APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE

DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK

MENGOPTIMALKAN HASIL PRODUKSI PADA PABRIK

RAMAH JAYA BAKERY

SKRIPSI

SITI AISAH

090803020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

Universitas Sumatera Utara

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE

DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK

MENGOPTIMALKAN HASIL PRODUKSI PADA PABRIK

RAMAH JAYA BAKERY

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai untuk

gelar Sarjana Sains

SITI AISAH

090803020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013


PERSETUJUAN

Judul : APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN

METODE DUALITAS DAN ANALISIS

SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN

HASIL PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH

JAYA BAKERY

Kategori : SKRIPSI

Nama : SITI AISAH

Nomor Induk Mahasiswa : 090803020

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di

Medan, September 2013

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Syahril Efendi, S.Si, M.I.T . Drs. Rosman Siregar, M.Si.

NIP. 196711101996021001 NIP. 196101071986111001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua.

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D.

NIP. 196209011988031002


PERNYATAAN

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN

ANALISIS SENSITIVITAS UNTUK MENGOPTIMALKAN HASIL

PRODUKSI

PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.


Siti Aisah

090803020


PENGHARGAAN

.

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan

Penyayang, dengan limpah rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan penyusunan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa baik isi maupun cara penulisan dan penyusunan

skripsi yang berjudul Aplikasi Program Linier dengan Metode Dualitas dan

Analisis Sensitivitas untuk Mengoptimalkan Hasil Produksi pada Pabrik

Ramah Jaya Bakery. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis

sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada

semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan

skripsi ini, ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada :

1. Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku dosen pembimbing I dan Bapak

Syahril Efendi, S.Si, M.IT selaku dosen pembimbing II yang telah banyak

memberikan dukungan moral, motivasi, waktu dan ilmu pengetahuan bagi

penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D dan Ibu Dra.

Mardiningsih, M.Si selaku ketua dan sekretaris Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera

Utara.

3. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

4. Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang,

M.Kom selaku dosen penguji saya yang memberikan masukan untuk

menyempurnakan skripsi ini.

5. Semua Dosen di Departemen Matematika FMIPA USU beserta staf

pegawai di FMIPA USU.

6. Staf seluruh pegawai pabrik Rahma Jaya Bakery yang telah banyak

membantu dan meluangkan waktu untuk berdiskusi mengenai data yang

penulis butuhkan.

7. Kepada kedua orang tua tercinta penulis, abah Syamsul, dan ibunda

Rusdiana serta saudara-saudara penulis Sarifah Aini, Muhammad Yusuf,

Zulkifli, Sarimah Yunun, Muhammad Rafly dan teman dekat penulis yang


selama ini telah memberikan dorongan, semangat, motivasi, kasih sayang

dan do’a yang diberikan kepada saya.

8. Serta para sahabat-sahabat Defita Sari, Juliarti Hardika S.Si, Mardhatillah,

Desi Ratna Sari, Sari C. Kembaren, Siti Rayani Simatupang, Wiwit

Widyawati, Ida Yanti Hasibuan, Yuan Annisa, Lintang Gilang Pratama,

Rahmadhani Siagian, Effendi, Syukri Jundi, Yudhana Jumaindra, Bayu

Syahputra dan seluruh teman-teman Jurusan Matematika khususnya

stambuk 2009 yang telah banyak memberikan masukan dan do’a nya

penulis ucapkan terima kasih.

Akhir kata, penulis tidak dapat melakukan banyak hal atas kebaikan, bantuan dan

do’a yang selama ini diberikan sampai saat ini. Semoga segala yang telah

diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih lagi dari Tuhan Yang

Maha Esa dan semoga tulisan yang dibuat berguna bagi pembaca semua.


Penulis,

Siti Aisah




PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY

ABSTRAK

Hasil pengamatan yang dilakukan pada pabrik Roti Ramah Jaya Bakery

ditemukannya permasalahan yaitu pabrik belum mampu mengoptimalkan jumlah

produksi untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal. Oleh karena itu, dalam

tulisan ini akan membahas bagaimana menganalisis hasil produksi yang optimal

guna mendapatkan keuntungan yang maksimal. Analisis jumlah produksi yang

digunakan adalah program linier dengan metode dualitas dan melakukan analisis

sensitivitas terhadap hasil yang optimal. Kegunaan analisis sensitivitas ini adalah

seberapa besar parameter nilai optimal yang diperoleh. Perhitungan jumlah

produksi optimal yang didapat rata-rata adalah roti rasa kelapa 3150 buah, roti

rasa cokelat 9900 buah dan roti rasa melon 1350 buah.

Kata kunci : produksi, program linier, dualitas, analisis sensitivitas.




PRODUKSI PADA PABRIK RAMAH JAYA BAKERY

ABSTRACT

The results of observation made at the Friendly Jaya Bakery discovery issues that

have not been able to optimize plant production quantities to gain maximum

profit. Therefore, in this paper will discuss how to analyze the results so that the

optimal production gains also maximal. Analysis of the amount of production that

is used is a linear program with a duality method and perform sensitivity analysis

on the optimal result. Usefulness of sensitivity analysis in this paper is how the

optimal values of the parameters obtained. Calculation of the optimal amount of

bread production obtained average is 3150 coconut, 9900 chocolate flavor and

1350 melon flavor.

Keywords : production, linear programming, duality, sensitivity analysis.


DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Bab 1. Pendahuluan

1.1.Latar Belakang 1

1.2.Perumusan Masalah 2

1.3.Batasan Masalah 2

1.4.Tujuan Penelitian 3

1.5.Kontribusi Penelitian 3

1.6.Tinjauan Pustaka 3

1.7.Metodologi Penelitian 6

Bab 2. Landasan Teori

2.1. Pemodelan pada Riset Operasi 7

2.2. Program Linier 7

2.2.1. Sifat Dasar Program Linier 8

2.2.2. Karakteristik-karakteristik dalam Program Linier 8

2.3. Metode Simpleks 9

2.4. Teori Dualitas 10

2.5. Metode Dual Simpleks 14

2.6. Analisis Sensitivitas 19

Bab 3. Metode Penelitian

3.1. Pengumpulan Data 30

3.1.1. Jenis Rasa Roti 30

3.1.2. Bahan-bahan Utama 31

3.1.3. Uraian Proses Produksi 31

3.1.4. Data Biaya Produksi 33

3.1.5. Data Keuntungan Produksi 34

3.2. Pengolahan Data 35

Bab 4. Hasil dan Pembahasan

4.1. Variabel Keputusan 36

4.2. Perumusan Fungsi Tujuan 36

4.3. Perumusan Fungsi Kendala 36

4.4. Pengolahan Data 37 4.4.1. Memodelkan Permasalahan 37

4.4.2. Mengubah Bentuk Program Linier 38

Ke Model Bentuk Dual

4.4.3. Mencari Solusi Optimal dengan Tabel Simpleks 39

4.4.4. Analisis Sensitivitas 51


4.4.4.1. Menganalisis Perubahan pada Koefisien 51

Fungsi Tujuan

4.4.4.2. Menganalisis Perubahan pada Nilai 59

Kuantitas Batasan

Bab 5. Kesimpulan dan Saran

5.1. Kesimpulan 65

5.2. Saran 65

Daftar Pustaka 66


DAFTAR TABEL

Nomor Tabel Judul Halaman

2.1. Koefisien Z pada Nilai Optimal 11

2.2. Hubungan Primal-Dual 13

2.3. Contoh Studi Kasus 15

2.4. Primal Optimal 16

2.5. Dual Optimal 18

2.6. Hasil Optimal dengan 1601C 23


2.8. Simpleks Awal 26

2.9. Simpleks Akhir 26

3.1. Jenis Rasa Roti 30

3.2. Nama-nama Bahan Utama 31

3.3. Uraian Waktu Proses Produksi 33

3.4. Biaya Bahan Produksi Per Adonan 33

3.5. Keuntungan Roti Per Adonan 34

4.1. Iterasi 0 (masalah primal) 39





4.6. Optimal Dual 46




4.10. Simpleks Awal Analisis Sensitivitas 60

4.11. Simpleks Akhir Analisis Sensitivitas 61


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dewasa ini perkembangan dunia industri semakin maju, hal itu terbukti dengan

banyaknya industri-industri baru yang mengelola berbagai macam produk. Salah

satunya adalah industri dalam bidang makan. Dalam hal ini membuat kebutuhan

akan faktor-faktor produksi menjadi bertambah banyak.

Banyaknya faktor produksi tersebut membuat sautu pabrik harus membuat

keputusan yang tepat mengenai cara mengalokasikan sumber daya agar produksi

roti tetap berjalan untuk menghasilkan produksi yang optimal sesuai permintaan

pasar dan mencapai tujuan tertentu. Sumber daya produksi yang dimaksud antara

lain, bahan baku, tenaga kerja, mesin, dan lain-lain. Dimana setiap sumber daya

produksi memiliki kapasitas yang terbatas dan membutuhkan biaya. .

Pabrik Ramah Jaya merupakan sebuah pabrik yang bergerak dalam bidang

industri makanan, yaitu roti. Berdasarkan informasi yang diperoleh dari pihak

pabrik, mereka tidak tahu seberapa besar jumlah produksi untuk mendapatkan

laba maksimal. Hal itu disebabkan antara lain ketidakpastian permintaan pasar.

