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EAD 2009
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QUÍM
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
LICENCIATURA EM QUÍMICA
CALCULO I
Salvador2009
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA
EAD 2009QU
ÍMIC
AEAD 2009
ELABORAÇÃO
Érica Nogueira Macêdo
DIAGRAMAÇÃO
Nilton Rezende
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). Catalogação na Fonte
BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB
MACÊDO, Érica Nogueira.M141 Calculo I – Licenciatura em química. / Érica Nogueira Macêdo. Salvador: UNEB/ EAD, 2009. (Educação e Tecnologias da Informação e Comunicação). 94p.
1.Educação a distância. 2. Calculo 3. Química I. Título II. Curso em licenciatura em química III. Universidade Aberta do Brasil IV. UNEB /NEAD
CDD: 515.15
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PRESIDENTE DA REPÚBLICALuis Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIACarlos Eduardo Bielschowsky
DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAHélio Chaves Filho
SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILDIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES
Celso Costa
COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPESNara Maria Pimentel
GOVERNO DO ESTADO DA BAHIAGOVERNADORJaques Wagner
VICE-GOVERNADOREdmundo Pereira Santos
SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃOOsvaldo Barreto Filho
UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEBREITOR
Lourisvaldo Valentim da Silva
VICE-REITORAAmélia Tereza Maraux
PRÓ-REITORA DE ENSINO DE GRADUAÇÃOMônica Moreira Torres
COORDENADOR UAB/UNEBSilvar Ferreira Ribeiro
COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque
DIRETOR DO DEDC – I Antônio Amorim
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEADCOORDENADOR
Arnaud Soares de Lima Junior
VICE-COORDENADOR Silvar Ferreira Ribeiro
COORDENADOR ADMINISTRATIVOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque
COORDENADORA PEDAGÓGICASônia Maria da Conceição Pinto
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICOKathia Marise Borges Sales
COORDENADOR DE TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃOMarcus Túlio Freitas Pinheiro
COORDENAÇÃO DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICAEmanuel do Rosário Santos Nonato
COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM QUÍMICAMarta Valeria Santana de Andrade
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Prezado estudante,
Este módulo é parte do material didático que dá suporte as suas atividades de auto-estudo e auto-formação no curso de Licenciatura em Química na modalidade à distância.
Cada componente curricular dispõe de um material impresso correspondente, especialmente preparado para este curso, por docentes - pesquisadores, selecionados por sua inserção e produção na área de conteúdo específica.
Além deste módulo, você também dispõe de material em mídia e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
Procure conhecer e explorar o máximo possível todo o material disponibilizado para o seu curso.
É importante ter consciência que este é um material básico, especialmente preparado para lhe oferecer uma visão essencial ao estudo do conteúdo de cada componente curricular. Portanto, ele não tem o objetivo de ser o único material para pesquisa e estudo. Pelo contrário, durante o decorrer do texto, o próprio módulo sugerirá outras leituras, apontando onde você pode encontrar fontes para aprofundar, verticalizar ou trazer outros olhares sobre a temática abordada.
Observe que, no decorrer deste módulo, os autores abrem caixas de diálogo para que você construa como interlocutor ativo, a sua leitura do texto. Elas aparecem com os ícones e objetivos listados a seguir:
Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou infor-mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;
Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, tra-zendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;
Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;
Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu processo de auto-aprendizagem.
Então caro estudante, encare este material como um parceiro de estudo, dialogue com ele, procure as leituras que ele indica, desenvolva as atividades sugeridas e, junto com seus colegas, busque o apoio dos tutores e a orienta-ção do professor formador. Seja autor da sua aprendizagem.
Bom estudo!
Coordenação de Material DidáticoNúcleo de Educação a Distância - NEAD
?? VOCÊ SABIA?
??? ??? SAIBA MAIS
INDICAÇÃO DE LEITURA
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
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APRESENTAÇÃO DO MóDULO
Caros Estudantes!
O cálculo foi desenvolvido a partir de dois ramos importantes da Matemática: a Álgebra e a Geometria. Esse se dedica ao estudo de taxas de variação das grandezas e a acumulação de quantidades. Assim, tem sido utilizado em várias áreas das ciências exatas, como por exemplo, na Física.
Desenvolvido por Isaac Newton(1643-1727) e Gottfried Leibniz(1646-1716), em trabalhos independentes, o Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolver problemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Houve uma divergência sobre qual dos dois matemáticos teria realmente inventado o Cálculo. Esta controvérsia se deu, pois Leibniz publicou primeiro os seus resultados, despertando assim em Newton a desconfiança de que ele teria roubado seus escritos não publicados. Hoje Leibniz é considerado inventor do Cál-culo junto com Newton, pois Leibniz iniciou seus estudos através do Cálculo Integral e Newton através do Cálculo Diferencial. Foi também Leibniz quem deu o nome Cálculo à nova disciplina criada, nome este utilizado até os dias de hoje; Newton inicialmente a chamara de “A ciência dos fluxos”. Posteriormente o Cálculo foi abordado de uma forma muito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass.
Neste sentido, este módulo apresenta a vocês um estudo sobre o Cálculo Diferencial, destacando seus princi-pais elementos e teorias. Assim, apresentamos inicialmente o conceito de limites. Estes descrevem o valor de uma função em certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Deste ponto de vista, o Cálculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites, que podem ser empregados em fundações rigorosas e, por este motivo, são a abordagem padrão para o cálculo. Em seguida apresentamos o conceito da derivada que nos leva ao estudo do Cálculo Diferencial. O conceito da derivada nos permite, através do processo da “diferenciação”, en-contrar uma nova função a partir de uma função original dada. Este processo surgiu do problema da tangente, ou seja, encontrar retas tangentes a determinadas curvas em certos pontos. Assim surgem as diversas aplicações do Cálculo Diferencial: determinações de retas tangentes, estudo de variação de funções, cálculos de taxas de variação como aceleração e velocidade, otimização de espaços e formas.
O estudante de Cálculo deve ter certo conhecimento em algumas áreas da matemática, como funções, geome-tria e trigonometria, pois são a base de todo seu estudo. Logo, é necessária uma revisão em conceitos estudados anteriormente.
Assim, este material dará subsídios para que vocês aprofundem seus estudos sobre Cálculo Diferencial e, tenho certeza, que conseguirão grandes sucessos. Espero que se dediquem ao estudo deste componente curricular, com empenho e disciplina, buscando autonomia e organizando seu tempo para que consigam superar todos os desafios que esta nova modalidade de ensino lhe proporcionará.
Bons estudos!!!!Érica N. Macêdo
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SUMÁRIO
1. Limites e continuidade 13
1.1 Noção intuitiva 13
1.2 Limites laterais 19
1.3 Propriedades dos limites 22
1.4 Continuidade 25
1.5 Cálculo de limites 28
1.5.1 Fatoração de expressões 29
1.5.2 Racionalização de expressões 31
1.6 Limites no infinito 33
1.7 Limites infinitos 36
1.8 Limites fundamentais 39
1.8.1 Limite trigonométrico fundamental 40
1.8.2 Limite exponencial fundamental 41
2. Derivada 45
2.1 A reta tangente 45
2.2 A derivada de uma função 48
2.3 Continuidade de funções deriváveis 49
2.4 Derivadas laterais 50
2.5 Regras de derivação 51
2.6 Derivada da função composta (Regra da cadeia) 54
2.7 Derivada da função inversa 56
2.8 Derivada das funções elementares 57
2.8.1 Funções Trigonométricas 57
2.8.2 Função exponencial 60
2.8.3 Função logarítmica 61
2.8.4 Funções trigonométricas inversas 62
2.9 Derivadas sucessivas 62
3. Aplicações da Derivada 66
3.1 O diferencial 66
3.2 Velocidade e aceleração 67
3.2.1 Velocidade 67
3.2.2 Aceleração 69
3.3 Taxa de Variação 69
3.4 Regras de L´Hospital 71
3.5 Máximos e mínimos 75
3.6 Funções crescentes e decrescentes 78
3.7 Critérios para determinar os extremos de uma função 80
3.8 Problemas de otimização 83
4. Análise do comportamento de funções 86
4.1 Concavidade e inflexão 86
4.2 Assíntotas 89
4.3 Construção de gráficos 96
REFERÊNCIAS 96
QUÍMICA
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013013UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 5
Estamos iniciando mais uma disciplina neste curso de Licenciatura em
Química: O Cálculo Diferencial. Aqui estudaremos sobre o comportamento de
funções em situações bem definidas. Para iniciar nosso estudo,
apresentaremos conceitos intuitivos, que visam melhorar nossa compreensão.
Em seguida, serão fornecidos conceitos formais, para que possamos dar um
caráter científico para este estudo.
Tenho certeza de que a palavra “limite” lhe representa algo. Em nossa
vida cotidiana é comum encontrarmos coisas que façam referências a limites,
como por exemplo:
• O limite de velocidade nesta via é de 80Km/h.
• Você ultrapassou todos os limites!
• Não aguento mais comer: cheguei ao meu limite!
Observe que nas frases descritas acima, a noção de limite refere-se a
uma barreira, uma fronteira em que, às vezes, não podemos ultrapassar. Aqui
estudaremos esta noção levando em consideração aspectos matemáticos.
Para isto, observemos então algumas sequências numéricas.
a) 1 - 1,9 - 1,99 - 1,999 - 1,9999 - 1,99999 - ...
b) ½, 2/3 , ¾ , 4/5 , 5/6 , 7/8 , 8/9, ...
c) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...
Veja que nas sequências acima temos uma quantidade de termos que
nos permite saber quais são os próximos elementos desta sequência, devido a
uma regularidade na lista dos elementos e, através desta regularidade,
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podemos “prever” quais seriam os números que estariam em posições bem
elevadas desta sequência, ou de quem estes números se aproximam.
Veja que na sequência (a), à medida que temos mais elementos, estes
se aproximam muito do número 2, embora nenhum dos números desta
sequência seja exatamente igual a 2; na sequência (b), temos frações que se
aproximam cada vez mais de 1, embora novamente nenhuma fração desta
sequência seja igual a 1, pois nunca teremos numerador e denominador iguais;
na sequência (c) vemos que os número crescem indefinidamente, não se pode
dizer que estes números vão se aproximar de um determinado valor, pois
crescem indefinidamente à medida que se tem posições mais elevadas; neste
último caso, dizemos que esta sequência tende para o infinito (). Assim,
podemos perceber uma noção intuitiva de limite para estas sequências.
