x ) = 2 x 6 x3 + 3 , x R i s se determine punctele de extrem x0 = 0 local. Avem: f ' ( x ) = 12 x 3x f ' ( x ) = 0 cu 1 puncte x1 = 3 4 5 2

staionare (critice) ale lui f. f " ( x ) = 60 x 4 6 x , f "' ( x ) = 240 x3 6 . I x0 = 0 f ' ( 0 ) = 0 , f '' ( 0 ) = 0 , f '" ( 0 ) = 6 0 (n = 3 impar)

x0 = 0 nu este punct de extrem local. II x1 = x1 =3

1 1 1 9 f ' 3 = 0 , f '' 3 = 3 > 0 (n = 2 par) 4 4 4 4

1 1 23 este punct de minim local cu f min = f 3 = . 3 4 4 8

3. f ( x ) = 2 cos x + x 2 , x R i s se determine punctele de extrem local. Avem: 274

f ' ( x ) = 2sin x + 2 x = sin x x0 = 0 punct critic al f. f " ( x ) = 2 cos x + 2 ; f "' ( x ) = 2sin x ;f(4)

( x ) = 2 cos x .

Avem:

f ' ( 0 ) = 0 , f '' ( 0 ) = 0 , f '" ( 0 ) = 0 , f ( 4) ( 0 ) = 2 > 0 (n = 4 par) x0 = 0 este punct de minim local cu f min = f ( 0 ) = 2 . 4. f ( x ) = x n sin x, x R i n N i s se determine punctele de extrem local. Avem:

f ' ( x ) = nx n 1 sin x + x n cos x = x n 1 ( x cos x + n sin x )f '( x) = 0 xn 1

x n 1 = 0 ( n 2 ) ( x cos x + n sin x ) = 0 x cos x + n sin x = 0i prin metoda grafic y1 = tgx y2 = x n

x0 = 0 x tgx = n ( n 1)

se

x 'k = + k 0, xI i f " nu este identic nul pe nici un subinterval nedegenerat J I.Demonstraie: 1. Pentru f derivabil de dou ori pe I, avem

f ( x ) 0, xI f ' este monoton cresctoare pe I tocmai (3) dinteorema precedent i cum (3) (1) f este funcie convex pe I.

291

2. Presupunem f strict convex pe I i dovedim c f ( x ) >0, xI i f " nu este identic nul pe J I. Cum f strict convex pe I f ' strict cresctoare pe I f ( x ) 0, xI. Dac avem f ( t ) 0, tJ cu J I nedegenerat, atunci f ( x ) = ax + b, x I i nu este valabil ipoteza f strict convex pe I f " nu este identic nul pe I. Presupunem f ( x ) >0 pe I i f" nu este identic nul pe nici un subinterval nedegenerat J I. Din f ( x ) 0, xI f este convex pe I i din teorema precedent, avem f ' monoton cresctoare pe I. Dac f ' nu ar fi strict cresctoare pe I, atunci ar exista a, b I, a < b i f ( a ) = f ( b ) f ' este funcie constant pe [a, b] f " 0 pe [a, b] ceea ce contrazice ipoteza asupra lui f ". Rezult c f ' este strict cresctoare pe I i deci, dup teorema precedent f este strict convex pe I.Teorema IV.39. (Teorema de caracterizare geometric a funciilor convexe).

Fie f : I R o funcie derivabil. Funcia f este convex pe I, dac i numai dac, tangenta dus n orice punct al graficului lui f se afl sub grafic (cu excepia punctului de tangent).Demonstraie: Ipoteza f derivabil pe I graficul lui f are

tangent n orice punct din I. Fie aI, ecuaia tangentei la graficul lui f n x = a este: y = f ( a ) + ( x a ) f ( a ) i conform punctului (2) din teorema de caracterizare a funciilor convexe cu derivat de ordin I, avem: (IV.24.) f ( a ) + ( x a ) f ( a ) f ( x ) , a, x I cu a x

ytan g ygrafic = f ( x ) i are loc afirmaia din teorem deoarece (2)(1) fconvex pe I. 292

Exemple:

1.