Terkadang permintaan yang tidak seimbang dengan ketersedian sumber daya yang

ada pada pabrik tersebut menyebabkan laba yang diperoleh pabrik tidak menentu

dan sering tidak sesuai dengan yang diharapkan. Permasalahan yang biasa

dihadapi dalam pabrik adalah ketidakmampuan pabrik dalam menentukan jumlah

produksi yang optimal. Hal ini menyebabkan pabrik mengalami kekurangan dan

kelebihan produksi yang menyebabkan pabrik tidak dapat mencapai laba

maksimal. Maka dari itu diperlukan perencanan jumlah produksi guna

mendapatkan keuntungan yang maksimal dan biaya yang minimum.


Salah satu analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan

alokasi sumber adalah metode program linier. Program Linier merupakan metode

atau teknik matematika yang digunakan untuk masalah membantu manager dalam

pengambilan keputusan. Dalam mencari solusi optimalnya, masalah program

linier akan diselesaikan dengan cara metode dualitas dengan terlebih dahulu

memformulasikan masalah program linier ke dalam metode dualitas.

Setelah ditemukan penyelesaian yang optimal dari suatu masalah program

linier dari cara tersebut, maka langkah selanjutnya adalah melakukan perhitungan

dengan menggunakan analisis sensitivitas guna untuk mengetahui seberapa besar

perkiraan parameter-parameter yang dapat diubah dan dampak apa yang terjadi

pada solusi model tersebut sehingga mendapatkan hasil yang optimal. Maka dari

itu penulis memilih judul “Aplikasi Program Linier dengan Metode Dualitas

dan Analisis Sensitivitas untuk Mengoptimalkan Hasil Produksi Pada Pabrik

Ramah Jaya Bakery ”.

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam tulisan ini adalah bagaimana cara mengoptimalkan

jumlah produksi guna mendapatkan keuntungan maksimal dengan biaya terbatas

dengan menerapkan program linier yang penyelesaiannya menggunakan metode

dualitas yaitu primal dan dual serta melakukan analisis sensitivitas terhadap nilai

optimal yang diperoleh.

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang ada dapat diselesaikan dengan baik dan pembahasan menjadi

lebih terarah, maka akan dilakukan beberapa pembatasan masalah sebagai berikut:

1. Analisis yang dilakukan dalam menentukan jumlah produksi berdasarkan

pada harga pokok produksi, bahan baku dan waktu produksi.


2. Dalam menyelesaikan produksi, harga/biaya bahan baku dianggap

konstan, tidak dipengaruhi oleh waktu dan faktor-faktor lain.

3. Penyelesaian dilakukan dengan metode dualitas dan melakukan analisis

sensitivitas terhadap nilai optimal yang telah diperoleh.

4. Pengolahan data menggunakan bantuan software QM Windows 2.0.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan kebijakan optimal dalam masalah

memproduksi roti pada Pabrik Ramah Jaya Bakery dengan tujuan

memaksimalkan keuntungan.

1.5 Kontribusi Penelitian

Sesuai dengan tujuan penelitian di atas maka kontribusi dari penelitian ini adalah

mendapatkan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh berdasarkan hasil

produksi yang optimal dan bagi perusahaan itu sendiri sebagai gambaran serta

petunjuk untuk proses pengambilan keputusan dalam masalah pemasaran jumlah

produksi dalam memperoleh keuntungan yang maksimal.

1.6 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil

beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.

P. Siagian (2006) mengemukakan bahwa tiap problem program linier, disebut

problem primal, mempunyai masalah sehubungan secara tunggal yang dinamakan

masalah dual. Kedua masalah ini berhubungan sangat erat sekali dimana masalah

yang satu dibentuk dari masalah yang lain, sehingga :


a. Keduanya menggunakan koefisien (data) yang sama meskipun dengan urutan

yang berbeda.

b. Keduanya mempersoalkan sumber-sumber yang sama.

c. Jawab optimal dari yang satu menghasilkan jawab optimal bagi yang lain.

Karena itu, bila masalah primal berbentuk maksimum maka masalah dualnya

berbentuk minimum, demikian sebaliknya.

Secara umum dapat ditulis :

I. Primal : Max. n

j

jj xCf1

Dengan batasan n

j

ijij bxa1

, mi ,...,2,1

,0jx nj ,...,2,1

II. Dual : Min. m

i

ii ybg1

Dengan batasan n

i

jiij Cya1

, nj ,...,2,1

0iy , mi ,...,2,1

Keterangan :

jC : Laba per satuan aktivitas j .

jx : Banyaknya produk j .

ib : jumlah sumber i yang tersedia ( mi ,...,2,1 )

iy : Nama variabel baru.


Parlin Sitorus (1997) mengemukakan bahwa hubungan antara program

linier primal dan dual (dalam proses konversi model promal ke dalam model

dualitas) dapat dilihat pada tabel dibawah ini:

No Item

Model

Primal dual

1 Fungsi tujuan Memaksimalkan

Meminimalkan

Meminimalkan

Memaksimalkan

2 Jumlah variabel Jumlah variabel

keputusan ( ix )

Jumlah kendala model

3 Jumlah kendala Jumlah kendala model

Jumlah variabel

keputusan ( ix )

4 Koefisien fungsi

tujuan

Nilai kontribusi fungsi

tujuan

Nilai sisi kanan kendala

5 Sumber daya tersedia Nilai sisi kanan kendala

Nilai kontribusi fungsi

tujuan

6 Koefisien matriks Koefisien teknologi

Koefisien teknologi

yang diubah

7 Tanda ketidaksamaan dan

Pangestu Subagyo (2005) mengemukakan bahwa salah satu penemuan yang

terpenting dalam perkembangan program linier sebagai alat analisa adalah konsep

dualitas dengan berbaagai manfaat yang ditimbulkannya. Penemuan ini

menyatakan bahwa setiap masalah program linier lain yang merupakan dualnya.

Hubungan antara masalah yang asli (primal) dengan dual inilah yang dapat

dipetik manfaatnya dalam berbagai hal.


1.7 Metodologi Penelitian

Dalam hal ini penulis mengadakan penelitian langsung ke Pabrik Roti adapun

metode penelitian yang dilakukan adalah :

1. Mendefinisikan dan menguraikan masalah produksi perusahaan

dengan jelas.

2. Dipilih 3 jenis rasa roti pada pabrik, yaitu rasa kelapa, rasa cokelat dan

rasa melon.

3. Pengumpulan data

Pengumpulan data yang diperoleh secara langsung dari pabrik. Adapun

data yang diperoleh adalah : Biaya Produksi, bahan baku, waktu

produksi dan keuntungan.

4. Analisis dan pengolahan data yang diperoleh diformulasikan ke dalam

bentuk program linier dan diselesaikan dengan metode dualitasa dan

melakukan analisis sensitivitas dengan bantuan software QM windows

2.0


BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Pemodelan Pada Riset Operasi

Hamdy A. Taha (2003) menuliskan bahwa dalam pemodelan riset operasi

melibatkan 3 hal yaitu variabel keputusan, fungsi tujuan, dan kendala-kendala

atau batasan-batasan. Secara umum dituliskan dalam bentuk berikut :

Maksimalkan atau minimalkan fungsi tujuan

Dengan kendala

Batasan-batasan

Pada format diatas tidak terlihat variabel keputusan, tapi sebenarnya batasan-

batasan dan fungsi tujuan itu terbentuk dari kumpulan variabel keputusan.

2.2. Program Linier

Program linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif

penggunaan terbaik atas mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk

mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan

biaya produksi. Program linier berkaitan dengan penjelesan suatu kasus dalam

dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan

linier dengan beberapa kendala.

Program linier menggunakan model matematik untuk menjelaskan

persoalan yang dihadapinya. Program merupakan sinonim untuk perencanaan

sedangkan sifat linier memberi arti bahwa seluruh fungsi matematik dalam model

ini merupakan fungsi yang linier. Dengan demikian program linier adalah

perencanaan aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu

hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel.


Suatu penyampaian masalah program linier perlu dibentuk formulasi

secara matematik dari masalah yang sedang dihadapi dengan memenuhi syarat

sebagai berikut :

1. Adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbol matematik dan

variabel keputusan ini tidak negatif.

2. Adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria

pilihan terbaik. Fungsi ini harus dibuat dalam suatu sel fungsi linier yang dapat

berupa maksimum atau minimum.

3. Adanya kendala sumber daya yang dibuat dalam satu set fungsi linier.

2.2.1. Sifat Dasar Program Linier

Program linier merupakan kategori yang sangat penting dari seluruh program

matematika. Hal ini jelas bahwa teori program linier mempengaruhi proses

pengambilan keputusan.

Suatu persoalan dikatakan sebagai persoalan program linier apabila

memenuhi kriteria berikut :

a. Tujuan yang dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier

dan fungsi ini disebut fungsi tujuan.

b. Harus mempunyai alternatif pemecahan, yaitu alternatif pemecahan yang

memuat harga fungsi tujuan menjadi optimal (maksimum atau minimum).

c. Sumber-sumber yang tersedia harus terbatas jumlahnya dan kendala-

kendala harus dinyatakan dengan ketidaksamaan linier.

2.2.2. Karakteristik-karakteristik Dalam Program Linier

Dalam membangun model dari formulasi di atas akan digunakan karakteristik-

karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier yaitu :


1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap

keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan

dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan

(untuk ongkos). Fungsi ini merupakan bentuk hubungan antara variabel

keputusan.

3. Pembatas

Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa

menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

2.3. Metode Simpleks

Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam program linier

adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode

simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi

optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara

perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks

dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya

tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).

Program linier yang melibatkan lebih dari 2 atau banyak variabel sulit

diselesaikan dengan metode grafik. Dalam keadaan ini kebutuhan metode yang

lebih umum menjadi nyata. Metode umum itu dikenal dengan nama Metode

Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan masalah Program Linier, baik

yang melibatkan dua atau lebih dari 2 variabel.