Dizemos que em (a) o limite da sequência é 2; em (b) o limite da sequência é1
e em (c) não temos um valor limite, pois os números crescem indefinidamente.
VOCÊ SABIA?
Muitos matemáticos afirmavam que o “infinito real” é algo que não existe,
havendo apenas um “infinito potencial”, ou seja, a possibilidade de se fazer
com que certas quantidades sejam tão grandes quanto desejarmos. Em
1831, Gauss escreveu: “O infinito é apenas uma figura de linguagem:
uma forma abreviada para a afirmação de que existem limites dos quais
certas relações podem se aproximar tanto quanto nós desejarmos,
desde que permitamos que outras magnitudes cresçam sem qualquer
restrição”. O símbolo foi proposto em 1655 por Wallis.
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Agora que já vimos uma noção de limites de sequências, expandiremos
este conceito para o caso das funções reais. Inicialmente observaremos o
comportamento de uma dada função em alguns pontos do seu domínio.
Seja . Como vocês podem perceber, esta é uma função
polinomial de primeiro grau, cujo domínio é . Vejamos a imagem de alguns
elementos deste domínio:
Veja que nos valores apresentados, quanto mais nos aproximamos de 2
em , os valores de se aproximam de 4. Observe também que neste
caso, a imagem se aproxima de 4 cada vez mais que o domínio se aproxima de
2, independentemente se os valores são maiores ou menores que 2. Veja o
gráfico desta função.
−2 2 4
−2
2
4
x
y
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Podemos dizer então que, quando aproximamos o valor de de 2, o
valor da função se aproxima de 4, mesmo que o valor de não seja
necessariamente igual a 2;assim, quando “ tende a 2”, o valor de “ tende
a 4”. Intuitivamente podemos dizer também que o limite da função , quando
tende a 2 é 4. Veja que não queremos saber o que acontece com a função no
ponto específico , mas sim nos pontos muito próximos de 2.
Definição: Escrevemos e dizemos “ o limite de , quando
tende a , é igual a L” se pudermos tomar os valores de arbitrariamente
próximos de L, tomando suficientemente próximo de (por ambos os lados
de ) mas não igual a .
Assim, no caso acima, podemos escrever:
Esta é uma definição de limite menos formal. Veja agora a definição de
maneira mais formal, tal qual é estudada em Cálculo e Análise Matemática:
Definição: Seja definida num intervalo aberto I, contendo , exceto
possivelmente, no próprio . Dizemos que o limite de quando aproxima-
se de é L e escrevemos se, para todo >0, existe um >0, tal
que sempre que .
x
y
L
a
f
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Vejamos mais alguns exemplos de limites de funções.
Exemplo:
Exemplo:
Espero que você já tenha compreendido a noção de limites quando
temos funções. Acredito que percebeu como é mais fácil verificar o limite de
uma função num determinado ponto, se conhecemos o seu gráfico.
Para reafirmar, o quer vimos até agora, lembre-se sempre que:
−1 1
1
2
x
y
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
x
yNo gráfico ao lado, vemos uma função definida por duas sentenças. Note que a função não está definida no ponto . Isto não impede que calculemos , que neste caso,
vê-se facilmente ser igual a 3, ou seja,
VOCÊ SABIA?
Você pode construir o gráfico de diversas funções usando o software
Winplot. Ele é de fácil manipulação, gratuito e encontra-se disponível em
math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Neste caso, temos ,
mas observe que .
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• A definição de limite não exige que o ponto pertença ao domínio de .
Em alguns casos de limites bem importantes, temos que o ponto não
pertence ao domínio da função.
• Mesmo que , a definição não faz referência ao valor de ; o
limite apenas analisa o comportamento dos números do domínio que
tendem a .
Seguiremos então, agora, com nosso estudo sobre limites. Você
percebeu que ao calcularmos o limite de uma função, encontramos um número
real. Pode haver casos em que ao calcularmos o limite de uma função num
determinado ponto, este limite não exista, aspecto que exploraremos um
pouquinho mais tarde. Por hora, veremos que, ao calcularmos o limite de uma
função num ponto, este existindo, se torna único.
Proposição: Se e , então .
Esta proposição nos mostra que, quando o limite existe em um ponto,
ele é único. Significa dizer que num ponto, uma mesma função não pode ter
dois limites distintos. Esta proposição é demonstrada usando a definição formal
de limites a qual ocultaremos neste material. Você irá encontrá-la em livros de
cálculo que estão a sua disposição nas bibliotecas de sua universidade.
Você deve se lembrar que na apresentação da definição de limite de
uma função num ponto , chamamos a atenção que avaliamos pontos
próximos de , por ambos os lados de , ou seja, por valores que são maiores
que , e também por valores que são menores que . Quando avaliamos o
comportamento da função por estes dois lados separadamente, temos o que
chamamos de limites laterais.
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• A definição de limite não exige que o ponto pertença ao domínio de .
Em alguns casos de limites bem importantes, temos que o ponto não
pertence ao domínio da função.
• Mesmo que , a definição não faz referência ao valor de ; o
limite apenas analisa o comportamento dos números do domínio que
tendem a .
Seguiremos então, agora, com nosso estudo sobre limites. Você
percebeu que ao calcularmos o limite de uma função, encontramos um número
real. Pode haver casos em que ao calcularmos o limite de uma função num
determinado ponto, este limite não exista, aspecto que exploraremos um
pouquinho mais tarde. Por hora, veremos que, ao calcularmos o limite de uma
função num ponto, este existindo, se torna único.
Proposição: Se e , então .
Esta proposição nos mostra que, quando o limite existe em um ponto,
ele é único. Significa dizer que num ponto, uma mesma função não pode ter
dois limites distintos. Esta proposição é demonstrada usando a definição formal
de limites a qual ocultaremos neste material. Você irá encontrá-la em livros de
cálculo que estão a sua disposição nas bibliotecas de sua universidade.
Você deve se lembrar que na apresentação da definição de limite de
uma função num ponto , chamamos a atenção que avaliamos pontos
próximos de , por ambos os lados de , ou seja, por valores que são maiores
que , e também por valores que são menores que . Quando avaliamos o
comportamento da função por estes dois lados separadamente, temos o que
chamamos de limites laterais.
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Definição: Escrevemos e dizemos que o limite esquerdo de
quando x tende a é igual a L se pudermos tornar os valores de próximos
de L, tomando-se suficientemente próximo de , porém menor que .
Analogamente, escrevemos e dizemos que o limite direito de
quando tende a é igual a L se pudermos tornar os valores de próximos
de L, tomando-se suficientemente próximo de , e maior que .
Veja que nos casos anteriores, ao verificarmos o limite de uma função
num determinado ponto , avaliando ambos os lados de , o que estamos
fazendo é apenas calcular os limites laterais. Veja mais um exemplo.
Exemplo:
Exemplo:
−1 1 2 3
−1
1
2
x
y
Veja que, quando nos aproximamos de 1 pela esquerda, ou seja, quando os valores da função se aproximam de 1; e que, quando nos aproximamos de 1 pela direita, ou seja, quando os valores da função também se aproximam de 1. Logo podemos escrever os limites:
•
•
−2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
x
yQuando nos aproximamos de 2 pela esquerda, ou seja, quando os valores da função se aproximam de 4; e ao nos aproximamos de 2 pela direita, ou seja, quando os valores da função agora se aproximam de 1. Logo podemos escrever os limites:
•
•
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Neste último exemplo, aconteceu algo bem interessante… Você
percebeu que os limites laterais aqui não coincidiram? O que você pode
concluir sobre isto? Vamos pensar um pouco?
Na definição apresentada, foi chamado à atenção sobre o fato do limite
de uma função num determinado ponto , ser calculado levando em
consideração ambos os lados de ; que agora sabemos são os limites laterais.
Assim, podemos concluir que o limite de uma dada função num ponto só
existe quando os limites laterais coincidem. Caso contrário, ou seja, caso os
limites laterais não coincidam, dizemos que o limite não existe.
Teorema: Se é definida em um intervalo aberto contendo , exceto
possivelmente no ponto , então existe e é igual a L se, e somente se,
ambos os limites laterais e , existirem e forem iguais a L.
Levando em consideração este teorema, podemos agora verificar se o
limite de uma função existe ou não num determinado ponto.
VOCÊ SABIA?
Os teoremas são de grande importância no estudo da matemática. Em
resumo, são afirmações que podem ser provadas, usando para isto,
diversas técnicas como indução finita, redução ao absurdo entre outras.
Uma das principais atividades de um matemático é demonstrar teoremas.
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Observe mais alguns exemplos.
Exemplo: •
•
•
Concluímos dessa forma que existe e temos que .
Veja também que , e que esta informação não influencia na existência
do limite.
Exemplo: •
•
•
Aqui o limite não existe, pois os limites laterais não coincidem.
Exemplo: •
•
−2 −1 1 2−1
1
2
x
y
−1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
x
y
−1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
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Logo podemos concluir que existe e temos que .
Veja também que , e neste caso o valor da função em coincide
com o valor do limite no mesmo ponto. Isto será de muita utilidade em estudos
posteriores.
Para calcular limite de funções em determinados pontos, basta que se
observe o gráfico da mesma, porém existem algumas funções que possuem
gráficos ou leis muito complicadas. Assim, precisamos estabelecer critérios de
se calcular limite, sem o uso da ferramenta gráfica. Vamos então conhecer as
propriedades dos limites?
A seguir apresentaremos uma série de propriedades que facilitará o
cálculo do limite de funções, principalmente considerando as que não são de
fácil esboço gráfico.
Proposição: Se , e são números reais quaisquer, então
Veja que com esta proposição podemos agora calcular o limite de
qualquer função de 1º grau, num determinado ponto .
