Aplikasi Statistik Fermi Dirac

[email protected]

APLIKASI STATISTIK FERMI DIRAC

DALAM MOS TRANSISTOR

Metal Oxida Semiconductor Transistor (MOS Transistor), adalah divais

semikonduktor yang bekerja berdasarkan transport elektron ataupun hole dalam pita

energi. Gambar 1 di bawah adalah model sebuah MOS Transistor yang berada di atas

subtrat Silikon–n. MOS Transistor memiliki tiga penghubung diantaranya Source, Drain

dan Gate yang bekerja dengan prinsip: jika ada tegangan diberikan pada elektroda gate,

maka transistor akan hidup dan arus akan mengalir dari Source menuju Drain,

kebalikannya jika tegangan pada Gate dimatikan, maka transistor akan mati sehingga

tidak ada arus yang mengalir dari Source ke Drain.

Gambar 1. Disain sebuah MOS Transistor

MOS Transistor yang kadang disingkat dengan MOSFET, sering diaplikasikan

sebagai komponen elektronika sebagai komponen gerbang logika (inverter, NAND,

NOR, AND dan OR), IC (integrated circuit), µC (micro controller) dan µP (micro

processor) yang tidak lain adalah komponen utama dari komputer modern saat ini.

Prinsip dari sebuah MOS Transistor sama dengan proses-proses yang terjadi dalam

sebuah semikonduktor. Sehingga, untuk membahas MOS Transistor berdasarkan

fisisnya cukup dengan membahas semikonduktor dan Statistik Fermi Dirac pada Bab A.

Selanjutnya materi yang terkait dengan MOS Transistor dalam elektronika akan di

uraikan pada Bab B.

Aplikasi Statistik Fermi Dirac Dalam MOS Transistor 1

A. SEMIKONDUKTOR DAN STATISTIK FERMI DIRAC

1. Pembawa Muatan Pada Semikonduktor

Gambar 2 adalah diagram pita energi dari semikonduktor, yang memperlihatkan

pita konduksi, vita valensi dan celah pita. Elektron pada pita valensi terikat pada

atom Kristal. Mereka membutuhkan beberapa energi tambahan untuk melintasi pita

terlarang menuju pita konduksi. Untuk mengukur konsentrasi elektron, kita hitung

jumlah elektron pada pita konduksi tiap satuan volume (cm3). Ini disimbolkan

dengan n. Ketika sistem dalam kesetimbangan, ditunjukkan dengan n0.

Gambar 2. Diagram pita energi

Ketika elektron meninggalkan pita valensi menuju pita konduksi, terbebas dari

ikatan utama, meninggalkan tempat kosong dibelakangnya untuk electron lain yang

berada pada pita valensi. Daerah yang kosong ini disebut ‘hole’ dan efektivitas yang

dimilikinya menyerupai partikel bermuatan positif. Jumlah hole pada pita valensi tiap

satuan volume disebut dengan ‘konsentrasi hole’ dan disimbolkan dengan p. Pada

kesetimbangan kita sebut p0.

Jika dimisalkan, medan listrik luar diberikan pada material, elektron pada pita

konduksi akan bebas pindah ke arah berlawanan dari medan karena banyak tempat

sekitar yang cocok dengan level energinya. Dibawah pengaruh dari medan yang sama,

elektron pada pita valensi juga dapat pindah, tapi hanya jika keadaannya cocok dengan

level energinya (keadaan yang cocok dengan pita valensi), dan mereka berkontribusi


terhadap konduksi pada pita valensi jika mereka adalah hole. Saat mengamati beberapa

elektron pada pita valensi, kita anggap gerak efektif dari hole, dengan arah yang sama

terhadap medan listrik, seperti terlihat pada Gambar 3.

Gambar 3. Elektron dan hole pada pita valensi dan konduksi

2. Material Intrinsik dan Ektrinsik

Semikonduktor intrinsik idealnya adalah kristal sempurna. Ketika elektron di

semikonduktor mendapat sedikit saja energi, maka dia bisa pindah menuju pita

konduksi dan meninggalkan hole. Proses ini disebut Elektron Hole Pair (pasangan

elektron hole) EHP. Untuk material intrinsik, karena elektron dan holenya selalu

berpasangan, maka:

n = p = ni (1)

dimana ni adalah simbol untuk ‘pembawa konsentrasi intrinsik’

Pada temperatur ruang, secara relatif sedikit elektron dengan sedikit energi

termal untuk membuat lompatan ini. Faktanya, kadang hanya satu elektron tiap

6,9×1012 atom silikon. Sehingga pembawa konsentrasi intrinsik silikon dalam

temperatur ruang dapat ditulis dengan pendekatan:

ni = 1,45×1010 [ 1

cm3 ] silikon, 300 K(2)

Semikonduktor intrinsik awalnya dibuat dari atom yang berbeda, disebut atom

dopant dalam kristal. Ada dua jenis material intrinsik:


a. Tipe-n. Atom dopanT ditambahkan ke kristal semikonduktor yang disebut

atom donor.