Perhatikan model Program Linier:

Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan

Fungsi pembatas :

. . . .

. . . .

dan

Jika didefinisikan:

nnmnmm

n

n

b

b

b

B

x

x

x

X

aaa

aaa

aaa

A

.

.;

.

.;

...

....

....

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk sistem

persamaan AX = B.

2.4. Teori Dualitas

Konsep dualitas merupakan perkembangan teori program linier. Hal ini sangat

diperlukan sebagai dasar interpretasi ekonomis suatu persoalan program linier.


Rumus persoalan program linier terdiri dari primal dan dual. Pemecahan

persoalan primal sekaligus juga bisa membantu menghitung pemecahan dual yang

dikehendaki dan sebaliknya.

Ketentuan untuk menuliskan bentuk dual dari suatu program linier adalah :

a. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual.

b. Koefisien ruas kanan pada primal menjadi koefisien fungsi tujuan bagi dual.

c. Kasus maksimum pada primal menjadi kasus minimum pada dual atau

sebaliknya.

d. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris pada dual setiap

baris pada primal berkorespondensi kolom pada dual.

e. Dual dari dual adalah primal.

Asumsi dasar yang digunakan adalah masalah primal program linier

dinyatakan dalam bentuk standar, yakni :

Maksimalkan n

j

jj xCZ1

Batasan-batasan : n

j

ijij bxa1

, untuk mi ,..,2,1

,0jx untuk nj ,...,2,1

Pemecahan persoalan primal terlihat pada koefisien baris Z pada iterasi tabel

optimal. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Koefisien Z pada nilai optimal

Variabel Z 1x 2x …

nx 1s 2s …

ms q

Z 1 11 ZC

22 ZC … jj ZC 1y

2y … iy 0y

Kondisi optimal adalah apabila semua koefisien pada baris terakhir ( jj ZC )

tidak ada yang bernilai positif, yakni :


;0jj ZC untuk nj ,...,2,1

;0iy untuk mi ,...,2,1

Dengan menggantikan jZ , nilai-nilai iy dapat dicari

Minimalkan m

i

ii yby1

0 ,

Dengan kendala m

i

jiij Cya1

, untuk nj ,...,2,1

,0iy untuk mi ,...,2,1

Bentuk di atas tersebut kemudian dikenal sebagai dual daripada masalah primal.

Sebagai konsekuensi nilai Z optimal (maksimum) pada masalah primal adalah

0y minimum pada masalah dual. Sehingga sekali lagi masalah dual ditulis

sebagai berikut :

Fungsi tujuan : Minimalkan m

i

ii yby1

0 ,

Batasan-batasan :

m

i

jiij Cya1

, untuk nj ,...,2,1

,0iy untuk mi ,...,2,1


Berikut ini adalah tabel yang menyatakan hubungan antara primal dan dual untuk

mempermudah melihat hubungan diantaranya.

Tabel 2.2

Hubugnan Primal-Dual

Masalah Primal

Koefisien dari Ruas

Kanan

1x 2x

nx

Mas

alah

Du

al

Ko

efis

ien

dar

i

1y 11a

21a . . . na1 1b

Ko

efis

ien

Fu

ngs

i Tu

juan

(Me

mak

sim

um

kan

)

2y 21a

22a . . . na2 2b

. .

. .

. .

my 1ma 2ma . . . m na nb

Ru

mu

s

Kan

an VI VI VI

1C 2C

nC

Koefisien Fungsi Tujuan

(Memaksimumkan)

Tabel 2.2 menunjukkan hubungan simetris antara primal dan dual, di mana

bagian vertikal/tegak merupakan bentuk primal, sedangkan bagian mendatar

merupakan bentuk dualnya. Bila disimpulkan hubungan tersebut adalah sebagai

berikut :

1. Parameter untuk batasan persoalan primal (dual) merupakan koefisien bagi

persoalan dual (primal).

2. Koefisien fungsi tujuan/obyektif persoalan primal (dual) adalah sisi kanan

dari persoalan dual (primal) atas.

Bentuk dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manager

menjawab pertanyaan tentang alternatif tindakan dan nilai relatifnya. Tiap


persoalan maksimasi dalam program linier mempunyai bentuk kembarnya,

demikian atau pula persoalan minimasi mempunyai bentuk kembar atau dualnya.

2.5. Metode Dual Simpleks

Apabila pada suatu iterasi kita mendapat persoalan program linier yang sudah

optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas

nonnegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan

dengan menggunakan metode dual simpleks. Syarat digunakannya metode ini

adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda

(≤), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.

Pada dasarnya metode dual simpleks ini menggunakan tabel yang sama

seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya

ditentukan sebagai berikut :

1. Leaving variable (kondisi fisibilitas).

Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang

memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga

positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.

2. Entering variable (kondisi optimalitas).

a. Tentukan perbandingan (ratio) antara koefisien persamaan z dengan

koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau

nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang

bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel.

b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio

terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel

dengan rasio absolut terkecil.


Contoh mengubah masalah primal ke bentuk dual:

Contoh berikut ini akan memperlihatkan bagaimana bentuk dual dari suatu model

dikembangkan dan apa arti dual tersebut. Hickory Furniture Company

memproduksi meja dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap meja yang

diproduksi menghasilkan keuntungan sebesar $160; sedangkan tiap kursi

menghasilkan keuntungan sebesar $200. Produksi meja dan kursi ini tergantung

pada tersedianya sumber-sumber yang terbatas tenaga kerja, kayu dan tempat

penyimpanan. Kebutuhan sumber-sumber untuk memproduksi meja dan kursi

serta jumlah total sumber yang tersedia adalah sebagai berikut :

Tabel 2.3 Contoh Studi Kasus

Kebutuhan

Sumber Meja Kursi Jumlah yang

tersedia/hari

Tenaga Kerja 2 jam 4 jam 40 jam

Kayu 18 pon 18 pon 216 pon

Tempat

penyimpanan

24 m2

12 m2

240 m2

Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus

diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan. Model untuk masalah ini

diformulasikan sebagai berikut :

Primal Dual

Maksimumkan : Minimumkan :

21 200160 xxZ 3210 24021640 yyyy

Batasan-batasan : batasan-batasan :

4042 21 xx 16024182 321 yyy

2161818 21 xx 20012184 321 yyy

2401224 21 xx


dan 0,0 21 xx dan 0,0,0 321 yyy

Tabel simpleks optimal dari masalah primal ini adalah:

Tabel 2.4 Primal Optimal

jC

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar

Kuantitas 1x

2x 1s

2s 3s

200 2x 8 0 1

2

1 -

18

1

0

160 1x 4 1 0

-2

1

9

1

0

0 3s

48 0 0 6 -2 1

jZ

2.240 160 200 20

3

20

0

jj CZ 0 0 -20

-3

20

0

Hasil tersebut juga dapat dicari dengan bantuan software QM windows 2.0, maka

hasilnya dapat dilihat sebagai berikut :

Dengan menginterpretasi solusi primal, didapatkan nilai

41x meja

82x kursi

483s m2 tempat penyimpanan

240.2$Z Keuntungan


Tabel optimal ini juga memuat informasi tentang dual. Pada baris jj ZC tabel

2.4, nilai negatif -20 dan -3

20 di bawah kolom

1s dan 2s mengindikasikan bahwa

jika suatu satu unit 1s atau

2s dimasukkan ke dalam solusi, laba akan menurun

sebesar $20 atau $6,67, secara berurutan.

Nilai baris jj ZC yang negatif sebesar $20 dan $6,67 secara berurutan

merupakan nilai marginal (marginal value) dari tenaga kerja (1s ) dan kayu (

2s ).

Nilai-nilai ini sering dianggap sebagai harga bayangan (shadow prices), karena

sebagai cerminan harga maksimum yang bersedia dibayar oleh siapapun untuk

mendapatkan satu unit tambahan sumber-sumber.

Selanjutnya adalah dalam bentuk dual dari model di bawah ini:

Minimal : 3210 24021640 yyyy

Batasan-batasan :

16024182 321 yyy

20012184 321 yyy

0,, 321 yyy

Bertitik tolak dari pembahasan sebelumnya mengenai nilai dari sumber-sumber

model, sekarang dapat didefinisikan variabel-veriabel keputusan dual 1y , 2y dan

3y untuk mewakili nilai marginal sumber-sumber tersebut.

1y = nilai marginal 1 jam tenaga kerja = $20

2y = nilai marginal 1 pon = $6,67

3y = nilai marginal 1 m2 tempat penyimpanan =$0

Tabel simpleks optimal dari masalah dual ini adalah


Tabel 2.5 Dual Optimal

jC

40 216 240 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas 1y

2y 3y 1s

2s

216 2y 6,67 0 1 2

9

1

18

1

40 1y 20 1 0 -6

2

1

2

1

jZ

2.240 40 216 192 -4 -8

jj CZ 0 0 -48 -4 -8

Sekarang beralih pada batasan-batasan dual. Batasan dual yang pertama adalah :

Laba per jam : 16024182 321 yyy

Batasan ini mengartikan bahwa nilai ketiga sumber (tenaga kerja, kayu dan tempat

penyimpanan) yang digunakan dalam memproduksi sebuah meja setidaknya harus

sebesar laba yang diperoleh dari meja. Substitusikan nilai variabel-variabel dual

ke dalam batasan di atas akan menghasilkan :

12y =nilai tenaga kerja yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja

2($20)=$40

218y =nilai kayu yang digunakan untuk memproduksi sebuah meja

18($6,67)=$120

324y = nilai tempat penyimpanan yang digunakan untuk memproduksi sebuah

meja 24($0)=0

Dengan menjumlahkan nilai-nilai di atas menghasilkan

321 24182 yyy 160$ laba per meja

)0($24)67,6($18)20($2 160$

0$120$40$ 160$

$160 160$


Dengan kata lain $160 yaitu nilai sumber-sumber yang digunakan untuk

memproduksi sebuah meja, sedikitnya adalah sebesar atau sama dengan $160

yaitu laba dari sebuah meja. Kemudian menganalisis batasan dual kepada dengan

cara yang sama.

