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Aurora boreal, fenômeno óptico o
bservado nos
céus de regiões próximas a zonas
polares
Planos de Manejo garantem produçãode alimentos em áreas de proteçãoambiental
•• Matemática – Matrizespg. 02
•• Matemática – Determinantespg. 04
•• Física – Óptica geométricapg. 06
•• Física – Refração da luzpg. 08
•• Português – Perscrutando o textopg. 10
MatrizesNotação geralCostuma-se representar as matrizes por letrasmaiúsculas e seus elementos por letrasminúsculas, acompanhadas por dois índiceszque indicam, respectivamente, a linha e acoluna que o elemento ocupa.Assim, uma matriz A do tipo m x n é representadapor:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e jrepresentam, respectivamente, a linha e acoluna que o elemento ocupa. Por exemplo, namatriz anterior, a23 é o elemento da 2.a linha eda 3.a coluna.
Na matriz , temos:
Ou na matriz B = [ −1 0 2 5 ], temos: a11 = −1,a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características,recebem denominações especiais.Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, comuma única linha. Por exemplo, a matrizA =[4 7 −3 1], do tipo 1 x 4.Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma
única coluna. Por exemplo, , dotipo 3 x 1.
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja,com o mesmo número de linhas e colunas;dizemos que a matriz é de ordem n. Por
exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto
é, quadrada de ordem 2. Numa matriz quadrada, definimos a diagonalprincipal e a diagonal secundária. A principal éformada pelos elementos aij tais que i = j. Nasecundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = −1 é elemento da diagonal principal, poisi = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, poisi + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1)Matriz nula: matriz em que todos os elementossão nulos; é representada por 0m x n.
Por exemplo, .
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todosos elementos que não estão na diagonalprincipal são nulos. Por exemplo:
Matriz identidade: matriz quadrada em quetodos os elementos da diagonal principal sãoiguais a 1 e os demais são nulos; érepresentada por In, sendo n a ordem da matriz.Por exemplo:
Assim, para uma matriz identidade:
In
Matriz transposta: matriz At obtida a partir damatriz A trocando-se ordenadamente as linhaspor colunas ou as colunas por linhas. Porexemplo:
Se
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At édo tipo n x m.Note que a 1.a linha de A corresponde à 1.a
coluna de At e a 2.a linha de A corresponde à 2.a
coluna de At.
Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n,
tal que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6,a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre aij = aji.Matriz oposta: matriz −−A obtida a partir de Atrocando-se o sinal de todos os elementos de A.
Por exemplo, .
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, sãoiguais se, e somente se, todos os elementosque ocupam a mesma posição são iguais:
A=B⇔aij = bij para todo 1≤ i ≤ m e todo 1≤ j≤ n.
e A = B, então
c = 0 e b = 3
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn,chamamos de soma dessas matrizes a matrizC = [Cij]mxn, tal que Cij = aij + bij, para todo:
l ≤ i ≤ m e todo l ≤ j ≤ n
A + B = C Exemplos:
Observação: A + B existe se, e somente se, Ae B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m xn), temos as seguintes propriedades para aadição:a) comutativa: A + B = B + A
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Melhoramento genético, preservação deecossistemas e recuperação de áreasdegradadas. Estes são alguns dos focos daspesquisas desenvolvidas por alunos do cursode Engenharia Florestal da UEA em trabalhosde conclusão de curso. As pesquisas, aindaque preliminares, já demonstram resultadossignificativos no esforço de produzirconhecimentos aplicáveis ao manejo eproteção de recursos florestais e representamuma parte da contribuição da UEA parapreservação do ecossistema da região emelhoria das condições de vida do homemamazônico.É o caso da pesquisa desenvolvida porLarissa Chevreuil. Orientada pela pelasprofessoras Silvana Cristina Pando e MárciaBananeira Castro e Silva, a estudantepesquisou a caracterização de proteínas desementes florestais da Amazônia. Com essetrabalho, a aluna foi aprovada no Programade Pós-Graduação em Ciências de FlorestasTropicais do INPA.A avaliação de sementes, principal insumopara produção de mudas de qualidadeusadas no reflorestamento, foi o objeto deum outro estudo, desenvolvido pela alunaAdriana de Araújo Bastos. O trabalho,inserido no projeto Parkia, da Fundação deAmparo à Pesquisa do Estado doAmazonas (Fapeam), foi orientado pelasprofessoras Ângela Maria da Silva Mendese Maria da Glória Gonçalves de Melo. Desenvolvendo estudos sobre plantas jovensde mogno (Swietena macrophylla King), oacadêmico Adamir da Rocha Nina Júniorbuscou identificar o melhor ambiente deplantio da espécie. A pesquisa, cujosresultados devem viabilizar plantios por meioda seleção de indivíduos de altaperformance produtiva e também o manejoflorestal, garantiu ao acadêmico, aprovaçãoem três cursos de mestrado, em algumasdas principais instituições de pesquisa doEstado: Ufam, UEA e INPA. O trabalho foiorientado pelos professores José Franciscode Carvalho Gonçalves e Ananias AlvesCruz.A identificação de doenças em espéciesflorestais da Amazônia foi o tema central dotrabalho da aluna Áurea da Silva Trindade.Considerando a escassez de estudos sobredoenças mais incidentes da região, elaidentificou três novas doenças foliareas emmudas de andiroba (Carapa guianensis),jacareúba (Calophyllum brasiliensis), ipê roxo(Tabebuia impetiginosa) e mogno (Swietenamacrophylla). O trabalho representa oprimeiro passo para a adoção de manejofitossanitário em plantios e no manejosustentável das espécies nativas.
Pesquisas de alunosda UEA contribuempara preservaçãoda floresta
Matemática Professor CLÍCIO
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo0 a matriz nula m x nd) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0Subtração
Dadas as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn,chamamos de diferença entre essas matrizes asoma de A com a matriz oposta de B:
A − B = A + ( − B )
Observe:
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipom x n, o produto de x por A é uma matriz B dotipo m x n obtida pela multiplicação de cadaelemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B = x . A. Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) ex e y números reais quaisquer, valem asseguintes propriedades:a)associativa: x . (yA) = (xy) . Ab)distributiva de um número real em relação
à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xBc) distributiva de uma matriz em relação à adição
de dois números reais: (x + y) . A = xA = yAd)elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja,
A=A
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não édeterminado por meio do produto dos seusrespectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = (aij)mxp eB = (bij)pxn é a matriz C = (cij)mxn em que cadaelemento cij é obtido por meio da soma dosprodutos dos elementos correspondentes da ié-sima linha de A pelos elementos da j-ésimacoluna B.
Vamos multiplicar a matriz para entender comose obtém cada Cij:
1.a linha e 1.a coluna:
1.a linha e 2.a coluna:
2.a linha e 1.a coluna:
2.a linha e 2.a coluna:
Assim, observe que:
Portanto, A . B ≠ B . A, ou seja, para a multiplica-ção de matrizes não vale a propriedadecomutativa.Vejamos outro exemplo com as matrizes:
Da definição, temos que a matriz produto A . Bsó existe se o número de colunas de A for igualao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A(m) e o número de colunas de B(n):Se A3 x 2 e B2 x 5 , então (A . B)3 x 5Se A4 x 1 e B2 x 3, então não existe o produto Se A4 x 2 e B2 x 1, então (A . B)4 x 1
Propriedades
Verificadas as condições de existência para amultiplicação de matrizes, valem as seguintespropriedades:a) associativa: (A . B). C = A .(B . C)b) distributiva em relação à adição: A .(B + C)=
A . B + A . C ou (A + B). C = A . C + B . Cc) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In
a matriz identidade de ordem nVimos que a propriedade comutativa, geralmen-te, não vale para a multiplicação de matrizes.Não vale também o anulamento do produto, ouseja: sendo 0m x n uma matriz nula, A .B =0 m x nnão implica, necessariamente, que A = 0 m x n ouB = 0 m x n.
Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, seexistir uma matriz A’, de mesma ordem, tal queA . A’ = A’ . A = In , então A’ é matriz inversa deA . representamos a matriz inversa por A-1 .Exemplos:01. (FGV)Determinar a inversa da matriz .Solução:
02. (PUC) Determine a matriz X na equaçãoA.(B+X)T= C, sabendo- se que A, B e C sãoinversíveis.Solução:A.(B + X)T = C ⇒ A-1.A.(B + X)T = A-1.CI2.(B + X)T= A-1.C(B + X)T= A-1.CB + X = (A-1.C)T
X = (A-1.C)T – B
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01. Sendo A= e B= ,calcule ovalor
de 2 A – B.
a) b) c)
d) e)
02. Se A e B são matrizes do tipo 2 x 3,qual das seguintes operações nãopode ser efetuada?
a) A + B b) At – Bt c)(A + B) . Bt
d) Bt . A e) A . B
03. Sabe-se que as ordens das matrizes A,B e C são, respectivamente, 3xr, 3xs, e2xt. Se a matriz (A – B) . C é de ordem3x4, então r + s + t é igual a:
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
04. Dadas as matrizes A= e
B= , conclui-se que a matriz:
a) AB é nulab) BA é não nulac) A2 é nulad) B2 é nulae) A + B é nula
05. Multiplicando obtemos
. O produto dos elementos a e b
da primeira matriz é:
a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 6
06. Sejam as matrizes M= e
T= . Se M . T é a matriz nula 2 x 1,
então p . q é igual a:
a) –12 b) –15 c) –16d) –18
07. O valor de x para o qual se tem
é:
a) –2 b) –1 c) 0d) 1 e) 2
08. Se A é igual a , então A3 é
igual a:
a) b) c)
d) e)
DesafioMatemático
DeterminantesEntenderemos por determinante , como sendoum número ou uma função, associado a umamatriz quadrada , calculado de acordo comregras específicas .É importante observar , que só as matrizesquadradas possuem determinante.1. Regra para o cálculo de um determinantede 2.ª ordem.Dada a matriz quadrada de ordem 2 , temos que:O determinante de A será indicado por det(A) ecalculado da seguinte forma:det (A) = 1/2 A1/2 = ad − bc Exemplo:
= senx . senx − [cosx . (−cosx)]
= senx . senx + cosx . cosx
Regra para o cálculo de um determinante de3.a ordem (Regra de SARRUS).
Para o cálculo de um determinante de 3.a ordempela Regra de Sarrus, proceda da seguintemaneira:1. Reescreva abaixo da 3.a linha do determinante,
a 1.a e 2.a linhas do determinante.2. Efetue os produtos em “diagonal”, atribuindo
sinais negativos para os resultados à esquerdae sinal positivo para os resultados à direita.
3. Efetue a soma algébrica. O resultado encontradoserá o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:
Portanto, o determinante procurado é o númeroreal positivo 8.
Principais propriedades dos determinantes
P1. Somente as matrizes quadradas possuemdeterminantes.
P2. O determinante de uma matriz e de suatransposta são iguais: det(A) = det( At ).
P3. O determinante que tem todos os elementosde uma fila iguais a zero , é nulo.Obs: Chama-se FILA de um determinante,qualquer LINHA ou COLUNA.
P4. Se trocarmos de posição duas filas paralelasde um determinante, ele muda de sinal.
P5. O determinante que tem duas filas paralelasiguais ou proporcionais, é nulo.
P6. Multiplicando-se (ou dividindo-se) os elemen-tos de uma fila por um número, o determinan-te fica multiplicado (ou dividido) por essenúmero.
P7. Um determinante não se altera quando sesubstitui uma fila pela soma desta com umafila paralela, multiplicada por um númeroreal qualquer.
P8. Determinante da matriz inversa: det( A-1)= 1/det(A).Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 =A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade deordem n. Nestas condições , podemos afirmarque det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.Logo , podemos também escrever det(A) .det(A-1) = 1; logo , concluímos que: det(A-1)= 1/det(A). Notas:1. Se det(A) = 0 , não existe a matriz
inversa A–1. Dizemos então que a matrizA é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
2. Se det A ≠ 0, então a matriz inversa A-1
existe e é única. Dizemos então que amatriz A é INVERSÍVEL .
P9. Se todos os elementos situados de ummesmo lado da diagonal principal de umamatriz quadrada de ordem n, forem nulos(matriz triangular), o determinante é igual aoproduto dos elementos da diagonalprincipal.
P10.Se A é matriz quadrada de ordem n e k∈IRentão det(k.A) = kn . det A
Exemplos:1) Qual o determinante associado à matriz?
Observe que a 4.ª linha da matriz é proporcionalà 1.ª linha (cada elemento da 4.ª linha é obtidomultiplicando os elementos da 1.ª linha por 3).Portanto, pela propriedade P5, o determinanteda matriz dada é NULO.2) Calcule o determinante:
Observe que a 2.ª coluna é composta por zeros;FILA NULA POSSUI DETERMINANTE NULO ,conforme propriedade P3 acima. Logo, D=0.3) Calcule o determinante:
Ora, pela propriedade P9 acima, temos:D = 2.5.9 = 90 Definições.
a)Chama-se Menor Complementar (Dij) de umelemento aij de uma matriz quadrada A, aodeterminante que se obtém eliminando-se alinha i e a coluna j da matriz.Assim, dada a matriz quadrada de terceiraordem (3x3) A a seguir :
Podemos escrever:
Da mesma forma determinaríamos D11, D12,D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculoscomo exercício!
b)Cofator de um elemento aij de uma matriz :cof (aij) = (−1 )i+j . Dij .Assim, por exemplo, o cofator do elementoa23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seriaigual a:cof(a23) = (−1)2+3 . D23 = (−1)5 . 10 = − 10.
Teorema de Laplace.
• determinante de uma matriz quadrada é igual àsoma dos produtos dos elementos de uma filaqualquer (linha ou coluna) pelos respectivoscofatores.
• Este teorema permite o cálculo do determi-nante de uma matriz de qualquer ordem.Como já conhecemos as regras práticas parao cálculo dos determinantes de ordem 2 e deordem 3, só recorremos à este teorema parao cálculo de determinantes de 4.a ordem emdiante. O uso desse teorema, possibilitaabaixar a ordem do determinante. Assim, parao cálculo de um determinante de 4.a ordem, asua aplicação resultará no cálculo de quatrodeterminantes de 3.a ordem. O cálculo dedeterminantes de 5.a ordem, já justifica o usode planilhas eletrônicas, a exemplo do Excelfor Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
• Para expandir um determinante pelo teoremade Laplace, é mais prático escolher a fila(linha ou coluna) que contenha mais zeros,pois isto vai facilitar e reduzir o número decálculos necessários.
• Pierre Simon Laplace – (1749–1827) –Matemático e astrônomo francês.