Untuk silikon, kita bisa menggunakan Fospor (p), Arsenik (As) atau

Antimonium (Sb) sebagai donor. Mereka adalah elemen golongan 5, yang

mempunya 5 elektron di kulit terluar. Ketika atom ini dimasukkan ke dalam

kristal silikon, satu elektron di kulit dapat dengan mudah melompat ke pita

konduksi meninggalkan muatan positif. Proses ini kadang-kadang disebut

‘aktivasi’ atau ‘ionisasi’ atom donor. Gambar 4 memperlihatkan energi yang

dibutuhkan atom tersebut dalam silikon, dapat kita lihat mereka sangat kecil

dibandingkan celah pita silikon.

Atom donor muatan positif yang ditinggalkan setelah ionisasi tak

bergerak dan tidak berkontribusi terhadap konduksi. Elektron meninggalkan

atom dengan ionisasi, dihitung sebagai konsentrasi elektron n. Karena aktivasi

elektron rendah pada temperatur ruang, hampir semua atom donor yang

dimasukkan dalam kristal memberikan elektron ke pita konduksi. Sehingga jika

ND adalah konsentrasi donor untuk material tipe-n, maka persamannya:

n0≈ N D[ 1

cm3 ] (3)

Gambar 4. Level energi ionisasi donor dan penerima.


b. Tipe-p. Atom dopant pada kasus ini sebagai atom penerima

Untuk silikon, kita bisa menggunaan Boron (B), Alumunium (Al) dan

Galium (Ga) sebagai penerima. Mereka adalah elemen golongan 3, yang

mempunyai tiga elektron di kulit terluar. Ketika atom ini dimasukkan ke dalam

kristal silikon, satu elektron pada pita valensi silikon dapat dengan mudah

melompat ke kulit valensi atom penerima, meninggalkan hole dan membuat

atom penerima menjadi bermuatan negatif. Gambar 4 memperlihatkan keadaan

level energi kulit valensi atom relatif terhadap pita valensi silikon.

Atom penerima bermuatan negatif setelah elektron bergabung dengan

kulit valensi, dia tidak bergerak dan tidak berkontribusi terhadap konduksi.

Hole yang ditinggalkan oleh elektron, dapat dihitung dalam konsentrasi hole p.

Karena energi aktivasi rendah pada temperatur ruang, hampir semua atom

penerima yang dimasukkan akan menerima elektron dari pita valensi. Sehingga

jika NA adalah konsentrasi penerima untuk material tipe-p persamaannya:

p0 ≈ N A[ 1

cm3 ] (4)

3. Hukum Aksi Massa

Untuk kedua jenis material intrinsik dan ektrinsik, digunakan persamaan:

n0 p0=ni2→ n0=

ni2

p0

, p0=n i

2

n0

(5)

Jadi untuk material tipe-n sebagai atom donor:

n0=ND p0=ni

2

n0

=ni

2

N D

(6)

dan untuk material tipe –p sebagai atom penerima:

4. Kompensasi Ketidakmurnian


p0=N A n0=ni

2

p0

=ni

2

N A

(7)

Karena batasan pembuatan, dalam beberapa kasus kedua atom donor dan atom

penerima memberikan bagian pada kristal semikonduktor. Tipe akhir dari material

dan konsentrasi elekton/ hole bergantung pada tipe atom dopan yang lebih padat.

Keadaan tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1. Kompensasi ketidakmurnian

Jika N D > N A Jika N D < N A

Material Tipe-n Tipe-p

Konsentrasi elektron pada kesetimbangann0 = N D − N A n0=

ni2

p0

Konsentrasi hole pada kesetimbanganp0=

ni2

n0

p0 = N A − N D

5. Statistik Fermi Dirac

Dalam statistik Fermi Dirac, partikel-partikel di dalam sistem (ensemble)

dianggap sebagai partikel-partikel yang tak terbedakan, tetapi partikel tersebut

harus memenuhi prinsip larangan Pauli yang menyatakan bahwa partikel tidak

dapat berada pada keadaan kuantum (keadaan energi) yang sama, artinya setiap

partikel akan berada pada keadaan tertentu yang diperbolehkan tetapi keadaan

masing-masing partikel berbeda diantara satu dengan lainnya. Harga ωk dalam

statistik Fermi Dirac dinyatakan dengan:

ωk . FD=π j

g j!