321 12184 yyy 200$

4($20)+18($6,67)+12($0) 200$

$80+$120+$0 200$

$200 200$

Nilai $200, nilai sumber-sumber yang digunakan untuk memproduksi sebuah

kursi, setidaknya adalah sebesar atau sama dengan $200 laba dari sebuah kursi.

Sekarang tinggal fungsi tujuan dalam dual yang masih belum dijelaskan.

Fungsi tujuan tersebut adalah meminimumkan

3210 24021640 yyyy

)0($240)67,6($216)20($400y

= $800+$1.440+$0

= $2.240, nilai sumber-sumber

2.6. Analisis Sensitivitas

Analisis sensitivitas (analisis pasca optimal) merupakan studi tentang perubahan

penyelesaian optimal dan nilai penyelesaian optimal programasi linier sebagai

akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan. Seperti pembahasan

pada program linier dengan metode grafik, dalam metode dualitas perlu juga

dilakukan analisis sensitivitas karena walaupun secara konseptual memiliki makna

yang sama, akan tetapi terdapat perbedaan metode yang digunakan.


Adapun penggunaan analisis ini adalah untuk mendinamisasikan

penyelesaian dengan program linier yang bersifat statis menjadi mampu

mengkomodasi perubahan-perubahan yang terjadi dalam dunia nyata. Dalam hai

ini perkiraan penyelesaian optimal dapat dinyatakan dalam suatu range yang

disebut range optimalitas. Analisis sensitivitas dapat juga digunakan untuk

melihat perubahan pada nilai penyelesaian optimal akibat dari perubahan nilai

pada sisi kanan fungsi kendala.

Pada dasarnya perubahan-perubahan yang mungkin terjadi setelah

dicapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa macam, yakni :

a. Keterbatasan kapasitas sumber. Dengan kata lain, nilai-kanan fungsi-fungsi

batasan.

b. Koefisien-koefisien fungsi tujuan.

c. Koefisien-koefisien teknis fungsi-fungsi batasan, yaitu koefisien-koefisien

yang menunjukkan berapa bagian kapasitas sumber yang di konsumsi oleh

satu satuan kegiatan.

d. Penambahan variabel-variabel baru.

e. Penambahan batasan baru.

Melakukan analisis sensitivitas ini merupakan salah satu tugas sebagai

kelanjutan dari penerapan metode dualitas yang didapat. Salah satu asumsi dalam

program linier adalah bahwa semua parameter model ( iij ba , , dan jc ) merupakan

konstanta yang telah diketahui. Nilai-nilai parameter dalam model sering hanya

merupakan faktor penduga yang didasarkan pada suatu prediksi mengenai

keadaan untuk masa yang akan datang. Data yang diperoleh untuk

mengembangkan parameter-parameter dalam model hanya mencerminkan aturan-

aturan umum. Oleh karena itu sangat penting dilakukannya analisis sensitivitas

terhadap parameter-parameter yang ada dan kemungkinan pemberian nilai

parameter yang berbeda.

Dengan menggunakan analisis sensitivitas dapat diketahui perubahan-

perubahan yang akan terjadi dan dengan membuat analisis sensitivitas


kemungkinan akan menemukan solusi optimal yang baru. Apabila hal ini terjadi,

merupakan suatu keuntungan yang dapat dipetik oleh perusahaan.

Dalam menilai sejauh mana penyelesaian optimal semula adalah sensitif

terhadap berbagai parameter model, maka digunakan pendekatan yang umum

dipakai adalah melakukan pengecekan setiap parameter satu persatu dengan

mengubah nilainya dari parameter semula ke kemumgkinan-kemungkinan nilai

yang lain dalam rentang nilai yang layak. Setelah menentukan parameter sensitif,

kemudian meneliti beberapa kombinasi dari perubahan simultan parameter-

parameter tersebut. Setiap terjadi perubahan parameter, maka prosedur yang

diuraikan dan dijelaskan akan diterapkan.

Adapun langkah-langkah dalam melakukan analisis sensitivitas terdapat

langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut :

1. Merevisi model. Membuat perubahan-perubahan yang diinginkan dalam

model yang akan diperiksa kemudian.

2. Merevisi tabel akhir. Dasar dalam melakukan perubahan adalah tabel

simpleks akhir/tabel optimal.

3. Mengonversi bentuk sesuai dengan eliminasi Gauss. Melakukan konversi

tabel dalam bentuk yang sesuai untuk menentukan dan menilai

penyelesaian dasar sekarang dengan menerapkan eliminasi Gauss.

4. Melakukan uji kelayakan. Setelah melakukan konversi, maka dilakukan

kelayakan dengan maksud untuk mengetahui apakah variabel dasar yang

berupa nilai kanan masih positif.

5. Melakukan uji optimal. Apabila penyelesaiannya sudah layak masih perlu

dilakukan pengujian optimal untuk mengetahui apakah hasil perhitungan

merupakan hasil yang optimal. Untuk melakukan uji optimalisasi tidak

harus sekali karena apabila sekali masih belum optimal, maka dilakukan

pengujian lagi.


Sebagai contoh kasus sebelumnya

1. Menganalisis Perubahan pada Koefisien Fungsi Tujuan

Tabel terakhir (optimal) untuk tabel 2.4 Primal Optimal sebagai berikut :

jC

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas 1x

2x 1s

2s 3s

200 2x 8 0 1

2

1 -

18

1

0

160 1x 4 1 0

-2

1

9

1

0

0 3s

48 0 0 6 -2 1

jZ

2.240 160 200 20

3

20

0

jj CZ 0 0 -20

-3

20

0

Pertama, tentukan suatu perubahan pada batas fungsi tujuan ( 1C ). Hal

ini mengubah nilai 1C dari 1C =160 menjadi 1C = 160+ , seperti yang

ditunjukkan pada tabel 2.6. Perhatikan bahwa pada saat 1C diubah menjadi 160+

, nilai yang baru tersebut dimasukkan baik pada baris jC teratas maupun pada

sisi kiri kolom jC . Hal ini dilakukan mengingat 1x adalah variabel dasar. Karena

160+ berada pada sisi kolom, ini berarti 160+ menjadi panggali pada saat

nilai-nilai baris jZ yang baru dan basis jj CZ selanjutnya dihitung.


Tabel 2.6 Hasil optimal dengan 1C = 160+

jC

160+ 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas 1x

2x 1s

2s 3s

200 2x 8 0 1

2

1 -

18

1

0

160+ 1x 4 1 0

-2

1

9

1

0

0 3s

48 0 0 6 -2 1

jZ

2.240+4 160+

200

220

93

20

0

jj CZ 0 0

220

93

20

0

Solusi yang ditunjukkan pada tabel 2.6 akan tetap optimal selama nilai-nilai baris

jj ZC tetap negatif. Jadi supaya solusi tetap optimal

02

20 dan 093

20

Nilai harus diselesaikan dengan menggunakan kedua pertidaksamaan di atas yaitu

02

20 dan 093

20

202

3

20

9

<40 60

Jadi, <40 dan 60 . Sekarang diambil kembali persamaan 1C = 160+ ;

dengan demikiann 1601C . Subsitusikan jumlah 1601C untuk dalam

pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut,

< 40 dan > -60

1601C < 40 1601C > -60

1C < 200 1C > 100


Dengan demikian, range nilai 1C yang tetap mempertahankan solusi

optimal meskipun nilai fungsi tujuan mungkin berubah.

200100 1C

Berikutnya, tentukan perubahan pada 2C sehingga 2C = 200+ . Dampak

perubahan ini dalam tabel simpleks ditunjukkan pada tabel 2.7

Tabel 2.7 Hasil Optimal dengan 2C = 200+

jC

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas 1x

2x 1s

2s 3s

200

2x 8 0 1

2

1 -

18

1

0

a160 1x 4 1 0

-2

1

9

1

0

0 3s

48 0 0 6 -2 1

jZ

2.240+8 160 200

220

183

20

0

jj CZ 0 0 2

20 183

20

0

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, solusi yang ditunjukkan pada tabel 2.7

akan tetap optimal selama nilai-nilai baris jj ZC tetap negatif atau nol. Jadi

supaya solusi tetap optimal maka harus dibuat :

220 Dan

183

20

Penyelesaian perrtidaksamaan di atas untuk menghasilkan

2

20 < 0 dan 183

20 < 0

2

< 20 18

<3

20

> -40 < 120


Jadi 40 dan 120 , karena 2002C , maka 2002C .