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DesafioMatemático01. Dadas as matrizes A= e B= ,
o determinante da matriz A . B é:
a) –1 b) 6 c) 10
d) 12 e) 14
02. São dadas as matrizes M1= e
M2 = . Considerando-se que o
determinante da matriz M2 vale D, odeterminante de M1 valerá:
a) –2D-1 b) –2D c) –1/2D
d) 1/2D-1 e) 1/2D
03. Calcule o valor de x, a fim de que odeterminante da matriz A seja nulo:
a) x = 7 b) x = 10 c) x = 13
d) x = 15 e) x = 9
04. Na matriz A, faça K = 0 e resolva a
equação matricial . Dê o valorde x – y – z.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
05. Seja a matriz A= .
Sabendo-se que At = A, calcule odeterminante da matriz A – A2 + I 2
3,sendo I3 a matriz identidade de ordem3.
a) –35 b) 67 c) 89
d) –76 e) –54
2x + 2–x 2x – 2–x
06. Sendo a= ––––––– e b=–––––– , o2 2
determinante da matriz é iguala:
a) 1/4 b) 4 c) 1 d) 1/2
07. Calcular x e y de sorte que:
a) x = 1, y = 3
b) x = 3, y = 2
c) x = 4, y = 4
d) x = 4, y = 3
Matemática Professor CLÍCIO
Cálculo da inversa de uma matriz.
a)A matriz inversa de uma matriz X , é a matrizX-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é amatriz identidade de ordem n.
b)Matriz dos cofatores da matriz A: é a matrizobtida substituindo-se cada elemento peloseu respectivo cofator.Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de umamatriz:
1A-1=––––– . (cofA)T
detAOnde: A-1 = matriz inversa de A;det A = determinante da matriz A;(cof A)T = matriz transposta da matriz doscofatores de A .
Determinante de matrizes de Vandermonde
Chama-se matriz de Vandermonde a todamatriz quadrada de ordem n x n , ou seja,
com n linhas e n colunas, da forma geral:Observe que na matriz de Vandermonde acima,temos:a)a primeira linha é composta por bases do tipo
ai (i ∈ N , conjunto dos números naturais)elevado a zero, ou seja, a1, a2, ... , anelevadas ao expoente zero e portanto sãotodas iguais a 1, pois a0 = 1 para todo a∈R,conjunto dos números reais.
b)a segunda linha é composta por bases dotipo ai elevado à unidade, ou seja, a1, a2, ... ,an elevadas ao expoente um e portanto sãotodas iguais a si próprio, pois a1 = a paratodo a∈R. Sendo assim, a matriz genéricaacima pode ser reescrita na forma a seguir:Numa matriz de Vandermonde, os elementosa1, a2, a3, ... , an são denominados elementoscaracterísticos da matriz. Assim, por exemplo,na matriz de Vandermonde abaixo,
os elementos característicos são 5, 6 e 7.Observe que a matriz é de Vandermonde poisna terceira linha os elementos são obtidos dasegunda linha, quadrando cada termo, ou seja:25 = 52, 36 = 62 e 49 = 72.Prova-se que o de uma matriz deVandermonde pode ser obtido multiplicando-se todas as diferenças possíveis entre oselementos característicos (ai – ak) com acondição de que i>k. Assim, por exemplo, namatriz M acima, o determinante será igual a :|M| = (6 – 5).(7 – 6).(7 – 5) = 1.1.2 = 2.
Veja mais um exemplo:Calcule o determinante de Vandermonde abaixo:
Ora, como os elementos característicos são 5,3, 2 e 4, o determinante será igual a:|D| = (3 – 5).(2 – 5).(2 – 3).(4 – 5).(4 – 3).(4 – 2)= (–2).(–3).(–1).(–1).1.2 = 12
Claro que este método de cálculo de, aplica-sesomente a matrizes de Vandermonde.
Nota: como o determinante de Vandermonde éobtido multiplicando-se todas as diferenças pos-síveis (ai – ak) entre os elementos característicos,com a condição que i > k, podemos concluirque se pelo menos dois dos elementos carac-terísticos forem iguais entre si, o determinanteserá nulo, pois aparecerá um zero no produto.
Exemplo:
= 0 ⇔ (5 − 7) . (X − 7) . (x − 5) = 0
⇔ (−2) . (x − 7) . (x − 5) = 0 ⇔ x = 7 x = 5
Então, se x for igual a 5 ou a 7, o determinantede Vandermonde acima será nulo.
Exercícios resolvidos
01. Dada uma matriz A de ordem 3, cujo deter-minante é igual a 2, calcule o determinante damatriz 2A.
a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20
Resolução:Det (2A) = 23.det A = 8. 2 = 16
02. O valor do determinante da matriz é igual a:
a) 2 b) 3 c) 4d) 0 e) –1Resolução:
2x + 2–x 2x – 2–x
03. Sendo a=–––––––– e b=–––––––– , o2 2
determinante da matriz é igual a:
a) 1/4 b) 4 c) 1d) 1/2 e) 2
Resolução:2x + 2–x 2x + 2–x
a – b = –––––––– – –––––––– = 2–x
2 2 2x – 2–x 2x – 2–x
a + b = –––––––– – –––––––– = 2x
2 2
04. Quais os valores assumidos pela função
?
a) [0;1] b) ]0;1] c) [0;1[d) ]0;1[ e) [0;2]
Resolução:f(x) = senx. cosx. sen2x = (1/2).sen2x.sen2x =(1/2).sen2 2xComo –1 ≤ sen2x ≤ 1, temos que 0 ≤ sen2 2x ≤ 1⇒ 0 ≤ (1/2)sen2 2x ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ ½
05. Calcule o valor de .
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6Resolução:
06. O determinante da matriz é igual a:
a) –1 b) 1 c) 0d) 2 e) –2Resolução:
, já que a terceira
coluna é igual à soma das colunas 1 e 2.
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DesafioMatemático
01. A condição para que o determinante
da matriz A= seja diferente
de zero é:
a) a = –1 e a = 2 b) a ≠ 1 e a ≠ –2c) a > 0 d) a ≠ –1 e a ≠ 2e) a ≠ 1 e a ≠ 2
02. O valor de é:
a) 4 (cosa + sena) b) 4c) 2(cos2a – sena) d) 2 e) 0
03. Sejam as matrizes A= e B= .
A equação det (A – xB) = 0, com x∈IR,admite:
a) uma raiz de multiplicidade 2;b) uma raiz negativa;c) duas raízes negativas;d) uma raiz positiva e outra negativa;e) uma raiz nula.
04. O valor do determinante da matriz
é igual a:
a) –4 b) –3 c) –1d) 2 e) 3
05. Considere as matrizes A= ,
B= e C= .
Sabe-se que B = C, o determinante damatriz A será:a) 42 b) 21 c) 24d) 12 e) 15
06. Se A= e M = At + A–1, então
o determinanteda matriz M é igual a:
a) –89 b) –39 c) 0d) –1 e) 39
07. Se A é uma matriz quadrada de ordemn, de elementos reais, λλ é um númeroreal e I, a matriz identidade de ordem n,chama-se “valor próprio” de A a umaraiz da equação det(A –λλ. I) = 0, emque “det” significa determinante.Dessa forma, a soma dos valorespróprios da matriz A, abaixo é:
a) 4 b) 2 c) 0d) 6 e) –4
Óptica geométrica
Estuda as leis que descrevem o comportamentogeométrico da luz nos fenômenos ópticos.Reflexão da luz – Fenômeno óptico que ocorrequando a luz, ao incidir em uma superfície quesepara dois meios, volta ao meio original.a) Reflexão difusa – Efetua-se em todas as
direções, como a reflexão produzida portodos os corpos que não apresentam umasuperfície polida como um espelho (estapágina que você está lendo, por exemplo).
b)Reflexão especular – Ocorre quando umfeixe incide numa superfície polida e voltaregularmente para o meio original; porexemplo, se o feixe incidente é paralelo, orefletido também é paralelo. A reflexãoespecular permite a formação de imagens.