Exemplos:
•
•
INDICAÇÃO DE LEITURA:
A demonstração das propriedades a seguir pode ser vista em
http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html
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• •
Viu como é simples calcular limites de uma função de 1º grau? Observe
que esta proposição serve para todo e qualquer tipo de função de primeiro
grau, mesmo as que têm termo independente nulo. E como fica a função
constante? Pense um pouco: qual o valor de ? Veja que aqui podemos
usar a proposição enunciada; estamos diante de um limite que pode ser escrito
da forma , em que temos . Assim podemos concluir que
Proposição: Se e existem, e c é um número real qualquer,
então:
•
•
•
•
, desde que
Estas novas propriedades favorecem o cálculo de limite de diversas
funções reais. Vamos ver a aplicação desta proposição em diversos exemplos?
Tenho certeza de que você vai se divertir resolvendo os mais diversos limites.
Exemplos:
•
•
•
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Com o cálculo destes últimos dois limites podemos enunciar mais uma
proposição, que leva em consideração a potência de funções. Lembre-se que a
potência é uma multiplicação de fatores iguais.
Proposição: Se e é um inteiro positivo, então
Exemplos:
•
•
•
Vejamos mais algumas proposições. Lembre-se que estas proposições
facilitam o cálculo do limite de uma função num determinado ponto, sem a
necessidade da sua representação gráfica, que algumas vezes pode ser bem
trabalhosa.
Proposição: Se e é um inteiro positivo, então:
•
• • •
Exemplos:
•
•
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17
Percebeu como é simples o cálculo de limite de uma função usando as
proposições acima citadas? Espero que tenha compreendido bem cada uma
delas e que não tenha receio de usá-las para resolver mais e mais limites. Para
isto, deixaremos aqui alguns exemplos que você, com certeza, terá condição
de responder.
Exercícios Propostos: (a) (b)
(c)
Quando definimos , chamamos a atenção de que este resultado
analisa o que acontece com a imagem por , dos pontos próximos de , tanto
pela direita quanto pela esquerda, e que não leva em consideração o valor que
assume em , e nem sequer questiona se está definida ou não em .
Embora não seja necessário o comportamento de no ponto , para se
calcular , podemos fazer um estudo sobre , levando em consideração
este comportamento.
Quando diremos, de acordo com a definição a seguir
que é contínua em .
Definição: Dizemos que uma função é contínua no ponto se as seguintes
condições forem satisfeitas:
• é definida no ponto ;
• existe;
• .
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Veja a seguir, gráfico de funções que não são contínuas em a. Isto
acontece devido a falta de qualquer uma das condições acima. Será que você
consegue identificar nos gráficos abaixo, qual das condições não foi satisfeita?
(a) (b)
(c) (d)
Veja que em (a) a função não está definida em ; em (b) temos
que ; em (c) não existe e em (d) a função não está
definida em . Tenho certeza que com estas representações gráficas, você
conseguiu visualizar o que acontece quando uma das condições acima não é
satisfeita. Nestes casos dizemos que a função é descontínua em .
x
y
a x
y
a
x
y
a x
y
a
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E então, como será que fica o gráfico de uma função real contínua em
todos os pontos do seu domínio? Vamos conhecer graficamente algumas
destas funções?
Veja que estas funções são contínuas, pois para qualquer ponto temos sempre .
Obs.: Quando uma função é contínua em todos os pontos, dizemos
apenas que é contínua. Intuitivamente, dizemos que o gráfico de uma função
contínua pode ser traçado sem levantar o lápis do papel.
Proposição: Se as funções e são contínuas em um ponto , então são
contínuas também em :
•
•
•
• ; desde que Observe que estas propriedades são de fácil verificação; basta aplicar as
propriedades operatórias vistas anteriormente. Veja como fica, por exemplo, a
prova do primeiro item:
Se e são contínuas em , então temos e
; logo
,
x
y
x
y
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que nos mostra a continuidade da função no ponto .
Algumas funções reais elementares que nós conhecemos são contínuas
para todos os números reais. São elas: funções polinomiais, exponenciais e as
funções trigonométricas seno e cosseno.
Exemplo: Investigue a continuidade da função no ponto
Note que aqui temos uma função definida por sentenças, cujos limites laterais
em são definidos por leis distintas. Temos que verificar se . Vejamos:
VOCÊ SABIA?
O volume de uma árvore é estimado indiretamente através do ajustamento
de uma função contínua que descreva a sua forma, solucionada em função
das variáveis diâmetro e altura, e eventualmente por mais uma ou duas
variáveis auxiliares.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Use as propriedades operatórias dos limites estudadas até agora e prove
que se e são funções contínuas, então os demais itens também o são:
•
•
• ; desde que
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QUÍM
ICA
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21
•
•
Com isto concluímos que o limite existe, pois os limites laterais
coincidem. Resta verificar se coincide com o valor de ; temos então
Assim, a função é contínua em , pois .
Viu como é simples investigar a continuidade em um dado ponto?
Continue aplicando os seus conhecimentos sobre continuidade nos exercícios
a seguir.
Já conhecemos diversas propriedades operatórias de limites e, com
elas, podemos calcular o limite de diversos exemplos de funções em
determinados pontos. Mas há alguns casos que ainda não solucionamos por
completo. Para dar início a este estudo, observe bastante o limite a seguir.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Investigue a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados.
(a) , no ponto .
(b) , no ponto .
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Veja que estamos diante do que chamamos de indeterminação. Não
temos um único valor real que satisfaça à sentença 0/0. Qualquer número real,
vezes zero dá zero. Então? Como resolver tal problema?
Lembre-se que ao calcular o limite de uma função quando tende
para , estamos avaliando o que acontece com a imagem de para pontos
muito próximos de , mas não necessariamente iguais a . Sendo assim,
nestes casos, podemos fazer simplificações, que representem a mesma
função, e que nos dê uma solução para a indeterminação apresentada. No
caso da indeterminação do tipo 0/0, temos duas formas de efetuar
simplificações. São elas a fatoração dos termos, no caso de funções racionais,
e a racionalização de termos, tratando-se das funções irracionais.
Uma função racional, é uma função do tipo , em que e
são polinômios. Quando o limite de uma função racional, num
determinado ponto , recai na indeterminação do tipo 0/0, podemos efetuar a
fatoração do polinômio do numerador e denominador, usando os casos
clássicos, para proceder com simplificações.
Agora que já sabemos o que é fatorar polinômios, vamos resolver alguns
limites usando este processo. Acompanhe:
VOCÊ SABIA?
A fatoração de um polinômio é o processo usado para escrevê-lo como um
produto de polinômios de grau menor. Veja alguns exemplos:
•
•
•
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23
•
•
•
Bom, acredito que talvez não seja rápido relembrar todos os casos de
fatoração já estudados por você durante sua vida escolar. Para melhorar um
pouco este processo de cálculo de limites por fatoração, podemos usar alguns
resultados válidos para polinômios que nos ajudam com esta fatoração. Como
fatorar é reescrever o polinômio usando um produto de fatores, podemos
então, fatorar polinômios se conhecermos por quem eles podem ser divididos.
Um importante teorema nos ajudará com esta tarefa.
Teorema de D’Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por x – a quando a é
raiz de f(x).
Com o resultado do teorema enunciado, podemos efetuar as fatorações
dos casos em que não lembramos as regras práticas. Veja por exemplo este
limite: . É uma indeterminação do tipo 0/0, e precisamos fatorar o
numerador, que não é um trinômio quadrado perfeito. Como -5 é raiz deste
polinômio, podemos efetuar a sua divisão por (x+5). Veja:
, ou seja,
Logo,
Viu como é simples fatorar os polinômios quando usamos a divisão de
polinômios?
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Vejamos mais alguns limites.
•
•
•
Certas vezes a indeterminação 0/0 pode estar em limites de funções
irracionais. Uma função é irracional se é definida por uma expressão literal
irracional.
Neste caso, usaremos a racionalização dos termos; numerador ou
denominador a fim de proceder as simplificações. Racionalizar um termo
consiste em multiplicá-lo por outro termo irracional para que possamos
transformar a expressão em uma sem radicais. Veja um limite com
indeterminação do tipo 0/0, envolvendo função irracional.
SAIBA MAIS:
Para efetuar divisão de polinômios, podemos usar o processo de Briot-
Ruffini. Veja todo o processo em:
http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm
Você Sabia? Uma expressão literal é irracional se alguma variável desta
expressão possui expoente na forma de uma fração própria.
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25
Observe que para racionalizar a expressão que se encontra no
numerador multiplicamos numerador e denominador por . Este fator é
denominado conjugado de ; os conjugados são utilizados para a
racionalização dos termos. Ao multiplicarmos o numerador e denominador de
uma fração por um mesmo termo, estamos encontrando uma fração
equivalente à primeira, ou seja, temos outra fração que representa exatamente
a mesma coisa, mas que foi escrita de maneira diferente.
Exemplos:
•
•
•
Procure agora resolver mais limites com indeterminação do tipo 0/0.
Exercícios: Resolva os limites a seguir.
(a) (b) (c)
(d)
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Quando queremos analisar o comportamento de uma função quando
os valores de crescem, ou decrescem ilimitadamente, estamos querendo
estudar o limite de no infinito. Antes de citarmos os teoremas que norteiam
estes cálculos, observe o gráfico de da função definida por .
Definição: Seja uma função definida em todos os pontos de um intervalo
aberto . Dizemos que se à medida que aumenta
ilimitadamente, os valores de se aproximam de . Dizemos que
se à medida que diminui ilimitadamente, os valores de se
aproximam de .
Sendo assim, baseado no exemplo acima, afirmamos que e
que .
Podemos então saber o que acontece com as funções quando os
valores crescem ou decrescem ilimitadamente. Para tanto, enunciaremos o
próximo teorema.
Teorema: Se é um número inteiro positivo, então:
(i)
x
y Observe que à medida que cresce indefinidamente, ou seja, que a função assume valores cada vez mais próximos de 0; de mesma maneira, quando decresce indefinidamente, ou seja, quando a função assume valores também próximos de 0.
