PAGE
APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA
PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Tarbiyah
Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta
Untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat-syarat untuk Memperoleh
Gelar Sarjana Strata Satu dalam Ilmu Pendidikan Matematika
Oleh:
Nuryadin
99434204
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJURUSAN TADRIS MIPA FAKULTAS
TARBIYAH
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA
2004
Drs. Murtono, M.Si.
Dosen Fakultas Tarbiyah
UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Kepada Yang Terhormat,
Bapak Dekan Fakultas Tarbiyah
UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Di Yogyakarta
NOTA DINAS
Hal: Skripsi Saudara Nuryadin
Lamp.: 4 (empat) eksemplar
Setelah membaca dan meneliti, menimbang dan memperbaiki
seperlunya maka kami selaku pembimbing, berpendapat bahwa skripsi
saudara;
Nama
: Nuryadin
Nim
: 99434204
Jurusan: Tadris Pendidikan Matematika
yang berjudul APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN
JARINGAN LISTRIK sudah layak diajukan sebagai syarat untuk
memperoleh gelar kesarjanaan dalam ilmu tarbiyah. Maka bersama ini
kami sampaikan kepada Bapak Pimpinan Fakultas, dengan harapan
semoga dalam waktu dekat saudara tersebut dapat dipanggil dalam
sidang munaqosyah untuk mempertanggung jawabkan skripsinya.
Yogyakarta, 22 Juni 2004
Hormat kami,
Pembimbing
Drs. Murtono, M.Si.
Nip. 150 299 966
Drs. Warsono, M.Si.
Konsultan Fakultas Tarbiyah
UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Kepada Yang Terhormat,
Bapak Dekan Fakultas Tarbiyah
UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Di Yogyakarta
NOTA DINAS
Hal: Skripsi Saudara Nuryadin
Lamp.: 7 (tujuh) eksemplar
Setelah membaca dan meneliti, menimbang dan memperbaiki
seperlunya maka kami selaku konsultan, berpendapat bahwa skripsi
saudara;
Nama
: Nuryadin
Nim
: 99434204
Jurusan: Tadris Pendidikan Matematika
yang berjudul APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA PADA PENYUSUNAN
JARINGAN LISTRIK, sudah layak diterima sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Islam dalam ilmu
pendidikan Matematika di Fakultas Tarbiyah.
Demikian nota dinas ini dibuat dan semoga bermanfaat dan dapat
digunakan seperlunya.
Yogyakarta, 23 Juli 2004
Hormat kami,
Konsultan
Drs. Warsono, M.Si.
Nip. 132240453
MOTTO
Ilmu itu merupakan tempat persemaian setiap kemuliaan, maka
taburkan aneka kemuliaan dan anda harus prihatin bila tempat
persemaian itu tidak membuahkan suatu kebanggaan.
Ketahuilah bahwa ilmu itu tidak akan didapat oleh seseorang yang
cita-cita hidupnya hanya demi makanan dan minuman.
Bukanlah dinamakan seorang ilmuan manakala ia mengalami dua
kondisi yaitu saat sengsara atau saat berkecukupan harta lalu
menjadi gelisah dan lupa diri.
(Maqolah Imam Syafi'i)
Belajarlah Ilmu Pengetahuan, sebab :
Belajarnya itu dengan karena Allah merupakan taqwa
kepada-Nya
Mencarinya merupakan ibadah
Menelaahnya sebagai bertasbih
Menyelidikinya sebagai jihad
Mengajarkannya kepada orang yang belum mengetahui sebagai
sedekah
Menyampaikan kepada ahlinya adalah kebaktian
(Mu'adz bin Jabal)
Penulis persembahkan karya tulis ini untuk:
Almamater, bapak dan ibu, kakak dan adik, kekasih, dan
orang-orang yang menyayangi penulis.
KATA PENGANTAR
, , . .
Alhamdulillah segala puji hanya bagi Allah yang telah memberikan
petunjuk, kemudahankemudahan dan jalan keluar dari segala kesulitan
sehingga penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan sebagai mana
mestinya. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan pada
junjungan nabi besar Muhammad saw beserta para sahabatnya yang
setia.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa dalam proses penyusunan
skripsi ini banyak mendapatkan bimbingan dan bantuan, baik moral
maupun material dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin
mengucapkan Jazakumullah Ahsanul Jaza` kepada :
1. Bapak Dekan Fakultas Tarbiyah UIN Sunan Kalijaga
Yogyakarta.
2. Ibu Ketua Jurusan Tadris MIPA yang telah mengarahkan dalam
pembuatan proposal skripsi.
3. Ibu Ketua Program Studi Pendidikan Matematika yang telah
memberikan motivasi dalam penyusunan skripsi.
4. Bapak Drs. Murtono, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah
meluangkan waktunya dalam membimbing, mengarahkan dan memotivasi
penyusunan skripsi ini.
5. Bapak Drs. DS.Mulyono, M.Hum selaku dosen penasehat akademik
yang telah mengarahkan pembuatan judul skripsi ini.
6. Bapak/Ibu dosen fakultas Tarbiyah yang telah wawasan guna
menjadi bahan dasar timbulnya pemikiran penulis.dan seluruh staf
karyawan.
7. Segala pihak yang telah bersedia membantu dan memberi
semangat dalam proses pembuatan skripsi ini.
Semoga semua bantuan dan bimbingan, do'a, dan pengarahan yang
diberikan kepada penulis dapat dinilai ibadah oleh Allah dan
mendapatkan ridho-Nya. Harapan penulis semoga karya ini dapat
memberikan manfaat dan sumbangan bagi kemajuan dan perkembangan
ilmu pengetahuan terutama dalam bidang Matematika. Namun penulis
menyadari sepenuhnya bahwa karya ini jauh dari kesempurnaan. Oleh
karena itu dengan senang hati penulis mengharapkan dan menerima
kritik dan saran yang sipatnya membangun demi menambah kesempurnaan
tulisan ini.
Akhirnya penulis kembalikan seluruhnya kepada Allah swt semoga
Allah berkenan meridhoi usaha ini. Amin.
Yogyakarta, 13 Mei 2004
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman Juduli
Halaman Nota Dinasii
Halaman Pengesahaniii
Halaman Mottoiv
Halaman persembahanv
Kata Pengantarvi
Daftar Isivii
Daftar Gambar dan Tabelix
Intisarixi
Abstractxii
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang1
B. Pembatasan Masalah5
C. Perumusan Masalah5
D. Tujuan Penelitian6
E. Kegunaan Penelitian6
F. Tinjauan Pustaka6
BAB II. DASAR TEORI
A. Konsep Logika8
B. Aljabar Boole11
a. Definisi Aljabar Boole12
b. Teorema dalam Aljabar Boole14
C. Jaringan Listrik22
a. Arus Listrik22
b. Hukum Ohm24
c. Hukum Kirchhoff25
d. Rangkaian Listrik28
D. Sistem Digital29
BAB III. METODOLOGI PENELITIANA. Sifat Penelitian33
B. Sumber Penelitian33
C. Metode Penelitian34
BAB IV. PEMBAHASAN A. Rangkaian Saklar37
B. Rangkaian Logika (Gerbang Logika)45
C. Penyederhanaan Rangkaian70
BAB V. PENUTUP
A. Kesimpulan76
B. Saran77
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR DAN TABEL
1. Gambar 1.26
2. Gambar 2.28
3. Gambar 3.29
4. Gambar 4.37
5. Gambar 5.39
6. Gambar 6.40
7. Gambar 7.41
8. Gambar 8.41
9. Gambar 9.41
10. Gambar 10...42
11. Gambar 11...42
12. Gambar 12...43
13. Gambar 13...43
14. Gambar 14...44
15. Gambar 15...45
16. Gambar 16...48
17. Gambar 17...51
18. Gambar 18...55
19. Gambar 19...57
20. Gambar 20...57
21. Gambar 21...59
22. Gambar 22...61
23. Gambar 23...61
24. Gambar 24...62
25. Gambar 25...63
26. Gambar 26...65
27. Gambar 27...67
28. Gambar 28...69
29. Gambar 29...70
30. Gambar 30.......70
31. Gambar 31.......71
32. Gambar 32.......72
33. Gambar 33.......74
34. Gambar 34...75
35. Tabel 1.....38
36. Tabel 2.........38
37. Tabel 3.........39
38. Tabel 4.....40
39. Tabel 5.....47
40. Tabel 6 ........49
41. Tabel 7.........51
42. Tabel 8.........53
43. Tabel 9.....55
44. Tabel 10.......58
45. Tabel 11.......60
46. Tabel 12.......62
47. Tabel 13.......66
48. Tabel 14.......67
49. Tabel 15...69
50. Tabel 16...72
INTISARI
APLIKASI LOGIKA MATEMATIKA
PADA PENYUSUNAN JARINGAN LISTRIK
Oleh :
Nuryadin
99434204
Pada skripsi ini dibicarakan mengenai aplikasi logika
matematika, khususnya logika aljabar Boolean dalam penyusunan
jaringan listrik, yakni dalam sirkuit saklar dan digital.
Aljabar Boolean merupakan suatu cara baru untuk berpikir, suatu
cara baru untuk menjelaskan berbagai hal dengan menggunakan
lambang-lambang sebagai pengganti kata-kata dalam mencapai
kesimpulan logika.
Aplikasi aljabar Boolean dalam sirkuit saklar digunakan untuk
menentukan ada tidaknya suatu arus yang mengalir melalui sirkuit
tersebut, dan mengubah sirkuit saklar dalam bentuk simbolik serta
menyusun sirkuit sedemikian rupa sehingga menjadi lebih sederhana.
Aplikasi dalam sirkuit digital adalah mengubah sirkuit dalam bentuk
persamaan Boolean dan menentukan cara kerja suatu sirkuit.
Kata kunci: Logika, Jaringan listrik, dan Rangkaian digital
ABSTRACT
APPLICATION OF MATHEMATICS LOGIC
IN COMPILATION OF ELECTRICS NETWORKBy :
Nuryadin
99434204
At this skripsi is conversed to hit the application of
mathematics logic specially logic of algebra Boolean in compilation
of electrics network, namely in the switching circuits and digital
circuits.
Algebra Boolean represent a way of newly to think, a way of
newly to explain the matters by using notations in the place of
words in reaching logic conclusion.
Application of Algebra Boolean in the switching circuits is used
to determine a current emiting stream of through/ passing the
circuit, and alter the switching circuits in the form of symbolic
and also compile the circuit in such a way that become more simple.
Application in digital circuit is alter the circuit in the form of
equation Boolean and determine the way of job a circuit.Key words:
Logic, Electrics network, and Circuit digital
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Plato sebagai seorang filsuf besar Yunani, sangat menghargai
matematika karena daya kreasi yang terdapat di dalam ide-ide
matematika dapat menformulasikan pertanyaan-pertanyaan yang timbul
dalam filsafat.
Matematika, sebagaimana ilmu-ilmu lain juga memiliki aspek
teoritik dan aspek terapan atau praktik, meskipun tidak demikian
mudah membedakan mana yang tergolong matematika murni dan mana yang
tergolong matematika terapan. Ini lebih disebabkan oleh keabstrakan
dari objek-objek kajian matematika, walaupun tidak sedikit
teori-teori dalam matematika yang dibangun dari realitas lingkungan
manusia.
Pada abad ke-21 ini matematika telah berkembang dengan pesat.
Prosedur matematika dan materi matematika lebih banyak digunakan
dalam berbagai cabang ilmu, seperti fisika, kimia, biologi,
kedokteran, ekonomi dan teknik. Penggunaan matematika yang makin
meningkat menunjukkan bahwa peran matematika didalam kehidupan
manusia pada abad teknologi ini sangat mutlak.
Meskipun pada awal perkembangan matematika bertujuan untuk
memenuhi kebutuhan praktis atau mencirikan keadaan yang dapat
diamati seperti mengukur dan membilang. Matematika sekarang ini
tidak perlu bergantung pada dunia nyata. Namun asumsi dasarnya
sekaligus diambil dan dipakai di dunia nyata. Matematika berkembang
dari hal-hal konkrit menuju ke yang lebih umum dan abstrak, karena
pemikiran kita berdasarkan realitas. Hubungan antara konkrit dan
abstrak tidak tampak jelas dan sekarang ini matematika menjadi
lebih abstrak lagi.
