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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIPCURSO SUPERIOR DE MATEMÁTICA
SEMINARIO SOBRE A HISTORIA DA MATEMÁTICA/ APOLÔNIO
São Paulo / SP2013
UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIPCURSO SUPERIOR DE MATEMÁTICA
SEMINARIO SOBRE A HISTORIA DA MATEMÁTICA/ APOLÔNIO
Nome: José Aurenir Mota de Matos RA: B80AGA-5João Paulo da Silva Filho RA: B84AHG-3
Orientador Profº : Emilio
São Paulo / SP2013
Sumário
Introdução..................................................................................................................................... Pág 04
1- Apolônio de Perga ....................................................................................................................Pág 05
2- Obras ....................................................................................................................................... Pág 07
2.1- Cônicas ................................................................................................................................. Pág 08
2.1.1- Resumo das Cônicas..........................................................................................................Pág 09
2.2- Dividir Segundo uma Razão ..................................................................................................Pág 14
3- Obras Perdidas ........................................................................................................................Pág 15
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Introdução
Trabalho sobre a vida de Apolônio, importante matemático e astrônomo, quase não temos dados
sobre a sua vida e a maioria de seus trabalhos acabou se perdendo, porém daremos ênfase a um
trabalho muito importante seu a cônicas.
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1- Apolônio de Perga
Apolônio de Perga
Aproximadamente durante o primeiro século da Idade Helenística, três matemáticos se
destacaram com relação aos demais da época, assim como da maior parte de seus predecessores
e sucessores.
Esses homens foram Euclides, Arquimedes e Apolônio. É por causa deles que o período
de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da matemática grega. Não se podem
conhecer as datas precisas de sua vida, mas diz-se que viveu durante os reinos de Ptolomeu
Euergetes e de Ptolomeu Filopater. Alguns relatos afirmam que ele foi o tesoureiro-geral de
Ptolomeu Filadelfo e dizem ainda que era vinte e cinco a quarenta anos mais jovem que
Arquimedes.
O matemático Apolônio nasceu em Perga, Pamphylia, que hoje é conhecida como
Murtina ou Murtana, Turquia. Na época de Apolónio, Perga era um centro de cultura e o local de
devoção da deusa Artemis, ainda jovem, deixou Perga em direção a Alexandria cujo
o Museu e Biblioteca eram o centro do saber ocidental, lá ele estudou com os seguidores
de Euclides tendo mais tarde ensinado na Universidade de Alexandria, apesar disto, parece
estranho que não haja referencia nos livros de sua grande obra "As Cônicas" a nenhum dos reis de
Alexandria. Sabe-se ainda que visitou Pergamum (uma cidade grega) hoje conhecida como
Bergama (na Turquia), onde haviam sido construídas uma Universidade e uma Biblioteca
semelhantes às existentes em Alexandria.
Conhecido como "O Grande Geômetra" e considerado como um dos mais originais
matemáticos gregos no campo da geometria pura.
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Dos três grandes matemáticos do helenismo, ele é o menos conhecido, seus trabalhos
tiveram uma influência muito grande no desenvolvimento da Matemática, porem os dados da vida
de Apolônio são escassos e quase todos de notas que aparecem nas introduções dos
diferentes livros de cônicas. Além destes aspectos da vida privada de Apolônio, apenas se sabe o
que consta nos prefácios dos seus livros. Num destes, encontra-se a referência ao seu filho,
também chamado Apolônio, que terá transportado a 2ª edição do livro 2 de cônicas para
Pergamum.
A sua metodologia inovadora e a sua terminologia, especialmente no domínio das
cônicas, influenciou vários matemáticos posteriores à ele como Ptolomeu, Kepler, Isaac Newton e
René Descartes. Mais tarde, Gaspard Monge e Girard Desargues utilizaram a importância do
raciocínio projetivo para aplicar ao conjunto da Geometria.
Apolônio foi também um astrônomo célebre. Nessa área Apolônio destacou-se como o
autor de um modelo matemático muito aceito na antiguidade para a representação do movimento
dos planetas. Eudoxo de Cnido havia usado esferas concêntricas mas Apolônio propôs dois
sistemas alternativos baseados em movimentos epicíclicos e movimentos excêntricos. No primeiro
caso assumia-se que um planeta se move uniformemente ao longo de um epiciclo cujo
centro por sua vez se move uniformemente ao longo de um círculo maior com centro na terra,
em . No esquema excêntrico o planeta se move ao longo de um círculo grande, cujo
centro por sua vez se move em um círculo pequeno de centro em . Se , os
dois esquemas serão equivalentes. Enquanto o sistema das esferas homocêntricas, graças
a Aristóteles, era o favorito, os esquemas que utilizavam ciclos e epiciclos, graças
a Ptolomeu eram adotados por astrônomos que buscavam um refinamento maior nos detalhes e
nas previsões.