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(ii)
Exemplos:
•
•
Agora está na hora de pensar um pouco. O que acontece com o
seguinte limite: ? Veja que ele não está escrito nos moldes do teorema
enunciado. Precisaremos então de alguns artifícios matemáticos para poder
efetuar o cálculo deste limite. Vejamos então a solução deste problema;
Você percebeu que através de artifícios matemáticos pudemos aplicar o
teorema e resolver o limite dado? Tenho certeza que sim. Mas para ficar bem
claro, veja outro exemplo que envolve o limite no infinito.
Agora tenho certeza de que você entendeu bem como usar o artifício do
fator comum para resolver os limites no infinito. Lembre-se que, nestes casos,
usamos o fator que possui o maior expoente, para poder simplificar melhor as
expressões.
Podemos fazer algumas operações envolvendo o infinito, e dentre estas
operações, algumas são consideradas indeterminações. Veja como efetuar tais
operações:
•
•
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•
•
• (indeterminação)
•
•
•
• • (indeterminação)
• (indeterminação)
Agora podemos calcular mais limites no infinito. Veja só como são
rápidos e fáceis de fazer:
•
•
• (indeterminação)
Neste último caso, podemos novamente usar a técnica do fator comum em
evidência. Veja como solucionar esta indeterminação:
Enunciaremos agora uma propriedade bastante importante para o
cálculo de limites no infinito, quando trabalhamos com funções racionais.
Propriedade: Se e , então
.
Com esta propriedade podemos calcular limites no infinito de funções
racionais de maneira mais rápida e prática. Vamos ver?
•
•
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29
•
Para começar a estudar os limites infinitos, vamos investigar o
comportamento da função dada pela seguinte expressão: . Veja
a seguir sua representação gráfica, e alguns valores para quando temos
.
Note que ao analisarmos o comportamento de quando tanto
pela direita quanto pela esquerda, as imagens da função crescem
ilimitadamente. Neste caso dizemos que a função vai para o infinito ()
quando . De maneira geral podemos escrever . Da mesma
maneira que feito anteriormente, vamos estabelecer normas para se determinar
limites infinitos, sem a necessidade da visualização gráfica, e também sem a
necessidade de se atribuir valores para ter uma visão empírica do que
acontece.
Teorema: Se é um inteiro positivo qualquer, então:
(i)
(ii)
Usando o teorema acima podemos calcular os seguintes limites:
x
y
2
→
→
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•
•
•
•
Que tal você utilizar o software Winplot para visualizar o gráfico das
funções aqui apresentadas? Tenho certeza que você entenderá melhor estes
limites.
Veja que com estes exemplos, apenas as funções que tem expoente par
no denominador possuem limite, pois nesta situação os laterais coincidem. Já
quando o expoente é ímpar, os limites laterais não coincidem. Perceba também
que este limite nos leva a uma operação do tipo , em que é um número real
não nulo. Esta operação é impossível de ser feita, pois não há número real que
vezes zero dê .
Nos casos em que há esta impossibilidade de resposta, usaremos os
limites infinitos; mas às vezes não conseguimos arrumar a expressão de
maneira fácil, para aplicar o teorema citado. Assim, para resolver este tipo de
limite, estudaremos o sinal da função e avaliaremos a vizinhança (á direita e à
esquerda) do ponto em questão.
Exemplo: Calcular .
Veja que este limite nos leva a seguinte operação: . Estamos diante
então, de um limite do tipo . Vamos estudar o sinal da função. Veja que
é uma função quociente. Podemos então estudar o sinal de cada um
dos seus membros e em seguida proceder com a divisão de sinais.
f: 2x
g: x-1
f/g
- + +
+
+ +
- -
-
0
1
10
Note que ao estudar o sinal da função
, na vizinhança de 1, temos
sinal negativo à esquerda e sinal positivo à direita. Com isto concluímos
que , e
daí temos que não existe. Veja
abaixo o seu gráfico completo.
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Exemplo: Determinar
Note que estamos diante de uma impossibilidade de contas; temos
. Vamos então estudar o sinal da função.
Iniciaremos agora um estudo mais específico sobre indeterminações. É
um estudo que envolverá limites específicos, denominados limites
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−9
−6
−3
3
6
9
x
y
Analisando o quadro de sinais,
percebemos que . Portanto o limite
existe e é Veja abaixo o gráfico completo da função.
y
5
f
g
f/g
-5
-5
-5
5
5
5
-
-
+ +
+ + +
+ +
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fundamentais. São indeterminações do tipo e , envolvendo funções
trigonométricas e exponenciais.
Os limites fundamentais desempenham um papel importante no Cálculo.
São utilizados para resolver indeterminações, as quais manipulações
aritméticas não são suficientes para sua solução. Antes de enunciar tais limites,
vamos conhecer uma proposição que nos ajuda com a demonstração prova de
um deles.
Proposição (Teorema do confronto): Se para todo em um
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em , e se
então, .
Esta proposição nos mostra que ao confrontarmos uma função, com
duas outras, que na vizinhança de um determinado , possuam o mesmo
limite , então a função confrontada também terá limite , quando . Veja
um exemplo.
Exemplo: Determinar . Da trigonometria sabemos que ; podemos multiplicar todos os
termos desta inequação por teremos , ou seja,
. Aplicando o limite em todos os termos teremos:
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Assim, .
Para iniciar, considere o ciclo trigonométrico abaixo. Tomaremos como
medida em radianos do arco AOM, com contido no intervalo
Em trigonometria, sabemos que . Dividindo esta
expressão por e lembrando que , teremos ;
calculando o inverso desta desigualdade, teremos Aplicando o
limite em todos os termos da desigualdade temos que ,
; e como , chegamos a . Finalmente, através
do teorema do confronto temos o seguinte resultado:
Este é o limite trigonométrico fundamental. Podemos agora usar este resultado
para resolver diversos limites, com indeterminações e que envolvam funções
trigonométricas.
Exemplos:
•
0 M' A
M T
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•
•
Este limite trigonométrico resolve muitos problemas não é? Espero que
tenha percebido quantas identidades trigonométricas foram usadas aqui. Não
se esqueça de revisar sobre as funções trigonométricas.
Considere a função definida em , e avalie o que
acontece quando Para isto veja a tabela de valores abaixo.
SAIBA MAIS:
As funções trigonométricas desempenham um papel importante no estudo
do cálculo diferencial e integral. É importante que você tenha conhecimento
sobre suas propriedades, além de saber como elas se relacionam entre si.
Para rever quais são as principais identidades trigonométricas visite
http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html .
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Observe que à medida que aumentamos o valor de , as imagens
da função se aproximam cada vez mais de um número que está entre 2 e 3.
Esse número é irracional e foi chamado de número , em homenagem ao
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783).
Temos então o segundo limite fundamental:
Veja o gráfico desta função:
Usando o resultado do segundo limite fundamental, podemos resolver
outros limites interessantes. O limite também resulta em , e pode
x
y
e
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ser encontrado através de uma mudança de variável no segundo limite
fundamental. Vamos ver como isto ocorreu?
Em , podemos usar a seguinte igualdade ; sendo assim,
teremos e quando , teremos Assim .
As mudanças de variáveis são muito úteis na solução deste tipo de
limite. Vejamos alguns casos. Tente verificar qual a substituição que foi usada.
•
• •
Proposição:
Esta proposição nos mostra o terceiro limite fundamental. É útil também
nos cálculos de limite. Em particular, se temos , o limite fica da seguinte
forma: .
Veja como aplicar este limite fundamental em alguns exemplos:
VOCÊ SABIA?
O número foi encontrado a partir de uma série numérica. Uma série
numérica é uma soma infinita de termos. No caso, temos a seguinte
igualdade:
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•
•
Neste capítulo, estudamos sobre os limites e suas indeterminações.
Agora avançaremos mais no estudo do Cálculo. Conheceremos um limite
especial, chamado derivada, e suas propriedades e aplicações. Vamos
continuar nesta viagem?
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Iniciaremos agora um estudo relacionado a um limite mais específico.
Definiremos situações e estudaremos propriedades que desencadearão em
aplicações relacionadas com diversas áreas do conhecimento: matemática,
física, química, etc.
Conheça agora uma aplicação de limite num contexto geométrico: a reta
tangente.
As ideias que serão apresentadas aqui foram inicialmente usadas no
século XVIII por Newton e Leibniz. Consideraremos uma curva dada por
, definida num intervalo , e por dois pontos distintos P e Q desta
curva, traçaremos uma reta secante s.
A reta s , que passa por P e Q é secante à curva, e considerando o triângulo
PQM, na figura acima, a inclinação da reta s é dada por:
x
y
M
P
Q
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Se mantivermos o ponto P fixo e deslocarmos o ponto Q, sobre a curva, em
direção a P, a inclinação da reta secante variará. À medida que Q vai se
aproximando de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo a
um valor limite constante. Este limite é chamado de inclinação da reta tangente
à curva no ponto P.
Definição: Dada uma curva , seja um ponto sobre ela. A
inclinação da reta tangente à curva no ponto é dada por :
Quando o limite existe.
Fazendo podemos reescrever o limite na forma
Conhecendo a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos
encontrar a equação da reta tangente à curva em P.
Equação da reta tangente: Se a função é contínua em , então a reta tangente
à curva em é:
x
y
PQ
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(i) A reta que passa pelo ponto P tendo a inclinação se este limite existe. Neste caso,
temos a equação (ii) A reta se
for infinito.
Exemplo: Encontre a inclinação da reta tangente à curva no
ponto Se , então, ; e
Veja que a inclinação m é dada por:
Podemos encontrar então a equação da reta tangente a esta curva no ponto
dado. Temos que .
−2 −1 1 2 3 4
−2
2
4
6
8
x
y
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Definição: A derivada de uma função no ponto , denotada por , é
definida pelo limite , quando este limite existe.
Lembre-se que vimos anteriormente que este limite nos dá a inclinação
da reta tangente à curva no ponto P de abcissa .
Definição: A derivada de uma função , é a função denotada por ,
tal que seu valor em qualquer é dada por
, quando este limite existe.
Quando existe a derivada em todos os pontos do domínio da função ,
dizemos apenas que é uma função derivável. Veja alguns exemplos de função
derivada.
Exemplos: Encontre a função derivada em cada um dois casos a seguir.
(a)
VOCÊ SABIA?