Bagaimanapun juga matematika mempunyai hukum-hukum tertentu yang
membatasi matematikawan dalam menciptakan ide-ide baru. Hukum-hukum
ini adalah hukum tentang cara menalar yang benar, yaitu hukum-hukum
logika, yang menjadi asas proses berpikir, karena tanpa hukum-hukum
logika kita tidak dapat menalar dengan benar.
Logika Matematika yang merupakan terjemahan dari symbolic logic
yang dapat diartikan sebagai tata cara berpikir atau pola berpikir
matematika. Pendidik matematika perlu mengetahui sebenarnya untuk
apa matematika diajarkan kepada siswa. Tentu bukan untuk mengetahui
semua matematika yang ada atau sebanyak mungkin mengetahui
matematika. Matematika diajarkan kepada siswa adalah untuk membantu
siswa agar tertata nalarnya, terbentuk kepribadiannya serta
terampil menggunakan matematika dan penalarannya dalam kehidupan
kelak.
Logika matematika merupakan satu bagian dalam matematika yang
penting, dengan maksud diajarkannya antara lain agar kita lebih
cermat, lebih teliti dalam membahas dan memecahkan soal-soal
matematika, dan diharapkan lebih disiplin dalam pemakaian bahasa
matematika, agar lebih kritis dalam membuat pernyataan-pernyataan
matematika (ST. Negoro: 1998; 193). Maksud dan tujuan tersebut
merupakan suatu upaya untuk mencetak manusia yang berpengetahuan
berkualitas. Dalam hal ini Islam pun mendukung terbentuknya manusia
yang berkualitas. Segala bentuk pengetahuan merupakan sebuah misi
suci sejauh pengetahuan tersebut sejalan dengan prinsip-prinsip
pewahyuan (Mohaeni Mohamed: 2001; 7). Ayat pertama yang dinyatakan
oleh Nabi Muhammad SAW, menegaskan keunggulan pengetahuan:
Nyatakan (Bacalah !) dengan nama Tuhan, yang menciptakan manusia
Dari gumpalan darah yang membekuNyatakan Tuhan yang paling
berlimpahDia mengajar menggunakan penaMengajar manusia yang tidak
tahu apa-apa. (A.Yusuf Ali: 1983; 1761-1762) Ada yang merasa heran
mengapa kata pertama dari ayat tersebut adalah Iqra atau perintah
membaca. Padahal Nabi tidak pernah membaca suatu kitab sebelum
turunnya Al-Quran. Keheranan ini akan sirna jika disadari arti iqra
dan perintah ini tidak hanya ditujukan kepada Nabi semata, tetapi
juga kepada setiap manusia sepanjang sejarah kemanusiaan. Realisasi
perintah tersebut merupakan kunci pembuka jalan kebahagiaan hidup
duniawi dan ukhrawi. Kata iqra dapat memiliki beraneka ragam arti.
Antara lain menyampaikan, menelaah, membaca, mendalami, meneliti,
mengetahui ciri-ciri sesuatu, dan sebagainya yang kesemuanya
bermuara pada arti menghimpun. Demikian Quraish Shihab menjelaskan
di dalam tafsirnya. Sedangkan Tony Buzan mendefinisikan membaca
adalah hubungan timbal balik individu secara total dengan informasi
simbolik (Agus Nggermanto: 2001; 135)Banyak ayat al-Quran yang
mengungkapkan berulang kali tentang pengetahuan yang suci. Hal ini
mencerminkan adanya alasan intelektual yang digunakan untuk mencari
yang paling baik. Al-Quran sebagai simbol wahyu Islam menjelaskan
bahwa ilmu pengetahuan dan agama tidak dapat dipisahkan. Demikian
juga matematika dan agama merupakan kesatuan. Hal ini terangkum
dalam ayat sebagai berikut:
Dia yang membuat matahariKemuliaan yang berkilauDan sebagai
cahayaBahwa Dia mengetahui jumlah tahunDan hitungan
waktuSekali-kali tidak Tuhan ciptakan iniTetapi dalam kebenaran dan
keadilanDan menjelaskan tanda-tandanya-NyaSecara jelas pada
orang-orang yang mengerti(A.Yusuf Ali:1983; 484-485)Ini menunjukkan
bahwa pengetahuan tentang berhitung atau pengetahuan tentang
matematika perlu dikuasai oleh semua orang. Begitu juga logika
matematika sangat perlu dan penting untuk dipelajari dan dikuasai.
Logika akan dapat membantu mengatur pemikiran kita untuk memisahkan
hal yang benar dari yang salah. Seringkali kita membuat asumsi
(anggapan) yang salah terhadap sesuatu hal atau terhadap orang
lain, hanya karena kita salah menginterpretasikan (menafsirkan
pernyataan). Seringkali pembaca mempunyai pengertian yang tidak
sama dengan apa yang ditulis oleh penulis dan pendengar memiliki
pengertian yang berbeda dengan apa yang dikatakan oleh pembicara.
Pengertian tentang bagaimana menggunakan logika, dapat membantu
kita menghindari salah penafsiran dan meningkatkan keahlian dalam
berpikir analitis (Theresia M.H. Tirta Seputro: 1992; 6). Pemakaian
logika matematika dalam kehidupan sangat dibutuhkan. Logika
matematika yang dibahas di sini adalah logika aljabar Boole.
Aljabar Boole merupakan suatu cara baru untuk berpikir, suatu
cara baru untuk menjelaskan berbagai hal. Sejauh ini penilaian
masyarakat terhadap matematika sangat bergantung pada kegunaannya
untuk memecahkan problem-problem nyata. Oleh karena itu, hubungan
antara matematika dengan dunia nyata menjadi cukup penting. Maka
dalam hal ini, aljabar Boole pun dapat diterapkan dalam kehidupan
nyata, yakni dalam bidang fisika. Pertama, aljabar Boole bisa
diterapkan dalam listrik, yaitu dalam sirkuit saklar atau rangkaian
alat pemindah aliran listrik. Dan kedua, aljabar Boole diterapkan
dalam rangkaian digital. Berdasarkan pemikiran ini, penulis
berusaha mengangkat judul tentang aplikasi logika matematika pada
penyusunan jaringan listrik.
B. Pembatasan Masalah
Logika Matematika merupakan cabang ilmu yang sangat penting yang
perlu dipelajari, dikembangkan, dan diterapkan dalam kehidupan.
Logika matematika dapat diterapkan dalam berbagai bidang, baik
dalam bidang agama, sosial, ekonami, biologi, fisika, dan
pengetahuan lainnya. Oleh karena itu, penelitian ini dibatasi pada
aplikasi logika aljabar Boole pada sirkuit saklar dan digital.
C. Perumusan Masalah
Apabila kita melihat latar belakang diatas, maka dapat diuraikan
dengan singkat apa yang sebenarnya menjadi pokok permasalahan dalam
penelitian ini. Adapun rumusan permasalahan yang akan diselesaikan
adalah bagaimana wujud atau bentuk aplikasi logika aljabar Boole
dalam surkuit saklar dan digital.
D. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Untuk mengetahui dan memahami aplikasi logika aljabar Boole
pada sirkuit saklar
2. Untuk mengetahui dan memahami aplikasi logika aljabar Boole
pada digital.
E. Kegunaan Penelitian
a. Memberikan sumbangan ilmiah berupa informasi tentang aplikasi
logika matematika pada penyusunan jaringan listrik dan rangkaian
digital sehingga diharapkan bisa dijadikan kerangka acuan bagi guru
untuk mencerdasakan siswa.
b. Memberikan sumbangan pemikiran terhadap masalah-masalah yang
dihadapi oleh lembaga pendidikan khususnya pendidikan matematika
dalam pengaplikasian logika matematika.
F. Tinjauan Pustaka
Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan, karya
Theresia M.H.Tirta Seputro, 1992, menjelaskan bahwa sistem logika
dan teori himpunan banyak mempunyai aplikasi praktis. Salah satu
dari aplikasi tersebut adalah dalam switching networks yang dapat
juga ditafsirkan sebagai saklar/ jaringan listrik. Logika yang
dimaksud di sini adalah logika proposisi.
Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru, karya E.T. Ruseffendi,
1982, menjelaskan suatu saklar yang dihubungkan seri dan paralel
dalam susunan jaringan listrik. Kemudian buku Elektronika Terpadu:
Rangkaian dan Sistem Analog dan Digital, karya Jacob Millman,
Christos C, dan Halkias yang diterjemahkan oleh M.Barmawi dan
M.O.Tjia, 1993, menjelaskan bahwa suatu sistem digital berfungsi
secara biner. Alat yang digunakan sistem ini hanya mengenai dua
keadaan yang mungkin.
Kemudian teori dan permasalahan tentang aljabar Boolean banyak
dibicarakan oleh Elliot Mendelson, dalam bukunya yang berjudul
Theory and Problems of Boolean Algebra and Switching Circuits.
Masalah rangkaian listrik juga dibicarakan oleh orang Indonesia
yaitu Mismail Budiono, dalam bukunya yang berjudul Rangkaian
Listrik. Rangkaian digital banyak dibicarakan oleh Albert Paul
Malvino, yang berjudul Digitals Principlesand Aplications dan
diterjemahkan oleh Irawan Wijaya.
Berdasarkan pemikiran-pemikiran itulah yang menjadikan penulis
untuk mengangkat skripsi yang berjudul Aplikasi Logika Matematika
Pada Penyusunan Jaringan Listrik. Maksud dari penulisan ini adalah
untuk memahami dan mengetahui aplikasi logika aljabar Boole pada
sirkuit saklar dan digital.
BAB II
DASAR TEORI
A.Konsep LogikaKonsep adalah sebuah kata yang berasal dari
bahasa latin conseptus yang dibentuk dari kata conseptum yang
berasal dari kata kerja concipio. Kata concipio berarti mengambil
ke dalam dirinya, menerima, mengisap, menampung, menyerap, atau
menangkap. Conceptum berarti mengambil, menyerap, membayangkandalam
pikiran, mengerti dan menangkap. Conceptus berarti cerapan,
bayangan dalam pikiran, pengertian, dan tangkapan (Jan Hendrik
Raper: 1996; 27). Mengerti sesuatu hal atau barang berarti
menangkap adanya barang itu. Di sini akal budi manusia membentuk
suatu gambaran tentang yang dipahami itu. Dengan demikian konsep
merupakan rupa atau gambar atau bayangan dalam pikiran yang
merupakan hasil tangkapan akan budi terhadap suatu objek
pikiran.
Sesudah akal membentuk pengertiannya itu misalnya pengertian
burung maka dengan pengertian itu dapatlah kita berpikir dan atau
berbicara tentang burung tanpa menghadirkan seekor burung lagi,
karena pengertian itu seolah-olah berada dalam akal budi dengan
perantaraan pengertian atau konsep burung itu (Burhanuddin salam:
1998; 40) Manusia mampu mengembangkan pengatahun karena mempunyai
bahasa dan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan
untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan
menurut aturan tertentu. Kemampuan menalar ini sangat penting dalam
kehidupan sehari-hari karena merupakan sumber dari sebagian besar
pengetahuan.
Menarik konklusi merupakan suatu proses untuk dapat sampai pada
sesuatu yang sebelumnya kita belum tahu (konklusi) dari hal-hal
yang kita ketahui menurut aturan tertentu. Aturan-aturan untuk
dapat melakukan penalaran dengan tepat dapat dipelajari dalam
logika.Seringkali logika diartikan sebagai ilmu untuk berpikir dan
menalar dengan benar sehingga diperoleh kesimpulan yang absah.
Logika berasal dari bahasa Yunani. Secara etimologis logika adalah
istilah yang dibentuk dari kata logikos yang berasal dari kata
benda logos yang berarti sesuatu yang diutarakan, suatu
pertimbangan akal (pikiran), kata, percakapan, atau ungkapan lewat
bahasa. Kata logikos berarti mengenai sesuatu yang diutarakan,
mengenai suatu pertimbangan akal, mengenai kata, mengenai
percakapan, atau yang berkenaan dengan ungkapan lewat bahasa.
