Aplikasi algoritma fruend dalam turnamen round robin

ABSTRAK

Salah satu kegiatan yang yang mengandung unsur kompetisi adalah turnamen.

Turnamen adalah sebuah kompetisi terorganisasi di mana sejumlah besar tim

berpartisipasi dalam sebuah pertandingan. Terdapat banyak jenis sistem dalam

pelaksanaan tiap turnamen seperti sistem swiss, sistem gugur dan sistem round robin.

Disini kita akan membahas mengenai system round robin. Sistem pada turnamen round

robin mengharuskan satu team harus melawan semua team lain secara berurutan

menurut jadwal yang telah dibuat. Untuk membuat jadwal ini dapat dilakukan dengan

menggunakan kongruensi modulo atau yang lebih dikenal algoritma freund. Tujuan dari

algoritma freund dalam turnamen round robin yaitu untuk memberikan langkah-langkah

dalam mengatur jadwal tiap pemain / team secara terstruktur dengan baik dan sistematis

agar tidak tumpang tindih antar team saat pergantian babak / round.

Kata Kunci: Algoritma Freund, Turnamen Round Robin

http://id.wikipedia.org/wiki/Kompetisi

http://id.wikipedia.org/wiki/Pertandingan

APLIKASI ALGORITMA FRUEND DALAM TURNAMEN ROUND ROBIN

1 . Pendahuluan

Matematika merupakan Ilmu pengetahuan yang sangat penting. Karena segala sesuatu yang

ada dalam kehidupan kita pasti menggunakan matematika. Dalam kehidupan kita banyak

ilmu Matematika yang terdapat dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu cabang ilmu

matematika yang mempelajari itu yakni Algoritmma.

Dalam kehidupan sehari-hari pun banyak terdapat proses yang digambarkan dalam suatu

algoritma misalnya resep masakan. Pada setiap resep selalu ada urutan langkah-langkah

membuat masakan. Urutan langkah-langkah itu yang merupakan sebuah algoritma.

Begitu juga dalam sebuah turnamen atau pertandingan. Jika kita mengatur jadwal

pertandingan secara manual,sering sekali kita menjumpai atau mengalami kesulitan dalam

mengatur jadwal pertandingan apabila banyak pertandingan yang dilombakan,namun apabila

jumlah pertandingan yang di lombakan itu sedikit maka kita tidak terlalu mengalami

kesulitan mengatur jadwalnya.Waktu yang digunakan juga kurang efektif,sebab sering

terjadinya tumpang tindih antar team,karena jumlah teamnya terlalu banyak sehingga waktu

yang digunakan cukup lama . Maka dari itu turnamen round robin yang menjadi solusinya.

Di dalam sebuah turnamen round robin terdapat jadwal yang mengatur setiap team untuk

dapat bertanding secara berurutan dalam setiap babak atau round dengan team lainnya.

Untuk dapat membuat jadwal yang benar-benar adil sehingga setiap team bertemu dengan

team lainnya diperlukan suatu langkah-langkah tertentu yang disebut dengan algoritma. Di

dalam suatu turnamen pasti memiliki sistem yang mengatur dalam turnamen tersebut. Ada

banyak sekali sistem turnamen yang ada. Sistem gugur adalah sistem yang sering kita jumpai

di banyak pertandingan olahraga.. Sekali kalah, maka pemain tidak bisa lanjut ke babak atau

round berikutnya.

Adapun tujuan dari turnamen round robin ini yaitu untuk mengatur jadwal pertandingan

setiap team untuk bertanding secara sistematis dalam setiap babak tanpa adanya kekeliruan

setiap pergantian babaknya, dalam jumlah banyak.

Kelebihan turnamen round robin ini adalah setiap pemain mempunyai kesempatan yang sama

dengan pemain yang lainnya dalam bertanding. Selain itu juga unsur keberuntungan pemain

terlihat berkurang dibandingkan dengan sistem gugur karena sejak pertandingan awal sampai

akhir pertandingan setiap pemain mempunyai kesempatan yang sama untuk bertanding dan

sistem ini juga tidak menghilangkan peluang pesaing hingga akhir pertandingan.Catatan

akhir pertandingan lebih akurat dalam jangka waktu yang lama terhadap pertandingan yang

sama. Hal ini juga dapat digunakan untuk menentukan team pemain yang paling kuat dalam

pertandingan.

