NOME:______________________________N_______ Turma:_____________ Data _____/_____/2012

e-mail:______________________________

///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0

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Esta APOSTILA, como ocorre com todo e qualquer trabalho humano, deve evidente conter falhas e imperfeies.

No devemos, porm, temer o erro. O escritor suo Henri-Frdric Amiel (1821-1881) afirmou que o erro s perigoso quando contm grande parcela de verdade. Gotthold Ephraim Lessing, filsofo alemo (1729-1781), um sculo antes do judicioso Amiel, j havia exarado esta sentena notvel: Aquele que teme o erro o primeiro a errar.

Tudo que merece estudo no se l facilmente, tudo que adianta alguma coisa exige esforo e meditao.

Malba Tahan

Agrada-me mais a dvida do que o saber, dizia Dante. E esta a essncia da Matemtica. Completa, sculos depois, Benjamin Franklin: Muita gente lamenta ter estudado isso ou aquilo. Consideram tempo perdido ou esforo intil. Em relao a matemtica, porm, no houve, at hoje, quem lastimasse o tempo empregado em seu estudo. O arrependimento s brotou no esprito daqueles que no poderiam ter levado, em adiantamento, os estudos da Matemtica.

Salientando a importncia do ensino da parte histrica da Matemtica opinou Felix Klein (1849-1925), um dos mais insignes didtas na matria: O professor que ensina a Matemtica desligada de sua parte histrica comete verdadeiro atentado contra a Cincia e contra a cultura em geral.

Ensinar um exerccio de imortalidade. De algum a forma continuamos a viver naqueles cujos olhos aprenderam a ver o mun do pela magia da nossa palavra. O professor, assim, no morre jamais ... (Rubem Alves)

"Faa as coisas o mais simples que puder, porm no simplifique demais."

Albert Einstein

Mestre um aprendiz h mais tempo

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PLANO DE ENSINO RESUMIDO 2012

DISCIPLINA: C L C U L O 4 TURMAS CA4TCI1, CA4TEN1 PROFESSOR: MARCOS VINCIUS RIBEIRO mvinicius@facens.br

CONTEDO: 1 SEMESTRE - 2012 Mdulo 1 Mdulo 2

Sequncias Sries

Campos Vetoriais Integrais Curvilneas (de Linha) Equaes Diferenciais Lineares de 1 e 2 ordem (homogneas)

SISTEMA DE AVALIAO:

A avaliao do rendimento escolar feita por disciplina, incidindo sobre a freqncia e o rendimento. O rendimento escolar semestral anual composto por dois mdulos e pela freqncia semestral.

A nota de cada mdulo composta por exerccios, provas, trabalhos e outras atividades, sendo que, pelo menos uma das provas dever ser escrita. Uma prova Substitutiva no final do semestre. A nota obtida na prova Substitutiva usada para substituir a menor das notas obtidas nos mdulos. As notas sero compostas da seguinte forma: MF= 0,5*M1+0,5*M2 Se MF 5,0 ento o aluno est APROVADO, onde M1: Nota do mdulo1 e M2 : Nota do mdulo2, MF: Nota final do semestre. Caso contrrio, MF=0,5*M+0,5*SUB, onde SUB: Nota da prova substitutiva referente a menor nota entre os mdulos, ou ainda, referente ao mdulo em que o aluno no compareceu, M o mximo entre M1 e M2. Se MF 5,0 ento o aluno est APROVADO. Se MF < 5,0 ento o aluno est REPROVADO.

A prova substitutiva ir SUBSTITUIR a menor nota entre os mdulos. A partir dela far a mdia aritmtica para composio da mdia final do semestre. Critrio de arredondamento, o aluno ser aprovado se conseguir nota igual ou superior a 4,75. Frisando, o aluno que obter nota igual ou menor que 4,74 no ser aprovado. Material para avaliaes, lpis, caneta, borracha, apontador, rgua, calculadora convencional quando for o caso do prprio aluno, no sero permitidos emprstimos de materiais durante as avaliaes. proibido uso de dispositivos eletrnicos durante a aula e prova, aplicam-se tambm aos fones de ouvido. Todo e qualquer outro material dever estar fora do alcance do aluno, principalmente celulares. Caso seja detectada cola, mesmo que no incio da avaliao, mesmo que ainda no tenha sido entregue a avaliao ser atribudo zero ao aluno, portanto analise bem antes de faz-lo. Obrigatrio a entrega da folha de questes (tabelas e frmulas) e da folha de resoluo (exemplo, o almao). Pede-se que o aluno procure ir ao banheiro antes da avaliao . Ao trmino da avaliao, entregar nas mos do professor. Acrscimos concedidos bnus ao longo dos mdulos no sero computados, considerados quando da realizao da avaliao substitutiva. O professor valoriza o clculo mental ou clculo se m uso de calculadoras.

Avaliaes de Clculo 4 CI1 EN1 Substitutiva

Mdulo 1 09/04 11/04 Mdulo 2 11/06 06/06

Substitutiva 22/06 22/06

1 Semestre/2012 12 a 27 de junho

O calendrio de avaliaes est sujeito a altera es pelo professor BIBLIOGRAFIA

Bsica THOMAS, G. B. et al. - Clculo . 10. ed. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. Volume 2 THOMAS, G. B. et al. - Clculo . 11. ed. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009. Volume 2 STEWART, James. Clculo . 4. ed. So Paulo: Pioneira, 2001. Volume 2 STEWART, James. Clculo . 5. ed. So Paulo: Pioneira, 2006. Volume 2 LEITHOLD, Louis. O Clculo com Geometria Analtica 2 . 3. ed. So Paulo: Harbra, 1994. Volume 2

Complementar SWOKOWSKI, E. W. Clculo com Geometria Analtica . 2. Ed. So Paulo: Makron Books, 1994. Volume 2 SIMMONS,George F. Clculo com Geometria Analtica . 8 ed.. Pearson Makron Books, 1988 Volume 2 FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. Calculo Volume 2. 10. ed. So Paulo, SP: Addison-Wesley 2003. 572 p. GONALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marlia. Clculo B: funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. 2. ed. So Paulo, SP: Pearson Prentice Hall 2007. 435 p. GIOVANNI, J. R. Matemtica Fundamental . So Paulo : FTD

Fundamental o aluno seguir um dos livros citados acima. Migandorffy - o canal chzelada- 192 videos - Sequencias e Sries + outros http://www.youtube.com/playlist?list=UU2EnI_I2_SDpT_WYXEslUiw&page=1

http://www.vestibulandia.com.br http://www.youtube.com/nerckie http://www.youtube.com/LCMaquino matemtica zero e matemtica clculo e geometria analtica

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PARA REFLEXO

Para que haja crescimento o sacrifcio necessrio

Negar a necessidade de mudanas no elimina o problema!

Ficar remoendo o passado, lamentando o que poderia ter sido feito e no foi, apenas desvia a ateno do presente, onde realmente as coisas acontecem.

O nico lugar aonde o sucesso vem antes do trabalho no dicionrio Albert Einstein

No espere benefcio sem haver conquistado mrito . No espere o mrito sem esforo!!!!

Eu no me envergonho de corrigir os meus erros e mudar as minhas opinies porque, no me envergonho de raciocinar e aprenderAlexandre Herculano

No Adianta ficar lamentando, (coitadinho de mim, autocomiserao).

Cresa!!! No jogue a culpa nos outros!!! Diga no a preguia!!! Seja um guerreiro Eu sou c apaz!!!

A Bblia diz Esfora-te e Eu te ajudarei!!! Is 35.4 41.10,13

E conhecereis a verdade, e a verdade vos libertar. Joo 8.32

No sabendo que era impossvel, ele foi l e fez!! Jean Cocteau No faa da sua vida um rascunho, pois pode no dar tempo de passa-la a limpo!!!

A fora no provm da capacidade fsica e sim de uma vontade indomvel GANDHI Mudana Movimento (novos conhecimentos, Novas experincias, novas oportunidades) estas trs desencadeiam crescimento Vitrias Realizaes. D uma cotovelada de leve e fale ao seu vizinho, ei!! Movimente-se

Os quatro D Determinao aquela fora interior capaz de levar algum a afirmar com convico: Este o meu sonho. No morro sem realiza-lo, mesmo que demore vinte, trinta anos.

Dedicao a capacidade de se entregar realizao de um objetivo. Disciplina a capacidade de seguir um mtodo. Quando se fala em disciplina, a primeira coisa que vem mente o conceito de rigidez. Mas disciplina, na verdade, est associado palavra discpulo, que aquele que tem capacidade de aprender com um mestre, segundo seu mtodo. Desprendimento a capacidade de abandonar o que no esta funcionando para aprender o novo. desapegar-se de certa maneira de fazer algo para conseguir um resultado melhor.

A diferena entre o sbio e o ignorante que o 1 sabe aproveitar suas dificuldades para evoluir, enquanto o ignorante se sente vtima de seus problemas.

Cresa! No lamente seus erros e dificuldades!!! Quem reconhece suas fraquezas j deu o primeiro passo para super-las.

Lembre-se: A sua vida deve ser uma oferta a Deus ao invs de um monumento aos homens.

Os problemas para matemtica no so problemas, so a razo de sua existncia. Um problema um desafio a ser solucionado, uma questo a ser resolvida. A matemtica tem um caso de amor com os problemas

"QUANDO O TRABALHO PRAZER, A VIDA UMA GRANDE ALEGRIA. QUANDO O TRABALHO DEVER, A VIDA UMA ESCRAVIDO." (MXIMO GORKI)

Para vencer na vida

Voc deve colocar milhes de perseverana! Fotgrafo de renome que nos primeiros 5 anos de sua vida s fotografava animais, e ningum dava nada para ele, e hoje expoente nas fotos para modelos.

A VIDA DURA PARA QUEM MOLE!!!

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Lembra-te que o silencio, s vezes, a melhor resposta. Em disputas com teus queridos, trata s do caso corrente. No vs buscar queixas do passado.

Quando perderes, pelo menos no percas a lio!

Julgar os outros perigoso. No tanto pelos erros que podemos cometer a respeito deles, mas pelo que podemos revelar a nosso respeito. Voltaire

PACINCIA E PERSEVERANA!!!!!

Aprenda que a PACINCIA requer muita prtica!

S o tempo e o esforo trazem a competncia

Alcanado o sucesso deve-se manter o que foi conseg uido, e no exalta-lo!

Toma em conta que um grande amor, ou uma grande realizao implicam grandes riscos

...os fsicos aprenderam a fazer as perguntas corretas. E fazer a pergunta certa freqentemente mais do que a metade do caminho que conduz a soluo do problema

Werner Heisenberg(1901-1976)

D EUS NO JOGA DADOS Albert Einstein

O que fazemos em vida, ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador

Partilhe o teu saber, uma forma de alcanar a imortalidade!!!

Avalia o teu sucesso por tudo o que tiveste de renu nciar para alcanar!

Deus nos fez para atingirmos, como guias, elevadas alturas, mas nos contentamos com vos rasantes dos pardais.

O msculo mais potente do corpo humano a lngua.

Tudo tem uma razo. As vezes as coisas acontecem por uma razo. Algo ruim fora uma coisa boa, ou para um bem maior

TRABALHE como se voc no precisasse do dinheiro. AME como se voc nunca tivesse sido magoado. DANCE como se ningum estivesse observando.

O maior risco da vida no fazer nada!!!

Em tudo que a natureza opera, ela nada faz bruscamente! Lamarck

Segue os trs Rs: Respeito por ti, Respeito pelos outros e Reponsabilidade por todos os teus atos

Lembra-te que no ter tudo o que se deseja por ve zes um magnfico golpe de sorte.