Sebagai ilmu, logika disebut episteme atau dalam bahasa latin
disebut logika scientia yang berarti ilmu logika, namun sekarang
ini lazim disebut logika saja.Ditinjau dari sejarah
perkembangannya, logika merupakan salah satu cabang filsafat yang
mempelajari aturan-aturan cara menalar yang benar. Jan Hendrik
Rapar (1996;10) menandaskan bahwa logika adalah ilmu dalam
lingkungan filsafat yang membahas prinsip-prinsip dan hukum-hukum
penalaran yang tepat. Logika adalah ilmu pengetahuan (sains),
tetapi sekaligus merupakan kecakapan atau keterampilan untuk
berpikir secara lurus, tepat dan teratur. Dalam hal ini, ilmu
mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui. Sedangkan
kecakapan/keterampilan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk
mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Logika adalah teknik atau
metode untuk meneliti ketepatan berpikir. Logika adalah ilmu yang
mempersoalkan prinsip-prinsip dan aturan-aturan penalaran yang
sohih/valid.Dari sekian banyak definisi yang pernah dibuat oleh
para ahli itu, maka penulis dapat menyimpulkan bahwa logika adalah
teori berpikir atau ilmu yang mempelajari, menyusun, mengembangkan
dan membahas prinsip-prinsip penalaran yang benar dan peanarikan
kesimpulan yang absah baik yang bersifat deduktif maupun induktif,
demi mencapai kebenaran yang dapat dipertanggung jawabkan secara
rasional.Logika menuntun seseorang tentang bagaimana pemikiran
seharusnya berjalan bukan bagaimana keadaan sebenarnya pemikiran
manusia berjalan. Juga tidak berarti belajar logika dapat
merangsang terjadinya pemikiran yang produktif dan memperbaiki cara
berpikir seluruhnya. Dalam batas-batas tertentu, cara berpikir
seseorang dapat diperbaiki dengan mempelajari logika.Apakah suatu
tindakan itu benar atau salah? Suatu motif itu baik atau buruk ?
Suatu keputusan benar atau salah ? Suatu jawaban ya atau tidak?
Seringkali jalan pikiran dan logika kita berkenaan dengan upaya
untuk mencari jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang dua nilai
semacam itu. Hakikat logika dua nilai itu sangat mempengarui
pemikiran Aristoteles, yang menyusun metode-metode secara tepat
untuk memperoleh kebenaran, dengan diberikannya seperangkat
asumsi-asumsi yang benar. Logika semacam itu juga menarik perhatian
para matematikawan, yang secara intuitif merasakan adanya hubungan
antara logika itu dengan suatu proses aljabar.
De Morgan membuka jalan yang menghubungkan logika dengan
matematika. Namun Boole pada tahun 1854 yang berhasil merangkum
segala sesuatunya. Boole menemukan suatu aljabar baru yang
menggantikan metode Aristoteles. Boole membuktikan bahwa logika
biner atau logika dua nilai berlaku untuk huruf-huruf dan
lambang-lambang sebagai pengganti kata-kata yang dipakai oleh
Aristoteles. Metode aljabar Boole digunakan untuk menguraikan,
memanipulasi, dan menyederhanakan pernyataan logika dengan cara
yang sistematik. Keunggulan aljabar Boole ini terletak pada
kesederhanaan, ketelitian, dan ketepatannya.
Aljabar Boole tidak mempunyai dampak terhadap elektronika
digital sampai hampir satu abad berikutnya pada tahun 1938, ketika
Shannon menerapkan aljabar baru tersebut pada rangkaian pengalihan
telepon (telephone switching circuit). Karena suatu saklar pengalih
adalah suatu peralatan biner (terhubung atau terputus), Shannon
mampu menganalisis dan merancang rangkaian pengalih yang rumit itu
dengan menggunakan aljabar Boole (Budiono Mismail: 1998; 60).
B.Aljabar Boole
Matematika merupakan sarana yang berguna dalam analisis
rangkaian listrik dan digital. Semua operasi logika dalam rangkaian
listrik tergantung pada ada atau tidaknya arus, dan pada rangkaian
digital tergantung pada ada atau tiadanya sinyal. Suatu variabel
logika hanya dapat mempunyai salah satu dari dua nilai yang mungkin
terjadi. Matematika dengan logika dua nilai itu disebut aljabar
Boole.
Aljabar Boole sebagaimana halnya dengan sistem matematika
deduktif yang lain, merupakan suatu himpunan unsur, himpunan
operasi dan sejumlah aksioma. Suatu himpunan unsur adalah setiap
kumpulan besaran yang memiliki sifat sama. Jika S adalah suatu
himpunan, dan x dan y adalah besaran tertentu, maka x di S
menyatakan bahwa x unsur dalam S, sedangkan y tidak di S
menunjukkan bahwa y bukan unsur dalam S. Suatu himpunan dengan
sejumlah unsur yang dapat dihitung dinyatakan dengan tanda kurawal
A = {1, 2, 3, 4}; yang artinya unsur-unsur dalam himpunan A adalah
bilangan 1, 2, 3, dan 4. Suatu operasi biner pada suatu himpunan S
yang mempunyai anggota didefinisikan sebagai suatu aturan yang
menetapkan bahwa untuk setiap pasangan dalam unsur S ada suatu
unsur yang unik dalam S itu (Mismail Budiono: 1998; 61).
Himpunan dan proposisi, keduanya kelihatan memiliki sifat-sifat
yang sama, yakni memenuhi hukum-hukum yang identik. Hukum-hukum ini
adalah hukum-hukum yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah
struktur matematika yang abstrak yang dinamakan sebuah aljabar
Boole, yang dinamai menurut sarjana matematika George Boole yang
hidup pada tahun 1813 M dan wafat pada tahun 1864 M (Seymour
Lipschuts: 1985; 232).
a.Definisi Aljabar Boole
Menurut Elliot Mendelson definisi aljabar Boole adalah sebagai
berikut:
By a Boolean algebra we mean a set B together with two binary
operations ( and ( on B, a singulary operations ( on B, and two
specific elements 0 and 1 of B such that the following axioms
hold
(1) For any x and y in B, x ( y = y ( x
(2) For any x and y in B, x ( y = y ( x
(3) For any x, y, z in B, x ( (y ( z) = (x ( y) ( (x ( z)
(4) For any x, y, z in B, x ( (y ( z) = (x ( y) ( (x ( z)
(5) For any x in B, x ( 0 = x
(6) For any x in B, x ( 1 = x
(7) For any x in B, x ( x( = 1
(8) For any x in B, x ( x( =0
(9) 0 (1 (Elliot Mendelson: 1987; 52).
Jadi Aljabar Boole adalah suatu susunan aljabar yang terdefinisi
pada suatu himpunan B bersama-sama dengan dua buah operasi biner (
dan (, satu operasi singular (, dan dua buah unsur identitas yang
unik 0 dan 1, yang harus memenuhi aksioma-aksioma berikut ini:
(1) untuk sebarang x dan y(B, x ( y = y ( x
hukum komutatif(2) untuk sebarang x dan y(B, x ( y = y ( x
(3) untuk sebarang x, y, z (B, x ( (y ( z) = (x ( y) ( (x (
z)
hukum distributif(4) untuk sebarang x, y, z (B, x ( (y ( z) = (x
( y) ( (x ( z)(5) untuk sebarang x(B, x ( 0 = x
(6) untuk sebarang x(B, x ( 1 = x
(7) untuk sebarang x(B, x ( x( = 1
(8) untuk sebarang x(B, x ( x( = 0
(9) 0 ( 1. (Elliot Mendelson: 1987; 53).
Theresia ( 1992; 219) menambahkan bahwa untuk setiap x di B ada
x( di B yang disebut komplemen x sehingga aksioma (7) dan (8)
terpenuhi.
Istilah : x ( y dinamakan pertemuan (meet) x dan y
x ( y dinamakan gabungan (join) x dan y
x( dinamakan komplemen dari x
0 dinamakan elemen nol
1 dinamakan elemen unit.
Operasi biner adalah pengerjaan terhadap dua elemen suatu
himpunan sehingga menghasilkan elemen tunggal yang juga merupakan
elemen himpunan itu. Hukum komutatif menunjukkan bahwa urutan
penambahan dan perkalian tidaklah penting. Dengan perkataan lain,
diperoleh jawaban yang sama bila menambahkan x terhadap y maupun y
terhadap x. Demikian pula, jawaban yang sama diperoleh bila
mengalikan x dengan y maupun y dengan x. Hukum distributif
menunjukkan bahwa suatu ekspresi Boole dapat diperluas dengan
mengalikan term demi term seperti dalam aljabar biasa. Hukum ini
juga mengandung pengertian bahwa suatu ekspresi Boole dapat
difaktorkan. Dengan perkataan lain, jika diberikan jumlah dua buah
term, yang masing-masing mengandung variabel yang sama, maka
variabel yang sama ini dapat difaktorkan. Ini adalah (x ( y) ( (x (
z). Masing-masing term mengandung x, sehingga x dapat difaktorkan
untuk mendapatkan x ( (y ( z).
b.Teorema dalam Aljabar Boole
Dari aksioma-aksioma yang telah disebutkan pada bagian sebelum
ini, dapat disusun sejumlah teorema untuk aljabar Boole.
Teorema 1: Keunikan menyangkut komplemen: jika x ( y =1 dan x (
y =0, maka y = x(Bukti:
(i)y = y ( 0, menurut aksioma (5)
= y ( (x ( x(), menurut aksioma (8)
= (y ( x) ( (y ( x(), menurut aksioma (4)
= (x ( y) ( (y ( x(), menurut aksioma (1)
= 1 ( ( y ( x(), hipotesis
= (y ( x() ( 1, menurut aksioma (2)
= y ( x( , menurut aksioma (6)(ii)x( = x( ( 0 , menurut aksioma
(5)
= x( ( (x ( y) , hipotesis
= ( x( ( x) ( (x( ( y) , menurut aksioma (4)
= (x ( x() ( (x( ( y), menurut aksioma (1)
= 1 ( (x( ( y), menurut aksioma (7)
= (x( ( y) ( 1 , menurut aksioma (2)
= x( ( y , menurut aksioma (6)
= y ( x( , menurut aksioma (1)
= y , menurut (i)Hubungan di atas mendefinisikan komplemen x.
Untuk suatu z di B, (z()(= z ( notasi: kita artikan (z()( dengan
z(( , ((z()()( dengan z((( dan seterusnya).
Bukti:
(i) z( ( z = z ( z( , karena menurut aksioma (1) diketahui bahwa
x ( y = y ( x.
= 1, menurut aksioma (7)Menurut aksioma (1) diketehui bahwa x (
y = y ( x, dan menurut aksioma (7) diketahui bahwa x ( x( =1,
diperoleh z( ( z = 1(ii) z( ( z = z ( z( menurut aksioma (2) = 0
menurut aksioma (8)Oleh karena itu dengan menggunakan teorema 1,
misalkan x = z( dan y = z diperoleh z = z((Teorema 2: Idempoten;
untuk setiap unsur x (B, maka
(i) x ( x = x,
(ii) x ( x = x.
Bukti: (i)x = x ( 1, menurut aksioma (6)
= x ( (x ( x(), menurut aksioma (7) = (x ( x) ( (x ( x(),
menurut aksioma (3)
= (x ( x) ( 0, menurut aksioma (8)
= x ( x, menurut aksioma (5)
(ii)x = x ( 0, menurut aksioma (5)
= x ( (x ( x(), menurut aksioma (8)
= (x ( x) ( (x ( x(), menurut aksioma (4)
= (x ( x) ( 1, menurut aksioma (7)
= x ( x, menurut aksioma (6)
Teorema ini menjelaskan bahwa jika setiap unsur x dilakukan
operasi perkalian atau operasi penjumlahan terhadap dirinya sendiri
maka diperoleh x itu sendiri.
Definisi: Dual dari sebarang pernyataan dalam sebuah aljabar
Boolean adalah pernyataan yang diperoleh dengan menukar operasi (
dan (, dan elemen-elemen satuannya 0 dan 1, dalam pernyataan semula
(Elliot Mendelson: 1987; 54).
Contoh:
1). Dual dari x ( (y ( z) = (x ( y) ( (x ( z) adalah x((y(z) =
(x ( y) ( (x ( z), dan sebaliknya.
2). Dual dari x ( x( =1 adalah x ( x( = 0, dan sebaliknya.
Perlu diperhatikan bahwa dual dari setiap aksioma aljabar
Boolean adalah juga sebuah aksioma. Sesuai dengan itu maka berlaku
prinsip dualitas, yakni:
Teorema 3: Prinsip dualitas: Jika pernyataan A diturunkan dari
aksioma (1)-(9), maka dual dari A juga diturunkan dari aksioma
(1)-(9). Jadi dual dari sebarang teorema dalam sebuah aljabar
Boolean adalah juga sebuah teorema. Dengan kata lain, jika sebarang
pernyataan adalah sebuah konsekuensi dari aksioma sebuah aljabar
Boolean, maka dual dari pernyataan tersebut adalah juga sebuah
konsekuensi dari aksioma tersebut. Karena pernyataan hal itu dapat
dibuktikan dengan menggunakan dual dari setiap langkah pembuktian
pernyataan semula.
