Aplikace invariantu˚ Lieových algeber pro charakterizování

Ceske vysoke uceni technicke v PrazeFakulta jaderná a fyzikálne inženýrská

Aplikace invariantu Lieových algeber procharakterizování kontrakcí

Application of invariants of Lie algebrasfor contraction characteristics

Bakalárská práce

Autor: Pavel Lokvenc

Vedoucí práce: Ing. Petr Novotný, Ph.D.

Konzultant: prof. RNDr. Jirí Tolar, CSc.

Akademický rok: 2016/2017

- Zadání práce -

- Zadání práce (zadní strana) -

Podekování:Rád bych podekoval vedoucímu bakalárské práce Ing. Petrovi Novotnému, Ph.D. za odbornévedení, vstrícnost pri konzultacích a predevším za cenné rady, které mi vypracování práce veliceusnadnily.

Cestné prohlášení:Prohlašuji, že jsem svou bakalárskou práci vypracoval samostatne a použil jsem pouze pod-klady (literaturu, projekty, SW atd....) uvedené v priloženém seznamu.

Nemám závažný duvod proti použití tohoto školního díla ve smyslu § 60 Zákona c. 121/2000Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o zmene nekterých zá-konu (autorský zákon).

V Praze dne................................... ......................................... podpis

Název práce:

Aplikace invariantu Lieových algeber pro charakterizování kontrakcí

Autor: Pavel Lokvenc

Obor: Matematické inženýrství

Zamerení: Matematická fyzika

Druh práce: Bakalárská práce

Vedoucí práce: Ing. Petr Novotný, Ph.D., Katedra fyziky, Fakulta jaderná a fyzikálne inženýr-ská, CVUT v Praze

Konzultant: prof. RNDr. Jirí Tolar, CSc., Katedra fyziky, Fakulta jaderná a fyzikálne inženýrská,CVUT v Praze

Abstrakt: Práce obsahuje strucný úvod do teorie Lieových algeber. Je zde definice známých in-variantu, jejichž hodnoty jsou vypocteny pro všechny neizomorfní Lieovy algebry do dimenzectyri. Spojitá kontrakce je rádne definována a nekterá nutná kontrakcní kritéria jsou sepsána.Prehledne jsou popsány seznamy vlastních, netriviálních, spojitých jedno-parametrických kon-trakcí do dimenze cryri.

Zobecnení kohomologických kocyklu a takzvané invariantní funkce jsou zadefinovány, ob-zvlášte je diskutována efektivita nove nalezené invariantní funkce.

Klícová slova: invarianty, jedno-parametrická spojitá kontrakce, Lieova algebra

Title:

Application of invariants of Lie algebras for contraction characteristics

Author: Pavel Lokvenc

Abstract: A brief introduction into a theory of Lie algebras is made. There is a number ofinvariants, which are proposed and calculated for every non-isomorphic Lie algebras up to adimension four. A Rigorous definition of an one-parametric continuous contraction is givenand known necessary criteria of contraction are collected. Lists of all possible proper andnontrivial continuous one-parametric contractions of complex Lie algebras up to a dimensionfour are clearly illustrated.

A generalized concept of cohomology cocycles of Lie algebras is formulated and so calledinvariant functions are introduced. In particular, new invariant function is investigated andeffectiveness of this function is discussed.

Key words: invariants, one-parametric continuous contraction, Lie algebra

Obsah

Úvod 8

1 Lieovy Algebry 10

2 Invarianty Lieových algeber 172.1 Strukturní konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Izomorfizmus dvou Lieových algeber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 (α, β, γ)-derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Centrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.4 Horní centrální série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.5 Derivovaná série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.6 Dolní centrální série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.7 Stopa adjungované reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.8 Killingova forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.9 Radikál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.10 Nilradikál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.11 Cartanova podalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.12 Hodnost adjungované a koadjungované reprezentace . . . . . . . . . . 302.3.13 Další invarianty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Komplexní Lieovy algebry do dimenze 3 a jejich invarianty . . . . . . . . . . . 312.4.1 Jedno-dimenzionální Lieova algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Rešitelná dvou-dimenzionální Lieova algebra s nilradikálem 2n1,1 . . . 322.4.3 Rozložitelná trí-dimenzionální Lieova algebra . . . . . . . . . . . . . . 322.4.4 Nilpotentní trí-dimenzionální Lieova algebra . . . . . . . . . . . . . . 322.4.5 Rešitelné trí-dimenzionální Lieovy algebry s nilradikálem 2n1,1 . . . . 322.4.6 Prostá trí-dimenzionální Lieova algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Komplexní Lieovy algebry dimenze 4 a jejich invarianty . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Rozložitelné ctyr-dimenzionální Lieovy algebry . . . . . . . . . . . . . 332.5.2 Nilpotentní ctyr-dimenzionální Lieova algebra . . . . . . . . . . . . . 352.5.3 Rešitelné ctyr-dimenzionální Lieovy algebry s nilradikálem 3n1,1 . . . . 352.5.4 Rešitelné ctyr-dimenzionální Lieovy algebry s nilradikálem n3,1 . . . . 36

6

3 Kontrakce Lieových algeber 383.1 Definice kontrakcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Nejjednodušší typy kontrakcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Nutná kontrakcní kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Kontrakce komplexních nízko-dimenzionálních Lieových algeber . . . . . . . 44

3.4.1 Algoritmus urcování kontrakcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2 Seznam kontrakcí komplexních Lieových algeber do dimenze 4 . . . . 44

3.5 Cástecné usporádání komplexních Lieových algeber . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Invariantní funkce Lieových algeber 514.1 (α, β, γ)-derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Invariantní funkce ψ na dimenzi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Minimální množiny kontrakcních kritérií na dimenzi 3 . . . . . . . . . . . . . 534.4 Twistované kocykly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Invariantní funkce ξ na dimenzi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6 Invariantní funkce ξ na dimenzi 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.7 Efektivita ivnariantní funkce ξ na dimenzi 3 a 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Záver 62

7

Úvod

Teorie Lieových algeber je duležitou matematickou teorií, která nachází mnoho aplikací vefyzice ale i v jiných oblastech matematiky. Intenzivní studium nízko-dimenzionálních Lieovýchalgeber je motivováno jejich širokým využitím v ruzných matematických teoriích, napr. v teoriireprezentací, v teorii indukovaných reprezentací a pri studiu symetrií.

V roce 1951 se poprvé objevuje pojem limitního procesu mezi Lieovými algebrami v Sega-love práci [12]. Motivace pro definici tohoto procesu je ilustrována na následujících príkladech.Prechod od kvantové mechaniky ke klasické mechanice je realizován procesem h → 0 a od-povídá kontrakci Heisenbergovy algebry na algebru Abelovskou. Další velice známý príkladje prechod od Poincarého ke Galileiho grupe symetrií, což má fyzikální význam prechodu odrelativistické ke klasické mechanice.

Pojem kontrakce Lieových algeber se v letech 1953-1954 dále objevuje v pracích [6, 7].Tyto kontrakce se podle svých tvurcu nazývají Inönu-Wignerovi kontrakce (IW-kontrakce) aprestože mají velice jednoduchý tvar, našly široké využití v mnoha matematických a fyzikál-ních problémech. Pozdeji v roce 1967 pánové Doebner a Melsheimer rozširují IW-kontrakcena zobecnené Inönu-Wignerovi kontrakce, které se také nazývají p-kontrakce nebo Doebner-Melsheimrovi kontrakce. Krome zobecnených IW-kontrakcí existují tzv. Saletanovi kontrakce[11], které poskytují jiné rozšírení IW-kontrakcí.

Jedno z nejduležitejších témat teorie Lieových algeber, je problematika struktury Lieovýchalgeber fixní dimenze. Složitost této struktury exponenciálne roste v závislosti na dimenzi. Kon-krétne, Lieovy algebry do dimenze ctyri jsou kompletne klasifikovány a jsou známé všechnyjejich existující kontrakce, pro Lieovy algebry dimenze pet a šest je známa klasifikace a Lie-ovy algebery dimenze vetší než šest jsou klasifikovány pouze pro nekteré speciální prípady(napr. nilpotentní). Teorie kontrakcí poskytuje aparát pro lepší pochopení daného problému.Díky kontarakcím lze totiž na množine Lieových algeber pevne zvolené dimenze definovat cás-tecné usporádání, které je možno chápat jako míru složitosti dané Lieovy algebry. Jinými slovyje možné cástecne usporádat Lieovy algebry fixní dimenze podle složitosti.

S ohledem na predchozí odstavec je hlavním cílem této práce pochopení struktury kom-plexních Lieových algeber do dimenze ctyri. Nejvetší duraz je pritom kladen na jejich jedno-parametrické spojité kontrakce. Klasifikace kontrakcí je realizována pomocí tzv. nutných kon-trakcních kritérií, která využívají invarianty, neboli veliciny zachovávající svoji hodnotu prizmene báze, napr. dimenze radikálu a nilradikálu, pocet Casimirových operátoru, dimenze al-gebry derivací atd. Vuci kontrakci pak invarianty obvykle zachovávají rovnost, resp. nerovnost,na cemž je založena základní myšlenka kontrakcních kritérií. V práci jsou sepsány nekteré zeznámých invariantu, resp. kontrakcních kritérií, navíc jsou zde uvedeny nové, u kterých je ná-sledne provedena diskuze jejich efektivity.

8

Práce má následující strukturu.V první kapitole je shrnuta úvodní teorie Lieových algeber, je zde uvedena samotná defi-

nice Lieovy algebry, definice elementárních pojmu ale i pokrocilejší obecne známé vety, kterénabízejí hlubší pochopení struktury Lieových algeber. Druhá kapitola je celá venována invari-antum. U každého z uvažovaných invariantu je uvedena jeho definice a postup výpoctu, který jenásledne ilustrován na vybraném príkladu. Seznam s hodnotami techto invariantu pro všechnykomplexní Lieovy algebry do dimenze ctyri je sepsán v záveru kapitoly. Zacátek tretí kapi-toly je zameren na definici spojité jedno-parametrické kontrakce a strucne uvádí nejjednoduššítypy kontrakcí, jmenovite Inönu-Wignerovi kontrakce, zobecnené Inönu-Wignerovi kontrakce aSaletanovi kontrakce. V prostrední cásti pak kapitola navazuje na dosažené výsledky z druhékapitoly a pomocí invariantu shrnuje nutná kontrakcní kritéria ve Vete 3.1. Díky výsledkum zdruhé a tretí kapitoly je následne provedena identifikace spojitých kontrakcí komplexních Lieo-vých algeber do dimenze ctyri. V poslední ctvrté kapitole se tato práce venuje tzv. invariantnímfunkcím a jejich efektivite pri identifikaci kontrakcí komplexních Lieových algeber dimenze tria ctyri.

9

Kapitola 1

Lieovy Algebry

První kapitola poskytuje úvod do problematiky Lieových algeber. Obsahem této kapitolyjsou základní pojmy, které popisují strukturu Lieových algeber a umožnují její hlubší pocho-pení. Vetšina definic, resp. vet je prevzata z [13, 10].

Definice 1.1. Komplexní Lineární algebra (A,⊕,, µ) je vektorový prostor (A,⊕,) nad te-lesem C, vybavený bilineárním zobrazením (násobením) µ : A ×A → A. Násobení µ splnuje∀x, y, z ∈ A a α ∈ C

µ(αx + y, z) = αµ(x, z) + µ(y, z), µ(z, αx + y) = αµ(z, x) + µ(z, y). (1.1)

Podle vlastností násobení µ definujeme ruzné typy lineárních algeber:1. Abelovská (komutativní) algebra, když násobení µ komutuje, tj. ∀x, y ∈ A platí

µ(x, y) = µ(y, x). (1.2)

2. Asociativní algebra, když násobení µ (znacíme ·) je asociativní, tj. ∀x, y, z ∈ A platí

µ(x, µ(y, z)) = µ(µ(x, y), z). (1.3)

3. Lieova algebra, když násobení µ (znacíme [ , ]) splnuje ∀x, y, z ∈ A následující podmínky

(Antikomutativitu) : µ(x, y) = −µ(y, x) (1.4)

(Jakobiho identitu) : µ(x, µ(y, z)) + µ(y, µ(z, x)) + µ(z, µ(x, y)) = 0 (1.5)

Poznámka 1.1. Máme-li asociativní algeru (A, · ), pak volbou

[x, y] = x · y − y · x, ∀x, y ∈ A, (1.6)

získáme Lievu algebru.

V následujícím textu budeme pracovat pouze s Lieovými algebrami, proto pro Lienárníalgebru a násobení na ní bude použito znacení (L, [ , ]), oproti klasickému (A, µ( , )).

Dále si zavedeme nekolik pojmu, které budou pozdeji užitecné, pri zkoumání vlastnostíLieových algeber.

10

KAPITOLA 1. LIEOVY ALGEBRY 11

Bud’teA,B vektorové podprostory Lieovy algebry L, potom

[A,B] := span[a, b]| a ∈ A, b ∈ B. (1.7)

PodprostorA Lieovy algebry L je podalgebra, jestliže je uzavrený vuci násobení [ , ],tj. [A,A] ⊂ A.

PodalgebruA Lieovy algebry L nazýváme ideál, když [A,L] ⊂ A.

Lemma 1.1. Bud’teA,B ideály v L, potom [A,B],A + B,A∩B jsou také ideály v L.

Bud’A ideál Lieovy algebry L, potom faktoralgebra podle ideáluA je

L/A := [x] = x +A|x ∈ L, (1.8)

kde je násobení definováno jako [[x], [y]] := [[x, y]], ∀x, y ∈ A.

Centrum Lieovy algebry L je množina

C(L) := x ∈ L| [x, y] = [y, x], ∀y ∈ L. (1.9)

Poznámka 1.2. Centrum tvorí ideál v Lieove algebre.

Definice 1.2. Lieova algebra L se nazývá:1. Abelovská práve tehdy, když [L,L] = 0.2. Prostá práve tehdy, když dim L > 1 a jediné ideály v L jsou 0 a L.3. Poloprostá práve tedky, když jediný Abelovský ideál v L je 0.

Mejme Lieovy algebry (L1, [, ]1) a (L2, [, ]2). Definujeme direktní soucet Lieových algeberL = L1 ⊕ L2, jako direktní soucet jejich vektorových prostoru

L = (x1, x2)|x1 ∈ L1, x2 ∈ L2, (1.10)

kde násobení [ , ] je definováno následovne

[(x1, x2), (y1, y2)] = ([x1, y1]1, [x2, y2]2). (1.11)

Poznámka 1.3. Lieova algebraL je direktním souctem ideáluL1, L2 práve tehdy, kdyžL1, L2 ⊂⊂

L jsou nenulové podprostory a platí [L1,L] ⊂ L, [L2,L] ⊂ L, [L1,L2] = 0. Jinak receno, je-liL = L1 ⊕ L2, potom L1, L2 tvorí ideály v L.

Lieova algebraL se nazývá rozložitelná, když ∃L1,L2 , 0 tak, žeL = L1⊕L2. V opacnémprípade je nerozložitelná.


Definice 1.3. Charakteristické série ideálu v L:1. Derivovaná série L(0) ⊃ L(1) ⊃ ... ⊃ L(n)... definovaná následovne

L(0) = L, L(n+1) = [L(n),L(n)], n ∈ N0. (1.12)

2. Dolní centrální série L1 ⊃ L2 ⊃ ... ⊃ Ln... definovaná následovne

L1 = L, Ln+1 = [Ln,L], n ∈ N. (1.13)

3.Horní centrální série C1(L) ⊂ C2(L) ⊂ ... ⊂ Cn(L)... definovaná následovne

C1(L) = C(L), Cn+1(L)/Cn(L) = C(L/Cn(L)), n ∈ N. (1.14)

Definice 1.4. Lieova algebra L je1. rešitelná, když ∃n ∈ N tak, že L(n) = 0.2. nilpotentní, když ∃n ∈ N tak, že Ln = 0.

Poznámka 1.4. Podle Definice 1.3 platí,L(1) = L2 aL(n) ⊂ Ln+1. Jinými slovy, každá nilpotentníalgebra je rešitelná.

Derivovaná algebra Lieovy algebry L je nnožina D(L) := [L,L]. Jestliže D(L)=L, potomrekneme, že Lieova algebra L je perfektní.

Dusledek 1.1 (Lemmatu 1.1). Bud’A ideál v L, potomAn aA(n) jsou také ideály, ∀n ∈ N.

Lemma 1.2. Pro každou Lieovu algebru L platí:1. Soucet dvou libovolných rešitelných ideálu v L je rešitelný ideál v L.2. Soucet dvou libovolných nilpotentních ideálu v L je nilpotentní ideál v L.

Z predchozí vety plyne, že v každé algebre existují dva unikátní ideály, radikál a nilradikál.Radikál, znacíme R(L), je maximální rešitelný ideál. Nilradikál, znacíme NR(L), je maxi-mální nilpotentní ideál. Tyto ideály jsou unikátní, protože jsou souctem všech rešitelních, resp.nilpotentních ideálu.

Poznámka 1.5. Nyní mužeme charakterizovat poloprosté a rešitelné Lieovy a lgebry pomocíradikálu. Lieova algebra L je poloprostá práve tehdy, když R(L) = 0. Naopak, L je rešitelnápráve tehdy, když R(L) =L.