AS LEIS DA REFLEXÃO1.a O raio incidente, a normal à superfície
refletora no ponto de incidência e o raiorefletido pertencem a um mesmo plano.
2.a O ângulo de incidência é igual ao ângulo dereflexão.
ESPELHO PLANOQualquer superfície lisa e plana que reflitaespecularmente a luz.
Figura 2 – Imagem conjugada por espelho plano.
Características da imagem em um espelhoplano:a) Imagem virtual – Forma-se atrás do espelho,
na interseção dos prolongamentos dos raiosrefletidos.
b) Imagem de um objeto extenso – Tem omesmo tamanho do objeto e é simétrica deleem relação ao espelho: invertem-se os ladosesquerdo e direito. A distância da imagem aoespelho é igual à distância do objeto aoespelho.
AplicaçãoQue altura deve ter um espelho plano para queuma pessoa possa ver-se por inteiro quandoolha para o espelho colocado verticalmentediante dela?Solução:
Como d1 = d2, os triângulos OAB e OCD sãosemelhantes. Então, seus lados sãoproporcionais às suas alturas:AB d1(altura OAB)––– = ––––––––––––––––––––CD d1+d2(altura de OCD)x d1 h
––=–––– ∴ x=––h 2d1 2O espelho deve ter a metade da altura da pessoa.
ESPELHO ESFÉRICO
Qualquer superfície lisa, de formato esférico,que reflete especularmente a luz.
Elementos de um espelho esférico
C = centro de curvatura do espelho;V = vértice do espelho;CV = raio de curvatura;EP = eixo principal;ES = eixo secundário;αα = abertura do espelho (obedeceremos àscondições de Gauss: espelhos com aberturamenor que 10° e raios incidentes próximos aoeixo principal).Foco imagem de um espelho esférico – É oponto de encontro dos raios refletidos ou deseus prolongamentos.
a) O foco do espelho côncavo é real (espelhoconvergente); do convexo, virtual (espelhodivergente);
b)A distância entre o foco e o vértice do espelhoé chamada distância focal (f) – nos espelhosde Gauss, consideramos f = R/2, onde R é oraio de curvatura.
Raios fundamentais:1. Todo raio paralelo ao eixo principal de um
espelho esférico reflete-se passando pelo foco.2. Todo raio que passa pelo centro de curvatura
reflete-se sobre si mesmo.3. Todo raio que passa pelo foco reflete-se
paralelamente ao eixo principal.
6
FísicaProfessor CARLOS Jennings
01. Três raios luminosos, A, B e C, incidemnum espelho plano. O raio A incideperpendicularmente ao espelho; B incideformando 80° com o seu raio refletido; Cincide formando 30° com o espelho. Osângulos de incidência são,respectivamente:a) 0°, 40° e 60° b) 60°, 40° e 0°c) 40°, 60° e 0° d) 90°, 60° e 30°e) 30°, 90° e 60°
02. Uma pessoa olha-se em um espelhoesférico e vê que sua imagem, virtual,aparece ampliada e direita. Quanto aotipo de espelho e à posição da pessoaem relação ao espelho:a) convexo; defronte o espelho;b) côncavo; entre o foco e o vértice;c) côncavo; sobre o foco;d) côncavo; entre o foco e o centro de
curvatura;e) côncavo; sobre o centro de curvatura.
03. (UECE) Quando um homem se aproximadiretamente de um espelho plano, comvelocidade de 1,2m/s, ele:a) afasta-se de sua imagem com velocidade
de 1,2m/s;b) aproxima-se de sua imagem com
velocidade de 1,2m/s;c) aproxima-se de sua imagem com
velocidade de 2,4m/s;d) mantém uma distância constante de sua
imagem.
04. Sobre a imagem formada em umespelho plano:
I) É real.II) É virtual.III) Tem o mesmo tamanho do objeto.IV)É menor que o objeto.V) É invertida.VI)Não é superponível ao objeto.São falsas:a) II e V b) IV, V e VI c) II e IVd) I, IV e V e) II, III, IV e VI
05. Um raio de luz monocromática propa-gando-se no ar (meio 1) incide nasuperfície plana e polida de um bloco devidro (meio 2), como mostra a figura.
Dados: n1= 1,00; n2= 1,41≅ ;c= 3,0.108m/s; θ1=45°a) Calcule o ângulo de refração.b) Calcule o desvio ∆ do raio incidente
ao refrata-se.c) Calcule a velocidade da luz refratada
DesafioFísico
4. Todo raio que atinge o vértice, formando certoângulo com o eixo principal, reflete-seformando ângulo igual.
Imagem de um objeto extenso1.° caso – espelho côncavo; objeto colocadoalém de C:
Imagem: real, invertida e menor que o objeto.2.° caso – espelho côncavo; objeto colocadosobre C:
Imagem: real, invertida e do mesmo tamanho doobjeto.3.° caso – espelho côncavo; objeto colocadoentre F e C:
Imagem: real, invertida e maior que o objeto.4.° caso – espelho côncavo; objeto colocadosobre F:
Neste caso, não haverá formação de imagem(imagem imprópria).5.° caso – espelho côncavo; objeto colocadoentre V e F:
Imagem: virtual, direita e maior.6.° caso – espelho convexo:
No espelho convexo, a imagem de um objeto
real é sempre virtual, direita e menor que oobjeto.
Equação dos espelhos esféricos (Equação deGauss)1 1 1
–– = ––– + –––f di do
Equação da ampliação (A)Hi di
––– = ––– Ho do
Nas equações acima:f = distância focal (positiva para espelhocôncavo; negativa para convexo);di = distância da imagem ao vértice (positivapara imagem real; negativa para virtual);Hi = altura da imagem (positiva para imagemdireita; negativa para invertida).do = distância do objeto ao vértice;Ho = altura do objeto.
Aplicações
01. Um objeto de 4cm é colocado verticalmentesobre o eixo principal de um espelho côncavo, a60cm do vértice. O raio do espelho mede 40cm.Calcule a natureza e a posição da imagemfornecida pelo espelho.
Solução:a) Pela Equação de Gauss:
Ho = 4cm; do = 60cm; f = R/2 = 40/2 = 20cm
1 1 1–– = ––– + –––f do di
1 1 1 1 1 1––– = ––– + ––– ∴ –– = ––– – –––20 60 di di 20 60
1 2 ––– = ––– ∴di =30cmdi 60
Como di é positiva, a imagem é real.b) Para determinar o tamanho da imagem,
aplicamos a expressão da ampliação:Hi di Hi 30
––– = – ––– ∴ ––– = – ––– ∴ Hi=–2cmHo do 4 60
O resultado mostra que a imagem é menorque o objeto e invertida em relação a ele (Hinegativa).
02. Um objeto de 4cm é colocado verticalmentesobre o eixo principal de um espelho convexocom raio de curvatura de 20cm. A distânciaobjeto é de 20cm. Determine as característicasda imagem.