DEUS NO CHAMA AQUELES QUE SO EQUIPADOS . ELE EQUIPA AQUELES QUE SO CHAMADOS , E ELE SEMPRE ESTAR L PARA AMAR E GUIAR VOC A GRANDES COISAS!

F E L I C I D A D E S ! ! ! Marcos Vincius Ribeiro

14 de abril de 2012

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LUTE!!!

Diga em voz alta: Insisto! Persisto! No Desisto!

Lutar sempre, Vencer talvez, Desistir Jamais!!!

Posso todas as coisas nAqule(DEUS) que me fortalece Filipenses 4.13

Os VENCEDORES no so os que nunca sofrem derrotas, mas sim os que nunca desistem Edwin Louis Cole

A nossa maior glria no reside no fato de nunca cairmos, mas sim em nos levantarmos sempre depois de cada queda - Confcio

Somente peixes mortos nadam com a corrente (Malcolm Muggeridge).

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ABRAHAM LINCOLN 16 Presidente dos Estados Unidos da Amrica Republicano(1861-1865)

Nasceu em 12/02/1809 e foi assassinado no dia 15 de abril de 1865

P E R S E V E R A N A

Ele fracassou nos negcios em 1831. Tentou um outro negcio em 33. Fracassou.

Sua noiva morreu em 35. Teve um colapso nervoso em 36.

Em 43 ele candidatou-se para o Congresso e foi derr otado. Tentou em 48 e foi derrotado novamente.

Tentou se candidatar para o Senado em 55. Perdeu. No ano seguinte, candidatou-se a vice-presidente e perdeu. Em 59 candidatou-se ao Senado novamente e foi derro tado.

Em 1860, o homem que assinava A. Lincoln foi eleito o 16 presidente dos Estados Unidos.

A diferena entre as realizaes mais ousadas da hi stria e seus mais

assombrosos fracassos est simplesmente em sua FORTE VONTADE DE PERSISTIR.

A probabilidade de fracassarmos na luta no nos de ve deter no impulso de combater

por uma causa justa.

" melhor calar-se e deixar que as pessoas pensem que voc um idiota do que falar e acabar com a dvida." (Abraham Lincoln)

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S E Q U N C I A S - Mdulo 01

S E Q U N C I A S 1) . . . Qual a 10 figura?_______ Qual a 99 figura? _______ Qual a 128 figura?_______ Qual a 154 figura?_______

2) . . . Qual a 88 figura?____ Qual a 121 figura? ____ Qual a 67 figura?____ Qual a 145 figura?___ Qual a 219 figura?__

3) ... Qual a 85 figura?_______ Qual a 122 figura? _______ Qual a 159 figura?_______ Qual a 208 figura?_______ Qual a 252 figura? _______ Qual a 379 figura?_______ Qual a 433 figura? _______ Qual a 134 figura?_______

4) PROBLEMINHA PARA PENSAR

Como parte de seu programa de ginstica, Beto decidiu fazer abdominais toda manh, a exemplo de sua treinadora Lilabel. Em 1 de abril ele fez apenas uma abdominal, no dia 2 de abril fez trs abdominais; do dia 3 de abril ele fez cinco e no dia 4 de abril fez sete. Suponha que Beto tenha continuado a aumentar o nmero de abdominais a cada dia, seguindo este padro durante todo o ms de abril. Quantas abdominais ele fez no dia 15 de abril? Quantas abdominais ele fez at o dia 15 de abril? Lilabel decidiu acompanhar Beto e para motiv-lo ela comeou com 20 abdominais no dia 1 de abril, e no dia 2 de abril ela fez 22, no dia 3 de abril ela fez 24. Quantas abdominais Lilabel fez no dia 15 de abril? Quantas abdominais Lilabel fez at o dia 15 de abril?

5) Determine a Lei de formao(Termo geral): a) 1,4,7,10,13,... b) 4,9,14,19,24,29,... c) -3,4,11,18,25.... d) 19,13,7,1,-5,-11,... e)15,23,31,39,47,... f) 17,21,25,29,33,...

6) Transportation. Olga has part of a bus schedule. She wishes to take the bus to go the mall, but she cannot leave until after 4:00 P.M. . What is the earliest time Olga can catch the bus? Bus Schedule Departures 8:25 A.M. 9:13 A.M. 10:01 A.M. 10:49 A.M.

Uma seqncia pode ser pensada como uma lista de nmeros escritos em uma ordem definida: a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an , . . .. O nmero a1 chamado de 1 termo, a2 o 2 termo e em geral an o n-simo termo. Podemos lidar exclusivamente com seqncias infinitas, e assim cada termo an ter um sucessor an + 1 . Note que para cada inteiro positivo n existe um nmero correspondente an, e assim podemos representar como um par ordenado (n, an) , ou ainda como uma funo cujo domnio o conjunto dos N (Naturais). Mas geralmente escrevemos an em vez da notao de funo f(n) para o valor da funo ao nmero n.

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Notao: A seqncia {a1, a2, a3, a4, ... } tambm denotada por { }na ou por { }=1nna Exemplos:

(a)

=

+ 11 nnn

1+

=n

nan

+,...

1,...,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

n

n

(b) ( ) ( )

+

n

n n

3

11

( ) ( )n

n

n

na

3

11 += ( ) ( )

+ ,...

3

11,...,

81

5,

27

4,

9

3,

3

2n

n n

(c) { }= 33 nn 3,3 = nnan { },...3,...,3,2,1,0 n (d)

=

06cos

n

n

0,6cos = nnan

,...

6cos,...,0,

2

1,

2

3,1

n

Aqui esto algumas seqncias que no tem uma equao de definio simples:

01) Se fizermos an ser o dgito na n-sima casa decimal do nmero e, ento

{ }na uma seqncia bem definida cujos primeiros termos so: {7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,5,...}

5266...360287471384590452352,718281821

1lim =

+= n

n ne

02) A seqncia de Fibonacci { }nf definida recursivamente pelas condies:

311 2121 +=== nfffff nnn cada termo a soma dos dois termos precedentes. Os primeiros termos so:

{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, 89,144, ...}

Essa seqncia surgiu quando o matemtico italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no sculo XIII, um problema envolvendo a reproduo de coelhos.

Fibonacci colocou o seguinte problema: S uponha que coelhos vivam para sempre e que cada ms cada p ar produza um novo par, que se torna reprodutivo com 2 meses de idade. Se comearmos com um par de recm nascidos, quantos pares de coelhos teremos no n-si mo ms?

A seqncia ao lado indicada com a letra L recebe o nome de seqncia de

L U C A S. L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...}

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E como falamos de par, de dois, o Tringulo de Pascal vem confirmar atravs dos

coeficientes do binmio

( )nxa + , ou nmeros binomiais

p

n onde ( )!!

!

pnp

n

p

n

=

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Definio : Uma seqncia { }na tem o limite L e escrevemos Lann =lim ou Lan quando n .

Se para cada 0> existir um correspondente inteiro N tal que .

Se Lann =lim

existir, dizemos que a seqncia (tem limite), ou a seqncia converge

(ou convergente ). Caso contrrio, se Lann =lim

no existir, a seqncia no tem limite, ou a seqncia diverge (ou divergente ).

- pode ser interpretado como a probabilidade de um macaco sentar na frente de uma mquina de escrever e apertando as teclas aleatoriamente escrever a obra completa de Shakespeare. Pode-se afirmar que igual a zero? A idia dizer que muito pequeno, porm diferente de 0 (zero).

sperana Falas nas aulas do Prof. Dr. Nelson

Onuchic

Macacos Datilgrafos Uma afirmao clssica que um macaco, batendo ao acaso nas teclas de uma mquina de escrever, acabaria compondo a obra completa de Shakespeare, admitindo-se que continuasse datilografando indefinidamente, sculo aps sculo. Para tal estimativa, aplicou-se regra da multiplicao da teoria das probabilidades. Um resultado de 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (1036) anos considerado muito pequena por alguns. Nesse mesmo esprito, Sir Arthur Eddington escreveu este poema: Havia uma vez um macaco inteligente, que sempre tocava um baixo, e que disse: Parece que, em bilhes de anos, acabarei compondo uma melodia. Pgina 74 - Do livro Introduo Estatstica Mario F. Triola 7 edio Editora LTC

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O Vocabulrio de Shakespeare De acordo com Bradley Efron e Ronald Thisted, as obras de Shakespeare contem 31.534 palavras diferentes. Com auxlio da teoria das probabilidades, concluram que Shakespeare conhecia ao menos outras 35.000 palavras que no empregou em suas obras. A estimativa do tamanho de uma populao um problema importante, encontrado freqentemente em estudos de ecologia, mas o resultado apresentado aqui outra aplicao interessante, [Veja Estimating the Number of Unseen Species: How Many Words Did Shakespeare Know? (Estimativa do Nmero de Espcies No Vistas: Quantas palavras Shakespeare conhecia?), in Biometria, Vol. 63, N 3] Pgina 63 - Do livro Introduo Estatstica Mario F. Triola 7 edio Editora LTC

Os pontos do grfico de { }na devem estar entre as retas horizontais += Ly e = Ly se Nn > .

Esse desenho deve ser vlido no importa quo pequeno seja escolhido, mas geralmente um menor requer um N maior.

A nica diferena entre Lann =lim

e Lxfx = )(lim

que n precisa ser inteiro.

Logo temos: Teorema: Se Lxfx = )(lim

e nanf =)( quando n um inteiro ento Lann =

lim.

Sabemos que rn n

1lim se 1>r

Definio : = nn alim

significa que para cada nmero positivo M existe um

inteiro N tal que Man > sempre que Nn > .

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C O N V E R G N C I A D E U M A S E Q U N C I A

A seqncia an, cujos elementos pertencem a um corpo ordenado converge para L, se para cada nmero arbitrrio > 0 pertencente a esse corpo, for possvel encontrar um correspondente natural N tal que se tenha: N todos os ndices maiores que N , pode ser q ue uma seqncia desorganizada at um instante e depois se organiza. Logo estudamos a partir o momento da organizao. Os termos desorganizados no descaracterizam, tornam feia uma seqncia.

Exemplo Domin (todos desorganizados) e depois , a partir de um n tenho a organizao.