(g j−N j ) !(8)

dimana

ωk . FD : Banyaknya keadaan-keadaan mikro yang mungkin terjadi pada keadaan

makro k

N j : bilangan okupasi

g j : keadaan makro pada tingkat energi ke-j

Fermi Dirac menurunkan persamaan fungsi distribusi jumlah bilangan

okupasi rata-rata untuk setiap keadaan pada tingkat energi ke j sebagai:


N j

g j

= 1

exp( ε j−μkT )

(9)

dimana

N j

g j

: Jumlah partikel rata-rata untuk setiap keadaan makro pada tingkat

energi ke j

ε j : Harga kuantum energi pada tingkat keadaan ke j

μ : potensial kimia perpartikel

k : konstanta Boltzman = 1,38 × 10-23 J/K

T : Temperatur sistem

Partikel yang memenuhi fungsi distribusi Fermi Dirac digolongkan sebagai

fermion, dan yang tergolong sebagai fermion (partikel dengan spin kelipatan

ganjil dari ½) adalah elektron, proton, dan inti atom dengan jumlah nukleon

ganjil.

6. Fungsi Distribusi Fermi-Diract dan Level Fermi

Pita konduksi adalah bagian dari semikonduktor yang terisi disediakan

oleh level energi yang kosong. Ketika menghitung jumlah elektron yang akan

mengisi level tersebut dan dihitung dalam n, berkontribusi pada konduktivitas,

kita mengacu pada dua faktor:

Berapa jumlah energi level yang ada dalam memberi range energi, dalam

kasus kita yaitu pita konduksi

Kemungkinan masing-masing level penuh akan elektron.

Kemungkinan bagian kedua memberikan fungsi probabilitas yang disebut

fungsi distribusi Fermi-Diract. f(E) adalah kemungkinan level dengan energi E

akan terisi oleh elektron, ditunjukkan dalam persamaan:

f ( E )= 11+exp ¿¿

(10)

dimana k B adalah konstanta boltzmann, 8.62×10-5 [eV/K], dan T adalah

temperatur dalam Kelvin.


EF adalah energi Fermi atau level Fermi. Dia ditentukan dari titik energi

dimana probabilitas okupasi oleh elektron hampir 50%, atau 0,5:

f ( EF )= 11+exp ¿¿

(11)

6.1 Makna dari (1-f(E))

Karena fE adalah kemungkinan energi pada level E1 akan terisi elektron,

(1-fE1) adalah kemungkinan level energi E menjadi kosong. Atau jika E1 adalah

pita valensi, (1-f(E1) adalah kemungkinan level energi E1 mempunyai hole.

6.2 Simetri dari f(E) sekitar EF

Dengan mudah dapat dilihat bahwa

f ( EF +E )=1−f (EF−E) (12)

6.3 Level Fermi pada Semikonduktor Intrinsik dan Ektrinsik

Semikonduktor intrinsik, n = p. Jika kita menggunakan pendekatan

simetri pita, dengan mengasumsikan bahwa jumlah keadaan dalam ukuran pita

energi yang sama pada tepi pita konduksi dan pita valensi, n = p menyatakan

bahwa ada peluang yang sama untuk menemukan elektron di tepi pita konduksi

seperti menemukan hole pada tepi pita valensi:

f ( EC )=1−f (EV ) (13)

Dari persamaan 12 kita dapat menarik kesimpulan bahwa level Fermi EF

harus berada di pertengahan celah pita untuk semikonduktor intrinsik, seperti

pada Gambar 5. Faktanya, level ini disebut “ level Fermi Intrinsik”, dan

ditunjukkan dalam Ei:

Ei=EC−EG

2=EV−

EG

2

(14)

dimana EG adalah energi celah pita.

Untuk semikonduktor tipe-n, terdapat lebih banyak elektron di pita

konduksi daripada hole di pita valensi. Ini mengisyaratkan bahwa kemungkinan

untuk mnemukan elektron dekat tepi pita konduksi lebih besar daripada

kemungkinan untuk menemukan hole di tepi pita valensi. Kemudian, Level

Fermi semakin dekat terhadap pita konduksi pada semikonduktor tipe-n.