V souvislousti s ideály v L si ješte uvedeme pojem Cartanovy podalgebry. NormalizátorpodalgebryA Lieovy algebry L je množina

Norm(A) := x ∈ L| [x, y] ∈ A, ∀y ∈ A. (1.15)

Libovolná nilpotentní podalgebra A Lieovy algebry L, která je rovna svému normalizátoru senazývá Cartanova podalgebra.

Mejme Lieovy algebry (L1, [, ]1), (L2, [, ]2) a lineární zobrazení h : L1 −→ L2. Zobrazení hje homomorfismus algeber L1, L2 když

h([x, y]1) = [h(x), h(y)]2, ∀x, y ∈ L1. (1.16)


Jádro ker h := x ∈ L1|h(x) = 0 zobrazení h tvorí ideál v L1. Homomorfismus h, který jesurjektivnní (tj. h(L1) = L2 ) a prostý (tj. ker h = 0) se nazývá izomorfismus. Izomorfismus L1

na L1 se nazývá automorfismus.Jestliže existuje izomorfismus Lieových algeberL a L potom ríkáme, žeL a L jsou izomorfní,

ozn. L L. Relace je ekvivalence na množine Ω všech Lieových algeber, trídu ekvivalenceoznacíme [L] := L ∈ Ω | L L .

Definice 1.5. Bud’ M neprázdná množina a Θ ⊂ Ω tak, že L ∈ Θ ⇒ [L] ⊂ Θ. Jakékolivzobrazení φ : Θ −→ M, které pro všechna L, L ∈ Θ splnuje L L ⇒ φ(L) = φ(L) se nazýváinvariant na Θ.

Bud’ V vetorový prostor nad telesem C, potom prostor lineárních operátoru na V znacímeEnd(V). Umažujeme-li násobení na End(V) definované jako složené zobrazení, tj.

(A B)(x) = A(B(x)), ∀x ∈ L, ∀A, B ∈ End(V), (1.17)

potom End(V) tvorí asociativní algebru. Tímto zusobem (viz. Poznámka 1.1) vytvoríme z End(V)Lieovu algebru, kterou oznacíme gl(V). Je-liL Lieova algebra, potom budeme používat znaceníEnd(L) a gl(L) také pro asociativní, resp. Lieovu algebru lineárních operátoru na L.

Mejme h: L −→ L izomorfismus Lieových algeber, potom z definice izomorfismu plyne, žezobrazení g: gl(L) −→ gl(L), definované pro všechna X ∈ gl(L) jako

g(X) = hXh−1, (1.18)

je izomorfismus Lieových algeber gl(L) a gl(L). Odtud dostáváme, že platí

L L =⇒ gl(L) gl(L). (1.19)

Definice 1.6. Derivace Lieovy algebry L je lineární zobrazení D ∈ gl(L) splnující

D([x, y]) = [D(x), y] + [x,D(y)], ∀x, y ∈ L. (1.20)

Množina všech derivací tvorí Lieovu algebru, kterou oznacímeui Der(L).

Použitím (1.18) okamžite dostáváme

L L =⇒ der(L) der(L). (1.21)

Reprezentace dané Lieovy algebryL na vektorovém prostoru W je lineární zobrazeníL doprostoru End(W) lineárních zobrazení na W, které pusobí na L následovne ρ : L −→ gl(W) : x7−→ ρ(x). Navíc pro všechny x, y prvky z L musí zobrazení ρ splnovat

ρ([x, y]) = ρ(x) ρ(y) − ρ(y) ρ(x). (1.22)

Speciální prípad reprezentace na L je adjugovaná reprezentace

ad : L −→ gl(L) : x −→ ad(x), (1.23)

definovaná pro všechna x, y ∈ L jako

ad(x)(y) = [x, y]. (1.24)

Obvykle se pro adjungovanou reprezentaci používá znacení adx := ad(x), kterého se budemenadále držet.


Poznámka 1.6. Díky Jakobyho identite je adx derivace.

Derivace D Lieovy algebry L je vnitrní, jestliže existuje x ∈ L tak, že

D = adx, tj. D(y) = [x, y], ∀y ∈ L. (1.25)

Všechny derivace, které nejsou vnitrí nazýváme vnejší.

Mejme Lieovu algebru L a její reprezentaci na vektorovém prostoru V. K-koretezec jetotálne antisymetrické lineární zobrazení zL×k := L×L× ...×L do V. Vektorový prostor všechk-koretezcu se znací Ck(L,V; ρ). Direktní soucet Ck(L,V; ρ), k = 0, ..., dim L se nazývá souborkoretezcu a znací se C•(L,V; ρ). Kohomologický operátor d je na C•(L,V; ρ) definovanýpodle jeho pusobení na libovolný k-koretezec následovne

d(c(x1, ..., xk+1)) =

k+1∑i=1

(−1)i+1ρ(xi)c(x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xk+1) (1.26)

+∑

1≤i< j≤k+1

(−1)i+ jc([xi, x j], x1, ..., xi−1, xi+1, ..., x j−1, x j+1, ..., xk+1),

pro každý soubor (k + 1) vektoru x1, ..., xk+1 ∈ L.

Definice 1.7. K-koretezec se nazývá k-kocyklus, když d(c) = 0, tj.

0 =

k+1∑i=1

(−1)i+1ρ(xi)c(x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xk+1) (1.27)

+∑

1≤i< j≤k+1

(−1)i+ jc([xi, x j], x1, ..., xi−1, xi+1, ..., x j−1, x j+1, ..., xk+1).

Vektorový prostor k-kocyklu znacíme Zk(L,V; ρ).

Symetrická bilineární forma ω na L je:1. Ad-invariantní (invariantní)⇔ ω(adxy, z) + ω(y, adxz) = 0,∀x, y, z ∈ L.2. Invariantní vuci automorfismum L ⇔ ω(φ(x), φ(x)) = ω(x, y), ∀ x, y ∈ L a φ automorfis-mus na L.

Definice 1.8. Bud’ L Lieova algebra, potom zobrazení K : L × L −→ C: K(x,y) = Tr(adx ady)se nazývá Killingova forma.

Poznámka 1.7. Stopa je lineární zobrazení, tj. pro libovolné matice A,B na telesem T a libo-volné a, b ∈ T platí

Tr(a · A + b · B) = a · Tr(A) + b · Tr(B). (1.28)

Navíc, požadujeme-li regularitu B, potom platí

Tr(A) = Tr(B−1 · A · B). (1.29)

Predchozí rovnost znamená, že stopa matice A je invariantní vuci podobnostní transformaci. Navektorovém prostoru podobnostní transformace reprezentuje transformaci báze, tedy na vekto-rovém prostoru je stopa matice invariantí vuci zmene báze.


Použitím predchozí poznámky není težké dokázat, že Killingova forma je bilineární, invari-antní vuci automorfismum a ad-invariantní forma.

Na záver této kapitoly ješte uvedeme nekolik známých vet týkajících se Lieových algeber.

Veta 1.1 (Engelova). Lieova algebra L je nilpotentní práve tehdy, když existuje k ∈ N tak, žepro všechna x ∈ L je (adx)k = 0, tj. když všechny operátory adx jsou nilpotentní na L.

A ∈ gl(L) je nilpotentní⇔ ∃n ∈ N tak, že An = 0.

Veta 1.2 (Lieova). Bud’ A podalgebra gl(L). Potom A je rešitelná práve tehdy, když v Lexistuje báze, ve které mají všechny matice lineárních operátoru zA horní trojuhelníkový tvar.

Veta 1.3. Lieova algebra L je rešitelná1. jestliže existuje ideálA v L tak, že L/A je rešitelná.2. práve tehdy, když D(L) je nilpotentní.

V následující vete jsou zahrnuta známá kritéria, která pomocí Killingovy formy urcují, zdaje Lieova algebra rešitelná nebo poloprostá.

Veta 1.4 (Cartanova kritéria). Bud’ K Killingova forma na Lieove algebre L. L je1. poloprostá práve tehdy, když Killongova forma K je nedegerovaná, tj.

L⊥ = x ∈ L | K(x, y) = 0, ∀y ∈ L = 0. (1.30)

2. rešitelná práve tehdy, když pri zúžení na derivovanou algebru D(L), Killingova forma Kvymizí, tj.

K(x, y) = 0, ∀x, y ∈ D(L). (1.31)

Veta 1.5. Radikál R(L) Lieovy algebry L je ortogonální doplnek D(L)⊥ k D(L) vzhledem keKillingove forme na L, tj.

R(L) = x ∈ L | K(x, y) = 0, ∀y ∈ D(L). (1.32)

Jak uvidíme v druhé kapitole, predchozí veta najde využití pri hledání radikálu Lieovy al-gebry.

Bud’ x prvek Lieovy algebry L. Uvažujme lineární operátor adx ∈ gl(L) a jeho zobecnenývlastní podprostor L0(x) príslušející vlastnímu císlu 0, tedy

L0(x) = limn→∞

ker (ad(x))n. (1.33)

Je-li dim L0(x) minimální, tj.

dim L0(x) = miny∈L

dim L0(y), (1.34)

potom rekneme, že x ∈ L je regulární.Nyní si uvedeme vetu, která nám poskytuje návod na hledání Cartanovy podalgebry.


Veta 1.6. Bud’ x regulární prvek Lieovy algebry L, potom L0(x) je Cartanova podlagbera L.Jakákoliv jiná Cartanova podalgebra je s L0(x) izomorfní.

Vlastnosti poloprostých Lieových algeber jsou shrnuty v následující vete.

Veta 1.7. Bud’ L poloprostá Lieova algebra, potom platí1. L je direktním souctem prostých ideálu.2. Všechny ideály a faktoralgebry v L jsou poloprosté.3. L je perfektní, tj. D(L)=L.4. Všechny derivace L jsou vnitrní a C(L)=0.

Na záver ješte uvedeme dve vety, které nám pomohou pochopit strukturu množiny Lieovýchalgeber nad konkrétním, fixním vekrotovým prostorem.

Mejme Lieovy algebry (L1, [, ]1) a (L2, [, ]2) a homomorfismus h : L2 −→ der(L1). Potomdefinujeme poloprostý soucet Lieových algeber L = L1 C L2 jako direktní soucet jejichvektorových prostoru

L = (x1, x2)|x1 ∈ L1, x2 ∈ L2, (1.35)

kde násobení [ , ] je definováno následovne

[(x1, x2), (y1, y2)]h = ([x1, y1]1 + h(x2)y1 − h(y2)x1, [x2, y2]2). (1.36)

Poznámka 1.8. Jediný rozdíl oproti definici direktního souctu je zobrazení h v definici Lieovýchzávorek, položíme-li h ≡ 0, obe definice splynou.

Veta 1.8 (Levi). Každou konecne-dimenzionální Lieovu algebru L lze rozložit na poloprostýsoucet

L = R(L) C P, (1.37)

kde doplnek P radikálu R(L) v L je poloprostá Lieova algebra izomorfní k faktoralgebreL/R(L). Poloprostá Lieova algebra P se nazývá Leviho faktor nebo Leviho podalgebra Lieovyalgebry L.

Veta 1.9 (Malcev). Pro každé dva Leviho faktory P1 a P2 Lieovy algebry L existuje vnitrníautomorfismus Φ tak, že Φ(P1) = P2.

Kapitola 2

Invarianty Lieových algeber

V této kapitole se blíže seznámíme s invarianty Lieových algeber, které v dalších kapitoláchpoužijeme pri urcování izomorfie a kontrakcí nízko-dimenzionálních komplexních Lieovýchalgeber. Všechny uvažované invarianty nejdríve definujeme, poslezé uvedeme postup jejich vý-poctu a na záver tento postup ilustrujeme na príkladu.

2.1 Strukturní konstantyNa úvod této kapitoly si uvedeme duležiný pojem strukturních konstant.

Definice 2.1. Bud’ L Lieova algebra konecné dimenze n ∈ N a ε = (e1, ..., en) báze na L.Komplexní císla ck

i j ∈ C, která jsou pro všechna i, j ∈ n definována jako

[ei, e j] =

n∑k=1

cki jek (2.1)

nazýváme strukturní konstanty Lieovy algebry L vzhledem k bázi ε.

Poznámka 2.1. V textu budeme používat znacení cki j jak pro tenzor strukturních konstant, tak

pro složky tohoto tenzoru. Z kontextu by melo být vždy zrejmé, který prípad nastal.Poznámka 2.2. Máme-li dánu bázi, potom tenzor ck

i j z predchozí definice poskytuje veškerouinformaci o tom, jak je v dané Lieove algebre realizováno násobení. Jinak receno, tenzor ck

i jdefinuje Lieovy závorky na Lieove algebre vzhledem k dané bázi.

Vezmeme-li v úvahu znacení z predchozí definice, potom díky vlastnostem Lieových závo-rek (1.4), resp. (1.5), dostáváme ∀i, j, k ∈ n následující podmínky

[ei, e j] = −[e j, ei], (2.2)

[ei, [e j, ek]] + [e j, [ek, ei]] + [ek, [ei, e j]] = 0, (2.3)

což je v reci strukturních konstant vyjádreno jako

cki j = −ck

ji, (2.4)n∑

l=1

(cmil c

ljk + cm

jlclki + cm

klcli j) = 0. (2.5)

17

KAPITOLA 2. INVARIANTY LIEOVÝCH ALGEBER 18

Poznámka 2.3. Ze vztahu (2.4) je videt, že tenzor cki j je antisymetrický v indexech i a j.

Pro zprehlednení textu, budeme nadále používat Einsteinovu sumacní konvenci. Tedy,vyskytuje-li se v daném výrazu stejný horní i dolní index, potom se v tomto výrazu scítá presvšechny možné hodnoty tohoto (scítacího) indexu.

Príklad 1. Bud’ V n-dimenzionální vektorový prostor s bází ε = (e1, ..., en). Potom pro libovolnývektor x ∈ V , použitím Einsteinovi sumacní konvence, dostaneme

x =

n∑i=1

xiei = xiei, (2.6)

kde xi jsou ∀i ∈ n souradnice vektoru x v bázi ε.

Poznámka 2.4. V predchozím príkladu stojí za povšimnutí, že souradnice vektoru v bázi majíindexy nahore. To je konvence, kterou budeme dodržovat v celé práci.

2.2 Izomorfizmus dvou Lieových algeberZdánlive nejsnažší cesta [13] k urcení zda jsou dve Lieovy algebry izomorfní, je explicitní

zmena báze, která transformuje strukturní konstanty. Tento prístup ovšem vede k rešení neline-ární soustavy rovnic, což je obecne obtížne proveditelné. Konkrétne, mejme dve n-dimenzionálníLieovy algebry L a L s bázemi ε = (e1, ..., en) a ε = (e1, ..., en), respektive. Pomocí strukturníchkonstant definujeme jejich Lieovy závorky

[ei, e j] = cki jek, [ei, e j] = ck

i jek, ∀i, j, k ∈ n. (2.7)

Nyní hledáme regulární transformaci A tak, že

ei = Aki ek, [ei, e j] = ck

i jek, ∀i, j, k ∈ n. (2.8)

Tímto zpusobem dostaneme n2(n − 1)/2 kvadratických rovnic pro prvky matice A, tedy

Aki Al

jcmkl = ck

i jAmk , det A , 0. (2.9)

Jestliže existuje rešení této soustavy (existuje matice, jejíž prvky splnují soustavu (2.9)), potomjsou algebry L a L izomorfní. Jak jsme predesílali, hledání takového rešení je obecne složité,proto budeme úlohu izomorfie dvou Lieových algeber rešit jinou cestou.

Urcení zda jsou Lieovy algebry vzájemne neizomorfní budeme provádet pomocí invariantu,tj. na bázi nezávislých vlastností Lieových algeber (viz. definice 1.5). Príklady techto invari-antu mohou být, dimenze ideálu, vlastnosti Killingovy formy, dimenze prostoru derivací atd..Z duvodu toho, že se objevují stále nové invarianty, nemuže existovat jejich úplný seznam. Myv následující sekci udeveme nekteré duležíté invarianty, které budeme používat v pozdejšíchkapitolách pri zkoumání dalších vlastností Lieových algeber. Nekteré z techto invarianu budouciste elementální, tedy takové, které zle jednoduše urcit výpoctem Lieových závorek v ruce. Ne-které budou více sofistikované, pri jejihž výpoctu je témer nezbytné využít nejaký pocítacovýsoftware.


2.3 InvariantyBud’ n ∈ N libovolné, pevne zvolené prirozené císlo. Pokud nebude receno jinak, potom v

celé sekci budeme predpokládat komplexní n-dimenzionální Lieovu algebru L = (Cn, [, ]), nakteré si urcíme libovolnou, pevne zvolenou bázi s oznacením ε = (e1, ..., en). Jakmile jsme taktozavedli Lieovu algebru s bazí, máme jednoznacne urcené strukturní konstanty (viz. poznámka2.2), které oznacíme ck

i j pro všechna i, j, k ∈ n. Dále, budeme-li používat Einsteinovu sumacníkonvenci, potom scítací indexy budou vždy probíhat množinu n = 1, 2, ..., n.

Poznámka 2.5. Bud’ d : L1 7→ L2 izomorfismus Lieových algeber (L1, [, ]1) a (L2, [, ]2). Bud’A ideál Lieovy algebry L1, tedy

[A,L1]1 ⊂ A. (2.10)

Necháme-li nyní pusobit izomorfismus d na obe strany inkluze (2.10) dostaneme

d([A,L1]1) = [d(A), d(L1)]2 = [d(A),L2]2 ⊂ d(A), (2.11)

kde jsme využili toho, že pro izomorfismus platí d(L1) = L2. Z poslední inkluze plyne, žed(A) je ideál v L2. Ukázali jsme, že obraz ideálu pri izomorfním zobrazení je opet ideál. Je-likož dimenze ideálu pri izomorfním zobrazení se nutne zachovává, je dokázáno, že dimenzelibovolného ideálu je invariant.