Penstubtitusian nilai ini untuk pada pertidaksamaan di atas menghasilkan :

> -40 dan < 120

2002C > -40 2002C < 120

2C > 160 2C < 320

Dengan demikian, range nilai 2C yang tetap mempertahankan solusi optimal

adalah :

200100 1C

320160 2C

2. Menganalisis Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan

Memaksimumkan 21 200160 xxZ

Batasan-batasan

4042 21 xx

2161818 21 xx

2401224 21 xx dan 0,0 21 xx

Nilai kuantitas 40, 216, dan 240 akan diawali oleh notasi iq . Jadi 1q = 40,

2q = 216 dan 3q = 240. Seperti dalam kasus nilai jC , range 1q dapat ditentukan

secara langsung dari tabel simpleks optimal. Sebagasi contoh misalkan terdapat

suatu kenaikan sebesar D pada jumlah jam tenaga kerja. Batasan-batasan model

akan menjadi

14042 21 xx


02161818 21 xx

02401224 21 xx

Maka terdapat tabel simpleks awal yaitu

Tabel 2.8 Simpleks awal

jC

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas 1x

2x 1s

2s 3s

0 3x 140 2 4 1

0 0

0 4x 0216 18 18 0 1

0

0 3s

0240 24 12 0 0 1

jZ

0 0 0 0

0

0

jj CZ 160 200 0

0

0

Duplikasi ini akan terus di bawa pada tabel-tabel selanjutnya, sehingga nilai

kolom 1s juga akan menduplikasikan perubahan D pada kolom kuantitas tabel

akhir tabel 2.9.

Tabel 2.9 Simpleks akhir

jC

160 200 0 0 0

Variabel

Dasar Kuantitas 1x

2x 3x 4x 5x

200 2x

28

0 1

2

1

18

1

0

160 1x

24

1 0 -

2

1

9

1

0

0 5x

648 0 0 6 -2 1

jj CZ

0 0 -20 -

3

20

0

Maka diperoleh :

02

8 ; 16


02

4 ; 8

0648 ; 8

untuk range 401q , maka 401q . Nilai ini disubstitusikan ke

dalam pertidaksamaan- pertidaksamaan di atas sebagai berikut.

16 8 8

401q 16 401q 8 401q 8

1q 24 1q 48 1q 32

Kesimpulan dari pertidaksamaan ini menghasilkan :

483224 1q

Nilai sebesar 24 dapat dihilangkan mengingat q1 harus lebih dari 32, sehingga

4832 1q

Selama q1 berkisar pada range ini, variabel-variabel solusi dasar akan tetap positif

dan fisiebel.

untuk range 2162q , maka 2162q , disini akan menggunakan

nilai-nilai pada kolom 2s untuk membentuk pertidaksamaan- pertidaksamaan D.

018

8 ; 144

09

4 ; 36

0248 ; 24


Karena 2162q , maka akan mempunyai 2162q , pensubsitusian nilai

ke dalam pertidaksamaan- pertidaksamaan di atas menghasilkan suatu range nilai

yang memungkinkan untuk nilai 2q ;

144 36 24

2162q 144 2162q 36 2162q 24

2q 360 2q 180 2q 240

yaitu

360240180 2q

Nilai sebesar 360 dapat dihilangkan mengingat karena q2 tidak dapat melebihi

240. Jadi, range bagi variabel-variabel solusi dasar yang tetap fisibel adalah

240180 2q

Analisis sensitivitas untuk nilai kuantitas batasan dapat digunakan dalam

hubungannya dengan solusi dual untuk pengambilan keputusan sumber-sumber.

Sebelumnya solusi dual dari contoh yaitu :

1y = $20, nilai marginal 1 jam tenaga kerja

2y = $6,67, nilai marginal 1 pon

3y = $0, nilai marginal 1 m2 tempat penyimpanan

Berdasarkan range 4832 1q , manager dapat menambah sampai dengan 8 jam

tenaga kerja (48 jam) sebelum basis solusi menjadi tidak fisibel. Jika manager

memutuskan untuk membeli 8 jam tambahan, maka nilai-nilai solusi dapat dicari

dengan cara mengamati nilai-nilai kuantitas pada tabel 2.9 :

282x


241x

6485x

Karena

8 ,

122

882x

02

841x

96)8(6485x

Laba total akan meningkat sebesar $20 untuk setiap ekstrim jam tenaga kerja.


BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Pengumpulan Data

Adapun data yang diambil adalah nama jenis roti, data kebutuhan bahan

baku dan bahan tambahan, data waktu produksi, data biaya produksi dan data

keuntungan. Data-data tersebut diperoleh dari pencatatan yang telah dilakukan

pabrik maupun melalui wawancara langsung dengan pihak yang bersangkutan.

Data umum produk berupa jumlah produksi yang dihasilkan dari per adonan.

Data kebutuhan bahan merupakan data komposisi bahan baku yang

diperlukan dalam proses produksi dan data kapasitas bahan baku merupakan

jumlah rata-rata bahan baku yang dipesan pabrik dalam 1hari. Data itu tidak

hanya didapatkan dari hasil pencatatan yang telah dilakukan oleh pabrik, namun

juga dari hasil pengamatan langsung di lapangan.

3.1.1. Jenis Rasa Roti

Roti yang diteliti dalam tulisan ini adalah berdasarkan jenis roti yang dinamakan

berdasarkan pasaran. Adapun nama-nama roti yang dimaksud terlihat pada tabel

berikut :

Tabel 3.1 Jenis Rasa Roti

No Jenis Rasa Roti

1. Kelapa

2. Cokelat


3. Melon

Sumber : Pabrik Rahma Jaya Bakery

3.1.2 Bahan-bahan Utama

Bahan-bahan baku yang digunakann dalam pembuatan roti adalah bahan baku dan

bahan penambahan. Adapun nama-nama bahan baku dan bahan penambahan yang

digunakan adalah

Tabel 3.2 Nama-Nama Bahan Utama

No

Jenis Bahan

Berat (kg)

Persedian

Bahan Produksi

Kelapa Cokelat Melon

1. Tepung Terigu 10,5 10,1 10,25 330

2. Mentega 1,5 1 1,35 37

3. Instan (pelembut) 0,1 0,1 0,1 4

4. Gula 2,75 2 2 70

5. Morifan

(pengembang)

0,13 0,13 0,13 4,5

6. Garam 0,15 0,15 0,15 6


Dari tabel 3.2 didapat ukuran/berat roti untuk setiap per adonan atau 450 buah

roti.

3.1.3 Uraian Proses Produksi Roti

Proses produksi adalah teknik untuk membuat atau menjadikan barang dan jasa

bertambah nilainya dengan menggunakan sumber-sumber yang ada. Secara garis

besar proses produksi pembuatan roti yang dilakukan pada pabrik Rahma Jaya

Bakery adalah sebagai berikut :


1. Pengadonan

yaitu proses melakukan pencampuran seluruh bahan baku menjadi satu

bagian/adonan dalam satu wadah yang menggunakan bantuan alat mesin.

2. Penghalusan

yaitu suatu proses kelanjutan dari proses pengadonan, dimana hasil adonan

yang telah menjadi satu bagian akan dihaluskan menggunakan mesin press

yang gunanya untuk memudahkan proses pembentukkan.

3. Pembentukkan

yaitu proses pembentukkan roti, dimana roti akan dibentuk menjadi 6

nama jenis roti yaitu kelapa, cokelat panjang, cokelat sangggul, kelapa

mocca, melon dan keong. Setiap jenis roti memiliki bahan baku yang sama

hanya yang membedakan roti satu dengan roti yang lain adalah proses

akhir pembentukkan. Proses akhir pembentukkan yang dimaksud adalah

adanya penambahan bahan yang dilakukan untuk masing-masing roti.

Misalnya untuk roti kelapa ada penambahan bahan kelapa dan sari pandan

di dalam akhir pembentukkan, cokelat panjang dan cokelat sanggul

penambahan bahannya sama yaitu cokelat yang membedakan hanya

bentuknya saja, kelapa moccca penambahan bahan kelapa, pandan dan

mocca, melon penambahan bahannya tepung gula dan mentega., dan yang

terakhir keong bahan penambahannya adalah mentega, gula dan tepung.

4. Penguapan

Penguapan adalah proses dimana roti yang telah selesai dibentuk/dicetak

dimasukkan kedalam mesin penguap guna untuk pengembangan roti itu

sendiri.

5. Pembakaran/ pengopenan

Yaitu proses pemasakan roti menjadi roti siap untuk dimakan yang

dilakukan dimesin pembakar.

6. Pendinginan

Proses ini dilakukan sebelum pembungkusan, guna agar roti bisa tahan

lama.

7. Pembungkusan


Proses ini merupakan proses tahap akhir, dimana roti yang sudah

didinginkan akan dibungkus secara manual menggunakan tenaga manusia.

Uraian proses produksi roti dapat diberikan pada tabel dibawah ini :

Tabel 3.3 Uraian Waktu Proses Produksi Roti

No Proses Waktu yang diperlukan (menit)/adonan

Kelapa Cokelat Melon

1. Pengadonan 5 5 5

2. Penghalusan 5 5 5

3. Pembentukkan 10 13,5 10,5

4. Penguapan 240 240 240

5. Pembakaran/Pengopenan 10 10 10

6. Pendinginan 120 120 120

7. Pembungkusan 37,5 37,5 37,5


Dari tabel 3.3 didapat waktu yang digunakan untuk setiap per adonan atau 450

buah roti.

3.1.4 Data Biaya Produksi

Perhitungan biaya bahan produksi adalah pembelian bahan baku dan pembelian

bahan tambahan. Kedua biaya bahan baku tersebut dianggap satu kebutuhan

bahan baku dan pembelian dilakukan secara bersamaan. Adapun biaya bahan

baku tiap roti terlihat pada tabel berikut

Tabel 3.4 Biaya Bahan Produksi Per Adonan

No Nama Roti Biaya Bahan Produksi

1. Kelapa Rp. 66.500,00


2. Cokelat Rp. 73.000,00

3. Melon Rp. 40.000,00


Dari tabel 3.4 didapat biaya bahan produksi roti untuk setiap per adonan atau 450

buah roti.