Gambar 5. Level Fermi yang berada di tengah celah pitaUntuk semikonduktor tipe-p, lebih banyak hole di pita valensi daripada

elektron di pita konduksi. Ini mengisyaratkan bahwa kemungkinan untuk

menemukan elektron dekat tepi pita konduksi lebih kecil daripada menemukan

hole di tepi pita valensi. Kemudian, level Fermi semakin dekat terhadap pita

valensi pada semikonduktor tipe-p.

Hubungan di berikut ini adalah kesimpulan dari bagian terakhir paragraf di atas:

Tipe-n : f(EC) > (1 − f(EV ) |EC − EF | < |EF − EV | EF > Ei (15)

Tipe-p : f(EC) < (1 − f(EV ) |EC − EF | > |EF − EV | EF < Ei (16)

Gambar 5 memperlihatkan keadaan untuk material intrinsik.

Gambar 6. Level Fermi ektrinsik. Kurva fungsi distribusi Fermi-Dirac bebih menegaskan perbedaan antara f(EC) dan 1 − f(EV) pada material tipe-n dan tipe-p.


Akhirnya, karena celah pita energi konstan, dengan Eg = EC − EV, hubungan

antara Eg, Ei, EC, EV dan EF dapat disimpulkan dengan melihat Gambar 6. Tabel 2 adalah

kesimpulan dari hubungan tersebut.

Tabel 2. Hubungan antara Eg, Ei, EC, EV dan EF pada material tipe-p dan tipe-n

Tipe Material Hubungan

Tipe-nEF > Ei

EC−EF=EG

2−(E¿¿ F−Ei)¿

Tipe-pEF < Ei

EF−EV=EG

2−(E¿¿ I−EF)¿

7. Keefektifan Densitas Keadaan dan Konsentrasi Pembawa

Faktor utama tersebut pada bagian 6, berapa jumlah keadaan energi

untuk elektron dalam pita konduksi, digambarkan sebagai densitas fungsi

keadaan N(E). N(E) dE diberikan sebagai jumlah keadaan dalam range energi

[E,E+dE]. Untuk menemukan jumlah elektron di pita konduksi, kita kalikan

densitas keadaan dengan probalilitas terhadap masing-masing level energi yang

akan diduduki elektron (f(E)) dan mengintegralkan terhadap pita konduksi.

Namun, dengan asumsikan level Fermi cukup jauh dari tepi pita

konduksi (|EC−EF | >4kBT), kita dapat mempertimbangkan semua level energi

yang tersedia dalam pita konduksi akan berkumpul tepat di tepi pita. Dalam

melakukannya, kita mendefinisikan densitas efektif dari keadaan, ditunjukkan

dengan NC untuk pita konduksi dan NV untuk pita valensi. Kemudian pada pita

konduksi, kita harus menemukan jumlah elektron tiap satuan volume dengan

menghitung jumlah keadaan di tepi pita tiap satuan volume (NC) dan

mengalikannya dengan probabilitas tingkat keadaan tersebut akan diisi (f (EC)).


n0=NC f ( EC )=NC1

1+exp (EC−EF

kB T)¿

¿ (17)

Jika diasumsikan |EC − EF | > 4kBT, kita dapat mendekatkan fungsi

distribusi Fermi Dirac dengan fungsi distribusi Boltmann:

f ( EC )=NC1

1+exp(EC−EF

k B T)¿

¿≈ exp¿¿ (18)

Pada semikonduktor tipe-n, jika kita mengetahui level doping ND, dan

menganggap n0 = ND, menggunakan pendekatan Boltzmann:

n0=ND=NC exp¿¿ (19)

Demikian pula, untuk hole pada pita valensi, kita ambil densitas efektif

dari keadaan (NV) dan mengalikannya dengan probabilitas keadaan yang akan

kosong ((1-f(EV))):

p0=N V (1−f ( EV ))=N V exp¿¿ (20)

Dan ini juga menggunakan pendekatan Boltzmann untuk f(EV).

B. MOSFET/ MOS Transistor

1. MOSFET/ MOS Transistor

Dalam perkembangannya, MOSFET terdiri atas MOSFET depletion-mode

(generasi pertama) dan MOSFET enhancement-mode (generasi kedua). Perbedaan yang

mendasar dari kedua MOSFET tersebut adalah, subtrat pada Transistor MOSFET

enhancement-mode dibuat sampai menyentuh Gate, seperti terlihat pada Gambar 7.