2.3.1 DerivaceJako první invariant Lieovy algebry L uvedeme nD := dimDerL, tj. dimenze prostoru de-

rivací Lieovy algebry L. V první kapitole (konkrétne (1.18)) jsme ukázali, že toto císlo je sku-tecne dobre definovaný invariant. Tento invariant má veliký význam pri urcování spojitých kon-trakcí, proc tomu tak je uvidíme v dalších kapitolách (viz. Poznámka 3.4).

Výpocet tohoto invariantu je pomerne pracný, proto je temer vždy nutné využít k tomutoúcelu pocítac. Podle Definice 1.6 je lineární operátor A ∈ gl(L) derivace Lieovy algebry L,když platí

A[x, y] = [Ax, y] + [x, Ay], ∀x, y ∈ L. (2.12)

Díky linearite Lieových závorek stací podmínku splnit pro vektory z báze ε

A[ei, e j] = [Aei, e j] + [ei, Ae j], ∀i, j ∈ n. (2.13)

Oznacíme-li pro všechna i, j ∈ n prvky matice zobrazení A v bázi ε jako aki , potom platí Aei =

aki ek a predchozí výraz prejde na

cki ja

lkel = ak

i clk jel + ak

jclikel, ∀i, j ∈ n, (2.14)

pricemž jsme využili bilinearity Lieovy závorky a definice strukturních konstant. Konecne, vy-užitím lineární nezavislsti vektoru báze ε obdržíme soustavu rovnic

cki ja

lk − ak

i clk j − ak

jclik = 0, ∀i, j, l ∈ n. (2.15)

Na první pohled je toto soustava n3 rovnic pro n2 neznámích prvku matice aki . Ovšem podíváme-

li se pozorneji a uvedomíme-li si, že tenzor cki j je antisymetrický v indexech i a j (tj. ck

i j = −ckji


pro všechna i, j, k ∈ n), potom zjistíme, že soustava obsahuje maximálne n · n(n − 1)/2 lineárnenezávislích rovnic. Oznacíme-li matici soustavi (2.15) jako A, potom platí

nD = n2 − rankA. (2.16)

Príklad 2. Pro ukázku výpoctu vybereme nekterou z jednodušších 3-dimenzionálních algeber.Jedna z nejjednodušších Lieových algeber je 3-dimenzionální Heisenbergova algebra n3,1,

definovaná komutacní tabulkou:e1 e2 e3

e1 0 0 0e2 0 0 e1

Z komutacních relací vidíme, že jediné nenulové prvky tenzoru srukturních konstant cki j jsou

c123 = 1 a c1

32 = −1. Z (2.15) dostáváme:

l = 1 : cki ja

1k − ak

i c1k j − ak

jc1ik = 0,

l = 2 : cki ja

2k = 0, (2.17)

l = 3 : cki ja

3k = 0.

Po dosazení konkrétních hodnot tenzoru cki j a výpoctu príslušných matic dostaneme:

l=1: 0 0 00 0 a1

10 −a1

1 0

+ 0 a3

1 −a21

0 a32 −a2

20 a3

3 −a23

+ 0 0 0−a3

1 −a32 −a3

3a2

1 a22 a2

3

=

0 a31 −a2

1−a3

1 0 a11 − a2

2 − a33

a21 −a1

1 + a22 + a3

3 0

= 0,

l = 2 :

0 0 00 0 a2

10 −a2

1 0

= 0, (2.18)

l = 2 :

0 0 00 0 a3

10 −a3

1 0

= 0.

Nulami na pravých stranách maticových rovnic (2.18) rozumíme nulové matice. Porovnáme-li vtéto soustave clen po clenu, dostaneme kýženou soustavu n3 = 27 rovnic pro n2 = 9 neznámýchprvku matice zobrazení A v bázi ε. Nyní je ovšem názorne videt, že díky antisymetrii tenzoruck

i j v indexech i a j obdržíme nanejvýš n2 · (n − 1)/2 = 9 nezávislích rovnic. Soustava má vmaticovém tvaru následující podobu:

0 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0−1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 0 0

·

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

=

000000000

. (2.19)


Okamžite vidíme, že hodnost matice této soustavi je 3. Tedy nD = 6.

2.3.2 (α, β, γ)-derivacePojem derivace Lieovy algebry zavedený Definicí 1.6 lze zobecnit. Definice a vety v této

sekci prevzaty z clánku [9].

Definice 2.2. Bud’ α, β, γ ∈ C, potom (α, β, γ)-derivace Lieovy algebry L je lineární zobrazeníD ∈ gl(L) splnující

αD[x, y] = β[Dx, y] + γ[x,Dy]. (2.20)

Pro pevné (α, β, γ) ∈ C onacíme množinu (α, β, γ)-derivací jako D(α, β, γ). V reci matema-tických symbolu:

D(α, β, γ) = D ∈ gl(L) | αD[x, y] = β[Dx, y] + γ[x,Dy], ∀x, y ∈ L (2.21)

Veta 2.1. Bud’ g : L 7→ L izomorfizmus Lieových algeber L a L. Potom zobrazení h : gl(L) 7→gl(L) definované pro všechna D ∈ gl(L) jako h(D) = gDg−1 je izomorfizmus Lieových algebergl(L) a gl(L).

Zanecháme-li znacení z predchozí vety, dostáváme pro všechna x, y ∈ L

[x, y]L = g[g−1x, g−1y]L. (2.22)

Pro všechna α, β, γ ∈ C a pro D∈ D(α, β, γ) podle Definice 2.2 platí

αD[g−1x, g−1y]L = β[Dg−1x, g−1y]L + γ[g−1x,Dg−1y]L. (2.23)

Použitím identity I = gg−1 prepíšeme tento výraz následovne:

αDg−1g[g−1x, g−1y]L = β[g−1gDg−1x, g−1y]L + γ[g−1x, g−1gDg−1y]L. (2.24)

Aplikováním izomorfizmu g na predchozí rovnost, získáme použitím (2.22) výraz

αgDg−1[x, y]L = β[gDg−1x, y]L + γ[x, gDg−1y]L, (2.25)

tj. gDg−1 ∈ D(α, β, γ).Tento výsledek dohromady s Vetou 2.1 dává duležíté tvrzení.

Tvrzení 2.1. Pro všechna α, β, γ ∈ C je dimenze vektorového prostoru D(α, β, γ) invariantLieovy algebry L.

2.3.3 CentrumCentrum Lieovy algebry L tvorí ideál v L. Pri výpoctu dimenze centra nZ := dimC(L)

budeme vycházet z definicního vztahu

C(L) = x ∈ L|[x, y] = [y, x],∀y ∈ L. (2.26)


Hledáme všechna taková x ∈ L, že

[x, y] = [y, x], ∀y ∈ L. (2.27)

Využijeme-li báze ε, mužeme predchozí výraz ekvivalentne prepsat následovne

[x, ei] = [ei, x], ∀i ∈ n. (2.28)

Dále oznacíme souradnice vektoru x v bázi ε jako xi pro všechna i ∈ n. Rozvoj vektoru x vbázi má nyní tvar x = xiei. Dosazením do (2.27), dostaneme s využitím antikomutavivity abilinearity Lieových závorek vztah

xi[ei, e j] = 0, ∀ j ∈ n. (2.29)

Jinými slovy hledáme rešení soustavy rovnic

xicki j = 0, (2.30)

kde j, k ∈ n. Dimenze centra se potom vypocte jako

nZ = n − rankA, (2.31)

kde A je matice soustavy (2.30).

Príklad 3. Mejme algebru n4,1, jejíž komutacní tabulka má tvar:

e1 e2 e3 e4

e1 0 0 0 0e2 0 0 e1

e3 0 e2

Z uvedené komutacní tabulky ihned vidíme, že jediné nenulové strukturní konstanty jsou:

c142 = −1, c1

24 = 1 a c243 = −1, c2

34 = 1. (2.32)

Tyto hodnoty dosadíme do (2.30) a dostaneme soustavu rovnic:

k = 1, j = 2 : −x4 = 0,k = 1, j = 4 : x2 = 0, (2.33)k = 2, j = 3 : −x4 = 0,k = 2, j = 4 : x3 = 0,

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

·

x1

x2

x3

x4

=

0000

.Centrum generováno vektorem e1. Dimenze centra tedy je dim C(s4,3) = 1.


2.3.4 Horní centrální sérieDefinice 2.3. Bud’ L Lieova algebra, potom definujeme posloupnost nezáporných celých císelUS jako

US := [dim C1(L), dim C2(L), ... , dim Ck(L)] (2.34)

kde k ∈ N je minimální prirozené císlo takové, že dim Ck = dim Ci pro všechna i > k, i ∈ N.

Je zjevné, že výpocet CS bude probíhat v krocích:

1. KrokPodle definice Horní centrální série platí:

C1(L) = C(L). (2.35)

Výpocet Centra Lieovy algebry L byl ilustrován v predchozí podsekci.

Pokracování výpoctu US je závislé na tom, který z následujících trí disjunktních prípadu na-stane:1. dim C1(L) = dim L. V tomto prípade je výpocet u konce a US = [dim C1(L)].2. Dim C1 = 0. V tomto prípade je výpocet také u konce a US = [dim C1(L)].3. Dim L > dim C1(L) > 0. V tomto prípade výpocet pokracuje krokem 2.

2. KrokZnovu vyjdeme z definice Horní centrální série, která ríká:

C2(L)/C1(L) = C(L/C1(L)). (2.36)

Bud’ n1 := dim C(L) a (e11, ... , e

1n1) báze C1(L), kterou známe z 1. Kroku. Nyní provedeme

regulární transformaci báze ε na bázi ε1.

ε1 := (e11, ... , e

1n1 , en1+1, ... , en) (2.37)

Jinými slovy, nahradili jsme n1 vektoru báze ε, vektory (e11, ... , e

1n1) z báze C1(L) a nove

vzniklou bázi jsme preusporádali do tvaru, kde bazické vektory C1(L) jsou na prvním míste.Vzhledem k tomu, že ∀n ∈ N jsou dim Cn(L) invarianty Lieovy algebry L, zachovají se pri tétotransformaci báze hodnoty clenu posloupnosti US. Nyní, vyrešením soustavy rovnic

xicki j = 0, j, k ∈ n1 + 1, ... , n, (2.38)

dostaneme souradnice bazických vektoru C2(L)/C1(L) = C(L/C1(L)). Pro všechny j, k ∈ n1 ai ∈ n jsme ve výrazu xick

i j dostali nuly, v indexu j díky tomu, že vektory e j jsu z centra, v in-dexu k díky faktorizaci L podle centra. Sjednocením množiny bazických vektoru C2(L)/C1(L)a množiny vektoru báze C1(L) dostaneme množinu bazických vektoru C2(L).

Tri prípady:1. Dim C2(L) = C1(L). Výpocet koncí, US = [dim C1(L)].2. Dim C2 = dim L. Výpocet koncí, US = [dim C1(L), dim C2(L)].


3. Dim L > dim C2(L) > dim C1(L). V tomto prípade výpocet pokracuje krokem 3.

k-tý Krok

Ck(L)/Ck−1(L) = C(L/Ck−1(L)). (2.39)

Predpokládáme, že známe nk−1 = dim Ck−1(L) a bázi (ek−11 , ... , ek−1

nk−1) ideálu Ck−1(L).Oznacíme-li εk := (ek−1

1 , ... , ek−1nk−1 , ek−1

nk−1+1, ... , en), potom rešením soustavy rovnic

xicki j = 0, j, k ∈ nk−1 + 1, ... , n (2.40)

získáme souradnice bazických vektoru prostoru Ck(L)/Ck−1(L) = C(L/Ck−1(L)). Sjednocenímvektoru báze Ck(L)/Ck−1(L) s vektory báze Ck−1(L) získáme bazické vektory Ck(L).

Tri prípady:1. Dim Cn(L) = Cn−1(L). Výpocet koncí, US = [dim C1(L), dim C2(L), ..., dim Cn−1(L)].2. Dim Cn = dim L. Výpocet koncí, US = [dim C1(L), dim C2(L), ..., dim Cn(L)].3. Dim L > dim Cn(L) > dim Cn−1(L). V tomto prípade výpocet pokracuje krokem k+1.

Príklad 4. Navážeme na Príklad 3 a dopocítáme posloupnost CS pro Lieovu algebru n4,1.

1.KrokVíme, že centrum je podprostor generovaný vektorem e1 a jeho dimenze je 1. Pokracujeme kro-kem 2.

2.KrokPodle postupu máme vypocítat centrum faktoralgebry n4,1/C1(n4,1) jejíž bazické vektory jsoue2, e3, e4. Vyjdeme ze vztahu (2.32), (2.33) a dostaneme soustavu

k = 2, j = 3 : −x4 = 0,k = 2, j = 4 : x3 = 0,

(0 1 00 0 1

)·

x2

x3

x4

=

000

. (2.41)

Ihned dostáváme, že bazický vektor C2(n4,1)/C1(n4,1) je e2. Odkud bazické vektory C2(n4,1) jsou(e1, e2). Dimenze dim C2(n4,1) = 2. Pokracujeme krokem 3.

3. Krok

Chceme vypocítat centrum faktor faktoralgebry n4,1/C2(n4,1). Její bazické vektory jsou (e3, e4).Napríklad z (2.33) vidíme, že tako fakroralgebra je Abelovská. Bazické vektory C3(n4,1) jsou(e1, e2, e3, e4) a dimenze dim C3(n4,1) = 4.

Celkove US = [1,2,4].


2.3.5 Derivovaná sérieDefinice 2.4. Bud’ L Lieova algebra, potom1. definujeme posloupnost nezáporných celých císel DS jako

DS := [dim L(1), dim L(2), ... , dim L(k)] (2.42)

kde k ∈ N je minimální prirozené císlo takové, že dim L(k) = dim L(i) pro všechna i > k, i ∈ N.2. je-liL rešitelná, definujeme hodnost rešitelnosti rs jako minimální k ∈ N takové, žeL(k) = 0.

Víme, ža ∀k ∈ N je L(k) ideál v L. Mužeme tedy ríct, že DS je posloupnost invariantu v L.Ovšem ze stejného duvodu musím být invariant i hodnost rešitelnosti rs.

Postup výpoctu DS a rs je stejne jako u Horní centrální série rozdelen do kroku:

1.KrokZ Definice 1.3 víme, že

L(1) = span[L,L] = span[x, y] | ∀x, y ∈ L = (2.43)= span[ei, e j] | i, j ∈ n = spanck

i jek | i, j ∈ n (2.44)

Vidíme, že ∀i, j ∈ n lineární obal vektoru (cki jek) vytvárí derivovanou algebru L(1). Maxi-

mální pocet lineárne nezávislých vektoru tohoto linéárního obalu je roven dimenzi derivovanéalgebryL(1), ozn. n(1) := DimL(1). Pokud je to možné (muže se stát, že dimL(1) = 0), vyberemebázi derivované algebry a oznacíme jí ε(1) := (e(1)

1 , ... , e(1)n(1)).

Pokracovat budeme podle toho, který ze trí disjunktních prípadu nastane:1. Dim L(1) = dim L. V tomto prípade jsme s výpoctem u konce. Lieova algebra L není reši-telná a DS = [dim L(1)].2. Dim L(1) = 0. V tomto prípade je výpocet také u konce ale Lieova algebra je rešitelná. DS= [dim L(1)] a rs = 1.3. Dim L > dim L(1) > 0. V tomto prípade pokracujeme krokem 2.

2.KrokChceme urcit dimenzi

L(2) = span[L(1),L(1)] = span [x, y] | ∀x, y ∈ L(1). (2.45)

Budeme postupovat jako v prvním kroku. Vyjádríme komutacní relace báze ε(1) derivovanéalgebry L(1):

[e(1)i , e(1)

j ] = ck (1)i j e(1)

k . (2.46)

Stejne jako v prnvím kroku urcíme z lineárního obalu (ck (1)i j e(1)

k ) dimenzi n(2) := Dim L(2),prípadne bázi ε(2) := (e(2)

1 , ... , e(2)n(2)) ideálu L(2).

Tri prípady obdobné kroku 1:1. Dim L(2) = dim L(1). Výpocet koncí. L není rešitelná a DS = [dim L(1)].2. Dim L(2) = 0. Výpocet koncí. L je rešitelná, DS = [dim L(1), dim L(2)] a rs = 2.


3. Dim L(1) > dim L(2) > 0. Výpocet pokracuje krokem 3.

m-tý KrokBud’ m ∈ N.

L(m) = span[L(m−1),L(m−1)] = span [x, y] | ∀x, y ∈ L(m−1). (2.47)

Komutacní relace báze ε(m−1) ideálu L(m−1):

[e(m−1)i , e(m−1)

j ] = ck (m−1)i j e(m−1)

k . (2.48)

Urcíme n(m) := Dim L(m), poprípade bázi ε(m) := (e(m)1 , ... , e(m)

n(m)) ideálu L(m).

Prípady:1. DimL(m) = dimL(m−1). Výpocet koncí.L není rešitelná a DS = [dimL(1), dimL(2), ... , dimL(m−1)].2. DimL(m) = 0. Výpocet koncí.L je rešitelná, DS = [dimL(1), dimL(2), ... , dimL(m)] a rs = m.3. Dim L(m−1) > dim L(m) > 0. Výpocet pokracuje krokem m + 1.

