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Cálculo Diferencial e Integral I Página 1 UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada Universidade de Mogi das Cruzes – UMC Campos Villa Lobos Cálculo Diferencial e Integral I Parte II Engenharia Civil Engenharia Mecânica Profa. Marília Rocha – [email protected] 2º semestre de 2014

Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

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Universidade de Mogi das Cruzes – UMC

Campos Villa Lobos

Cálculo Diferencial e Integral I Parte II

Engenharia Civil Engenharia Mecânica

Profa. Marília Rocha – [email protected]

2º semestre de 2014

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ÍNDICE 1. Derivada ..................................................................................................................................................................... 5

1.1. Definição de derivada no ponto xo ..................................................................................................................... 5

1.2. Interpretação Geométrica da Derivada ............................................................................................................. 8

1.3. Função Derivada .............................................................................................................................................. 13

1.4. Derivada e Continuidade.................................................................................................................................. 13

1.5. Derivada de funções elementares .................................................................................................................... 14

1.6. Regras de Derivação ......................................................................................................................................... 17

1.7. Derivada de funções trigonométricas .............................................................................................................. 22

1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeia) ...................................................................................... 25

1.9. Derivada da função inversa ............................................................................................................................. 31

1.10. Derivada de outras funções trigonométricas ............................................................................................... 40

1.11. Derivada de funções trigonométricas inversas ............................................................................................ 41

1.12. Derivadas de algumas funções compostas ................................................................................................... 45

1.13. Derivadas Sucessivas .................................................................................................................................... 53

2. Interpretações da Derivada ...................................................................................................................................... 56

2.1. Interpretação Cinemática................................................................................................................................. 56

2.2. Variação Média ................................................................................................................................................ 56

2.3. Taxa de variação .............................................................................................................................................. 57

2.4. Exercícios ......................................................................................................................................................... 57

3. Anexos ...................................................................................................................................................................... 61

3.1. Plano Cartesiano (R2) ...................................................................................................................................... 61

3.2. Relações Trigonométricas ................................................................................................................................ 62

3.3. Trigonometria na Circunferência .................................................................................................................... 62 3.3.1. Arcos e Ângulos ........................................................................................................................................ 62 3.3.2. Medidas de Arcos ..................................................................................................................................... 63

3.3.2.1. Grau (o) .............................................................................................................................................. 63

3.3.2.2. Radiano (rad) ..................................................................................................................................... 63 3.3.2.3. Conversão .......................................................................................................................................... 63

3.4. Ciclo Trigonométrico ....................................................................................................................................... 63 3.4.1. Razões Trigonométricas na Circunferência ............................................................................................ 64 3.4.2. Arcos Notáveis .......................................................................................................................................... 66 3.4.3. Equivalência ............................................................................................................................................. 66

3.5. Funções Trigonométricas Inversas ................................................................................................................. 66 3.5.1. Função arco seno x ................................................................................................................................ 66 3.5.2. Função arco cosseno x ........................................................................................................................... 67 3.5.3. Função arco tangente x .......................................................................................................................... 67

3.6. Logaritmo ......................................................................................................................................................... 68

3.7. Produtos Notáveis ............................................................................................................................................. 68

3.8. Tabela de Derivadas ......................................................................................................................................... 69

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4. Bibliografia ............................................................................................................................................................... 71

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1. Derivada

Segundo Iezzi, Murakami e Machado (1993), apresentamos as seguintes

definições:

1.1. Definição de derivada no ponto xo

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e 0x um elemento de I .

Chama-se derivada de f no ponto 0x o limite

0

0

0

( ) ( )limx x

f x f x

x x

se este existir e for finito.

Indicamos, também, por 0 0

0

( ) ( )limx

f x x f x

x

, 0x x x .

Notação: 0'( )f x ,

0x x

df

dx

ou 0( )Df x .

Exemplo: calculando a derivada, pela definição, de 2( )f x x x no ponto 0 1x :

Usando a primeira fórmula, temos:

0

' 00

0

2 2 2 2'

1 1 1 1

1 1

( ) ( )( ) lim

( ) (1) (1 1) 1 1 2(1) lim lim lim lim

1 1 1 1

( 1)( 2)lim lim( 2) 3

1

x x

x x x x

x x

f x f xf x

x x

f x f x x x x x xf

x x x x

x xx

x

Usando a segunda fórmula, temos:

' 0 00

0

2 2

'

0 0

2 2

0 0 0 0

( ) ( )( ) lim

(1 ) (1 ) (1 1)(1 ) (1)(1) lim lim

1 2 1 1 1 3 (3 )lim lim lim lim 3 3

x

x x

x x x x

f x x f xf x

x

x xf x ff

x x

x x x x x x xx

x x x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 6

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Exercício: Calcule, pela definição, a função derivada das funções dadas:

1. ( ) 3f x x , no ponto 0 2x

2. ( ) 2 1f x x , no ponto 0 2x

3. ( ) 3f x x , no ponto 0 1x

4. 2( ) 2 5f x x x , no ponto 0 1x

5. 2( ) 3f x x x , no ponto 0 2x

6. 2( ) 1 4f x x , no ponto 0 3x

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7. 2( )f x x x , no ponto

0

1

2x

Ss

8. 3 2( ) 12f x x x , no ponto 0 4x

9. ( )f x x , no ponto 0 1x

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Respostas:

1. '( ) 3f x 2. '( ) 2f x

3. '( ) 1f x 4. '( ) 4f x

5. '( ) 7f x 6. '( ) 24f x

7. '( ) 0f x 8. '( ) 48f x

9. 1

'( )2

f x

1.2. Interpretação Geométrica da Derivada

A derivada de uma função f no ponto 0x é igual ao coeficiente angular da reta

tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0x .

A equação da reta tangente t ao gráfico de uma função f no ponto 0 0( , )P x y , em

que f é derivável, é dada por: 0 0 0( ) '( ).( )y f x f x x x .

Exemplo: a equação da reta tangente à curva 2 3y x x no seu ponto de abscissa

4 é:

Como 0 4x , calculamos o ponto de

tangência P :

2

0( ) 4 3.4 4f x . Portanto (4,4)P

Calculamos a derivada (coeficiente angular):

0

' 00

0

2 2'

4 4

2

4 4 4

( ) ( )( ) lim

( ) (4) 3 (4 3.4)(4) lim lim

4 4

3 4 ( 4)( 1)lim lim lim 1 5

4 4

x x

x x

x x x

f x f xf x

x x

f x f x xf

x x

x x x xx

x x

Calculando a equação reduzida da reta:

0 0 0( ) '( ).( )

4 5( 4)

5 16

y f x f x x x

y x

y x

Verificação do valor da derivada pelo cálculo da tangente do ângulo , formado pela reta

tangente e o eixo dos x :

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 9

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No triângulo retângulo:

14( ) 5

2,8

cateto opostotg

cateto adjacente

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 10

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Exercícios:

1. Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 0x . Construa

os gráficos de f(x) e da reta tangente t à f(x).

1.1. ( ) 1f x x e 0 3x

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1.2.2( )f x x e

0 3x

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1.3.2( ) 2f x x x e 0 1x

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Respostas:

1.1. 1y x

1.3. 1y

1.2. 6 9y x

1.3. Função Derivada

Seja f uma função derivável no intervalo aberto I . Para cada 0x pertencente a I

existe e é único o limite ' 0 00

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

. Portanto, definimos uma função

' :f I R que associa a cada 0x I a derivada de f no ponto 0x . Esta função é chamada

função derivada de f .

Notação: 'f ,

df

dxou Df .

