CALCULO II

Você está recebendo uma série de listas de exercícios (na maioria sem resposta), além de uns exemplos resolvidos

junto com textos contendo informações conceituais.

Estas listas poderão servir de subsídio para a disciplina de CALCULO II, porém não deve ser usado como única

ferramenta para a compreensão da disciplina e principalmente para a realização das provas individuais.

A disciplina tem por finalidade rever conceitos matemáticos, fazer uma introdução ao estudo do Cálculo

Diferencial com algumas aplicações, além de propor conhecimentos necessários para acompanhar as demais

disciplinas do curso.

Professor Celso Granetto

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CONCEITOS INICIAIS

CONJUNTOS NUMERICOS

Para a disciplina iremos trabalhar com o Conjunto dos Números Reais.

INTERVALO

Para acompanhar a disciplina, devemos realizar algumas operações com intervalos.

PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de Produto Cartesiano de A em B, indicado por A X B, ao conjunto formado pelos pares ordenados ( x , y ) que podem ser formados com x pertencente ao conjunto A e y pertencendo ao conjunto B,

RELAÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de Relação de A em B, indicado por R, a todo subconjunto de A cartesiano B.Isto é, .

FUNÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, e uma relação f de A em B, dizemos que a relação f é uma função se, e somente se, todo x de A tem um só correspondente y de B.

Notação

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DOMÍNIO DA FUNÇÃO

Em uma função o domínio da função é o conjunto A.

CONTRADOMÍNIO DA FUNÇÃO

Em uma função o contradomínio da função é o conjunto B.

IMAGEM DA FUNÇÃO

Em uma função a imagem da função é o conjunto de todos os elementos de B que são correspondentes de algum elemento de A.

GRÁFICO DA FUNÇÃO

Podemos obter a representação gráfica de uma função marcando os pares ordenados ( x , y ) em um Plano Cartesiano.

EXERCICIOS

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01. Representar graficamente as funções bem como determinar o domínio e o conjunto imagem.

a)

b)

c)

d)

e)

f)g)h)

i)

j)k)l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

TÉCNICAS PARA O CALCULO DE LIMITES

1° caso A função existe, isto é, esta definida no ponto considerado.

Técnica de resolução Substituição direta do valor de x.

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2° caso a função polinomial não tem denominador e tende a ou .

Técnica de resolução Colocar em evidencia a maior potencia de .

3° caso O numerador se aproxima de um número real não nulo e o denominador tende a zero.

Técnica de resolução Se o denominador tende a zero, a fração cresce ou decresce indefinidamente e o limite será ou .

4° caso O numerador tende a um número real e o denominador se aproxima de ou .

Técnica de resolução Neste caso o limite será sempre igual a zero.

5° caso O numerador e o denominador tendem a ou .

Técnica de resolução Dividir o numerador e o denominador pela maior potencia de e fazer a substituição.

6° caso O numerador e o denominador tendem a zero.

Técnica de resolução Devemos fatorar o numerador e o denominador e simplificar a função.

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS

Assíntota vertical

A linha reta vertical é chamada de assíntota vertical do gráfico da função se pelo menos uma das condições seguintes for válida:

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Assíntota horizontal

A linha reta horizontal é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função se pelo menos uma das condições seguintes for válida:

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

Aplicação na Geometria Analítica

“A derivada de uma função y = f(x) no ponto A, quando existe, é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico cartesiano da função y = f(x) no ponto A de abscissa ”.

Crescimento e decrescimento de funções

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“Se f´(x) > 0 para todo , então f é estritamente crescente (E.C) em ”“Se f´(x) , 0 para todo , então f é estritamente decrescente (E.D) em ”

Concavidade e ponto de inflexão

“Se f´´(x) > 0 para todo , então f tem concavidade voltada para cima (C.V;C) em ”

“Se f´´(x) < 0 para todo , então f tem concavidade voltada para baixo (C.V;B) em ”

“Se f´´(x) tem sinais distintos nos intervalos e e se f é contínua em c, então c é um ponto de inflexão (P.I) da função f”

Localização de pontos de máximo e mínimo

Critério geral

“

(1) n par e

(2) n par e

(3) n impar não é ponto de mínimo nem ponto de máximo de f.”

Representação gráfica

Roteiro

1. Determinar o domínio de f (caso ele não venha especificado);

2. Determinar os intervalos nos quais f é estritamente crescente (E.C) e aqueles nos quais f é estritamente decrescente (E.D) ;

3. Determinar os pontos de máximo (P.M) e os ponto de mínimo (P.m) de f,caso existam, e os respectivos valores máximos e mínimos;

4. Determinar os intervalos nos quais f tem concavidade voltada para cima (C.V.C) e aqueles nos quais f tem concavidade voltada para baixo (C.V.B) ;

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5. Determinar os pontos de inflexão (P.I), caso existam, e os respectivos valores de f;

6. Determinar os limites laterais de f nos pontos de descontinuidade, caso tais pontos existam;

7. determinar os limites para , caso isso seja possível no domínio de f.

Exercícios:Representar graficamente as funções usando o estudo das derivadas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

EXERCICIOS

1. Usando uma folha quadrada de cartolina de lado 40 cm , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

2. Uma cerca de um metro de altura esta situada a uma distancia de um metro da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do lado de fora da cerca.

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3. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800 metros de fio a disposição, qual e a maios área que você pode cercar e quais as suas dimensões.

4. Para construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de 8 por 15 polegadas recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais as dimensões da caixa de maior volume e qual o volume.

5. Para construir uma caixa retangular com tampa. Usando uma folha de papelão de 10 por 15 polegadas recortando dois quadrados congruentes dos vértices de um lado que tem 10 polegadas. Dois retângulos iguais são recortados dos outros vértices de modo que as abas possam ser dobradas para formar a caixa. Qual o volume Maximo da caixa.

6. Uma agencia de turismo esta organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, (comentar com o professor como fica a figura). Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora e os carros tem velocidade media de 50 km por hora, onde devera estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem mais rápida possível

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