Zjevne takto mužeme provést nejvýše n kroku.

Príklad 5. Uvažujme Lieovu algebru s4,3:

e1 e2 e3

e4 e1 ae2 be3

kde a, b ∈ C, 0 < |b| < |a| ≤ 1, (a, b) , (−1,−1) .

1. Krok[ei, e j] = e1, ae2, be3, ∀i, j ∈ 4 =⇒ dim L(1) = 3 (2.49)

2. Krok[ei, e j] = 0, ∀i, j ∈ 3 =⇒ dim L(2) = 0 (2.50)

Vidíme, že L je rešitelná a DS = [3, 0], rs = 2.

2.3.6 Dolní centrální sérieDefinice 2.5. Bud’ L Lieova algebra, potom1. definujeme posloupnost nezáporných celých císel CS jako

CS := [dim L1, dim L2, ... , dim Lk] (2.51)

kde k ∈ N je minimální prirozené císlo takové, že dim Lk = dim Li pro všechna i > k, i ∈ N.2. je-li L nilpotentní, definujeme hodnost nilpotence rn jako minimální k ∈ N takové, žeLk = 0.


Argumentace, že CS a rn jsou invarianty je totožná jako pro DS a rs, respektive. Ve skutec-nosti i postup výpoctu techto dvou invariantu je témer stejný jako výpocet invariantu DS a rn.

m-tý KrokBud’ m ∈ N. Predpokládáme, že už máme vypoctenou dimenzi nm−1 := dimLm−1 a bázi

εm−1 := (e 11 , ... , e

m−1nm−1 ) ideálu Lm−1. Z 1. kapitoly víme, že

Lm = [Lm−1,L] = [x, y] | ∀x ∈ Lm−1, ∀y ∈ L. (2.52)

Rozdíl oproti derivované sérii nyní spocívá v tom, že nebereme vzájemné komutacní re-lace vektoru z báze εm−1 ale bereme komutacní relace vektoru z báze εm−1 s vektory z báze ε.Konkrétne:

[em−1i , e j] = ck m−1

i j em−1k , (2.53)

kde em−1i jsou ∀i ∈ nm−1 vektory báze εm−1 a e j jsou ∀ j ∈ n vektory báze ε. Dále, ck m−1

i j jsoustrukturní konstanty báze, která je složená z vektoru (e 1

1 , ... , em−1

nm−1 ) a n−nm−1 vektoru z (e1, ..., en)doplnujících (e 1

1 , ... , em−1

nm−1 ) na bázi L. Nyní stejne jako u derivované série vypocítáme z line-árního obalu vektoru (ck m−1

i j em−1k ) dimenzi nm := DimLm, poprípade bázi εm := (e 1

1 , ... , em

nm)ideálu Lm.

Postup je kompletní uvedomíme-li si, že 1. krok tohoto výpoctu se shoduje s 1. krokemvýpoctu derivované série.

Príklad 6. Znovu uvažujeme Lieovu algebru s4,3.

1.Krok[ei, e j] = e1, ae2, be3, ∀i, j ∈ 4 =⇒ dim L1 = 3 (2.54)

2.Krok[ei, e j] = e1, ae2, be3, ∀i ∈ 3,∀ j ∈ 4 =⇒ dim L2 = 3 (2.55)

Vidíme, že L není nilpotentní a CS = [3].

2.3.7 Stopa adjungované reprezentaceV první kapitole jsme definovali adjungovanou reprezentaci jako prvek množiny gl(L), kon-

krétneadx(y) = [x, y], ∀x, y ∈ L. (2.56)

Zvolíme-li nyní vektor x libovolne pevne, potom díky Poznámce 1.7 víme, že Tr(adx) je invari-antní vuci zmene báze. To znamená, že pro libovolné pevne zvolené x ∈ L je Tr(adx) invariantLieovy algebry L. Jediné co nyní musíme udelat, je najít matici zobrazení adx v libovolné bázi.Necháme-li pusobit zobrazení adx postupne na všechny vektory báze ε, dostaneme pro rádkymatice tohoto zobrazení v bázi ε následující vztah

(adx)• j = [x, e j] = [xiei, e j] = xicki jek, ∀ j ∈ n, (2.57)

kde xi jsou ∀i ∈ n souradnice vektoru x v bázi ε. Matice zobrazení adx v bázi ε má tedy tvar:

(adx)k j = xicki j, ∀k, j ∈ n. (2.58)


Odtud už snadno získáme stopu této matice:

Tr(adx) = xickik (2.59)

Príklad 7. Lieova algebra s4,3:Z komutacních relací této algebry (viz. Príklad 5) dostaneme, že jediné nenulové prvky

tenzoru strukturních konstant cki j jsou:

c141 = −1, c2

42 = −a, c343 = −b,

c114 = 1, c2

24 = a, c334 = b.

Použitím odvozeného vztahu (2.59) dostáváme:

Tr(adx) = − x4 − ax4 − bx4 = −x4(a + b + 1) (2.60)

2.3.8 Killingova formaPro libovolné pevné x, y ∈ L je Killingova forma K(x, y) = Tr(adxady) invariant Lieovy al-

gebryL. Argumentace tohoto výroku je ekvivalentní argumentaci invariance stopy adjungovanéreprezentace. Pri výpoctu Killingovy formy pro libovolne pevne zvolené x, y ∈ L využijemeznalosti matic zobrazení adx a ady v bázi ε:

(adx)ik = xmcimk, (ady)k j = ynck

n j ∀i, j, k ∈ n, (2.61)

kde xm a yn jsou ∀n,m ∈ n souradnice vektoru x, resp. y v bázi ε. Odtud urcíme matici zobrazeníadx ady v bázi ε:

(adx ady)i j = (adx)ki (ady)k j = xmci

mkynck

n j, ∀i, j ∈ n. (2.62)

Zbývá vypocítat stopu této matice:

K(x, y) = Tr(adx ady) = xmcimkynck

ni. (2.63)

Díváme-li se na Killingovu formu jako na bilineární formu, potom z (2.63) ihned urcíme jejímatici:

(K)mn = cimkc

kni, ∀m, n ∈ n. (2.64)

Hodnost matice rankK se zachovává, je to tedy invariant.Príklad 8. Lieova algebra s4,3:

Jak vypadá tenzor strukturních konstant jsme si ukázali v Príklade 7. Z (2.63) dostáváme,že jediné nenulové scítance v Killingove forme jsou:

K(x, y) = x4y4c141 + x4y4c2

42 + x4y4c343 (2.65)

Dosazením za prvky tenzoru cki j obdržíme výsledek:

K(x, y) = x4y4 + x4y4a2 + x4y4b2. (2.66)

Odtud ješte urcíme matici Killingovy formy:

K =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1 + a2 + b2

. (2.67)

Hodnost rank(K) je 1 pro a2 + b2 , −1, jinak 0.


2.3.9 RadikálDíky Vete 1.5 dokážeme pomerne snadno urcit radikál Lieovy algebry L jako

R(L) = x ∈ L| Tr(adx ady) = 0, ∀y ∈ D(L). (2.68)

Nejdríve musíme najít bazické vektory D(L) (viz. napr. 2.3.5 Derivovaná série, 1. Krok). Tytovektory oznacíme ε = (e1, e2, ..., ep), kde p ≤ n, p ∈ N je dimenze D(L). Máme-li tuto bázi,potom použitím (2.68) a dríve odvozeného vzorce pro Killingovu formu (2.63), dostaneme sou-stavu rovnic

Tr(adx ade1) = xmcimke

j1ck

ji = 0,

Tr(adx ade2) = xmcimke

j2ck

ji = 0,... (2.69)

Tr(adx adep) = xmcimke

jpck

ji = 0,

kde e jl jsou pro všechna j ∈ n souradnice vektoru el v bázi ε.

Pro i′, j′ ∈ n platí [ei′ , e j′] = cki′ j′ek. Nyní si uvedomíme, že ck

i′ j′ jsou ∀k ∈ n bud’ souradnicenulového vektoru, nebo souradnice nejakého vektoru báze D(L) v bázi ε. Projdeme-li nynívšechna i′ ∈ 2, ... , n, j′ ∈ 1, ... i′ − 1 (díky antisymetrii tenzoru komutacní tabulky stacíprocházet jen prvky pod diagonálou), dostaneme postupne souradnice všech vektoru báze D(L)v bázi ε. Touto úvahou mužeme soustavu (2.69) zapsat v elegantnejším tvaru

xmcimkc

ji′ j′c

kji = 0, ∀i′ ∈ 2, ..., n, ∀ j′ ∈ 1, ..., i′ − 1. (2.70)

Vyrešením jedné z ekvivalentních soustav (2.69), resp. (2.70) získáme souradnice bazickýchvektoru radikálu R(L) v bázi ε. Dim R(L) se snadno urcí jako pocet techto souradnicovýchvektoru.Príklad 9. Lieova algebra s4,3:

Z príkladu 5 víme, žeD(s4,3) = e1, ae2, be3. (2.71)

Na prnví pohled vidíme jak vypadají souradnice techto vektoru v bázi ε = (e1, ..., en):1000

,

0a00

,

00b0

. (2.72)

Dále z Príkladu 8 víme, jak vypadá Killingova forma algebry s4,3:

Ks4,3(x, y) = x4y4 + x4y4a2 + x4y4b2. (2.73)

Postupným dosazením souradnicových vektoru (2.72) do Killingovy formy dostaneme násle-dujíci soustavu rovnic v maticovém tvaru: 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

.

x1

x2

x3

x4

=

000

. (2.74)


Ihned vidíme, že dim R(L) = 4. Tento výsledek nás ovšem neprekvapuje, protože z Príkladu 5víme, že s4,3 je rešitelná.

2.3.10 NilradikálStejne jako radikál, je i nilradikál ideál Lieovy algebry L, proto je i dim N(L) invariant.

Narozdíl od radikálu je urcení nilradikálu obecne obtížnejší a postup zde uvádet nebudeme.Podrobne je tento postup popsán napríklad v [13].

2.3.11 Cartanova podalgebraVeta 1.6 ríká, že je-li x ∈ L regulární, potom Cartanova algebra odpovídá zobecnenému

vlastnímu podprostoruL0(x) vlastního císla 0 pri zobrazení adx. DimL0(x) je rovna algebraickénásobnosti vlastního císla 0. Jelikož násobnost jakéhokoliv vlastního císla je invariantní, je idimenze Cartanovy algebry invariant Lieovy algebry L. Tuto dimenzi oznacíme rL.

Výpocet rL mužeme zapsat v jednoduché forme následovne:

rL = n −maxx∈L

rank(xicki j)

n. (2.75)

Príklad 10. Lieova algebra s4,3:Z Príkladu 7 známe tvar tenzoru strukturních konstant ck

i j. Použitím vzorce (2.58) snadnonahlédneme, že pro libovolné x ∈ s4,3 má matice zobrazení adx v bázi ε tvar

−x4 0 0 x3

0 −ax4 0 ax3

0 0 −bx4 bx3

0 0 0 0

, (2.76)

kde xi jsou ∀i ∈ 4 souradnice vektoru x v bázi ε. Pro zprehlednení budeme nyní psát indexysouradnic vektoru dole. N-tá mocnina predchozí matice má tvar:

(−x4)4 0 0 −(x4)3x3

0 (−ax4)4 0 −a4(x4)3x3

0 0 (−bx4)4 −b4(x4)3x3

0 0 0 0

, (2.77)

Regulární jsou taková x ∈ L, která mají ctvrtou souradnici nenulovou, pro taková x je hodnostmatice (2.77) rovna trem. Odtud rs4,3 = 3.

2.3.12 Hodnost adjungované a koadjungované reprezentacePro podrobnejší informace ohledne invariantu v této sekci se odkazujeme na [13].Hodnost koadjungované reprezentace rank (ad∗L) := maxx∈V∗ rank (ck

i jxk) je invariant LieovyalgebryL. Pro všechna k ∈ n jsou xk souradnice vektoru x v duální bázi ε∗ s indexem dole. Císlon − rank (ad∗L) pak predstavuje pocet zobecnených Casimirových invariantu.


Situace se nezmení ani pro hodnost adjungované reprezentace rank(adL) := maxx∈V rank (cki jx

j),kde x j jsou ∀ j ∈ n souradnice vektoru x v bázi ε. Hodnost adjungované reprezentace je takéinvariant Lieovy algebry L.

Príklad 11. Lieova algebra s4,3:Kompletní komutacní tabulka této algebry má tvar:

e1 e2 e3 e4

e1 0 0 0 e1

e2 0 0 0 ae2

e3 0 0 0 be3

e4 -e1 -ae2 be3 0

(2.78)

Okamžite vidíme, že rank (ad∗s4,3) = 2.

2.3.13 Další invariantyNa záver povídání o invariantech si strucne uvedeme nekteré invarianty, které jsou použité

v [8]. Temito invarianty se v této práci budeme zabývat pouze okrajove, pro bližší informace seproto odkazujeme na práve zmínený clánek.

Konkrétne se jedná o dimenzi maximální Abelovské podalgebryL (ozn. nA), dimenzi maxi-málního Abelovského ideálu v L (ozn. nAi) a invariant Cpq definovaný pro u, v ∈ L následovne

Cpq =tr(ad p

u )tr(ad qv )

tr(ad pu ad q

v ), p, q ∈ N, (2.79)

za predpokladu, že tr(ad pu ) , 0, tr(ad q

u ) , 0, tr(ad pu ad q

v ) a dále, že hodnota Cpq nezávisí na u av.

2.4 Komplexní Lieovy algebry do dimenze 3 a jejich invari-anty

2.4.1 Jedno-dimenzionální Lieova algebra• n1,1

e1

e1 0

nD = 1nZ = 1US = [1]DS = [0], rs = 1CS = [0], rn = 1

Tr(adx) = 0K(x,y) = 0, rank(K) = 0dim R(L) = 1rL = 1rank(ad∗L) = 0


2.4.2 Rešitelná dvou-dimenzionální Lieova algebra s nilradikálem 2n1,1

e1

e1 0

• s2,1

e1

e2 e1

nD = 2nZ = 0US = [0]DS = [1,0], rs = 2CS = [1]

Tr(adx) = -x2

K(x,y) = x2y2, rank(K) = 1dim R(L) = 2rL = 1rank(ad∗L) = 2

2.4.3 Rozložitelná trí-dimenzionální Lieova algebra• s2,1 ⊕ n1,1

e1 e2

e1 0 −e1

nD = 4nA = 2nZ = 1US = [1]DS = [1,0], rs = 2CS = [1]

Tr(adx) = −x2

K(x,y) = x2y2, rank(K) = 1dim R(L) = 3rL = 2rank(ad∗L) = 2Cpq = 1

2.4.4 Nilpotentní trí-dimenzionální Lieova algebra• n3,1

e1 e2 e3

e1 0 0 0e2 0 e1

nD = 6nA = 2nZ = 1US = [1,3]DS = [1,0], rs = 2CS = [1,0], rn = 2


2.4.5 Rešitelné trí-dimenzionální Lieovy algebry s nilradikálem 2n1,1

e1 e2

e1 0 0

• s3,1


e1 e2

e3 e1 ae2

a , 1 : nD = 4,a = 1 : nD = 6nA = 2nZ = 0US = [0]DS = [2,0], rs = 2CS = [2]

Tr(adx) = −x3(a + 1)K(x,y) = x3y3(a2 + 1), a , i : rank(K) = 1

a = i: rank(K) = 0dim R(L) = 3rL = 3rank(ad∗L) = 2a = −1 : C2p2q = 2a , −1 : Cpq = 1 + ap+aq

1+ap+q

Kde a ∈ C, 0 < |a| ≤ 1, když |a| = 1 potom arg(a)≤ π.• s3,2

e1 e2

e3 e1 e1 + e2

nD = 4nA = 2nZ = 0US = [0]DS = [2,0], rs = 2CS = [2]

Tr(adx) = −2x3

K(x,y) = 2x3y3, rank(K) = 1dim R(L) = 3rL = 1rank(ad∗L) = 2Cpq = 2

2.4.6 Prostá trí-dimenzionální Lieova algebra• sl(2,C)

e1 e2 e3

e1 0 2e1 −e2

e2 0 2e3

nD = 3nA = 1nZ = 0US = [0]DS = [3]CS = [3]

Tr(adx) = 0K(x,y) = 4(x1y3 + 2x2y2 + x3y1), rank(K) = 3dim R(L) = 0rL = 1rank(ad∗L) = 2C2p2q = 2

2.5 Komplexní Lieovy algebry dimenze 4 a jejich invarianty

2.5.1 Rozložitelné ctyr-dimenzionální Lieovy algebry• s2,1 ⊕ 2n1,1

e1 e2

e1 0 −e1

nD = 8nA = 3nZ = 2US = [2]DS = [1,0], rs = 2CS = [1],

Tr(adx) = −x2


• 2s2,1


e1 e2 e3 e4

e1 0 −e1 0 0e2 0 0 0e3 0 −e3

nD = 4nA = 2nZ = 0US = [0]DS = [2,0], rs = 2CS = [2]

Tr(adx) = −x4 − x2

K(x,y) = x2y2 + x4y4, rank(K) = 2dim R(L) = 4rL = 2rank(ad∗L) = 4

• n3,1 ⊕ n1,1

e1 e2 e3

e1 0 0 0e2 0 −e1

nD = 10nA = 3nZ = 2US = [2,4]DS = [1,0], rs = 2CS = [1,0], rn = 2


• s3,2 ⊕ n1,1

e1 e2 e3

e1 0 0 −e1

e2 0 −e1 − e2

nD = 6nA = 3nZ = 1US = [1]DS = [2,0], rs = 2CS = [2]