Esquema de movimento epicíclico
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2- Obras
Felizmente no que respeita à obra de Apolônio temos mais informação do que da sua vida
pessoal, apesar de se terem perdido vários livros da sua vasta obra.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada Resultado Rápido que parece ter
tratado de processos rápidos de calcular. Temos os títulos de muitas obras perdidas, entre eles:
Como dividir uma razão; Cortar uma área; Sobre secção determinada; Tangências (ou Contatos);
Inclinações e Lugares Planos. Seis das obras de Apolônio estavam incluídas junto com dois dos
tratados mais avançados (hoje perdidos) de Euclides, numa coleção chamada “Tesouro da
análise”. O “Tesouro” consistiu em grande parte de obras de Apolônio, consequentemente deve ter
incluído muito do que hoje chamamos geometria analítica.
Da sua vasta obra científica somente dois dos seus trabalhos chegaram aos nossos dias,
“As Cônicas” e “Dividir Segundo uma Razão”. Foi Apolônio que deu nome as curvas (a elipse, a
parábola, e a hipérbole) da maneira que estamos familiarizados atualmente.
Dentre seus estudos estão:
Resultado rápido, onde mostra métodos para efetuar cálculos rapidamente
e também uma aproximação do número mais precisa do que aquela conhecida
, estabelecida por Arquimedes.
Em sua obra Espelho Ardente, ele discutiu as propriedades focais de um
espelho parabólico e demonstrou, como já havia sido imaginado, que raios de luz paralelos
convergem para um foco.
Apolônio também fez várias aplicações de seu vasto conhecimento sobre
cônicas; entre elas o hemicyclium - uma espécie de relógio de sol onde há retas
desenhadas na superfície de uma seção cônica, dando maior precisão.
Dividir em uma razão (perdida), vários casos sobre o problema: dadas
duas retas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta que corte
sobre as retas dadas segmentos que estejam numa razão dada;
Cortar uma área;
Sobre seção determinada, geometria analítica ;
Tangências, onde consta o conhecida «problema de Apolônio;
Inclinações, sobre problemas planos utilizando régua e compasso;
Lugares planos;
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Desenvolveu um esquema de “tetradas” para exprimir grandes números, usando
equivalentes de expoentes da miríade.
Ao passo que Arquimedes usava a dupla miríade como base.
Como em muitas outras biografias antigas, Pappus de Alexandria foi o responsável pela
maior parte dessas informações. Segundo ele, seis das obras de Apolônio estavam em dois dos
tratados mais avançados de Euclides, numa coleção que chamavam Tesouro da análise. Era uma
coleção especialmente destinada aos que queriam estudar problemas que envolvessem curvas e
seu conteúdo era na maior parte sobre o que chamamos hoje de geometria analítica, de autoria de
Apolônio. Talvez esse tenha sido a razão pelo título "Grande Geômetra" que recebeu de seus
contemporâneos. Apolônio de Perga escreveu sobre o parafuso ou a hélice cilíndrica. Também
escreveu uma obra chamada Tratado universal, onde Apolônio examinava de maneira crítica os
fundamentos da matemática. Desta obra conservaram-se fragmentos.
2.1 Cônicas
No que se refere a Cônicas, é um Tratado composto de oito livros dos quais sobreviveram
sete - A seção da relação , A seção do espaço, A seção determinada, As inclinações, Os lugares
planos, Os contatos e Okytokion ( onde se determina um sistema de numeração mais prático do
que o de Arquimedes) - As cônicas são a obra principal de Apolônio.
Os Estóicos das Cônicas, com o seu título original em grego, que era um tratado em oito
livros, Os quatro primeiros livros que chegaram até aos nossos dias estão escritos em grego, com
os comentários de Etocius. Os livros de cinco à sete estão traduzidos em árabe por Thâbit-ibn-
Qurra, e revista por Nâsir-ad-Dinet e o oitavo livro desapareceu. O conjunto desta obra, com uma
restituição do oitavo livro, foi publicado (texto em grego e tradução latina), por Edmund Halley
em 1710. Este já tinha traduzido, em 1706, duas outras obras de Apolônio. Em primeiro lugar,
importa referir que, para Apolônio, cônicas eram as curvas obtidas quando um plano intersecta a
superfície de um cone. No prefácio do livro, Apolônio explica as razões que o levaram a
escrever Cônicas:
"...eu levei a cabo a investigação deste tema a pedido de Naucrates "o Geómetra", quando
ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando eu o tinha discutido em oito livros, dei-lhos de
imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi portanto possível revê-los, de fato
eu escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim."