Gambar 7. Struktur MOSFET enhancement-mode

Gambar 7 adalah MOS Transistor tipe enhancement mode kanal n. Jika tegangan

Gate VGS dibuat negatif, maka arus elektron tidak dapat mengalir. Dan ketika VGS=0

ternyata arus belum bisa mengalir karena ‘tidak ada lapisan deplesi’ maupun celah

yang bisa dialiri elektron. Jika VGS diberi tegangan positif maka tegangan Gate terhadap

subtrat akan positif.

Tegangan positif ini akan menyebabkan elektron tertarik ke arah subtrat p.

Elektron-elektron akan bergabung dengan hole yang ada pada subtrat p. Karena

potensial Gate lebih positif, maka elektron terlebih dahulu tertarik dan menumpuk di

sisi subtrat yang berbatasan dengan gate. Elektron akan terus menumpuk dan tidak

dapat mengalir menuju Gate karena terisolasi oleh bahan insulator SiO2 (kaca).

Jika tegangan Gate cukup positif, maka tumpukan elektron akan menyebabkan

terbentuknya ‘semacam lapisan n yang negatif’ sehingga arus drain dan source dapat

mengalir. Lapisan ini disebut dengan inversion layer, (lapisan dengan tipe yang

berbalikan). Gambar 7 memperlihatkan subtract dari tipe p yang mengakibatkan lapisan

inversion bermuatan negatif atau tipe n. Tegangan minimum pada lapisan inversion n

disebut tegangan threshold VGS(th). Biasanya nilai tegangan VGS(th) tertera di dalam

datasheet.

2. Pabrikasi MOSFET enhancement-mode

Transistor MOSFET enhacement mode dalam beberapa literatur disebut juga

dengan nama E-MOSFET.

Gambar 8. Penampang E-MOSFET (enhancement-mode)


Gambar 8 diatas adalah bagaimana transistor MOSFET enhancement-mode

dibuat. Kanal n akan terbentuk (enhanced) dengan memberi tegangan VGS diatas

tegangan threshold tertentu. Struktur transistor inilah yang paling banyak

diterapkan dalam IC digital.

3. Kurva Drain MOSFET enhacement-mode

Kurva drain transistor E-MOSFET ditunjukkan pada Gambar 9 berikut.

Semua VGS bernilai positif dan garis kurva paling bawah adalah garis kurva saat

transistor mulai ON. Tegangan VGS pada garis kurva ini disebut tegangan threshold

VGS(th).

Gambar 10. Kurva drain E-MOSFET

Karena transistor MOSFET umumnya digunakan sebagai saklar (switch),

parameter yang penting pada transistor E-MOSFET adalah resistansi drain-source.

Biasanya yang tercantum pada datasheet adalah resistansi pada saat transistor ON.

Resistansi ini dinamakan RDS(on). Besar resistansi bervariasi mulai dari 0.3 Ohm

sampai puluhan Ohm. Untuk aplikasi power switching, semakin kecil resistansi

RDS(on) maka semakin baik transistor tersebut. Karena akan memperkecil rugi-rugi

disipasi daya dalam bentuk panas. Selain itu juga penting diketahui parameter arus

drain maksimum ID(max) dan disipasi daya maksimum PD(max).

4. Simbol transistor MOSFET

Simbol garis putus-putus pada MOSFET menunjukkan struktur transistor

yang terdiri drain, source dan subtrat serta gate yang terisolasi. Arah panah pada


subtrat menunjukkan type lapisan yang terbentuk pada subtrat ketika transistor ON

sekaligus menunjukkan type kanal transistor seperti terlihat pada Gambar 11.

Gambar 11. Simbol MOSFET, (a) kanal-n (b) kanal-p

5. NMOS dan PMOS

Dua jenis MOS Transistor yaitu tipe n atau p dibedakan dengan nama

NMOS dan PMOS terlihat pada Gambar 12. Simbol untuk menggambarkan MOS

tipe depletion-mode dibedakan dengan tipe enhancement-mode. Pembedaan ini

perlu untuk rangkaian-rangkaian rumit yang terdiri dari kedua jenis transistor

tersebut.

Gambar 12. Simbol transistor (a)NMOS (b)PMOS tipe enhancement mode

.


Documents

Aplikasi Statistik Fermi Dirac