Tr(adx) = −2x3


• s3,1 ⊕ n1,1

e1 e2 e3

e1 0 0 −e1

e2 0 −ae2

a = 1 : nD = 8a , 1 : nD = 6nA = 3nZ = 1US = [1]DS = [2,0], rs = 2CS = [2]

Tr(adx) = −x3(a + 1)K(x,y) = x3y3(a2 + 1), a = ±i : rank(K) = 0

a , ±i : rank(K) = 1dim R(L) = 4rL = 2rank(ad∗L) = 2a = −1 : C2p2q = 2a , −1 : Cpq = 1 + ap+aq

1+ap+q

Kde a ∈ C, 0 < |a| ≤ 1, když |a| = 1 potom arg(a)≤ π.• sl(2,C) ⊕ n1,1

e1 e2 e3

e1 0 2e1 −e2

e2 0 2e3

nD = 4nA = 2nZ = 1US = [1]DS = [3]CS = [3]

Tr(adx) = 0K(x,y) = 4(x1y3 + 2x2y2 + x3y1), rank(K) = 3dim R(L) = 1rL = 2rank(ad∗L) = 2C2p2q = 2


2.5.2 Nilpotentní ctyr-dimenzionální Lieova algebra• n4,1

e1 e2 e3 e4

e1 0 0 0 0e2 0 0 e1

e3 0 e2

nD = 7nA = 3nZ = 1US = [1,2,4]DS = [2,0], rs = 2CS = [2,1,0], rn = 3


2.5.3 Rešitelné ctyr-dimenzionální Lieovy algebry s nilradikálem 3n1,1

e1 e2 e3

e1 0 0 0e2 0 0

• s4,1

e1 e2 e3

e4 0 e1 e3

nD = 6nA = 3nZ = 1US = [1,2]DS = [2,0], rs = 2CS = [2,1]

Tr(adx) = x4


• s4,2

e1 e2 e3

e4 e1 e1 + e2 e2 + e3

nD = 6nA = 3nZ = 0US = [0]DS = [3,0], rs = 2CS = [3]

Tr(adx) = −3x4


• s4,3

e1 e2 e3

e4 e1 ae2 be3

a = b = 1 : nD = 12a, b , 1, a = 1 : nD = 8a, b , 1, a = b : nD = 8a, b , 1, a , b : nD = 6nA = 3nZ = 0US = [0]DS = [3,0], rs = 2CS = [3]

Tr(adx) = −x4(a + b + 1)K(x,y) = x4y4(a2 + b2 + 1),a2 + b2 , −1 : rank(K) = 1a2 + b2 = −1 : rank(K) = 0dim R(L) = 4rL = 1rank(ad∗L) = 2Cpq =

(1+ap+bp)(1+aq+bq)1+ap+q+bp+q


Kde hodnoty parametru a, b ∈ C jsou 0 ≤ |b| ≤ |a| ≤ 1, (a, b) , (−1,−1).• s4,4

e1 e2 e3

e4 e1 e1 + e2 ae3

a , 1 : nD = 6a = 1 : nD = 8nA = 3nZ = 0US = [0]DS = [3,0], rs = 2CS = [3]

Tr(adx) = −x4(a + 2)K(x,y) = x4y4(a2 + 2), a , ±i

√2 : rank(K) = 1

a = ±i√

2 : rank(K) = 0dim R(L) = 4rL = 1rank(ad∗L) = 2Cpq =

(2+ap)(2+aq)2+ap+q

Kde a ∈ C, a , 0.

2.5.4 Rešitelné ctyr-dimenzionální Lieovy algebry s nilradikálem n3,1

e1 e2 e3

e1 0 0 0e2 0 e1

• s4,6

e1 e2 e3

e4 0 e2 −e3

nD = 5nA = 2nZ = 1US = [1]DS = [3,1,0], rs = 2CS = [3]

Tr(adx) = 0K(x,y) = 2x4y4, rank(K) = 1dim R(L) = 4rL = 2rank(ad∗L) = 2C2p2q = 2

• s4,8

e1 e2 e3

e4 (1 + a)e1 e2 ae3

a = 1 : nD = 7a , 1 : nD = 5nA = 2nZ = 0US = [0]DS = [3,1,0], rs = 3CS = [3]

Tr(adx) = −2x4(a + 1)K(x,y) = 2x4y4(a2 + a + 1),a , −1

2 + i√

32 : rank(K) = 1

a = −12 + i

√3

2 : rank(K) = 0dim R(L) = 4rL = 1rank(ad∗L) = 4Cpq =

(1+ap+(1+a)p)(1+aq+(1+a)q)1+ap+q+(1+a)p+q

Kde a ∈ C, 0 < |a| ≤ 1, když |a| = 1 potom arg(a) < π.• s4,10

e1 e2 e3

e4 2e1 e2 e2 + e3

nD = 5nA = 2nZ = 0US = [0]DS = [3,1,0], rs = 3CS = [3]

Tr(adx) = −4x4

K(x,y) = 6x4y4, rank(K) = 1dim R(L) = 4rL = 1rank(ad∗L) = 4Cpq =

(2+2p)(2+2q)2+2p+q


• s4,11

e1 e2 e3

e4 e1 e2 0

nD = 5nA = 2nZ = 0US = [0]DS = [2,0], rs = 2CS = [2]

Tr(adx) = −2x4


Kapitola 3

Kontrakce Lieových algeber

Tato kapitola je venována kontrakcím na Lieových algebrách. Uvádíme zde definici kon-trakce, nutná kontrakcí kritéria a v záveru kompletní seznamy existujících kontrakcí na dimenzi3 a 4. Hlavním zdrojem pro tuto kapitolu byl clánek [8].

3.1 Definice kontrakcíMejme Lieovu algebru L = (V, [, ]) a uvažujme spojitou funkci U : (0, 1] 7→ GL(V), kde

GL(V) je grupa regulárních operátoru na V. Uε := U(ε) je tedy ∀ε ∈ (0, 1] regulární lineárnízobrazení na V . Definujeme parametrickou množinu nových Lieových závorek na V , pomocístarých Lieových závorek následujícím zpusobem:

[x, y]ε = U−1ε [Uεx,Uεy], ∀ε ∈ (0, 1], ∀x, y ∈ V. (3.1)

Poznámka 3.1. Predchozí Lieovy závorky jsme zvolili tak, aby ∀ε ∈ (0, 1] byla Lieova algebraLε := (V, [, ]ε) izomorfní s L.

Definice 3.1. Jestliže limita limε→0+[x, y]ε = limε→0+

U−1ε [Uεx,Uεy] =: [x, y]0 existuje pro

všechna x, y ∈ V , potom [x, y]0 je dobre definovaná Lieova závorka na V. Lieova algebraL0 := (V, [, ]0) se nazývá jedno-parametrická kontrakce (zjednodušene kontrakce) Lieovyalgebry L.

Jestliže máme zvolenou bázi prostoru V, potom lze tuto definici preformulovat v reci struk-turních konstant a matic operátoru Uε v dané bázi.

Definice 3.2. Bud’ n ∈ N prirozené císlo a cki j tenzor strukturních konstant algebry L vzhledem

k bázi e1, ... , en. Jestliželimε→0+

(Uε)ii′(Uε)

jj′(U

−1ε )k′

k cki j =: ck′

i′ j′ (3.2)

existuje pro všechna i′, j′, k′ ∈ n, potom ck′i′ j′ je dobre definovaný tenzor strukturních konstant

Lieovy algebry L0. V tomto prípade se Lieova algera L0 nazývá jedno-parametrickou kon-trakcí (zjednodušene kontrakcí) Lieovy algebry L.

38

KAPITOLA 3. KONTRAKCE LIEOVÝCH ALGEBER 39

Parametr ε a maticová funkce z predchozího textu se nazývají parametr kontrakce a ma-tice kontrakce, respektive. Proces pri kterém vzniká Lieova algebra L0 z Lieovy algebry L setaké nazývá kontrakce.

Definice 3.1 a 3.2 jsou ekvivalentní. První definice je nezávislá na bázi a je užitecná proteorii. Druhá definice s více hodí pro praktické pocítání.

Definice 3.3. Rekneme, že kontrakce Lieovy algebry L na Lieovu algebru L0 triviální, kdyžL0 je Abelovská a nevlastní, když L0 je izomorfní s L.

Existuje-li po složkách limita limε→0+Uε =: U0 ∈ GL(V), potom je zjevne kontrakce ne-

vlastní. Požadujeme-li aby kontrakce byla vlastní, potom maticová funkce Uε musí splnovatalespon jednu z následujících podmínek:1. Neexistuje limita Uε pro ε −→ 0+, tj. alespon jeden prvek funkce Uε je singulární, kdyžε −→ 0+.2.Existuje limita limε→0+

Uε =: U0 ale matice U0 je singulární.Ani jedna z podmínek není dostacující aby kontrakce byla vlastní.

Poznámka 3.2. Triviální a nevlasní kontrakce existuje pro každou Lieovu algebru. Jestližezvolíme maticovou funkci Uε = diag(ε, ε, ... , ε), potom kontrakce bude triviální. VolbouUε = diag(1, 1, ... 1) dostaneme nevlastní kontrakci.

Definice 3.4. Necht’ Lieovy algebry L a L kontrahují na algebry L0 a L0, respektive. JestližeL je izomorfní s L a L0 je izomorfní s L0 potom rekneme, že kontrakce jsou ekvivalentní.

Nyní si uvedeme pojem sekvencní kontrakce, který nám bude užitecný v dalším textu. Uva-žujme posloupnost (Up) ∈ GL(V), p ∈ N. Stejným zpusobem jako u spojité kontrakce definu-jeme posloupnost nových Lieových závorek následovne, [x, y]p := U−1

p [Upx,Upy] pro všechnap ∈ N, x, y ∈ V .

Definice 3.5. Jestliže existuje limita limp→∞[x, y]p = limp→∞U−1p [Upx,Upy] =: [x, y]0 pro

všechna x, y ∈ V , potom Lieovy závorky [, ]0 jsou dobre definované. Lieova algebra L0 :=(V, [, ]0) se nazývá sekvencní kontrakce Lieovy algebry L.

Poznámka 3.3. Každá spojitá kontrakce L na L0 nám poskytuje nekonecnou množinu posloup-ností matic, které zajištují sekvencní kontrakci zL naL0. Konkrétne, máme-li maticovou funkciUε spojité kontrakce a posloupnost εp, p ∈ N splnující εp ∈ (0, 1], εp → 0+ pro p→ N, potomUεp , p ∈ N je maticová posloupnost zajišt’ující sekvencní kontrakci.

3.2 Nejjednodušší typy kontrakcíJednoduché Inonu-Wignerovi kontrakce [6], zkrácene IW-kontrakce, jsou kontrakce, které

mají kontrakcní matice tech nejjednodušších typu. Konkrétne mají tyto matice tvar Uε = U0 +

εU′0, kde U a U0 jsou konstantní ctvercové matice rozmeru, který odpovídá dimenzi dané Lie-ovy algebry. Pro matici Uε se dále predpokládá (viz. [7]), že je transformovatelná do spe-ciálního diagnálního tvaru WUεW−1 = diag(1 + εv, ... , 1 + εv, ε, ... , ε) =: Dε, kde W aW jsou regulární konstantní matice. Bez ztráty na obecnosti mužeme položit v = 0. MaticeDε poskytuje kontrakci L na L0. Zde L a L0 jsou Lieovy algebry s Lieovými závorkami


[x, y]∼ = WW−1[WW−1x, WW−1y], resp. [x, y]∼0 = WW−1[WW−1x, WW−1y]0, které jsou na prvnípohled izomorfní s L a L0, respektive. Odtud mužeme položit Uε = Dε, tj.

Uε = diag(1, ... , 1, ε, ... , ε). (3.3)

Bud’ i1, j1, k1 ∈ 1, ..., s a i2, j2, k2 ∈ n − s, ..., n. Podle (3.2) snadno spocítáme strukturníkonstanty IW-kontrakce:

[ei1 , e j1]ε = ck1i1 j1

ek1 +1ε

ck2i1 j1

ek2 → ck1i1 j1

ek1 + ck2i1 j1

ek2 , ε→ 0+, (3.4)

[ei1 , e j2]ε = εck1i1 j2

ek1 + ck2i1 j2

ek2 → ck2i1 j2

ek2 , ε→ 0+, (3.5)

[ei2 , e j1]ε = εck1i2 j1

ek1 + ck2i2 j1

ek2 → ck2i2 j1

ek2 , ε→ 0+, (3.6)

[ei2 , e j2]ε = ε2ck1i2 j2

ek1 + εck2i2 j2

ek2 → 0, ε→ 0+. (3.7)

Z první rovnice dostaneme podmínku ck2i1 j1

= 0, která ríká, že prvky e1, ... , es musí tvoritpodalgebruM pocátecní Lieovy algebry L. Strukturní konstanty výsledné Lieovy algebry L0

tedy mají tvar:

ck1i1 j1

= ck1i1 j1, ck2

i1 j1= ck2

i1 j1= 0, ck1

i1 j2= ck1

i2 j1= 0, ck2

i1 j2= ck2

i1 j2, ck2

i2 j1= ck2

i2 j1, ck2

i2 j2= ck2

i2 j2= 0. (3.8)

IW-kontrakce má radu zajímavých vlastností (viz. [11]), které shrneme v tomto odstavci.Každá podalgebraM Lieovy algebry L muže být použita pro IW-kontrakci na L. Vybereme-lijinou bázi doplnku M nebo zmeníne-li podalgebru M na M izomorfní s M, potom výslednáalgebra L0 bude izomorfní sL0. Zvolíme-li podalgebruM = L, dostaneme nevlastní kontrakci,zvolíme-liM = 0, dostaneme triviální kontrakci. Opakováním IW-kontrakce s totožnou po-dalgebrou M dostaneme totožnou výslednou algebru L0. Výsledná algebra L0 má strukturupoloprostého souctuM CA , kdeA je Abelovská algebra tvorená bazickými vektory doplnkuM. PodalgebraM je izomorfní faktoralgebre L0/A.

Každá IW-kontrakce splnuje dve následující podmínky:1. Kontrakcní matice je lineární s ohledem na kontrakcní parametr.2. Existují konstantní regulární matice W a W, které diagonalizují kontrakcní matici.

Zobecnené Inonu-Wignerovi kontrakce [2, 4] jsou jednoduché IW-kontrakce, pro které jepožadavek linearity nahrazen podmínkou, že diagonální prvky kontrakcní matice jsou mocninykontrakcního parametru. Kontrakcní matice zobecnené IW-kontrakce n-dimenzionální Lieovyalgebry L má tvar Uε = W−1diag(εα1 , εα2 , ... , εαn) W, kde W, W jsou opet konstantní, regulárnímatice a α1, α2, ... , αn ∈ Z. Stejne jako u jednoduchých IW-kontrakcích mužeme díky izomorfiipoložit kontrakcní matici rovnu

Uε = diag(εα1 , εα2 , ... , εαn). (3.9)

Použitím (3.2) dostaneme výraz urcující strukturní konstanty výsledné Lieovy algebry L0

cki j = lim

ε→0+

εαi+α j−αkcki j, (3.10)


pricemž se nescítá pres opakující se indexy. Jelikož ε jde k nule, musí platit

αi + α j − αk ≥ 0, ∀i, j, k ∈ n, (3.11)

vždy když cki j , 0. Kdyby predchozí nerovnost neplatila, dostali bychom na pravé strane (3.10)

nekonecnou limitu, což by vedlo k nekorektní definici nových strukturních konstant cki j. Struk-

turní konstanty výsledné Lieovy algebry L0 budou mít tvar:

cki j = ck

i j, pro αi + α j = αk, (3.12)

cki j = 0, pro αi + α j > αk. (3.13)

Jak napovídá název, jednoduché IW-kontrakce tvorí podmnožinu zobecnených IW-kontrakcíkde αi = 0, 1,∀i ∈ n.

Saletanovi kontrakce [11], zkrácene S-kontrakce, jsou kontrakce generované maticemi U(ε) =

U0 + εU′0, kde U0 a U′0 jsou konstantní matice. Za predpokladu U(1) = I, kde I je jednotknovámatice, bude mít kontrakcní matice tvar U(ε) = εI + (1 − ε)U, kde U je znovu konstantní ma-tice. Podmínky kladené na matici U jsou definovány v [11]. Každá jednoduchá IW-kontrakceje zároven S-kontrakce ale existuje S-kontrakce, která není jednoduchá IW-kontrakce.

3.3 Nutná kontrakcní kritériaV této sekci navážeme na Kapitolu 2 a ukážeme si, jak se pri vyšetrování kontrakcí na Lie-

ových algebrách používají tzv. nutná kritéria, která jsou založena na, vzhledem ke kontrakci,invariantních nebo semi-invariantních velicinách. Pro úplnost uvádíme, že invariantní velicinase pri kontrakci zachovává, kdežto u semi-invariantní veliciny existuje nerovnost mezi hodno-tou na pocátecní Lieove algebre a na kontrahované Lieove algebre.