Bukti:
Dual dari setiap aksioma (1)-(9) adalah aksioma semula. Aksioma
(1) dan (2), keduanya merupakan dual dari yang satu dengan yang
lainnya. Pasangan-pasangan dari aksioma (3) dan (4), aksioma (5)
dan (6), dan aksioma (7) dan (8) merupakan dual dari yang satu
dengan yang lainnya. Sedangkan aksioma (9) adalah dual dari dirinya
sendiri. Kemudian jika pada pembuktian himpunan A, masing-masing
pernyataan diganti dengan masing-masing dualnya, hasilnya adalah
pembuktian pernyataan semula (ketika aksioma diganti dengan
aksioma).
Teorema 4: Untuk semua x, y, z (B, maka:
(i)x ( 0 = 0
(ii)x ( 1 = 1
(iii)x ( (x ( y) = x
(iv)x ( (x ( y) = x
(v)Jika [y ( x = z ( x & y ( x( = z ( x(], maka y = z
(vi)x ( (y ( z) =(x ( y) ( z
Hukum asosiatif
(vii)x ( (y ( z) =(x ( y) ( z
(viii)(x ( y)( = x( ( y( Hukum De Morgan
(ix)(x ( y)( = x( ( y(
(x)x ( y = (x( ( y()(
(xi)x ( y = (x( ( y()(
(xii)x ( y( = 0 ( x ( y = x
(xiii)0( = 1
(xiv)1( = 0
(xv)x ( (x( ( y) = x ( y
(xvi)x ( (x( ( y) = x ( y
Bukti:
(i)x ( 0 = (x ( 0) ( 0= (x ( 0) ( (x ( x()
= (x ( x() ( (x ( 0) = x ( (x( ( 0) = x ( x( = 0
(ii)Adalah dual dari (i)
(iii)x ( (x ( y) = (x ( 0) ( (x ( y) = x ( (0 ( y) = x ( 0 =
x.
(iv)Adalah dual dari (iii)
(v)Diasumsikan y ( x = z ( x & y ( x( = z ( x( , maka
y = y (1 = y ( (x ( x( ) =(y ( x) ( (y ( x()
= (z ( x) ( (z ( x() = z ( (x ( x() = z ( 1 = z
(vi)Dengan menggunakan (v), misalkan y = x ( (y ( z) dan z = (x
( y) ( z, maka harus ditunjukkan:
(a)(x ( (y ( z)) ( x = ((x ( y) ( z) ( x, dan
(b)(x ( (y ( z)) ( x( = ((x ( y) (z) ( x(.
Bukti:
(a)(x ( (y ( z)) ( x = x ( (x ( (y ( z)) = x menurut (iii),
sehingga
((x ( y) ( z) ( x = x ( ((x ( y) ( z)
= [x ( (x ( y)] ( [x ( z]
= x ( (x ( z) menurut (iii)
= x menurut (iv)
Jadi (x ( (y ( z)) ( x = x = ((x ( y) ( z) ( x.
(b)(x ( (y ( z)) ( x( = x( ( (x ( (y ( z))
= (x( ( x) ( (x( ( (y ( z))
= 0 ( (x( ( (y ( z)) = x( ( (y ( z), maka
((x ( y) ( z) ( x( = x( ( ((x ( y) ( z)
= (x( ( (x ( y)) ((x( (z)
= [(x( ( x) ( (x( ( y)] ( (x( ( z)
= [0( (x( ( y)] ( [x( ( z]
= (x( ( y) ( (x( ( z)
= x( ( (y ( z)
Jadi (x ( (y ( z) ( x( = x( ( (y ( z) = ((x ( y) ( z) ( x(
(vii)Adalah dual dari (vi)
(viii)Untuk membuktikan (x ( y)( = x( ( y(, adalah dengan
menggunakan teorema keunikan komplemen, maka harus ditunjukkan:
(c)(x ( y) ( (x( ( y() = 0, dan
(d)(x ( y) ( (x( ( y() =1.
Bukti:
(c)(x ( y) ( (x( ( y() = (x( ( y() ( (x ( y)
= [(x( ( y() ( x] ( [(x( ( y() ( y]
= [x ( (x( ( y()] ( [x( ( (y( ( y)]
= [(x ( x() ( y( ] ( [x( ( (y ( y()]
= [0 ( y(] ( [x( ( 0]
= 0 ( 0
= 0
(d)(x ( y) ( (x( ( y() = [(x ( y) ( x(] ( [(x ( y) ( y(]
= [x( ( (x ( y)] ( [x ( (y ( y()]
= [(x( ( x) ( y] ( [x ( 1]
= [(x ( x() ( y] (1 = (x ( x() ( y
=1 ( y
= y ( 1
= 1.
(ix)Adalah dual dari (viii)
(x)Menurut (viii), (x ( y)( = x( ( y( , maka (x ( y)(( = (x( (
y()( padahal (x ( y)(( = x ( y, maka diperoleh (x( ( y()( = x (
y
(xi)Adalah dual dari (x)
(xii)x = x (1 = x ( (y ( y() = (x ( y) ( (x ( y(). Diketahui x (
y( = 0,
maka x = x ( y.
Diasumsikan x = x ( y, maka
x ( y( = 0 ( (x ( y()
= (x ( x() ( (x ( y()
= x ( (x( ( y()
= x ( (x ( y)( = x ( x( = 0.
(xiii)Ketika 0 ( 1 = 1 dan 0 ( 1 = 0 maka diperoleh 0( = 1
menurut teorema 2.1.
(xiv)Adalah dual dari (xiii)
(xv)x ( (x( ( y) = (x ( x() ( (x ( y) = 0 ( (x ( y) = x ( y
(xvi)Adalah dual dari(xv).
Teorema 5: Misalkan x, y di B, dengan B adalah sebuah aljabar
Boole, maka kondisi-kondisi berikut ekuivalen satu sama lain:
(i) x ( y( = 0
(ii) x ( y = y
(iii) x( ( y = 1
(iv) x ( y = x
Teorema 6: Aljabar rangkaian pengganti Boole adalah aljabar
Boole.
Untuk mencari sifat sebuah rangkaian pengganti Boole, maka
dibentuk sebuah tabel yang analog dengan tabel kebenaran untuk
proposisi (Seymour Lipschuts: 1985; 235).
Pada sistem matematika logika biner yang lebih dikenal sebagai
aljabar Boole, dengan mudah dapat digunakan untuk meguraikan
operasi rangkaian/sirkuit saklar dan sirkuit logika yang rumit.
Perancang sistem digital menggunakan aljabar Boole untuk mengubah
suatu diagram rangkaian menjadi pernyataan aljabar dan sebaliknya.
Akan tampak nanti dalam pembahasan bagaimana aljabar Boole itu
dapat dipakai untuk menyatakan interkoneksi diantara sirkuit saklar
dan sirkuit logika tersebut secara matematika.
C.Jaringan Listrik
a.Arus Listrik
Arus listrik adalah gerakan atau aliran muatan listrik. Arus (I)
dikatakan ada dalam suatu ruang, bila di dalam ruang itu terjadi
perpindahan muatan listrik dari tempat yang satu ke tempat yang
lain. Jika muatan sebesar q dipindahkan melalui luas penampang
kawat dalam waktu t, maka arus dalam kawat adalah jumlah muatan
yang berpindah dibagi waktu yang diperlukan untuk mengadakan
perpindahan itu (Frederic J.Bueche: 1994; 187)
Franklin pada tahun 1750 dengan teori aliran listriknya
menggambarkan bahwa listrik sebagai suatu cairan yang tidak dapat
dilihat. Jika sebuah benda mempunyai kelebihan cairan dibandingkan
dengan keadaan normalnya, maka benda tersebut dikatakan bermuatan
positif. Bila benda tersebut kekurangan cairan dibandingkan dengan
keadaan normalnya, maka dikatakan benda tersebut bermuatan negatif.
Berdasarkan teori ini Franklin menyimpulkan bahwa muatan listrik
mengalir dari positif menuju ke negatif. Teori ini sampai sekarang
dikenal dengan teori arus konvensional.Sedangkan teori arus
elektron menyebutkan bahwa dalam sepotong kawat tembaga, hanya
muatan yang berupa elektron bebaslah yang dapat mengalir. Dengan
pengaruh dari suatu medan listrik elektron-elektron bebas ini
mengalir dari terminal negatif sebuah baterei melalui kawat menuju
terminal positif. Hal ini sangat bertentangan dengan teori arus
konvensional yang menimbulkan sebuah masalah. Setiap orang sekarang
setuju bahwa muatan-muatan listrik sebenarnya mengalir dari negatif
ke positif didalam sepotong kawat tembaga, tetapi tidak semua orang
ingin menghindari pemakaian arus konvensional (Jacob Millman: 1993;
2)
Tradisi yang sudah ada adalah bahwa para insinyur lebih suka
menggunakan arus konvensional maupun arus elektron daripada memilih
salah satu dari keduanya. Pada ruang lingkup atom mereka
menggunakan arus elektron untuk menerangkan apa yang sebenarnya
terjadi. Di luar ruang lingkup atom mereka menganggap bahwa yang
mengalir adalah muatan-muatan positif, bukan elektron. Mungkin pada
suatu hari nanti seseorang akan berpaling pada arus elektron pada
waktu mereka menganalisa rangkaian-rangkaian secara matematis.
Tetapi pada saat ini sudah disepakati bahwa perubahan yang demikian
hanya akan menimbulkan pertentangan. Jika seseorang menganggap
muatan-muatan mengalir dari positif menuju negatif, maka ia memakai
arus konvensional atau dari negatif menuju positif, maka ia lebih
menyukai arus elektron.
Aliran listrik dapat diibaratkan sebagai aliran air yang
mengalir melalui sebuah pipa. Aliran ini bisa terjadi karena ada
pompa yang memberikan energi atau tekanan terhadap air. Dengan
pengertian yang sama, muatan listrik dapat mengalir didalam suatu
rangkaian apabila sumber energi sebagaipompa muatan. Akibatnya
muatan listrik dikenai suatu "gaya", yakni gaya gerak listrik (Bob
Foster: 2000; 152). Sebuah sirkuit adalah suatu lintasan tertutup
yang mengizinkan pergerakan muatan-muatan yang disebut arus.
Terdapat tiga besaran dasar yang dikaitkan dengan rangkaian listrik
yaitu;1. Potensial listrik/ sumber listrik (V), dalam volt (V)
2. Hambatan/ resistor (R), dalam ohm (()
3. Arus (I), dalam ampere (A)
Sumber listrik/ potensial listrik dikaitkan dengan dua titik
dalam suatu jaringan listrik dan dalam prakteknya diukur dengan
menghubungkan titik-titik tersebut dengan alat yang disebut
voltmeter (pengukur tegangan). Dalam jaringan listrik, potensial
listrik antara dua titik disebut penurunan tegangan (voltage drops)
diantara titik-titik tersebut. Arus dan penurunan tegangan dalam
suatu rangkaian listrik dapat positif atau negatif.
Aliran arus dalam jaringan listrik diatur oleh dua prinsip dasar
yaitu: hukum Ohm dan hukum Kirchhoff.
b.Hukum Ohm
Hukum Ohm menjelaskan bahwa besar arus I dalam suatu rangkaian
listrik bergantung pada hambatan R dan sumber listrik V. Hukum Ohm
ini dijelaskan dengan eksperiman oleh Georgeo Simon Ohm pada tahun
1828. Jika diketahui dua dari V, I dan R maka yang ketiga dapat
dihitung. Sebagai contoh, dengan 6 V tegangan dan hambatan 2 ( maka
I = (6V) / (2() = 3A.
Hukum ohm juga menjelaskan besarnya daya listrik
sirkuit/rangkaian. Besarnya daya yang dipakai dalam sebuah sirkuit
sama dengan hasil kali dari tegangan dengan arus. Daya yang
digunakan oleh R dalam contoh diatas adalah 6V x 3A = 18 watt.
