APLIKASI INTEGRAL 1 luas bidang - Arisgunaryati's … ajar Kalkulus Integral 2009 Writing by [email protected] ‐ UMP Page 3 C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar

Bahan ajar Kalkulus Integral 2009

Writing by [email protected] ‐ UMP Page 1

APLIKASI INTEGRAL

1. LUAS DAERAH BIDANG

Misalkan f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h1,

h2, …, hn yang panjangnya ∆1x, ∆2x, …, ∆nx (anggap ∆1x = ∆2x = … = ∆nx), ambil sebarang

titik x = xi pada masing-masing hi dan bentuk persegi panjang yang alasnya hi (jadi

panjangnya ∆ix) dan tingginya f(xi).

Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) ∆ix.

Sehingga jumlah luas n persegi panjang adalah :

∆

Luasan tersebut merupakan pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X,

dan garis-garis x = a dan x = b. Jika ∆kx 0, maka banyaknya subinterval n ∞, sehingga

luas daerah tersebut adalah :

lim∞

∆

Misal : luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah :



12 |

12 9 1 4

Ada beberapa hal yang harus diketahui adalah :

A. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≥ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang

dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

B. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan f(x) ≤ 0 pada interval tersebut maka luas daerah yang

dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah



C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang dibatasi oleh

f(x) ≤ 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan penjumlahan luas masing-masing

daerah. Misal pada gambar :

Maka Luas = Luas I + Luas II + Luas III

Jadi

Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X adalah

| |

D. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu Y

adalah :

| |

E. Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, secara umum berlaku bahwa luas

daerah yang dibatasi oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah :



seperti tampak pada gambar berikut :

atau bila f(y) dan g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y),

g(y), garis y = a, dan y = b, adalah :

seperti tampak pada gambar berikut :

∫ −==b

a

dxxgxfLLuas )()(

∫ −==b

a

dyygyfLLuas )()(



Catatan Penting :

Untuk menghitung luas suatu daerah bidang dengan integral, secara umum bisa dilakukan

langkah-langkah sebagai berikut :

1. Buat gambar daerah yang dimaksud, juga persegi panjang pendekatannya dengan tebal

∆x (bila persegi panjang tegak / vertikal) atau ∆y (bila persegi panjang mendatar /

horizontal).

2. Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan batas kiri / kanan (untuk yang tegak)

atau batas bawah / atas (untuk yang mendatar). Kemudian gunakan integral untuk

menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya dibuat menjadi ∞.

Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas daerah :

1. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4, garis x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah :

Jadi luas daerah tersebut adalah :

( ) ( )∫ ∫ −+−−=2

0

3

2

22 44 dxxdxxLuas



32

320

3 4314

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= xxxx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 2.48.

313.427.

3102.48.

31

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−= 8

3812

3278

38

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

316

39

316

37

316

+= 323

=

Jika dilakukan penghitungan nilai integral secara langsung, maka akan terjadi kesalahan

yaitu

( )∫ −=3

0

2 4 dxxLuas 30

3 431

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xx 03.427.

31

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 3129 −=−=

(salah !!! tidak ada besar luasan yang bernilai negatif).

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 4 dan garis y = 3x.

Titik potong parabola f(x) = y = x2 – 4 dan garis lurus g(x) = y = 3x adalah (4, 12) dan (-1, -

3)*

*) y = x2 – 4 dipotongkan dengan garis y = 3x maka x2 – 4 = 3x atau x2 - 4 - 3x = 0.

Dengan menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x2 – 4 - 3x = 0,

diperoleh (x – 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x = 4, maka y = 12, dan

untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh pasangan titik potong kedua kurva yaitu

(4, 12) dan (-1, -3).



Grafik dari kurva seperti berikut :

Sesuai dengan kondisi (E), maka dapat dihitung luas daerah sbb :

( ) ( )∫−

−=4

1

dxxgxfLuas ∫−

−−=4

1

2 34 dxxx ∫−

−−=4

1

2 43 dxxx

selanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari persamaan kuadrat tersebut yaitu :

x2 - 3x - 4 = (x – 4)(x + 1).