3.1.5 Data Keuntungan Produksi

Adapun keuntungan yang diperoleh tiap per adonan roti atau 450 buah roti terlihat

pada tabel berikut :

Keterangan

Keuntungan = hasil produksi per adonan x harga jual - biaya produksi.

Contoh : Kelapa : 450@ Rp. 770 – Rp. 66.500

: Rp. 346.500 – Rp. . 66.500

: Rp. 280.000,00

Cokelat : 450@Rp. 650 - Rp. 73.000

: Rp. 292.500 – Rp. 73.000

: Rp. 219.500

Melon : 450@Rp. 650 - Rp. 40.000

: Rp. 292.500 – Rp. 40.000

: Rp. 252.500

Tabel 3.5 Keuntungan Roti Per Adonan

No Nama Roti Keuntungan

1. Kelapa Rp. 280.000,00

2. Cokelat Rp. 219.500,00


3. Melon Rp. 252.500,00


Dari tabel 3.5 didapat keuntungan produksi roti untuk setiap per adonan atau 450

buah roti

3.2. Pengolahan Data

Analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Memodelkan permasalahan yaitu fungsi tujuan dan batas-batas kendala ke

dalam bentuk program linier

2. Mengubah bentuk program linier ke dalam bentuk model dualitas.

3. Mencari solusi optimal dengan menggunakan tabel simpleks dan bantuan

software QM Windows 2.0

4. Melakukan analisis sensitivitas terhadap hasil optimal yang diperoleh.

Dalam analisis sensitivitas ada 2 hal yang dapat dilakukan yaitu pertama

melakukan analisis sensitivitas terhadap fungsi tujuan dan analisis

sensitivitas terhadap kuantitas batasan.


BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Variabel Keputusan

Dari keseluruhan data yang diperoleh, akan diformulasikan ke dalam model

program linier yang kemudian akan diselesaikan dengan metode dualitas dan

melakukan analisis sensitivitas terhadap hasil optimal yang diperoleh. Adapun

variabel keputusan yang diharapkan dalam penulisan ini adalah :

1x = Jumlah Rasa Kelapa

2x = Jumlah Rasa Cokelat

3x = Jumlah Rasa Melon

4.2. Perumusan Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan yang akan dimaksimalkan adalah laba. Koefisien variabel dari

variabel keputusan yaitu keuntungan yang diperoleh dari tiap adonan produk,

sehingga fungsi tujuannya adalah

Maksimum 321 25250021950028000 xxxZ

4.3 Perumusan Fungsi Kendala


Fungsi kendala terdiri dari biaya produksi dan bahan-bahan utama dalam

pembuatan produksi.

1. Model Biaya Produksi :

5000000400007300066500 321 xxx

2. Model Bahan Utama

Tepung Terigu 33025,101,105,10 321 xxx ,

Mentega 3735,15,1 321 xxx

Gula 702275,2 321 xxx

Garam 615.015.015.0 321 xxx

Morifan 5,413.013.013.0 321 xxx

Instan Plus 41,01,01,0 321 xxx

4.4. Pengolahan Data

4.4.1. Memodelkan Permasalahan

Merumuskan masalah ke dalam bentuk program linier yang diformulasikan

sebagai berikut :

Fungsi Tujuan: Maksimumkan : 321 252500219500280000 xxxZ

Batasan-batasan :

5000000400007300066500 321 xxx

33025,101,105,10 321 xxx ,

3735,15,1 321 xxx


702275,2 321 xxx

615.015.015.0 321 xxx

5,413.013.013.0 321 xxx

41,01,01,0 321 xxx

4.4.2. Mengubah Bentuk Program Linier ke Model Bentuk Dualitas

I. Bentuk Primal (Program Linier)

Fungsi Tujuan: Maksimumkan : 321 252500219500280000 xxxZ

Batasan-batasan :

5000000400007300066500 321 xxx

33025,101,105,10 321 xxx ,

3735,15,1 321 xxx

702275,2 321 xxx

615.015.015.0 321 xxx

5,413.013.013.0 321 xxx

41,01,01,0 321 xxx

II. Bentuk Dual

Fungsi Tujuan :

Minimumkan

76543210 45,467037330000.5000 yyyyyyyy

Batasan-batasan :

2800001.013,015,075,25,15,1066500 7654321 yyyyyyy

2195001,013,015,021,1073000 7654321 yyyyyyy

2525001,013,015,0235,125,1040000 7654321 yyyyyyy


dimana

)7,...,1(,0 iyi

4.4.3. Mencari Solusi Optimal dengan Tabel Simpleks

Mencari solusi optimal untuk masalah primal yang langkah-langkah

penyelesaiannya sebagai berikut :

Tabel 4.1 Iterasi 0 (masalah primal)

Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B

1x 2x 3x

4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x

4x 0 66500 73000 40000 1 0 0 0 0 0 0 5000000

5x 0 10,5 10,1 10,25 0 1 0 0 0 0 0 330

6x 0 1,5 1 1,35 0 0 1 0 0 0 0 37

7x 0 2,75 2 2 0 0 0 1 0 0 0 70

8x 0 0,15 0,15 0,15 0 0 0 0 1 0 0 6

9x 0 0,13 0,13 0,13 0 0 0 0 0 1 0 4,5

10x 0 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0 0 1 4

jj CZ -280000 -219500 -252500 0 0 0 0 0 0 0 0

Keterangan :

1. Pada baris 280000jj CZ paling minimum, maka 1x masuk dalam

basis.

2. 667,241.0

4,

13.0

5.4,

15.0

6,

75.2

70,

5.1

37,

5.10

330,

66500

5000000min (berarti 6x

keluar dari basis).

3. Baris pivot adalah baris 1x dikalikan 3

2.

4. Baris 4x yang baru : baris 4x - 28645 baris 1x


5. Baris 5x yang baru : baris 5x - 10,5 baris 1x




9. Baris 10x yang baru : baris 10x

- 0,1 baris 1x


Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B

1x 2x 3x

4x 5x

6x 7x

8x

9x 10x

4x 0 0 28667 -19850 1 0 -44333 0 0 0 0 3359667

5x 0 0 3,1 0,8 0 1 -7 0 0 0 0 71

1x 280000 1 0,667 0,9 0 0 0,667 0 0 0 0 24,667

7x 0 0 0,1667 -0,475 0 0 -1,8333 1 0 0 0 2,1667

8x 0 0 0.05 0,015 0 0 -0,1 0 1 0 0 2,3

9x 0 0 0,0433 0,013 0 0 -0,0867 0 0 1 0 1,2933

10x 0 0 0,0333 0,01 0 0 -0,0667 0 0 0 1 1,5333

jj CZ 0 -32833 -500 0 0 186667 0 0 0 0

Keterangan :


basis.

2. 25,13033.0

533,1,

043.0

3,1,

05.0

3,2,

166,0

2,2,

667,0

667,24,

1,3

2,77,

28645

3359645min (berarti

7x keluar dari basis).

3. Baris pivot adalah baris 2x dibagi 0,166.

4. Baris 4x yang baru : baris 4x - 28645baris 2x

5. Baris 5x yang baru : baris 5x - 3,1baris 2x







Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x

9x

10x

4x 0 0 0 61850 1 0 271000 -172000 0 0 0 2987000

5x 0 0 0 9,635 0 1 27,1 -18,6 0 0 0 30,7

1x 280000 1 0 2,8 0 0 8 -4 0 0 0 16

2x 219500 0 1 -2,85 0 0 -11 6 0 0 0 13

8x 0 0 0 0,1575 0 0 0,45 -0,3 1 0 0 1,65

9x 0 0 0 0,1365 0 0 0,39 -0,26 0 1 0 0,73

10x 0 0 0 0,105 0 0 0,3 -0,2 0 0 1 1,1

jj CZ 0 0 -94075 0 0 -174500 197000 0 0 0

Keterangan :


basis.

2. 1,13.0

1,1,

39.0

73,0,

45.0

65,1,

11

13,

8

16,

1,27

7,30,

271000

2987000min (berarti 5x keluar

dari basis).

3. Baris pivot adalah baris 6x dibagi 27,1




6. Baris 2x yang baru : baris 2x + 11baris 6x





Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B

1x 2x 3x

4x

5x 6x 7x 8x

9x 10x

4x 0 0 0 -34500 1 -10000 0 14000 0 0 0 2680000

6x 0 0 0 0,3555 0 0,037 1 -0,6863 0 0 1,1328

1x 280000 1 0 -0,0443 0 -0,3 0 1,5 0 0 0 7

2x 219500 0 1 1,07 0 0,406 0 -1,55 0 0 0 25,46

8x 0 0 0 -0,0025 0 -0,0166 0 0,0089 1 0 0 1,1402

9x 0 0 0 -0,0022 0 -0,0144 0 0,0077 0 1 0 0,2882

10x 0 0 0 -0,0017 0 -0,0111 0 0.006 0 0 1 0,7601

jj CZ 0 0 -32034 0 6440 0 77232 0 0 0

Keterangan :


basis.

2. 1,30017,0

7601,0,

0022,0

2882,0,

0025,0

1402,1,

07,1

46,25,

0443,0

7,

3555,0

1328,1,

34500

2680000min

(berarti 6x keluar dari basis).