Solução:a)Equação de Gauss:
Ho = 4cm; f = –10cm (espelho convexo);do = 20cm
1 1 1–– = ––– + –––f do di
1 1 1 1 1 1–––– = ––– + ––– ∴ –– = ––– – ––––10 20 di di 10 20
1 –2–1 ––– = ––––– ∴di =–6,6cmdi 20
Como di é negativa, a imagem é virtual.
b)Usando a ampliação:Hi di Hi (–6,6)
––– = – ––– ∴ ––– = – ––––– ∴ Hi=1,3cmHo do 4 20
O resultado mostra que a imagem é menorque o objeto e direita (Hi positiva).
7
01. Uma pessoa, de 1,70m de altura,posta-se diante de um espelho planocolocado a 1,5m dela. A altura daimagem e a distância que separa apessoa de sua própria imagem são:(1,60m; 3,0m)
a) 85cm e 3mb) 1,70m e 3mc) 1,70m e 75cmd) 1,70m e 1,70me) 3m e 1,5m
02. Analise as sentenças abaixo,indicando as falsas e as verdadeiras:
I) Toda imagem real é sempreinvertida em relação ao objeto.
II) Toda imagem virtual é sempredireita em relação ao objeto.
III) Um espelho que produz umaimagem virtual e menor que oobjeto é, certamente, côncavo.
IV)Os espelhos convexos só podemproduzir, de objetos reais, imagensvirtuais.
V) Um espelho esférico produz umaimagem real, invertida e maior queo objeto. Podemos afirmar que oobjeto está entre o foco e o raio decurvatura.
a) Todas são verdadeiras.b) Todas são falsas.c) Apenas a III é falsa.d) I, II e III são falsas.e) Apenas V é verdadeira.
03. (Unifor–CE) Um espelho esférico temraio de curvatura 40cm. Um raioluminoso, paralelo ao eixo principal,incide próximo ao vértice e sofrereflexão passando por um ponto P doeixo principal. A distância de P aoespelho vale, em cm:
a) 10 b) 20c) 30 d) 40 e) 80
04. (UFMT) A um objeto colocado a 90cmde um espelho esférico de pequenaabertura corresponde uma imagemque é real e situada a 60cm doespelho. Baseado nesses dados,deduza a distância focal, em cm, ereconheça a natureza do espelho.(36cm; côncavo)
a) 50, convexo; b) 45, convexo;c) 40, côncavo; d) 30, côncavo;e) 36, côncavo.
DesafioFísico
Refração da luz A velocidade de um raio luminoso muda quandoele passa de um meio para outro, sofrendo, emconseqüência, um desvio na sua direção depropagação. A esse fenômeno dá-se o nome derefração da luz.Índice de refração – Caracteriza, do ponto devista óptico, um meio transparente ehomogêneo. A velocidade da luz em cada meioestá associada ao índice de refração absoluto:
cn = –––vNa expressão acima, c é a velocidade da luz novácuo (≅ 300.000km/s), e v é a velocidade daluz em dado meio.O índice de refração é também chamado derefringência. Diz-se que mais refringente é omeio com maior índice de refração; menosrefringente, o meio com menor índice derefração.
Aplicação
(UFCE) O índice de refração da água é 4/3 e odo vidro é 3/2. Qual é a razão entre a velocidadeda luz na água e no vidro?Solução:
C C C Cna = ––– ∴ va = ––– e nv = ––– ∴ vv = –––va na vv nv
va nv 3/2 va 9––– = ––– = –––– ∴ ––– = –––vv na 4/3 vv 8 Lei de Snell-DescartesAo incidir na superfície de separação (dióptroplano) dos meios 1 e 2, parte do feixe de luz érefletida e parte é refratada.
Figura 1
O produto do seno do ângulo de incidência pelovalor do índice de refração do meio onde sepropaga o raio incidente (n1) é igual ao produtodo seno do ângulo de refração pelo índice derefração do meio onde se propaga o raiorefratado (n2).n1 . sen i = n2 . sen rImportante:1. Passando a luz de um meio menos
refringente para outro mais refringente, o raiorefratado aproxima-se da normal.
2. Passando a luz de um meio mais refringentepara outro menos refringente, o raio sofre umdesvio afastando-se da normal.
AplicaçãoUm raio de luz propaga-se no ar (nar = 1,0) eincide em uma placa de vidro (nvidro = 1,4),sofrendo refração. O ângulo de incidência é 45°.Calcule o ângulo de refração.Solução:n1. sen i = n2 .sen r1. sen 45° = 1,4 . sen r ∴ 0,7 = 1,4.sen rsen r = 0,5 ∴ r = 30°Ângulo-limite (L) – É o ângulo de incidência quecorresponde a um ângulo de refração de 90°.Sendo o meio 1 mais refringente que o meio 2,ao passar de 1 para 2, um raio luminoso sofreum desvio, afastando-se da normal. À medidaque o ângulo de incidência cresce, o de refraçãotambém cresce, mas numa proporção maior.No esquema abaixo, o ângulo de incidência do
raio OC é o ângulo-limite porque o correspon-dente ângulo de refração é 90°.
Figura 2
Reflexão total – Se um raio de luz incidir nasuperfície de separação de dois meios comângulo maior que o ângulo-limite, a superfíciereflete o raio incidente. Na figura acima, o raioOD é totalmente refletido.
Arapuca Determine o ângulo-limite para a água, cujoíndice de refração é 4/3.Solução:Neste caso, comparamos a água com o ar(nar =1), aplicando a Lei de Snell-Descartes(lembre-se de que o ângulo de refração é 90o):n1. sen i = n2 .sen rnágua . sen L = nar . sen 90° ∴ 4/3 . sen L = 1,1sen L = 3/4 ∴ sen L = 0,5 ∴ L ≅ 50°Dióptro plano – Um conjunto de dois meiosseparados por uma superfície plana (água e ar,por exemplo) é chamado dióptro plano.Profundidade aparente - Dado um dióptro (ar-água), um observador no ar e um ponto objetoP na água, verifica-se que a luz, saindo da água,afasta-se da normal. O observador, em vez deenxergar o ponto objeto P, verá a imagem P’.
Quando os raios incidem praticamente na vertical,di n2é válida a proporção: ––– = –––– , em que y' édo n1
a profundidade aparente; y é a profundidadereal; n2 é o índice de refração do meio ondeestá o observador; n1 é o índice de refração domeio onde está o objeto.Exemplo:No fundo de um copo de 12cm de altura,completamente cheio de água, há uma moeda.A que altura um menino, que observa a moedanuma direção aproximadamente perpendicular,vai vê-la? Dados: nágua = 4/3; nar = 1.Solução:y’ nar y’ 1––– = ––––– ∴ ––– = ––––– ∴ y= 9cmy nágua 12 4/3
A imagem da moeda é virtual e, embora muitosdigam que não, ela tem o mesmo tamanho damoeda propriamente dita. Lentes esféricasAs aplicações mais importantes dos dióptros, navida cotidiana, estão nas lentes.De modo simples, lente é um corpotransparente, delimitado por duas faces, dasquais uma, pelo menos, é curva. Então, umalente esférica pode ser considerada como ainterseção de duas esferas.Elementos geométricos de uma lente• C1 e C2 = centros de curvatura das faces.• r1 e r2 = raios de curvatura das faces.• Eixo principal = reta que contém C1 e C2.• e = espessura da lente.Classificação das lentes delgadas – A denomi-nação das lentes de bordas finas terminasempre com a palavra convexa; das de bordasgrossas, com a palavra côncava.