O problema de como se determinar uma reta tangente foi uma a questão matemática dominante no início do século XVII, e é difícil estimar quanto os cientistas da época desejavam saber a resposta. Em ótica, a tangente determinava o ângulo no qual o raio de luz penetraria numa lente curva. Em mecânica, a tangente determinava a direção do movimento de um corpo em qualquer ponto ao longo de seu percurso. Em geometria, as retas tangentes a duas curvas num ponto de intersecção determinam o ângulo em que as curvas se cortam. René Descartes chegou a dizer que o problema de achar a tangente a uma curva era “o problema mais útil e mais geral não somente que eu conheço, mas também que eu desejo saber”.
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(b)
Espero que tenha compreendido como calcular a função derivada de
uma função dada. Os exemplos apresentados foram calculados usando a
definição de derivada. Posteriormente serão apresentadas ferramentas que
facilitam o cálculo desta derivada. Por agora, vejamos alguns aspectos
importantes decorrente das definições aqui estudadas.
De acordo com o que se foi estudado, podemos afirmar que a existência
do limite de uma função num determinado ponto , não depende de a função
estar definida em nem tampouco da função ser contínua em . A
continuidade de uma função em um determinado , também não garante a
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existência de . Mas, por outro lado, se existe , podemos garantir
que a função é contínua em Veja o teorema a seguir.
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua nesse ponto.
Como a derivada é um limite, é necessário se verificar as condições
necessárias para a existência de tal limite. A noção de derivadas laterais é bem
pertinente na medida em que definimos limites laterais para o estudo dos
limites.
Definição: Se a função está definida em , então a derivada à direita
de em , denotada por é definida por:
Caso este limite exista.
Definição: Se a função está definida em , então a derivada à
esquerda de em , denotada por é definida por:
SUGESTÃO DE LEITURA
Você pode ver a demonstração deste teorema em livros de Cálculo que
estão disponíveis na biblioteca de sua universidade. Como sugestão indico
o livro:
FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
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Caso este limite exista.
Uma função é derivável em , quando as derivadas à direita e à
esquerda existem e são iguais.
Conheceremos agora várias regras de derivação. Estas regras nos
permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição. Tenho
certeza que está ansioso para aplicar tais regras, e por consequência, ver os
seus cálculos facilitados.
Proposição (Derivada da constante): Se é uma constante e para
todo , então Prova: Seja . Então,
Viu como foi simples? Usamos a definição para a demonstração e agora
já sabemos que a derivada da função constante é igual a zero. Podemos usar
este resultado, e não há necessidade de usar a definição quando quisermos
derivar a função constante. Vejamos outras propriedades que continuarão
ajudando no cálculo das derivadas.
Proposição (Regra da potência): Se é um número inteiro e positivo e , então .
SUGESTÃO DE ATIVIDADE:
Tente demonstrar a proposição acima usando a definição de derivada. Você
precisará da expressão conhecida como binômio de Newton. Bom trabalho.
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Esta regra da potência é realmente muito útil. Veja alguns exemplos e
note como fica simples calcular as derivadas.
Exemplos
• Se , então .
• Se , então .
• Se , então .
Obs.: Esta proposição é verdadeira se é um número real qualquer. Assim,
estendemos mais ainda a aplicabilidade desta proposição.
Exemplos
• Se , então
• Se , então
Proposição: Se e duas funções deriváveis, e c uma constante. Então são
deriváveis e, além disto:
(i)
(ii)
(iii)
(iv) , desde
Tenho certeza de que agora, com estas regras, o processo de derivar
funções ficará muito mais prático. Poderemos então, derivar as mais diversas
funções. Veja só.
Exemplos: Encontre a função derivada das funções reais abaixo:
a.
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b.
c.
d.
Você percebeu quantas operações fomos capazes de fazer? Estas
propriedades operatórias da derivação são muito úteis e facilitam o cálculo das
derivadas de diversas funções. Posteriormente, estudaremos as derivadas das
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funções elementares, como as funções trigonométricas, exponenciais,
logarítmicas entre outras.
Para finalizar as regras de derivação, conheça uma das ferramentas
mais importantes no cálculo de derivadas: a derivação de funções compostas,
também conhecida como regra da cadeia.
Considere duas funções deriváveis e , em que e .
Para todo tal que está no domínio de , podemos escrever , isto é, podemos considerar a função composta .
Veja como se construir algumas funções compostas.
Exemplos:
• Sejam e ; temos então
• Sejam e ; temos então Para encontrar a derivada de tais funções compostas, utilizaremos a
regra que se chama regra da cadeia. Ela nos dá a derivada da função em termos das derivadas de e .
Proposição (Regra da cadeia): Se e e as derivadas e existem, então a função composta tem derivada e é igual a:
Para encontrar a derivada de uma função composta, através da regra da
cadeia, basta conhecer as derivadas das funções que formam a composição.
Vamos então ver como aplicar tal proposição?
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Exemplos: Encontre a função derivada das seguintes funções compostas.
a.
Veja que esta função é a composição de com . Assim,
pela regra da cadeia temos a seguinte derivada:
Percebeu que aqui é mais prático aplicar a regra da cadeia? Se fossemos
desenvolver a potência , encontraríamos o mesmo resultado, porém
teríamos muitos mais cálculos a fazer e a possibilidade de cometer erros de
conta seria bem maior.
b.
Aqui temos a composição de e de .
Logo, pela regra da cadeia, sua derivada é:
Espero que tenha compreendido bem esta última proposição estudada.
Trabalharemos muito com funções compostas, e por isto, a regra da cadeia é
uma ferramenta muito importante. Estude bastante, para que não haja dúvidas
de como proceder com os cálculos. Para isto, deixaremos aqui algumas
atividades propostas, com o objetivo de lhe oferecer mais material para estudo.
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A função inversa de uma função , é uma função , de tal forma
que o domínio de é a imagem de e a imagem de é o domínio de . Nem
todas as funções possuem função inversa. Quando uma função possui
inversa, podemos determinar sua derivada através do teorema a seguir.
Teorema: Seja uma função definida em um intervalo aberto .
Suponhamos que admita uma função inversa contínua. Se
existe e é diferente de zero para qualquer , então é derivável
e vale:
Exemplos:
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Encontre a função derivada das funções abaixo. (use as regras de
derivação convenientes).
a.
b.
c.
d.
e.
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• Seja . A sua inversa é dada por .
Podemos ver que as derivadas, e são inversas uma
da outra.
• Seja . Sua inversa é . Como e é maior que
zero para todo , temos,
.
Agora que já conhecemos diversas regras de derivação, podemos
começar a conhecer as derivadas das funções elementares, tais como as
trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, etc. Para tanto, será necessário
que você tenha conhecimento de algumas características destas funções. Na
medida do possível, estaremos lhe relembrando algumas destas
características.
• Se , então .
Veja que
INDICAÇÃO DE SITE
A base do cálculo diferencial e integral é o estudo das funções. Algumas
funções são consideradas elementares. Para rever tais funções visite:
http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.ppt
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• Se , então .
Veja que
• Se , então .
Veja que ; podemos então usar a derivada do quociente de
duas funções, já que conhecemos a derivada da função seno e da função
cosseno. Acompanhe:
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• Se , então .
Temos que ; usaremos também, portanto, a regra da
derivada do quociente de duas funções. Veja que:
• Se , então Neste caso temos ; aqui usaremos a regra da
cadeia, para poder encontrar a derivada da função secante. Observe:
• Se , então Neste caso temos ; aqui também usaremos a
regra da cadeia, para poder encontrar a derivada da função cossecante.
Observe novamente:
Nossa! Encontramos todas as derivadas das funções trigonométricas!
Veja que usamos a definição apenas para as funções seno e cosseno. Todas
as demais funções trigonométricas se escrevem em função de seno e cosseno,
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e assim foi possível utilizar as regras de derivação já citadas anteriormente.
Veja agora a derivada de algumas funções que envolvem funções
trigonométricas.
Exemplos: Calcular a derivada das funções abaixo.
•
Temos
•
Temos
•
Temos
• Se , então , onde e .
Note que
.
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Caso Particular: Se , então
Exemplos: Encontrar a derivada das funções abaixo:
• Temos .
•
Temos
• Se , então , onde e .
Aqui, precisamos relembrar que a função logarítmica é a função inversa
da função exponencial. Assim, podemos encontrar a sua derivada usando a
derivada da função inversa. Vejamos como fica esta derivada!
Temos: e, portanto, pela definição de logaritmo. Usando a
derivada da função inversa temos:
Caso particular: Se então .
Exemplos: Encontrar a derivada das funções abaixo:
•
Temos:
•
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Temos:
.
As funções trigonométricas inversas desempenham um papel importante
no cálculo diferencial e integral. Aqui apresentaremos suas derivadas, através
da derivada da função inversa.
• Se , então .
Veja que se , então Logo,
Desta mesma maneira, podemos ter todas as derivadas das demais
funções trigonométricas inversas. Veja a seguir:
SAIBA MAIS
As funções trigonométricas inversas são muito utilizadas na geometria, nas
transformações de coordenadas, etc. Como toda função inversa, estas
foram obtidas através das funções trigonométricas, onde houve a inversão
do domínio e imagem. Para conhecer melhor as funções trigonométricas
inversas visite:
http://www.estig.ipbeja.pt/~cmmmp/matIGE/teoricas/Licao8.pdf
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• Se , então .
• Se , então .
Exemplos: Encontre a derivada das funções abaixo:
•
Temos
•
Temos
Enfim, conhecemos as derivadas de diversas funções reais. Agora
chegou a sua vez de praticar, e calcular a derivada de muitas funções reais,
usando as derivadas já conhecidas e as regras de derivação estudadas.
Consulte seu tutor e peça sugestões de atividades.
Se é uma função derivável, a sua derivada é também uma função,
definida no mesmo intervalo que . Podemos portanto pensar na derivada da
função . Definição: Seja uma função derivável. Se também for derivável, então sua
derivada é chamada derivada segunda de e é representada por .
Exemplos:
• Se , então
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• Se , então
Se é uma função derivável, sua derivada, representada por , é
chamada derivada terceira de .
A derivada de ordem ou -ésima derivada de , representada por
, é obtida derivando-se a derivada de ordem de .