Hubungan ini berlaku untuk arus AC/DC dalam sirkuit. Dengan kata
lain, hukum ohm dapat ditulis sebagai "Penurunan tegangan (Voltage
drops) yang melintasi hambatan adalah hasil kali arus yang
melewatinya dengan hambatannya, yaitu V = I R".
c.Hukum Kirchhoff
Terdapat berbagai tipe sirkuit/rangkaian yang
komponenkomponennya tidak dalam rangkaian seri, paralel maupun seri
paralel. Aturan dalam rangkaian seri paralel tidak mutlak
digunakan, melainkan metode-metode umum dari analisis menjadi lebih
diperlukan. Metode tersebut adalah hukum Kirchhoff yang dapat
digunakan sebagai dasar untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam
jaringan listrik.
Sebarang sirkuit dapat diselesaikan dengan menggunakan hukum
Kirchhoff karena hukum ini tidak bergantung pada hubungan seri
maupun paralel dari suatu rangkaian listrik. Landasan teori
jaringan ini diletakkan sekitar tahun 1847 oleh fisikawan Jerman,
Gustav R. Kirchhoff, yang percobaan-percobaan cermatnya telah
menghasilkan hukum-hukum yang disebut dengan namanya.
1) Hukum arus Kirchhoff
Jumlah aljabar dari arus masuk dan meninggalkan sebarang titik
dalam sebuah rangkaian harus sama dengan nol. Dengan kata lain,
hukum arus Kirchhoff sebagai jumlah aljabar dari arus yang masuk ke
sebarang titik dari suatu rangkaian listrik harus sama dengan
jumlah aljabar dari arus yang keluar meninggalkan titik tersebut
(Budiono Mismail: 1995; 35). Jumlah aljabar disini maksudnya
kombinasi dari nilai positif dan negatif. Dengan menggunakan hukum
Kirchhoff untuk menyelesaikan permasalahan dalam jaringan listrik,
perlu mengadakan perjanjian yang menjelaskan tanda-tanda aljabar
untuk arus dan tegangan. Sistem yang mudah untuk arus adalah
"andaikan semua arus yang menuju titik cabang bertanda positif dan
semua arus yang meninggalkan titik tersebut bertanda negatif".Hukum
arus Kirchhoff tersebut sebenarnya tidak berbeda dengan hukum
kekekalan muatan listrik seperti tampak dalam analogi pada Gambar 1
(Bob Foster: 1999; 160). Hukum arus Kirchhoff secara matematis
dapat dituliskan sebagai berikut:
( I masuk = ( I keluar.. (i)
I2 I1 aliran keluar I3 aliran masuk
(a) (b)
Gambar (1). Skema diagram untuk hukum I Kirchhoff
serta analogi mekaniknya.
Bukti hukum arus Kirchhoff ini sudah jelas karena dalam hal ini
tidak ada muatan yang tertimbun pada simpul dan tidak ada arus yang
mengalir keluar simpul menuju ke ruang bebas. Jadi paling sedikit
harus ada satu jalur yang membawa muatan keluar dari simpul itu.
Dalam penggunaan hukum Kirchhoff, tampak arus di suatu simpul
adalah nol. Pembatasan berlakunya hukum arus Kirchhoff tersebut
adalah tidak boleh ada muatan yang tertimbun dalam simpul.
Pengecualian penting untuk hukum ini terjadi jika simpul itu
terletak di tengah kapasitor, karena muatan yang tersimpan dalam
kapasitor tersebut menyebabkan hukum ini tidak berlaku (Budiono
Mismail: 1995; 36).
2) Hukum tegangan Kirchhoff Hukum tegangan Kirchhoff menyebutkan
bahwa jumlah aljabar sumber tegangan dan penurunan tegangan I R
dalam sebarang lingkaran tertutup harus sama dengan nol. Secara
matematis, hukum ini dapat didefinisikan sebagai berikut:
V1 + V2 + V3 + + Vn = 0 (ii)
= 0
Hukum tegangan Kirchhoff ini merupakan akibat dari prinsip
kekekalan tenaga yang setara dengan kesetimbangan tenaga dimana
tenaga yang diberikan sama dengan tenaga yang diserap oleh
rangkaian. Jika kita mulai dari sebarang titik pada satu pontensial
dan kembali ke titik dengan potensial yang sama, maka beda
potensialnya harus sama dengan nol. Dalam mendefinisikan tanda
aljabar untuk tegangan (Voltage) andaikan sebarang terminal positif
dari tegangan yang dicapai terlebih dahulu sebagai positif dan
sebaliknya jika terminal negatif dicapai terlebih dahulu maka
tandanya negatif. Metode ini digunakan pada penurunan I R dan
sumber tegangan. Arah lintasan ini dapat searah dengan putaran
jarum jam (Clock Wise) atau berlawanan dengan arah putaran jarum
jam (counter clock wise).
d.Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik biasanya terdiri dari banyak hubungan sehingga
akan terdapat banyak cabang maupun titik simpul. Titik simpul
adalah titik pertemuan tiga cabang atau lebih. Pada umumnya suatu
rangkaian listrik terdiri dari banyak rangkaian tertutup yang
mempunyai banyak simpul dengan satu atau lebih sumber. Ada dua
bentuk rangkaian yang dapat membantu mempermudah penentuan variable
rangkaian. Bentuk rangkaian listrik tersebut adalah :a). Rangkaian
seri Arus yang mengalir dalam masing-masing unsur atau sumber yang
dihubungkan secara berurutan sesuai dengan hukum Kirchhoff untuk
arus, sehingga hanya ada arus tunggal I yang mengalir dalam
rangkaian tersebut (Budiono Mismail: 1995; 39)
i1 i
v v Rs
i2
(a) (b)
Gambar 2. Rangkaian seri dengan rangkaian setaranya.
(a) Rangkaian seri dengan dua hambatan, dan
(b) Rangkaian seri secara umum.
b). Rangkaian paralelBentuk rangkaian yang kedua adalah bagian
rangkaian paralel, seperti yang tampak pada Gambar 3. Dalam bentuk
ini variabel tegangan tunggal terpasang untuk semua unsur dan
sumbernya.i i
R1 R2 R3 v Rp
(a) (b)Gambar 3. Rangkaian paralel dengan rangkaian
setaranya.
(a) Rangkaian paralel tiga hambatan, dan
(b) Rangkaian paralel secara umum.
D.Sistem Digital
Dalam sistem digital yang berukuran besar, seperti komputer,
sistem-sistem pengolahan data, pengendalian, atau sistem komunikasi
digital, operasi yang dijalankan hanya terdiri dari beberapa macam
saja. Tentunya operasi ini dapat terjadi secara berulang-ulang
dalam jumlah yang amat besar. Rangkaian yang paling lazim digunakan
dalam sistem tersebut dikenal sebagai rangkaian logika atau gerbang
logika (Jacob Millman: 1993; 148). Rangkaian logika adalah piranti
dua kemungkinan, yakni mempunyai keluaran dua kemungkinan: keluaran
dengan nol volt yang menyatakan logika 0 (rendah) dan keluaran
dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (tinggi). Gerbang
logika dapat mempunyai beberapa masukan yang masing-masing
mempunyai salah satu dari dua keadaan logika, yaitu 0 dan 1
(KF.Ibrahim: 1996; 23). Gerbang logika ini dapat digunakan untuk
melakukan fungsi-fungsi khusus, misalnya OR, AND, NOT, XOR, NAND,
NOR, dan flip-flop.
a.Gerbang OR
Gerbang adalah suatu rangkaian dengan satu keluaran, dan satu
atau beberapa masukan. Suatu gerbang OR mempunyai dua atau lebih
dari dua masukan atau satu keluaran. Cara operasinya mengikuti
definisi sebagai berikut: keluaran dari suatu gerbang OR
menunjukkan keadaan 1 jika satu atau lebih dari satu masukannya
berada pada keadaan 1. Ke-n masukan dari suatu rangkaian logika
akan ditandai dengan huruf A, B, , N, dan keluarannya dengan huruf
Y (Jacob Millman: 1993; 151). Masing-masing simbol tersebut dapat
mengambil salah satu dari dua harga yang mungkin yaitu 0 atau 1.
Dengan demikian gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah
satu dari masukannya pada keadaan 1. Jika diinginkan keluaran
bernilai 0 maka semua masukan harus dalam keadaan 0 (KF.Ibrahim:
1996; 25)
b.Gerbang AND
Gerbang AND merupakan jenis rangkaian dasar yang lain. Suatu
gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari dua masukan dan keluaran
tunggal. Cara operasinya mengikuti definisi sebagai berikut:
keluaran dari suatu gerbang AND menempati keadaan 1 bila dan hanya
bila semua masukan menempati keadaan 1. Dengan kata lain, gerbang
AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukan
mempunyai logika 1, jika tidak maka dihasilkan logika 0.
c.Gerbang NOTJenis rangkaian digital dasar yang lain adalah
gerbang NOT yang juga disebut inverter (pembalik). Rangkaian ini
mempunyai sebuah masukan dan sebuah keluaran serta melakukan
operasi logika peniadaan (negation) sesuai dengan definisi berikut
ini: keluaran dari rangkaian NOT akan mengambil keadaan 1 jika dan
hanya jika masukannya tidak mengambil keadaan 1. Yang dilakukannya
hanyalah membalik sinyal masukan. Jika masukan adalah tinggi, maka
keluaran adalah rendah, dan sebaliknya. Ini berarti bila tegangan
masukan cukup tinggi, transistor menjadi jenuh sehingga keluaran
adalah rendah. Sebaliknya, bila tegangan masukan cukup rendah maka
transistor terpancung dan tegangan keluaran adalah tinggi.
d.Gerbang XOR
Suatu gerbang XOR berasal dari kata Exclusive Or, akan
memberikan keluaran 1 jika masukanmasukannya mempunyai keadaan yang
berbeda. Maksudnya adalah suatu gerbang XOR memenuhi definisi
berikut: Keluaran dari suatu Exclusive Or dengan dua masukan akan
sama dengan keadaan 1, jika satu dan hanya satu masukan yang sama
dengan keadaan 1. Exclusive Or digunakan dalam bagian proses
perhitungan atau aritmetik dari suatu komputer.
e.Gerbang NAND
Kata NAND merupakan kependekan dari kata NOT-AND, yang merupakan
ingkaran dari gerbang AND. Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0
jika semua masukan pada logika 1. Sebaliknya jika ada sebuah logika
0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND maka keluarannya akan
bernilai 1.
f.Gerbang NOR
Kata NOR merupakan kependekan dari kata NOT - OR, yang merupakan
ingkaran dari gerbang OR. Jadi gerbang OR yang diikuti oleh suatu
pembalik pada keluarannya disebut gerbang NOT-OR atau NOR. Gerbang
NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya pada
keadaan 1 dan akan memberikan keluaran bernilai 1 jika semua
masukan bernilai 0.
g.Rangkaian Flip-flop
Rangkaian tersebut merupakan sel biner yang dapat menyimpan satu
bit informasi. Suatu rangkaian flip-flop mempunyai dua keluaran,
satu dengan nilai normal dan yang lain adalah nilai komplemen bit
yang tersimpan di dalamnya. Oleh karena itu rangkaian flip-flop
juga disebut rangakaian bistabil, yakni rangkaian dengan dua
keadaan stabil.
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
A.Sifat Penelitian
Dengan melihat sifat dan tempat penelitian, penyusunan dan
pembahasan skripsi ini adalah bersifat penelitian kepustakaan
(library research), yaitu dengan mengkaji, meneliti dan menyelidiki
serta mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk
buku, skripsi, ataupun makalah-makalah yang relevan dengan topik
penelitian. Kemudian hasilnya dijabarkan dan disusun kembali secara
rinci menjadi suatu karya tulis.
B.Sumber penelitianSumber penelitian yang dipakai menjadi bahan
penelitian berasal dari berbagai sumber yang tertulis, baik berupa
buku-buku, artikel, jurnal, dan tulisan lainnya yang ada kaitannya
dengan masalah logika aljabar Boole, listrik dan digital. Adapun
sumber penelitian yang digunakan ditinjau dari sifatnya dapat
dibedakan menjadi dua, yaitu:
1. Sumber primer.
Sumber primer adalah sumber-sumber yang memberi data langsung
dari sumber pertama. Sumber ini sengaja dibuat untuk keperluan
dimasa datang (John W. Best: 1982; 391). Diantara sumber primer
dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
a). Karya Elliot Mendelson yang berjudul Theory and problems of
Boolean algebra and switching circuits, (Singapore: Mc Graw Hill,
Inc, 1987).
b). Karya Mismail Budiono yang berjudul "Rangkaian Listrik",
(Bandung: ITB, 1995).
c). Karya Albert Paul Malvino, Donald P. Leach yang berjudul
Prinsip-prinsip dan Penerapan Digital, diterjemahkan oleh Irwan
Wijaya, (Jakarta: Erlangga, 1992).2. Sumber sekunder.