LEIS DOS LIMITES PARA SEQUNCIAS

Se { }na e { }nb forem seqncias convergentes e C for uma constante ento: ( ) nnnnnnn baba limlimlim =

nnnn aCCalimlim

=

( ) nnnnnnn baba limlimlim . =

nn

nn

n

nn b

a

b

alim

limlim

=

se 0

lim nn b

CCn =lim

( ) ( )knnknn aa limlim = k

nnk

nnaa lim

lim

=

nnn aan tt

limlim = ( ) ( )ntntn aa limlnlim loglog =

EXERCCIOS THOMAS CLCULO VOLUME 2 SEQUNCIAS

Pgina 11 do 1 ao 56 Pgina 30 a 31 do 1 ao 51

Pgina 42 do 1 ao 65 Pgina 50-51 do 1 ao 44

Pgina 60 do 1 ao 38 Pgina 72 do 1 ao 35

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Guillaume Franois Antoine, Marqus de L'Hspital (Paris, 1661 - Paris, 2 de Fevereiro de 1704) foi um matemtico francs. principalmente conhecido pela regra que tem o seu nome para calcular o valor limite de uma fraco cujo numerador e denominador tendem,

A Regra de LHspital assim chamada em homenagem ao nobre francs marqus de LHspital(1661-1704), mas foi d escoberta pelo matemtico suo John Bernoulli(1667-1748)

A famlia Bernoulli teve sua origem na cidade de Anturpia, na Holanda, vindo fugida para a Sua, por serem protestantes. Foi a nica famlia da humanidade at os tempos de hoje a produzir tantos matemticos, doze ao todo, sendo os mais famosos os irmos Jacques e Jean Bernoulli, importantes discpulos de Leibniz que contriburam de forma inigualvel na criao do Clculo Diferencial e Integral. A palavra integral foi primeiramente usada pelos Bernoulli em 1669, sendo logo admitida por Leibniz que "Clculus Integralis" seria um nome melhor que "Clculus Sommatorius". Jean Bernoulli, filho de Nicolau Bernoulli, nasceu em Basilia, Sua, no dia 07 de agosto de 1667. Seu pai lhe proporcionou muito conhecimento de matemtica, mas no pretendia que seus filhos se dedicassem a ela, esperando que os mesmos fossem ministros religiosos ou mdicos. Jean seguiu o caminho estipulado pelo pai a princpio, chegando a escrever uma tese de doutoramento em medicina, com apenas 23 anos de idade.Jean apaixonou-se pela teoria do clculo diferencial e integral e, em 1662, escreveu dois livros sobre clculo. Nessa poca, encontrava-se em Paris e, para ganhar a vida, tornou-se professor particular de um jovem, Guilherme Franois L'Hospital, Marqus de St Mesme, com o qual trocou o salrio mensal para passar para suas descobertas matemticas para serem usadas como o desejasse; sendo assim, uma das mais importantes contribuies de Jean Bernoulli para resoluo de limites indeterminados passou a ser conhecida mundialmente como regra de L'Hospital (Anlise dos Infinitamente Pequenos), publicado em Paris em 1699. Esta publicao tida como primeiro livro de

Jean Bernoulli (1667-1748)

clculo diferencial e Integral editado no mundo, cuja importncia foi enorme para a divulgao do clculo entre os estudiosos do sculo XVIII. Na obra, L'Hospital demonstra ser um escritor exmio, expondo de maneira ordenada a evoluo das principais idias-suportes das integrais e derivadas. O sucesso foi to grande que durante dois sculos foi publicado com tiragens de milhares de exemplares. L'Hospital agradece, no prefcio, de maneira especial a Jean Bernoulli e a Leibniz. Bernoulli foi convidado a ser professor da Universidade de Groningen em 1695, e, em 1696, comeou a interessar-se pelo que seria o clculo varicional, propondo, na revista Acta Eruditorium, o clebre problema do tempo mnimo de descida de um corpo sob ao do campo gravitacional, que foi resolvido por Euler e por vrios matemticos, inclusive pelo prprio Jean. Casou-se, em 1694, com a sobrinha de Euler, com a qual teve trs filhos, todos gnios que fizeram grandes trabalhos dentro da fsica e da matemtica. Em 1711, ficou conhecido no mundo todo devido a seus importantes trabalhos dentro da matemtica, da fsica e da engenharia e, principalmente pelos seus estudos sobre as propriedades da catenria, sendo vrias vezes, homenageado pelos reis e rainhas. Em 1712, comeou a demonstrar sinais ntidos de loucura, expulsando de casa seu filho Daniel, por ele ter conquistado um prmio da Academia de Cincias de Paris, ao qual Jean tambm concorreu. Tal inveja perdurou at o final de sua vida, ficando, ao fim de 1747, praticamente sozinho no mundo, abandonado inclusive pela prpria famlia. Morreu em 03 de janeiro de 1748 na cidade de Basilia, com 81 anos de idade, vtima de sua loucura.

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Indeterminaes Inconclusivas

potnciadiferenaprodutoquociente

00 0;;1;;

.0;

;0

0

Regra de LHspital Suponha que f e g so diferenciveis e

0)(, xg prximo a a (exceto possivelmente em a ). Suponha que:

0)(lim = xfax e 0)(lim = xgax ou que = )(

lim xfax e = )(lim xgax

(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo 0

0 ou

)

Ento: )(

)(

)(

)(,

,limlim

xg

xf

xg

xfaxax = Se o limite do lado direito existir (ou ou ). Exemplo de limites fundamentais.

Trigonomtricos: 1senlim

0 = xx

x 0cos1lim

0 =

x

xx 1

lim0 = xtgx

x

Exponencial: ex

x

x =

+1

1lim

EXEMPLO INTERESSANTE .

Calcule n

nx

lnlim Note que o numerador e denominador se aproximam do infinito

quando .No podemos aplicar regra de LHspital diretamente, porque ela no se aplica a seqncias, mas sim a

funes de uma varivel real. Contudo podemos aplicar a Regra de LHspital funo relacionada

( )x

xxf

ln)( = e obter 01

ln 1limlim = xxx xx

Portanto, pelo teorema abordado temos: 0lnlim = n

nn

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I N F I N I T O ( f r a s e s) Para o grande h sempre um maior. (Anaxgoras)

Dentro do pequeno, no existe o menor. Sempre h um menor, porque o que existe no pode deixar de s-lo mediante uma

partio, por maior que ela seja. (Anaxgoras)

Deus fez os nmeros inteiros, todo o resto criao do homem. (Kronecker)

Nenhum outro problema impregnou to profundamente a alma do homem como o infinito. Nenhuma outra idia atuou com tanto estmulo e fertilidade sobre a mente como o infinito.

Nenhum outro conceito necessita de esclarecimento como o infinito. (Hilbert)

Ningum poder expulsar-nos do Paraso que Cantor nos criou. (Hilbert)

A estrutura do contnuo caracteriza-se sobretudo pelo fato das fraes decimais infinitas no mais poderem ser separadas umas das outras, no mais poderem ser rachadas com um

machado, como Anaxgoras expressou de modo bastante plstico. Os nmeros reais no mais esto densamente juntos, como os nmeros racionais, mas

totalmente sem lacunas entre si, de forma contnua. (Walter R. Fuchs)

Contar de 1 a infinito Suponha que no haja limitaes fsicas. Ento possvel contar os naturais de 1 at o infinito em 1

segundo? R: Sim. Mas como? Pgina 65

28/03/2002 - 08h22 MATEMTICA: O INFINITO E O QUASE " INSUPERVEL"

N M E R O G U G O L JOS LUIZ PASTORE MELLO Folha de S.Paulo

Em certa ocasio, o matemtico americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior nmero que existia. A resposta do pequeno Milton _qualquer coisa como guuugol... no foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira matemtica. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de gugol ("googol", em ingls) o nmero 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o nmero 10 elevado a 100.

No tarefa fcil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade to grande quanto 1 gugol. Para ter uma idia, o nmero de gotas de chuva que caem na cidade de So Paulo em um sculo muito menor que 1 gugol. Tambm o nmero total de gros de areia das praias do litoral brasileiro menor que 1 gugol, assim como menor que 1 gugol o nmero de eltrons em todo o universo (que se estima ser algo em torno de 10 elevado a 79 eltrons).

Para no dizer que 1 gugol um nmero insupervel, se imaginarmos o universo inteiro ocupado por prtons e eltrons de tal forma que no sobre nenhum espao livre, ento o nmero dessas partculas ser maior que 1 gugol (10 elevado a 110 partculas, aproximadamente).

Vencida a barreira do gugol, que tal pensarmos agora em um nmero ainda maior: "10 elevado a 1 gugol" (Kasner batizou esse nmero de gugolplex).

Se fosse possvel escrever um dgito a cada meio segundo, quanto tempo levaramos para escrever todos os zeros do nmero 1 gugolplex? A resposta exige apenas algumas contas. Dizer que 1 gugolplex o nmero 10 elevado a 1 gugol equivalente a dizer que esse nmero tem o primeiro dgito igual a 1, seguido de 1 gugol de dgitos iguais a 0.

Nas condies dadas, levaramos 0,5.10 elevado a 100 segundos para escrever por extenso o nmero de zeros de 1 gugolplex.

Levando-se em considerao que esse nmero igual a 5.10 elevado a99 segundos e que a idade estimada do universo igual a 6,32.10 elevado a 16 segundos, possvel afirmar que, desde o Big Bang at hoje, no houve tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 gugolplex.

Para o leitor que pensa ter atingido o infinito com o gugolplex, que tal imaginar o nmero 1 gugolplex elevado a 1 gugolplex? Quanto ao nome desse novo nmero, fica por conta da imaginao de cada um!

Jos Luiz Pastore Mello professor de matemtica do ensino mdio do Colgio Visconde de Porto Seguro

- 15 -

August Ferdinand Mbius Nascimento: 17 Nov 1790 em Schulpforta,

Saxnia (hoje Alemanha) Falecimento: 26 Sept 1868 em Leipzig, Alemanha

August Mbius (entre ns Moebius) mais conhecido pelo seu trabalho em topologia, especialmente pela sua concepo da fita de Moebius, que uma superfcie de duas dimenses com um lado s.

Faixa de Mbius

Smbolo do infinito

Reciclagem

NOVELA DA REDE GLOBO

- 16 -

OBRAS DE ESCHER

- 17 -

Ol! Voc capaz de determinar o valor das seguintes somas?

a) =+++ ...1111111

b) =+++ ...11111111

c) =++++++++ ...87654321

d) Qual o resultado da soma dos nmeros inteiros de 1 a 100?

e) =+++++++ ...1286432168421

f) =+++++++ ...64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

g) =++++++ ...243

1

81

1

27

1

9

1

3

11

Bom Trabalho!!! ///4RC05 V1N1C1U5 R1831R0

7/8/7 18h30

S R I E S -

Se tentarmos adicionar os termos de uma seqncia infinita { }na n

=1 obteremos uma

expresso da forma a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . que chamada de uma srie infinita(ou

apenas uma srie) e denotada por abreviao, pelo smbolo

=1nna ou na . Mas faz

sentido falar sobre a soma de infinitos termos? Seria possvel encontrar uma soma finita para a srie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . + n + . . ? ______. Contudo se comearmos a adicionar os termos da srie

...,2

1...

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11 +++++++++

npodemos fazer as somas parciais se tornarem prximas o

quanto quisermos de 2. Logo, parece razovel dizer que a soma dessa srie infinita igual a 2 e escrever 2...

2

1...

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11

2

1

0

=+++++++++=

=n

nn

Utilizamos uma idia similar para determinar se uma srie geral tem uma soma ou no. Consideremos as somas parciais S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 e, em geral.

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + an = =

n

iia

1

Essas somas parciais formam uma nova seqncia { }nS , que pode ou no ter um limite. Se SSn

n

=

lim existir(como um nmero), ento, como no exemplo anterior, o chamamos de

soma da srie infinita na .

- 18 -

O TESTE DE COMPARAO NO LIMITE

Suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n N (sendo n um inteiro positivo).

1. Se cb

a

n

n

n

=

lim , 0 < c < , ento tanto

na quanto nb convergem ou ambas divergem.

2. Se 0lim = n

n

n b

a e nb

converge, ento na converge.

3. Se = n

n

n b

alim e nb

diverge, ento na diverge.

Definio 11.33 Uma srie na se diz condicionalmente convergente,

se na convergente mas na divergente.

Definio 11.34

Se a srie na absolutamente convergente, ento na convergente.

Teste da razo para convergncia absoluta(11.35)

Seja na uma srie de termos no-nulos, e suponhamos Laa

n

n

n

=+

1lim

(i) Se L < 1, a srie absolutamente convergente.

(ii) Se L > 1 ou =+ a

an

n

n

1lim , a srie divergente.