Exemplo:
• Se então
Bom, chegamos ao fim de mais uma etapa do nosso estudo. Neste
capítulo estudamos sobre um limite especial: a derivada. Aprendemos como
calcular a derivada de funções reais, usando a definição de derivada e as
regras de derivação, que facilitaram bastante o nosso trabalho. Em seguida,
verificaremos para que serve tantas derivadas; estudaremos então suas
aplicações. Continue conosco nesta viagem do cálculo diferencial e integral.
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Introduziremos agora um estudo sobre as aplicações da derivada. Aqui
veremos que diversas áreas do conhecimento têm problemas que podem ser
resolvidos utilizando a derivada como uma taxa de variação. Em química,
podemos encontrar a derivada nos cálculos de como avaliar quando a
concentração de um remédio na corrente sanguínea é máxima, por exemplo.
Veremos agora como avaliar variações de uma função. Em outras
palavras, qual a variação que uma função tem se variarmos os valores de ?
Para isto, definiremos a seguir, acréscimo de e diferencial de .
Definição: Seja uma função. Podemos sempre considerar uma
variação da variável independente . Se varia de a , definimos o
acréscimo de , denotado por , como Esta variação de gera uma correspondente variação de , denotada
por , dada por , ou de maneira equivalente, .
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Definição: Sejam uma função derivável e um acréscimo de .
Definimos:
(i) a diferencial da variável independente , denotada por , como
(ii) a diferencial da variável dependente , denotada por , como
Veja que podemos reescrever a igualdade como
, o que nos leva a entender a derivada como um quociente entre
duas diferenciais.
Atenção: Não confunda com . Em temos a variação da função
gerada pelo acréscimo de ; já em temos o diferencial de , que é dado por
. Para acréscimos de muito pequenos, estes dois valores se
confundem, mas em princípios são diferentes.
Exemplos:
• Se , calcule o acréscimo para e .
Usando a definição temos que ; assim:
• Se , calcule e para e .
Lembre-se que temos sempre . Note neste exemplo que , ou seja, e possuem valores próximos, mas distintos. Caso
usássemos um menor, esta diferença seria ainda menor.
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Velocidade e aceleração são conceitos conhecidos par todos nós há
bastante tempo. Quando dirigimos um carro, podemos avaliar qual a distância
percorrida num certo tempo. O velocímetro marca, a cada instante, a
velocidade. Se pisarmos no freio ou acelerador, percebemos que a velocidade
muda. Neste caso estamos percebendo a aceleração do veículo. Podemos
calcular velocidade e aceleração através das derivadas.
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que
represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante . Então, no intervalo
entre e , o corpo sofre um deslocamento . Neste caso,
a velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é dada por , isto
é, a velocidade média é a razão entre o espaço percorrido, e o tempo gasto
VOCÊ SABIA?
A equação do Primeiro Princípio da Termodinâmica na forma integrada é:
U = Q – W onde se mostra claramente que U, a energia interna do sistema é
uma propriedade termodinâmica de estado (função de ponto), enquanto que
Q e W, respectivamente, o calor e o trabalho, são propriedades da
transformação (funções de linha). Para os processos em que W = 0, tem-se:
U = Q e, nestes casos, o calor assume características de função de ponto,
pois se identifica com a variação de uma função de ponto. Interpretação
análoga pode ser dada para o caso das transformações adiabáticas (Q = 0),
para as quais se tem: U = - W e, nestas condições, é o trabalho que
assume características de função de ponto.
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para isto. Agora estamos querendo saber, qual a velocidade instantânea do
corpo no exato momento t. Faremos então este intervalo de tempo se
aproximar de zero. Assim teremos a seguinte expressão:
Portanto para calcular a velocidade de um corpo, basta conhecer a
derivada da função que representa a sua posição em relação ao tempo.
Exemplo: No instante um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua
posição no instante é dada por . Determine a velocidade do
corpo no instante Aqui, basta calcularmos a derivada da função no instante . Vejamos:
;
Logo, o corpo possui unidades de velocidade, no instante .
O conceito de aceleração é construído de maneira bem semelhante ao
de velocidade. Entendemos por aceleração, a variação da velocidade de um
corpo, num determinado espaço de tempo. Assim, a aceleração média para um
corpo com equação de velocidade , no intervalo de tempo de até é :
Para saber a aceleração instantânea do corpo, no exato instante , basta
fazer este intervalo de tempo se aproximar de zero. Assim, a aceleração
instantânea, no tempo é:
Portanto para calcular a aceleração de um corpo, basta conhecer a
derivada da função que representa a sua velocidade em relação ao tempo.
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Veja que a aceleração é a segunda derivada da função que representa a
posição do corpo. Com a primeira derivada encontramos a velocidade, e com a
segunda a aceleração.
Exemplo: No instante um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua
posição no instante é dada por . Determine a aceleração do
corpo no instante Aqui, basta calcularmos a segunda derivada da função no instante . Vejamos:
; .
Logo, o corpo possui unidades de aceleração, no instante .
Nas secções anteriores vimos que, quando um corpo se move em linha
reta, de acordo com a equação do movimento , podemos determinar
sua velocidade e aceleração instantânea através das derivadas. Veja que a
velocidade é a variação do espaço em função do tempo, e que a aceleração é
a variação da velocidade em função do tempo. Neste caso, estamos então
calculando variações através de derivadas. Toda derivada pode ser
interpretada como uma taxa de variação.
VOCÊ SABIA?
A maneira mais usual de se medir a velocidade de uma reação química é a
relação entre a concentração de um dos reagentes do meio reacional e o
tempo, ou seja, . A velocidade de reação normalmente é
representada pela letra r (do inglês rate), e assim a forma realmente usual
será então a seguinte:
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Dada uma função , quando a variável independente , varia de
a , a variável dependente tem uma variação correspondente igual a
. A derivada representa a
taxa instantânea de variação, ou simplesmente taxa de variação de em
relação a .
A interpretação da derivada como uma taxa de variação tem aplicação
nas diversas áreas do conhecimento. Vejamos algumas destas aplicações.
Exemplos:
(a) Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante . Após
horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:
, .
Qual a velocidade da redução da sua temperatura após 2 horas?
Solução: Veja que precisamos aqui, calcular a velocidade da baixa de
temperatura no instante . Para tanto, basta calcular quem é . Assim,
Logo, a velocidade de redução de temperatura após duas horas é de
.
(b) A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão em
e volume em estão relacionados pela igualdade ,
em que é constante. Ache a razão do volume em relação à pressão
quando esta vale .
Solução: veja que podemos escrever a equação no formato , e
temos o volume em função da pressão. Como queremos a razão do volume
quando , então vamos calcular . Teremos então , e portanto, Logo, a razão de variação do
volume é de , constante.
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(c) Um tanque contém inicialmente litros de água. Abre-se uma torneira
e esta despeja litros de água por minuto dentro deste tanque. Qual o
volume de água no tanque após minutos? Qual a taxa de variação do
volume V em relação ao tempo ?
Solução: Veja que aqui, podemos escrever uma equação para representar o
volume do tanque após ter se passado minutos. Se a cada minuto ele ganha
5 litros, então seu volume total ao passar do tempo será . Logo,
seu volume após minutos será . A taxa
de variação do volume será .
(d) Um líquido goteja em um recipiente. Após horas, há litros no recipiente. Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em , quando ?
Solução: Veja que o volume de líquido no recipiente é de . A taxa
de gotejamento será de ; em horas teremos . Logo, a taxa de
gotejamento de líquido quando horas é de .
Viu quantas aplicações práticas fizemos com o uso da derivada como
taxa de variação? Tenho certeza que ao longo do seu curso de Licenciatura em
Química, você verá aplicações como estas, e saberá a importância do estudo
do Cálculo Diferencial e Integral.
Conheceremos agora, um método para solucionar limites que
apresentam indeterminações do tipo e
. Este método é chamado de regra de
L’Hospital, e é muito utilizado no cálculo de limites com tais indeterminações.
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Proposição (Regra de L’Hospital): Sejam e funções deriváveis num
intervalo aberto , exceto, possivelmente, em um ponto . Suponhamos que
para todo em .
(i) Se e , então
.
(ii) Se e , então
.
Veja que agora temos mais uma forma de resolver limites com
indeterminações do tipo e
. Esta nova regra facilitará bastante os nossos
cálculos. Acompanhe os exemplos a seguir, que serão resolvidos com a ajuda
da regra de L’Hospital.
Exemplos: Calcular os limites a seguir.
(a)
Veja que aqui temos uma indeterminação, pois Neste
caso, podemos aplicar a regra de L’Hospital, e teremos:
VOCÊ SABIA?
O marquês G.F.A. de L’Hospital era um matemático amador, e publicou esta
regra em sua obra Analyse des infiniment petits (paris, 1696), após ter
contratado os serviços de Johann Bernoulli como seu tutor. Anos depois de
sua morte Johann Bernoulli reivindicou a autoria de boa parte do livro
publicado, mas ficou claro que fora estabelecido um trato entre o marquês e
o antigo tutor, no qual L’Hospital oferecia uma pensão de 300 libras pelo
silêncio e pela dedicação aos escritos enviados.
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.
Viu como ficou bem mais simples resolver este limite? Tenho certeza que você
fará uso desta regra com frequência.
(b)
Temos neste caso, ; aplicando a regra de
L’Hospital, encontraremos
(c)
Olha quem veio nos visitar aqui… o limite trigonométrico fundamental. Neste
limite temos uma indeterminação do tipo ; aplicando a regra de L’Hospital
temos
. Veja que aqui conseguimos calcular
o limite sem a necessidade das propriedades da trigonometria usadas
anteriormente.
(d)
Novamente uma indeterminação do tipo ; aplicando a regra de L’Hospital
temos
.
(e)
Temos aqui uma indeterminação do tipo ; aplicando a regra de L’Hospital
temos
. Recaímos num limite que continua
com indeterminação do tipo assim, podemos aplicar novamente a regra de
L’Hospital. Portanto,
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(f)
Aqui, temos indeterminação do tipo infinito sobre infinito. Podemos então
aplicar a regra de L’Hospital e então teremos:
As regras de L’Hospital são realmente muito úteis no cálculo de limites
com indeterminação do tipo ou
. Veja que em alguns casos, precisamos
aplicá-la mais de uma vez. Chegou a hora de você testar um pouco os seus
conhecimentos sobre o assunto.