Sumber sekunder adalah sumber yang menguraikan dan membicarakan
sumber primer. Diantaranya adalah: Pengantar Dasar Matematika
Logika dan Teori Himpunan karya Theresia M.H. Tirta Seputro, Teori
dan Soal-soal Teori Himpunan karya Seymour Lipschuts yang
diterjemahkan oleh Pantur Silaban, Dasar-dasar Teori Rangkaian
karya AR. Margunadi, Dasar-dasar rangkaian logika digital karya
Mismail Budiono, kemudian Teknik Digital karya KF. Ibrahim
diterjemahkan oleh P. Insap Santosa, dan karya-karya yang lain.
C. Metode Penelitian
Metode penelitian yang dipakai adalah:
1.Interpretasi
Peneliti berusaha menangkap data-data yang tersembunyi didalam
hasil penelitian ilmu tertentu dengan dilatarbelakangi struktur
hakiki dan norma-norma dasar kemudian memberikan evaluasi kritis
dan kemudian menyajikan data-data alternatif.
2.Komparasi
Perbandingan dilakukan menurut beberapa segi yaitu data lain,
teori lain, dan konsep teori lain.
3.Deskripsi
Penelitian dideskripsikan secara kongkrit sehingga terlihat
membuka cakrawala baru bagi penelitian.
4.Metode Analisis
1) Analisis isi (content analysis)
Metode content analysis yaitu suatu teknik penelitian untuk
membuat inferensi-inferensi yang dapat ditiru dan shahih data
dengan memperhatikan konteksnya (Klaus Krippendarft: 1993; 15).
Dari pengelompokan masing-masing data berdasarkan atas analisa
terhadap isi tersebut dan dapat mengemukakan uraian yang
berdasarkan atas sumber data primer dan penyelesaian-penyelesaian
serta pendapat para ahli yang berkaitan dengan masalah yang
dibahas.
2) Metode deduktif
Berpikir deduktif adalah berpikir yang berangkat dari kebenaran
umum mengenai suatu fenomena (teori) dan menggeneralisasikan
kebenaran tersebut pada suatu data atau peristiwa (Saifuddin Azwar:
1998; 40). Dengan demikian Metode deduktif yaitu suatu pola
pemikiran yang berangkat dari peristiwa yang bersifat umum,
kemudian ditarik generalisasi yang bersifat khusus.
3) Metode induktif
Berpikir induktif adalah proses mengorganisasikan fakta-fakta
atau hasil-hasil pengamatan yang terpisah-pisah menjadi suatu
rangkaian hubungan atau suatu generalisasi (Saifuddin Azwar: 1998;
40). Dengan demikian Metode induktif adalah suatu pola pemikiran
yang berangkat dari suatu peristiwa yang bersifat khusus, kemudian
ditarik generalisasi yang bersifat umum.
BAB IV
PEMBAHASAN
A.Rangkaian Saklar
Penerapan aljabar Boole dalam rangkaian listrik dapat
ditunjukkan oleh rangkaian saklar sederhana. Saklar adalah suatu
alat yang dihubungkan dengan suatu titik simpul di dalam suatu
sirkuit elektris dan boleh diasumsikan sebagai status tersambung
atau terputus (Seymour Lipschuts: 1987; 71). Contoh saklar yang
sederhana adalah pada bel listrik. Jika tombol bel ditekan maka
saklar tertutup, listrik mengalir dan bel berbunyi.
Dua saklar A dan B dapat dihubungkan oleh kawat tembaga dalam
rangkaian seri dan rangkaian paralel sebagai berikut:
A
A B
B
(a) (b)
Gambar 4. (a) Rangkaian seri, A ( B. (b) Rangkaian paralel, A (
BSebuah desain rangkaian pengganti Boole berarti sebuah susunan
kawat tembaga dan saklar yang dapat dibentuk dengan menggunakan
berulang dari rangkaian seri dan rangkaian paralel, maka desain
tersebut dapat dijelaskan dengan menggunakan kata sambung ( dan (
(Seymour Lipschuts: 1985; 234).
Untuk saklar dalam hubungan seri, lampu akan menyala jika A dan
B tersambung. Untuk rangkaian dalam hubungan paralel, lampu akan
menyala jika A atau B tersambung. Kedua rangkaian itu dapat
dinyatakan dengan pertolongan aljabar Boole sebagai berikut:
L = A ( B untuk hubungan seri, dan
L = A ( B untuk hubungan paralel. (Mismail Budiono: 1998;
66).
Kedua tabel berikut menjelaskan sifat sebuah rangkaian seri A (
B dan sebuah rangkaian paralel A ( B. Tabel 1. Tabel kebenaran
logika untuk rangkaian seri
ABA ( B
111
100
010
000
Tabel 2. Tabel kebenaran logika untuk rangkaian paralel
ABA ( B
111
101
011
000
Pada jaringan-jaringan tertentu, ada saklar yang posisinya
terbuka-tertutup/ditentukan oleh saklar yang lain. Yakni jika
saklar yang satu terbuka maka saklar yang lain tertutup. Dua saklar
yang selalu mempunyai posisi berlawanan ini disebut saklar yang
saling berkomplemen. Tabel berikut ini memperlihatkan hubungan
diantara sebuah saklar A dan sebuah saklar A(.
Tabel 3. Tabel kebenaran untuk rangkaian yang saling
berkomplemen
AA(
10
01
Jika kedua saklar yang saling berkomplemen ini mempunyai
hubungan seri maka listrik tidak akan mengalir. Sedangkan jika
kedua saklar yang saling berkomplemen mempunyai hubungan paralel,
arus listrik akan selalu mengalir melalui rangkaian itu. Salah satu
saklar akan selalu tersambung jika yang lainnya terputus.
Ketiga tabel di atas identik dengan tabel konjungsi, disjungsi
dan peniadaan (negasi) untuk pernyataan (proposisi). Satu-satunya
perbedaan adalah bahwa 0 dan 1 digunakan di sini sebagai ganti dari
T dan F pada proposisi. Sirkuit saklar memenuhi aturan-aturan yang
sama dengan proposisi sehingga mereka membentuk sebuah aljabar
Boolean, sebagaimana teorema bahwa aljabar rangkaian pengganti
Boole adalah sebuah aljabar Boole (Seymour Lipschutz: 1985; 235).
Untuk mencari sifat sebuah rangkaian pengganti Boole maka perlu
dibentuk sebuah tabel yang analog dengan tabel kebenaran untuk
proposisi.
B A B(
A A(
A( B C
(a) (b)
Gambar 5. (a). A ( ( B ( A(), (b). (A ( B()( [(A( ( C) ( B]
Rangkaian (a) dapat dijelaskan oleh A ( (B ( A() dan rangkaian
(b) dapat dijelaskan oleh (A ( B() ( [(A( ( C) ( B]. Tinjaulah
rangkaian Gambar 5(a) rangkaian di atas. Bagaimana sifat rangkaian
tersebut, yakni bilakah rangkaian tersebut akan tersambung (yakni
bilakah arus akan mengalir) dan bilakah rangkaian tersebut akan
terputus? Sebuah tabel kebenaran dibentuk untuk A ( (B ( A()
sebagai berikut:
Tabel 4. Tabel kebenaran logika
ABA(B ( A(A ( (B(A()
11011
10000
01110
00110
Jadi dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa pada rangkaian
itu arus akan mengalir hanya jika A dan B kedua-duanya
tersambung.
Seringkali rangkaian saklar itu dibuat sedemikian rupa sehingga
bila saklar tertentu tersambung, secara otomatis hubungan tertentu
yang lain juga menyambung atau sebaliknya jika saklar tertentu
terputus maka otomatis hubungan yang lain lepas. Untuk rangkaian
semacam ini harus dipakai saklar yang sama. Misalnya saklar B pada
rangkaian saklar sebagai berikut, dimana bentuk aljabar Boolenya
adalah
(A ( B ) ( (B ( C)
A B
BC
Gambar 6. Rangkaian saklarRangkaian saklar juga dapat dibuat
sedemikian rupa sehingga jika saklar yang satu tersambung maka
secara otomatis saklar tertentu yang lain terputus dan sebaliknya.
Untuk keperluan semacam ini haruslah saklar yang kedua merupakan
lawan dari saklar yang pertama, yaitu misalnya saklar yang pertama
B maka saklar yang kedua B(. Contohnya rangkaian saklar berikut ini
yang dalam logika aljabar Boole adalah (A ( B) ( (B( (C)
A B
B(C
Gambar 7. Rangkaian saklar
Secara umum, kondisi untuk arus listrik yang mengalir melalui
sirkuit terhubung seri adalah A1 ( A2 ( A3 ... ( An sebagaimana
tampak pada gambar berikut:
A1 A2 A3 AnGambar 8. Rangkaian seri
Sedangkan kondisi untuk arus listrik yang mengalir melalui
sirkuit saklar yang terhubung secara paralel seperti ditunjukkan
pada gambar berikut, adalah A1 ( A2 ( A3 ( An
A1
A2
.
.
.
An Gambar 9. Rangkaian paralel
Pada sirkuit saklar berikut, arus listrik mengalir jika dan
hanya jika (A ( B) ( (A( ( B) adalah benar.
A B
A( B
Gambar 10. Rangkaian saklar
Gambar tersebut menunjukkan bahwa kita boleh mengkombinasi
saklar dalam bentuk seri dan paralel dalam satu rangkaian. Dengan
demikian sirkuit ini disebut sirkuit saklar seri-paralel. Secara
lebih tepat, jika A suatu pernyataan, maka A adalah sirkuit
seri-paralel. Jika S, S1, S2, , Sn merupakan sirkuit seri-paralel,
kita bisa membentuk sirkuit saklar seri-paralel baru dengan
mengganti suatu saklar dalam S dengan yang lain.
S1
S2
S1 S2 Sn . . .
. . .
. . .
Sn
Gambar 11. Rangkaian saklar seri-paralel
Kondisi untuk arus listrik yang mengalir melalui sirkuit
seri-paralel dapat ditulis dalam bentuk konjungsi dan disjungsi
pada logika proposisi. Pada contoh tersebut kondisi yang sesuai
adalah (A ( B) ( (A( ( B) (Elliott mendelson: 1987; 72).
Contoh 1:
Tentukan pernyataan simbolik untuk jaringan listrik berikut
ini.
A A( B CGambar 12. Rangkaian saklar
Pemecahan:
Perhatikan bahwa A dan B berhubungan paralel, juga A( dan C.
Sedang antara A, B dan A(, C terdapat hubungan seri. Jadi
pernyataan simbolik untuk jaringan listrik di atas adalah (A( B) (
(A( ( C).Contoh 2:
Tentukan ekspresi Boolean untuk setiap sirkuit saklar pada
Gambar 13.
B C
A
A C
A( B( B C( (a) (b)
Gambar 13. Rangkaian saklar seri-paralel
Pemecahan:
Kita menggunakan ( (penjumlahan) untuk menyatakan sirkuit
paralel, dan ( (product) untuk menyatakan sirkuit seri.
Sehingga,
(a) A ( (B ( A() ( C(b) A ( (C ( B() ( (B ( C().
Contoh 3:
Tentukan ekspresi Boolean yang berhubungan dengan setiap sirkuit
penyaklaran pada Gambar 14.
B C( B(
A
A C D D(
(a) (b)
Gambar 14. Rangkaian seri-paralel
Pemecahan:
Dengan menggunakan operasi ( untuk menyatakan sirkuit paralel,
dan operasi ( untuk menyatakan sirkuit seri. Sehingga
(a) A ( [D ( (B ( C()],
(b) [A ( (B( ( C)] ( D(B.Rangkaian Logika (Gerbang Logika)
Logika sirkuit adalah kerangka yang dibangun dari
sirkuit-sirkuit dasar tertentu yang disebut logic gate (gerbang
logika). Gerbang (gate) adalah suatu rangkaian logika yang mungkin
digambarkan sebagai mesin yang memuat satu masukan atau lebih dan
tepat satu keluaran. Masukan diberikan dalam barisan n-bit yang
diproses dengan satu bit sirkuit sekaligus untuk menghasilkan
sebuah barisan n-bit keluaran.
a. Gerbang OR
Jenis rangkaian digital dasar pertama yang dibahas adalah
gerbang OR. Suatu gerbang OR mempunyai dua atau lebih dari dua
masukan dan satu keluaran. Gambar 15 memperlihatkan lambang bagi
sebuah gerbang OR N masukan untuk segala jenis rancangan dengan A,
B, ... , N merupakan masukan-masukannya dan Y adalah
keluarannya.