Namun dalam turnamen round robin ini juga memiliki kelemahan dalam pengaturan waktu.

Untuk menyelesaikan suatu pertandingan membutuhkan waktu yang cukup lama. Tidak

seperti jika kita menggunakan sistem gugur, dimana sebagian dari peserta pertandingan dapat

dieliminasi setelah setiap satu kali putaran. Sedangkan round robin memerlukan satu kurang

dari jumlah pemain. Misalnya dalam sebuah turnamen 32 dapat diselesaikan dalam 5 kali

putaran saja jika menggunakan sistem gugur. Namun jika dalam turnamen round robin

membutuhkan 31 putaran untuk menyelesaikannya.

Salah satu algoritma yang sesuai untuk diterapkan dalam pembuatan jadwal turnamen round

robin tersebut adalah algoritma yang dikembangkan oleh Freund atau lebih dikenal dengan

algoritma Freund. Algoritma ini digunakan dalam turnamen round robin bertujuan untuk

mengurangi tingkat kesalahan turnamen (error round) dan validitas programming. Jika secara

manual tingkat kesalahannya terjadi jika jumlah team sudah diatas 20 team,karena disisni

pertemuan setiap team mulai tidak teratur.

Oleh karena itu, dalam makalah ini, penulis membahas tentang pembuatan jadwal pada

turnamen round robin dengan menggunakan algoritma freund dengan judul makalah

’Aplikasi Algoritma Freund Pada Turnamen Round Robin’

II. Kajian teori

A.Algoritma

Algoritma adalah urutan logis langkah-langkah penyelesaian masalah (Munir,2007:4).

Menurut Goodman Hedet Niemi algoritma adalah urut-urutan terbatas dari operasi terdefinisi

dengan baik, yang masing-masing membutuhkan memori dan waktu yang terbatas untuk

menyelesaikan suatu masalah. Sedangkan menurut saya, algoritma adalah cara yang dapat

ditempuh dalam suatu proses mencapai suatu tujuan, terdiri atas langkah-langkah yang

terdefinisi dengan baik, menerima input, melakukan proses, dan menghasilkan output.

B.Modulo

Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat lebih besar nol. Operasi a mod

m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. biasanya a mod m dengan m

= 1 tidak ditulis. Artinya, mod 1 jarang dijumpai atau tak pernah dijumpai. Karena a mod 1

nilainya pasti sama dengan nol. Semua bilangan bulat pasti habis dibagi 1. Sehingga tidak ada

gunanya mempertanyakan mod 1.

Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m. Bilangan m disebut

modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …,

m – 1}. Kenapa hanya sampai pada m – 1? Perhatikan syarat 0 ≤ r < m. karena semesta

pembicaraan ada di bilangan bulat, maka himpunan hasil aritmetika modulo hanya akan

sampai pada m – 1. Karena sama saja untuk m dengan nol.

Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo:

1. 23 mod 5 = 3 sama halnya dengan (23 = 5 4 + 3)

2. 0 mod 17 = 0 sama halnya dengan (0 = 17 0 + 0)

C.Kongruen

Misalnya 28 mod 5 = 3 dan 18 mod 5 = 3, maka kita katakan 28 18 (mod 5) (baca: 28

kongruen dengan 18 dalam modulo 5). Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah

bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi a – b. Jika a tidak kongruen dengan

b dalam modulus m, maka ditulis a ≢ b (mod m).

Definisi : ditentukan p, q, m adalah bilangan-bilangan bulat dan m ≠ 0. p disebut kongruen

dengan q modulo m, ditulis p ≡ q (mod m), jika dan hanya jika m ∣ p – q

Contoh :

22 2 (mod 5) ( 5 habis membagi 22 – 2 = 20)

–6 14 (mod 10) (10 habis membagi –6 – 14 = –20)

Kekongruenan a b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan a = b + km dengan k

adalah bilangan bulat.