(iii) Se L = 1, devemos aplicar outro teste, pois a srie pode ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

Definio - Srie de Potencias

Uma expresso da forma ......2

210

00

+++++=

=

nn

n

nn xcxcxcxcxc uma srie de

potencias centrada em x = 0. Uma expresso da forma

...)(...)()()()(2

210

00

+++++=

=

nn

n

nn axcaxcaxcaxcaxc

chamada de uma srie de potencias em (x a) ou uma srie de potencias centrada em a ou uma srie de potencias ao redor de a. O termo cn(x a)

n o ensimo termo; o nmero a o centro.

Teorema 12 - O teorema da Convergncia para srie s de Potencias

Existem trs possibilidade para

=

0

)(n

nn axc com relao convergncia.

1)Existe um nmero positivo R tal que a srie diverge para Rax > , mas converge para Rax

- 19 -

Veremos que o principal uso de uma srie de potencias que ela fornece uma maneira de representar algumas das mais importantes funes que aparecem na matemtica, na fsica e na qumica. Em

particular, a soma da srie de potencias

=

=0

22

2

)!(2

)1()(

nn

nn

o n

xxJ chamada de uma funo de Bessel,

em homenagem ao astrnomo alemo Friedrich Bessel(1784-1846), e a funo

=+

+

+=

012

12

1 2)!1(!

)1()(

nn

nn

nn

xxJ outro exemplo de uma funo de Bessel. De fato, essas funes

surgiram primeiramente quando Bessel resolveu a equao de Kepler da descrio do movimento planetrio. Desde aquele tempo, essas funes tm sido aplicadas em muitas situaes fsicas diferentes, incluindo a distribuio de temperatura em uma placa circular e o formato da membrana de um tambor vibrando.

Sries de Maclaurin

=++++++=......1

1

1 32 nxxxxx

=0n

nx )1(

- 20 -

Prova:

...5

1

4

1

3

1

2

11

1

1

+++++=

=n n divergente , Soluo:

11 =s

2

112 +=s

( ) ( )2

21

2

11

2

11 4

141

41

31

4 +=+++>+++=s

( ) ( )

( ) ( )2

31

2

11__

2

11

81

81

81

81

41

41

81

71

61

51

41

31

8

+=+++++++>

+++++++=s

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

41......

2

11__

......2

11

161

161

81

81

41

41

161

91

81

51

41

31

16

+=+++++++++>

+++++++++=s

Similarmente, 2

5132 +>s e 2

6164 +>s Assim temos

2

214 +>s

2

318 +>s 2

4116 +>s

2

5132 +>s 2

6164 +>s

S22

2

21+>

S23 2

31+> S24

2

41+>

S25

2

51+>

S2n>2

1n+

Isso mostra que S2n quando n, assim {Sn} divergente. Portanto a srie harmnica diverge.

O mtodo usado no Exemplo acima para mostrar que a srie harmnica diverge deve-se ao matemtico francs

Nicole Oresme (1323-1382 d.C.), maior matemtico do perodo. Nascido na Normandia, teve uma carreira que se estendeu do magistrio ao bispado.

O grfico de uma srie Divergente pode ser representado por uma espiral, enquanto que o de uma Convergente por um crculo

Observao do Vdeo Arte e Matemtica fita n 3 apresentao 7 Msica das Esferas TV Cultura

Vamos investigar. Aps a soma de um grande nmero de termos da srie harmnica, quando chegarmos a n = 1020, n = 10 30, n = 10100, etc., estaremos somando to pouco que teremos a impresso de que a soma de todos os termos da srie infinita realmente um nmero finito. Alis, hoje, com a ajuda do computador, podemos at fazer clculos experimentais interessante.

Vamos supor que fossemos capazes de somar cada termo da srie em um segundo de tempo. Como um ano tem aproximadamente

,600.557.3160602425,365 segundos= nesse perodo de tempo seramos capazes de somar a srie at 31.557.600, obtendo para a soma um valor pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos, a pouco mais de 22. Como se v, somas parciais de termos da srie harmnica jamais nos levariam a suspeitar que ela diverge. Pelo contrrio, essas somas s nos levam a pensar que a srie seja convergente. Isso, todavia, falso! Basta verificar a demonstrao de Nicole Oresme .

A demonstrao de que a srie harmnica diverge, feita pela primeira vez por Oresme, mostra como decisivo o papel do raciocnio lgico para estabelecer que jamais seria descoberta de outra maneira. De fato, como vimos, mesmo somando os termos da srie durante um sculo (se isso fosse possvel), no chegaramos a um resultado que nos desse qualquer indcio de que a srie seria divergente...

Para terminar, vamos fazer mais um exerccio de imaginao. Hoje em dia temos computadores muito rpidos, e a tecnologia est produzindo mquinas cada vez mais rpidas. Mas isso tem um limite, pois, como sabemos, nenhum sinal fsico pode ser transmitido com velocidade superior da luz. Portanto, nenhum computador poder efetuar uma soma em tempo inferior a 10-23 segundos, que o tempo gasto pela luz para percorrer uma distncia igual ao dimetro de um eltron. Pois bem, com tal computador, em um ano, mil anos e um bilho de anos, respectivamente, poderamos somar termos em nmeros iguais a

2510315576 , 2810315576 , 3410315576 .

E veja os resultados aproximados que obteramos para a soma da srie harmnica, em cada um desses casos, respectivamente: 70,804 , 77,718 , 91,5273.

Imagine, finalmente, que esse computador estivesse ligado desde a origem do universo, h 16 bilhes de anos. Ele estaria hoje obtendo o valor aproximado de 94,2999 para a soma da srie harmnica, um nmero ainda muito pequeno...

Da RPM 30 pgina 15-17 por Geraldo vila

- 21 -

D E M O N S T R A O

que ee > Chamemos de 1=

ex

logo 01>=

ex

Podemos dizer que ex > x + 1?

Sim, basta substituir alguns valores para x como 1,2,3, etc.

Substituindo 01>=e

x

na desigualdade acima temos

111 +>

eee

ou

eee

>1 ou eee

e >1 ou

eeee

> Simplificando o denominador

>ee e elevando os dois membros da desigualdade a e, (e>1)

eeee )()(

> Finalmente temos

ee >

Sabemos que

...!3!2!1!0

3210

++++= xxxxex

uma srie de Maclaurin

Logo razovel aceitar que ex > 1 + x

Lembrando que:

= 3,1415926535897932384626433832795... e

e = 2,71828182845904523536028747135266...

O nmero de Euler e, e o nmero so nmeros irracionais no algbricos, ou

nmeros irracionais transce ndentes.

- 22 -

EXPONENCIAL COMPLEXA - DESENVOLVIDO POR MARCOS VINCIUS RIBEIRO

01) Complete as seguintes funes com o desenvolvimento de Taylor,Maclaurin. (at o 11 termo) a) == xexf )( b) == )cos()( xxf c) == )()( xsenxf

+

=

+

=

++

=

=+

==0

2

0

12

0 )!2(

)1(cos

)!12(

)1(

! Maclaurin de Sries as Lembrando

n

nn

n

nn

n

nx

n

xx

n

xsenx

n

xe

Uma vez completado o quadro acima, o que acontecer se na funo xexf =)( , x for i ou ix = , substituindo no desenvolvimento de Maclaurin acima teremos: (at o 9 grau)

== ieif )( Mas, conhecemos o valor das potencias de i

iiii

iii

iiii

iii

========

====

====

...

1...

...

1...

1173

1062

951

840

, assim nota-se que o padro _____ , _____ , _____ , _____

De posse disso, substituindo as potencias de i na expresso acima temos que

== ieif )(

Voc notou algo? Parece haver termos que possuem_____ e termos que no possuem _____. Assim, tente agrupar os termos que possuem______ e agrupe os termos que no possuem _____. Agrupar significa reunir, ajuntar ou at, colocar em evidncia um fator comum (os que tem ___, e os que no tem____).

== ieif )( Se voc conseguiu chegar at aqui, verifique se voc capaz de efetuar alguma relao com o que voc j conhece de Maclaurin (visto no incio do exerccio), finalmente escrevendo que

== ieif )(

E agora, sabendo que rad ianos equivale a 180, que 01cos == sene temos

=ie Voce acabou de obter uma equao interessante! Para terminar, iguale-a zero ou deixe o 2 membro da equao com 0 (que passar tudo para o 1 membro da equao, passar tudo para o lado esquerdo, deixando 0 (zero) no lado direito da equao) ficando com a seguinte equao.

= ie Esta uma das mais belas equaes matemticas, chamada de Equao de Euler , que numa equao rene o cinco mais famosos nmeros da Matemtica:

O _____, O ______, O ______, O ______ e O ______. )(cos e cos isenyyeeeeisenyye xiyxiyxiy +==+= +

- 23 -

ENTENDA O DGITO DA CARTEIRA DE IDENTIDADE- R.G. Teste seu n completando da direita para a esquerda, realize os produtos, some-os e T-L!

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 100 = _______ 11=_____(exato) At mais Prof. Marcos Vincius Ribeiro

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ENTENDA O DGITO DA CARTEIRA DE IDENTIDADE- R.G. Teste seu n completando da direita para a esquerda, realize os produtos, some-os e T-L!

1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 100 = _______ 11=_____(exato) At mais Prof. Marcos Vincius Ribeiro

Contar de 1 a infinito

Suponha que no haja limitaes fsicas.

Ento possvel contar os naturais de 1 at o infinito em 1 segundo?

R: Sim. Mas como?

Somatrio com n de 0 a infinito de 1/(2^(n+1)). Ou

=+

012

1

in

Isso resultara em 0.5, 0.75, 0.875... At 1

16

15

16

1

8

1

4

1

2

18

7

8

1

4

1

2

14

3

4

1

2

12

1

=+++

=++

=+

s dizer cada nmero n em um tempo t = 2^(-n) ou nt 2

1=

isso a! O tempo necessrio ao prximo nmero metade do anterior. Assim,

o nmero 1 poderia levar 0,5 segundos o nmero 2 // 0,25 s o nmero 3 // 0,125 s o nmero 4 // 0,0625 s o nmero 5 // ...............0,03125 s o nmero 6 //................0,015625 s o nmero 7 // 0,0078125 s e assim sucessivamente at o infinito

Percebemos que as somas tambm formam uma seqncia

1

1

01

1

1

2

12

2

1

,...2

12,...,

256

255,

128

127,

64

63,

32

31,

16

15,

8

7,

4

3,

2

1

+

+

=+

+

+

=

nn

in

n

n

queou

- 24 -

HISTRIA DE MAX DEUX E JONATHAN EDWARDS Conta-se uma histria ocorrida a aproximadamente 200 anos de duas famlias norte americanas: uma delas teve como patriarca um ateu, que ao final teve 560 descendentes, sendo que 310 morreram como mendigos, 150 se tornaram criminosos, 7 assassinos, 100 foram considerados alcolatras e mais da metade das mulheres foram prostitutas. Final da histria: esses descendentes custaram ao governo norte americano mais de um milho de dlares naquele sculo, o que equivaleria nos dias de hoje 125 milhes de dlares. Outro homem, contemporneo deste primeiro foi um famoso pastor nos Estados Unidos. Ele teve 1394 descendentes e dentre eles, 295 se formaram em Universidades, 13 deles foram diretores de faculdade, 65 professores e 3 foram eleitos senadores. E no fica por a: 3 foram governadores de estado e outros foram enviados a outros pases como ministros de Evangelho, alm de 30 terem sido juzes, 100 advogados, 1 deo da melhor escola de direito de seu pas, 56 foram fsicos, 1 foi deo da escola de medicina, 75 se tornaram oficiais do exrcito, 100 foram missionrios, pregadores e escritores famosos. Alm desses, 80 tiveram cargos pblicos, dos quais 3 foram prefeitos de grandes cidades, 1 foi superintendente da Casa do Tesouro e outro foi vice-presidente dos Estados Unidos. Nenhum dos descendentes deveu dinheiro ao Estado. Jonathan Edwards (5 de outubro de 1703 - 22 de maro de 1758) foi um ministro congregacional, telogo calvinista e considerado um dos maiores filsofos norte-americanos. O que fazemos em vida ecoa na eternidade!!! Do filme Gladiador

Qual o legado que voc ir deixar para sua posteridade, sua descendncia?