A lei '( )f x pode ser determinada a partir da lei ( )f x , aplicando-se a definição de

derivada de uma função, num ponto genérico x I : '

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

.

1.4. Derivada e Continuidade

Sejam a função :f A R e 0x A . Se f é derivável em 0x , então f é contínua

em 0x . O recíproco é falso, ou seja, há funções contínuas em 0x e não deriváveis em 0x .

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1.5. Derivada de funções elementares

01 função constante ( ) '( ) 0f x c f x , c R

Demonstração: Seja ( )f x c , c R .

'

0

( ) ( )( ) lim 0

x

f x x f x c cf x

x x

Exemplo: ( ) 3 '( ) 0f x f x

Exercícios: Calcule as derivadas:

1. ( ) 5 '( )f x f x

2. 4

( ) '( )3

f x f x

3. ( ) 9 '( )f x f x

4. ( ) 3 '( )f x f x

1

02 função potência de expoente natural ( ) nf x x , *n N

1( ) '( ) .n nf x x f x n x

Demonstração1: Seja ( ) nf x x , *n N .

'

0 0

( ) ( ) ( )( ) lim lim

n n

x x

f x x f x x x xf x

x x

1 2 2

1 2 1

. .( ) ...0 1 2( )

. ... .1 2

n

n n n n nnn n

n n n n n

n n n nx x x x x x x

n n nnx x xx x x x x x

nx x

1 2 1. ... .1 2

n

n n nn n n

x x x xn

' 1 1 1 1

0

( ) ! .( 1)!( ) lim . . .

1 1!( 1)! ( 1)!

n nn n n n

x

nx x x n n nf x x x x n x

x n n

1 Binômio de Newton:

0

nn n k k

k

nx y x y

k

.

Número Binomial: sejam n e k números naturais, e n k , o número binomial n tomado k a k é dado por:

!

!( )!

n n

k k n k

.

Fatorial: seja n um número natural, n N , n fatorial ( !n ) é um valor dado por: 1, 0

!( 1)( 2)....1, 0

nn

n n n n

.

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 15

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Exemplo: 3

2

( )

'( ) 3

f x x

f x x

S

Exercícios: Calcule as derivadas:

1. 6( )f x x

'( )f x

2. 5( )f x x

'( )f x

3. ( )f x x

'( )f x

Hhh

03 função exponencial ( ) xf x a ,

a R e 0 1

( ) '( ) .lnx xf x a f x a a , a R e 0 1

Demonstração: Seja ( ) xf x a , a R e 0 1 .

'

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( 1) 1( ) lim lim lim lim . lim

x x x x x xx

x x x x x

f x x f x a a a a af x a

x x x x

Lembrando que 0

1lim ln

x

x

aa

x

, temos '

0 0

1( ) lim . lim .ln

xx x

x x

af x a a a

x

Exemplo:

( ) 2

'( ) 2 .ln 2

x

x

f x

f x

Caso particular:

04 função exponencial de base e , ( ) xf x e ( ) ( ) 'x xf x e f x e

Demonstração: Seja ( ) xf x e .

Pelo item 3, ( ) .ln .1x x xf x e e e e

Exercícios: Calcule as derivadas:

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 16

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1. ( ) 4xf x

'( )f x

2. 1

( )4

x

f x

'( )f x

Respostas:

Derivada da função constante:

1. 0 2. 0 3. 0 4. 0

Derivada da função potência

1. 56x 2.

45x 3. 1

Derivada da função exponencial

1. 4 .ln 4x

2. 1 1

.ln4 4

x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 17

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1.6. Regras de Derivação

01 Derivada do Produto de uma constante c ,

c R ,por uma função

( ) . ( ) '( ) . '( )f x c v x f x c v x

02 Derivada da Soma ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x

03 Derivada da Diferença ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x

04

A derivada da soma (ou diferença) pode ser estendida para uma soma de n funções: ' ' ' '

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x u x u x u x f x u x u x u x

Exemplo: 3 2

2

( ) 2 2 4 3

'( ) 6 4 4

f x x x x

f x x x

Exercícios: Calcule as derivadas:

1. 2( ) 2 3f x x

'( )f x

x

2. 4 2( ) 6 8f x x x

'( )f x

x

3. 5 4 31

( ) 3 4 94

f x x x x

( ) 'f x

x

4. 6 5( ) 2 3f x x x x

'( )f x

x

5. 6 3 24 7

( ) 9 5 32

f x x x x

'( )f x

Xss

6. 5( ) 3 2 4x xf x x e

'( )f x

sss

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 18

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05 Derivada do Produto ( ) ( ). ( ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f x u x v x f x u x v x u x v x

Iii

06 A derivada do produto pode ser estendida para um produto de n fatores: ' ' ' '

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ). ( )..... ( ) ( ) ( ). ( )..... ( ) ( ). ( )..... ( ) ... ( ). ( )..... ( )n n n nf x u x u x u x f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x

Exemplos: 4 2

3 2 4 5 3 2 5 2

5 3 2

1. ( ) ( 2 )( 4)

'( ) ( 4 2)( 4) ( 2 )(2 ) ( 4 16 2 8) ( 2 4 )

6 16 6 8

f x x x x

f x x x x x x x x x x x

x x x

W 5

4 4

2. ( ) 6( 6 )

'( ) 6.( 5 6) 30 36

f x x x

f x x x

2

2 2

2 2 2 2 4 3 3 2 3 2 2

4 3 2

3. ( ) (4 1)(3 )(2 )

'( ) ( )(3 )(2 ) (4 1)(6 )(2 ) (4 1)(3 )(2)

(3 )(2 ) (4 1)(12 ) (8 2)(3 ) (6 2 ) (48 12 ) (24 8 6 2 )

6 74 26 2

f x x x x x

f x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2( ) ( 1)( 1 )f x x x

'( )f x

dd

2. 6 4 2( ) 5( )f x x x x

'( )f x

Fiii

3. 2 2( ) (3 7)( 2 )f x x x x

( ) 'f x

ffx

4. 2 3( ) (3 )(1 )f x x x x x

( ) 'f x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 19

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11x

5. 3( ) . xf x x e

'( )f x

x

6. 4( ) . xf x x a

'( )f x

x

7. 3 2 2( ) ( 1)( 2)f x x x x x

'( )f x

xss

8. 2 4 3( ) ( )(1 )f x x x x x x

'( )f x

Xss

07 Derivada do Quociente

' ''

2

( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )

( ) ( )

u x u x v x u x v xf x f x

v x v x

, ( ) 0v x

Exemplo: 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

4( )

2 2

(2 )(2 2) ( 4)(2) (4 4 ) (2 8) 4 4 2 8 2 4 8( ) '

(2 2) (2 2) (2 2) (2 2)

xf x

x

x x x x x x x x x x xf x

x x x x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 20

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Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2

( )xe

f xx

'( )f x

ss

2.

2 1( )

1

xf x

x

'( )f x

ss

3. 2

( )1

xf x

x x

'( )f x

ss

4. 1

( )1

xf x

x

'( )f x

ss

5.

2 3 1( )

2

x xf x

x

'( )f x

ss

6.

2

2( )

1

xf x

x

'( )f x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 21

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Respostas:

Derivadas da soma

1. 4x 2. 324 16x x

3. 4 3 25

12 124

x x x

4. 5 46 5 2 3x x 5.

5 2454 3 5 6x x x 6. 415 2 4 ln4x xx e

Derivada do produto:

1. 23 2 1x x 2.