12 x 2 ; x R* f ( x ) = x 4 , x R f ( x ) = 0; x = 0

f ( x ) >0, x 0 f strict cresctoare.2. Fie t1 > 0, t2 > 0,..., tn > 0 cu t1 + t2 + ... + tn = 1 i n 2, nN, iar x1 > 0, x2 > 0,..., xn > 0 . S se demonstreze relaia: (IV.25) t1 x1 + t2 x2 + ... + tn xn ( x1 ) 1 ( x2 ) 2 ... ( xn ) n .t t t

Considerm f : (0, ) R cu f ( x ) = ln x care este funcie concav, deoarece f ( x ) = 1 < 0, x > 0 . Folosind relaia (IV.20) din x2

teorema IV.33 de caracterizare a funciilor convexe aplicat lui n n n t f ( x ) = ln x cu x > 0, avem: ln ti xi ti ln xi = ln ( xi ) i i prin i =1 i =1 i =1 aplicarea exponenialei (IV.25), avem: M a =

ti xi ( xi ) i . Dac t1 = t2 = ... = tn =t i =1 i =1

n

n

1 din n

x1 + x2 + ... + xn n x1 + x2 + ... + xn = M g . n

3. Fie f ( x ) = x 1, x R i s se arate c f este funcie convex iar f f nu este funcie convex. La fel i g ( x ) = 1 sin x, x [ 0, ] este funcie convex iar g g nu este funcie convex. I. Pentru a, bR i t[0,1], avem:f (1 t ) a + tb = (1 t ) a + tb 1 (1 t ) | a | +t | b |= (1 t ) f (a ) + tf (b)

f ( x ) = x 1 este funcie convex pe R.

( (1 t ) f (a) + tf (b) = (1 t )(| a | 1) + t (| b | 1) = (1 t ) | a | +t | b | 1)293

x 2; x 1 h ( x ) = ( f o f )( x ) = f ( x ) 1 = x 1 1 = x ; x ( 1,1) . x 2; x 1

Funcia h este discontinu n punctele x = -1 i x =1 h este discontinu pe R h nu este convex dup condiia II) din teorema care precizeaz proprieti ale funciilor convexe.

+1; x ( 1, 0 ) (1, ) Avem i h ( x ) = 1; x ( , 1) ( 0,1) h nu are derivate laterale n ; x = 1; x = 0; x = 1 orice punct din R. II. Pentru g ( x ) = 1 sin x, x [ 0, ] , avem:

g ( x ) = cos x, g ( x ) = sin x 0, x [ 0, ] g este funcie convex pe[0, ]. ( x ) = g o g ( x ) = 1 sin g ( x ) = 1 sin [1 sin x ] ( x ) = cos [1 sin x ] ( cos x ) = cos x cos [1 sin x ] ( x ) = sin x cos [1 sin x ] + cos 2 x sin [1 sin x ] i " nu are semn constant pe [0, ] ( 0 ) = sin1 > 0; 2 = 1 < 0; ( ) = sin1 > 0 = g o g funcie convex pe [0, ]. 4. S se arate c: ln x+ y x y ln x + ln y pentru x, y(0, ). 2 x+ y x+ y nu este

f ( t ) = ln t + 1 Fie f (t ) = t ln t cu t >0 f este funcie convex 1 f ( t ) = > 0, t > 0 t i dup (IV.20), avem:294

x+ y x+ y x x y y x+ y x y ln ln x + ln y . ln + ln ln 2 2 2 2 2 2 2 x+ y x+ y 5. Fe x, y R i nN*, s se arate c are loc inegalitatea:xn + y n x+ y . 2 2 n

Fie

f (t ) = t n

cu

t

0

f ( t ) = nt n 1 n2 n ( n 1) t ; n 2 f ( t ) = 0; n = 1

f ( x ) 0 pentru t [ 0, ) f este funcie convex xn + y n x + y f ( x) + f ( y) x+ y . f 2 2 2 2 n