A
B Y = A + B + ... + N
N
Gambar 15. Simbol logika OR dengan N masukan
Untuk saat ini, akan dianalisa suatu gerbang OR dua masukan
dengan membatasi tegangan-tegangan masukan pada 0 V atau 1 V. Hanya
terdapat empat hal kemugkinan untuk dianalisa:
i).A = 0 dan B = 0. Dengan kedua tegangan masukan pada nol
tegangan keluaran pastilah nol karena tidak terdapat tegangan di
manapun dalam rangkaian, oleh karenanya Y = 0
ii).A = 0 dan B = 1. Batere B memberikan prategangan maju pada
dioda bawah, mengakibatkan keluaran secara ideal menjadi 1V. Karena
batere A adalah 0V, maka terlihat sebagai suatu hubung singkat.
Dioda atas mati, dioda bawah hidup, dan keluaran Y = 1V
iii).A = 1 dan B = 0. akibat simetri rangkaian, argumen dalam
hal ini adalah sama dengan arguman pada hal (ii), dioda atas hidup,
dioda bawah mati, dan Y = 1V.
iv).A = 1 dan B = 1. dengan kedua masukan pada 1V kedua dioda
berprategangan maju. Karena kedua tegangan adalah paralel, tegangan
keluaran secara ideal adalah 1V, oleh karenanya Y = 1V.
Berdasarkan analisa diatas, dapat dibuat suatu cara operasi
gerbang OR sebagaimana definisi berikut: keluaran dari gerbang OR
menunjukkan keadaan 1 jika satu atau lebih dari satu masukannya
berada pada keadaan 1.(Jacob Millman: 1993; 151). Ke N masukan dari
suatu rangkaian logika akan ditandai dengan huruf A, B, ..., N dan
keluarannya dengan huruf Y. Jelas bahwa masing-masing simbol
tersebut dapat mengambil salah satu dari dua harga yang mungkin,
yakni 0 atau 1. Simbol baku untuk rangkaian OR diberikan dalam
Gambar 15 bersama dengan hubungan aljabar boole untuk gerbang yang
bersangkutan. Persamaannya harus dibaca "Y sama dengan A atau B
atau ... atau N". Sebagai bentuk lain dari definisi logika dalam
kata-kata dapat digunakan suatu tabel logika atau tabel kebenaran
(truth table) yang mengandung daftar dari semua harga masukan yang
mungkin serta keluaran yang berkaitan.
Kebanyakan rangkaian digital menggunakan dioda dan transistor
sebagai saklar untuk mengubah dari satu peringkat tegangan ke
peringkat yang lain. Bila kita menganalisa rangkaian digital, kita
menentukan apakah suatu tegangan rendah atau tinggi. Harga besar
atau nilai tepatnya adalah tidak penting, sepanjang tegangan
tersebut dapat dibedakan sebagai rendah atau tinggi.
Dalam rangkaian digital tegangan rendah atau tinggi seringkali
dinyatakan masing-masing sebagai 0 dan 1. Sebagai contoh, dalam
gerbang OR peringkat masukanya adalah salah satu 2 V atau 10 V,
rendah atau tinggi. Jika kita anggap 0 menyatakan 2 V dan 1
menyatakan 10 V, dapat dibuat sebuah tabel kebenaran yang ekuivalen
dengan 0 dan 1. Masalahnya adalah kita dapat menggunakan
tegangan-tegangan sebenarnya, atau kita dapat menggunakan 0 atau 1
untuk menyatakan rendah atau tinggi; dalam kedua hal tersebut
gerbang OR memberikan keluaran tinggi pada saat salah satu atau
semua masukannya tinggi.
Tabel 5. Tabel kebenaran
ABY
2V2V2V
2V10V10V
10V2V10V
10V10V10V
Dalam pada itu, banyaknya baris horisontal dalam sebuah tabel
kebenaran sama dengan 2n dengan n adalah banyaknya masukan. Bagi
sebuah gerbang dua masukan, tabel kebenarannya mempunyai 22 atau 4
baris. Sebuah gerbang tiga masukan akan memiliki tabel kebenaran
dengan 23 atau 8 baris, sedang gerbang empat masukan akan
menghasilkan 24 atau 16 baris, dan seterusnya. Sebuah gerbang OR
dapat mempunyai berapapun banyaknya masukan yang diinginkan. Enam
buah dioda menghasilkan sebuah gerbang OR enam masukan, sembilan
buah dioda menghasilkan sebuah gerbang OR sembilan masukan.
Berapapun banyaknya masukan, operasi suatu gerbang OR dapat
diringkas menjadi: satu atau beberapa masukan tinggi menghasilkan
keluaran tinggi.
Dalam aljabar biasa, bila kita memcahkan suatu persamaan untuk
mencari akar-akarnya, kita dapat memperoleh bilangan nyata positif,
negatif, pecahan, dan sebagainya. Dengan perkataan lain, himpunan
bilangan dalam aljabar biasa adalah tak berhingga. Dalam aljabar
Boole, bila kita memecahkan suatu persamaan, kita memperoleh 0 atau
1 tidak mungkin diperoleh jawaban lain karena himpunan bilangannya
hanya mencakup angka biner 0 dan 1.
Perbedaan lain yang sangat mengherankan dalam aljabar Boole
adalah makna tanda ( (dalam beberapa buku yang lain tanda +). Untuk
menjelaskan makna ini, tinjaulah Gambar 16 yang memperlihatkan
sebuah gerbang OR dua masukan dengan masukan A dan B dan keluaran
Y.
A Y
B
Gambar 16. Lambang logika gerbang OR dua masukan
Dalam aljabar Boole tanda ( melambangkan kerja suatu gerbang OR
dengan perkataan lain, suatu gerbang OR dapat dipandang sebagai
suatu piranti yang menggabungkan A dengan B untuk memberikan hasil
Y. Dalam aljabar Boole bila kita menuliskan Y = A ( B, dimaksudkan
bahwa A dan B akan digabungkan dengan cara yang sama seperti
gerbang OR menggabungkan A dan B. Ekspresi Y = A ( B dibaca sebagai
Y sama dengan A atau B. Sekali lagi tanda ( tidak menyatakan
penambahan biasa. Tanda ini menyatakan penambahan OR yang
kaidah-kaidahnya diberikan oleh tabel kebenaran OR pada Tabel
6.
Tabel 6. Tabel kebenaran untuk gerbang OR
ABY = A ( B
000
011
101
111
Untuk membiasakan diri dengan penambahan OR, maka perlu dicari
nilai Y = A ( B bagi keempat kondisi masukan.
i).A = 0, B = 0, diperoleh
Y = A ( B = 0 ( 0 = 0
ii).A = 0 dan B = 1, ini memberikan
Y = A ( B = 0 ( 1 = 1
iii).A = 1 dan B = 0, hal ini seperti (ii)
Y = A ( B = 1 ( 0 = 1
iv).A = 1 dan B = 1, diperoleh
Y = A ( B = 1 ( 1 = 1
Dalam aljabar Boole tanda ( menyatakan penambahan OR, jenis
penambahan yang dilakukan oleh gerbang OR.
Jika diingat bahwa A, B dan C hanya dapat mengambil harga 0 atau
1, maka dengan mudah dapat dibuktikan persamaaan-persamaan dalam
aljabar Boole berikut ini yang berkaitan dengan operasi OR (():
A ( B ( C = (A ( B) ( C = A ( (B ( C)(3)
A ( B = B ( A(4)
A ( A = A(5)
A ( 1 = 1(6)
A ( 0 = A(7)Persamaan-persamaan ini dapat dibuktikan dengan
menggunakan definisi dari operasi OR, tabel logikanya, atau urutan
cara kerja rangkaian OR seperti diberikan di atas.
b. Gerbang AND
Gerbang AND merupakan jenis rangkaian digital dasar yang lain.
Gerbang ini memberikan keluaran hanya bila semua masukan hadir.
Dengan menggunakan dioda ideal dan membatasi semua tegangan pada
salah satu 0 V atau 1 V, terdapat empat hal kemungkinan untuk
dianalisa:
(i).A = 0 dan B = 0, karena kedua batere masukan pada 0 V, maka
dapat dipandang sebagai hubung singkat. Batere 1 V mengalirkan arus
konvensional dalam arah ke masing-masing segitiga dioda; oleh
karena itu, kedua dioda hidup dan terhubung singkat. Dengan
demikian Y = 0
(ii).A = 0 dan B = 1, dioda atas berprategangan maju, keluaran
masih terhubung singkat ke tanah melalui dioda atas dan batere.
Oleh karenanya Y = 0
(iii).A = 1 dan B = 0, akibat simetri, argumennya sama dengan
argumen untuk hal (ii), dan Y = 0
(iv).A = 1 dan B = 1, arus tidak mengalir dalam rangkaian.
Dengan tiadanya arus pada R, tidak terdapat jatuhan tegangan pada
R, sehingga Y pastilah sama dengan 1 V.
Seperti biasanya kita dapat meringkaskan kerja sebuah rangkaian
dengan sebuah tabel kebenaran. Penggunaan 0 V dan 1 V hanyalah
untuk memudahkan analisa. Kita dapat menggunakan dua nilai tegangan
yang berlainan yang manapun.
Tabel 7. Tabel kebenaran untuk gerbang AND
ABY = A ( B
000
010
100
111
Dengan demikian suatu gerbang AND mempunyai dua atau lebih dari
dua masukan dan keluaran tunggal dan cara operasinya mengikuti
definisi sebagai berikut: keluaran dari suatu gerbang AND menempati
keadaan 1 jika dan hanya jika semua masukan menempati keadaan 1
(Jacob Millman: 1993; 153). Simbol untuk gerbang AND diberikan pada
Gambar 17 bersama dengan hubungan aljabar Boole untuk gerbang
tersebut. Persamaannya harus dibaca "Y sama dengan A dan B dan ...
dan N.
A
B Y
N
Gambar 17. Simbol logika untuk gerbang AND n masukan
Tanda ( (perkalian) mempunyai makna baru dalam aljabar Boole.
Untuk memahami makna ini, tinjaulah gerbang AND pada Gambar 17,
gerbang AND dipandang sebagai suatu piranti yang menggabungkan A
dan B untuk memberikan hasil Y. Maka dalam aljabar Boole dapat
ditulis
Y = A ( B
dengan maksud bahwa A dan B akan digabungkan dengan cara yang
sama seperti gerbang AND menggabungkan A dan B untuk menghasilkan
Y. Untuk mempraktekkannya, maka harus diselesaikan Y = A ( B bagi
keempat kemungkinan hal yang ada:
(i).Bila A = 0 dan B = 0, ini memberikan
Y = A ( B = 0 ( 0 = 0
Hal ini karena gerbang AND menggabungkan 0 dengan 0 untuk
memberikan 0.
(ii).Bila A = 0 dan B = 1, diperoleh
Y = A ( B = 0 ( 1 = 0
Hal ini karena gerbang AND menggabungkan 0 dengan 1 untuk
memberikan 0
(iii).Bila A = 1 dan B = 0, hal ini seperti hal (ii)
Y = A ( B = 1 ( 0 = 0
(iv).Bila A = 1 dan B = 1, ini memberikan
Y = A ( B = 1 ( 1 = 1
Keempat hasil ini mudah untuk diingat. Walaupun tanda ( tidak
menyatakan perkalian dalam pengertian biasa, namun hasil perkalian
AND sama seperti pada perkalian biasa.
Misalkan sebuah gerbang AND mempunyai tiga masukan. Dan misalkan
bahwa kedua peringkat tegangan berlainan 0 V dan 10 V. Jika suatu
masukan berada pada 0 V (diketanahkan), dioda yang terhubung ke
masukan tersebut berprategangan maju atau terhubung singkat, oleh
karena itu keluaran akan terhubung singkat ke tanah. Dengan
demikian, Y = 0, bila salah satu masukannya adalah 0. Satu-satunya
cara untuk memperoleh Y = 10 V adalah dengan membuat semua masukan
secara serentak sama dengan 10 V. Dalam hal ini tidak ada arus
melalui R, dan keluaran meningkat ke nilai tegangan penyedia. Jika
0 dianggap menyatakan tegangan rendah dan 1 menyatakan tegangan
tinggi, diperoleh tabel kebenaran pada Tabel 8.