5 330 20 10x x x 3. 3 212 18 14 14x x x

4. 4 3 215 4 9 8 1x x x x 5.

2(3 )xe x x 6. 3(4 ln )xa x x a

7. 4 3 25 4 9 6 2x x x x 8. 8 6 5 3 29 7 12 4 3x x x x x

Derivada do quociente:

1. 3

( 2)xe x

x

2.

2

2

2 1

( 1)

x x

x

3.

2

22

1

1

x

x x

4.

2

2

1x

5.

2

2

4 7

2

x x

x

6.

2

2

2

1

x

x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 22

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1.7. Derivada de funções trigonométricas

05 função seno x ( ) '( ) cosf x senx f x x

Cdd

Demonstração: Seja ( )f x senx .

'

0 0

( ) ( ) ( )( ) lim lim

x x

f x x f x sen x x senxf x

x x

Relações Trigonométricas: 2 .cos2 2

p q p qsenp senq sen

'

0 0 0

2 .cos 2 .cos( ) 2 2 2 2

( ) lim lim limx x x

x x x x x x x xsen sen x

sen x x senxf x

x x x

'

0 0 0

2 2( ) lim .cos lim . lim cos

2 2

2 2

x x x

x xsen sen

x xf x x x

x x

Lembrando que 0

lim 1x

senx

x , '

0 0

2( ) lim . lim cos 1.cos cos

2

2

x x

xsen

xf x x x x

x

06 função cosseno x ( ) cos '( )f x x f x senx

Demonstração: Seja ( ) cosf x x .

'

0 0

( ) ( ) cos( ) cos( ) lim lim

x x

f x x f x x x xf x

x x

Relações Trigonométricas: cos cos 2 .2 2

p q p qp q sen sen

'

0 0 0

2 . 2 .cos( ) cos 2 2 2 2

( ) lim lim limx x x

x x x x x x x xsen sen sen x sen

x x xf x

x x x

'

0 0 0

2 2( ) lim . lim . lim

2 2

2 2

x x x

x xsen sen

x xf x sen x sen x

x x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 23

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Lembrando que 0

lim 1x

senx

x ,

'

0 0 0

2 2( ) lim . lim . lim .1

2 2

2 2

x x x

x xsen sen

x xf x sen x sen x senx senx

x x

Exemplo: 2( ) 3 cos 5 '( ) 3cos 10f x senx x x f x x senx x

Exercícios:

1. Calcule a derivada:

1.1. ( ) 4 7cosf x senx x x

'( )f x

X xssssç

1.2. 7

( ) cos5

f x senx x

'( )f x

xssssç

1.3. ( )x

senxf x

a

'( )f x

2. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela:

2.1. ( )f x tgx

'( )f x

Xee

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 24

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2.2. ( ) cotf x gx

'( )f x

A

07 função tangente x ( ) '( )f x tgx f x

a

08 função cotangente x ( ) '( )f x cotgx f x

Respostas:

1.1. '( ) cos 4 7f x x senx

1.2. '( ) cosf x x senx 1.3. cos .ln

'( )x

x senx af x

a

Z

2.1. 2( ) '( ) secf x tgx f x x 2.2.

2( ) '( ) cosf x cotgx f x sec x

cc

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 25

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1.8. Derivada de Funções Compostas (Regra da Cadeia)

Se ( )y g u , ( )u f x e as derivadas dy

du e

du

dx existem, então a função composta

( )y g f x tem derivada dada por .dy dy du

dx du dx ou '( ) '( ). '( )y x g u f x .

Se ( )y g u , ( )u f x , temos ( )y g f x .

dy dy du

dx du dx

Exemplo: 27 2( ) x xf x e

x27 2u x x

uy e

27 2. .(14 2) (14 2).u x xdy dy due x x e

dx du dx

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2 10( ) 10(3 7 3)f x x x

u y

.dy dy du

dx du dx

2. 4( ) 3(9 4)f x x

u y

.dy dy du

dx du dx

3. 23 6( ) 2 x xf x

u y

.dy dy du

dx du dx

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 26

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4. 23 6 7( ) 2 x xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

5. 2 5( ) (2 3 )f x x x

u y

.dy dy du

dx du dx

6. 52( ) (2 3)f x x

u y

.dy dy du

dx du dx

7. 3( ) xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 27: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 27

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8. 4 2( ) xf x x a

u y

.dy dy du

dx du dx

9. 6 3( ) (5 2) (3 1)f x x x

u y u y

.dy dy du

dx du dx .

dy dy du

dx du dx

10. ( ) 4f x sen x

u y

.dy dy du

dx du dx

11.cos7

( )x

f xx

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 28: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 28

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12.2( ) cos(3 5)f x x x

u y

.dy dy du

dx du dx

13.3( ) 3f x sen x

u y u y

.dy dy du

dx du dx .

dy dy du

dx du dx

14.2( ) sen xf x e

u y u y

.dy dy du

dx du dx .

dy dy du

dx du dx

15. ( ) xf x sene

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 29: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 29

UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada

16. ( ) 3. 4f x x tg x

u y

.dy dy du

dx du dx

17. ( ) cot (3 1)f x g x

u y

.dy dy du

dx du dx

Gg

18. 4( )f x sen x

u y

.dy dy du

dx du dx

Gg

19. 5( ) cosf x x

u y

.dy dy du

dx du dx

Gg

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 30

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Respostas:

1. 2 9(600 700)(3 7 3)x x x 2.

3108(9 4)x

3. 23 62 (6 6)ln 2x x x 4.

23 6 7(12 12). x xx e

5. 2 4(15 10 )( 3 2)x x x 6.

51104(2 3)x

7. 33 xe 8.

2 32 (2 ln )xa x x a

9. 5 2(5 2) (3 1) (135 48)x x x 10. 4cos4x

11. 2

7 7 cos7xsen x x

x

12. 2(6 1). (3 5)x sen x x

13. 29. 3 .cos3sen x x 14.

22. .cos2sen xe x

15. .cosx xe e 16. 21 12.sec 4x

17. 23.cossec (3 1)x 18.

34. .cossen x x

19. 45cos .x senx

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 31

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1.9. Derivada da função inversa

função inversa 1( )x f y 1 1 1

( ) '( )'( )

x f y f yf x

Demonstração: Seja a função ( )y f x bijetora e derivável no intervalo I tal que '( ) 0f x

para x I .

Como a função f , sendo bijetora e derivável, decorre que 0 0x y . Portanto,

considerando ( ) ( )y f x x f x

x x

, podemos escrever

1x

yy

x

. Sendo f derivável e,

portanto, contínua, se x tende a zero, então y também tende a zero.

Portanto, 1 '

0 0

0

1 1 1( ) ( ) lim lim

'( )lim

y x

x

xf y

y yy f x

x x

. Logo: 1 1 1( ) '( )

'( )x f y f y

f x

.

Ss

11 função logarítmica 1( ) log '( )

.lnaf x x f x

x a , 0a e 1a

Demonstração: Pela definição de logaritmo, temos log y

ay x x a . Pela derivada da

função exponencial. Vimos que ' .lny yx a x a a . Empregando a regra da derivada da

função inversa, temos 1 1 1

'' .ln .lny

yx a a x a

.

Caso Particular:

12 função logarítmica de base e 1( ) ln '( )f x x f x

x

Demonstração: 1 1

( ) ln '( ).ln

f x x f xx e x

Exemplos:

2( ) logf x x

1'( )

.ln 2f x

x

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 7( ) logf x x

'( )f x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 32

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2. 5( ) logf x x

'( )f x

3. 2( ) 4log lnf x x x

'( )f x

qq

13 função potência ( ) nf x x , com expoente

real, n R e 0x

1( ) '( ) .n nf x x f x n x

Demonstração: Seja ny x , n R .