6. Fie a 0, n 1 i s se arate c are loc inegalitatea: ( n + 1) a a k .k =0

n 2

n

Fie f ( x ) = a x cu x R i a > 0, a 1 f ( x ) = a x ln a if ( x ) = a x ( ln a ) 0, x R f2

este funcie convex pe R. dup

proprietatea (IV.20) avem: 1 n 1 n f k n + 1 f ( k ) cu f ( k ) = ak i k =0 n + 1 k =0

1 n 1 n ( n + 1) n k = n +1 2 = 2 n + 1 k =0 ( n + 1) a a k .k =0 n 2 n

de unde rezult:

a2

n

1 n k a n + 1 k =0

7. Fie a1 , a2 ,..., an ( 0,1) cu a = a1 + ... + an i s se arate ca are loc inegalitatea:a a1 a na . + 2 + ... + n 1 a1 1 a2 1 an n a

295

1 2 f ( x) = (1 x ) x cu x [0,1) f este Fie f ( x ) = 1 x f ( x ) = 2 0 pe [ 0,1) 3 (1 x )

funcie convex.

a + a + ... + an f ( a1 ) + f ( a2 ) + ... + f ( an ) f 1 2 dup (IV.20) n n Avem a = a1 + ... + an i

a a : 1 n n

a a 1 a1 + 2 + ... + n n 1 a1 1 a2 1 an

a a a n 1 a 1 + 2 + ... + n 1 an n n a n 1 a1 1 a2a na a a 1 + 2 + ... + n . 1 an n a 1 a1 1 a2

8. Fie x1 > 0, x2 > 0,..., xn > 0 cun p 2 p

xi =1

n

i

= 1 atunci:

( n + 1) 1 xi + x n p 1 , p N . Pentru i =1 i funcia: 1 f (t ) = t + tp

p N

fixat considermp 1

cu t > 0 p 2

1 f (t ) = p t + t

1 t 2 i t

1 f ( t ) = p ( p 1) t + t

2 p 1 + 2 t + t t

p 1

, t > 0 f ( t ) 0

pentru t >0 f este funcie convex i dup (IV.20), avem: 1 n 1 n f xi f ( xi ) n i =1 n i =11 1 1 1 n n + = f xi + n xi n n i =1 p p

(n

2

+ 1)

p

n p 1

1 xi + . xi i =1 n

p

296

9. Fie x1 , x2 ,..., xn ( 0,1) cu 1 n2 1 x n 1 . i =1 in

xi =1

n

i

= 1 s se arate c are loc inegalitatea:

1 2 f (t ) = (1 t ) 1 Fie f ( t ) = cu t ( 0,1) i 1 t f ( t ) = 2 0, t ( 0,1) 3 (1 t )

f este funcie convex i dup (IV.20), avem:n 1 1 n 1 n2 1 1 n 1 n f xi f ( xi ) . 1 n i =1 1 xi n 1 i =1 1 xi n i =1 n i =1 1 n

5. Reprezentarea grafic a funciilor reale de o variabil real.Fie A R o mulime care se reprezint printr-o reuniune finit sau numrabil de intervale nedegenerate i disjuncte dou cte dou, numitmulime standard din R i f : A R. A reprezenta grafic funcia f nseamn a desena graficul lui f ,

adic a reprezenta mulimea de puncte Gf = {(x, f(x))| xA} ntr-un sistem de axe ortogonale xOy n plan. n acest scop vom pune n eviden puncte, drepte i alte elemente din plan intim legate de variaia funciei f pe A. Dup teorema lui Fermat, dac f este derivabil pe A, printre soluiile ecuaiei f ( x ) = 0, x A se gsesc punctele de extrem local ale funciei f. Dac x0A este punct interior i f derivabil pe V = (x0- , x0 + ) V(x0)297

cu V A i > 0, R, iar f ( x0 ) = 0 i f >0 (sau f 0 cu (x0- , x0 + )A a. . f >0 pe (x0 - , x0) i f x0

lim f ( x ) = (sau lim f ( x ) = sau lim f ( x ) = ). Reprezentarea grafic a funciei f : A R, A R o mulime

standard se realizeaz pe baza unui algoritm care cuprinde urmtoarele etape:Etapa I. Domeniul (mulimea) de definiie.