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Resolva os limites a seguir usando a regra de L’Hospital
(a)
(b)
(c)
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Observe o gráfico a seguir:
Veja que destacamos os pontos de abscissas e ; nestas
abscissas, temos imagens que localmente assumem valores mais elevados e
imagens que localmente assumem valores mais baixos. No gráfico
apresentado, a imagem de possui um valor mais elevado, localmente, e as
imagens de e , possuem valores mais baixos. Estes pontos são
chamados de pontos extremos de uma função. Os valores das imagens são
chamados de máximos ou mínimos relativos. No gráfico apresentado, é
um máximo relativo e , e são mínimos relativos. Podemos
então formalizar estas definições.
Definição: Uma função tem um máximo relativo em , se existir um intervalo
aberto , contendo , tal que para todo .
Definição: Uma função tem um mínimo relativo em , se existir um intervalo
aberto , contendo , tal que para todo .
x
y
x1 x2 x3 x4
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Veja a seguir um exemplo em que fica clara esta noção de máximo e
mínimo relativo. Para isto analisaremos, através de uma ferramenta gráfica, o
gráfico da função em questão. Mais adiante veremos como encontrar estes
máximos e mínimos relativos usando derivadas.
Exemplo: Analise o gráfico da função
Esta função tem um máximo relativo em , pois para todo
. Também possui mínimos relativos em e , pois
existe o intervalo em que e para
todo neste intervalo.
Os pontos onde ocorrem valores máximos ou mínimos de uma função
são chamados de pontos extremos. Até então, usamos apenas o gráfico das
funções para avaliar a existência de pontos extremos, o que de fato, é uma
ferramenta muito importante. Mas para encontrar de maneira mais precisa os
pontos extremos de uma função, usaremos a seguinte proposição:
Proposição: Suponhamos que existe para todos os valores de e
que tem um extremo relativo em , onde . Se existe, então
.
−2 −1 1 2
−3
−2
−1
1
2
x
y
A B
C
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De acordo com a proposição, veja que no exemplo anterior, temos
, e que , onde e
Esta proposição garante que, se o extremo existe, então a derivada da
função neste ponto é zero; mas não garante que, quando a derivada num ponto
é zero, que este ponto seja um extremo. Veja um exemplo em que a derivada
da função num determinado ponto é zero, mas o ponto não representa nem
um máximo, nem um mínimo relativo.
Exemplo:
Definição: O ponto tal que ou não existe, é chamado
ponto crítico de .
Neste caso, temos uma condição necessária para que tenhamos um
extremo relativo em um ponto ; este ponto precisa ser um ponto crítico. Para
encontrar um ponto crítico, basta verificar em que ponto a derivada da função é
zero ou não exista.
Lembre-se: a derivada de uma função não existe num determinado ponto,
quando as derivadas laterais não coincidem.
É interessante também perceber que uma função, num determinado
intervalo, pode assumir vários valores extremos relativos. O maior valor da
−1 1 2
−2
−1
1
2
x
yVeja que em temos ; mas este ponto não representa um máximo nem um mínimo relativo.
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função num intervalo é chamado máximo absoluto da função nesse intervalo.
Analogamente, o menor valor é chamado mínimo absoluto.
Veja por exemplo a função ; esta função possui um valor mínimo
absoluto em . Neste caso é o menor valor que assume em todo o
seu domínio.
Definição: Dizemos que é o máximo absoluto da função , se e para todos os valores de no domínio de .
Definição: Dizemos que é o mínimo absoluto da função , se e para todos os valores de no domínio de .
Definição: Dizemos que uma função , definida num intervalo , é crescente
neste intervalo se para quaisquer , , temos .
−2 −1 1 2
−3
−2
−1
1x
y
x
y
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Definição: Dizemos que uma função , definida num intervalo , é decrescente
neste intervalo se para quaisquer , , temos .
Podemos verificar quais intervalos uma função derivável é crescente ou
decrescente. Para tanto, basta estudar o sinal da função que representa a sua
primeira derivada. A proposição seguinte formalizará este processo.
Proposição: Seja uma função contínua num intervalo e derivável no
intervalo .
(i) Se para todo , então é crescente em . (ii) Se para todo , então é decrescente em .
Exemplos: Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das
funções abaixo:
(a)
Para determinar os intervalos onde esta função cresce ou decresce, vamos
estudar o sinal da função que representa sua primeira derivada. Neste caso
como temos uma função do 2º grau, sua derivada é uma função de 1º grau, e
por se tratar de uma função elementar, conseguiremos estudar seu sinal.
Acompanhe: temos , e .
O seu esboço gráfico é:
x
y
- +
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Assim, podemos concluir que a função é crescente para os
valores em que e decrescente para os valores em que .
(b)
Neste caso temos , o que nos leva a .
Estudando o sinal da primeira derivada temos:
Assim, podemos concluir que a função é totalmente crescente, ou seja, é
crescente para todos os valores do seu domínio.
Através destes intervalos de crescimento e decrescimento, podemos
encontrar os extremos de uma função. Já sabemos como encontrar os pontos
críticos, e através do estudo destes intervalos de crescimento e decrescimento,
podemos classificá-los em pontos de máximo ou mínimo.
Os teoremas que serão aqui apresentados têm por objetivo estabelecer
critérios para determinar os extremos de uma função.
Teorema (critério da primeira derivada): Seja uma função contínua num
intervalo fechado que possui derivada em todo ponto do intervalo
exceto, possivelmente, num ponto .
(i) Se para todo e para todo , então
tem um máximo relativo em .
+ +
0
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(ii) Se para todo e para todo , então
tem um mínimo relativo em .
Prova: (i) Se para todo e para todo , então
temos que é crescente para e decrescente para . Portanto
para todo em e assim, tem um máximo relativo em .
(ii) Se para todo e para todo , então temos que
é decrescente para e crescente para . Portanto para
todo em e assim, tem um mínimo relativo em .
Podemos então agora, encontrar os extremos de uma função dada. Veja
alguns exemplos.
Exemplos: Encontrar os extremos da função .
Primeiro é necessário determinar os pontos críticos da função, em seguida
fazer o estudo do sinal da primeira derivada, e verificar se os pontos críticos se
encaixam, segundo o teorema, como máximos ou mínimos.
Vejamos! Temos ; fazendo teremos o
que nos leva a e . Então os pontos críticos são e .
Estudando o sinal da primeira derivada temos que para e a função
é crescente, e que para , a função é decrescente. Veja o esboço
gráfico da função primeira derivada:
Pelo critério da primeira derivada, a função possui um máximo
relativo em e possui um mínimo relativo em . Veja o gráfico da
função e compare com os resultados obtidos através do
teorema.
+ +
0 2
-
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Teorema (critério da segunda derivada): Sejam uma função derivável num
intervalo e um ponto crítico de neste intervalo. Se admite a derivada
em , temos:
(i) Se , tem um valor máximo relativo em .
(ii) Se , tem um valor mínimo relativo em .
Usando este critério, podemos encontrar os pontos extremos de uma
função, sem a necessidade de estudar o sinal da função que representa a
primeira derivada.
Exemplo: Encontrar os extremos da função , usando o critério
da segunda derivada.
Como já vimos no exemplo anterior, a função tem derivada
primeira e pontos críticos e . A segunda derivada
é Assim, para temos , e como
a segunda derivada é negativa, a função admite um máximo relativo em ;
para temos , e como a segunda derivada é
positiva, a função admite um mínimo relativo em . Você já conhece o
gráfico da função em questão, que foi apresentado no exemplo anterior, e pode
verificar que, usando tanto o critério da primeira, como da segunda derivada,
chegamos ao mesmo resultado.
−2 −1 1 2 3
−4
−2
2
x
y
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Nem sempre um ponto crítico representa um ponto em que ocorrerá um
valor máximo ou mínimo. Isto pode ser notado de maneira clara no exemplo a
seguir.
Exemplo: A função possui ponto crítico, mas não possui pontos
extremos.
Vejamos: a função possui ponto crítico em , pois e temos
que , nos leva a . Aplicando o critério da segunda derivada, temos
e . Assim, como a segunda derivada não assume valor
positivo, nem negativo, o ponto crítico em não é um ponto extremo.
Os valores de máximo e mínimo de uma função são muito úteis no
estudo da otimização. Otimizar significa deixar uma situação de maneira mais
favorável, ou seja, quando queremos otimizar o tempo de estudo, queremos
em menos tempo, aprender mais coisas. Assim, estamos maximizando o
conhecimento e minimizando o tempo. A seguir, veremos como resolver
situações semelhante a esta.
Em matemática, o termo otimização, ou programação matemática,
refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar
uma função através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais ou
inteiras dentro de um conjunto viável.
Nós vimos que para maximizar ou minimizar os valores de uma função,
basta encontrar os seus pontos críticos e em seguida, usando o critério da
SUGESTÃO DE ATIVIDADE
Esboce o gráfico da função e veja que realmente não há ponto
extremo em . Você pode usar o software livre Winplot.
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77
primeira ou segunda derivada, classificá-los em pontos de máximo ou mínimo.
Vejamos agora alguns exemplos para ilustrar esta importante aplicação.
Exemplo: O custo e a receita total com a produção e comercialização de um
produto são dados por e , sendo
. Encontre a quantidade que maximiza o lucro com a venda
desse produto.
Veja que neste caso, ainda não temos a expressão que representa o lucro,
mas podemos consegui - lá lembrando que o lucro é a receita menos o custo.
Assim, a função que representa o lucro é .
Os pontos críticos para são os zeros da primeira derivada, logo, , nos dá . Para verificar se é um ponto de
máximo, usaremos a segunda derivada. Temos então para
todo no intervalo estabelecido. Assim, é a quantidade que maximiza
o lucro da venda desse produto.
Exemplo: O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa,
constatou que num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a
velocidade do tráfego é de aproximadamente
quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio
dia. A que horas do intervalo de 2 as 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que
horas flui mais lentamente, e com que velocidade?