Empregando uma das consequências dos logaritmos (ln xe x ), temos

ln

ln

n

nx

n x

y x

y e

y e

Pela regra da cadeia:

lnu n x uy e

ln 1 1 11. . . . . . .u n x n ndy dy du

e n e n x x n x n xdx du dx x

Exemplos:

3

3 1 4

4

1. ( )

3'( ) 3 3 , 0

f x x

f x x x xx

1

22. ( )f x x x

1 1 2 11

2 2 21

2

1 1 1 1 1'( ) , 0

2 2 2 22

f x x x x xx

x

1

1 1 2

2

13. ( )

1'( )

f x xx

f x x xx

Page 33: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 33

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Exercícios:

1. Calcule a derivada:

1.1.

4

3( )f x x

'( )f x

1.2.

4

5( )f x x

'( )f x

1.3. 4( )f x x

'( )f x

1.4. 3 2( )f x x

'( )f x

1.5. 4

2( )f x

x

'( )f x

1.6. 7

2( )f x

x

'( )f x

1.7. 5( )f x x

'( )f x

2 Calcule a derivada:

2.1.

1 3

5 2( )f x x x

'( )f x

sss

Page 34: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 34

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2.2.

1 4

5 3( ) 2f x x x

'( )f x

ppp

2.3.

21

34( ) 2 6f x x x

'( )f x

x

2.4. 3

2

2( ) 6 xf x x e

x

'( )f x

x

2.5. 3

2 4( )f x

x x

'( )f x

x

2.6. 1 1

2 3

2 5( )f x

x x

'( )f x

xssssç

2.7.

2

3 2

4 5

4 15( )

x xf x

x x

'( )f x

Page 35: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 35

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X xssssç

2.8. 1

( ) lnf x xx

'( )f x

Lll

2.9.

3

2( ) ( 2 )( )f x x x x x

( ) 'f x

JJJ

3.Derive as seguintes funções:

3.1. 5 3 51

( ) (2 6 )3

f x x x

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 36: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 36

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3.2. 2 10

2

1( ) (3 6 )f x x x

x

u y

.dy dy du

dx du dx

3.3.

1

2 3( ) (4 5 2)f t t t

u y

.dy dy du

dt du dt

3.4. 31

( )3

xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 37: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 37

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3.5. ( ) xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

3.6. 2( ) 3 2f x x x

u y

.dy dy du

dx du dx

3.7. 3( ) 1f x x

u y

.dy dy du

dx du dx

3.8. 23( ) ( 1)f x x

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 38: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 38

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3.9. 1( ) ( )f x senx

u y

.dy dy du

dx du dx

3.10.

3

2

7 1( )

2 3

tf t

t

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 39: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 39

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Respostas:

Derivada da função logarítmica

1. 1

'( ).ln 7

f xx

2. 1

'( ).ln 5

f xx

3. 1 4

'( ) 1ln 2

f xx

Derivada da função potência:

1.1.

1

34

3x 1.2.

1

5

4

5x

1.3. 3

4

1

4x

1.4. 1

3

2

3x

1.5. 5

8

x 1.6.

8

14

x

1.7. 6

5

x

2.1. 4

5

1 3

25

x

x

2.2.

1

3

6

5

2 4( )

35

xf x

x

2.3.

3 5

4 3

1 4( )

2

f x

x x

2.4. 2

3

418 xx e

x 2.5.

4 2

6 4

x x 2.6.

3 4

2 3

1 5

3x x

2.7.

3

53

4

124x

x

2.8. 1 1

'( ) 1f xx x

2.9.

3

23

2 52

xx x

SDD

3.1. 5 4 4

3 4

6 50 30(2 ) ( )

3x x

x x 3.2.

2 9

3

2(3 6 ) (60 60)x x x

x

3.3. 4

2 3

8 5

3(4 5 2)

t

t t

3.4.

3

3

xe

3.5. 2

xe

x 3.6.

2

2 3

2 3 2

x

x x

3.7.

2

3

3

2 1

x

x 3.8.

1

3

2

3( 1)x

3.9. 2

cos x

sen x

3.10.

2 2

2 4

(7 1) ( 42 12 63)

(2 3)

t t t

t

S

Page 40: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 40

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1.10. Derivada de outras funções trigonométricas

1. Calcule as derivadas das funções dadas e preencha a tabela:

1.1. ( ) secf x x

u y

.dy dy du

dx du dx

Dd

1.2. ( ) cossecf x x

u y

.dy dy du

dx du dx

a

09 função secante x ( ) sec '( )f x x f x

a

10 função cossecante x ( ) cossec '( )f x x f x

Respostas:

1.1. ( ) sec '( ) sec .f x x f x x tgx 1.2. ( ) cossec '( ) cos .cotf x x f x secx gx

Page 41: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 41

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1.11. Derivada de funções trigonométricas inversas

14 função arco seno x

2

1( ) '( )

1f x arcsenx f x

x

Cdd Demonstração: Pela definição de arco seno x, temos que y arcsenx x seny , no intervalo

[ 1,1] , com imagens em [ , ]2 2

.

Pela derivada da função seno x: ' cosx seny x y . Podemos empregar a regra da derivada

da função inversa, pois existe a derivada de seny para qualquer [ , ]2 2

y

: 1 1

'' cos

yx y

.

Empregando a relação trigonométrica: 2 2 2cos 1 cos 1sen y y y sen y :

2 2

1 1 1'

cos 1 1y

y sen y x

, com [ 1,1]x .

15 função arco cosseno x

2

1( ) arccos '( )

1f x x f x

x

Cdd

Demonstração: Pela definição de arco cosseno x, temos que arccos cosy x x y , no

intervalo [ 1,1] , com imagens em [0, ] .

Pela derivada da função cosseno x: cos 'x y x seny . Podemos empregar a regra da

derivada da função inversa, pois existe a derivada de cos y para qualquer

[0, ]y :1 1

''

yx seny

Empregando a relação trigonométrica: 2 2 2cos 1 1 cossen y y seny y :

2 2

1 1 1'

1 cos 1y

seny y x

16 função arco tangente x

2

1( ) '( )

1f x arctgx f x

x

Demonstração: Pela definição de arco tangente x, temos que arcy tgx x tgy , de R , com

imagens em ] , [2 2

. Pela derivada da função tangente x:

2' secx tgy x y . Podemos

empregar a regra da derivada da função inversa, pois existe a derivada de tgy para qualquer

] , [2 2

y

:2

1 1'

' secy

x y .

Empregando a relação trigonométrica: 2 2sec 1y tg y :

Page 42: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 42

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2 2 2

1 1 1'

sec 1 1y

y tg y x

Exemplo: 2( )f x arcsenx

u 2x y arcsenu

2 2 2 4

1 1 2. .2 .2

1 1 ( ) 1

dy dy du xx x

dx du dx u x x

Exercícios:

1. Calcule as derivadas:

1.1. ( ) arccos xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

1.2. ( ) arc (ln )f x tg x

u y

.dy dy du

dx du dx

1.3. ( ) arc 3f x sen x

u y

.dy dy du

dx du dx

1.4. 3( ) arccosf x x

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 43: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 43

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1.5. 1

( ) arcf x tgx

u y

.dy dy du

dx du dx

1.6. 2( ) arcf x x senx

1.7. ( ) arccosf x x x

1.8. ( ) .arcf x x tgx

1.9. ( ) ln(arccos )f x x

u y

.dy dy du

dx du dx

1.10. ( )f x arctgx

u y

.dy dy du

dx du dx

Page 44: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 44

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1.11. 32( ) . xf x x arcsenx e

u y u y

.dy dy du

dx du dx .

dy dy du

dx du dx

Respostas:

1.1. 2

'( )1

x

x

ef x

e

1.2.