1. Se precizeaz dac pe A R f este funcie: par, impar, periodic. 2. Se determin punctele n care graficul lui f intersecteaz axele dey = 0 x = 0 i . coordonate: y = f ( x) y = f ( x)

3. Se precizeaz existena limitelor lim f ( x ) i lim f ( x ) i avem:x x +

299

) lim f ( x ) = s-ar putea s existe asimptote oblice sau orizontale,x

dup cum m = lim

x +

f ( x) R sau m = 0 i n = lim f ( x ) mx R. x + x

) Dac m{- , + } nu avem asimptote nici oblice i nici orizontale la graficul lui f. ) Dac lim f ( x ) = , x0A, atunci dreapta x = x0 este asimptotx x0

vertical i f : A { x0} R.Etapa a II-a. Intervale de monotonie i puncte de extrem local.

1. Se calculeaz f ( x ) , x A i se rezolv ecuaia f ( x ) = 0, x A . 2. Semnul lui f pe intervalele din A ne d monotonia lui f pe aceste intervale i precizm care din soluiile ecuaiei f ( x ) = 0 sunt puncte de extrem local ( f i schimb semnul pe o vecintate a unui asemenea punct).Etapa a III-a. Intervale de convexitate i concavitate.

Se calculeaz f ( x ) , x A . 1. Soluiile ecuaiei f ( x ) = 0, x A sunt puncte de inflexiune dac f i schimb semnul pe o vecintate a unui asemenea punct. 2. Intervalele pe caref are semnul constant sunt intervalele de

convexitate pentru f > 0 i intervalele de concavitate pentru f < 0.Etapa a IV-a.

Toate rezultatele din celelalte etape se trec n

tabelul de variaie al funciei f C2(A):

a) n prima rubric orizontal se trec valorile remarcabile xA. b) n a doua rubric orizontal se precizeaz semnul lui f pe intervale i xA cu f ( x ) = 0 . 300

c) n a treia rubric orizontal se trec valorile lui f n punctele remarcabile xA i sgeile care indic f cresctoare, respectiv descresctoare pe intervale. d) n a patra rubric orizontal se precizeaz semnul pentru f pe intervale, xA cu f ( x ) = 0 i semnul care indic convexitatea lui f respectiv concavitatea lui f pe intervale.Etapa a V-a se traseaz graficul lui f, desennd asmptotele,

punctele remarcabile xA i apoi graficul lui f ca o linie continu dac fC2(A).Exemple:

1) f ( x ) = x 2 arctg x, x R . I.1. f este impar: f ( x ) = f ( x ) , x R i se poate trasa graficul numai pe R+.x +

lim f ( x ) = + , deci graficul lui f admite cel puin o asimptot:f ( x) = 1 , n = lim f ( x ) mx = - dreapta (d) y = x - x + x

m = lim

x +

asimptot oblic la + . II. f ( x ) = x2 1 cu f ( x ) = 0 n x1 = 1 ( i x2= - 1 R+) i f ( x ) < 0, x2 + 1

x[0, 1], iar f ( x ) >0, x(1, + ) f descresctoare pe [0, 1] i cresctoare pe (1, + ). III. f ( x ) =

(x

4x2

+ 1)

2

cu f ( x ) =0 n x0= 0 i f ( x ) < 0 pentru x< 0 i

f ( x ) > 0 pentru x>0 x0= 0 este punct de inflexiune i f este concavpe (- , 0) i convex pe (0, + ). 301

IV. x f '(x) f (x) f ''(x) 0 0(i)

1 0 +1 2

+ + + + +y

(M)

0

+

+

y=x+

(0,)

y=x

(,0)

(1,0)

0

(1,0)

(,0)

x

(0,)1 f ( x ) = ( x + 2) e x . 2. x A = R*

I.1. A = R {0}; f nu este nici par, nici impar. y = 0 intersecia cu Ox. 2. Graficul nu taie Oy; x = 2 f ( x) ( x + 2) e x = 1 . 3. lim f ( x ) = m = lim = lim x x x x x1

302