+ + + - - - + + + -1 4

Jadi pada interval -1 ≤ x ≤ 4, x2 - 3x – 4 ≤ 0 sehingga penghitungan luas dilakukan dengan

menegasikan nilai integrand-nya sbb :



( )∫−

−−−=4

1

2 43 dxxxLuas ∫−

++−=4

1

2 43 dxxx 41

23 423

31

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= xxx

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= 1.41.

231.

314.44.

234.

31 2323

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= 4

23

3116

248

364 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

613

6112

6125

=

Sebagai catatan bahwa jika dilihat dari gambar, maka pada interval -1 ≤ x ≤ 4, kurva garis

terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) – f(x) bernilai positif atau 3x – (x2 –

4) positif, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut bisa langsung dihitung

menggunakan :

( )∫−

−=4

1

)()( dxxfxgLuas ( ){ }∫−

−−=4

1

2 43 dxxx ( )∫−

+−=4

1

2 43 dxxx ( )∫−

++−=4

1

2 43 dxxx

6125

=

3. Luas daerah satu ruas sikloida x = t – sin t, y = 1 – cos t seperti ditunjukkan pada gambar

berikut adalah :

Luas satu ruas dapat diambil misalnya untuk t = 0 sampai 2π. Karena x = t – sin t, maka

dx = dt – cos t dt = (1 – cos t) dt.



Sehingga

∫=

=π2

0t

dxyLuas

∫=

−−=π2

0

)cos1()cos1(t

dttt

∫=

−=π2

0

2)cos1(t

dtt

∫=

+−=π2

0

2 )coscos21(t

dttt

∫ ∫∫= ==

+−=π ππ 2

0

2

0

22

0

coscos21t tt

dttdttdt

∫=

+−=π

ππ2

0

220

20 cos|sin2|

t

dtttt

untuk menghitung nilai integral ∫=

π2

0

2cost

dtt gunakan kesamaan fungsi trigonometri cos2t = 1 -

sin2t, sehingga

∫=

π2

0

2cost

dtt ∫=

−=π2

0

2 )sin1(t

dtt

∫∫==

−=ππ 2

0

22

0

sin1(tt

dttdt

∫=

−=π

π2

0

220 sin|

t

dttt .



∫=

π2

0

2sint

dtt dihitung menggunakan kesamaan trigonometri xx 212sin2)cos1( =− , dengan

demikian sin2t = ½(1 - cos2t) sehingga

∫=

π2

0

2sint

dtt ∫=

−=π2

0

)2cos1(21

t

dtt

∫=

−=π2

0

)2cos1(21

t

dtt

∫ ∫= =

−=π π2

0

2

0

2cos211

21

t t

dttdt

∫=

−=π

π2

0

20 2cos

21|

21

t

dttt .

Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt, sehingga

∫=

π2

0

2cost

tdt ∫=

=π2

0 21cos

t

duu

∫=

=π2

0

cos21

t

duu

ππ 20

20 |2sin

21|sin

21 tu == .

Jadi ∫=

−π2

0

2)cos1(t

dtt πππππ 20

20

20

20

20 |2sin

21.

21|

21||sin2| ttttt +−+−=

πππππ 20

20

20

20

20 |2sin

21.

21|sin2|

21|| ttttt +−−+=

ππππ 20

20

20

20 |2sin

41|sin2|

21|2 tttt +−−=



πππ 20

20

20 |2sin

41|sin2|

23 ttt +−=

)0sin414sin

41()0sin22sin2(2.

23

−+−−= πππ

003 +−= π π3=

Latihan :

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4x – x2 dan sumbu X.

Sebagai bantuan, grafik kurvanya adalah :

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y2 = 4x dan garis y = 2x – 4 dengan garfik

sebagai berikut :



3. Hitung luas daerah antara y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x. Grafik digambarkan seperti berikut :

4. Tentukan luas daerah yang di dalam y2 = x2 – x4 dengan grafik simetri terhadap sumbu X

dan simetri terhadap sumbu Y dan grafik ditunjukkan seperti berikut :



Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung 4 kali luas pada kuadran pertama. Luas

daerah di kuadran pertama adalah :

∫ −=1

0

421 dxxxLuas sehingga luas daerah keseluruhan adalah ∫ −=1

0

424 dxxxLuas

Documents

APLIKASI INTEGRAL 1 luas bidang - Arisgunaryati's … ajar Kalkulus Integral 2009 Writing by [email protected] ‐ UMP Page 3 C. Jika f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan bertukar