Pro pripomenutí uvádíme znacení invariantu n-dimenzionální Lieovy algebry L, zavedenév druhé kapitole:nD - dimenze prostoru derivací L,nA - dimenze maximální Abelovské podalgebry L,nZ - dimenze centra L,dim Ci(L), dim L(i), dim Li pro i ∈ N - dimenze príslušných struktur Lieovy alebry L (viz.Definice 1.3),dim R(L), dim N(L) - dimenze radikálu, resp. nilradikálu L,nAi - dimenze maximálního Abelovského ideálu v L,rL - dimenze Cartanovy podalgebry L,rank(ad∗L), rank(adL) - hodnost koadjungované resp. adjungované reprezentace Lieovy algebryL,rank(K) - hodnost matice Killingovy formy Lieovy algebry L,tr(adx) - stopa adjungované reprezentace Lieovy algebry L,rs, rs - hodnost rešitelnosti, resp. hodnost nilpotence L,Cpq - viz. (2.79),


dimD(α, β, γ) - dimenze prostoru (α, β, γ)-derivací.

Následující veta nám shrnuje chování práve vyjmenovaných invariantu pri spojité kontrakci.

Veta 3.1. Bud’ n ∈ N, jestliže Lieova algebra L0 je vlastní (spojitá nebo sekvencní) kontrakcen-dimenzionální Lieovy algebry L, potom platí následující vztahy:1. nD(L0) > nD(L).2. nA(L0) ≥ nA(L).3. dim Ci(L0) ≥ dim Ci(L), i ∈ N.4. dim L(i)

0 ≤ dim L(i), i ∈ N.5. dim Li

0 ≤ dim Li, i ∈ N.6. dim R(L0) ≥ dim R(L).7. dim N(L0) ≥ dim N(L).8. nAi(L0) ≥ nAi(L).9. rL0 ≥ rL.10. rank(adL0) ≤ rank(adL), rank(ad∗L0

) ≤ rank(ad∗L).11. rank(KL0) ≤ rank(KL).12. L0 je unimodulární když L je unimodilární, tj. tr(adx) = 0 pro každé x ∈ L implikujetr(adx) = 0 pro x ∈ L0.13. Je-li L rešitelná, potom L0 je také rešitelná a platí, rs(L0) ≤ rs(L).14. Je-li L nilpotentní, potom L0 je také nilpotentní a platí, rn(L0) ≤ rn(L).15. Cpq(L0) = Cpq(L) pro všechny p, q ∈ N, kde invarianty Cpq(L0) a Cpq(L) jsou dobredefinované.16. dimDL0(α, β, γ) ≥ dimDL(α, β, γ), ∀α, β, γ ∈ C.

Než prikrocíme k dukazu této vety, dokážeme nejprve následující užitecné Lemma.

Lemma 3.1. Bud’ (Ap), p ∈ N, posloupnost komplexních matic stejných dimenzí. Necht’ dáleexistuje, po složkách, limita A0 := limp→∞Ap. Jestliže rank Ap = r pro všechna p ∈ N, potomrank A0 ≤ r.

Dukaz. Zvolíme libovolne pevne p ∈ N. Podle predpokladu má maticeAp hodnost r. Použijemevýsledky Lineární algery a prepíšeme tuto vlastnost Ap v reci subdeterminantu. Dostaneme, že∀p ∈ N bude každý subdeterminant dimenze vetší než r nulový. Provedením limintiho prechodup → ∞ vidíme, že všechny subdeterminanty matice A0 vetší než r jsou nulové. Jinými slovy,rank (A0) ≤ r.

Dukaz. (Vety 3.1) Prípad spojitých kontrakcí okamžite plyne z prípadu sekvencních kontrakcí,proto vetu stací dokázat pro sekvencní kontrakce. V této práci pro ilustraci provedeme dukaz jennekterých kritérií. Témer všechna kritéria jsou dokázana v cláneku [8]. Kritérum 1 je dokázánonapr. v [1, 3].

Kritérium 16:Zvolíme-li α, β, γ ∈ C libovolne pevne, potom prvky di

j matice (α, β, γ)-derivace Lieovyalgebry L musí v pevne zvolené bázi splnovat soustavu rovnic

αcki jd

lk − βdk

i clk j − γdk

jclik = 0, ∀i, j, l ∈ n, (3.14)


kde cki j jsou ∀i, j, k ∈ N složky tenzoru strukturních konstant v dané bázi. Tato soustava vznikla

identickým postupem jako soustava (2.15), s pridáním parametru α, β, γ. Oznacíme-li maticisoustavy (3.14) jako A(α, β, γ), potom zjevne

dimDL(α, β, γ) = n2 − rank(A(α, β, γ)). (3.15)

Bud’ (Lp), p ∈ N polsoupnost Lieových algeber vystupujících v sekvencní kontrakci. Dáleoznacíme matice soustav (3.14) Lieových algeber Lp, jako Ap(α, β, γ), pro všechna p ∈ N.Matice Ap(α, β, γ) se budou lišit v závislosti na tvaru tenzoru strukturních konstant Lieovýchalgeber Lp (jinak receno v závislosti na tvaru báze a Lieových závorek, Lieových algeber Lp).

Jelikož pro všechna p ∈ N jsou Lieovy algebry Lp izomorfní s L, dostáváme z (3.15)použitím Tvrzení 2.1, rovnost:

rankA(α, β, γ) = rankAp(α, β, γ), ∀p ∈ N. (3.16)

Když nyní oznacíme matici soustavy (3.14) Lieovy algebry L0 jako A0(α, β, γ), potom zrejmeplatí limp→∞Ap(α, β, γ) = A0(α, β, γ). Posloupnost matic (Ap(α, β, γ)) tedy splnuje podmínkyLemmatu 3.1. Aplikací tohoto Lemmatu dostáváme:

rankA0(α, β, γ) ≤ rankAp(α, β, γ) = rankA(α, β, γ). (3.17)

Odkud z (3.15) plyne kýžený výsledek

dimDL0(α, β, γ) ≥ dimDL(α, β, γ), (3.18)

pro libovolné α, β, γ ∈ C.

Poznámka 3.4. Položíme-li α, β, γ = 1, dostaneme z 16. kritéria neostrou nerovnost

nD(L0) ≡ dimDL0(1, 1, 1) ≥ dimDL(1, 1, 1) ≡ nD(L), (3.19)

což je slabší verze 1. kritéria. V Kapitole 2 jsme zminovali, že invariant dimDer L má meziinvarianty neobycejne významné postavení. V kritériu 1 se jako v jediném kritériu vyskytujeostrá nerovnost, proto je toto kritérium velice efektivní pri rozhodování zda je kontrakce možnáci není.

Poznámka 3.5. Seznam muže být rozšíren o další kritéria, která popisují pri kontrakci invariantnínebo semi-inariantní veliciny.

Množina techto kritérií je úplná pro 3-dimenzionální a 4-dimenzionální Lieovy algebry vesmyslu, že kritéria rozlišují všechny páry Lieových algeber, které na sebe nemohou kontrahovat.

Seznam kritérií ovšem není minimální. Ve 4. Kapitole budeme diskutovat minimalitu tohotoseznamu ve smyslu úplnosti.

Použitelnost kritérií obecne silne závisí na typu dané Lieovy algebry, napríklad kritéria 3, 4,5 jsou užitecná pro nilpotentní a reštelné Lieovy algebry ale neposkytují témer žádné informaceo poloprostých Lieových algebrách. Invariant Cpq je obecne velice užitecný pro všechny typyalgeber až na nilpotentní. Pro nilpotentní algebry není invariant Cpq dobre definovaný viz. Veta1.2.


3.4 Kontrakce komplexních nízko-dimenzionálních Lieovýchalgeber

V této sekci se podíváme na kontrakce komplexních Lieových algeber do dimenze ctyri.Vzhledem k tomu, že na konkrétní výpocty techto kontrakcí není v této práci kladen prílišnýduraz, uvedeme si pouze všeobecne známé výsledky, které vhodne okomentujeme. Pro podrob-nejší informace se odkazujeme na jiné materiály [8].

3.4.1 Algoritmus urcování kontrakcíHledání kontrakcí je do jisté míry mechanická záležitost. Tím je míneno, že existuje algo-

ritmus poskytující návod na hledání kontrakcí. Tento algoritmus shrneme do trí kroku:

1.Vezmeme kompletní seznam Lieových algeber fixní dimenze. Pro každou algebru tohotoseznamu spocítáme invariantní a semi-invariantní veliciny vzhledem ke kontrakci. Volba techtovelicin není striktne urcená. Obecne je duležíté aby námi zvolené veliciny zakázaly co nejvícekontrakcí.

2. Pro každý pár Lieových algeber ze seznamu urcíme pomocí nutných kritérií existencikontrakce tak, že porovnáme vypocítané intariantní a semi-invariantní veliciny. Zrejme stacíhledat jenom netriviální a vlastní kontrakce, proto nebudeme brát v úvahu pár Lieova algebra sÁbelovou algebrou a pár Lieova algebra se sebou samou.

3. Vezmeme v úvahu všechny páry pro která jsou splnena nutná kritéria kontrakce. PoužitímDefinice 3.2 a metod ze Sekce 3.2 dokážeme bud’ neexistenci kontrakce, nebo zkonstruujemekontrakcní matici v explicitní forme.

Jak jsme již predesílali, dále se budeme, témer výlucne, zabývat pouze prvními dvema krokytohoto algoritmu.

3.4.2 Seznam kontrakcí komplexních Lieových algeber do dimenze 4Definice 3.6. Kontrakce L na L0 se nazývá prímá, jestliže neexistuje Lieova algebra L1 nei-zomorfní s L a L0 tak, že L se kontrahuje na L1 a L1 se kontrahuje na L0. Opakem k tomutopojmu je složená kontrakce.

Poznámka 3.6. Kontrahuje-li algebra L na L1 a algebra L1 na L0, potom zjevne kontrahujealgebra L na L0.

Ze Sekce 3.2 víme, jak vypadá matice zobecnené IW-kontrakce. V následjících seznamechje použito prehlednejší znacení

I diag(α1, α2, ... , αn) := W−1diag(εα1 , εα2 , ... , εαn)W, (3.20)

kde n je fixní dimenze Lieových algeber, αi ∈ Z pro i ∈ n, I := W−1 a od matice W se budevšude vyžadovat aby byla rovna jednotkové matici. Abychom rozlišili matici I, která se budeme


obecne lišit kontrakci od kontrakce, oznacíme jí dolním císelným indexem. Za každým sezna-mem jsou všechny tyto matice uvedené v explicitní forme. Príslušné kontrakcí matice jsou vseznamech vepsány nad šipkou, která znázornuje limitní prechod ε → 0+. V prípade jednodu-chých IW-kontrakcí uvedeme i príslušné podalgebryM.

3.4.2.1 Dimenze 1, 2

Existuje jenom jedna Abelovská Lieova algebra dimenze 1. Kontrakce této Lieovy algebryjsou tedy triviální a nevlastní zároven.

Všechny neizomorfní algebry dimenze dve jsou, Abelovská algebra 2n1,1 a algebra s2,1.Kontrakce každé Abelovské algebry jsou triviální a nevlastní zároven. Kontrakce algebry s2,1jsou také triviální a nevlastní.

3.4.2.2 Dimenze 3

Seznam všech možných vlastních, netriviálních, spojitých kontrakcí komplexních trí-dimenzionálníchLieových algeber [8]:

s2,1 ⊕ n1,1 :I1W(1,1,0)−−−−−−−→ n3,1, (e1 − e3).

s3,2 :I5W(1,0,1) nebo W(2,1,1)−−−−−−−−−−−−−−−−−→ n3,1, (e3);

I6W(0,1,0) nebo W(1,2,0)−−−−−−−−−−−−−−−−−→ s3,1, a=1, (e1, e2 + e3).

s3,1, a,1 :I2W(1,0,1)−−−−−−−→ n3,1, (e1 + e2).

sl(2,C) :I3W(1,1,0)−−−−−−−→, n3,1 (e3);

I4W(1,0,0)−−−−−−−→ s3,1, a=−1

Konstantní cásti kontrakcních matic mají tvar:

I1 =

1 0 −10 1 00 0 1

, I2 =

1 − a 1 00 1 00 0 1

, I3 =

0 1 02 0 00 0 1

,

I4 =

1 0 00 0 10 −1 0

, I5 =

−1 0 00 1 00 0 −1

, I6 =

1 0 00 1 10 0 1

.Poznámka 3.7. Tento seznam je uvedený v [8]. V tomto clánku jsou puužité jiné komutacnírelace Lieových algeber než ty, které jsme uvedli na konci Kapitoly 2. Seznam kontrakcníchmatic je tedy platný pro Lieovy algebry s temito komutacními relacemi:

s2,1 ⊕ n1,1 : [e1, e2] = e1, n3,1 : [e2, e3] = e1,s3,2 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e1 + e2, s3,1(a) : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = ae2,sl(2,C): [e1, e2] = e1, [e2, e3] = e3, [e1, e3] = 2e2.

Kdybychom chteli seznam kompatibilní s algebrami z Kapitoly 2, potom bychom museli dopo-cítat zmenené kontrakcní matice.


Obrázek 3.1: Prímé, vlastní kontrakce trí-dimenzionálních Lieových algeber.

Záverem mužeme ríci, že pro každý pár komplexních Lieových algeber dimenze tri mohounastat dve možnosti:1. Neexistuje kontrakce, protože nejsou splnená nutná kontrakcní kritéria.2. Existuje jednoduchá IW-kontrakce.

Veta 3.2. Každá spojitá kontrakce komplexních trí-dimenzionálních Lieových algeber je ekvi-valentní jednoduché IW-kontrakci.

3.4.2.3 Dimenze 4

Seznam všech možných vlastních, netriviálních, spojitých kontrakcí komplexních ctyr-dimenzionálníchLieových algeber [8]:


s2,1 ⊕ 2n1,1 :I23W(1,1,0,0)−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e3 − e1, e4).

2s2,1 :W(0,0,0,1)−−−−−−−→ s2,1 ⊕ 2n1,1, (e1, e2, e3);

I1W(1,1,0,1)−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1 + e3);

U1−−→ s3,2 ⊕ n1,1;

I2W(0,0,0,1)−−−−−−−−→ s3,1, a=1 ⊕ n1,1, (e1, e3, e2 + e4);

I20W(1,1,0,1)−−−−−−−−−→ s3,1, a,1 ⊕ n1,1, (e2 + ae4),

U1−−→ n4,1,

I21W(0,1,1,0)−−−−−−−−−→ s4,1, (e1, e2 − e3);

I3W(0,1,0,1)−−−−−−−−→ s4,11, (e1 + e3).

s3,2 ⊕ n1,1 :W(1,0,1,0)−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e2, e4);

W(0,1,0,0)−−−−−−−→ s3,1, a=1 ⊕ n1,1, (e1, e3, e4);

I22W(2,1,0,1)−−−−−−−−−→ n4,1.

s3,1, a=1 ⊕ n1,1 :I4W(1,0,1,0)−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e2 + e4).

s3,1, a,1 ⊕ n1,1 :I5W(1,1,0,0)−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e2, e1 + e4);

I6W(2,1,0,1)−−−−−−−−→ n4,1.

sl(2,C) ⊕ n1,1 :I8W(1,1,0,0)−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e3, e4);

I7W(1,1,0,0)−−−−−−−−→ s3,1, a=−1 ⊕ n1,1, (e2, e4);

I17W(1,1,1,0)−−−−−−−−−→ n4,1, (e1 + e4);

I24W(1,0,1,0)−−−−−−−−−→ s4,6, (e1, e2 −

12

e4).

n4,1 :I10(0)W(0,0,0,1)−−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e2, e4).

s4,4 :I11W(1,0,1,0)−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e3);

b,1, I15W(2,1,0,1)−−−−−−−−−−−−→ n4,1;

W(1,0,1,0)−−−−−−−→ s4,3, b=1, (e2, e4).

s4,1 :I12W(0,0,1,0)−−−−−−−−−→ s2,1 ⊕ 2n1,1, (e1, e2, e4);

I11W(1,0,1,0)−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e3);

I13W(2,1,0,1)−−−−−−−−−→ n4,1.

s4,2 :I10(0)W(1,0,1,1)−−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e2);

W(2,1,0,1)−−−−−−−→ n4,1;

W(0,1,1,0)−−−−−−−→ s4,4, a=1, (e1, e4);

W(0,1,2,0)−−−−−−−→ s4,3, a,b=1.

s4,3 :a,b, I14W(1,0,1,0)−−−−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, ( 1+b

a e1 + e2, e3);1,a,b,1, I9W(2,1,0,1)−−−−−−−−−−−−−−−→ n4,1.

s4,10 :I11W(1,0,1,0)−−−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e3);

I16W(1,1,1,0)−−−−−−−−−→ n4,1, (e4);

W(0,1,1,0)−−−−−−−→ s4,4, a=2, (e1, e4);

W(0,0,1,0)−−−−−−−→ s4,5, a,b=− 1

2 , (e1, e2, e4);W(1,0,1,0)−−−−−−−→ s4,8, a=1, (e2, e4).

s4,6 :W(0,0,0,1)−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e2, e3);

I10(0)W(1,1,0,1)−−−−−−−−−−→ s3,1 ⊕ n1,1, a=−1;

I19W(1,1,1,0)−−−−−−−−−→ n4,1, (e2 − e3).

s4,11 :W(0,0,0,1)−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e2, e3);

I18W(0,0,0,1)−−−−−−−−−→ s3,2 ⊕ n1,1, (e1, e2, e3 + e4);

I10(0)W(0,0,0,1)−−−−−−−−−−→ s3,1, a=1 ⊕ n1,1, (e1, e2, e4);

I19W(1,1,1,0)−−−−−−−−−→ n4,1, (e2 − e3).

s4,8 :W(0,0,0,1)−−−−−−−→ n3,1 ⊕ n1,1, (e1, e2, e3);

b,1, I19W(1,1,1,0)−−−−−−−−−−−−→ n4,1, (e2 − e3);

−1<b<0, W(0,0,1,0)−−−−−−−−−−−−−→ s′3,4, (e1, e2, e3);

0<b≤1, diag(1,1,1, 11+b )W(0,0,1,0)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ s′′3,4 (3.21)

Konstantní cásti matic zobecnené IW-kontrakce mají tvar:


I1 =

0 0 1 00 0 0 1−1 0 1 00 1 0 1

, I2 =

1 2 0 00 0 1 00 1 0 00 0 1 1

, I3 =

0 −1 0 00 0 0 1−1 −1 0 00 0 1 1

.