Quo longe voc ir at entregar o basto?

No tolo aquele que renuncia quilo que pode ganhar por aquilo que no pode perder.

"Tu te tornas eternamente responsvel por aquilo que cativas" frase de Saint Exupry imortalizada no romance O Pequeno Prncipe

Os vencedores no so os que nunca sofrem derrotas, mas sim os que nunca desistem Edwin Louis Cole

Na vida, o que infinito? O que dura para sempre? Rendei graas ao Senhor, porque ele bom, porque a sua misericrdia dura para sempre. Salmo 136.1 Legado aquilo que algum, um grupo ou uma gerao transmite posteridade. Posteridade srie de indivduos que descendem de um ancestral comum.

MVR 12 2 9

Voc quer passar a sua vida inteira vendendo gua c om acar ou quer ter uma chance de mudar o mundo? No ato da contratao de John sculley, ex-CEO da Pepsi e da Apple

Eu contratei o cara errado Disse sobre Sculley, no documentrio Triunfo dos nerds. Na poca Jobs estava afastado da Apple e Sculley havia sido um dos articuladores de seu afastamento.

Quando eu tinha 17 anos, li uma declarao que dizi a algo mais ou menos assim: Se voc viver cada dia da sua vida como se f osse o ltimo. Um dia, com toda certeza, voc estar certo. Isso me impres sionou e pelos ltimos 35 anos eu me olhei do espelho todas as manhs e pe rguntei a mim mesmo, Se hoje fosse o ultimo dia da minha vida, estaria f azendo o que eu planejo fazer hoje? Se a resposta fosse no por repetidas vezes, eu sabia que precisava mudar Discurso para a turma de formandos de Stannford em 2005

Seu trabalho ir preencher grande parte do seu temp o, da sua vida. E a nica maneira de ser realmente satisfeito quanto a isso ter certeza de ser um trabalho timo. E a nica maneira de fazer um tr abalho timo gostar muito do que faz! Discurso para Standford

Voc no consegue juntar os pontos olhando para o f uturo; voc s conseguir conect-lo se olhar para o passado. Ent o, voc tem de confiar que os pontos se conectaro no futuro. Voc precisa acreditar em alguma coisa, em sua determinao, destino, vida, Karma ou o que quer que seja. Essa atitude jamais me decepcionou e tem feito a di ferena na minha vid a Standford 2005

Por mais que a Microsoft tenha copiado a Apple ao lanar o seu sistema operacional Windows, nunca o Windows chegou ao patamar do rival. E Bill Gates, o antigo CEO da Microsoft, sabe bem disso. Tanto que comentou nesta quarta que o mundo raramente v uma pessoa do calibre de Steve Jobs, capaz de provocar impactos to profundos, com efeitos que sero sentidos nas prximas geraes. "Para aqueles que tiveram sorte o suficiente para trabalhar com ele, foi uma insana grande honra. Eu sentirei uma falta imensa de Steve Jobs", disse Bill Gates para o jornal "The New York Times". Quando at os arquirrivais so obrigados a tirar o chapu, a est o homem.

- 25 -

C A M P O S V E T O R I A I S

So funes que associam vetores a pontos do espao, ou ainda, a coleo de todos os vetores associados a cada ponto.

Os vetores da figura, representam os vetores velocidade do ar e indicam rapidez, a

direo e o sentido, em pontos 10m acima da superfcie na rea da Bahia de So Francisco. Dando uma olhada nas flechas maiores da parte (a), vemos que a maior rapidez dos ventos naquele instante ocorre quando os ventos entram na Bahia atravs da ponte Golden Gate.

A parte (b) mostra um aspecto bastante diferente numa poca posterior. Associado a cada ponto no ar, podemos imaginar o vetor velocidade do vento. Este um exemplo de campo de vetores velocidade.

Geralmente um campo vetorial uma funo cujo domnio um conjunto de pontos do R2 (ou R3 ) e cuja imagem um conjunto de vetores em V2 (ou V3).

Definio: Um campo vetorial em trs dimenses uma funo F cujo domnio D um subconjunto de R3 e cujo contra-domnio um subconjunto de V3. Se (x,y,z) est em D, ento

F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k onde M, N e P so funes escalares.

Definio: Um campo vetorial F dito ser um campo vetorial conservativo se o gradiente de alguma funo escalar, ou seja, se existe uma funo f tal que, F=

.f Nesta situao f dita ser uma funo potencial de F.

escalar. funo alguma para z)y,(x, ),,( fzyxF =

Para se ter um campo vetorial conservativo ou campo vetorial gradiente, temos, numa funo que ter:

y

f

xy

=

)(

x

f)(

Se tivermos ,),,(),,(),,(),,( kzyxPjzyxNizyxMzyxF ++= F ser conservativo se:

x

N

y

M

=

e xz =

e yz =

f dita ser uma funo potencial de F. Admite-se z

f

y

f

x

fM

=

=

= P ;N ;

Veremos agora duas operaes para campos vetoriais que so bsicas nas aplicaes de clculo vetorial mecnica dos fludos [Fenmenos de Transporte ou SMFT(Sistemas Mecnicos e Fenmenos de Transporte)] e a eletricidade e magnetismo (Eletromagnetismo). Cada operao lembra uma diferenciao, mas uma produz um campo vetorial

)( F enquanto a outra produz um campo escalar ( ).F

- 26 -

R O T A C I O N A L )( F Definio. : Seja F (x,y,z) = M (x,y,z)i + N (x,y,z)j + P (x,y,z)k onde M, N, P tm

derivadas parciais em alguma regio. O rotacional de F dado por:

rot F = ky

M

x

Nj

xzi

zyF

+

+

=

ou de forma prtica: rot F = F =

zyx

kji

(A expresso no propriamente um determinante, pois a 1 linha composta de vetores, a 2 linha de smbolos de derivao parcial e a 3 linha de funes escalares; todavia, constitui um dispositivo extremamente til para memorizar a incmoda frmula da definio de rotacional) Escoamento Rotacional- Hopi Hari.

Rotacional a mesma coisa que a Componente K da Densidade de Circulao(duas dimenses)Em trs dimenses, a circulao em

torno de um ponto P em um plano descrita como um vetor. Esse vetor normal ao plano de circulao e aponta no sentido da regra da mo direita em relao ao sentido da circulao. O comprimento do vetor d a taxa de rotao do fluido, a qual geralmente varia medida que o plano de circulao inclinado ao redor de P.. A frmula acima de rotacional o vetor de maior circulao em um escoamento com campo de velocidades F = Mi + Nj + Pk No escoamento de um fluido incompressvel sobre uma regio plana(duas dimenses) a componente k do rotacional mede a taxa de rotao do fludo em um ponto. A componente K do rotacional positiva em pontos onde a rotao tem sentido anti-horrio e negativa onde a rotao tem sentido horrio.

A questo do rotacional muito bem colocada aqui como estudo do escoamento rotacional que gera o escoamento turbulento, isto , o escoamento plenamente desenvolvido com turbulncias, mais conhecido pelo termo tcnico "vortx" ou "vrtice, como queira. Alis, um grande exemplo de rotacionalidade se encontra nos ciclones e furaces, que tanto varre nas costas norte-americanas.

DIVERGNCIA ( ).F

Definio .: Seja F (x,y,z) = M (x,y,z)i + N (x,y,z)j + P (x,y,z)k, com M, N e P dotados de derivadas parciais em alguma regio. A divergncia ou o divergente de F, denotada por div F ou F. dada por:

div F = z

P

y

N

x

MF

+

+

=.

Outro operador diferencial aparece quando calculamos a divergncia do gradiente de um campo vetorial .F Se f uma funo de trs variveis, ou f(x,y,z) temos:

div( 2

2

2

2

2

2

).()z

f

y

f

x

fff

+

+

==

e essa expresso aparece to freqentemente que vamos abrevi-la com .2 f Esse operador = .2 chamado de Operador de Laplace ou LAPLACIANO por sua relao com a equao de Laplace.

02

2

2

2

2

22 =

+

+

=

z

f

y

f

x

ff

Divergente a mesma coisa que Densidade de Fluxo e que Divergente > 0 (Fonte) quando o fludo chega atravs de um pequeno

orifcio (x,y) e Divergente < 0 (Sumidouro) quando o fluido sai por um pequeno orifcio(furo) em duas dimenses. Div F tem em trs dimenses a

mesma interpretao fsica que tem em duas. Se F = Mi + Nj + Pk o campo velociadade de um escoamento fluido, o valor de div F me um ponto (x,y,z) a taxa qual o fluido est sendo injetado ou drenado em (x,y,z). O divergente o fluxo por unidade de volume ou densidade de fluxo no ponto. No caso de estudar fluxos em geral (seja de fludos, seja magnticos, sejam eltricos) que se estude pelo teorema de Stokes, que, a grosso modo, diz que todo fluxo pode ser representado pela seguinte lei: fluxo = integral na rea de (propriedade do meio x campo o elemento de rea) onde o = produto escalar Por exemplo: fluxo de fludos = integral de rea de (massa especfica x velocidade o elemento de rea) fluxo eltrico = integral de rea de (permissividade eltrica x campo eltrico o elemento de rea) E assim sucessivamente. Em outras palavras, o divergente uma ferramenta vlida, mas para quem quer ver o fluxo na forma diferencial. O que se usa, em geral, o fluxo na forma integral, usando o teorema acima citado.

Definiremos agora uma integral que semelhante a uma integral simples, exceto que, em vez de integrarmos sobre um intervalo [a,b], integraremos sobre uma curva C. Tais integrais so chamadas de integrais de linha , apesar de integrais curvas ou integrais curvilneas ser uma expresso mais adequada. Elas foram inventadas no comeo do sculo XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de lquidos, foras, eletricidade e magnetismo.

- 27 -

I N T E G R A I S D E L I N H A

J vimos que o trabalho feito por uma fora f(x) que move uma partcula de A at B ao

longo do eixo x =b

adxxfW )( . verdade tambm que o trabalho feito por uma fora

constante F para mover um objeto de um ponto P para outro ponto Q do espao W= F.D, onde PQD = o vetor deslocamento.

Seguindo o mesmo raciocnio, uma das mais importantes aplicaes fsicas das integrais curvilneas envolve campos de fora. Suponhamos que a fora que atua sobre o ponto (x,y,z) seja

F (x,y,z) = M (x,y,z)i + N (x,y,z)j + P (x,y,z)k ,

onde M,N e P so funes contnuas. Formularemos uma definio para trabalho realizado quando o ponto de aplicao de F(x,y,z) se move ao longo de uma curva C que tem a seguinte parametrizao

x = g(t), y = h(t), z = k(t) onde a .bt

Suponhamos que o movimento se processe na direo definida pelos valores crescentes de t.

