Aplikasi PD Tingkat SatuA. Trayektori Ortogonal
DefinisiDiketahui keluarga kurva pada bidang XY yang dinyatakan
oleh persamaan dengan parameter. Kurva yang memotong tegak lurus
kaurva-kurva tersebut dinamakan trayektori orthogonal dari kurva .
Contoh: 1. Tentukan keluarga trayektori dari Jawab:Langkah 1.
Persamaan deferensial untuk keluarga kurva , yaitu
Langkah 2. Distribusi untuk memperoleh persamaan deferensial
implicit:
Langkah 3. Persamaan diferensial untuk keluarga orthogonal
yaitu:
Langkah 4. Diselesaikan persamaan diferensial
baru(terpisahkan):
Jadi, persamaan trayektori orthogonal untuk keluarga kurva
adalah
2. Tentukan keluarga trayektori orthogonal dari kurva
Jawab:Langkah 1. Persamaan diferential untuk keluarga kurva :
Langkah 2. Disubtitusikan , diperoleh
Langkah 3. Persamaan diferensial untuk keluarga orthogonal
yaitu:
Langkah 4. Diambil variable baru , maka dipunyai
Karena itu diperoleh
Penyelesaian konstantanya yaitu yang memberikan . Penyelesaian
tak konstan dicari sebagai berikut:
Dengan metode integrasi funsi rasional, dipunyai:
Dengan . Dengan mensubtitusikan kembali , diperoleh persamaan
trayektori orthogonal untuk keluarga kurva
B. Pertumbuhan populasi DefinisiDiandaikan p(t) adalah banyaknya
individu pada suatu populasi yang mempunyai laju kelahiran dan
kematian konstan berturut-turut dan . Dinamika suatu populasi dapat
digambarkan oleh persamaan diferensial.
Dengan Contoh1. Pada suatu kultur bakteri tertentu, banyaknya
bakteri mengalami kenaikan enam kali lipat dalam 10 jam. Berapa
lama akan diperoleh populasi menjadi dua kali
lipat?Jawab:Dimisalkan P(t) aalah banyaknya bakteri pada saat t,
maka
Dinotasikan adalah banyaknya bakteri pada saat t=0, maka
Karena , maka dipunyai
Karena itu
Selanjutnay untuk , maka dipunyai
Dan karena itu
2. Diandaikan bahwa ketika danau diisi dengan ikan, laju
kelahiran dan kematian berturut-turut dan berbanding terbalik
dengan a. Tunjukkan bahwa
b. Jika dan setelah 6 bulan terdapat 169 ikan di dalam danau,
maka berapakah banyaknya ikan dalam danau tersebut setelah 1
tahun?Jawab:a. Waktu diukur dalam bualn. Karena dan berbanding
terbalik dengan maka terdapat dan sehingga
Dari persamaan diperoleh
Dengan . Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum
Jika , maka dari persamaan ini diperoleh
Karena itu
b. Jika dan , maka dari persamaan diperoleh
Karena itu