I4 =

0 0 0 1−1 −1 0 00 0 1 00 −1 0 0

, I5 =

−1 0 1 00 0 0 −10 1 0 00 0 1 0

, I6 =

−1

a1

a(a−1)1

a(a−1) 00 a 1 00 0 0 10 0 1 0

,

I7 =

1 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 1

, I8 =

0 1 0 02 0 0 00 0 1 00 0 0 1

, I9 =

1

b−1(a−b)−1

(b−1)(a−b)−1

(a−1)(b−1) 00 b − 1 1 00 0 1 00 0 0 1

,

I10(b) =

1 0 0 00 1 0 00 0 b 10 0 1 0

, I11 =

0 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

, I12 =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

.

I13 =

1 1 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, I14 =

1 1+b

a 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

, I15 =

0 1 0 00 0 0 10 0 1 01 0 0 −1

2

.

I16 =

1 (a−b)(a−1)−1

(a−b+1)(a−1)−1

(a−b+1) 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 1

, I17 =

0 0 0 10 1 0 00 0 −1

2 01 0 0 1

, I18 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 1

.

I19 =

1 0 0 00 1 0 −10 0 0 10 0 1

(b−1) 0

, I20 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 a −1

, I21 =

−1 0 0 00 0 0 10 1 0 −10 0 1 0

.

I22 =

1 0 −1 00 1 1 00 0 0 10 0 1 0

, I23 =

1 0 −1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, I24 =

1 −1

b−1−1

(b−1)2 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

,Oproti trí-dimenzioálnímu prípadu se zde vyskytují dve kontrakce, které nejsou ekvivalentní

zobecnené IW-kontrakci. Tyto kontrakce jsou Saletanovi a kontrakcní matice mají tvar:

U1 =

ε2 0 0 00 ε 0 −10 0 ε 00 0 0 ε

, U2 =

−ε2 −ε −1 −10 0 ε 00 −ε2 −ε 00 0 ε ε

,


Poznámka 3.8. Navážeme na Poznámku 3.7 a uvedeme komutacní relace, pri kterých je tvarkontrakcních matic uvedený v tomto seznamu platný.

s2,1 ⊕ 2n1,1 : [e1, e2] = e1 2s2,1 : [e1, e2] = e1, [e3, e4] = e3

n3,1 ⊕ n1,1 : [e2, e3] = e1 s3,2 ⊕ n1,1 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = e1 + e2

sl(2,C) ⊕ n1,1 : [e1, e2] = e1, [e2, e3] = e3, [e1, e3] = 2e2 s3,1 ⊕ n1,1 : [e1, e3] = e1, [e2, e3] = ae2

n4,1 : [e2, e4] = e1, [e3, e4] = e2 s4,1 : [e1, e4] = e1, [e3, e4] = e2

s4,2 : [e1, e4] = e1, [e2, e4] = e1 + e2, [e3, e4] = e2 + e3 s4,3 : [e1, e4] = ae1, [e2, e4] = be2, [e3, e4] = e3

s4,4 : [e1, e4] = ae1, [e2, e4] = e2, [e3, e4] = e2 + e3 s4,6 : [e2, e3] = e1, [e2, e4] = e2, [e3, e4] = −e3

s4,8 : [e2, e3] = e1, [e1, e4] = (1 + b)e1, [e3, e4] = be3 s4,10 : [e2, e3] = e1, [e1, e4] = 2e1, [e2, e4] = e2

s4,11 : [e2, e3] = e1, [e1, e4] = e1, [e2, e4] = e2 [e3, e4] = e2 + e3

s′3,4 : [e1, e4] = (1 + b)e1, [e2, e4] = e2, s′′3,4 : [e1, e4] = e1, [e2, e4] = 11+be2,

[e3, e4] = be3 [e3, e4] = b1+be3

Obrázek 3.2: Prímé, vlastní kontrakce ctyr-dimenzionálních Lieových algeber..

3.5 Cástecné usporádání komplexních Lieových algeberDefinice 3.7. Bud’ V n-dimenzionální vektorový prostor nad telesem C. Množinu všech mož-ných Lieových závorek na V oznacíme Ln = Ln(C). Prvkem µ ∈ Ln budeme rozumet odpovída-jící Lieovu algebru L = (V, µ).


Pomocí spojíté kontrakce lze na množine Ln zavést relaci cástecného usporádání.

Definice 3.8. Bud’ L,L0 ∈ Ln. Rekneme, že L L0, když L0 je vlastní kontrakce L.

Díky tomuto cástecnému usporádání lze Ln rozdelit na ruzné úrovne.

Definice 3.9. Lieova algebra L z Ln patrí do nulové úrovne Ln jestliže nemá žádnou vlastníkontrakci. Další úrovne jsou definovány pomocí indukce. Lieova algebraL patrí do k-té úrovneLn jestliže muže kontrahovat na algebry (k-1)-ní úrovne a také pouze na algebry predchozíchúrovní.

Rozložení úrovní trí- a ctyr-dimenzionálních algeber je ilustrováno na Obrázku 3.1, resp.na Obrázku 3.1. Mimo jiné odtud vidíme, že L3 a L4 má ctyri a šest úrovní, respektive. Tytoúrovne mohou být chápány jako míra složitosti dané struktury, tj. algebry na vyšší úrovni jsoukomplikovanejší než algebry na úrovních nižších. Konkrétne, na nulté úrovni se vždy vyskytujenejjednodušší Abelovská algebra, dále na nízkých úrovních se zpravidla vyskytují nilpotentníalgebry. Oproti tomu prostá algebra sl(2,C) má nejsložitejší strukturu mezi trí-dimenzionálnímialgebrami a vyskytuje se na úrovni tri. Stejne tak na nejvyšší 6-té úrovni L4 se nacházejí nere-šitelná sl(2,C) ⊕ n1,1 a perfektní 2s2,1.

Kapitola 4

Invariantní funkce Lieových algeber

4.1 (α, β, γ)-derivaceZ druhé kapitoly známe pojem D(α, β, γ) vektorového prostoru (α, β, γ)-derivací. Dimenze

tohoto prostoru je podle Tvrzení 2.1 invariantní pro všechna (α, β, γ) ∈ C. Hledání této di-menze je v nejjednodušším prípade, kdy samotná Lieova algebra není parametrická, úloha hle-dání hodnosti matice o n2 neznámých se tremi parametry (viz. 3.14). Je-li Lieova algebra navícparametrická, potom pocet parametru v soustave roste, napr. kdybychom na dimenzi 3 chtelinajít dimD(α, β, γ) Lieovy algebry s3,1 pro všechna (α, β, γ) ∈ C, potom bychom museli rešitsoustavu rovnic o devíti neznámých se ctyrmi parametry. Obecne mužeme ríci, že cím více pa-rametu, tím obtížnejší je rešení takovéto úlohy. Následující veta (dokázána v [9]) snížuje pocetparametru o dva.

Veta 4.1. Bud’ L Lieova algebra. Pro každé α, β, γ ∈ C existuje δ ∈ C, tak že podprostorD(α, β, γ) ⊂ End(L) je roven jednomu z následujících podprostoru:

1.D(δ, 0, 0).2.D(δ, 1,−1).3.D(δ, 1, 0).4.D(δ, 1, 1).

Znovu se odvoláme na Tvrzení 2.1 z kterého vyplývá, že dimenze podprostoru D(δ, 0, 0),D(δ, 1,−1),D(δ, 1, 0),D(δ, 1, 1) jsou invarianty Lieovy algebry L.

Definice 4.1. Bud’ L Lieova algebra a δ ∈ C, potom definujeme invariantní funkci ψ : C 7→1, 2, ... , (dimL)2 algebry L následovne:

ψ(δ) = dimD(δ, 1, 1). (4.1)

Poznámka 4.1. Zvolíme-li na Lieove algebre bázi ε, potom se výpocet funkcních hodnot funkceψ redukuje na úlohu zjištení hodnosti matice následující soustavy

δcki jd

lk − dk

i clk j − dk

jclik = 0, ∀i, j, l ∈ n, ∀δ ∈ C, (4.2)

kde cki j je tenzor strukturních konstant v bázi ε. Konkrétne, oznacíme-li matici predchozí sou-

stavy jako A(δ) pro všechna δ ∈ C, potom platí

ψ(δ) = n2 − rankA(δ). (4.3)51

KAPITOLA 4. INVARIANTNÍ FUNKCE LIEOVÝCH ALGEBER 52

Urcení matice A(δ) je výpocetne nárocné, proto budeme k tomuto úcelu využívat služeb pocí-tace. Následný výpocet hodnosti matice pro všechny hodnoty parametru δ provádíme rucne.

Máme-li dve Lieovy algebry L a L, potom mužeme díky Tvrzení 2.1 okamžite psát impli-kaci

L L ⇒ ψL(δ) = ψL(δ), ∀δ ∈ C. (4.4)

Za povšimnutí stojí, že pro hodnotu parametru δ = 1 je funkce ψ rovna dimenzi prostoruderivací dané Lieovy algebry, tj. ψ(1) = dim D(1, 1, 1) ≡ nD. Vzhledem k tomuto poznatkubudeme vždy uvádet hodnotu funkce ψ v bode 1.

Z druhé kapitoly, konkrétne z Vety 3.1 víme, jak se funkce ψ chová pri spojité kontrakci.Následující vetu lze rovnež nalézt v [5].

Veta 4.2. Je-li L0 vlastní kontrakce Lieovy algebry L, potom ∀δ ∈ C platí:1. ψL(1) < ψL(1),2. ψL(δ) ≤ ψL(δ).

Dukaz. Veta je prímá obdoba kritéria 16 ve Vete 3.1.

4.2 Invariantní funkce ψ na dimenzi 3V této sekci najdeme hodnoty funkce ψ pro všechny neizomorfní algebry dimenze 3. Postup

výpoctu probíhá podle Poznámky 4.1. Pro ilustraci uvádíme následující príklad.

Príklad 12. Mejme trí-dimenzionální Lieovu algebru s3,1(a). Matice A(δ) soustavy (4.2) vy-padá, po prevedení do horního stupnovitého tvaru ∀δ ∈ C, následovne:

−δ + 1 0 0 0 0 0 0 0 10 −aδ + 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 −δ + a 0 0 0 0 00 0 0 0 −aδ + a 0 0 0 a0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

(4.5)

Odkud snadno vypocteme hodnoty funkce ψ.

s3,1(−1) : ψ(1) = 4, ψ(−1) = 5, ψ(δ) = 3 pro δ , ±1.s3,1(1) : ψ(1) = 6, ψ(δ) = 3 pro δ , 1.

s3,1(a), a , ±1 : ψ(1) = 4, ψ(a) = ψ(1a

) = 4, ψ(δ) = 3 pro δ , 1, a,1a.

Následující tabulky shrnují hodnoty funkce ψ pro všechny komplexní trí-dimenzionální al-gebry.


Abelovská:δ 1

ψ(δ) 9 9s2,1 ⊕ n1,1:

δ 1 0ψ(δ) 4 6 4

n3,1:δ 1

ψ(δ) 6 6s3,2:

δ 1ψ(δ) 4 3

s3,1(−1):δ 1 -1

ψ(δ) 4 5 3s3,1(1):

δ 1ψ(δ) 6 3

s3,1(a), a , ±1:δ 1 a 1/a

ψ(δ) 4 4 4 3sl(2,C):

δ 1 -1 2ψ(δ) 3 5 1 0

4.3 Minimální množiny kontrakcních kritérií na dimenzi 3Provedeme analýzu dosavadních výsledku a na její základe formulujeme nekterá zajímavá

tvrzení pro komplexní Lieovy algebry dimenze 3. Tvrzení 4.1 a Tvrzení 4.2 jsou dokázána vclánku [5].

Nejdríve rozšíríme implikaci (4.4) na ekvivalenci. Výsledek je shrnutý v následujícím tvr-zení.

Tvrzení 4.1. Dve trí-dimenzionální komplexní Lieovy algebryL a L jsou izomorfní práve tehdy,když ψL(δ) = ψL(δ) pro všechna δ ∈ C.

Dukaz. Stací dokázat (⇐): Tato implikace ovšem okamžite plyne z tabulek hodnot funkce ψuvedených v predchozí sekci.

Dostaneme-li libovolnou komplexní Lieovu algebru L dimenze tri, potom stací urcit hod-noty funkce ψL v každém bode, porovnáním vypoctených hodnot s hodnotami uvedenými vpredchozím seznamu zjistíme, která z algeber v tomto seznamu je s algebrou L izomorfní.

Príklad 13. Mejme trí-dimenzionální Lieovu algebru s bází ε = (e1, e2, e3) a komutacními rela-cemi:

[e1, e2] = 3e1 − e2 − 3e3

[e1, e3] = 3e1 −13

e2 − 3e3

[e2, e3] = −3e1 + e2 + 3e3

Spocítáme-li pro tuto algebru hodnoty funkce ψ zjistíme, že ψ(1) = 4 a ψ(δ) = 3 pro δ ∈ C\1.Porovnáním se seznamem v predchozí sekci zjistíme, že tato Lieova algebra je izomorfní sLieovou algebrou s3,2.

Dále se podíváme, jaké informace nám funkce ψ poskytuje ohledne spojité kontrakce. Zkapitoly 3 víme, že na dimenzi 3 existují jenom tyto vlastní a netriviální kontrakce komplexníchLieových algeber (viz. Obrázek 3.1):

1. s3,1(−1) je kontrakce sl(2,C).


2. s3,1(1) je kontrakce s3,2.3. n3,1 je kontrakce s2,1 ⊕ n1,1, s3,2, s3,1, a,1 a sl(2,C).

Použitím Vety 4.2 a tabulek z predchozí sekce dostáváme tvrzení:

Tvrzení 4.2. Bud’ L a L0 dve komlpexní trí-dimenzionální Lieovy algebry. Potom existujevlastní spojitá kontrakce Lieovy algebry L na L0 práve tehdy, když

ψL(δ) ≤ ψL0(δ) a ψL(1) < ψL0(1), δ ∈ C\1. (4.6)

Dusledek 4.1. Funkce ψ sama rozlišuje páry trí-dimenzionálních komplexních Lieových alge-ber, které na sebe mohou kontrahovat.

Podle predchozího dusledku je nutné pocítat funkci ψ v každém bode. Analýzou hodnotfunkce ψ ovšem zjistíme, že situace ve skutecnosti není tak složitá a hodnoty funkce ψ stacív mnoha prípadech ucit jen v nekterých bodech. Následující algoritmus zjednodušuje použitíTvrzení 4.1 a Tvrzení 4.2.

Mejme komplexní Lieovy algebry L a L. Chceme urcit zda existuje vlastní a netriviálníkontrakce mezi L a L, resp. zda jsou Lieovy algebry L a L izomorfní.

Algoritmus:Vypocteme hodnoty funkce ψL a ψL v bodech −1 a 1.

1. Jestliže ψL(1) , ψL(1) nebo ψL(−1) , ψL(−1), potom existuje spojitá vlastní, netriviálníkontrakce mezi L a L ("smer"kontrakce viz. Tvrzení 4.2), resp. Lieovy algebry L a L nejsouizomorfní.

2. Jestliže ψL(1) = ψL(1) , 4 a ψL(−1) = ψL(−1) , 3, potom jsou L a L izomorfní a tedyneexistuje spojitá vlastní, netriviální kontrakce.

3. Jestliže ψL(1) = ψL(1) = 4 a ψL(−1) = ψL(−1) = 3, potom spojitá kontrakce neexistuje.Chceme-li zjistil zda jsou Lieovy algebry L a L izomorfní, musíme funkci ψ dopocítat v kaž-dém bode.

Podívejme se nyní, jak by vypadala situace, kdybychom chteli rozlišit páry trí-dimenzionálníchkomplexních Lieových algeber, které na sebe mohou kontrahovat, bez použití použití kritéria16 ve Vete 3.1, tj. použijeme pouze kritéria 1-16 a nemáme tedy k dispozici funkci ψ. Invari-anty vystupující v techto kritériích máme pripravené na konci kapitoly 2. Jejich analyzovánímzjistíme, že platí následující dve tvrzení.

Tvrzení 4.3. Bud’ L a L0 dve komlpexní trí-dimenzionální Lieovy algebry. Potom existujevlastní spojitá kontrakce Lieovy algebry L na L0 práve tehdy, když jsou splnena kritéria 1,12 a 15.

Tvrzení 4.4. Množiny kritérií z Vety 3.1, které neodsahují jako podmnožiny kritérií 1, 16 nebo1, 12, 15 nerozlišují všechny páry trí-dimenzionálních komplexních Lieových algeber, které nasebe mohou kontrahovat.