Subdividamos C por pontos P0, P1,P2, . . . , Pn, onde Pk tem coordenadas (xk, yk, zk). Se a

norma pequena, ento Pk est prximo de Pk+1 para cada k. Logo o trabalho

realizado por F(x,y,z) de Pk a Pk+1 pode ser aproximado pelo trabalho kW realizado pela

fora constante F(x,y,z) quando seu ponto de aplicao se move ao longo de 1+kk PP que corresponde ao vetor .kzjyix kkk ++

Assim o trabalho kW realizado por F(x,y,z) ao longo de 1+kk PP . kW = F(xk, yk, zk) )( kzjyix kkk ++ ou

kW =M(xk, yk, zk) kx + N(xk, yk, zk) ky + P(xk, yk, zk) kz

- 28 -

Definio de Trabalho

= k

kP

WW lim0

++= dzzyxPdyzyxNdxzyxMW ),,(),,(),,(

Assim, o trabalho realizado quando o ponto de aplicao F(x,y,z) se move ao longo de C igual integral curvilnea, em relao a s (parmetro do comprimento de arco para C), do componente tangencial de F ao longo de C. Para simplificar a notao, denotaremos F(x,y,z) por F e T(s) (vetor tangente unitrio) por T, e faremos dr = dx i + dy j + dzk = Tds

e resumindo temos:

Definio : Sejam C uma curva suave no espao, T um vetor tangente unitrio a C em (x,y,z) e F a fora que atua em(x,y,z). O trabalho W realizado por F ao longo de C :

W = =cc

FdrTdsF. onde r = xi + yj + zk

Independncia do Caminho

Definio : Se F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k contnua em uma regio conexa aberta D, ento a integral curvilnea F dr independente do caminho se e somente se F conservativo, ou seja, F(x,y,z) = f(x,y,z) para alguma funo escalar f.

Seja F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k contnua em uma regio conexa aberta D, e seja C uma curva parcialmente suave em D, com extremidade A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2). Se F(x,y,z) = ),,( zyxf ento:

[ ] ),,( ),,(),,(

),,(

222

111

222

111

),,(Fdr dz z)y,P(x, dy z)y,N(x, dx ),,( zyx zyx

zyx

zyx

zyxfzyx ==++

Campos Vetoriais Clculo IV Lista de Exerccios Modulo 02

1) Encontre um campo vetorial conservativo tendo a funo potencial dada. a) 32 23),( yxyxf += b) 4224 452),( yyxxyxf += c) yx xeyeyxf =),(

d) 222 43),,( zyxzyxf += e) )sen(),,( 222 zyxzyxf ++= f) zyexzyxf 42),,( =

2) Verifique em cada item se o campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, encontre a funo que gerou este gradiente

a) )23(),( 22 yxyxF = i )43( xy+ j b) yyxF =),( i x+ j

c) )(),,( 2 yxzyxF = i - )3( zx j )3( yz++ k d) )(),,( yx ezezyxF += i )( zy exe + j )( xz eye ++ k

- 29 -

3) Encontre x F e .F a) zxzyxF 2),,( = i + xy2 j )2( zy ++ k b) )3(),,( yxzyxF += i zxy2+ j 2xz+ k c) 23),,( xyzzyxF = i zy sen2+ j zxe2+ k

d) yzyxF cos),,( = i zcos+ j xcos+ k e) nzxzyxF l3),,( = i yxe+ j )2( 2 zy + k

4) Determinar o Laplaciano dos campos escalares a)

323 634 zxzyyxV ++= b) )sen( 2 yxV +=

Integrais de Linha Clculo IV Lista de Exerccios Mdulo 02

1 ) +C

2 dy; xy dx 6 yx onde C o grfico de y = x3 + 1 de ( -1, 0 ) a ( 1, 2 ).

2 ) ( ) +C

xdydxyx ; onde C o grfico de y2 = x de ( 4, -2 ) a ( 4, 2 ).

3 ) Calcule ( ) ++ dyyxxydx ao longo de cada curva C de ( 0, 0 ) a ( 1, 3 ). a)

b )

c )

d )

y

x

y

x

x

y

y = 3x2

y

x

- 30 -

4 ) Calcule ( ) ++C

22 dy2x dx yx ao longo de cada curva C de ( 1, 2 ) a ( -2, 8 ).

a ) b ) c ) d )

5 ) Calcule ( ) +++C

dz x z y dx dyxz se C o grfico de 10;,, 2 === tezeyex ttt .

6 ) Calcule ++

C

y dz x dy z dx se C o grfico de /2 t 0 t;sen zsen t, 2 ,sen 2 === ytx .

7 ) Calcule ( ) ( ) ( ) ++++++

C

dzzyxdydxzyx 23z2y-x , onde C a curva de

( 0, 0, 0 ) a (2,3,4), se: a) C consiste em trs segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo-x, o

segundo paralelo ao eixo-y e o terceiro paralelo ao eixo-z. b) C consiste em trs segmentos de reta, o primeiro paralelo ao eixo-z, o segundo paralelo

ao eixo-x e o terceiro paralelo ao eixo-y. c) C um segmento retilneo. 8 ) Calcule ( ) ( ) ++

C

xdzdyzydxyx se C a curva de (1, -2, 3) a (-4, 5, 2) do tipo

descrito em (a) 1 // x, 2 // y, 3 // z; (b) 1 // z, 2 // x, 3 // y; e (c) segmento retilneo; do exerccio 07.

9 ) Se a fora em (x, y) ( ) ( ) ( ) jyxiyxyxF 22, +++= ache o trabalho realizado por F ao

longo das curvas (a)-(d) do exerccio 04.

y

x

y

x

y

x

y

x

y = 2x2

- 31 -

10 ) A fora em um ponto (x, y) de um plano coordenado dada por ( ) ( ) jxyiyxyxF )(, 22 ++= . Ache o trabalho realizado por F(x, y) ao longo do grfico de

( ) ( )8 2, a 0 0, de 3xy = . 11 ) A fora em um ponto (x, y, z) em trs dimenses dada por ( ) xkzjyizyxF ++=,, .

Determine o trabalho realizado por F(x, y, z) ao longo da cbica reversa ( ) ( )4,8 2, a 0 0, 0, de ,, 32 tztytx === . 12 ) Faa o exerccio 11 se ( ) kejeiezyxF zyx ++=,, . Nos exerccios seguintes, mostre que a integral curvilnea independente do caminho e

calcule o seu valor

13 ) ( ) ( )( )

( )

+++1,3

2,1

22 22 dyxyxdxxyy 14) ( )

( )

+2/,1

0,0

x dyy cos e dx y sen

xe

15) ( ) ( )( )

( )

++++3,1,2

2,0,1

2223 14926 dzxzdyyxdxzxy 16) ( ) ( ) ( )( )

( )

+++++2,1,1

3,0,4

111 dzxydyxzdxyz

17) ( ) ( ) ++C

2 22 dyxydxxy ; de A (0,-1) at B (1,2).

18) ( ) ( ) +++C

y dyxedxyx 22ln ; de A (3,1) at B (1,3)

19 ) ( )

++C

atytg4

4, B 2,0- A de dy; sec x x dx y 2

20 ) ( ) ( )

++C

dy6

2, B at 2,0-A de ;y cos x y sen dx y sen

21 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++C

dzyxdyzxdxzy 1,1,1 B at 0,0,0 A de ;

22 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++C

dzzxydyyxzdxxyz 1,1,1 B at 0,0,0A de ;

Os exerccios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 corresponde aos exerccios 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 18, 19,

20 respectivamente do livro de Clculo II Swokowski Pginas 582-583 Os exerccios 13, 14, 15, 16 correspondem aos exerccios 11, 12, 13, 14 respectivamente de Clculo II

Swokowski Pginas 594-595 Os exerccios 17, 18, 19, 20, 21, 22 correspondem aos exerccios 21, 22, 23, 24, 27, 28

respectivamente de Clculo II Leithold - Pgina 1099

Respostas:

1 ) 7

34 2 )

3

16 3a ) 2

15 3b ) 6 3c ) 7 3d )

4

29

4a) 183 4b) 39 4c) 93 4d) 5

267 5) ( ) 23,97 581263

12

1 324 ++ eeee

6) 3

7 7a )19 7b ) 35 7c ) 27 8a) 9 8b) 7 8c)

2

19 10)

21

1592

11) 15412

13 ) 14 14) e 15 ) 31 17) 2

13 18) e3 e ln27 + 2 = 16,07

19) 4 20)2

34 21) 3

- 32 -

E Q U A E S D I F E R E N C I A I S

Talvez a aplicao mais importante do clculo seja as equaes diferenciais. Quando Fsicos ou cientistas sociais usam o clculo, em geral o fazem para analisar uma

equao diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenmeno que eles esto estudando. Embora seja freqentemente impossvel encontrar uma frmula explcita para a soluo de uma equao diferencial, veremos que aproximaes grficas e numricas fornecem a informao necessria.

As equaes diferenciais tem ampla aplicao na resoluo de problemas complexos sobre movimentos, crescimento, vibraes, eletricidade e magnetismo, aerodinmica, termodinmica, hidrodinmica, energia nuclear e todo o tipo de fenmeno fsico que envolva taxas de variao de quantidades variveis.

No temos a pretenso de constituir um tratado sobre o assunto. Nossa abordagem servir apenas como uma introduo a este vasto e importante ramo da matemtica. H cursos e livros especficos devotados inteiramente ao estudo das equaes diferenciais.

MODELAGEM COM EQUAES DIFERENCIAIS

Na descrio do processo de modelagem consiste na formulao de um modelo matemtico de um problema real atravs de raciocnio intuitivo sobre o fenmeno ou atravs de uma lei fsica baseada em evidncia experimental. O modelo matemtico freqentemente tem o formato de uma equao diferencial, isto , uma equao que contm uma funo desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso no surpreende, porque em um problema real freqentemente notamos que as mudanas ocorrem e queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. Vamos comear examinando vrios exemplos de como as equaes diferenciais aparecem quando modelamos um fenmeno fsico.

EQUAES DIFERENCIAIS GERAIS

Uma equao envolvendo uma varivel dependente e suas derivadas em relao a uma ou mais variveis independentes chamada de Equao diferencial.

Em geral, uma equao diferencial uma equao que contm uma funo desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. A ordem de uma equao diferencial a ordem da derivada mais alta que ocorre na equao. Por exemplo, quando consideramos a equao diferencial.

xyy =' entendemos que y a funo desconhecida de x.

Uma funo f chamada soluo de uma equao diferencial se a equao satisfeita quando )(xfy = e suas derivadas so substitudas na equao. Assim, f uma soluo da Equao acima se )()(' xxfxf = para todos os valores de x em algum intervalo.

Quando nos pedido para resolver uma equao diferencial espera-se que encontremos todas as solues possveis da equao. J resolvemos algumas equaes diferenciais particularmente simples; a saber, aquelas da forma

)()(' xfxy = Por exemplo, sabemos que a soluo geral da equao diferencial

3' xy = dada por Cxy +=4

4

onde C uma constante arbitrria. Mas, em geral, resolver uma equao diferencial no uma tarefa fcil. No existe

uma tcnica sistemtica que nos permita resolver todas as equaes diferenciais. Veremos como esboar grficos das solues mesmos quando no temos uma frmula explcita. Tambm aprenderemos como achar aproximaes numricas para as solues.

- 33 -

EQUAES DIFERENCIAIS SEPARVEIS Podemos olhar para as equaes diferenciais de primeira ordem a partir de um ponto de

vista geomtrico (campo de direes) e a partir de um ponto de vista numrico (mtodo de Euler). E sob o ponto de vista simblico? Seria bom Ter uma frmula explcita para uma soluo de uma equao diferencial. Infelizmente isso no sempre possvel. Mas nesta seo examinaremos um tipo de equao diferencial que pode ser resolvida explicitamente.

