Upload
kctx
View
533
Download
17
Embed Size (px)
Citation preview
APLIKASI INTEGRAL UNTUK
MENENTUKAN VOLUME BOTOL
Disusun oleh:
Nama : Kuswati
NIM : 082143293
Prodi : Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas : Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Dosen Pembimbing,
Teguh Wibowo, M. Pd.
NIDN. 0614097401
Purworejo, Agustus 2012
Mahasiswa,
Kuswati
NIM. 082143293
MAKALAH SEMINAR
Dosen: Teguh Wibowo, M. Pd.
Oleh:
Kuwati
NIM 082143292
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO
2012
APLIKASI INTEGRAL UNTUK
MENENTUKAN VOLUME BOTOL
Kuswati
NIM. 082143293
Email: [email protected]
Fakultas Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Integral adalah salah satu operasi perhitungan matematika. Operasi ini dapat
digunakan untuk menghitung volume benda putar yang diketahui persamaan kurva
dan batas-batasnya. Sedangkan benda putar itu sendiri adalah suatu benda ruang
yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis
tertentu (sumbu rotasi). Sehingga operasi integral ini dapat digunakan untuk
menghitung volume benda ruang seperti botol.
Kata Kunci: aplikasi, integral, volume
Pendahuluan
Dalam pembelajaran matematika, integral merupakan salah satu materi yang
cukup sulit. Namun, disamping itu, integral juga merupakan materi yang
menakjubkan. Karena aplikasi dari operasi ini cukup banyak. Diantaranya adalah
untuk menentukan persamaan garis atau kurva yang diketahui gradien garis
singgungnya, menentukan persamaan gerak benda yang diketahui persamaan laju
benda, menghitung luas suatu kurva yang diketahui persamaan kurva dan batas-
batasnya, menghitung volume benda putar dan masih banyak lagi. Dalam hal ini kita
akan membahas tentang penggunaan integral dalam penentuan volume benda putar.
Saat duduk di bangku SMA, kita diajarkan untuk menghitung volume benda
putar yang diketahui persamaan garis atau kurva dan batas-batasnya. Namun, dalam
kenyataannya kita belum mampu menggunakannya dalam kehidupan nyata. Padahal
dalam materi tersebut jelas diterangkan bagaimana caranya menghitung volume pada
benda putar atau dalam kehidupan nyata disebut benda ruang. Sehingga materi yang
kita pelajari dengan susah payah tidak berguna dalam kehidupan nyata. Padahal
berhasil atau tidaknya suatu ilmu terlihat dari seberapa besar kita dapat
menggunakannya dalam kehidupan.
Atas dasar uraian di atas, penulis tertarik untuk menguraikan bagaimana cara
mengaplikasikan operasi integral untuk mengitung volume benda ruang, seperti
botol.
Pembahasan
A. Definisi Integral
Setiap operasi perhitungan matematika mempunyai invers. Seperti halnya
penjumlahan mempunyai invers pengurangan, perkalian mempunyai invers
pembagian, perpangkatan mempunyai invers akar pangkat dan logaritma
mempunyai invers antilogaritma. Atas dasar itulah para ahli mencari invers dari
operasi peritungan diferensial atau sering disebut turunan. Kemudian para ahli,
seperti Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz menemukan hubungan
antara diferensial dan integral sebagai operasi saling invers. Menurut Wilson
Simangunson (1998: 425) mendefinisikan integral sebagai “kebalikan turunan.
Jika turunan suatu fungsi diintegralkan, maka hasilnya adalah fungsi semula.
Integral dinotasikan dengan ∫…dx”. Hubungan ini kemudian dikembangkan oleh
Georg Feiedrick Bernhard Riemann, sehingga ditemukannya definisi integral
tentu. Oleh karena inilah integral tentu sering disebut integral Riemann. Wilson
Simangunson (1998: 5) integral didefinisikan dengan “misal F(x) adalah suatu
fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x) atau F(x) dapat didiferensialkan sehingga
F’(x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai himpunan anti-
pendiferensialan (anti-turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi F’(x)
= f(x)”
B. Integral tak Tentu
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x yang ditulis dalam bentuk ∫ f(x) dx
dinamakan sebagai integral tak tentu dari fungsi f(x) tehadap x. integral tak tentu
dari fungsi f(x) terhadap x adalah sebagai fungsi umum yang ditentukan melalui
hubungan∫ ( ) ( ) .
Adapun rumus-rumus integral adalah sebagai berikut (Edwin J. Purcell,
Dale Dale Varberg, edisi 5 jilid 2: 505)
1. ∫ ∫ rumus integral ini disebut rumus integral parsial
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫
7. ∫
8. ∫
9. ∫
10. ∫
11. ∫
12. ∫
13. ∫
14. ∫
15. ∫
16. ∫
√
17. ∫
18. ∫
|
|
19. ∫
√
|
|
C. Integral Tentu
Berbeda dengan integral tak tentu, integral tentu memiliki batas-batas
integral, yaitu ∫ ( )
(dibaca: integral f(x) dari a ke b). a disebut batas
bawah dan b batas atas. Jika F’(x) = f(x), maka ∫ ( ) ( )-
( )
( )
Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menghitung volume
benda putar. Dimana, menurut Wilson Simangunson (1998; 85) “benda putar
adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di
bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi)”. Untuk memahami rumus
dan cara menghitung volume benda putar dari suatu daerah yang diputar
terhadap sumbu tertentu, simaklah uraian berikut.
1. Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar
Perhatikan gambar di atas, misalkan D dibatasi oleh kurva y = f(x),
sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, sebagaimana diperlihatkan pada
gambar di atas. Jika daerah D diputar 360° mengelilingi sumbu X, maka
diperoleh suatu benda putar. Volume atau isi benda putar ini dapat
dirumuskan dengan menggunakan proses limit jumlah.
Mula-mula diambil elemen daerah persegi panjang dengan dan
tinggi y= f(x). jika persegi panjang itu diputar sejauh 360° mengelilingi
sumbu X, maka diperoleh elemen silinder lingkaran tegak dengan jari-jari y
= f(x) dan tinggi . Volume dari elemen silinder ini adalah
* ( )+ .
Dengan menggunakan proses limit suatu jumlah, volume benda putar
adalah:
∑
∑
∑ * ( )+
b x
y= f(x)
a0
y
D
Bentuk di atas jika ditulis dengan notasi integral akan menjadi
∫
∫ * ( )+
Begitu juga untuk daerah D yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu Y,
garis y = c, dan garis y = d, serta daerah D diputar mengelilingi sumbu Y.
Dengan cara yang sama dengan cara di atas, maka akan kita dapatkan
volume benda putar seluruhnya dirumuskan
∑
∑
∑ * ( )+
Dan jika bentuk limit jumlah di atas ditulis dengan menggunakan notasi
integral tentu akan menjadi sebagai berikut:
∫
∫ * ( )+
2. Penggunaan Integral Tentu untuk Menghitung Volume Benda Putar dari
Daerah Dua Kurva
Perhatikan gambar di bawah ini
Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y1 = f(x), kurva y2 = g(x), garis
x = a, dan garis x = b sebagaimana diperlihatkan pada gambar di atas. Jika
R diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X, maka akan diperoleh suatu
a b x0
yy= f(x)
y= g(x)
A B
D
R C
F
E
benda putar. Volume atau isi benda putar dapat dirumuskan dengan
menggunakan analisis sebagai berikut.
Misalkan V1 dan V2 masing-masing adalah volume benda putar. Jika
daerah ABDE dan daerah ABCF masing-masing diputar sejauh 360°
terhadap sumbu X. berdasarkan rumus volume benda putar di atas, volume
V1 dan V2 dirumuskan sebagai berikut.
∫ ( ) ∫
( )
Jika daerah FCDE diputar sejauh 360° terhadap sumbu X, maka volume
benda putar yang terjadi adalah selisih antara volume V1 dan V2.
∫ ( )
∫ ( )
∫* ( ) ( )+
Dengan demikian rumus integral tentu untuk volume benda putar dari
daerah antara dua kurva yang diputar terhadap sumbu X adalah
∫*
+
atau
∫* ( ) ( )+
Dengan cara yang sama akan kita peroleh rumus integral untuk mencari
volume daerah antara dua kurva dengan daerah R dibatasi oleh kurva x1 =
f(y), kurva x2 = g(y), garis y = c, dan garis y = d. Jika R diputar sejauh 360°
mengelilingi sumbu Y, maka akan diperoleh suatu benda putar. Sehingga
rumus volume benda putar yang didapat adalah sebagai berikut.
∫*
+
Atau
∫* ( ) ( )+
D. Membentuk Fungsi Kuadrat
Dalam matematika terdapat beberapa macam jenis persamaan, diantaranya
ada persamaan linier, persamaan geometri, persamaan parabola, persamaan
hiperbola, persamaan trigonometri, dan masih banyak persamaan-persamaan
garis atau kurva yang lainnya. Namun dalam hal ini yang sering kita gunakan
adalah persamaan kuadrat yang termasuk persamaan geometri,
Untuk menyusun persamaan persamaan kuadrat terdapat tiga rumus yang
dapat digunakan. Berikut adalah rumus untuk menyusun persamaan kuadrat
(Marwan, 2009: 20).
1. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di (x1,0) dan
(x2,0), serta melalui titik tertentu
Jika suatu grafik fungsi kuadrat y=ax2+bx+c memotong sumbu X di
titik (x1,0) dan (x2,0), maka x1 dan x2 disebut pembuat nol fungsi. Dengan
demikian, fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut
Y=a(x-x1)(x-x2)
Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dari satu
titik lain yang diketahui ke dalam persamaan di atas.
2. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak (xp,yp) dan
melalui sebuah titik tertentu.
Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak (xp,yp), maka rumus
fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut.
Y = a(x – xp)2 + yp
Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dari titik
lain yang dilalui grafik ke dalam rumus tersebut.
3. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik (x1,y1),
(x2,y2), dan (x3,y3)
Rumus kuadrat dapat dinyatakan sebagai berikut
Y = ax2 + bx +c
Nilai a dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai x dan y dari titik
tersebut ke rumus di atas sedemikian sehingga diperoleh tiga buah
persamaan dengn tiga variabel dan melakukan operasi subtitusi dan
eliminasi pada persamaan-persamaan tersebut.
E. Menentukan volume botol
Untuk mentukan volume sebuah botol, terdapat beberapa langkah. Berikut
adalah langkah-langkah tersebut.
1. Gambar botol di atas kertas dengan cara menjiplaknya atau menggambar
dengan skala.
2. Tentukan sumbu X dan sumbu Y. Letakkan titik (0,0) pada perpotongan
sumbu simetri botol.
3. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan
4. Tentukan titik dan batas pada masing-masing kurva
5. Rumuskan masing-masing persamaan kurva
6. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang
diperoleh dari masing-masing kurva
7. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut.
F. Contoh
1. Tentukan volume botol berikut, jika ukurannya dalam satu-satuan cm.
Jawab
a. Gambar botol di atas kertas
b. Tentukan sumbu X, sumbu Y dan titik pusat
Y
100
80
70
60
40
20
X -40 -20 0 20 40
c. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan
Y
100
80
70
60
40
20
X -40 -20 20 40
d. Tentukan titik dan batas pada masing-masing kurva
Y
100
80
70
60
40
20
X 0 20 40
Kurva I
melewati titik (0,10) dan (20,20), dibatasi oleh y = 0 dan y = 10
Kurva II
melewati titik (20,20) dan (20,40), dibatasi oleh y = 10 dan y =80
Kurva III
melewati titik (20,80) dan (0,90), dibatasi oleh y = 80 dan y = 90
III
I
II
I
III
II
e. Rumuskan masing-masing persamaan kurva
Kurva I
Anggap titik (20,10) adalah titik puncak, sehingga (xp,yp) = (20,10).
Untuk persamaan kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu
titiknya yaitu (0,0) gunakan rumus kedua.
x = a(y – yp)2 + xp
Dengan (xp,yp) = (20,10),
x = a(y-10)2 + 20
(x,y) = (0,0)
0 = a(0-10)2 + 20
-100a = 20, maka a =
Sehingga persamaan kurva I adalah
x =
(y – 10)
2 +20
x =
y
2 +4y - 20 + 20
x =
x =
Kurva II
Kurva II adalah sebuah garis yang jika diperpanjang akan memotong
tegak lurus sumbu X di titik (20,0). Sehingga kurva ini adalah sebuah
garis dengan persamaan x = 20
X = 20
Kurva III
Anggap titik (20,80) adalah titik puncak, sehingga (xp,yp) = (20,80).
Untuk persamaan kuadrat yang diketahui titik puncak dan salah satu
titiknya yaitu (0,90) gunakan rumus kedua.
x = a(y –yp)2 + xp
Dengan (xp,yp) = (20,80),
x = a(y-80)2 +20
(x,y) = (0,90)
0 = a(90-80)2 +20
-100a = 20, maka a =
Sehingga persamaan kurva III adalah
x =
(y – 80)
2 +20
x =
(y
2 - 160y +6400) + 20
x =
y
2 + 32y -3000
x =
y
2 + 32y -3000
f. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang
diperoleh dari masing-masing kurva
Volume kurva I
∫
∫ * ( )+
∫ (
)
∫ (
)
[
]
[
] ( )
Volume kurva II
∫
∫ * ( )+
∫ ( )
∫
, -
Volume kurva III
∫
∫ * ( )+
∫ (
)
∫ [
]
[
]
,
-
[
]
g. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut
Volume botol = volume kurva I + volume kurva II + volume kurva III
Kesimpulan
Dengan cara menentukan persamaan garis pelukis pada botol, kemudian
menggunakan rumus integral, kita dapat menentukan volume botol tersebut.
Sehingga tidak perlu mengukurnya dengan alat ukur. Dengan langkah-langkah
berikut
1. Gambar botol di atas kertas dengan cara menjiplaknya.
2. Tentukan sumbu X dan sumbu Y. Letakkan titik (0,0) pada perpotongan
sumbu simetri botol.
3. Tentukan potongan-potongan kurva yang dikira berbeda persamaan
4. Tentukan titik pada masing-masing kurva
5. Rumuskan masing-masing persamaan kurva
6. Gunakan rumus integral untuk menentukan volume benda putar yang
diperoleh dari masing-masing kurva
7. Jumlahkan seluruh volume dari kurva-kurva tersebut
Daftar Pustaka
Marwanto. 2009. Mathematics For Senior High School Year X. yudhistira
Simangunsong, Wilson. 1998. Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar. Erlangga:
Jakarta
Purcell, J, Edwin. Dan Varberg, Dale. Edisi lima. Kalkulus dan Geometri Analitis
Jilid 2.