Aqui, precisamos encontrar o ponto máximo e o ponto mínimo desta
velocidade. Derivando temos ; e igualando a
zero temos e . Calculando a segunda derivada de temos que
e, portanto e . Logo a hora
em que o tráfego flui mais rapidamente é às e a velocidade máxima atingida
é de ; a hora em que o tráfego flui mais lentamente é às e a
velocidade mínima atingida é de .
Viu como podemos aplicar os pontos extremos de uma função? Usando
estes teoremas, podemos saber quando o nível de concentração de um
remédio na corrente sanguínea é máxima; como o conteúdo de um lago fica
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afetado por detritos orgânicos, entre outras aplicações. Estes resultados são
importantes para a tomada de decisões. Tenho certeza que você encontrará
vários exemplos envolvendo aspectos da química.
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Ao estudarmos os pontos extremos de uma função, analisamos itens do
comportamento das funções. Estes itens servem também para verificar como
se apresenta o gráfico destas funções. Para tanto, será necessário o estudo de
mais itens para compor uma análise geral, e permitir um estudo mais
abrangente. Nosso objetivo agora, é estudar os elementos de uma função, para
poder, ao fim, esboçar seu gráfico.
O conceito de concavidade é muito útil no esboço gráfico de uma curva.
De maneira geométrica podemos avaliar a concavidade de uma curva, num
intervalo, através da posição das retas tangentes à curva neste intervalo.
Geometricamente, dizemos que a curva tem a concavidade voltada para
cima, no intervalo , se dado um ponto qualquer entre e , o gráfico de
está acima da tangente à curva no ponto . Veja uma ilustração
deste fato:
Analogamente, dizemos que a curva tem a concavidade voltada para
baixo, no intervalo , se dado um ponto qualquer entre e , o gráfico de
está abaixo da tangente à curva no ponto . Veja novamente uma
ilustração deste fato:
x
y
a bc
P
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Podemos formalizar estes conceitos. Acompanhe as definições a seguir.
Definição: Uma função é dita côncava para cima no intervalo , se
é crescente neste intervalo.
Definição: Uma função é dita côncava para baixo no intervalo , se
é decrescente neste intervalo.
Veja que para avaliar a concavidade de uma curva , basta analisar se
sua primeira derivada é crescente ou decrescente. Assim, pelas proposições
estudadas até agora, basta estudar então o sinal da segunda derivada.
Proposição: Seja uma função contínua no intervalo e derivável até 2ª
ordem no intervalo .
(i) Se para todo , então é côncava para cima em .
(ii) Se para todo , então é côncava para baixo em .
Exemplos: Observe as funções quadráticas a seguir:
(a)
Neste caso temos e Como a segunda derivada é
sempre positiva, independente do valor de , a função assume concavidade
para cima em todo seu domínio. De fato, veja o seu gráfico:
x
y
a bc
P
1 2 3 4
−1
1
2
x
y
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(b)
Agora temos e Como a segunda derivada é
sempre negativa, independente do valor de , a função assume concavidade
para baixo em todo seu domínio. De fato, veja o seu gráfico:
Às vezes num mesmo gráfico, podem existir pontos em que a
concavidade muda de sentido. Estes pontos são chamados de pontos de
inflexão.
Definição: Um ponto do gráfico de uma função contínua é chamado
ponto de inflexão, se existe um intervalo contendo , tal que uma das
seguintes situações ocorra:
(i) é côncava para cima em e côncava para baixo em .
(ii) é côncava para baixo em e côncava para cima em .
Exemplo: Estude a concavidade da função .
Para verificar a concavidade da função acima, vamos encontrar a sua
derivada segunda. Temos e . Quando , ou seja, quando , temos concavidade voltada para cima; Quando
, ou seja, quando , temos concavidade voltada para
baixo. Assim, o ponto é um ponto de inflexão, pois a concavidade da
curva muda exatamente neste ponto; tem concavidade voltada para cima em
e concavidade voltada para baixo em . Veja o seu gráfico.
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
x
y
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Alguns gráficos de função possuem uma característica bem interessante: aproximam-se de uma reta, mas sem interceptá-la. Observe gráficos de algumas funções e identifique este comportamento.
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
x
y
x
y
x
y
x
y
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Estas retas das quais o gráfico da função se aproxima, mas sem
interceptar, são chamadas assíntotas. Particularmente, daremos mais ênfase
às assíntotas horizontais e verticais. Você verá que para encontrar a assíntota
de um gráfico de uma função, quando ela existe, basta calcular alguns limites
já conhecidos. Vejamos então a definição formal de tais assíntotas.
Definição: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de , se pelo
menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Exemplo: A reta é uma assíntota vertical do gráfico de .
De fato temos que e que
.
Sugiro que você tente visualizar o gráfico desta situação usando o Winplot.
Definição: A reta é uma assíntota horizontal do gráfico de , se
pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
(i)
(ii)
Exemplo: A reta é assíntota horizontal do gráfico de .
Veja que temos
e
.
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A assíntota do gráfico de uma função, quando existe, é uma
característica de grande importância para seu esboço. Em seguida, uniremos
todas as características estudadas até aqui, com o objetivo de apresentar um
roteiro, que sirva para o esboço do gráfico de uma função, que não seja
elementar. É claro que você pode sempre contar com as ferramentas gráficas
disponíveis, mas é importante saber, que podemos, através do estudo do
cálculo diferencial, ter noção de como as funções são representadas
graficamente.
Estamos dando início à reta final de nosso curso; tenho certeza você já
deve ter percebido quanto o cálculo diferencial é importante em vários ramos
da ciência. Finalizaremos o nosso estudo apresentado um resumo que servirá
para analisar o comportamento das funções, e fazer sua representação gráfica,
através dos estudos algébricos de suas características. Acompanhe o roteiro a
seguir.
Etapas para estudo do comportamento de uma função :
1. Encontrar o domínio de .
2. Calcular os pontos de intersecção com os eixos ( e ); se não for
muito trabalhoso.
3. Encontrar os pontos críticos.
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de .
5. Encontrar os máximos e mínimos relativos.
6. Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de .
7. Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
8. Esboçar o gráfico.
Veja que este roteiro foi construído a partir de todos os elementos
estudados anteriormente. Tenho certeza que você conseguirá fazer o esboço
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gráfico de funções. Apresentaremos aqui alguns exemplos para você visualizar
todo o processo.
Exemplo: Esboçar o gráfico da função .
Seguindo o roteiro proposto temos:
1-
2- Intersecção com o eixo do
3- Pontos críticos
Temos e fazendo encontramos e
, que são os pontos críticos.
4- Intervalos de crescimento e decrescimento
Resolvendo temos que , o que nos leva a
. Assim, afirmamos que é crescente quando .
Resolvendo temos que , o que nos leva a
. Assim, afirmamos que é crescente quando .
5- Máximos e mínimos relativos
Temos . Como , então em temos
um mínimo relativo, e como , este é o valor mínimo relativo de .
Como , nada podemos afirmar.
6- Concavidade e ponto de inflexão
Fazendo , temos que quando e ;
então é côncava para cima em .Analogamente, fazendo
, temos que quando ; então é
côncava para baixo em . Os ponto de abscissa e são pontos de
inflexão.
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7- Assíntotas
Este gráfico não admite assíntotas verticais nem horizontais.
8. Esboço gráfico
Viu como seguir o roteiro apresentado torna o processo de esboço
gráfico mais prático? Espero que você não tenha mais problemas, quando
quiser saber como se comporta uma função real. Acompanhe mais um
exemplo para finalizar o estudo.
Exemplo: Esboçar o gráfico da função .
Seguindo o roteiro proposto temos:
1- 2- Intersecção com os eixos
• Eixo dos :
• Eixo dos :
3- Pontos críticos
−2 2
2
4
6
x
y
1/3 1
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Temos e não há valor de para que . Assim, não há
pontos críticos.
4- Intervalos de crescimento e decrescimento
Neste caso, para todo pertencente ao seu domínio. Assim
afirmamos que a função é crescente para todo .
5- Máximos e mínimos relativos
Como não há pontos críticos, não há pontos de máximo nem de mínimo.
6- Concavidade e ponto de inflexão
Fazendo , temos que quando ; então é côncava
para cima em . Analogamente, fazendo , temos que
quando ; então é côncava para baixo em . Os ponto de
abscissa não é ponto de inflexão, pois a função não está definida aí.
7- Assíntotas
Determinando os limites e
, concluímos que
é uma assíntota vertical.
Determinando os limites e
, concluímos que é
uma assíntota horizontal.
8. Esboço gráfico
−6 −4 −2 2 4 6
−6
−4
−2
2
4
6
x
y
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Chegamos ao fim de mais um componente curricular do curso. Espero
que vocês tenham estudado e aproveitado bastante mais esta oportunidade de
aprender. Na verdade, estamos sempre em processo de aprendizagem, e certa
disto, desejo a vocês um longo caminho no mundo do conhecimento. Espero
ter contribuído de alguma forma para o crescimento profissional e pessoal de
vocês. Bons estudos e sigam em frente.
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EAD 2009 EAD 2009
QUÍM
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Referências
1. ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. Vol. 1. 7ª edição. Rio
de Janeiro: Editora LTC, 2003.
2. BOYER, C.B. Tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula. São Paulo, Atual,1992.
3. FLEMING, D. M. Cálculo A. 6ª edição. São Paulo: Prentice Hall, 2006.
4. GARBI. G.G. A rainha das ciências. São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2006.
5. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 8. São Paulo:
Atual , 1998.
6. STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. . 5ª edição. São Paulo: Thomson, 2006.
7. Disponível: http://www.hottopos.com/regeq7/cardos2.htm
8. Disponível: www.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QG/.../Cinetica-Thais.ppt
9. Disponível: math.exeter.edu/rparris/winplot.html
10. Disponível: http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node9.html
11. Disponível: http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/10250.htm
12. Disponível: http://www.eqm.unisul.br/download/trig/index.html
13. Disponível:
http://www.ceset.unicamp.br/~marlih/00000/Fun%20es%20Elementares.p
pt
14. Disponível:
http://www.estig.ipbeja.pt/~cmmmp/matIGE/teoricas/Licao8.pdf
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14. Disponível:
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