Uma equao separvel uma equao diferencial de primeira ordem na qual a expresso para dxdy/ pode ser fatorada como uma funo de x vezes uma funo de y. Em outras palavras, pode ser escrita na forma

)()( yfxgdx

dy =

O nome separvel vem do fato de que a expresso do lado direito pode ser separada em uma funo de x e uma funo de y. De modo equivalente, se 0)( yf , podemos escrever

)(

)(

yh

xg

dx

dy = (equao 1)

onde )(/1)( yfyh = . Para resolver essa equao a reescrevemos na forma diferencial dxxgdyyh )()( =

assim todos os y esto em um lado da equao e todos os x esto do outro lado. Ento integramos ambos os lados da equao:

= dxxgdyyh )()( (equao 2) A equao 2 define y implicitamente como uma funo de x. Em alguns casos poderemos

resolver para y em termos de x. A justificativa para o passo na Equao 2 vem da Regra de Substituies:

= dxdxdy

xyhdyyh ))(()( = dxxyhxg

xyh))((

)())(( (da equao 1)

= dxxg )( UM POUCO DE HISTRIA: A tcnica para resolver equaes diferenciais separveis

foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o mtodo geral em um artigo publicado em 1694.

Extrado do Stewart, James Clculo Vol II Pginas 581,584 e 595

EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM

freqente a ocorrncia do tipo de equao diferen cial descrito abaixo no estudo de fenmenos fsicos.

Definio Uma equao diferencial linear de primeira ordem uma equao da forma

)()(, xQyxPy =+ onde QP e so funes contnuas.

Teorema A equao diferencial linear de primeira ordem )()(, xQyxPy =+ pode ser transformada em uma equao diferencial de variveis separveis multiplicando-se ambos

os membros pelo fator integrante edxxP )(

- 34 -

EQUAO DIFERENCIAL LINEAR DE 1 ORDEM PGINA 484(THOMAS 2001) Resumindo

Sendo a equao diferencial linear de 1 Ordem )()(' xQyxPy =+

com Fator Integrante edxxP

IF = )(.. a soluo da equao diferencial de 1 Ordem ser

= dxxQIFIFy )(.).(

..

1

EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

A definio seguinte uma generalizao de (19.1).

Definio Uma equao diferencial linear de ordem n uma equao da forma )()()(...)( ,1

)1(1

)( xkyxfyxfyxfy nnnn =++++

onde kff n e ,...,1 so funes de uma varivel, com o mesmo domnio. Se 0)( =xk para todo x, a equao homognea. Se 0)( xk para algum x, a equao se diz no homognea.

ay' + by + cy = 0 vamos supor que y= e mx logo y = me mx e y = m 2emx assim ay +by + cy = 0 poder ser substituda por am 2emx + bmemx + cemx = 0

colocando em evidncia o fator comum e mx temos e mx(am2 + bm + c) = 0 como e mx nunca ser zero para satisfazer essa equao temos que am 2 + bm + c = 0

e chamamos a equao am 2 + bm + c = 0 de equao auxiliar

TEOREMA Se )( e )( xgyxfy == so solues de 0,,, =++ cybyay , ento )()( 21 xgCxfCy += uma soluo, para todos os reais C1 e C2.

Definio A equao auxiliar da equao diferencial 0,,, =++ cybyay 02 =++ cbmam

TEOREMA * TEOREMA ** TEOREMA *** Se as razes 21,mm da

equao auxiliar so reais e distintas, ento a soluo geral de

0,,, =++ cybyay

Se a equao auxiliar tem a raiz dupla m, ento a soluo geral de

0,,, =++ cybyay

Se a equao auxiliar 02 =++ cbmam tem razes

complexas conjugadas tis , ento a soluo geral

de 0,,, =++ cybyay

xmxm eCeCy 21 21 += mxmx xeCeCy 21 += ) sen cos( 21 txCtxCeysx +=

Equaes Diferenciais lineares de 2 ordem kcybyay =++ ''' para k=0 Equao Diferencial Homognea (2 ordem)

0,,, =++ cybyay Equao auxiliar 02 =++ cbmam Soluo:

a) >>>> 0000 razes: 21 e mm

xmxm eCeCy 21 21 +=

b) ==== 0000 raiz dupla m

mxmx xeCeCy 21 +=

c)

- 35 -

Clculo IV Lista de Exerccios Modulo 02

Grupo 1 Equaes Diferenciais separveis Swokowsky2 Pginas 644,645.

Exerccios 1-4 (a): Determine a Soluo geral da equao diferencial e ilustre-a graficamente.

(b) Determine a soluo particular que satisfaz a condio y = 2 quando x = 0.

1) 2, 3xy = 2) 1, = xy

3) 2

,

4 x

xy

= 4) 3, =y

Exerccios 5-7: Prove que y uma soluo da equao diferencial.

5) ;023 ,,, =+ yyy xx eCeCy 221 +=

6) ;03, =+ yy xCey 3=

7) ;032 223 =+dx

dyyxxy 3/2= Cxy

Exerccios 11-21: Resolva a equao diferencial.

11) 02sec = ydxxdy 17) yxyxy += 1' 12) 02csc2 = ydxdyx 18) (y + yx2)dy + (x + xy2)dx = 0

13) 0= ydxxdy 19) 022 = + dyedxe yxyx 15) 0)5(3 =++ dyxxyydx 20) cosx dy ydx = 0 16) (xy 4x)dx + (x2y + y)dy = 0 21) 0)1(')1( 223 =+++ yxyxy

Exerccios 27-29:: Determine a soluo particular da equao diferencial que satisfaa a condio dada.

27) ;32 ,,2 yyyy = y = 1 quando x=3 29) ;0)12( =+ dxexxdy y y= 2 quando x =1

Grupo 2 Equaes Diferenciais Lineares de 1 Ordem

Swokowsky2 Pgina 652.

Exerccios 1-21: Resolva a equao diferencial. 1) xeyy 22' =+ 12) (x2y 1)dx + x3dy = 0 2) 23' = yy 13) 0)cos( 2 =+ xdydxyxx 3) 53' xyxy = 14) y + y = sen x 5) xexyxy =++' 15) xxeyxxy 3)32(' =++ 6) xy + (1 + x)y = 5 16) (x + 4)y + 5y = x2 + 8x + 16 7) 0)2(2 =+ dxexydyx x 17) 32'1 =+ yyx 8) x2dy + (x 3xy + 1)dx = 0 18) y 5y = e5x 9) xxgxyy csc4cot' 2=+ 19) 0)sen( =+ dxxytgxdy

11) 0cos)2sen( =+ xdydxxy 21) 3223' xexyxy +=+

Exerccios 23-26: Determine a soluo particular da equao diferencial que satisfaz a condio dada.

23) ;' 2 xxyxy += y = 2 quando x =1 24) ;2' 3xeyy =+ y = 2 quando x = 0 25) ;' xexyyxy =++ y = 0 quando x = 1

26) xexyy x =+ 2

2' y = 1 quando x = 0

- 36 -

Grupo 3 Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem Swokowsky2 Pgina 659.

Exerccios 1-22: Resolva a equao diferencial.

1) 065 ,,, =+ yyy 8) 0376 ,,, = yyy 15) 042 ,,, =+ yyy 2) 02,,, = yyy 9) 22,, +y 02, =+ yy 16) 072 ,,, =+ yy 3) 03 ,,, = yy 10) 025204 ,,, =++ yyy 17) 022 ,,, =+ yyy 4) 086 ,,, =++ yyy 11) 01528 ,,, =+ yyy 18) 052 ,,, =+ yyy 5) 044 ,,, =++ yyy 12) 04 ,,, =++ yyy 19) 0134 ,,, =+ yyy 6) 044 ,,, =+ yyy 13) 016249 ,,, =+ yyy 20) 04,, =+y 7) 04 ,,, =+ yyy 14) 0784 ,,, =+ yyy 20a*) y-18y+250y = 0

20b*)y+10y+ 89y = 0 21) 0262

2

=++ ydx

dy

dx

yd 22) 062

2

2

=++ ydx

dy

dx

yd

Exerccios 23-30: Determine a soluo particular da equao diferencial que satisfaa as condies indicadas.

23) ;023 ,,, =+ yyy 0 quando 2 e 0 , === xyy 24) ;02 ,,, =+ yyy 0 quando 2 e 1 , === xyy 25) ;0,, =+ yy 0 quando 2 e 1 , === xyy 26) ;06,,, = yyy 0 quando 1 e 0 , === xyy 27) ;0168 ,,, =++ yyy 0 quando 1 e 2 , === xyy 28) ;05,, =+ yy 0 quando 2 e 4 , === xyy

29) ;0522

2

=+ ydx

dy

dx

yd 0 quando 1 e 0 === x

dx

dyy

30) 0 quando 3 e 2 ;01362

2

====+ xdx

dyyy

dx

dy

dx

yd

Exerccios retirados do Swokowsky volume 2 Pginas 644,645,652,659.

Respostas:

Grupo 1 Equaes Diferenciais separveis

1) (a) Cxy += 3 b) 23 += xy

3) (a) 24 xy = C+ (b) 24 xy =

11) xCey sen2= 17) ( ) xxCey += 2/2

1 27) 83 ln2 =+ xyy

13) Cxy = 19) )33ln(3

1 xeCy += 29) )2ln2ln( 2 ++= exxy

15) Cyex y =53 21) 1)1( 3/232 += xCy

- 37 -

Grupo 2 Equaes Diferenciais Lineares de 1 Ordem

1) xx Ceey 2241 += 9) xCxxy csccsc

34 3 += 17)

2

23 xCey +=

3) 3521

Cxxy += 11) xCxy cossen2 += 19)x

Cxy

sensen

21 +=

5)x

Cx

x

ey

x

+=21

13) Cxxxy += sen 21)3

)(31 xeCxy ++=

7) 2xCe

yx += 15) xe

x

Cxy 323

1

+= 23) )1 ln( ++= xxxy

25) )1( 1 = xey x

Grupo 3 Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem 1) xx eCeCy 32

21 += 17) )sencos( 21 xCxCey

x += 3) xeCCy 321 += 19) )3sen3cos( 21

2 xCxCey x +=

5) xx xeCeCy 222

1 += 21) xx eCeCy )73(2

)73(1

+ +=

7) xx eCeCy ) 32(2)32(

1+ += 23) xx eey 222 +=

9) xx xeCeCy 222

1 += 25) xxy sen2cos +=

11) 4/522/3

1xx eCeCy += 27) )92(4 xey x +=

13) 3/423/4

1xx xeCeCy += 29) xey x 2sen

21=

15) 2/)22(22/)22(

1xx eCeCy + +=

- 38 -

CLCULO 2 Preparao para Equaes Diferenciais de 2Ordem

Fatorao de Equaes do 2 grau(1 Parte) - Prof. Marcos Vincius Ribeiro

Produto Resultado Fatorao Razes

01) (x + 2)(x + 3)=0 01) 02) (x + 2)(x 3)=0 02) 03) (x 2)(x + 3)=0 03) 04) (x 2)(x 3)=0 04) 05) (x + 1)(x + 4)=0 05) 06) (x 1)(x 12)=0 06) 07) (x + 2)(x 6)=0 07) 08) (x 3)(x 8)=0 08) 09) (x + 1)(x 4)=0 09) 10) (x 3)(x + 4)=0 10) 11) (x 2)(x + 6)=0 11) 12) (x + 3)(x + 8)=0 12) 13) (x 2)(x 5)=0 13) 14) (x 1)(x + 4)=0 14) 15) (x 1)(x + 12)=0 15) 16) (x 3)(x + 14)=0 16) 17) (x 3)(x + 8)=0 17) 18) (x + 3)(x 4)=0 18) 19) (x + 2)(x 5)=0 19) 20) (x 1)(x 4)=0 20) 21) (x 2)(x 6)=0 21) 22) (x 1)(x + 48)=0 22) 23) (x 3)(x 4)=0 23) 24) (x + 2)(x 24)=0 24) 25) (x + 1)(x 12)=0 25) 26) (x + 3)(x 8)=0 26) 27) (x 3)(x 16)=0 27) 28) (x 3)(x + 7)=0 28) 29) (x + 3)(x + 4)=0 29) 30) (x + 2)(x 21)=0 30) 31) (x 4)(x +12)=0 31) 32) (x + 6)(x 8)=0 32) 33) (x + 7)(x + 8)=0 33) 34) (x 5)(x 6)=0 34) 35) (x 1)(x 42 )=0 35) 36) (x + 8)(x 9)=0 36) 37) (x 6)(x 7) =0 37)