2

1'( )

(1 ln )f x

x x

1.3. 2

3'( )

1 9f x

x

1.4.

2

6

3'( )

1

xf x

x

1.5. 2

1'( )

1f x

x

1.6.

2

1'( ) 2

1f x x

x

1.7. 2

1 1'( )

21f x

xx

1.8.

2'( )

1

xf x arctgx

x

1.9. 2

1'( )

1 .arccosf x

x x

1.10.

2

1'( )

2(1 )f x

x arctgx

1.11. 3

22 2

4

2'( ) 3

1

xxf x arcsenx x e

x

Ee

Page 45: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 45

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1.12. Derivadas de algumas funções compostas Sejam ( )u x e ( )v x funções de x deriváveis em um intervalo I , apresentamos algumas

derivadas de funções compostas:

17 função ( ) ( )

nf x u x , n Z

1( ) ( ) '( ) . ( ) . '( )

n nf x u x f x n u x u x

Demonstração:

( )w u x ny w

Calculando as respectivas derivadas:

' '( )w u x 1' . ny n w

Regra da Cadeia:

1 1. . . '( ) . ( ) . '( )n ndy dy dwn w u x nu x u x

dx dw dx

Exemplo: 4 6

4 5 3 20 3 23

( ) (7 )

'( ) 6.(7 ) .(28 ) 1176. . 1176

f x x

f x x x x x x

lExercícios: Derive as seguintes funções:

Ss

1. 2 5( ) (2 3 )f x x x

'( )f x

Ss

2.

1

5 4 2( ) 14( )f x x x

'( )f x

Ss

3. 2 5( ) (2 3 )f x x x

'( )f x

xx

Page 46: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 46

UMC – Profa. Marília Rocha Reprodução não autorizada

18 função exponencial, com 0a e 1a e

( ) 0u x

( ) ( )( ) '( ) .ln . '( )u x u xf x a f x a au x

Demonstração:

( )w u x wy a

Calculando as respectivas derivadas:

' '( )w u x ' .lnwy a a

Regra da Cadeia:

( ). .ln . '( ) .ln . '( )w u xdy dy dwa a u x a a u x

dx dw dx

Exemplo: 2

2

2 4 1

2 4 1

( ) 2

'( ) 2 .ln 2.(4 4)

x x

x x

f x

f x x

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 23 6( ) 2 x xf x

'( )f x

Xxx

2. 2

( ) 3x xf x

'( )f x

Xxx

3. 2 3( ) xf x x a

'( )f x

Xxx

19 função exponencial de base e ( ) ( )( ) '( ) . '( )u x u xf x e f x e u x

Demonstração:

( )w u x wy e

Calculando as respectivas derivadas:

' '( )w u x ' wy e

Regra da Cadeia:

( ). . '( ) . '( )w u xdy dy dwe u x e u x

dx dw dx

Page 47: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 47

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Exemplos: 2

2

2 4 1

2 4 1

1. ( )

'( ) .(4 4)

x x

x x

f x e

f x e x

22

2

2 1 33 2

2

62. ( ) 6 6

12'( ) 6.( 2). . 12. . 12. . 12.

x x

x

x x x x x x x

x

f x e ee

f x e e e e e e ee

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2

7( )

xf x

e

'( )f x

Ss

2. 5( ) xf x e

'( )f x

Ss

3. 5 1( ) xf x e

'( )f x

Xx

4. 48 2( ) 5 xf x e

'( )f x

Xx

20 função logarítmica '( )( ) log ( ) '( )

( ).lna

u xf x u x f x

u x a

Demonstração:

( )w u x logay w

Calculando as respectivas derivadas:

' '( )w u x 1'

lny

w a

Regra da Cadeia:

1 '( ) 1. . '( ) .

ln ( ) ln

dy dy dw u xu x

dx dw dx w a u x a

Page 48: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 48

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Observação: usando a regra de mudança de base de um logaritmo (log

loglog

ca

c

bb

a ):

1 loglog

ln log

ea

e

ee

a a

Podemos reescrever '( )

( ) log ( ) '( ) log( )

a a

u xf x u x f x e

u x

Exemplo: 2

2

22

( ) log (2 4 1)

4 4'( ) .log

2 4 1

f x x x

xf x e

x x

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2( ) log (2 4)f x x

'( )f x

Xx

2. 2

3( ) log ( 3 )f x x x

'( )f x

Xx

21 função logarítmica de base e '( )( ) ln ( ) '( )

( )

u xf x u x f x

u x

Demonstração:

( )w u x lny w

Calculando as respectivas derivadas:

' '( )w u x 1'y

w

Regra da Cadeia:

1 '( ). . '( )

( )

dy dy dw u xu x

dx dw dx w u x

Exemplo:

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 49

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2

2

( ) ln(2 4 1)

4 4'( )

2 4 1

f x x x

xf x

x x

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 21( ) ln 7 4

2f x x

'( )f x

Ss

2. 2

1 1( ) lnf x

x x

'( )f x

Ss

22 função ( )( ) ( )v xf x u x , ( ) 0u x

( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) '( ) ( ). ( ) . '( ) ( ) .ln ( ). '( )v x v x v xf x u x f x v x u x u x u x u x v x

Demonstração:

Por uma das consequências da definição de logaritmo, ( ) ( ).ln ( )( ) ( )v x v x u xf x u x e

( ).ln ( )w v x u x wy e

Calculando as respectivas derivadas:

'( )' '( ).ln ( ) ( ).

( )

u xw v x u x v x

u x

' wy e

Regra da Cadeia:

( )

( ) ( ) 1

'( ) '( ). . '( ).ln ( ) ( ). ( ) . '( ).ln ( ) ( ).

( ) ( )

( ) .ln ( ). '( ) ( ). ( ) . '( )

w v x

v x v x

dy dy dw u x u xe v x u x v x u x v x u x v x

dx dw dx u x u x

u x u x v x v x u x u x

Exemplo:

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 50

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3 2 1

3 2 1 1 2 3 2 1 3

3 2 2 2 3 2 1 3

( ) ( 1)

'( ) (2 1).( 1) .(3 ) ( 1) .ln( 1).(2)

'( ) (2 1).( 1) .(3 ) 2.( 1) .ln( 1)

x

x x

x x

f x x

f x x x x x x

f x x x x x x

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 2 3( ) ( 1)xf x x

'( )f x

2. 2 2( ) ( 1)xf x x

'( )f x

Sss

23 função seno x ( ) ( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x sen u x f x cos u x u x

Demonstração:

( )w u x y senw

Calculando as respectivas derivadas:

' '( )w u x ' cosy w

Regra da Cadeia:

. cos . '( ) cos( ( )). '( )dy dy dw

wu x u x u xdx dw dx

Analogamente obtemos as demais funções trigonométricas gerais:

24 função cosseno x ( ) cos( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x u x f x sen u x u x

25 função tangente x 2( ) ( ( )) '( ) sec ( ( )). '( )f x tg u x f x u x u x

26 Função cotangente x 2( ) cot ( ( )) '( ) cos ec ( ( )). '( )f x g u x f x s u x u x

27 função secante x ( ) sec( ( )) '( ) ( ( )).sec( ( )). '( )f x u x f x tg u x u x u x

28 função cossecante x ( ) cossec( ( )) '( ) cossec( ( )).cot ( ( )). '( )f x u x f x u x g u x u x

Exemplo:

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 51

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3

1

3 2 2

2 3

( ) ( ) cos

1'( ) cos( ).3 .