Figura 4
8
DEFEITOS DA VISÃO HUMANA
O olho emetrope (normal) é praticamente
esférico. Os meios transparentes (córnea, humor
aquoso, cristalino e humor vítreo) funcionam
como um sistema de lentes que refratam a luz,
permitindo a formação de imagens nítidas
exatamente sobre a retina, que é um
prolongamento do nervo ótico.
Miopia
O olho míope é mais alongado que o olho
normal. Em conseqüência disso, a imagem de
um objeto situado a longa distância forma-se
antes da retina, perdendo nitidez.
A correção dessa anomalia é feita com o auxílio
de uma lente divergente para compensar a
excessiva convergência do cristalino, permitindo
que se forme a imagem sobre a retina.
Hipermetropia
É o inverso da miopia. Neste caso, o olho é
menos alongado que o normal e,
conseqüentemente, a imagem forma-se depois
da retina, perdendo a nitidez.
Presbiopia ou “vista cansada”
É um defeito comum em pessoas idosas e
ocorre por falta de acomodação do cristalino.
Com o passar do tempo, tanto o cristalino
quanto os músculos ciliares perdem sua
elasticidade, dificultando ainda mais a
acomodação visual, ou seja, aumentando a
distância mínima de visão nítida. A correção da
presbiopia é feita com o emprego de uma lente
convergente, que soma sua convergência à do
cristalino, permitindo uma visão perfeita de
objetos próximos.
Astigmatismo
Normalmente, esse defeito é provocado pela
falta de esfericidade da córnea. Por isso, é
corrigido com o auxílio de lentes cilíndricas.
As pessoas astigmatas vêem os objetos sem
nitidez, como se estivessem superpostos, com
pequena sombra lateral.
FísicaProfessor CARLOS JenningsDesafio
Físico
Para simplificar, convencionou-se representar aslentes pelos símbolos:
Lentes convergentes e divergentes – Os raiosluminosos que incidem numa lente podem serdesviados, convergindo para o eixo principal oudivergindo dele. Isso depende da forma daslentes e do índice de refração do meio ondeelas se encontram:1. Se o índice de refração da lente for maior que
o do meio em que ela está: as de bordasfinas são convergentes; as de bordasgrossas, divergentes.
2. Se o índice de refração da lente for menorque o do meio em que ela está: as de bordasfinas são divergentes; as de bordas grossas,convergentes.
Foco principal objeto – Refere-se à luzincidente. Quando raios luminosos incidemnuma direção que contém o foco objeto,emergem paralelos ao eixo principal:Foco principal imagem – Refere-se à luzemergente. Quando raios luminosos incidemparalelos ao eixo principal, emergem numadireção que contém o foco imagem:
Construção de imagens – De modosemelhante aos espelhos (veja a aula anterior),as lentes também formam imagens reais ouvirtuais de objetos que são colocados diantedelas. Usaremos, também aqui, os raiosprincipais que permitem encontrar a posição daimagem de um ponto.1.° – Um raio luminoso que incide paralelamenteao eixo de uma lente convergente refrata-sepassando pelo 1.° foco.
Um raio luminoso que incide paralelamente aoeixo de uma lente divergente refrata-se demodo que o seu prolongamento passa pelo 1.°foco.2.°– Um raio luminoso que incide em uma lenteconvergente e cuja direção passa pelo 2.° foco,refrata-se paralelamente ao eixo da lente.Um raio luminoso que incide em uma lentedivergente, de modo que o seu prolongamentopasse pelo 2.° foco, refrata-se paralelamente aoeixo da lente.
Exemplo 1 – O objeto AB da figura encontra-seem frente a uma lente convergente, cujos focosestão localizados em F1 e F2. A distância doobjeto à lente é maior do que o dobro de suadistância focal. Localizar a imagem do objeto.
Traçamos, a partir do ponto A, os dois raiosprincipais. Os raios refratados encontram-se emA’, onde se forma a imagem A’B’ real, invertida emenor que o objeto.
Agora, faça você: desloque o objeto AB parauma posição entre o foco e a lente, e obtenha aimagem A’B’ (ela será virtual, direita e maior queo objeto).Exemplo 2 – Considere o objeto AB diante deuma lente divergente como na figura. Comoserá a imagem dele?
Neste caso, observe que os raios refratados nãose cruzam. Seus prolongamentos cortam-se noponto A’, onde o observador verá a imagem A’B’virtual, direita e menor que o objeto. Numa lentedivergente, a imagem terá sempre essascaracterísticas.
Equação de Gauss para lentes esféricas
1 1 1––– = –––– + ––––f di do
Equação da ampliação (A)Hi di–––– = – ––––Ho do
Nas equações acima:f = distância focal (positiva para lentesconvergentes; negativa para divergentes); di =distância imagem (positiva para imagem real,negativa para virtual); Hi = altura da imagem(positiva para imagem direita; negativa parainvertida); do = distância do objeto ao vértice;Ho = altura do objeto.
Aplicações
01. Um objeto de 6cm é colocado diante deuma lente convergente, com distância focal de20cm, a 60cm do centro óptico da lente.Determine a natureza e a posição da imagem.
Solução:a) Ho = 6cm; do = 60cm; f = 20cm1 1 1 1 1 1
–– = ––– + ––– ∴ –––– = ––– + ––– f do di 20 60 di
1 1 1 3–1 ––– = ––– – –––– = ––––– ∴di =30cmdi 20 60 60
b) Pela ampliação:Hi di Hi 30
–––– = – –––– ∴ ––– = – ––– ∴ Hi =–3cmHo do 6 60
Os resultados mostram que a imagem é real,invertida e colocada a 30cm do centro óptico dalente.
02. Um objeto de 4cm é colocado diante deuma lente divergente, com distância focal de20cm, a 40cm do centro óptico da lente.Determine a natureza e a posição da imagem.
Solução:a) Ho = 4cm; do = 40cm; f = –20cm1 1 1 1 1 1
–– = ––– + ––– ∴ –––– = ––– + ––– f do di –20 40 di
1 1 1 –2–1 40––– = ––– – –––– = ––––– ∴di =– ––– cmdi –20 40 40 3
b) Pela ampliação:Hi di Hi –40/3
–––– = – –––– ∴ ––– = – –––––– ∴ Hi =4/3cmHo do 4 40
A imagem é direita e colocada a 4/3cm àesquerda da lente (virtual).
9
01. (PUC-SP) Que tipo de imagem umalente divergente conjuga de um objetoreal?a) real e maior que o objeto;b) virtual e invertida;c) real e direita;d) real e invertida;e) virtual e direita.
02. (UCP) Numa lente divergente dedistância focal 30cm, tem-se um objetoreal situado a 30cm da lente. A imagemserá:a) virtual a 15cm da lente;b) real a 15cm da lente;c) real ou virtual situada no infinito;d) virtual a 40cm da lente;e) n.d.a.
03. O índice de refração do diamante é 2,5.A velocidade da luz no diamante é, emkm/s:a) 25.000 b) 250.000c) 120.000 d) 10.000 e) n.d.a.
04. (Fac. Med. U.M.G.) A luz ao passar deum meio de menor índice de refraçãopara outro de maior índice de refraçãotem:a) o comprimento de onda aumentado;b) a velocidade aumentada;c) a velocidade diminuída;d) a velocidade da luz não se altera, pois é
constante universal;e) n.d.a.