Tabel 8. Tabel kebenaran logika untuk gerbang AND tiga
masukan
ABCY = (A(B(C)
0000
0010
0100
0110
1000
1010
1100
1111
Gerbang AND dapat memiliki berapapun masukan yang diinginkan.
Sebagai contoh, 8 buah dioda menghasilkan sebuah gerbang AND
delapan masukan, 16 dioda menghasilkan gerbang AND enam belas
masukan. Berapapun banyaknya masukan yang dimiliki oleh sebuah
gerbang AND, semua masukan harus tinggi untuk mendapatkan keluaran
yang tinggi.
Dengan mengingat bahwa A, B dan C hanya dapat mengambil harga 0
atau 1, kita dapat membuktikan persamaan-persamaan berikut ini yang
menyangkut operasi AND :
A ( B ( C = (A ( B) ( C = A ( (B ( C)(8)
A ( B = B ( A(9)
A ( A = A(10)
A ( 1 = A(11)
A ( 0 = 0(12)
A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C)(13)A ( (A ( B) = A(14)
A ( (B ( C) = (A ( B) ( (A ( C)(15)Persamaan-persamaan ini dapat
dibuktikan dengan menggunakan definisi dari operasi AND, tabel
logikanya, atau cara operasi rangkaian AND yang dibahas di
atas.
c. Gerbang NOT
Jenis rangkaian digital yang lain adalah gerbang NOT, yang juga
disebut inverter (pembalik). Yang dilakukan hanyalah membalik
sinyal masukan. Jika masukan adalah tinggi, maka keluaran adalah
rendah, dan sebaliknya. Rangkaian NOT mempunyai satu masukan dan
satu keluaran dan melakukan operasi peniadaan (negation) sesuai
dengan definisi berikut: keluaran dari rangkaian NOT akan mengambil
keadaan 1 jika dan hanya jika masukannya tidak mengambil keadaan 1
(Jacob Millman: 1993; 153).
Jika tegangan masukan cukup tinggi, transistor menjadi jenuh,
sehingga keluaran adalah rendah. Sebaliknya, jika tegangan masukan
cukup rendah transistor terpancung, dan tegangan keluaran adalah
tinggi. Simbol gerbang NOT dan persamaan Boole untuk operasi
peniadaan diberikan pada Gambar 18(c). Persamaannya harus dibaca "Y
sama dengan bukan A atau Y sama dengan komplemen dari A".
A Y = A( A Y = A( A Y Y = A( (a) (b) (c)
Gambar 18. Peniadaan (pembalikan) logika pada (a) masukan dan
(b) keluaran, dari suatu blok (sistem) logika; (c) simbol yang
sering digunakanuntuk suatu gerbang NOT dan persamaan Boolean yan
bersangkutan.
Tanda negasi (negation) pada masukan dari suatu kotak logika
ditunjukkan dalam Gambar 18(a) dan tanda serupa pada keluarannya
ditunjukkan pada Gambar 18(b). Pada Gambar 18(c), masukan A ke
gerbang NOT dibalik. Jika 0 masuk, 1 keluar, dan jika 1 masuk, maka
0 keluar. Dalam aljabar Boole ekspresi
Y = A(
berarti mengubah A dengan cara yang sama seperti sebuah gerbang
NOT mengubah A. Tanda aksen di atas berarti mengubah atau
mengkomplemenkan kuantitas yang bersangkutan ke dalam angka
alternatif dengan perkataan lain,
Bila A = 0, maka Y = A( = 0( = 1, karena NOT 0 adalah 1
Bila A = 1, maka Y = A( = 1( = 0, karena NOT 1 adalah 0.
Tabel kebenaran bagi rangkaian NOT adalah:
Tabel 9. Tabel kebenaran logika untuk gerbang NOT
Masukan (A)Keluaran (Y)
01
10
Suatu rangkaian yang dapat melaksanakan operasi peniadaan logika
disebut rangkaian NOT. Atau berhubung dengan tanda keluaran yang
terbalik terhadap masukannya dalam operasi ini, rangkaian ini
dikenal juga sebagai suatu pembalik atau inverter. Keluaran dari
pembalik secara relatif berharga lebih positif jika dan hanya jika
masukannya relatif kurang positif. Suatu sistem biner hanya
mengenal dua tingkat tegangan, V(0) dan V(1). Keluaran serta
masukan dari suatu pembalik (inverter) harus bekerja antara kedua
harga tegangan tersebut. Bila masukannya berada pada V(0), maka
keluarannya harus ada pada V(1), dan sebaliknya. Jadi secara idel,
rangkaian NOT membalik tanda suatu sinyal, namun tetap
mempertahankan bentuknya serta tingkat biner yang digunakan dalam
operasi sinyal masukan.
Rangkaian ini disebut rangkaian NOT (tidak) karena keluaran
tidak sesuai dengan masukannya. Kadang-kadang digunakan tanda bar
sebagai pengganti prim/aksen untuk menyatakan operasi NOT,
yakni:
Y = (A dapat digunakan sebagai pengganti dari Y = A(Namun dalam
penelitian ini, penulis lebih akrab dengan menggunakan tanda
prim/aksen (() untuk menyatakan suatu operasi NOT.
Operasi OR, AND, dan NOT pada aljabar Boole mungkin dirasakan
aneh. Mengapa dibuat operasi-operasi baru seperti ini? Karena
operasi-operasi ini menjelaskan gerbang OR, AND, dan NOT, suatu
unsur pembangun sistem-sistem logika yang lebih rumit yang tidak
dibahas dalam penelitian ini. Dengan aljabar Boole seseorang atau
sebuah perusahaan dapat merancang sistem digital secara lebih
mudah.
d. Gerbang XOR
Gerbang XOR berasal dari kata exclusive-or, dan sering dibaca
sebagai OR eksklusif. Suatu gerbang OR eksklusif memenuhi definisi
sebagai berikut: keluaran dari suatu OR eksklusif dengan dua
masukan akan sama dengan keadaan 1 jika satu dan hanya satu masukan
yang sama dengan keadaan 1 (Jacob Millman: 1993; 163).
A
Y = A ( B B
Gambar 19. Simbol logika untuk rangkaian XOR
Gambar 19 memperlihatkan simbol standar sebuah gerbang OR
eksklusif. Gerbang ini mempunyai dua masukan dan satu keluaran.
Masing-masing masukan menuju ke sebuah inverter. Keluaran-keluaran
inverter ini adalah A( dan B(. Seperti terlihat pada Gambar 20, A(
dan B menuju ke gerbang AND atas, sehingga keluarannya adalah (A( (
B). Demikian pula, (A ( B() keluar dari gerbang AND bawah. Gerbang
OR eksklusif mempunyai masukan-masukan (A ( B() dan (A( ( B),
sehingga keluaran akhir adalah Y = (A ( B() ( (A( ( B).
A A( B
Y = (A(B() ( (A((B)
A
B B(Gambar 20. Gerbang OR eksklusif
Akan dianalisa rangkaian pada Gambar 19 yang disebut sebagai
gerbang OR eksklusif, yakni dengan mencari nilai Y bagi keempat
kondisi yang mungkin
(i).Bila A = 0 dan B = 0,
Y = (0 ( 0() ( (0( ( 0) = (0 ( 1) ( (1 ( 0) = 0 ( 0 = 0
(ii).Bila A = 0 dan B = 1,
Y = (0 ( 1() ( (0( ( 1) = (0 ( 0) ( (1 ( 1) = 0 ( 1 = 1
(iii).Bila A = 1 dan B = 0,
Y =(1 ( 0() ( (1( ( 0) = (1 ( 1) ( ( 0 ( 0) = 1 ( 0 = 1
(iv).Bila A = 1 dan B = 1,
Y = (1 ( 1() ( (1( ( 1) = (1 ( 0) ( (0 ( 1) = 0 ( 0 = 0
Hasil ini diringkaskan dalam tabel kebenaran pada Tabel 10.
Tabel 10. Tabel kebenaran untuk gerbang XOR
MasukanKeluaran
ABY
000
011
101
110
Alasan bagi nama OR eksklusif adalah sebagai berikut: keluaran 1
terjadi bila A atau B adalah 1, namun tidak kedua-duanya.
Dinyatakan secara lain, gerbang OR eksklusif mempunyai keluaran 1
hanya jika masukan-masukannya berbeda, keluarannya adalah 0 bila
kedua masukannya sama.
Gerbang XOR memberikan kepada kita sebuah fungsi baru untuk
dipergunakan. Akan digunakan lambang ( untuk menyatakan fungsi ini.
Untuk menjelaskan cara kerja gerbang XOR, dapat dituliskan
Y = A ( BBilamana kita melihat Y = A ( B, kita ketahui bahwa
keluaran diberikan oleh tabel kebenaran pada Tabel 10.
Lambang logika bagi gerbang XOR dua masukan diberikan pada
Gambar 19 bersama hubungan aljabar Boole untuk rangkaian tersebut.
Ketika melihat lambang ini, maka harus diingat bahwa masukan harus
berbeda untuk mendapatkan keluaran yang tinggi.
e. Gerbang NAND
Kata NAND merupakan kependekan dari kata NOT-AND, yang merupakan
ingkaran dari gerbang AND (K.F. Ibrahim: 1996; 25) Jadi rangkaian
AND yang dibalik disebut suatu gerbang NOT-AND, atau NAND. Gerbang
ini mempunyai beberapa masukan dan satu keluaran. Sistem logika
biasanya melibatkan lebih dari satu gerbang yang membentuk suatu
kombinasi untuk melakukan suatu fungsi tertentu. Kombinasi
sederhana dari sebuah gerbang AND dan sebuah gerbang NOT akan
membentuk gerbang NAND yang disajikan pada Gambar 21. Misalkan A
dan B adalah masukan-masukan yang menuju gerbang AND, maka
keluarannya adalah A ( B, kemudian masuk menuju gerbang NOT
sehingga keluaran akhirnya adalah (A ( B)(.
A
B (A(B) (A(B)(
Gambar 21. Contoh sederhana gerbang kombinasi AND dan NOT
Untuk menganalisa suatu gerbang NAND maka harus dicari nilai (A
( B)( bagi keempat kondisi masukan.
(i).Bila A = 0 dan B = 0, maka
Y = (A ( B)( = (0 ( 0)( = 0( = 1
(ii).Bila A = 0 dan B = 1, maka
Y = (A ( B)( = (0 ( 1)( = 0( = 1
(iii).Bila A = 1 dan B = 0, maka
Y = (A ( B)( = (1 ( 0)( = 0( = 1
(iv).Bila A = 1 dan B = 1, maka
Y = (A ( B)( = (1 ( 1)( = 1( = 0
Hasil-hasil ini diringkaskan dalam Tabel 11.
Tabel 11. Tabel logika untuk gerbang NAND
MasukanKeluaran
ABY
001
011
101
110
Dengan demikian gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila
semua masukan pada keadaan 1. Sebaliknya, jika ada sebuah logika 0
pada sebarang masukan maka keluarannya akan bernilai 1. Dinyatakan
secara lain, gerbang NAND mempunyai keluaran 1 hanya bila salah
satu atau semua masukan bernilai 0, dan keluarannya adalah 1 jika
dan hanya jika semua masukan pada keadaan 1. Simbol logika NAND
dengan persamaan Boolean untuk rangkaian tersebut diperlihatkan
pada Gambar 22 dibawah ini:
A
Y = (A ( B)( B
Gambar 22. Simbol logika dan persamaan Boole untuk gerbang
NAND
dua masukan
Bilamana kita melihat lambang ini, maka perlu diingat cara
kerjanya, yaitu salah satu atau semua masukan harus rendah untuk
mendapatkan keluaran yang tinggi.
f.Gerbang NOR
Suatu gerbang OR yang diikuti oleh suatu pembalik pada
keluarannya disebut gerbang NOT-OR atau NOR (Jacob Millman: 1993;
170) Jadi gerbang NOR merupakan ingkaran dari gerbang OR. Gerbang
NOR akan memberikan keluaran 0 jika salah satu dari masukannya
bernilai 1, jika diinginkan keluaran bernilai 1 makasemua masukan
harus dalam keadan 0. Simbol logika untuk gerbang NOR dan persamaan
Boole untuk gerbang tersebut diperlihatkan pada Gambar 23 dan tabel
logikanya pada Tabel 12.
A
