Aplikasi Integral dalam Keteknikan dan Ekonomi

               Penerapan integral dalam kehidupan sehari-hari sangat luas. Aplikasi integral banyak digunakan di berbagai disiplin ilmu. Beberapa contoh penggunaan integral dalam disiplin ilmu alam adalah digunakan dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dan dalam bidang keteknikan. Tidak hanya itu, integral juga digunakan dalam disiplin ilmu sosial yang berupa penerapan dalam bidang bisnis dan ekonomi.

Penggunaan integral dalam keteknikan adalah sebagai berikut :

1.      Solusi masalah transport polutan dalam medium anisotropik

Solusi masalah transport polutan dalam medium anisotropik adalah dengan metode elemen batas. Metode inimenggunakan dasar persamaan integral batas, dengan mentransformasi persamaan pengatur menjadi persamaan integral.

Persamaan pengatur : Persamaan integral :

2.      Penyelesaian pada sistem elektronik

Pada arus DC

 Pada arus AC biasa

Sebuah arus sinusoidial biasa dapat ditulis sebagai berikut

Maka besarnyategangan pada komponen elektronik menjadi

3.      Untuk menghitung volume

Penggunaan integral dalam ekonomi adalah sebagai berikut :

1.      Dari fungsi marginal ke fungsi total

Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat menghasilkan fungsi marginal (misalnya, fungsi biaya marginal). Karena proses integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini, sebaliknya akan memungkinkan kita untuk mencari fungsi total dari fungsi marginal tertentu.

Contoh soal :

Jika biaya marginal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C’(Q) = 2e0,2Q, dan jika biaya tetap adalah CF = 90, carilah fungsi biaya total C(Q). Dengan mengontegrasikan C’(Q) terhadap Q, kita dapatkan bahwa

Hasil ini dapat digunakan sebgai fungsi C(Q) yang diinginkan kecuali, mengingat konstanta arbiter c, jawabannya timbul tanpa ditentukan. Untungnya, informasi bahwa CF = 90 dapat digunakan sebagai kondisi awal untuk menetapkan konstanta. Bila Q = 0, total biaya C hanya akan terdiri dari CF. oleh karena itu, dengan menetapkan Q = 0 dalam hasil di atas, kita akan dapatkan nilai 90; yaitu 10e0 + c = 90. Tetapi ini akan berarti bahwa c = 90 – 10 = 80. Jadi, fungsi total biaya adalah

2.      Investasi dan pembentikan modal

Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, kita bisa menyatakan persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu, K9t), dan menggunakan derivatif  untuk menunjukkan tingkat pembentukan modal. Tetapi tingkat pembentukan modal pada waktu t adalah identik dengan tingkat arus investasi netto pada waktu t, yang ditunjukkan dengan l(t). jadi persediaan modal K dan investasi netto l dihubungkan dengan dua persamaan berikut

      dan

Persamaan pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara investasi netto dan pertambahan modal. Karena l(t) adalah K(t), maka beralasan bahwa

K(t) merupakan integral atau antiderivatif dari l(t), seperti ditunjukkan dalam persamaan kedua. Transformasi integran dalam persamaan yang terakhir juga mudah untuk

dipahami : Peralihan dari l ke  adalah menurut definisi, dan transformaasi selanjutnya adalah dengan pembatalan dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan subtitusi. Kadang-kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi netto dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan lg dan investasi netto dengan IlI, kita dapat menghubungkannya satu sama lain dengan

persamaan  dimana δ menggambarkan tingkat penyusutan modal dan δK tingkat investasi pengganti.

Contoh soal :

Jika investasi netto merupakan arus konstan pada l(t) = 1000 (dollar per tahun), berapakah total investasi netto (pembentukan modal) selama satu tahun, dari t = 0 ke t = 1 ?

Jelas jawabannya adalah $1000; ini dapat diperoleh secara formal sebagai berikut :

3.      Nilai sekarang dan arus kas

Contoh soal :

Berapakah nilai sekarang dari arus pendapatan kontinu yang berlangsung selama y tahun pada tingkat yang konstan sebesar D dollar per tahun dan didiskontokan pada tingkat r per tahun ?

Terdapat persamaan

Jadi Π tergantung pada D, r dan y. bila D = $3.000, r = 0,06 dan y = 2, misalnya, kita

memperoleh

Nilai Π biasanya selalu positif, ini sesuai dengan positivitas D dan r serta . Bilangan e yang mempunyai pangkat negatif akan selalu memberikan nilai pecahan yang positif.

4.      Nilai sekarang dan arus perpetual

Jika arus kas berlangsung selamanya―suatu situasi yang dicontohkan oleh bunga atas obligasi perpetual atau pendapatan atas aktiva modal yang tak dapat rusak seperti

tanah―nilai sekarang dari arus kas akan menjadi yang merupakan integral tak wajar.

Contoh soal :

Carilah nilai sekarang dari aliran pendapatan perpetual yang mengalir pada tingkat yang seragam sebesar D dollar per tahun, bila tingkat diskonto kontinu adalah r. karena, dalam mengevaluasi integral tak wajar, kita cukup mengmbil limit integral tak wajar. Secara khusus, kita dapat menulis

Perhatikan bahwa parameter y (jumlah tahun) telah hilang dari jawaban akhir. Hal ini memang seharusnya terjasi, karena di sini kita menghadapi arus perpetual. Dapat juga diamati bahwahasil yang didapat (nilai sekarang = tingkat arus pendapatan + tingkat diskonto) secara tepat berhubungan dengan rumus yang lazim disebut “kapitalisasi” dari suatu aktiva dengan hasil perpetual.

5.      Menentukan persamaan harga dan permintaan

 6.      Menentukan persamaan harga dan penawaran

 7.      Menentukan fungsi biaya

Contoh soal :

Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q – 6Q + 4. Carilah biaya total dan biaya rata-ratanya.

Biaya total merupakan integrasi dari biaya marginal . Soal ini dapat diselesaikan dengan :

Biaya total :

Biaya rata-rata :

konstanta k adalah biaya tetap

8.      Menentukan fungsi pendapatan

Contoh soal :

Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marginalnya MR = 16 – 4Q.

Penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginal

. Soal ini dapat diselesaikan dengan :

Penerimaan total :

Penerimaan rata-rata :

dalam persamaan penerimaan total, konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak ada jika tidak ada barang yang dihasilkan atau barang yang terjual.

 

 

 Daftar Pustaka

Chiang, Alpha C. Wainwright, Kevin. 2005. FUNDAMENTAL METHODS OG MATHEMATICAL ECONOMICS, 4TH ED. London : McGraw-Hill, Inc.

Listya, Tri Dewi dan Herawati. 2007. MATEMATIKA, Buku Pelajaran untuk SMA Kelas XII.Bandung : Grafindo Media Pratama.

Sahari, Agusman. 2011. METODE ELEMEN BATAS UNTUK MASALAH TRANSPORT. JIMT, Vol.8 , No.1

Wanda. 2010. Aplikasi Integral Tak Tentu Dalam Ekonomi. http://wanday- doanx.blogspot.com/2010/01/aplikasi-integral-tak-tentu-dalam.html Diakses pada 28 Desember 2012 pukul 19:00 WIB.