05. (ABC) Pessoas míopes possuem oglobo ocular longo. Para corrigir essedefeito da visão usam-se:a) lentes convergentes;b) lentes cilíndricas;c) lentes divergentes;d) prismas especiais;e) n.d.a.
06. (FEI) A reflexão total somente ocorre aopassar a luz:a) de um meio mais para outro menos
refringente;b) de um meio menos para outro mais
refringente;c) de um meio mais para outro menos
absorvente;d) de um meio menos para outro mais
absorvente;e) n.d.a.
07. (AMAN) Um raio luminoso incide comum ângulo de incidência de 30° erefrata-se formando um ângulo de 60°com a normal. O índice de refração domeio que contém o raio refratado emrelação ao meio que contém o raioincidente é:a) 1 b) c) d) e)
DesafioFísico
10
Texto
GeisislaineNicolas Júnior
Eu lembro aquela manhã de domingoVocê lá na laje tomando banho de
[mangueiraNós se olhemo e logo se apaixonemoE nós juremo quera amor pra vida inteiraDomingo à tarde eu calçava meu all starMinha calça social e a camisa de tergalVocê de shortinho de lycra alaranjadoE uma blusa social com a foto do Magal
E na cabeça uma fita verde e brancaQue nós ganhemo de lembrançaDa Amazônia CelularE na cintura uma carteira de derbyUm corote na pochete e saía a passear
Primeiramente o Balneário da Dengosa,Em seguida a Ponta Negra, depois praça
[do DBÀ noite íamos pro botecoTomar Cerpa e jogar bilharVirava a noite nos bregas, lá na Grande
[Circular
Oh, Geisislaine, Geisislaine meu amor!Por que você pegou aquele barcoNão deixou nenhum recadoE se mandou pro interior
Oh, Geisislaine, manda uma carta por favor!Aproveite e manda um fardo de farinhaE a cassete da CalypsonQue você me apresentou
Me impressionava o seu cabelo bicolorAo som de Fernando Mendes a gente
[acasalavaSonhava em ter um Fusca, totalmente
[incrementadoAtrás escrito TURBOE um terço no retrovisor
E o cordão grosso de prataQue lhe dei de aniversárioEla esqueceu lá na gaveta do armárioFicou ainda o tururi do CarnaboiO autógrafo do NunesE um pingüim de geladeiraA camisa do Rio NegroE um pôster do ArlindoE a foto que ela tirouCom um ex-vereador
Perscrutando o texto
01. Aparecem, no texto, algumas constru-ções típicas da linguagem coloquial.Assinale a alternativa em que amudança para a norma culta da línguafoi feita com ERRO gramatical.
a) Nós se olhemo e logo se apaixonemoNós nos olhamos e logo nos apaixona-mos.
b) E nós juremo quera amor pra vida inteiraE nós juramos que era amor para a vidainteira.
c) Oh, Geisislaine, manda uma carta por fa-vor!Aproveite e manda um fardo de farinhaOh, Geisislaine, mande uma carta por fa-vor!Aproveita e mande um fardo de farinha
d) Me impressionava o seu cabelo bicolorImpressionava-me o seu cabelo bicolor
e) Ao som de Fernando Mendes a genteacasalavaAo som de Fernando Mendes, nós nosacasalávamos.
02. Observe o trecho seguinte:
E o cordão grosso de prataQue lhe dei de aniversárioEla esqueceu lá na gaveta do armário
Em relação a ele, a única afirmação INCOR-RETA é que:
a) a inclusão do pronome átono o depoisde ela não agride a norma culta da lín-gua;
b) o pronome átono que aparece no trechotem função de objeto indireto.
c) a inclusão da contração dele depois deesqueceu não agride a norma culta dalíngua;
d) a partícula que tem função sintática efunção morfológica;
e) o trecho contém oração subordinadaadjetiva.
03. Observe o trecho seguinte:
Eu lembro aquela manhã de domingoVocê lá na laje tomando banho de
[mangueiraNós se olhemo e logo se apaixonemoE nós juremo quera amor pra vida inteira
Em relação a ele, assinale a afirmação IN-CORRETA.
a) O primeiro verso admite a seguinte cons-trução, sem agressão à norma culta dalíngua: “Eu me lembro daquela manhãde domingo”.
b) Pode-se isolar a expressão “lá na laje”por vírgulas, sem prejuízo gramatical.
c) Na construção “tomando banho de man-gueira” há metonímia.
d) A contração de “que era” para “quera”pode ser chamada de composição poraglutinação.
e) A transformação de “E nós juremo queraamor pra vida inteira” para “E nós jura-mos que era amor para toda vida” cor-rige todas as falhas gramaticais.
04. Observe o trecho seguinte:
À noite íamos pro botecoTomar Cerpa e jogar bilhar
Em relação a ele, assinale a afirmação IN-CORRETA.a) Há orações subordinadas coordenadas
entre si.b) Mudando-se a construção “À noite
íamos pro boteco” para “À noite, íamosno boteco” fez-se total adaptação para anorma culta da língua.
c) O vocábulo boteco é forma reduzida debotequim.
d) Entre os dois versos, há idéia de finali-dade.
e) Na construção “Toma cerpa” há metoní-mia.
05. Assinale a alternativa em que, reescre-vendo versos do texto, a norma culta
PortuguêsProfessor João BATISTA Gomes
01. (FGV) Quase todos os verbos deriva-dos conjugam-se por seus primitivos.Assim, expor e obter, por exemplo,conjugam-se pelos verbos pôr e terrespectivamente. Assinale a alternativaem que há ERRO na conjugação doverbo derivado em destaque:
a) Devemos agir com rigor sempre queprevermos a má intenção do pales-trante.
b) Não aceitarei as críticas, provenhamelas de onde provierem.
c) O diplomata brasileiro interveio na pa-lestra do economista americano.
d) Creio que os brasileiros já reouveramo tempo perdido.
e) Se o palestrante mantivesse a neces-sária prudência, não ouviria os protes-tos que ouviu.
02. Escolha a alternativa em que as pala-vras são graficamente acentuadas emfunção da mesma regra.
a) balneário e autógrafob) você e atrásc) saía e Amazôniad) íamos e pôstere) armário e nós
03. Escolha a alternativa em que seERRA na análise fonética:
a) Lembro: dígrafo e encontro consonan-tal.
b) Inteira: dígrafo e ditongo decrescenteoral.
c) Nenhum: dois dígrafos.d) Ainda: hiato e dígrafo.e) Gente: encontro consonantal.
04. Escolha a construção que respeita anorma culta da língua escrita.
a) Geisislaine, faça uma surpresa: mandeum fardo de farinha para o teu amor.
b) Geisislaine, faz uma surpresa: mandaum fardo de farinha para o seu amor.
c) Geisislaine, faze uma surpresa: mandaum fardo de farinha para o teu amor.
d) Geisislaine, faze uma surpresa: mandaum fardo de farinha para o seu amor.
e) Geisislaine, faz uma surpresa: mandeum fardo de farinha para o teu amor.
05. Escolha a construção que respeita anorma culta da língua escrita.
a) Não te esqueças do cordão de prataque te dei.
b) Não esqueças do cordão de prata.c) Não te esqueces do cordão de prata.d) O cordão de prata: esquece dele.e) O cordão de prata: esqueça-te dele.
Desafio gramatical
da língua foi totalmente respeitada.
a) Primeiramente, o balneário da Dengosa;em seguida, o da Ponta Negra; depois,a praça do DB.
b) Oh, Geisislaine, Geisislaine meu amor!Porque você pegou aquele barco?
c) Você não deixou nenhum recado porque?
d) Quero saber o porque de você se mandarpara o interior.
e) O seu cabelo bi-color impressionava-me.