3. Baris pivot adalah baris 3x dibagi 0,3555

4. Baris 4x yang baru : baris 4x + 34500baris 3x


5. Baris 1x yang baru : baris 1x + 0,0443baris 3x






Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x 4x

5x 6x 7x 8x

9x

10x

4x 0 0 0 0 1 -6419 97037 -52600 0 0 0 2789927

3x 252500 0 0 1 0 0,1038 2,8127 -1,930 0 0 0 3,1863

1x 280000 1 0 0 0 -0,290 0,1245 1,405 0 0 0 7,0784

2x 219500 0 1 0 0 0,2958 -2,9839 0,4982 0 0 0 22,081

8x 0 0 0 0 0 -0,016 0,007 0,004 1 0 0 1,1482

9x 0 0 0 0 0 -0,014 0,0061 0,0035 0 1 0 0,2951

10x 0 0 0 0 0 -0,010 0,0047 0,0027 0 0 1 0,7654

jj CZ 0 0 0 0 9765 90101 15392 0 0 0 7.633.250

Karena baris , maka permasalahan telah optimal. Diperoleh

71x adonan (kelapa) @ 450 = 3150 buah roti

222x adonan (cokelat) @ 450 = 9900 buah roti

dan 33x adonan (melon) @ 450 = 1350 buah roti

dengan 250.633.7RpZ Keuntungan

Dengan bantuan menggunakan software QM Windows 2.0


Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4


Iterasi 5

Dan tabel optimalnya

Selanjutnya adalah dalam bentuk dual dari model di bawah ini :

Minimum : 76543210 45,467037330000.000.5 yyyyyyyy

Fungsi Kendala

000.2801.013,015,075,25,15,10500.66 7654321 yyyyyyy

500.2191,013,015,021,10000.73 7654321 yyyyyyy

500.2521,013,015,0235,125,10000.40 7654321 yyyyyyy

Dimana

)7,...,1(,0 iyi

Bertitik tolak dari pembahasan sebelumnya mengenai nilai dari sumber-

sumber model, sekarang dapat didefinisikan variabel-veriabel keputusan dual 1y ,

2y , 3y , 4y , 5y , 6y dan 7y untuk mewakili nilai marginal sumber-sumber

tersebut.


1y = nilai marginal 1 adonan biaya produksi = Rp. 0

2y = nilai marginal 1kg tepung terigu = Rp. 9.765

3y = nilai marginal 1kg mentega = Rp. 90.101

4y = nilai marginal 1kg gula = Rp. 15.392

5y = nilai marginal 1kg garam = Rp. 0

6y = nilai marginal 1kg morifan = Rp. 0

7y = nilai marginal 1kg instan plus = Rp. 0


TABEL 4.6 Optimal Dual

Basis/C 5000000 330 37 70 6 4.5 4 0 0 0 0 0 0

B

1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y 10y

11y 12y 13y

4y 70 52600 0 0 1 -0,004 -0,0035 -0,0027 1,4 -1,4 0,5 -0,5 -1,9 1,9 15392

2y 330 6419 1 0 0 0,0163 0,0142 0,0109 -0,3 0,3 0,3 -0,3 0,1 -0,1 9764

3y 37 -97037 0 1 0 -0,007 -0,0061 -0,0047 0,12 -0,12 -3 3 2,8 -2,8 90101

jj CZ 2789927 0 0 0 1,15 0,3 0,7654 -7,0784 7,0784 -22 22 -3 3 7.633.250


Mencari nilai optimal dual dengan bantuan software QM Windows 2.0

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4


Iterasi 5

Iterasi 6

Iterasi 7

Iterasi 8


Iterasi 9

Tabel simpleks optimal dari permasalahan dual adalah :

Sekarang beralih pada batasan-batasan dual. Batasan dual yang pertama adalah :

1. Laba per adonan Kelapa

7654321 1.013,015,075,25,15,10500.66 yyyyyyy 000.280

)0(1.0)0(13,0)0(15,0)392.15(75,2)101.90(5,1)765.9(5,10)0(500.66

000.280

000423285,151.1355,532.1020

000.280

Rp. 000.280 000.280

2. Laba per adonan Cokelat

7564321 1,013,015,021,10000.73 yyyyyyy 500.219

)0(1,0)0(13,0)0(15,0)392.15(2101.90)765.9(1,10)0(000.73

500.219


000784.30101.905,626.980 500.219

Rp. 500.219 500.219

3. Laba per adonan Melon

7564321 1,013,015,0235,125,10000.40 yyyyyyy 500.252

)0(1,0)0(13,0)0(15,0)392.15(2)101.90(35,1)765.9(25,10)0(000.40

500.252

000784.3035,636.12125,091.1000

500.252

Rp. 500.252 500.252

Sekarang tinggal fungsi tujuan dalam dual, dimana fungsi tujuan tersebut adalah

meminimumkan 76543210 45,467037330000.000.5 yyyyyyyy

000)392.15(70)101.90(37)765.9(33000y

250.633.70 Rpy


4.4.4. Analisis Sensitivitas.

4.4.4.1. Menganalisis Perubahan pada Koefisien Fungsi Tujuan

Tabel terakhir untuk tabel 4.5 Optimal Primal

Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x

4x

5x 6x 7x 8x

9x

10x

4x 0 0 0 0 1 -6419 97037 -

52600

0 0 0 2789927

3x 252500 0 0 1 0 0,1038 2,8127 -1,930 0 0 0 3,1863

1x 280000 1 0 0 0 -0,290 0,1245 1,405 0 0 0 7,0784

2x 219500 0 1 0 0 0,2958 -2,9839 0,4982 0 0 0 22,081

8x 0 0 0 0 0 -0,016 0,007 0,004 1 0 0 1,1482

9x 0 0 0 0 0 -0,014 0,0061 0,0035 0 1 0 0,2951

10x 0 0 0 0 0 -0,010 0,0047 0,0027 0 0 1 0,7654

jj ZC 0 0 0 0 9765 90101 15392 0 0 0 7.633.250


Dengan menginterpretasi solusi optimal, didapatkan nilai

71x adonan (kelapa) @ 450 = 3150 buah roti

222x adonan (cokelat) @ 450 = 9900 buah roti

dan 33x adonan (melon) @ 450 = 1350 buah roti

dengan 250.633.7.RpZ Keuntungan

Pertama, tentukan suatu perubahan pada batas fungsi tujuan ( 1C ). Hal

ini mengubah nilai 1C dari 1C =280000 menjadi 1C = 280000+ , seperti yang

ditunjukkan pada tabel 4.7. Perhatikan bahwa pada saat 1C diubah menjadi

280000+ , nilai yang baru tersebut dimasukkan baik pada baris jC teratas

maupun pada sisi kiri kolom jC . Hal ini dilakukan mengingat 1x adalah variabel

dasar. Karena 280000+ berada pada sisi kolom, ini berarti 280000+ menjadi

panggali pada saat nilai-nilai baris jZ yang baru dan basis jj ZC selanjutnya

dihitung.


Tabel 4.7 Hasil Optimal dengan 1C = 280000+

Basis/C

280000+ 21950

0

252500 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x 4x

5x 6x 7x 8x

9x 10x

4x 0 0 0 0 1 -6419 97037 -52600 0 0 0 2789927

3x 252500 0 0 1 0 0,1038 2,8127 -1,930 0 0 0 3,1863

1x 280000+ 1 0 0 0 -0,290 0,1245 1,405 0 0 0 7,0784

2x 219500 0 1 0 0 0,2958 -2,9839 0,4982 0 0 0 22,081

8x 0 0 0 0 0 -0,016 0,007 0,004 1 0 0 1,1482

9x 0 0 0 0 0 -0,014 0,0061 0,0035 0 1 0 0,2951

10x

0 0 0 0 0 -0,010 0,0047 0,0027 0 0 1 0,7654

jj CZ 0 0 0 0 9765-0,29

90101+0,12

45

15392+1,405

0 0 0


Jadi supaya solusi tetap optimal

9765-0,29 <0; 90101+0,1245 <0 dan 15392+1,405 <0

Nilai harus diselesaikan dengan menggunakan kedua pertidaksamaan di atas yaitu

9765-0,29 < 0; 90101+0,1245 < 0; 15392+1,405 < 0

< 33672 < -723703 < -10955

Jadi, <33672, < -723703 dan < -10955. Sekarang diambil kembali

persamaan 1C = 280000+ ; dengan demikiann 2800001C . Subsitusikan

jumlah 2800001C untuk dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut,

< 33672; < -723703 < -10955

2800001C < 33672; 2800001C < -723703 2800001C <-10955

1C < 313672; 1C < -443703 1C < 269046


meskipun nilai fungsi tujuan mungkin berubah.