4.4 Twistované kocyklyV této sekci navážeme na Definici 1.7 a podobne jako v prípade (α, β, γ)-derivace, zobec-

níme pojem k-kocyklu na tzv. twistovaný kocyklus, který byl poprvé definován v clánku [5]. Sdukazy vet se rovnež odvoláváme na zmínený clánek.

Definice 4.2. Bud’ L komplexní Lieova algebra a f její reprezentace na vektorovém prostoruV. Dále bud’ κ := (κi j) komplexní, (q + 1) × (q + 1) rozmerná, symetrická matice. Totálneantisymetrické lineární zobrazení c ∈ Cq(L,V; f ), q ∈ N splnující

0 =

q+1∑i=1

(−1)i+1κi j f (xi) c(x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xq+1) (4.7)

+∑

1≤i< j≤q+1

(−1)i+ jκi j c([xi, x j], x1, ..., xi−1, xi+1, ..., x j−1, x j+1, ..., xq+1)

nazýváme κ- twistovaný kocyklus dimenze q vzhledem k reprezentaci f . Vektorový prostorvšech κ- twisted kocyklu dimenze q znacíme Zq(L, f , κ).

Poznámka 4.2. Za povšimnutí stojí, že v predchozí definici je zahrnuta i definice (α, β, γ)-derivace. Uvažujeme-li adjungovanou reprezentaci a její jedno-dimenzionální twistovaný ko-cyklus, dostaneme:

Z1(L, adL,

(β αα γ

) )= DL(α, β, γ). (4.8)

Z predchozí poznámky zacíná být zrejmé, proc jsme zavedli pojem vektorového prostoruZq(L, f , κ) všech κ-twisted kocyklu. Uvedeme ted’ dve duležité vety, které popisují jak se pro-stor Zq(L, f , κ) chová vzhledem k izomorfii Lieových algeber, resp. ke spojité kontrakci Lieo-vých algeber.

Veta 4.3. Bud’ g : L 7→ L izomorfizmus Lieových algeber L a L. Potom zobrazení h :Cq(L,V, f ) 7→ Cq(L,V, f ) definované pro všechna c ∈ Cq(L,V, f ) a všechna x1, ..., xq ∈ L

jakoh(c)(x1, ..., xq) = gc(g−1x1, ..., g

−1xq), (4.9)

je izomorfizmus vektorových prostoru Cq(L,V, f ) a Ck(L,V, f ). Dále pro každou komplexní,symetrickou, (q + 1) × (q + 1) rozmernou matici κ platí

h(Zq(L, adL, κ)) = Zq(L, adL, κ). (4.10)

Dusledek 4.2. Pro každé q ∈ N a komplexní, symetrickou, (q + 1) × (q + 1) rozmernou matici κje dimenze vektorového prostoru Zq(L, adL, κ) invariant Lieovy algebry L.

Veta 4.4. Bud’ Lieova algebra L0 spojitá kontrakce Lieovy algebry L a q ∈ N. Potom prokaždou komplexní, symetrickou, (q + 1) × (q + 1) rozmernou matici κ platí

dimZq(L, adL, κ) ≤ dimZq(L0, adL0 , κ). (4.11)


Nyní se podrobneji podíváme na vektorový prostor Z2(L, adL, κ). Dodržíme znacení zave-dené v [5], tedy:

coc(α1,α2,α3,β1,β2,β3) L = Z2(L, adL,

(β1 α2 α3α2 β3 α1α3 α1 β2

) ). (4.12)

Z (4.7) okamžite dostáváme, že vektorový prostor coc(α1,α2,α3,β1,β2,β3) L tvorí taková B ∈ C2(L,V, adL),která pro všechna x, y, z ∈ L splnují

0 = α1B(x, [y, z]) + α2B(z, [x, y]) + α3B(y, [z, x]) (4.13)+ β1[x, B(y, z)] + β2[z, B(x, y)] + β3[y, B(z, x)].

Bud’ L Lieova algebra dimenze n. Zvolíme bázi (e1, ..., en) na L a podobne jako v prípadetenzoru strukturních konstant ck

i j zavedeme B(ei, e j) = bki jek, kde i, j, k ∈ N a pres k se scítá.

Dosadíme-li nyní do vztahu (4.13) za x = el, y = ei, z = e j, dostaneme následující soustavurovnic pro složky bk

i j antisymetrického tenzoru

0 = α1cki jb

mlk + α2ck

libmjk + α3ck

jlbmik (4.14)

+ β1cmlkb

ki j + β2cm

jkbkli + β3cm

ikbkjl,

kde i, j, k, l,m ∈ n a pres index k se scítá. Antisymetrický tenzor bki j je plne urcen n2(n − 1)/2

svými složkami, tudíž (4.14) je soustana n4 rovnic o n2(n−1)/2 neznámích. Oznacíme-li maticitéto soustavy jako B, potom mužeme psát

dim coc(α1,α2,α3,β1,β2,β3) =n2 · (n − 1)

2− rank B(α1, α2, α3, β1, β2, β3). (4.15)

Definice 4.3. Bud’ L Lieova algebra dimenze n ∈ N, potom definujeme invariantní funkceϕ, ϕ0, ξ : C 7→ 0, 1, ..., n2(n − 1)/2 následovne:

ϕL(δ) := dim coc(1,1,1,δ,δ,δ) L (4.16)ϕ0L(δ) := dim coc(0,1,1,δ,1,1) L (4.17)

ξL(δ) := dim coc(−δ,0,δ,1,0,−1) L (4.18)

Funkce ϕL a ϕ0L

jsou rozebrány v [5]. S dukazem následujících vet se proto odkazujeme napráve zmínený clánek.

Veta 4.5. Dve trí-dimenzionální komplexní Lieovy algebry L, L jsou izomorfní práve tehdy,když ϕ0

L(δ) = ϕ0

L(δ), pro všechna δ ∈ C.

Veta 4.6. Dve ctyr-dimenzionální komplexní Lieovy algebry L, L jsou izomorfní práve tehdy,když ψL(δ) = ψL(δ) a ϕL(δ) = ϕL(δ), pro všechna δ ∈ C.

Hodnoty funkce ξ jsou pro dimenze tri a ctyri shrnuty v následujících dvou sekcích.


4.5 Invariantní funkce ξ na dimenzi 3

Abelovská:δ

ψ(δ) 9s2,1 ⊕ n1,1:

δ 0 1

ψ(δ) 3 3 1

n3,1:δ

ψ(δ) 3s3,2:

δ 1

ψ(δ) 6 0

s3,1(−1):δ -1 1

ψ(δ) 2 2 0s3,1(1):

δ 1

ψ(δ) 6 0

s3,1(a), a , ±1:δ 1 a 1

a

ψ(δ) 2 1 1 0sl(2,C):

δ 1

ψ(δ) 1 0

4.6 Invariantní funkce ξ na dimenzi 4

Abelovská:δ

ψ(δ) 24s2,1 ⊕ 2n1,1:

δ 0 1

ψ(δ) 12 9 6

2s2,1:δ 1

ψ(δ) 4 0n3,1 ⊕ n1,1:

δ 0

ψ(δ) 12 9

s3,2 ⊕ n1,1:δ 0 1

ψ(δ) 6 4 1

s3,1(a) ⊕ n1,1:

a , ±1

δ 0 1 a 1a

ψ(δ) 6 4 2 2 1


s3,1(−1) ⊕ n1,1:δ -1 0 1

ψ(δ) 3 6 4 1s3,1(1) ⊕ n1,1:

δ 0 1

ψ(δ) 6 8 1

sl(2,C) ⊕ n1,1:δ 0 1

ψ(δ) 6 2 0n4,1:

δ 0 1

ψ(δ) 6 4 3

s4,1:δ 0 1

ψ(δ) 6 4 2s4,2:

δ 1

ψ(δ) 3 0

s4,3(a, b):

a , ±1, b, 1b , b

2

b , ±1, a, 1a , a

2

δ 1 a 1a b 1

bab

ba

ψ(δ) 3 1 1 1 1 1 1 0

s4,3(a, a):

a , ±1,−12 ± i

√3

2

δ 1 a 1a

ψ(δ) 7 2 3 0

s4,3(a, a2):

a , ±1,−12 ± i

√3

2 ,±i

δ 1 a 1a a2 1

a2

ψ(δ) 3 2 2 1 1 0

s4,3(a, 1):

a , ±1

δ 1 a 1a

ψ(δ) 7 2 3 0

s4,3(a,−1):

a , ±1,±i

δ 1 a 1a -1 -a -1

a

ψ(δ) 3 1 1 2 1 1 0

s4,3(1, 1):δ 1

ψ(δ) 18 0


s4,3(−1, 1):δ -1 1

ψ(δ) 5 7 0

s4,3(−12 + i

√3

2 ,−12 ± i

√3

2 ):δ 1 −1

2 + i√

32 −1

2 − i√

32

ψ(δ) 7 3 3 0

s4,3(±i,−1):δ -1 1 ±i

ψ(δ) 2 3 2 0

s4,4(a):

a , ±1

δ 1 a 1a

ψ(δ) 3 1 1 0s4,4(−1):

δ -1 1

ψ(δ) 2 3 0

s4,4(1):δ 1

ψ(δ) 7 0s4,6:

δ 0 1

ψ(δ) 6 2 0

s4,8(a):

a , 1

δ 1 1 + a 1 + 1a

ψ(δ) 2 1 1 0s4,8(1):

δ 1 2

ψ(δ) 2 3 0

s4,10:δ 1 2

ψ(δ) 2 1 0s4,11:

δ 1

ψ(δ) 4 0

4.7 Efektivita ivnariantní funkce ξ na dimenzi 3 a 4Podívejme se nyní jaké výsledky prináší funkce ξ pri identifikaci izomorfie, resp. kontrakcí

komplexních Lieových algeber dimenze 3 a 4. Porovnáním hodnot funkce ξ napr. pro Lieovy


algebry s3,2 a s3,1(1) zjistíme, že samotná funkce ξ nerozhoduje, zda jsou dve trí-dimenzionálníkomplexní Lieovy algebry izomorfní. Situace se zmení jestliže navíc vemzeme v úvahu dimenzialgebry derivací, tj. hodnotu funkce ψ v bode 1.

Tvrzení 4.5. Dve trí-dimenzionální komplexní Lieovy algebry L, L jsou izomorfní práve tehdy,když ψL(1) = ψL(1) a ξL(δ) = ξL(δ), pro všechna δ ∈ C.

Dukaz. Viz. Tvrzení 4.6.

Predchozí tvrzení zustane v platnosti i v prípade, že definicní obor funkce ξ zúžíme na body−1, 1.

Tvrzení 4.6. Dve trí-dimenzionální komplexní Lieovy algebry L, L jsou izomorfní práve tehdy,když ψL(1) = ψL(1), ξL(1) = ξL(1) a ξL(−1) = ξL(−1).

Dukaz. Tvrzení plyne z tabulky:

sl(2,C) s3,2 sa,±13,1 sa=−1

3,1 s2,1 ⊕ n1,1 sa=13,1 s3,2

ψ(1) 3 4 4 4 4 6 6

ξ(1) 1 6 2 2 3 6 3

ξ(−1) 0 0 0 2 1 0 0

Porovnáme-li hodnoty funkce ξ pro algebry sl(2,C) a s3,2 zjistíme, že funkce ξ mezi temitoalgebrami povoluje kontrakci. Z druhé kapitoly (viz. Obrázek 3.1) víme, že tato kontrakce ne-existuje. Funkce ξ tedy nerozlišuje páry trí-dimenzionálních Lieových algeber, které na sebemohou kontrahovat. Situace se tentorkát nezmení ani po pridání dimenze algebry derivací:

ψ(1) ξ(1) ξ(δ)

sl(2,C) 3 1 0

s3,2 4 6 0

Podobný výsledek dostaneme i pro Lieovy algebry dimenze 4. Uvažujme Lieovy algebrysl(2,C) ⊕ n1,1 a s4,1, hodnoty funkcí ξ, ψ, ϕ, ϕ0 pro tyto algebry jsou:

ξ(0) ξ(1) ξ(δ) ψ(−1) ψ(0) ψ(1) ψ(2) ψ(δ)

sl(2,C) ⊕ n1,1 6 2 0 6 4 4 2 1

s4,1 6 4 2 7 7 7 7 7

ϕ(−1) ϕ(0) ϕ(12 ) ϕ(1) ϕ(δ) ϕ0(1) ϕ0(δ)

sl(2,C) ⊕ n1,1 14 12 10 12 9 1 0

s4,1 16 16 15 15 15 3 3


Z techto tabulek vidíme, že funkce ξ, ψ, ϕ, ϕ0 dohromady povolují kontrakci Lieovy algebrysl(2,C)⊕ n1,1 na Lieovu algebru s4,1, pritom z druhé kapitoly víme, že tato kontrakce neexistuje(viz. Obrázek 3.2).

Záver

V práci se zabýváme kontrakcemi nízko-dimenzionálních komplexních Lieových algeber.Kontrakce jsme rozlišovali pomocí nerovností mezi invariantními velicinami pocátecní a kon-trahované algebry. Invarianty jsou zadefinovány v druhé kapitole, nacež ve tretí kapitole s jejichpomocí shrnujeme nutná kontrakcní kritéria ve Vete 3.1. Je známo, že tato kritéria rozlišujívšechny kontrakce Lieových algeber až do dimenze ctyri (viz. [8]). Kontrakce komplexníchLieových algeber dimenze jedna a dva jsou triviální, kontrakce na dimenzi tri a ctyri jsou ilu-strovány na Obrázku 3.1, resp. na Obrázku 3.2.

Ve ctvrté kapitole jsme diskutovali efektivitu kontrakcních kritérií z Vety 3.1 na dimenzi tri actyri. V této souvislosti jsme definovali tzv. invariantní funkce pomocí κ-twistovaných kocyklu.Pojem κ-twistovaných kocyklu byl poprvé zaveden v clánku [5]. V tomto clánku byly podrobnerozebrány funkce:

ψL(δ) := dimD(δ, 1, 1),ϕL(δ) := dim coc(1,1,1,δ,δ,δ) L,

ϕ0L(δ) := dim coc(0,1,1,δ,1,1) L.

Tyto funkce jsou velice efektivní pro charakterizaci kontrakcí na dimenzi 3, oproti tomu selhá-vají na dimenzi ctyri. V záveru práce jsme definovali novou funkci

ξL(δ) := dim coc(−δ,0,δ,1,0,−1) L

a spocetli jsme její hodnoty pro všechny neizomorfní komplexní Lieovy algebry dimenze tri actyri. Ukázali jsme, že funkce je užitecná na dimenzi tri, kdežto na dimenzi ctyri opet selhává.Vezmeme-li v úvahu Lieovy algebry sl(2,C) ⊕ n1,1 a s4,1, potom všechny funkce ψL, ϕL, ϕ0

L, ξL

povolují mezi temito algebrami kontrakci, prestože tato kontrakce neexistuje.V úplném záveru nastíníme nekteré dosud nevyrešené problémy, na které by mohl být zame-

ren další výzkum: Jsou kontrakcní kritéria, která jsme uvažovali, dostacující pro rozlišení kon-trakcí všech páru komplexních Lieových algeber dimenze pet? Existuje seznam kritérií, kterýby byl dostacující pro obecnou dimenzi n? Jak efektivní jsou invariantní funkce κ-twistovanýchkocyklu dimenze vetší než dva? Prozatím je známo pouze jedno kritérium, které obsahuje ostrounerovnost. Existují i další kritéria poskytující ostrou nerovnost?

62

Literatura

[1] Borel A.: Linear algebraic groups. Benjamin, Inc, 1969.

[2] Doebner H. D. and Melsheimer O.: On a class of generalized group contractions, NuovoCimento A(10) 49, (1967), 306–311.

[3] Grunewald F. and O’Halloran J.: Varieties of nilpotent Lie algebras of dimension less thansix, J. Algebra 112, (1988), 315–325.

[4] Hegerfeldt G. C.: Some properties of a class of generalized Inönu–Wigner contractions,Nuovo Cimento A (10) 51, (1967), 439–447.

[5] Hrivnák J., Novotný P.: Twisted cocykles of Lie algebras and corresponding invariantfunctions, Lin. Alg. Appl. 430, 1384 (2009)

[6] Inönu E. and Wigner E. P.: On the contraction of groups and their representations. Proc.Nat. Acad. Sci. U.S.A. 39, (1953), 510–524.

[7] Inönu E. and Wigner E. P.: On a particular type of convergence to a singular matrix, Proc.Nat. Acad. Sci. U.S.A. 40, (1954), 119–121.

[8] Nesterenko M., Popovych R.: Contractions of low-dimenzional Lie algebras, K. Math.Phys. 47, 123515 (2006)

[9] Novotný P., Hrivnák J.: On (α, β, γ)–derivations of Lie algebras and corresponding invari-ant functions, J. Geom. & Phys. 58, Issue 2, (2008), 208–217.

[10] Novotný P.: Graded contractions of sl(3,C), Ph.D. Thesis, Czech Technical University,Prague (2009)

[11] Saletan E. J.: Contraction of Lie groups: J. Math. Phys. 2, (1961), 1–21.

[12] Segal I. E.: A class of operator algebras which are determined by groups, Duke Math. J.18, (1951), 221–265

[13] Šnobl L., Winternitz P.: Classification and Identification of Lie Algebras, AmericanMathematical Society, 2014

63

Documents

Aplikace invariantu˚ Lieových algeber pro charakterizování