2

1'( ) 3 cos( )

2

f x sen x x

f x x x sen x x

f x x x sen xx

Exercícios: Derive as seguintes funções:

1. 1

( ) cos s 3f x en xx

'( )f x

2. 3( ) sec( 4 9)f x x x

'( )f x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 52

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Respostas:

função ( ) ( )n

f x u x

1. 2 4'( ) (2 3 ) (15 10 )f x x x x

2.

4 3

3

5 4 2

35 28'( )

( )

x xf x

x x

3. 2 6

15 10'( )

(2 3 )

xf x

x x

Função exponencial

1. 23 6'( ) 2 (6 6)ln 2x xf x x 2.

2

'( ) 3 .ln3.(2 1)x xf x x 3. 3'( ) (2 3 ln )xf x a x x a

Função exponencial de base e

1. '

2

14( )

xf x

e

2. ' 5( ) 5 xf x e 3.

' 5 1( ) 5 xf x e

4. 48 2 3( ) 160 xf x e x

Função logarítmica

1. 2log'( )

2

ef x

x

2.

32

2 3'( ) log

3

xf x e

x x

Função logarítmica de base e

1. 2

7'( )

7 4

xf x

x

2.

2'( )

( 1)

xf x

x x

Função ( )( ) ( )v xf x u x

1. 2 2 2 2 3 2'( ) (2 6 ).( 1) ( 1) .ln( 1)x xf x x x x x x

2. 2 22 1 2'( ) ( 2).( 1) 2 ( 1) .ln( 1)x xf x x x x x x

Funções trigonométricas compostas

1. 2

1 1'( ) 3cos3f x sen x

x x

2. 2 3 3'( ) (3 4).sec( 4 9). ( 4 9)f x x x x tg x x

Yyy

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 53

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1.13. Derivadas Sucessivas

Seja f uma função contínua em um intervalo I e seja 1I o conjunto dos pontos de

I em que f é derivável. Em 1I definimos a função

'f , chamada de função derivada primeira

de f . Seja 2I o conjunto dos pontos de 1I em que

'f é derivável. Em 2I podemos definir a

função derivada de 'f , chamada de derivada segunda de f e indicada por

''f .

Repetindo o processo, definimos as derivadas terceiras, quarta, etc. de f . A derivada de

ordem n de f representamos por ( )nf .

Notação: ''( )f x ,

2

2

d f

dx.

Exemplo:

4 2( ) 3 2 5 1f x x x x

3

2

(4)

(5) (6)

'( ) 12 4 5

''( ) 36 4

'''( ) 72

( ) 72

( ) ( ) ... 0

f x x x

f x x

f x x

f x

f x f x

Exercícios: calcule as derivadas primeira, segunda e terceira das funções:

1.2( ) 3 5 6f x x x

'( )f x

''( )f x

'''( )f x

2. 4 2( ) 5 1f x x x

'( )f x

''( )f x

'''( )f x

3. 1

( )f xx

'( )f x

''( )f x

'''( )f x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 54

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4. 2( ) xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

'( )f x

''( )f x

'''( )f x

5. ( ) xf x e

u y

.dy dy du

dx du dx

'( )f x

''( )f x

'''( )f x

6. 2( ) 2ln( )f x x

u y

.dy dy du

dx du dx

'( )f x

''( )f x

'''( )f x

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 55

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Respostas:

1. '( ) 6 5f x x

''( ) 6f x

'''( ) 0f x

2. ' 3( ) 4 10f x x x

'' 2( ) 12 10f x x

'''( ) 24f x x

3.

'

2

1( )f x

x

''

3

2( )f x

x

'''

4

6( )f x

x

4. ' 2( ) 2 xf x e

'' 2( ) 4 xf x e

''' 2( ) 8 xf x e

5.

' 1( )

xf x

e

'' 1( )

xf x

e

''' 1( )

xf x

e

6.

' 4( )f x

x

2

4''( )f x

x

3

8'''( )f x

x

Ee

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 56

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2. Interpretações da Derivada

2.1. Interpretação Cinemática

A derivada da função ( )s s t no ponto 0t t é igual à velocidade escalar do móvel

no instante 0t .

A derivada da função ( )v v t no ponto 0t t é igual à aceleração escalar do móvel

no instante 0t .

2.2. Variação Média Uma taxa de variação média de uma função é uma medida relativa de variação da

função em um dado intervalo. Ela indica o ritmo, a velocidade do quanto a variável dependente ( y ) se modifica, em média, conforme alterações no valor da variável dependente

( x ).

A taxa de variação média de uma função f em relação à variável x , em um

determinado intervalo [ , ]x x x é dada por: ( ) ( )y f x x f x

x x

.

Graficamente, a taxa de variação média coincide com a inclinação da reta secante

ao gráfico da função f , passando pontos ( , ( ))P x f x e ( , ( ))Q x x f x x .

A taxa de variação média da função 2( )f x x no intervalo [5,5 2] é dada por:

( ) ( ) (7) (5) 49 2512

7 5 2

y f x x f x f f

x x

.

A inclinação da reta secante ao gráfico de 2( )f x x , pelos pontos (5,25)P e

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 57

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(7,49)P é dada por 2 1

2 1

49 2512

7 2

y ym

x x

, ou ainda, no PQR :

^ . 49 2512

. 7 2

c opostotg P

c adjacente

.

A taxa de variação média varia conforme o intervalo considerado. Quanto maior a

inclinação da reta secante, maior a taxa de variação, ou seja, no intervalo considerado o ritmo

de crescimento (ou decrescimento) é maior quanto maior for o valor da inclinação da reta

secante.

2.3. Taxa de variação Na interpretação cinemática da derivada vimos que, quando um corpo se move em

linha reta de acordo com a equação do movimento ( )s s t , sua velocidade é dada por

'( )v s t . A velocidade representa a razão da variação do deslocamento por unidade de

variação do tempo. Portanto a derivada '( )s t é a taxa de variação da função ( )s t por unidade

de variação t .

Uma derivada pode ser interpretada com uma taxa de variação. Dada uma função

( )y f x , quando a variável independente varia de x para x x , a correspondente variação

de y será ( ) ( )y f x x f x .

No item anterior, vimos que o quociente ( ) ( )y f x x f x

x x

representa a taxa

média de variação de y em relação a x , em um determinado período.

A derivada 0

( ) ( )'( ) lim x

f x x f xf x

x

é a taxa instantânea de variação ou

taxa de variação de y em relação a x .

Graficamente, a taxa de variação instantânea coincide com a inclinação da reta

tangente ao gráfico da função f , passando ponto ( , ( ))P x f x .

2.4. Exercícios

1. Um corpo de move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 2( ) 16f t t t . 0 8t , em que o tempo é dado em segundos e a distância em metros.

Determine a velocidade do corpo no instante 3t e a aceleração no instante t .

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 58

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2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação

de seu movimento retilíneo é b

y ctt

, em que y é o deslocamento e t o tempo. Qual a

velocidade da partícula no instante 2t ?

3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a

equação 2 33x t t , em que x vem expresso em metros e t em segundos.

a. qual o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?

b. qual a velocidade da partícula depois dos primeiros 4 segundos?

c. qual a aceleração da partícula depois dos primeiros 4 segundos?