Contoh : 17 2 (mod 3) dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 3

–7 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11

Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan a mod m = r sebagai a r

(mod m)

Contoh : Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut:

1) 23 mod 5 = 3 dapat ditulis sebagai 23 3 (mod 5)

2) 27 mod 3 = 0 dapat ditulis sebagai 27 0 (mod 3)

D. Turnamen Round Robin

Turnamen Round Robin merupakan sistem tournament di mana setiap pemain atau team akan

bertanding melawan setiap pemain lainnya. Jika masing-masing melawan sekali, dinamakan

single round-robin, sedangkan jika melawannya dua kali, maka dinamakan double round-

robin. Sistem double jarang digunakan karena memakan waktu dalam pelaksanaannya

kecuali pada turnamen yang memang dilaksanakan dalam jangka waktu yang lama.

Di dalam turnamen Round Robin setiap pemain di dalam pertandingan mempunyai

kesempatan yang sama dengan pemain yang lain. Sebab, di turnamen ini tidak

menghilangkan kesempatan untuk menang. Jika di didalam kompetensi round pertama team/

pemain tersebut kalah maka team / pemain tersebut dapat pertanding lagi pada round

berikutnya.

E. Algoritma Fruend

Cara ini dikembangkan oleh Freund. Di sini, kita tidak akan membahas bukti, karena

sesungguhnya buktinya hanyalah logika biasa. Jadi, kita akan langsung membahas algoritma

Freund ini.

Diketahui bahwa jumlah team yang ikut serta adalah sebanyak N,dimana N adalah genap.

Pada round ke –R, team i akan melawan team j, maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

Ketentuan di atas selalu berlaku kecuali jika i=j sebab tidak mungkin ada team yang melawan

dirinya sendiri. Atau jika ada j yang sudah dipakai di petak dengan i lebih kecil sebelumnya

(agar tidak bentrok). Jika ketentuan ini dilanggar,kosongkan dulu nilai j.

Ketentuan yang lain,jika ternyata terdapat 2 nilai j yang memenuhi,maka ambilah nilai j yang

lebih kecil.

F.Aplikasi Algoritma fruend dalam turnamen Round Robin

Round-Robin Tournament atau turnamen round robin merupakan sistem tournament di mana

setiap pemain atau team akan bertanding melawan setiap pemain lainnya. Jika masing-

masing melawan sekali, dinamakan single round-robin, sedangkan jika melawannya dua kali,

maka dinamakan double round-robin. Sistem double jarang digunakan karena memakan

waktu dalam pelaksanaannya kecuali pada turnamen yang memang dilaksanakan dalam

jangka waktu yang lama. Istilah round-robin sendiri diturunkan dari bahasa Perancis ruban,

yang berarti ribbon, namun entah mengapa istilah itu sekarang berubah menjadi Robin, yang

sesungguhnya tidak ada sangkut pautnya dengan Robin Hood.

Sistem ini mengusahakan agar round yang digunakan adalah seminimum mungkin. Terlihat

bahwa jika ada 8 team, maka round yang dibutuhkan cukup 7 round di mana setiap round-nya

terdapat 4 pertandingan. Jadi, total pertandingannya adalah 28. Jadwal pertandingan tidak

harus seperti di atas. Ada banyak sekali kemungkinan untuk membuat jadwal round-robin.

Pertanyaannya bagaimana caranya membuat jadwal round robin seperti di atas? Berikut ini

adalah pembahasannya.

Berikut adalah contoh single round-robin dengan 8 team atau regu.

Tabel Round-Robin dengan 8 team (tabel 1)

Round 1 Team 1 vs Team 7

Team 2 vs Team 6

Team 3 vs Team 5

Team 4 vs Team 8


Team 2 vs Team 7

Team 3 vs Team 6

Team 4 vs Team 5


Team 3 vs Team 7

Team 4 vs Team 6

Team 5 vs Team 8


Team 2 vs Team 8

Team 4 vs Team 7

Team 5 vs Team 6

____


Team 2 vs Team 3

Team 5 vs Team 7

Team 6 vs Team 8


Team 2 vs Team 4

Team 3 vs Team 8

Team 6 vs Team 7


Team 2 vs Team 5

Team 3 vs Team 4

Team 7 vs Team 8

Tabel 1

1.Cara Membuat Jadwal Pada Turnamen Round-Robin

Buatlah tabel 1 di atas menjadi tabel yang lebih singkat dan sederhana seperti pada tabel 2 di

bawah ini.