MVR

- 39 -

CLCULO 2 Preparao para Equaes Diferenciais de 2 Orde m

Fatorao de Equaes do 2Grau(2Parte) Razes Fracionrias Mtodo Locikiano(a 1),

Razes Complexas e Razes Irracionais Prof. Marcos Vincius Ribeiro

01) 12x2 + x + 6 = 0

02) 2x2 + 9x 5 = 0

03) 2x2 + 3x 2 = 0

04) 15x2 8x + 1 = 0

05) 3x2 + 4x + 1 = 0

06) 2x2 5x + 2 = 0

07) 6x2 5x + 1 = 0

08) 12x2 17x + 6 = 0

09) 5x2 6x + 1 = 0

10) 4x2 27x + 18 = 0

11) 8x2 + 2x 3 = 0

12) 6x2 + 7x + 2 = 0

13) 12x2 + 25x + 12 = 0

14) 2x2 13x 24 = 0

15) 3x2 49x + 16 = 0

16) 2x2 + x 6 = 0

17) 6x2 47x 8 = 0

18) 3x2 + 8x 16 = 0

19) 32x2 36x + 9 = 0

20*) x2 6x + 9 = 0

21**) x2 4x + 5 = 0

22*) x2 10x + 25 = 0

23**) x2 6x + 13 = 0

24**) x2 6x + 10 = 0

25*) 4x2 + 12x + 9 = 0

26*) 5x2 4x + 1= 0

27**) x2 + 4x + 13 = 0

28**) x2 2x + 26 = 0

29**) x2 6x + 13 = 0

30**) x2 + 18x +565 = 0

31**) x2 + 8x + 65 = 0

32**) 9x2 +12x + 40 = 0

33***) x2 6x + 7 = 0

34***) x2 4x + 1 = 0

35***) x2 + 2x 4 = 0

36***) x2 10x + 23 = 0

37***) x2 + 8x + 9 = 0

38***) x2 + 16x + 53 = 0

39**) x2 + 18x +522 = 0

40**) x2 + 18x +529 = 0

MVR

- 40 -

Letras do Alfabeto Grego

Note que utilizamos algumas letras gregas. Para melhor auxili-lo, eis a seguir o alfabeto grego completo. Letras minsculas e maisculas do alfabeto grego, com seus respectivos nomes.

a Alpha A Alpha b Beta B Beta c Chi C Chi d Delta D Delta e Epsilon E Epsilon f Phi F Phi g Gamma G Gamma h Eta H Eta i Iota I Iota j Phi 1 J Phi 1 k Kappa K Kappa l Lambda L Lambda

m Mu M Mu n Nu N Nu o micron O micron p Pi P Pi q Theta Q Theta r Rho R Rho s Sigma S Sigma t Tau T Tau u psilon U psilon v Omega 1 V Omega 1 w Omega W Omega x Xi X Xi y Psi Y Psi z Zeta Z Zeta

ALFABETO FONTICO INTERNACIONAL Este cdigo utilizado em comunicaes por fonia quando h algum rudo dificultando a

compreenso da mensagem. A = Alfa B = Bravo C = Charlie D = Delta E = Eco

F = Foxtrot G = Golf H = Hotel I = India J = Juliet

K = Kilo L = Lima M = Mike N = November O = Oscar

P = Papa Q = Quebec R = Romeo S = Sierra T = Tango

U = Uniform V = Victor W = Whisky X = X-ray Y = Yankee Z = Zulu

- 41 -

O Pi na Bblia Fez tambm o mar de fundio, de ds cvados duma borda at a outra, e de cinco de alto; e um fio de

trinta cvados era a media de sua circunferncia. II Crnicas 4.2 . (1 cvado = distncia da ponta do dedo ao cotovelo = 46 cm, e para o profeta Daniel 56 cm)

Em 1999, Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi da Universidade de Tquio, calcularam o com

206.158.430.000 casas. =3,1415926535897932384626433832795...

MVR Curiosidade: Record

Sbado, 2 de julho de 2005, 03h17 Atualizada s 11h43. Japons bate recorde de memorizao do nmero "Pi"

O psiquiatra japons Akira Haraguchi, 59 anos, bateu o recorde mundial de memorizao do nmero

"Pi" (3,1415...), depois de decorar 83,431 mil decimais. Ele demorou 13h para dizer todos os decimais num local pblico de Kisarazu, ao sul de Tquio. O recorde anterior, segundo o livro Guinness dos recordes, era de 42,195 mil decimais.

O nmero Pi representa a relao entre a extenso de uma circunferncia e seu dimetro. Por ser irracional, tem infinitos algarismos que no se repetem periodicamente.

Haraguchi j havia batido a marca em setembro passado com 54 mil decimais, mas a faanha no foi homologada porque ele ultrapassou o tempo limite estabelecido pelos organizadores.

Colaborao: Aluna Dbora Affonso(Curso de Civil/20 05) em 28/07/05.

NOVO RECORD DO PI Dezembro/2007 Fonte www.terra.com.br

Colombiano bate recorde ao dizer 150 mil dgitos do nmero Pi O colombiano Jaime Garca bateu hoje o recorde mundial ao conseguir dizer, de cor, mais de 150 mil decimais do nmero Pi diante de alunos da Faculdade de Matemtica da Universidade Complutense de Madri. Conhecido como "o computador humano", Jaime Garca enfrentou desafios como descobrir a dcima terceira raiz de um nmero de cem dgitos em 0,15 segundos e o clculo de 1 milho de anos do calendrio Gregoriano. Faanhas como esta colocaram-no cinco vezes no Guinness World Records, o livro dos recordes, e ele pretende ser includo novamente. Para atingir o novo recorde, Garca disse que chegou a treinar "at 14 horas por dia" nos ltimos meses. "Comecei pouco a pouco, todos os dias aprendia cem ou 150 nmeros". Olhar um nmero de 200 dgitos e memoriz-lo em uma s olhada, repetindo-o da esquerda para direita e da direita para a esquerda, foi um exerccio til para o desafio de hoje. Garca mostrou-se relaxado e concentrado diante do pblico, que assistia atnito aos sucessivos clculos mentais, e sob o olhar atento de dois observadores que anotavam e revisavam os nmeros. Foram necessrias 652 folhas para anotar todos os dgitos que Garca ia dizendo e que o pblico acompanhava em uma projeo. O "computador humano" precisou de trs dias para chegar ao fim. A partir da quarta pgina, Garca passou a ser examinado por membros da platia, at que provou ser capaz de memorizar 151.204 nmeros do Pi. O desafio foi verificado por dois observadores que assinaram o documento a ser enviado ao Guinness para que o novo recorde seja reconhecido como de Garca. Objetivo atingido, o colombiano quer descansar. "Agora vou desligar de tudo e vou descansar, passear e no pensar em nada", disse Efe. O prximo desafio j sabe qual ser: calcular calendrios com 14 dgitos. "Atualmente, detenho o recorde de calcular at um milho de anos, mas j posso calcular os calendrios de trilhes e agora ser um nmero com 14 dgitos", disse. Para Garca, "a matemtica um jogo". Ele incentiva todos a aprender a desfrutar dos nmeros, acrescentando que qualquer pessoa pode conseguir. "Eu no sou nenhum gnio, nem um ser superdotado, mas foi a fre qncia e a perseverana que me fizeram chegar at aqui", concluiu. EFE. Agncia EFE S/A.

O nmero pi Cronologia Bblia: 1 Reis 7, 23: Hiram fez ainda o mar, todo de metal fundido, com 5 cbitos de dimetro. Era redondo,

tinha dois cbitos e meio de altura [semi-esfera], e dua circunferncia tinha 15 cbitos.

Bblia: 2 Crnicas 4, 1-2: Salomo mandou fazer tambm um altar de bronze com 10 cbitos de comprimento por 10 de largura e cinco de altura. Fez tambm o mar de metal fundido, redondo, com 5 cbitos de dimetro e dois cbitos e meio de altura, com 15 de circunferncia.

Baseado nestes textos fica evidente que no tempo de Salomo, cerca de 1000 anos a.C., os hebreus usavam o nmero 3 para pi. Mesmo para a poca este valor seria uma aproximao algo grosseira, pois os egpcios e os mesopotmicos j usavam o valor 256/81 = 3,16 para pi, valor que aparece no papiro egpcio de cerca de 1600 anos a.C., conhecido como papiro de Rhind.

- 42 -

Os primeiros clculos tericos procurando o nmero pi atravs da razo entre o permetro e o dimetro de um crculo so devidos ao grande Archimedes de Saracusa (287-212 a.C.). Ele obteve um intervalo onde deveria estar o nmero pi:

223 / 71 < pi < 22 / 7 Onde o resultado final 71

7110 33

- 43 -

L4 2

A

B

L8

8

8

16

B16

L8 2

A16L

R

R

B32

32A

R

L32

216L

Figura 1 Figura 2 Figura 3(polgono de 16 lados) (polgono de 32 lados)(polgono de 8 lados)

Determinao do valor de pi

O procedimento ser determinar o permetro do polgono de 2 lados.

O valor de pi ser o limite deste permetro quando n tende a infinito.

n

a) Para n=2, o polgono um quadrado de diagonal 2R e da,

L =2R ou L =R 4 42 2

b) Para n=3, o polgono o octgono da figura 1, na qual tem-se:

L4

2

8

2 42

B = -R

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 2089986280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 0938484102 70193 85211 05559 64462 29427120 19091 4 5648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 063148815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094

46095 50582 23172 53594 08128 48111 7450289 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165

5 58817

L2= R

2(2- 2 ) L = R 2- 2

8 8

c) Para n=4, o polgono tem 16 lados conforme figura 2.

16BA

16R8B

16

2-R ==

2

4-L2

Portanto, o permetro P do polgono de 32=2 lados vale

+2=P R - 2 + 2 2 2n

2nx +

n-2 vezesA expresso para pode ser provada por induo finita.

No limite, o permetro do crculo que vale 2 R. Igualando, chega-se :n 8 2P n

=n-1 vezes

2n

2- 2 + +2 + 2 xlimn 8

=Como curiosidade apresenta-se a seguir o valor de com 400 casas decimais determinado com outro procedimento.

e16B R=

2- 8L4

2

tambm2

16L A=

2+8

L4

2

16

+=L2

16

L482

2R R+R

2-L482

16B2- L

16

2=

2R -2 R2

4L

-2

R 82

RR= 22- 2 -R

2

42 R 2-( )

2

16

2L RR= 2

2-

22+ 2 2

2L16

2= R (2 + 2 - ) e

162=L R - 2 + 2

5

tambm

c) Para n=5, o polgono tem 32 lados conforme figura 3.

RL32

2

32

2B

+L

=4162

R=2-

2R +