313672269046 1C

Berikutnya, tentukan perubahan pada 2C sehingga 2C = 219500+ . Dampak



Tabel 4.8 Hasil Optimal dengan 2C = 219.500+

Basis/C

280000 219500+ 252500 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x

4x 0 0 0 0 1 -6419 97037 -52600 0 0 0 2789927

3x 252500 0 0 1 0 0,1038 2,8127 -1,930 0 0 0 3,1863

1x 280000 1 0 0 0 -0,290 0,1245 1,405 0 0 0 7,0784

2x 219500+ 0 1 0 0 0,2958 -2,9839 0,4982 0 0 0 22,081

8x 0 0 0 0 0 -0,016 0,007 0,004 1 0 0 1,1482

9x 0 0 0 0 0 -0,014 0,0061 0,0035 0 1 0 0,2951

10x 0 0 0 0 0 -0,010 0,0047 0,0027 0 0 1 0,7654

jj CZ 0 0 0 0 9765+0

,2958

90101-

2,9839

15392

+0,498

2

0 0 0


Dari tabel diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut :

9765+0,2958 < 0; < -33012

90101-2,9839 < 0; < 30196

15392+0,4982 < 0; < -30895

Karena 2C = 219500+ , maka = 2C -219500. substitusikan nilai ini untuk

pada pertidaksamaan di atas menghasilkan :

< -33012 < 30196 <30895

2C -219500 < -33012 2C -219500 < 30196; 2C -219500 < -30895

2C < 186488 2C < 249696; 2C < 188605



249696186488 2C

Selanjutnya, tentukan perubahan pada 3C sehingga 3C = 252.500+ . Dampak



Tabel 4.9 Hasil Optimal dengan 3C = 252.500+

Basis/C

280000 219500 252.500+ 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x

4x

5x 6x 7x 8x

9x

10x

4x 0 0 0 0 1 -6419 97037 -52600 0 0 0 2789927

3x 252.500+

0 0 1 0 0,1038 2,8127 -1,930 0 0 0 3,1863

1x 280000 1 0 0 0 -0,290 0,1245 1,405 0 0 0 7,0784

2x 219500 0 1 0 0 0,2958 -2,9839 0,4982 0 0 0 22,081

8x 0 0 0 0 0 -0,016 0,007 0,004 1 0 0 1,1482

9x 0 0 0 0 0 -0,014 0,0061 0,0035 0 1 0 0,2951

10x 0 0 0 0 0 -0,010 0,0047 0,0027 0 0 1 0,7654

jj CZ 0 0 0 0 9765+

0,1038

90101+2,8

127

15392-

1,930

0 0 0


Dari tabel diperoleh pertidaksamaan sebagai berikut :

9765+0,1038 < 0; < -94075

90101+2,8127 < 0; < -32034

15392-1,930 < 0; < 7975

Karena 3C = 252.500+ , maka = 3C -252.500. substitusikan nilai ini untuk

pada pertidaksamaan di atas menghasilkan :

< -94075 < -32034 < 7975

3C -252.500 < -94075 3C -252.500 < -32034 3C -252.500 < 7975

3C < 188425 3C < 220466 3C <

260475



313672269046 1C

249696186488 2C

260475188425 3C


4.4.4.2. Menganalisis Perubahan Pada Nilai Kuantitas Batasan

Memaksimumkan :

321 500.252500.21900.280 xxxZ

Batasan-batasan :

000.000.5000.40000.73500.66 321 xxx

33025,101,105,10 321 xxx ,

3735,15,1 321 xxx

702275,2 321 xxx

615.015.015.0 321 xxx

5,413.013.013.0 321 xxx

41,01,01,0 321 xxx

0,0,0 321 xxx

Sebagai contoh misalkan terdapat suatu kenaikan sebesar D pada jumlah jam

tenaga kerja. Batasan-batasan model akan menjadi

1000.000.5000.40000.73500.66 321 xxx

033025,101,105,10 321 xxx ,

03735,15,1 321 xxx

0702275,2 321 xxx

0615.015.015.0 321 xxx

05,413.013.013.0 321 xxx

041,01,01,0 321 xxx


4.10 Simpleks Awal Analisis Sensitivitas

Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x

4x 0 66500 73000 40000 1 0 0 0 0 0 0 5000000+1

5x 0 10,5 10,1 10,25 0 1 0 0 0 0 0 330+0

6x 0 1,5 1 1,35 0 0 1 0 0 0 0 37+0

7x 0 2,75 2 2 0 0 0 1 0 0 0 70+0

8x 0 0,15 0,15 0,15 0 0 0 0 1 0 0 6+0

9x 0 0,13 0,13 0,13 0 0 0 0 0 1 0 4,5+0

10x 0 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0 0 0 1 4+0

jj CZ -280000 -219500 -252500 0 0 0 0 0 0 0

Untuk mencari solusi optimal dari tabel di atas adalah dengan melakukan penyelesaian optimal seperti mencari solusi optimal pada masalah

dual, sehingga diperoleh tabel akhir solusi optimal pada tabel di bawah ini :


4.11 Simpleks Akhir Optimal Analisis Sensitivitas

Basis/C

280000 219500 252500 0 0 0 0 0 0 0

B 1x 2x 3x 4x

5x 6x 7x 8x

9x

10x

4x 0 0 0 0 1 -6419 97037 -52600 0 0 0 2789927

3x 252500 0 0 1 0 0,1038 2,8127 -1,930 0 0 0 3,1863+0,1038

1x 280000 1 0 0 0 -0,290 0,1245 1,405 0 0 0 7,0784-0,290

2x 219500 0 1 0 0 0,2958 -2,9839 0,4982 0 0 0 22,081+0,2985

8x 0 0 0 0 0 -0,016 0,007 0,004 1 0 0 1,1482

9x 0 0 0 0 0 -0,014 0,0061 0,0035 0 1 0 0,2951

10x 0 0 0 0 0 -0,010 0,0047 0,0027 0 0 1 0,7654

jj CZ 0 0 0 0 9765 90101 15392 0 0 0 7.633.250+9765


Maka diperoleh :

010308,01863,3

0290,00784,7

02985,0081,22

Diselesaikan untuk :

10308,01863,3 0

31

290,00784,7 0

24

2985,0081,22 0

74

Karena 13302q , maka 3302q . Nilai ini disubstitusikan ke dalam

pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas sebagai berikut :

31 24 74

3302q 31 3302q 24 3302q 74

2q 299 2q 354 2q 256

Kesimpulan dari pertidaksamaan ini, menghasilkan

354299256 2q

Nilai sebesar 256 dapat dihilangkan mengingat 2q harus lebih besar dari 299, jadi

354299 2q

Selanjutnya unutk menentukan range 3q ( 373q ), akan menggunakan

nilai-nilai pada kolom 6x untuk membentuk pertidaksamaan seperti di bawah ini :

08127,21863,3

01245,00784,7

09839,2081,22



8127,21863,3 0

1

1245,00784,7 0

57

9839,2081,22 0

7



1 57 7

373q 31 373q 57 373q 7

3q 6 3q 20 3q 42

Maka pertidaksamaannya menjadi :

426 3q

Dan terakhir yaitu 704q , maka 704q , akan menggunakan nilai-nilai

pada kolom 7x untuk membentuk pertidaksamaan seperti di bawah ini :

0930,11863,3

0405,10784,7

04982,0081,22


903,11863,3 0

2

405,10784,7 0

5

4982,0081,22 0

44




2 5 44

704q 2 704q 5 704q 44

4q 72 4q 65 4q 26

Maka pertidaksamaannya menjadi :

726526 4q

Nilai sebesar 26 dapat dihilangkan mengingat 4q harus lebih besar dari 65, jadi

7265 4q

Dan range untuk secara keseluruhan diperoleh :

354299 2q

426 3q

7265 4q


BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil olahan diatas dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai

berikut:

1. Bahan baku dan modal merupakan faktor yang mempengaruhi untuk

mendapatkan keuntungan yang optimum.

2. Dengan menggunakan Program Linier dengan metode dualitas dapat

membantu pabrik dalam menghasilkan jumlah produksi yang optimal

dengan keuntungan sebesar Rp. 7.633.250 yang dimana pabrik biasanya

menghasilkan keuntungan rata-rata sebesar Rp. 7.208.000. Dapat

dikatakan pabrik mengalami keuntungan sebesar 0,94 %.

3. Dari hasil analisis diperoleh jumlah produksi yang optimal bagi pabrik,

yaitu kelapa 7 adonan, cokelat 22 adonan dan melon 3 adonan.

4.2. Saran

1. Diharapkan pabrik dapat menerapkan sistem pengendalian jumlah produksi

yang optimal sehingga segala sumber daya dapat digunakan seoptimal

mungkin untuk mendapatkan laba yang lebih maksimal pula.

2. Pada tugas akhir ini, terdapat tujuh kendala yang dihadapi pabrik, yaitu modal

dan bahan baku, dimana dari bahan baku terdapat enam kendala yaitu

penggunaan tepung terigu, mentega, gula, garam, morifan dan instan plus.

Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan menggunakan lebih

dari tujuh jenis kendala.


DAFTAR PUSTAKA

Abbas, Bachtiar Saleh., Robert Tang Herman., Shinta. 2008. Analisis Produksi

Menggunakan Model Optimasi Liner Programming Pada PT MAST.

Jurnal Piranti Warta Vol. 11 No.3, Agustus 2008 : hal 469 – 482.

Abbas, Bachtiar Saleh., Suparto Darudiato., Fransisca. 2008. Sistem Informasi

Optimalisasi Produksi Untuk Memaksimalkan Laba. Jurnal Piranti Warta

Vol. 11 No.2, April 2008 : hal 310 – 332.

Agustin. Hendra. 2004. Riset Operasi (Konsep-konsep Dasar). Asdi Mahasatya.

Jakarta.

Aminuddin. 2005. Prinsip-prinsip Risest Operasi. Erlangga : Jakarta.

Merlyana., Bahtiar Saleh Abbas. 2008. Sistem Informasi Untuk Optimalisasi

Produksi Dan Maksimasi Keuntungan Menggunakan Metode Linier

Programming. Jurnal Piranti Warta Vol. 11 No.13, Agustus 2008 : hal

370 – 387..

Mulyono, S. 2007. Riset Operasi. Edisi Revisi. Fakultas Ekonomi Universitas

Indonesia. Jakarta.

Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional. Jakarta : UI Press.

Sitorus, Parlin. 1997. Program Linier. Universitas Trisakti. Jakarta.

Subagyo, P, Asri M, Handoko H. T. 1983. Dasar-dasar Operation Research, Edisi

2.

Yogyakarta.

Taylo, W. Bernard III. 2001. Sains Manajemen. Edisi 2. Salemba Empat. Jakarta.

Zulfikarijah, Fien. 2004. Operation Research. Bayumedia Publishing. Malang.

Indonesia.


Documents

APLIKASI PROGRAM LINIER DENGAN METODE DUALITAS DAN