Team

Round 1 2 3 4 5 6 7 8

Round 1 7 6 5 8 3 2 1 4

Round 2 8 7 6 5 4 3 2 1

Round 3 2 1 7 6 8 4 3 5

Round 4 3 8 1 7 6 5 4 2

Round 5 4 3 2 1 7 8 5 6

Round 6 5 4 8 2 1 7 6 3

Round 7 6 5 4 3 2 1 8 7

Tabel 2

Untuk berikutnya, di bawah, kita akan menggunakan format tabel 2 berikut dalam

menjelaskan pembuatan jadwal ini.

2.Menggunakan Kongruensi Modulo untuk Menyusun Round Robin

Diketahui bahwa jumlah team yang ikut serta adalah sebanyak N, dimana N adalah genap.

Pada round ke-R, team i akan melawan team j, maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

Ketentuan di atas selalu berlaku kecuali jika i = j (karena tidak mungkin ada team yang

melawan dirinya sendiri) atau jika ada j yang sudah dipakai di petak dengan i lebih kecil

(sebelumnya) (agar tidak terjadi bentrok). Jika ketentuan ini dilanggar, kosongkan dulu nilai

j.

Ketentuan yang lain: Jika ternyata terdapat 2 nilai j yang memenuhi, maka ambillah nilai j

yang lebih kecil. Kita akan langsung menggunakan contoh dimana jumlah pemain (N) = 8.

Dengan menggunakan algoritma Freund, kita dapatkan tabel setengah jadi (abaikan

warnanya) sebagai berikut:

Team

Round 1 2 3 4 5 6 7 8

Round 1 7 6 5

3 2 1

Round 2 8 7 6 5 4 3 2 1

Round 3 2 1 7 6

4 3

Round 4 3

1 7 6 5 4

Round 5 4 3 2 1 7

5

Round 6 5 4

2 1 7 6

Round 7 6 5 4 3 2 1 8 7

Tabel setengah jadi dari Algoritma Freund (tabel 3)

ingat: warna hanya sebagai pelengkap penjelasan di bawah.

Berikut penjelasan darimana angka-angka tersebut di dapat

@ Lihat kotak dengan angka 7 (kolom 1 dan baris 1):

R = 1 , dan i = 1, maka (1+j) ≡ 1 mod 7

Nilai j yang memenuhi adalah 7.

@ Lihat kotak dengan angka 5 (kolom 3 baris ke-1):

R = 1 , dan i = 3, maka (3+j) ≡ 1 mod 7



R = 3 , dan i = 1, maka (1+j) ≡ 3 mod 7



R = 3 , dan i = 2, maka (2+j) ≡ 3 mod 7

Nilai j yang memenuhi adalah 1 dan 8.

Pilih yang terkecil yaitu 1.

@ Lihat kotak kosong dengan background ungu (kolom 4 baris ke-1):

R=1, dan i=4, maka (4+j) ≡ 1 mod (7).


Namun, karena i = j, maka kotak ini harus dikosongkan dahulu.

@ Lihat kotak kosong dengan background merah (kolom 8 baris ke-1):

R=1, i =8, maka (8+j) ≡ 1 mod (7).


Namun, karena 7 sudah dipakai di petak sebelumnya (R=1, i=1),

maka 7 tidak dapat digunakan lagi, maka kosongkan dulu petak ini.

Untuk petak -petak yang lain, caranya sama seperti contoh-contoh di atas.

Setelah tabel setengah jadi di atas selesai, kita tinggal mengisi kotak-kotak yang masih

kosong dengan nilai yang mungkin. Misalnya, karena di round 1, team 4 dan team 8

keduanya masih kosong, maka 4 akan melawan 8, dan 8 akan melawan 4. Cara yang sama

juga kita lakukan untuk kotak kosong yang lain.