4. Seja V centímetros cúbicos o volume de um cubo tendo uma aresta de a centímetros.

a. ache a taxa de variação média do volume com relação a a quando este varia de 3,00 a

3,20.

b. qual a taxa de variação instantânea do volume em relação a a quando 3a ?

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 59

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5. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há

1

25t t litros no recipiente. Qual a taxa

de gotejamento de líquido no recipiente, por hora, quando 16t horas?

6. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois

de decorridos 1 e 2 segundos, sendo dada a equação da posição do corpo 2

0

1

2y v t gt , onde

0v é a velocidade inicial e 29,8 /g m s .

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 60

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Respostas:

1. 22 /m s ; 22 /m s

2. 4

bc

3. 16m ; 24 /m s ;218 /m s

4. 328,84 cm ;

327 cm

5. 4,875 por hora

6. 4,9m ; 9,8 /m s e 19,6m ; 19,6 /m s

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 61

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3. Anexos

3.1. Plano Cartesiano (R2) Formado por dois eixos (x e y) perpendiculares em O (origem).

Par ordenado: (x, y) P(x, y) : ponto no plano cartesiano. Dizemos que x e y são as coordenadas do ponto P. Eixo dos x: abscissa Eixo dos y : ordenada O(0,0): Origem

(0,0)O

(3,5)P

( 4,9)Q

( 6, 2)R

(7, 6)S

(7,0)T

(0,5)U

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 62

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3.2. Relações Trigonométricas

01 2 2cos 1sen x x - Relação Fundamental 02 1cot

tgx

gx

03

cos

senxtgx

x

04 2

2

1

1cos x

tg x

05 2 21 sectg x x 06 22

21

tg xsen x

tg x

07 2 21 cosseccotg x x 08 2 2 .cossen x senx x

09 1sec

cosx

x

10 2 1 cos 2

2

xsen x

11 1cossec

sx

enx

12 2 1 cos 2

cos2

xx

13 coscot

xgx

senx

14 2 2cos(2 ) cosx x sen x

15

2

2(2 )

1

tgxtg x

tg x

16 2cos(2 ) 2cos 1x x

17 3cos(3 ) 4cos 3cosx x x 18 2cos(2 ) 1 2x sen x

19 3(3 ) 3 4sen x senx sen x 20 (2 ) 2 cossen x senx x

21 3

2

3(3 )

1 3

tgx tg xtg x

tg x

gg

01 Cosseno da soma cos( ) cos .cos .x y x y senx seny

02 Cosseno da diferença cos( ) cos .cos .x y x y senx seny

03 Seno da soma ( ) .cos .cossen x y senx y seny x

04 Seno da diferença ( ) .cos .cossen x y senx y seny x

kk

3.3. Trigonometria na Circunferência

3.3.1. Arcos e Ângulos

Consideremos uma circunferência de centro O e um ângulo ^

AO B ,

sendo A e B pontos comuns aos lados do ângulo e à circunferência.

A circunferência é dividida em dois arcos: AXB

e AYB

.

A e B são as extremidades do arco.

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 63

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3.3.2. Medidas de Arcos

A medida de um arco AB

em relação a um arco unitário u (não nulo e

de mesmo raio que o arco dado) é o número real que exprime quantas vezes o arco u “cabe”

no arco AB. São duas as unidades escolhidas para se medir arcos: o grau e o radiano.

3.3.2.1. Grau (o)

Grau é um arco unitário igual a 1

360 da

circunferência que contém o arco a ser medido.

Sendo que ^

AO B é um ângulo central2 e AXB

é o seu arco

correspondente, dizemos que a medida (em graus) de um arco de

circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

3.3.2.2. Radiano (rad)

Radiano é um arco unitário cujo comprimento é

igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.

Sabemos que o comprimento da circunferência

mede 2 r , em que r = raio. Pela definição de radiano, podemos escrever 2 rad.

3.3.2.3. Conversão

Para conversão de unidades, estabelecemos a

seguinte relação:

360º 2 rad ou, ainda, 180º rad

Exemplo: exprima 225º em radianos.

180º rad

225º x

225 5

180 4x rad

3.4. Ciclo Trigonométrico Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv.

Consideremos a circunferência de centro O e raio r = 1 (portanto, seu comprimento é igual a

2 ). Associemos a cada número real x, com 0 2x , um único ponto P da circunferência

do seguinte modo:

2 Ângulo Central apresenta o vértice no centro da circunferência e seus lados são raios da mesma.

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 64

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Se x = 0, então P coincide com A

Se x > 0, então realizamos a partir de A um

percurso de comprimento x, no sentido anti-

horário, e marcamos P como final do percurso

A circunferência acima definida, com origem em A, é chamada ciclo,

círculo ou circunferência trigonométrica.

Se um ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem

de x no ciclo.

3.4.1. Razões Trigonométricas na Circunferência

Consideremos o ciclo trigonométrico definido acima e associemos quatro

eixos:

1. Eixo dos cossenos (u), apresenta direção: OA e sentido

positivo: O A

2. Eixo dos senos (v), apresenta direção: u , por 0 e sentido

positivo: O B

3. Eixo das tangentes (c), apresenta direção: ǁ v, por A e

sentido positivo: o mesmo de v. 4. Eixo das cotangentes (d), apresenta direção: ǁ u, por B e

sentido positivo: o mesmo de u.

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 65

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Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: AB

,'BA

, ' 'A B

e 'B A

. Para localizar x no ciclo dizemos que:

Se x está no 1º quadrante, então P AB

Se x está no 2º quadrante, então 'P BA

Se x está no 3º quadrante, então ' 'P A B

Se x está no 4º quadrante, então 'P B A

Dado um número real 0,2x , seja P sua imagem no ciclo, temos:

Seno de x é a ordenada 1OP do ponto P em relação ao sistema uOv.

Cosseno de x é a abscissa 2OP do ponto P em relação ao sistema uOv.

Tangente de x é a medida algébrica de AT , para 2

x

e 3

2x

.

Cotangente de x é a medida algébrica de BD , para 0, ,2x .

Considerando s tangente ao ciclo em P e, sendo S sua intersecção com u, secante de x é a

abscissa OS do ponto S, para 3

,2 2

x

.

Considerando s tangente ao ciclo em P e, sendo S sua intersecção com v, cossecante de x é a

ordenada OC do ponto C, para 0, ,2x .

Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo 0,2 a imagem de x (ponto P) dá uma volta

completa no ciclo, no sentido anti-horário, e a ordenada de P varia segundo a tabela:

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Cálculo Diferencial e Integral I Página 66

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Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x Secante x Cossecante x

0 0 1 0 Não existe 1 Não existe

2

1 0 Não existe 0 Não existe 1

0 -1 0 Não existe -1 Não existe

3

2

-1 0 Não existe 0 Não existe -1

2 0 1 0 Não existe 1 Não existe

3.4.2. Arcos Notáveis

Arcos Notáveis

6

4

3

Seno x 1

2 2

2

3

2

Cosseno x 3

2

2

2

1

2

3.4.3. Equivalência

CICLO

TRIGONOMÉTRICO

3.5. Funções Trigonométricas Inversas

3.5.1. Função arco seno x

Dada a função ( )f x senx , com domínio restrito ao intervalo ,2 2

e imagem no intervalo

1,1 . Definimos a função inversa de ( )f x , denominada por arco seno x, a função

1( )f x arcsenx , com imagem no intervalo ,2 2

e domínio no intervalo 1,1 .