(in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, página 129).
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Devido ao fato de não ter sido possível rever os livros, estes começaram a circular na sua
primeira forma, havendo algumas evidências de que certas traduções (dos livros 1 e 2), que
chegaram aos nossos dias, provêm desses livros não revistos.
Cônicas era composto por oito livros. Os quatro primeiros eram introduções bastante
elementares às propriedades básicas das cônicas. As maiorias dos resultados apresentados
nestes livros eram já conhecidas de Euclides, Aristaeus e outros, mas alguns eram, nas palavras
do próprio Apolônio:
"...trabalhados mais profundamente e de uma forma mais geral do que na escrita de
outros."
No livro 1, Apolônio estudou as relações entre os diâmetros e as tangentes das cônicas.
No livro 2, estudou as relações das hipérboles com as suas assímptotas e também como desenhar
tangentes a cônicas dadas.
Os livros 5 a 7 são bastante originais, nos quais Apolônio discute normais às cônicas e,
mostra quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Deu proposições que determinavam
o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à equação cartesiana.
Pappus dá algumas indicações dos conteúdos de outros seis trabalhos de Apolônio, dos
quais apenas um sobreviveu até aos nossos dias, Cutting of a ratio. Os outros cinco são: Cutting
an area, On determinate section, Tangencies, Plane loci e On Verging Constructions.
2.1.1- Resumo das Cônicas
Livro I
Apolônio começa por mostrar que, de um único cone, podem ser obtidas as três espécies
de secções cônicas bastando para tal fazer variar a inclinação do plano. Como se pode ver na
figura:
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A parábola é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cônica com
um plano paralelo a sua geratriz.
A elipse é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um
plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes.
A hipérbole é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com
um plano paralelo as duas geratrizes.
Apolônio vai utilizar pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar
estas curvas. Nomes que foram adotados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado
quando um retângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o
termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando
não havia excesso nem falta.
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Curvas Equação Propriedade
Parábola
Para qualquer ponto sobre ela o
quadrado sobre a ordenada é igual ao
rectângulo sobre a abcissa x e o parâmetro
l.
Elipse
Hipérboleou
Apolônio mostrou que o cone não precisa ser reto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um
cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um
conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou
ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou
hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamou diâmetros conjugados. A partir dos
diâmetros conjugados, Apolônio mostrou que, se uma reta é traçada por uma extremidade de um
diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a reta tocará a cônica e mais
nenhuma reta pode cair entre ela e a cônica, isto é, a reta é tangente à cônica.
Segundo Boyer, no livro I, Apolônio "analisou as propriedades fundamentais das curvas
mais completamente e com mais generalidade que os escritos de outros autores". (Carl Boyer, A
History of Mathematics, página 165).
Livro II
Apolônio contínua o estudo dos diâmetros conjugados e tangentes. Por exemplo, no caso
da hipérbole, se P for qualquer ponto sobre qualquer hipérbole, com centro C, a tangente em P
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cortará as assíntotas nos pontos L e L` que são equidistantes de P. E toda a corda QQ` paralela a
CP encontrará as assíntotas nos pontos K e K` tais que QK=QK` e QK.QK`=CP².
Apolônio também mostra como traçar tangentes a uma cônica usando a teoria da divisão
harmônica. Por exemplo, no caso da elipse, se Q é um ponto da curva, Apolônio traçava uma
perpendicular QN de Q ao eixo AA` e achava o conjugado harmônico T de N em relação a A e A`.
Então, a reta que passa por T e Q é a tangente à elipse.
Livro III
Como se pode ler no prefácio geral da obra, Apolônio tinha grande admiração por livro III:
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"O terceiro livro contém muitos teoremas notáveis, úteis para a síntese de lugares sólidos e
determinações de limites; a maior parte e mais bonitos desses teoremas são novos e, quando os
descobri, observei que Euclides não tinha efetuado a síntese do lugar com relação a três ou quatro
retas, mas só uma parte causal dela e não bem-sucedida; pois a síntese não poderia ser
completada sem minhas descobertas adicionais" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página
103).