Team

Round 1 2 3 4 5 6 7 8

Round 1 7 6 5 8 3 2 1 4

Round 2 8 7 6 5 4 3 2 1

Round 3 2 1 7 6 8 4 3 5

Round 4 3 8 1 7 6 5 4 2

Round 5 4 3 2 1 7 8 5 6

Round 6 5 4 8 2 1 7 6 3

Round 7 6 5 4 3 2 1 8 7

Tabel hasil akhir algoritma Freund (tabel 4)

Tabel di atas adalah hasil akhir algoritma Freund. Hasil dari tabel ini sama persis seperti

tabel 2.

3.Pengenalan terhadap kelompok Dummy

Sebelum melangkah lebih jauh, perlu kita ketahui bahwa jika jumlah pemainnya ganjil

(misalnya 7 team) maka kita harus membuat sebuah kelompok dummy (misalnya kelompok

ke-8). Jika ada kelompok yang bertemu dengan kelompok dummy tersebut, artinya team

tersebut tidak bermain pada round tersebut.

Berikut diberikan contoh tabel Round-Robin untuk 7 pemain:

team

round

1 2 3 4 5 6 7

Round 1 7 6 5 bye 3 2 1

Round 2 bye 7 6 5 4 3 2

Round 3 2 1 7 6 bye 4 3

Round 4 3 bye 1 7 6 5 4

Round 5 4 3 2 1 7 bye 5

Round 6 5 4 Bye 2 1 7 6

Round 7 6 5 4 3 2 1 bye

Tabel Round-robin dengan 7 pemain (tabel 5)

Perhatikan bahwa tabel dengan 7 pemain ini tidak berbeda jauh dengan tabel dengan 8

pemain. Bedanya, hanya kolom ke-8 yang dibuang, dan setiap pemain yang bertanding

melawan kelompok 8 (sebagai dummy) diberi tanda "bye", yang artinya di round tersebut dia

tidak bermain.. Misalnya, di round 4, team 2 diberi tanda "bye". Artinya, di round 4 ini, team

2 tidak bertanding.

Jadi, kita harus selalu membentuk kelompok dummy jika kita ingin menyusun jadwal dengan

jumlah pemain ganjil. Misalkan, jika jumlah kelompoknya ada 5, kita tambahkan 1 kelompok

dummy (yang dilabelkan dengan kelompok "6"), sehingga jumlahnya menjadi genap.

4.Kekurangan dalam Penyusunan Jadwal Turnamen Round Robin

Ada sedikit kekurangan dalam penyusunan jadwal turnamen round robin di atas yakni

masalah team kandang atau tandang. Di dalam setiap turnamen yang sebenarnya pasti

terdapat team yang menjadi tuan rumah (kandang) atau team yang menjadi pendatang

(tandang). Misalkan ada kata-kata team 1 vs team 8, maka di sini team 1 adalah team

kandang karena terletak sebelum vs dan team 8 adalah team tandang karena terletak setelah

vs. Perhatikan pada tabel 1. Team 8 selalu mendapatkan tempat sebagai team tandang

sedangkan team 1 selalu sebagai team kandang. Dalam kehidupan nyata hal ini harus

dihindari karena akan menimbulkan protes dari team 8. Untuk itu kita harus membuat system

jadwal sehingga setiap team mendapatkan jatah kandang dan tandang yang sama.

Untuk mengatasi masalah diatas, kita dapat menggunakan cara sebagai berikut.

Diketahui “team i vs team j”

Jika i+j ganjil,kandang ditempati oleh i atau j yang lebih kecil

Jika i+ j genap,kandang ditempati oleh i atau j yang lebih besar

contoh:

"Team 2 vs Team 8". Karena 2+8 genap, maka posisi team kandang ditempati oleh Team

yang lebih besar, yaitu 8. Maka, sekarang berubah menjadi "Team 8 vs Team 2".

"Team 1 vs Team 5". Karena 1+5 adalah ganjil, maka team kandang ditempati oleh Team

yang lebih kecil. Maka, tidak ada perubahan.