Page 67: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 67

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Gráfico

y arcsenx x seny e 2 2

y

Função: crescente

Domínio: 1( ) 1,1D f

Imagem: ( ) ,2 2

IM f

3.5.2. Função arco cosseno x

Dada a função ( ) cosf x x , com domínio restrito ao intervalo 0, e imagem no intervalo

1,1 . Definimos a função inversa de ( )f x , denominada por arco cosseno x, a função

1( ) arccosf x x , com imagem no intervalo 0, e domínio no intervalo 1,1 .

Gráfico

arccos cosy x x y e 0 y

Função: decrescente

Domínio: 1( ) 1,1D f

Imagem: 1( ) 0,IM f

oo

3.5.3. Função arco tangente x

Dada a função ( )f x tgx , com domínio restrito ao intervalo ,2 2

e imagem em R .

Definimos a função inversa de ( )f x , denominada por arco tangente x, a função

1( ) arcf x tgx , com imagem em ,2 2

e domínio em R .

Page 68: Apostila Calculo I 2014 Parte II.pdf

Cálculo Diferencial e Integral I Página 68

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Gráfico

arcy tgx x tgy e 2 2

y

Função: crescente

Domínio: 1( )D f R

Imagem: 1( ) ,

2 2IM f

3.6. Logaritmo

LOGARITMO - Definição: Se ,a b R

, 0 1a e 0b , então log x

a b x a b

Conseqüências:

a. log 1 0a

b. log 1a a

c. loga b

a b

Propriedades:

a. logaritmo do produto: log ( . ) log loga a ab c b c

b. Logaritmo do quociente: log log loga a a

bb c

c

c. Logaritmo da potência: log loga ab b

3.7. Produtos Notáveis Sejam u e v números reais, temos:

PRODUTO DE UMA SOMA E UMA DIFERENÇA 2 2.u v u v u v

QUADRADO DE UM SOMA DE DOIS TERMOS 2 2 22u v u uv v

QUADRADO DE UMA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 2 2 22u v u uv v

CUBO DE UMA SOMA DE DOIS TERMOS 3 3 2 2 33 3u v u u v uv v

CUBO DE UMA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 3 3 2 2 33 3u v u u v uv v

SOMA DE DOIS CUBOS 3 3 2 2.u v u v u uv v

DIFERENÇA DE DOIS CUBOS 3 3 2 2.u v u v u uv v

Fatoração por Agrupamento:

( ) ( ) .ac ad bc bd a c d b c d a b c d

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3.8. Tabela de Derivadas DERIVADAS

01 função constante ( ) '( ) 0f x c f x , c R

02 função potência ( ) nf x x , *n N

1( ) '( ) .n nf x x f x n x

03 função exponencial ( ) xf x a , a R ( ) '( ) .lnx xf x a f x a a , a R e 0 1

04 função exponencial de base e , ( ) xf x e ( ) ( ) 'x xf x e f x e

05 função seno ( ) '( ) cosf x senx f x x

06 função cosseno ( ) cos '( )f x x f x senx

07 função tangente x 2( ) '( ) secf x tgx f x x

08 função cotangente x 2( ) '( ) cossecf x cotgx f x x

09 função secante x ( ) sec '( ) sec .f x x f x x tgx

10 função cossecante x ( ) cossec '( ) cos .cotf x x f x secx gx

11 função logarítmica 1( ) log '( )

.lnaf x x f x

x a , 0a e 1a

12 função logarítmica de base e 1( ) ln '( )f x x f x

x

13 função potência ( ) nf x x , com

expoente real, n R e 0x

1( ) '( ) .n nf x x f x n x

14 função arco seno x 2

1( ) '( )

1f x arcsenx f x

x

15 função arco cosseno x 2

1( ) arccos '( )

1f x x f x

x

16 função arco tangente x 2

1( ) '( )

1f x arctgx f x

x

DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS

17 função ( ) ( )

nf x u x , n Z

1( ) ( ) '( ) . ( ) . '( )

n nf x u x f x n u x u x

18 função exponencial com 0a e 1a . ( ) ( )( ) '( ) .ln . '( )u x u xf x a f x a au x

19 função exponencial de base e ( ) ( )( ) '( ) . '( )u x u xf x e f x e u x

20 função logarítmica '( )( ) log ( ) '( )

( ).lna

u xf x u x f x

u x a

21 função logarítmica de base e '( )( ) ln ( ) '( )

( )

u xf x u x f x

u x

22 função ( )( ) ( )v xf x u x

( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) '( ) ( ). ( ) . '( ) ( ) .ln ( ). '( )v x v x v xf x u x f x v x u x u x u x u x v x

23 função seno x ( ) ( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x sen u x f x cos u x u x

24 função cosseno x ( ) cos( ( )) '( ) ( ( )). '( )f x u x f x sen u x u x

25 função tangente x 2( ) ( ( )) '( ) sec ( ( )). '( )f x tg u x f x u x u x

26 função cotangente x 2( ) cot ( ( )) '( ) cos ec ( ( )). '( )f x g u x f x s u x u x 27 função secante x ( ) sec( ( )) '( ) ( ( )).sec( ( )). '( )f x u x f x tg u x u x u x 28 função cossecante x ( ) cossec( ( )) '( ) cossec( ( )).cot ( ( )). '( )f x u x f x u x g u x u x ee

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REGRAS DE DERIVAÇÃO

01 Derivada do Produto de uma constante

c , c R ,por uma função ( ) . ( ) '( ) . '( )f x c v x f x c v x

02 Derivada da Soma ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x

03 Derivada da Diferença ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( )f x u x v x f x u x v x

04 A derivada da soma (ou diferença) pode ser estendida para uma soma de n funções: ' ' ' '

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x u x u x u x f x u x u x u x

05 Derivada do Produto ( ) ( ). ( ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f x u x v x f x u x v x u x v x

06 A derivada do produto pode ser estendida para um produto de n fatores: ' ' ' '

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ). ( )..... ( ) ( ) ( ). ( )..... ( ) ( ). ( )..... ( ) ... ( ). ( )..... ( )n n n nf x u x u x u x f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x

07 Derivada do Quociente

' ''

2

( ) ( ). ( ) ( ). ( )( ) ( )

( ) ( )

u x u x v x u x v xf x f x

v x v x

, ( ) 0v x

TT

REGRA DA CADEIA

Se ( )y g u , ( )u f x , temos ( )y g f x .

dy dy du

dx du dx

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4. Bibliografia

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FLEMMING, D.M.GONÇALVES, M.B.Cálculo A. 5 ed. São Paulo: Pearson, 2004.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. v.1.

IEZZI, G; MURAKAMI, C. MACHADO, N.J. Limites, Derivadas, Noções de Integral. 5 e. São

Paulo: Atual, 1993. v.8. Fundamentos de Matemática Elementar.

IEZZI, G; DOLCE, O; MURAKAMI, C. Logaritmos. 8 e. São Paulo: Atual, 1993. v.2.

Fundamentos de Matemática Elementar.

IEZZI, G; MURAKAMI, C. Conjuntos e Funções. 7 e. São Paulo: Atual, 1993. v.1. Fundamentos

de Matemática Elementar.

IEZZI, G; Trigonometria. 7 e. São Paulo: Atual, 1993. v.3. Fundamentos de Matemática

Elementar.

SÁFADI, T. TOLEDO, M.C. WERLANG, N.W. Cálculo Diferencial e Integral. Lavras: UFLA/FAEPE,

2000.

SAFIR, F. Pré-Cálculo. 5 ed. Porto Alegre: Bookman, 2003.Coleção Shaum.