06. O vocábulo Carnaboi é resultado dafusão de carnaval e boi (composiçãopor aglutinação). Escolha a alternativaem que a formação da palavra dá-sepor processo idêntico.
a) Alaranjado.b) Bicolorc) Acasalavad) Autógrafoe) Embora
07. Na seqüência seguinte, só NÃO há:
Domingo à tarde eu calçava meu all starMinha calça social e a camisa de tergal
a) metonímia;b) elipse;c) verbo transitivo direto;d) adjunto adverbial;e) complemento nominal.
08. Observe o verso:
“E na cabeça uma fita verde e branca”
Escolha a alternativa em que o adjetivo paradar cor a fita contraria a norma culta da lín-gua.
a) Havia na cabeça fitas esverdeadas.b) Havia na cabeça fitas verdes.c) Havia na cabeça fitas verde-claras.d) Havia na cabeça fitas verde-musgos.e) Havia na cabeça fitas verde-escuras.
09. Observe o verso:
“Me impressionava o seu cabelo bicolor”
Escolha a alternativa em que o vocábuloformado a partir do prefixo bi- apresentegrafia incorreta.
a) Bi-campeãob) Birreatorc) Bianuald) Birrepetentee) Bissexual
10. Aponte o erro quanto à indicação doprocesso de formação da palavra.
a) Alaranjado: derivação prefixal e sufixal.b) Mangueira: derivação sufixal.c) Foto: derivação regressiva.d) Retrovisor: derivação prefixal.e) Acasalar: derivação parassintética.
11. Observe o verso seguinte:
“Ficou ainda o tururi do Carnaboi”
Escolha a alternativa em que a oxítona ter-minada em i – a exemplo de tururi – nãomereça acento gráfico.
a) Urubuib) Distrai-lac) Atrai-lad) Impedi-lae) Conclui-lo
Caiu no vestibular
12. (FGV) Das sentenças abaixo, aquelaem que se usou ERRADAMENTE umdos homônimos entre parênteses é:
a) Após o censo de 2000, o IBGE publicouBrasil em Números, que contém informa-ções muito úteis aos pesquisadores.(censo / senso)
b) O complexo de inferioridade não diz res-peito apenas ao estrato mais pobre dapopulação brasileira. (estrato / extrato)
c) Foi necessária a interseção do embai-xador para que o palestrante parasse defalar asneiras sobre o Brasil. (interseção/ intercessão)
d) O embaixador tachou o comentarista in-ternacional de ignorante. (tachar / taxar)
e) Ninguém gosta de ver o nome de seupaís inserto no rol das naçõessubdesenvolvidas. (inserto / incerto)
Arapuca
13. A paroxítona pôster, usada nosúltimos versos do poema de NicolasJúnior, torna-se proparoxítona noplural: pôsteres. Escolha a alternativaem que o plural da paroxítonacontraria essa lógica.
a) Hambúrguerb) Gêiserc) Vômerd) Carátere) Suéter
Momento semântico
Semântica de palavras envolvendo asletras E e I.
Algoso (ô) da natureza das algas.Algozo forma do verbo algozar.
Alisar tornar liso; acariciar.Alizar peça para arremate.
Alvarás plural de alvará: licença.Alvaraz manchas brancas na pele.
Asado que tem asas; alado.Azado oportuno, propício.Asar guarnecer com asas.Azar má sorte; revés.
Asinha diminutivo de asa.Azinha fruto da azinheira.
Ás exímio; carta de jogo.Az ala do exército; esquadrão.
Brisa aragem; viração; vento ameno.Briza espécie de plantas.
Canonisa cônega.Canoniza do verbo canonizar.
Colisão choque entre corpos.Coalizão união, junção, aliança.
Coser costurar.Cozer cozinhar.
Desasado que tem asas caídas ou partidas.Desazado maljeitoso, descuidado.
Fiúsa desusado; fora de moda.Fiúza confiança, esperança.
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PLURAIS ESPECIAIS
1. Plural dos diminutivos:
Alemãozinho alemãezinhosAnãozinho anãozinhosAnãozinho anõezinhosAnelzinho aneizinhosAnimalzinho animaizinhosAzulzinha azuizinhasBalãozinho balõezinhosBastãozinho bastõezinhosCãozinho cãezinhosColherzinha colherezinhasCoquetelzinho coqueteizinhosCoraçãozinho coraçõezinhosCordãozinho cordõezinhosDorzinha dorezinhasFlorzinha florezinhasLeãozinho leõezinhosMulherzinha mulherezinhasNarizinho narizezinhosPapelzinho papeizinhosPãozinho pãezinhosPastelzinho pasteizinhosPortalzinho portaizinhos
2. Plural em ÃES:
Alemão alemãesBastião bastiãesCão cãesCapelão capelãesCapitão capitãesCatalão catalãesCharlatão charlatãesEscrivão escrivãesGuardião guardiãesTabelião tabeliães
3. Palavras com DOIS plurais:
Alazão alazães e alazõesAnão anãos e anõesCastelão castelãos e castelõesCorrimão corrimãos e corrimõesDeão deães e deõesHortelão hortelãos e hortelõesRefrão refrões e refrãesRufião rufiães e rufiõesSacristão sacristãos e sacristãesTruão truães e truõesVerão verões e verãosVilão vilãos e vilões
4. Palavras com TRÊS plurais:
Alão alões, alães e alãosAldeão aldeãos, aldeões e aldeãesAncião anciãos, anciões e anciãesErmitão ermitães, ermitões e ermitãosSultão sultões, sultãos e sultães
Dificuldadesda língua
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso deFísica. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso deFísica. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:Moderna, 1996.
BONJORNO, José et al. Física 3: de olhono vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces daFísica. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:contexto e aplicações. São Paulo: Ática,2000.
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino deFísica (GREF). Física 3: eletromagne-tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. SérieNovo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:Ática, 2002.
RAMALHO Jr., Francisco et alii. OsFundamentos da Física. 8.a ed. SãoPaulo: Moderna, 2003.
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)01. B; 02. E; 03. A;04. B;05. D;06. B;07. A;08. E;09. D;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)01. C; 02. D; 03. B;04. C;05. E;06. C;07. D;08. C;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)01. A; 02. D; 03. A; 04. A; 05. C; 06. B; 07. A; 08. E;
DESAFIO FÍSICO (p. 6)01. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 7)01. C; 02. C;03. a)
b) Sim. A Fat em C pode equilibrar osistema;
04. 4N;
EXERCÍCIOS (p. 9)01. C; 02. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 9)01. B; 02. C; 03. C; 04. E;
ARAPUCA (p. 10)01. C; 02. A;
DESAFIO GRAMATICAL (p. 10)01. C; 02. A;
APLICAÇÃO (p. 11)01. C; 02. A; 03. C;
DESAFIO LITERÁRIO (p. 11)01. D; 02. A; 03. A; 04. E;
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
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Coordenadora Geral
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Coordenador de Professores
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Coordenador de Ensino
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Coordenadora de Comunicação
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Coordenador de Logística e Distribuição
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Antônio Carlos
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
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Editoração Eletrônica
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Encarte referente ao curso pré-vestibularAprovar da Universidade do Estado doAmazonas. Não pode ser vendido.
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, ébase para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:• Amazon Sat (21h30 às 22h)• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José • Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° • Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto
(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
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