Jika kita memodifikasi tabel 1 dengan pemilihan kandang dan tandang ini, maka hasilnya

menjadi seperti tabel 7 berikut:

Round 1

Team 7 vs Team 1

Team 6 vs Team 2

Team 5 vs Team 3

Team 8 vs Team 4

Round 2

Team 1 vs Team 8

Team 2 vs Team 7

Team 3 vs Team 6

Team 4 vs Team 5

Round 3

Team 1 vs Team 2

Team 7 vs Team 3

Team 6 vs Team 4

Team 5 vs Team 8

Round 4

Team 3 vs Team 1

Team 8 vs Team 2

Team 4 vs Team 7

Team 5 vs Team 6

Round 5

Team 1 vs Team 4

Team 2 vs Team 3

Team 7 vs Team 5

Team 8 vs Team 6

Round 6

Team 5 vs Team 1

Team 4 vs Team 2

Team 3 vs Team 8

Team 6 vs Team 7

Round 7

Team 1 vs Team 6

Team 2 vs Team 5

Team 3 vs Team 4

Team 7 vs Team 8

Tabel 1 yang dimodifikasi dengan system kandang dan tandang (tabel 7)

Uraian diatas hanya tata cara mengatur jadual pertandingannya saja, dan untuk menentukan

pemenangnya harus perdasarkan point yang telah disepakati bersama sebelum pertandingan

dimulai. Jika sudah didapat juara pertama berdasarkan nilai point yang paling besar. Dan

untuk menentukan juara kedua dan juara ketiga dengan point yang sama maka dilakukan

pertandingan ulang atau bisa juga dilihat dari selisih perolehan nilai antar kedua team

tersebut,team yang mana yang lebih cepat memperoleh point.

G. Penutup

Algoritma adalah suatu cara yang dapat ditempuh dalam suatu proses mencapai tujuan,terdiri

dari langkah-langkah yang terdifinisi dengan baik menerima input,melakukan proses,dan

menghasilkan output. Algoritma yang dikembangkan oleh freund atau yang lebih dikenal

dengan sebutan algoritma freund. Algoritma fruend ini dapat di aplikasikan terhadap suatu

pertandingan,yaitu turnamen round robin. Tujuan dari algoritma Freund sendiri yaitu

memberikan langkah-langkah yang terstruktur dan sistematis dalam mengatur suatu jadwal

pertandingan. Sedangkan tujuan dari round robin itu sendiri untuk memgatur jadual

pertandingan secara sistematis dalam setiap babak/round dengan team yang lain secara adil.

Ada sedikit kelemahan dalam system round robin ini yaitu di dalam setiap turnamen pasti ada

yang dikenal dengan team kandang dan team tandang. Misalnya team 1 vs team 2,dimana

team 1 disebut team kandang dan team 2 adalah team tandang. Dari uraian diatas team 1

selalu menjadi team kandang,dalam kehidupan nyata ini akan menimbulkan kecemburuan

sosial antar team maka kita harus menghindarinya.

Selain di aplikasikan dalam turnamen round robin,algoritma freund juga dapat digunakan

dalam permainan capsaph banting . Turnamen Round Robin selain menggunakan algoritma

Freund juga dapat dengan menggunakan rotasi.

REFERENSI

Munir, Rinaldi,2007,Algoritma dan Pemograman Dalam Bahasa Pascal dan C, Bandung :

Informatika.

Kenneth,H.Rosen,1991,Elementary Number Theory, McGraw-Hill.

Siraj,Rusdy A,2001,dasar-dasar teori bilangan.palembang: UMP

Agus,Nugroho danHapsari,Widi,2010,Matematika Diskrit dan Aplikasinya,

Yogyakarta : mediakom

http://en.wikipedia.org/wiki/Round-robin. Diakses tanggal 1 Juni 2011

http://en.wikipedia.org/wiki/Round-robin_tournament. Diakses tanggal 1 Juni 2011

http://en.wikipedia.org/wiki/Round-robin

http://en.wikipedia.org/wiki/Round-robin_tournament

APLIKASI ALGORITMA FRUEND UNTUK MENGATUR JADWAL PERTANDINGAN ROUND ROBIN

OLEH :

NAMA : ANGGI ARINI

NIM : 09221005

DOSEN PEMBIMBING : M.WIN AFGANI,S,Si,M,Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGRI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG

2012

Documents

Aplikasi algoritma fruend dalam turnamen round robin