Apolônio mostra aqui, por métodos sintéticos, teoremas que lhe permitem determinar o
seguinte problema: Dadas três ou quatro retas de um plano, achar o lugar de um ponto P, que se
move de modo que o quadrado da distância de P a uma das retas seja proporcional ao produto das
distâncias das outras duas.
Como mostra Boyer, "poucos problemas tiveram papel tão importante na história da
matemática quanto o do "lugar a três ou quatro retas" (in, Elza Gomide, História da Matemática,
página 103).
Livro IV
Neste livro, Apolônio estudou o número de pontos em que uma seção de um cone pode
intersectar uma curva. Vai dedicar-se, sobretudo à interseção com os ramos de uma hipérbole. Por
exemplo, mostrou que se um ramo de uma hipérbole encontra os dois ramos de outra hipérbole o
ramo oposto a primeira hipérbole não encontrará nenhum dos ramos da segunda em dois pontos,
ou se uma hipérbole é tangente a um dos ramos de uma segunda hipérbole não encontrará o
ramo oposto da segunda.
Os teoremas deste livro são todos originais e é sobre eles que Apolônio diz:
"Eles merecem aceitação pelas suas próprias demonstrações, assim como aceitamos
muitas coisas na matemática por esta razão e nenhuma outra."(in, Elza Gomide, História da
Matemática, página 104).
Livro V
Apolônio faz o estudo de tangentes e normais de uma curva e mostra, por procedimentos
sintéticos, como se consegue obter as evolutas das cônicas. Para tal, determina o número de
normais distintas de cada ponto, cujas equações são:
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Apolônio diz que efetuou este estudo porque "o assunto é um daqueles que parecem
dignos de estudo por si mesmo". (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 104).
Livro VI
Este livro trata fundamentalmente da igualdade e semelhança de cônicas. Apolônio
considera duas cônicas semelhantes quando as ordenadas traçadas à distância proporcional ao
vértice forem proporcionais às abscissas correspondentes. Demonstra ainda que todas as
parábolas são semelhantes e que uma parábola não pode ser semelhante a uma elipse ou
hipérbole, nem uma elipse a uma hipérbole.
Livro VII
Apolônio retoma o estudo dos diâmetros conjugados, apresentando muitas proposições
novas.
Livro VIII
Julga-se que este livro tivesse problemas semelhantes aos do livro VII, porque no prefácio
do livro VII, Apolônio escreveu que "os teoremas do livro VII eram usados no livro VIII para resolver
certos problemas sobre cônicas, de modo que o ultimo livro é uma espécie de apêndice" (in, Elza
Gomide, História da Matemática, página 106).
2.2- Dividir Segundo uma Razão
Todas as versões gregas de Dividir Segundo uma Razão se perderam. Porém, foi feita
uma tradução árabe que está na base da tradução latina efetuada, em 1706, por Edmund Halley.
A obra é constituída por dois livros onde, fundamentalmente, Apolônio resolve o seguinte
problema: Dadas duas retas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta
que corte sobre as retas dadas segmentos que estejam numa razão dada.
Este problema equivale a resolver uma equação quadrática do tipo .
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3- Obras Perdidas
Título Assunto provável
Cortar uma Área
Tratava o seguinte problema: Dadas duas retas e um
ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta
que corte sobre as retas dadas segmentos que contenham um
retângulo.
Tangências
Tratava o seguinte problema conhecido hoje
como Problema de Apolônio: Dadas três coisas, cada uma das
quais pode ser um ponto, uma reta ou um círculo, traçar um
círculo que é tangente a cada uma das três coisas.
Inclinações Tratava os problemas das inclinações que podiam ser
resolvidos usando régua e compasso.
Lugares Planos Estudava condições que conduzem a retas e círculos
como lugares geométricos.
Seção Determinada
Tratava o seguinte problema: Dados quatro pontos A, B,
C e D sobre uma reta, determinar um quinto ponto P sobre ela, tal
que o retângulo sobre AP e CP esteja numa razão dada com o
retângulo sobre BP e DP.
Cálculo Rápido Tratava processos rápidos de calcular e continha um
valor aproximado do .
Comparação entre o
Dodecaedro e o Icosaedro
Demonstrava o seguinte teorema: As faces pentagonais
planas de um dodecaedro estão à mesma distância do centro da
esfera circunscrita que as faces triangulares de um icosaedro
inscrito na mesma esfera.
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